福州艺术生文化培训全封闭特训2014届高考数学第十三章 算法初步、推理与证明、复数13.3 直接证明与间接证明[精选五篇]

第一篇：福州艺术生文化培训全封闭特训2014届高考数学第十三章 算法初步、推理与证明、复数13.3 直接证明与间接证明

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13.3 直接证明与间接证明

一、选择题

1.“所有9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故该奇数是3的倍数.”上述推理()

A 小前提错B 结论错

C 正确D 大前提错

解析 大前提，小前提都正确，推理正确，故选C.答案 C

2．在用反证法证明命题“已知a、b、c∈(0,2)，求证a(2－b)、b(2－c)、c(2－a)不可能都大于1”时，反证时假设正确的是()

A．假设a(2－b)、b(2－c)、c(2－a)都小于

1B．假设a(2－b)、b(2－c)、c(2－a)都大于

1C．假设a(2－b)、b(2－c)、c(2－a)都不大于

1D．以上都不对

解析 “不可能都大于1”的否定是“都大于1”，故选B.答案 B

3．下列命题中的假命题是()．

A．三角形中至少有一个内角不小于60°

B．四面体的三组对棱都是异面直线

C．闭区间[a，b]上的单调函数f(x)至多有一个零点

D．设a，b∈Z，若a＋b是奇数，则a，b中至少有一个为奇数

解析 a＋b为奇数⇔a，b中有一个为奇数，另一个为偶数，故D错误． 答案 D

4．命题“如果数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，那么数列{an}一定是等差数列”是否成立()．

A．不成立B．成立C．不能断定D．能断定 解析 ∵Sn＝2n2－3n，∴Sn－1＝2(n－1)2－3(n－1)(n≥2)，∴an＝Sn－Sn－1＝4n－5(n＝1时，a1＝S1＝－1符合上式)．

又∵an＋1－an＝4(n≥1)，∴{an}是等差数列．

答案 B

1115．设a、b、c均为正实数，则三个数a＋b＋c＋)． bca

A．都大于2B．都小于

2C．至少有一个不大于2D．至少有一个不小于2 解析 ∵a＞0，b＞0，c＞0，11111a＋b＋c＋a＋b＋＋＋＝＋＋ ∴bcaab

1c＋≥6，c

当且仅当a＝b＝c＝1时，“＝”成立，故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2.答案 D

6．设a＝lg 2＋lg 5，b＝ex(x＜0)，则a与b大小关系为()

A．a＞b

C．a＝bB．a＜bD．a≤b

解析 ∵a＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1，而b＝ex＜e0＝1，故a＞b.答案 A

7．定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质：(n＋1)*1＝n*1＋1，则n*1＝()．

A．nB．n＋1C．n－1D．n2

解析 由(n＋1)*1＝n*1＋1，得n*1＝(n－1)*1＋1＝(n－2)*1＋2＝„＝n.答案 A

二、填空题

8.用反证法证明命题“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为.解析 由反证法的定义可知，否定结论，即“a，b中至少有一个能被3整除”的否定是“a，b都不能被3整除”.答案 a、b都不能被3整除

9．要证明“3＋7＜25”可选择的方法有以下几种，其中最合理的是________(填序号)．

①反证法，②分析法，③综合法．

答案 ②

10．设a，b是两个实数，给出下列条件：

①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是______．(填序号)

12解析 若a＝b＝a＋b>1，2

3但a<1，b<1，故①推不出；

若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②推不出；

若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2>2，故④推不出；

若a＝－2，b＝－3，则ab>1，故⑤推不出；

对于③，即a＋b>2，则a，b中至少有一个大于1，反证法：假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2与a＋b＞2矛盾，因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.答案 ③

