2018考研高数重要定理证明微积分基本定理

第一篇：2018考研高数重要定理证明微积分基本定理

2018考研高数重要定理证明微积分基本定理

来源：智阅网

微积分基本定理是考研数学中的重要定理，考察的频率较高，难度也比较大，下面详细的讲解一下，希望大家有所收获。

微积分定理包括两个定理：变限积分求导定理和牛顿-莱布尼茨公式。

变限积分求导定理的条件是变上限积分函数的被积函数在闭区间连续，结论可以形式地理解为变上限积分函数的导数为把积分号扔掉，并用积分上限替换被积函数的自变量。注意该求导公式对闭区间成立，而闭区间上的导数要区别对待：对应开区间上每一点的导数是一类，而区间端点处的导数属单侧导数。花开两朵，各表一枝。我们先考虑变上限积分函数在开区间上任意点x处的导数。一点的导数仍用导数定义考虑。至于导数定义这个极限式如何化简，笔者就不能剥夺读者思考的权利了。单侧导数类似考虑。

“牛顿-莱布尼茨公式是联系微分学与积分学的桥梁，它是微积分中最基本的公式之一。它证明了微分与积分是可逆运算，同时在理论上标志着微积分完整体系的形成，从此微积分成为一门真正的学科。”这段话精彩地指出了牛顿-莱布尼茨公式在高数中举足轻重的作用。而多数考生能熟练运用该公式计算定积分。不过，提起该公式的证明，熟悉的考生并不多。

该公式和变限积分求导定理的公共条件是函数f(x)在闭区间连续，该公式的另一个条件是F(x)为f(x)在闭区间上的一个原函数，结论是f(x)在该区间上的定积分等于其原函数在区间端点处的函数值的差。该公式的证明要用到变限积分求导定理。若该公式的条件成立，则不难判断变限积分求导定理的条件成立，故变限积分求导定理的结论成立。

注意到该公式的另一个条件提到了原函数，那么我们把变限积分求导定理的结论用原函数的语言描述一下，即f(x)对应的变上限积分函数为f(x)在闭区间上的另一个原函数。根据原函数的概念，我们知道同一个函数的两个原函数之间只差个常数，所以F(x)等于f(x)的变上限积分函数加某个常数C。万事俱备，只差写一下。将该公式右侧的表达式结合推出的等式变形，不难得出结论。

上面讲述的微积分基本定理是考研数学的高频考点，考生们要认真学习其解题方法，并且学会运用。汤神《考研数学接力题典1800》可以检验大家的复习效果，总结做题经验，对我们现阶段的复习帮助很大。

第二篇：微积分基本定理(教案)

1.6微积分基本定理

一：教学目标

知识与技能目标

通过实例，直观了解微积分基本定理的内容，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分

过程与方法

通过实例探求微分与定积分间的关系，体会微积分基本定理的重要意义

情感态度与价值观

通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。

二：教学重难点

重点：通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。难点：了解微积分基本定理的含义

三：教学过程：

1、知识链接： 定积分的概念： 用定义计算的步骤：

2、合作探究：

⑴导数与积分的关系;

我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。有没有计算定积分的更直接方法，也是比较一般的方法呢？

下面以变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系为例：

设一物体沿直线作变速运动，在时刻t时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（v(t)o），则物体在时间间隔[T1,T2]内经过的路程可用速度函数表示为达，即

T2T1v(t)dt。

另一方面，这段路程还可以通过位置函数S（t）在[T1,T2]上的增量S(T1)S(T2)来表T2T1v(t)dt=S(T1)S(T2)

而S(t)v(t)。

说出你的发现

⑵ 微积分基本定理

对于一般函数f(x)，设F(x)f(x)，是否也有

baf(x)dxF(b)F(？a)

若上式成立，我们就找到了用f(x)的原函数（即满足F(x)f(x)）的数值差F(b)F(a)来计算f(x)在[a,b]上的定积分的方法。

设F(x)f(x)则在[a,b]上，⊿y=F(b)F(a)