11．如果aa＋bb＞b＋a，则a、b应满足的条件是________． 解析 首先a≥0，b≥0且a与b不同为0.要使aa＋bb＞b＋a，只需(aa＋bb)2＞(ab＋ba)2，即a3＋b3＞a2b＋ab2，只需(a＋b)(a2－ab＋b2)＞ab(a＋b)，只需a2－ab＋b2＞ab，即(a－b)2＞0，只需a≠b.故a，b应满足a≥0，b≥0且a≠b.答案 a≥0，b≥0且a≠b

12．若a，b，c是不全相等的正数，给出下列判断：

①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；

②a>b与a

③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．

其中判断正确的是_______．

解析①②正确；③中a≠c，b≠c，a≠b可能同时成立，如a＝1，b＝2，c＝3.选C.答案 ①②

三、解答题

13．在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，113a＋bb＋ca＋b＋c试问A，B，C是否成等差数列，若不成等差数列，请说明理由．若成等差数列，请给出证明．

解析 A、B、C成等差数列．

证明如下：

∵

∴

∴113＋＝，a＋bb＋ca＋b＋ca＋b＋ca＋b＋c＋＝3.a＋bb＋cc

a＋bb＋c＋a＝1，∴c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，∴b2＝a2＋c2－ac.在△ABC中，由余弦定理，得

a2＋c2－b2ac1cosB＝ 2ac2ac

2∵0°

|a|＋|b|14．已知非零向量a，b，且a⊥b，求证：2.|a＋b|证明 a⊥b⇔a·b＝0，|a|＋|b|要证2.|a＋b|只需证|a|＋|b2|a＋b|，只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2(a2＋2a·b＋b2)，只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2a2＋2b2，只需证|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，即(|a|－|b|)2≥0，上式显然成立，故原不等式得证．

15．若a、b、c是不全相等的正数，求证：

lga＋b2＋lgb＋c2＋lgc＋a2＞lg a＋lg b＋lg c.证明 ∵a，b，c∈(0，＋∞)，∴a＋b2ab＞0，b＋c2≥bc＞0，a＋c2ab＞0.又上述三个不等式中等号不能同时成立．

∴a＋bb＋cc＋a2·2·2＞abc成立．

上式两边同时取常用对数，a＋bb＋cc＋a＞lg(abc)，得lg222

∴lga＋b2＋lgb＋c2＋lgc＋a2＞lg a＋lg b＋lg c.16．(12分)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴有两个不同的交点，若f(c)＝0，且0＜x＜c时，f(x)＞0.1(1)证明：是f(x)＝0的一个根； a

a1(2)试比较与c的大小；

(3)证明：－2＜b＜－1.解析(1)证明 ∵f(x)的图象与x轴有两个不同的交点，∴f(x)＝0有两个不等实根x1，x2，∵f(c)＝0，∴x1＝c是f(x)＝0的根，c11又x1x2＝x2＝≠c，aaa

1∴是f(x)＝0的一个根． a

11(2)假设＜c，又＞0，aa

由0＜x＜c时，f(x)＞0，111知f＞0与f＝0矛盾，∴c，aaa

11又∵≠c，∴＞c.aa

(3)证明 由f(c)＝0，得ac＋b＋1＝0，∴b＝－1－ac.又a＞0，c＞0，∴b＜－1.二次函数f(x)的图象的对称轴方程为

bx1＋x2x2＋x21x＝－＝＜＝x2＝ 2a22a

b1即－＜.又a＞0，2aa

∴b＞－2，∴－2＜b＜－1.文章来源：福州五佳教育网 http:///yikao/(五佳教育艺考文化课集训，承诺保过本科线，打造福建省性价比最高的文化课集训)

第二篇：2014届高考数学(山东专用理科)一轮复习教学案第十二章算法初步、推理与证明、复数12.4直接证明与间接证明

12.4 直接证明与间接证明 考纲要求

1．了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．

2．了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点．

1．直接证明中最基本的两种证明方法是______和______．

2．综合法是利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立．综合法又叫________．

3．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)．分析法又叫________．

4．反证法：假设原命题______(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明________，从而证明了__________，这样的证明方法叫反证法． 应用反证法证明数学命题，一般有下面几个步骤：