将[a,b]分成n 等份，在第i个区间[xi-1,xi]上，记⊿yi=F(xi)-F(xi-1),则

⊿y=∑⊿yi 如下图，因为⊿hi=f(xi-1)⊿x 而⊿yi≈⊿hi 所以 ⊿y≈∑⊿hi=∑f(xi-1)⊿x 故

⊿y=lim∑⊿hi=∑f(xi-1)⊿x= 即

baf(x)dx

baf(x)dx=F(b)F(a)

所以有微积分基本定理：

如果函数F(x)是[a,b]上的连续函数f(x)的任意一个原函数，则

bbaf(x)dxF(b)F(a)bbaf(x)dx

（此处并不要求学生理解证明的过程）

为了方便起见，还常用F(x)|a表示F(b)F(a)，即

af(x)dxF(x)|baF(b)F(a)

该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。

它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果。

⑶应用举例

例1．计算下列定积分：

311（1）dx；

（2）(2x2)dx。

1x1x1解：（1）因为(lnx)'，x212所以dxlnx|1ln2ln1ln2。

1x11（2））因为(x2)'2x,()'2，xx33311所以(2x2)dx2xdx2dx

111xx131223。x2|1|1(91)(1)x332练习：计算解：由于xdx

01213x是x2的一个原函数，所以根据牛顿—莱布尼兹公式有 31131131

31x2dx=x|0=10=

03333例2．计算下列定积分：

0sinxdx,sinxdx,sinxdx。

0'22由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论。解：因为(cosx)sinx，所以

sinxdx(cosx)|(cos2)(cos)2，sinxdx(cosx)|(cos2)(cos0)0.0222020sinxdx(cosx)|0(cos)(cos0)2，可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0:

(l）当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时（图1.6一3)，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积；

图1.6 一 3(2）

（2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时（图 1.6 一 4)，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数；

(3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0（图 1.6 一 5)，且等于位于 x 轴上方的曲边梯形面积减去位于 x 轴下方的曲边梯形面积．

例3．汽车以每小时32公里速度行驶，到某处需要减速停车。设汽车以等减速度a=1.8米/秒2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？

解:首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间。当t=0时，汽车速度v0=32公里/小时321000米/秒8.88米/秒,刹车后汽车减速行驶,其速度为v(t)=v0at=8.88-1.8t当汽车36008.88停住时,速度v(t)=0,故从v(t)=8.88-1.8t=0解得t=4.93秒

1.8=于是在这段时间内,汽车所走过的距离是

s4.930v(t)dt4.9301(8.881.8t)dt=(8.881.8t2)204.9321.90米,即在刹车后,汽车需走过21.90米才能停住.微积分基本定理揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时它也提供了计算定积分的一种有效方法．微积分基本定理是微积分学中最重要的定理，它使微积分学蓬勃发展起来，成为一门影响深远的学科，可以毫不夸张地说，微积分基本定理是微积分中最重要、最辉煌的成果．

⑷课堂练习

课本p55练习⑴----⑻

四：课堂小结：

本节课借助于变速运动物体的速度与路程的关系以及图形得出了特殊情况下的牛顿-莱布尼兹公式.成立，进而推广到了一般的函数，得出了微积分基本定理，得到了一种求定积分的简便方法，运用这种方法的关键是找到被积函数的原函数，这就要求大家前面的求导数的知识比较熟练，希望，不明白的同学，回头来多复习！

五：教学后记：

从教以来，一直困惑于一个问题：课堂上如何突出重点并突破难点。当然，理论方面自己早已烂熟于心，关键是缺乏实践方面的体验及感悟。在今天的课堂上，本来一个相当简单的问题，可在课堂上却花费了大量时间，更严重的是学生却听得更为糊涂。一个主要原因在于，对相关知识结构理解不到位，眉毛胡子一把抓，而难点又无法解决。

第三篇：微积分基本定理教学设计专题

《微积分基本定理》教学设计

一、教材分析

本节课是学生学习了导数和定积分这两个概念后的学习，它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位。它曾被恩格斯誉为“人类精神的最高胜利”的微积分学。

二、教学目标分析

(1)知识与技能：了解微积分基本定理的含义，并会利用定理计算简单的定积分。

(2)过程与方法：以变速直线运动物体在某个时间段上的位移为背景，使学生直观了解微积分基本定理的形成过程。

(3)情感、态度和价值观：揭示寻求计算定积分新方法的必要性, 激发学生的求知欲；逐步渗透 “以直代曲”、“无限逼近”的数学思想。

三、教学重点、难点分析

重点：以变速直线运动物体在某个时间段上的位移为背景，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。难点：微积分基本定理的形成过程

四、学情分析

首先本节课的授课班级是理科的普通班，大部分学生学习基础薄弱，学习能力还有待提高。其次本节课是高等数学的内容，理论性较强，抽象不易理解。针对以上情况，本节课在整体设计紧扣课标要求，充分做到“了解和简单应用”。

五、教法、学法分析

(1)教法：通过导学案设置的问题和课堂上讨论、展示、点评、质疑等环节以及多媒体课件动画演示启发、引导学生积极思考本节课所遇到的问题，引导学生联想旧知识来解决和探索新知识，从而使学生产生浓厚的学习兴趣和求知欲，体现了学生的主体地位。

(2)学法：突出自主学习，研讨发现，主动探索。学生在教师设置的环节的引导下，通过观察、讨论、交流、合作学习等活动来对知识、方法和规律进行总结。

六、教学过程

环节一：自主课

学生通过完成导学案的形式进行自主学习，教师课下批阅导学案，找到自主课上学生没有学懂的共性问题，准备在展示课上解决。环节二：展示课

通过恩格斯对微积分的高度评价“人类精神的卓越胜利”引入课题，突出学习本节课的重要性。（在导学案中已经通过阅读材料的形式让同学们了解了微积分的创始人牛顿和莱布尼茨）

1、学案反馈

教师通过批阅导学案，了解了学生在自主学习中没有掌握的共性问题，结合教师对本节课的预设确定了重点和难点。同时对导学案完成好的小组和个人进行表扬。

在大屏幕上显示本节课要解决的问题

① 计算 121xdx的过程中，存在的问题什么？

②如何通过不同的途径对变速直线运动物体在某一时间段的位移的探究？

③利用微积分基本定理计算定积分的关键是什么？如何规范书写定积分运算的解题步骤？ 设计意图：根据“先学后教，以学定教”原则，能够准确找到教学的重点和难点，使得课堂教学更有针对性。通过对小组和个人的表扬，激发学生学习的积极性。

2、讨论交流

针对教师批阅导学案中存在的问题进行讨论。个别问题学生可以单独交流，共性问题以学科带头人为核心小组成员一起讨论，教师进行适时指导，最终确定本组的讨论结果。

在大屏幕上明确讨论内容，讨论与本节课要解决的问题相对应的导学案中问题

1、问题

3、计算定积分（3）、（4）

设计意图：学生的个别问题可以通过学生间的讨论交流学会，教师可以不必再讲；对于共性问题大家各抒己见，充分表达自己的看法，使学生一直在围绕着问题进行思考。

3、小组展示

根据导学案的反馈以及小组讨论，分小组来展示导学案中共性问题（导学案中问题

1、问题

3、计算定积分（3）、（4））。展示包括口头展示和板书展示以及展台展示，要求展示同学书写工整，声音洪亮，姿态自然大方。

设计意图：通过小组展示，了解各小组合作学习的情况，突出了本节课重点要解决的问题。

4、点评质疑

点评同学针对小组展示的情况，给予解题思路、步骤、结果等环节的评价，还可以提出自己新的思路和想法。对于之前的展示和点评，老师和其他同学可以提出质疑，大家可以针锋相对来探讨“真相”。

在点评和质疑环节问题随机生成，如：导数为

1的原函数是唯一的吗？ x设计意图：这个过程是学生学习知识的最佳过程，不断的提出问题，不断的解决问题，既尊重了学生的认知规律，也尊重了数学自身的发展规律。

5、归纳小结

由学生总结本节课的收获，包括知识和思想方法等方面，教师适时加以补充和完善。学生总结本节课的收获：（1）微积分基本定理内容。

（2）利用定积分基本定理求定积分的关键找到被积函数的原函数，也就是说要找到一个函数，使它的导函数等于被积函数。

设计意图：这个环节是学生对课堂内容的重点概括和提炼，使得学生的能力得到进一步的提升。

6、当堂检测

针对本节课所学的重点内容，设计4个小题，利用5分钟左右的时间当堂进行检测，通过完成情况评价本节课学生的学习效果。

设计意图：当堂检测能让学生及时掌握知识、形成技能、发展智力、培养能力及养成良好学习习惯，同时是教师及时掌握教学情况并进行反馈调节的重要措施，也是减轻学生负担、提高教学效率的重要途径，是我们平常教学中最需要落实的一个“抓手”。