第一步，分清命题“p→q”的__________；

第二步，作出与命题结论q相矛盾的假设____；

第三步，由p与q出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果；

第四步，断定产生矛盾结果的原因在于开始所作的假设q不真，于是原结论q成立，从而间接地证明了命题p→q为真．

1．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的()．

A．充分条件B．必要条件

C．充要条件D．等价条件

2．用反证法证明命题“三角形的三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设()．

A．三个内角都不大于60°

B．三个内角都大于60°

C．三个内角至多有一个大于60°

D．三个内角至多有两个大于60°

23．设t＝a＋2b，s＝a＋b＋1，则下列关于t和s的大小关系中正确的是()．

A．t＞sB．t≥s

C．t＜sD．t≤s

4．命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos 2θ”的证明：cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos 2θ过程应用了()．

A．分析法

B．综合法

C．综合法、分析法综合应用

D．间接证明法

5．因为某种产品的两种原料相继提价，所以生产者决定对产品分两次提价，现在有三种提价方案：

方案甲：第一次提价p%，第二次提价q%；

方案乙：第一次提价q%，第二次提价p%；

p＋qp＋q方案丙：第一次提价，第二次提价%，2

2其中p＞q＞0.比较上述三种方案，提价最多的是()．

A．甲B．乙

C．丙D．一样多

一、综合法

【例1】如图，四边形ABCD是正方形，PB⊥平面ABCD，MA⊥平面ABCD，PB＝AB＝2MA．求证：

(1)平面AMD∥平面BPC；(2)平面PMD⊥平面PBD． 方法提炼

1．综合法是“由因导果”，它是从已知条件出发，顺着推证，经过一系列的中间推理，最后导出所证结论的真实性．用综合法证明题的逻辑关系是：A⇒B1⇒B2⇒…⇒Bn⇒B(A为已知条件或数学定义、定理、公理，B为要证结论)，它的常见书面表达是“∵，∴”或“⇒”．

2．利用综合法证不等式时，是以基本不等式为基础，以不等式的性质为依据，进行推理论证的．因此，关键是找到与要证结论相匹配的基本不等式及其不等式的性质．

3．综合法是一种由因导果的证明方法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，这就是保证前提正确，推理合乎规律，才能保证结论的正确性．

请做演练巩固提升

1二、分析法

【例2】已知△ABC三边a，b，c的倒数成等差数列，证明：B为锐角． 方法提炼

1．分析法是“执果索因”，它是从要证的结论出发，倒着分析，逐渐地靠近已知． 2．用分析法证“若P，则Q”这个命题的模式是：

为了证明命题Q为真，这只需证明命题P1为真，从而有„„ 这只需证明命题P2为真，从而有„„ „„

这只需证明命题P为真．

而已知P为真，故Q必为真．

提醒：用分析法证题时，一定要严格按格式书写，否则极易出错．

3．在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用，根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P，若由P可以推出Q成立，就可以证明结论成立．一般情况下，用分析法寻找思路，用综合法完成证明．

请做演练巩固提升

4三、反证法

【例3】设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和．(1)求证：数列{Sn}不是等比数列；(2)数列{Sn}是等差数列吗？为什么？ 方法提炼

反证法是间接证明问题的一种常用方法，它不是从已知条件去直接证明结论，而是先否定结论，在否定结论的基础上进行演绎推理，导出矛盾，从而肯定结论的真实性．用反证法证明要把握三点：(1)反设：必须先否定结论，即肯定结论的反面；(2)归谬：必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证．推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实矛盾等，但推导出的矛盾必须是明显的；(3)结论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误，既然结

论的反面不成立，从而肯定了结论成立．

请做演练巩固提升

证明类问题中的新情景问题

【典例】设f(x)，g(x)，h(x)是R上的任意实数函数，如下定义两个函数(f∘g)(x)和(f·g)(x)：对任意x∈R，(f∘g)(x)＝f(g(x))，(f·g)(x)＝f(x)g(x)．则下列等式恒成立的是()．

A．((f∘g)·h)(x)＝((f·h)∘(g·h))(x)B．((f·g)∘h)(x)＝((f∘h)·(g∘h))(x)C．((f∘g)∘h)(x)＝((f∘h)∘(g∘h))(x)D．((f·g)·h)(x)＝((f·h)·(g·h))(x)

解析：((f·g)∘h)(x)＝(f·g)(h(x))＝f(h(x))g(h(x))

＝(f∘h)(x)(g∘h)(x)＝((f∘h)·(g∘h))(x)． 答案：B

答题指导：对于此类新情景下的新定义问题需要做好以下几点： 1．充分理解题意，理解定义是解题的关键．

2．若是选择、填空题建议以特例理解新定义，可以化难为易、化繁为简．

3．“按规则要求办事”，即新定义如何要求就如何去做，此法虽然可能会繁琐，但只要理解透彻，运算得当也能解决问题．

1．(2012浙江绍兴模拟)设a＝lg 2＋lg 5，b＝e(x＜0)，则a与b的大小关系为()． A．a＞bB．a＜b C．a＝bD．a≤b

2．(2012山师大附中模拟)用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为()．

A．a，b，c中至少有两个偶数

B．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数 C．a，b，c都是奇数 D．a，b，c都是偶数

3．若函数F(x)＝f(x)＋f(－x)与G(x)＝f(x)－f(－x)，其中f(x)的定义域为R，且f(x)不恒为零，则()．

A．F(x)、G(x)均为偶函数

B．F(x)为奇函数，G(x)为偶函数 C．F(x)与G(x)均为奇函数

D．F(x)为偶函数，G(x)为奇函数

x

4．已知a，b∈(0，＋∞)，求证：(a3+b)<(a2b)

133

122

.参考答案

基础梳理自测 知识梳理

1．综合法 分析法

2．顺推证法或由因导果法 3．递推证法或执果索因法

4．不成立 假设错误 原命题成立 条件和结论 q 基础自测 1．A 2．B

3．D 解析：∵s－t＝a＋b2＋1－a－2b＝(b－1)2≥0，∴s≥t.4．B 解析：因为证明过程是“从左往右”，即由条件⇒结论． 5．C 解析：设产品的原价为a，则按方案甲可得提价后的价格为A＝a(1＋p%)·(1＋q%)；按方案乙可得提价后的价格为B＝a(1＋q%)(1＋p%)＝A；按方案丙可得提价后的价格为

p＋qp＋q

C＝a1＋1＋

22p＋q2

＝a1＋%，2

p＋q2a

则C－B＝a1＋－a(1＋p%)(1＋q%)＝(p%－q%)2＞0，故应选C.42

考点探究突破

【例1】证明：(1)因为PB⊥平面ABCD，MA⊥平面ABCD，所以PB∥MA.因为PB⊂平面BPC，MA平面BPC，所以MA∥平面BPC.同理，DA∥平面BPC.又MA⊂平面AMD，AD⊂平面AMD，MA∩AD＝A，所以平面AMD∥平面BPC.(2)连接AC，设AC∩BD＝E，取PD的中点F，连接EF，MF

.因为四边形ABCD为正方形，所以E为BD的中点． 因为F为PD的中点，所以EFPB.21

又AM∥PB，所以四边形AEFM为平行四边形． 所以MF∥AE.因为PB⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，所以PB⊥AE.所以MF⊥PB.因为四边形ABCD为正方形，所以AC⊥BD.所以MF⊥BD.所以MF⊥平面PBD.又MF⊂平面PMD，所以平面PMD⊥平面PBD.【例2】证明：要证明B为锐角，根据余弦定理，a2＋c2－b2