七、教学评价与反思

1、教学评价

（1）从总体设计上，本节课采用的是先学后教、以学定教的原则，顺应学生的思维发展，能最大限度的暴露学生的思维过程。课上重点解决学生自主学习中的疑惑，大大提高了课堂效率。教师主要起到引导、诱导、指导、疏导、督导的作用。学生在观察、讨论、交流、质疑、争辩中获取知识，按照金字塔学习理论，学生采用讨论、讲解、质疑、点评等学习方法，多是高收益的学习方法，特别能把别人教会的学生课堂收益更大，印象更深刻，学习效果更好。本节课按照“发现问题-分析问题-解决问题”的思路，采用“观察-尝试-归纳-猜想-验证”的方法来得到微积分基本定理。再通过“模仿-反思-内化”的方式来学习利用定理解决定积分的计算。

（2）从学习内容上，微积分基本定理的形成是本节课的难点，如果直接设计严格推推导过程，学生理解起来会很困难，而是采用了创设情景问题，由特殊到一般，由感性认识上升到理性认识的规律，推导出了定理公式．虽然这不是非常严格的证明，但这反映出微积分基本定理的基本思想，而且降低了教材的难度，便于学生的理解掌握。在导学案中介绍微积分的创始人牛顿和莱布尼茨，既丰富学生的数学史知识，激发学生的学习兴趣，又使枯燥的数学课堂充满人文气息，有利于学生对定理的掌握，使学生对定理的理解更立体。

针对学生的实际情况，首先本节课的授课班级是理科的普通班，大部分学生学习基础薄弱，学习能力还有待提高。其次本节课是高等数学的内容，理论性较强，抽象不易理解。本节课在整体设计紧扣课标要求，充分做到“了解微积分基本定理的形成过程”，所以在导学案得出牛顿-莱布尼茨公式环节的设置上引导学生通过阅读课本的物理实例来完成，使得抽象问题直观化，所用篇幅较少，不需要花费大量时间。在这一环节上时间控制在10分左右。本节课的教学重点是微积分定理的简单应用。在导学案设置和课堂展示中有意识的引导学生逆用导数公式，这样为学生下面利用微积分基本定理计算定积分做了铺垫，使得学生的学习能够“水到渠成”。通过尝试定积分的计算以及对“导函数唯一原函数一定唯一吗？”等的质疑，让学生体会导数与定积分内在关系，能够找到计算定积分的关键，引导学生归纳出计算定积分的步骤，使学生“顺理成章”的掌握了本节课的重点。通过当堂检测设计的几个小题，巩固了本节课的重点知识，同时对课堂效果直接进行了检验。本节课设计的例题和当堂检测也一定的梯度，但总体难度不大，有利于本节课重点地落实。

2、课后反思

（1）教师注意一定要根据自己学生的实际情况认真编制导学案，并提前批阅导学案，将学生自主学习的情况掌握清楚。一定要舍得放手，敢于放手，把课堂还给学生。

（2）教师在课堂上要随时观察、引导、疏导、督导学生，充分利用学生提出的问题、学生的解答等形成课堂的再生资源。

（3）教师要注意合理安排好本节课各环节的时间，不要前松后紧。

（4）教师在自主课上要督促学生在导学案的引导下先认真阅读教材，经过思考后再完成导学案，不要只是从课本上抄概念和例题，为了“完成任务”而完成任务。

第四篇：高等数学考研几个重要定理的证明

几个重要定理的证明

1、罗尔定理（考过）

如果函数f(x)在闭区间［a，b］上连续，在开区间（a，b）上可导，且f(a)= f(b)，则在开区间（a，b）内至少存在一点￡，使得f'()=0.证：∵函数f(x)在闭区间［a，b］上连续

∴由最大最小值定理有：m< f(x)