也就是证明cos B＝0，2ac

即需证a2＋c2－b2＞0.由于a2＋c2－b2≥2ac－b2，要证a2＋c2－b2＞0.只需证2ac－b＞0.∵a，b，c的倒数成等差数列，112

∴，即2ac＝b(a＋c)． acb

∴要证2ac－b2＞0，只需证b(a＋c)－b2＞0，即证b(a＋c－b)＞0.上述不等式显然成立． ∴B必为锐角．

【例3】(1)证明：若{Sn}是等比数列，则S22＝S1·S3，即a12(1＋q)2＝a1·a1(1＋q＋q2)，∵a1≠0，∴(1＋q)2＝1＋q＋q2，解得q＝0，这与q≠0相矛盾，故数列{Sn}不是等比数列．

(2)解：当q＝1时，{Sn}是等差数列．

当q≠1时，{Sn}不是等差数列．假设q≠1时，S1，S2，S3成等差数列，即2S2＝S1＋S3，2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q)．

由于a1≠0，∴2(1＋q)＝2＋q＋q2，即q＝q2，∵q≠1，∴q＝0，这与q≠0相矛盾．

综上可知，当q＝1时，{Sn}是等差数列；当q≠1时，{Sn}不是等差数列． 演练巩固提升

1．A 解析：∵a＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1，而b＝ex＜e0＝1，故a＞b.2．B 解析：“恰有一个偶数”的对立面是“没有偶数或至少有两个偶数”．

3．D 解析：由F(x)＝f(x)＋f(－x)，G(x)＝f(x)－f(－x)知F(x)＝F(－x)，G(－x)＋G(x)＝0.4．证明：因为a，b∈(0，＋∞)，要证原不等式成立，只需证[(ab)]<[(ab)]即证(a3＋b3)2＜(a2＋b2)3，即证a6＋2a3b3＋b6＜a6＋3a4b2＋3a2b4＋b6，只需证2a3b3＜3a4b2＋3a2b4.因为a，b∈(0，＋∞)，所以即证2ab＜3(a2＋b2)．

而a2＋b2≥2ab,3(a2＋b2)≥6ab＞2ab成立，所以(ab)<(ab).133

122

1336

1226，

第三篇：2014年高考数学重点知识点： 直接证明与间接证明（本站推荐）

一、选择题

1．(2012·张家口模拟)分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证b－ac<3a”索的因应是()

A．a－b>0

C．(a－b)(a－c)>0B．a－c>0 D．(a－b)(a－c)<0 b－ac<3a⇔b2－ac<3a

2⇔(a＋c)2－ac<3a2

⇔a2＋2ac＋c2－ac－3a2<0

⇔－2a2＋ac＋c2<0

⇔2a2－ac－c2>0

⇔(a－c)(2a＋c)>0⇔(a－c)(a－b)>0.答案：C

2．要证：a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明()

A．2ab－1－ab≤0

a＋b2C.－1－a2b2≤0222a4＋b4B．a＋b－1－≤0 222D．(a2－1)(b2－1)≥0

解析：因为a2＋b2－1－a2b2≤0⇔(a2－1)(b2－1)≥0.答案：D

3．用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理数根，那么a、b、c中至少有一个是偶数．用反证法证明时，下列假设正确的是()

A．假设a、b、c都是偶数

B．假设a、b、c都不是偶数

C．假设a、b、c至多有一个偶数

D．假设a、b、c至多有两个偶数

解析：“至少有一个”的否定“都不是”．

答案：B

4．设a＝lg 2＋lg 5，b＝ex(x＜0)，则a与b大小关系为()

A．a＞b

C．a＝bB．a＜b D．a≤b

解析：∵a＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1，而b＝ex＜e0＝1，故a＞b.答案：A

5．已知函数y＝f(x)的定义域为D，若对于任意的x1，x2∈D(x1≠x2)，都有

x＋xfx＋fxf()<，则称y＝f(x)为D上的凹函数．由此可得下列函数中的凹函数为()2

2A．y＝log2x

C．y＝x2B．y＝x D．y＝x

3解析：可以根据图象直观观察；对于C证明如下：

x1＋x2fx1＋fx2欲证f 22

x1＋x22x1＋x22即证<即证(x1＋x2)2<2x21＋2x2.22

即证(x1－x2)2>0.显然成立．故原不等式得证．

答案：C

二、填空题

6．(2012·肇庆模拟)已知点An(n，an)为函数y＝x＋1图象上的点，Bn(n，bn)为函数y＝x图象上的点，其中n∈N*，设cn＝an－bn，则cn与cn＋1的大小关系为________．

解析：由条件得cn＝an－bnn＋1－n＝

∴cn随n的增大而减小．

∴cn＋1

7．(2012·邯郸模拟)设a，b是两个实数，给出下列条件：

①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是______．(填序号)

12解析：若a＝，ba＋b>1，2

3但a<1，b<1，故①推不出；

若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②推不出；

若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2>2，故④推不出；

若a＝－2，b＝－3，则ab>1，故⑤推不出；

对于③，即a＋b>2，则a，b中至少有一个大于1，反证法：假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2与a＋b＞2矛盾，因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.答案：③

三、解答题

8．在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若113，a＋bb＋ca＋b＋c1 n＋1＋n2

2试问A，B，C是否成等差数列，若不成等差数列，请说明理由．若成等差数列，请给出证明．

解：A、B、C成等差数列．

证明如下：

∵

∴

∴113＋ a＋bb＋ca＋b＋ca＋b＋ca＋b＋c＝3.a＋bb＋cca＋1，a＋bb＋c

∴c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，∴b2＝a2＋c2－ac.在△ABC中，由余弦定理，得

a2＋c2－b2ac1cosB＝＝，2ac2ac

2∵0°

9．已知{an}是正数组成的数列，a1＝1，且点an，an＋1)(n∈N*)在函数y＝x2＋1的图象上．

(1)求数列{an}的通项公式；

2(2)若数列{bn}满足b1＝1，bn＋1＝bn＋2an，求证：bn·bn＋2

故an＝1＋(n－1)×1＝n.(2)由(1)知，an＝n，从而bn＋1－bn＝2n.bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋„＋(b2－b1)＋b1

＝2n－1＋2n－21－2n

＋„＋2＋1＝＝2n－1.1－2

＋＋nn2因为bn·bn＋2－b2－1)－(2n1－1)2 n＋1＝(2－1)(2

＝(22n2－2n2－2n＋1)－(22n2－2·2n1＋1)＋＋＋＋

＝－2n<0，所以bn·bn＋2

解：f(a)＋f(c)>2f(b)．

证明如下：因为a，b，c是不相等的正数，所以a＋cac.因为b2＝ac，所以ac＋2(a＋c)>b2＋4b.即ac＋2(a＋c)＋4>b2＋4b＋4.从而(a＋2)(c＋2)>(b＋2)2.因为f(x)＝log2x是增函数，所以log2(a＋2)(c＋2)>log2(b＋2)2.即log2(a＋2)＋log2(c＋2)>2log2(b＋2)． 故f(a)＋f(c)>2f(b)．

第四篇：福州艺术生文化培训全封闭特训2014届高考数学第一章 集合与常用逻辑用语 1.1 集合的概念与运算

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1.1 集合的概念与运算

一、选择题

1．已知集合A＝{(x，y)|x，y是实数，且x＋y＝1}，B＝{(x，y)|x，y是实数，且y＝x}，则A∩B的元素个数为()．

A．0B．1C．2D．

3解析 集合A表示圆x＋y＝1上的点构成的集合，集合B表示直线y＝x上的点构成的集合，可判定直线和圆相交，故A∩B的元素个数为2.答案 C

2．集合M＝{a，b}，N＝{a＋1,3}，a，b为实数，若M∩N＝{2}，则M∪N＝()