(1)若m=M，此时f(x)在［a，b］上为恒定值

对任意的x∈（a，b）都有f'()=0。

（2）若m≠M，因为f(a)= f(b)，则m和M中至少有一个不等于区间的端点值。不妨设M≠f(a)，则存在∈（a，b）使得f()=M。

∴对任意的x∈［a，b］使得f(x)≤f()，从而由费马引理，可知f'()=0.证毕。

2、拉格朗日中值定理（考过）

如果函数f(x)满足：（1）在闭区间［a，b］上连续；（2）在开区间（a，b）上可导，那么在（a，b）内至少存在（a，b）一点，使得f(b)f(a)f'()(ba)成立。

证：引进辅助函数(x)f(x)f(a)f(b)f(a)(xa)ba

易知F（a）=F（b）=0，且F（x）在［a，b］内连续，在（a，b）内

f(b)f(a)ba可导 且'(x)f'(x)

根据罗尔定理，可知在（a，b）内至少存在有一点，使'(x)=0，即

f(b)f(a)0 ba

f(b)f(a)f'()，由此可得baf'()

即f(b)f(a)f'()(ba)

证毕。

三、积分中值定理（考过）

如果函数f（x）在积分区间［a，b］上连续，则在（a，b）内至少存在一点，使得

1几个重要定理的证明

b

f(x)dx

af()(ba)

证：由于f（x）在［a，b］上连续，则存在m，M使得

mf(x)M

又由定积分估值定理，有

b

m(ba)f(x)dxM(ba)

a

b

即m

由介值定理得： f(x)dxabaM

b

f()

证毕。f(x)dxaba

四、变上限积分函数求导公式（没考过）

五、牛顿-莱布尼茨公式（没考过）

设函数f（x）在［a，b］上连续，F（x）是f（x）在（a，b）上的任意一个原函数，b

则f(x)dxF(x)

abaF(b)F(a)

证：

第五篇：高中数学：1.6-微积分基本定理(教案)

三、教学过程

1、复习：

定积分的概念及用定义计算

2、引入新课

我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。

变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系

设一物体沿直线作变速运动，在时刻t时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（v(t)o），则物体在时间间隔[T1,T2]内经过的路程可用速度函数表示为T2T2T1v(t)dt。

另一方面，这段路程还可以通过位置函数S（t）在[T1,T2]上的增量S(T1)S(T2)来表达，即 T1v(t)dt=S(T1)S(T2)

而S(t)v(t)。

对于一般函数f(x)，设F(x)f(x)，是否也有

baf(x)dxF(b)F(a)

若上式成立，我们就找到了用f(x)的原函数（即满足F(x)f(x)）的数值差F(b)F(a)来计算f(x)在[a,b]上的定积分的方法。

注：1：定理 如果函数F(x)是[a,b]上的连续函数f(x)的任意一个原函数，则

baf(x)dxF(b)F(a)

证明：因为(x)=xaf(t)dt与F(x)都是f(x)的原函数，故 F(x)-(x)=C（axb）

其中C为某一常数。

令xa得F(a)-(a)=C，且(a)=

aaf(t)dt=0 即有C=F(a)，故F(x)=(x)+F(a)

 (x)=F(x)-F(a)=f(t)dt

ax令xb，有f(x)dxF(b)F(a)

ab此处并不要求学生理解证明的过程

为了方便起见，还常用F(x)|ba表示F(b)F(a)，即

baf(x)dxF(x)|baF(b)F(a)

该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果。

例3．汽车以每小时32公里速度行驶，到某处需要减速停车。设汽车以等减速度a=1.8米/秒刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？

2321000米

3600/秒8.88米/秒,刹车后汽车减速行驶,其速度为v(t)=v0at=8.88-1.8t当汽车停住时,速度v(t)=0,故从8.884.93秒 v(t)=8.88-1.8t=0解得t=1.8解:首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间。当t=0时，汽车速度v0=32公里/小时=于是在这段时间内,汽车所走过的距离是

s4.930v(t)dt4.9301(8.881.8t)dt=(8.881.8t2)21.90米,即在刹车后,汽车需走过

204.9321.90米才能停住.微积分基本定理揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时它也提供了计算定积分的一种有效方法．微积分基本定理是微积分学中最重要的定理，它使微积分学蓬勃发展起来，成为一门影响深远的学科，可以毫不夸张地说，微积分基本定理是微积分中最重要、最辉煌的成果．