A．{0,1,2}B．{0,1,3}

C．{0,2,3}D．{1,2,3} 222

2解析：∵M∩N＝2，∴2∈M,2∈N.∴a＋1＝2，即a＝1.又∵M＝{a，b}，∴b＝2.∴A∪B＝{1,2,3}．

答案：D

3．设集合M＝{1,2}，N＝{a}，则“a＝1”是“N⊆M”的()．

A．充分不必要条件

C．充分必要条件

222B．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 解析 若N⊆M，则需满足a＝1或a＝2，解得a＝±1或a2.故“a＝1”是“N⊆M”的充分不必要条件．

答案 A

4．图中的阴影表示的集合是（）

A．(∁UA)∩B

C．∁U(A∩B)B．(∁UB)∩A D．∁U(A∪B)

解析：阴影部分在集合B中而不在集合A中，故阴影部分可表示为(∁UA)∩B.答案：A

5．设集合M＝{(x，y)|x＋y＝1，x∈R，y∈R}，N＝{(x，y)|x－y＝0，x∈R}，y∈R，则集合M∩N中元素的个数为()．

A．1B．2C．3D．

4解析(数形结合法)x＋y＝1表示单位圆，y＝x表示开口方向向上的抛物线，画出二者的222222

图形，可以看出有2个交点，故选

B.答案 B

【点评】 本题画出方程的曲线，立即得到正确的答案，避免了计算求解，提高了解题速度.6．已知A＝{1,2,3}，B＝{x∈R|x－ax＋1＝0，a∈A}，则A∩B＝B时a的值是()

A．2

B．2或3 D．1或2

22C．1或3解析：由题意得，当a＝1时，方程x－ax＋1＝0无解，集合B＝∅，满足题意；当a＝2时，方程x－ax＋1＝0有两个相等的实根1，集合B＝{1}，满足题意；当a＝3时，方程x－ax＋1＝0有两个不相等的实根3＋53－5353－5，B＝{}，不满足题意．所222222

以满足A∩B＝B的a的值为1或2.答案：D

7．已知集合A＝{x|x＝a＋(a－1)i}(a∈R，i是虚数单位)，若A⊆R，则a＝()．

A．1B．－1C．±1D．0

解析 ∵A⊆R，∴A中的元素为实数，所以a－1＝0，即a＝±1.答案 C

二、填空题

8．已知集合A＝{－1,1,2,4}，B＝{－1,0,2}，则A∩B＝________.解析 A∩B＝{－1,1,2,4}∩{－1,0,2}＝{－1,2}．

答案 {－1,2}

9．已知集合A＝{(0,1)，(1,1)，(－1,2)}，B＝{(x，y)|x＋y－1＝0，x，y∈Z}，则A∩B＝________.解析 A、B都表示点集，A∩B即是由A中在直线x＋y－1＝0上的所有点组成的集合，代入验证即可．

答案 {(0,1)，(－1,2)}

10．已知集合M＝{x|<0}，N＝{y|y＝3x＋1，x∈R}，则M∩N等于________． x－222x

2解析：M＝{x|0

答案：[1,2)

11．若全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}，则∁UA＝________.解析 ∁UA＝{x|x＜1}．

答案 {x|x＜1}

12．设A，B是非空集合，定义A*B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，已知A＝{x|0≤x≤3}，B＝{y|y≥1}，则A*B＝____________________.解析 由题意知，A∪B＝[0，＋∞)，A∩B＝[1,3]，∴A*B＝[0,1)∪(3，＋∞)．

答案 [0,1)∪(3，＋∞)

三、解答题

13．已知集合A＝{x|(x－2)(x－3a－1)<0}，函数y＝(1)若a＝2，求集合B；(2)若A＝B，求实数a的值．

4－x解：(1)当a＝2时，由>0得4

故集合B＝{x|4

(2)由题意可知，B＝{x|2aA＝{x|2

2a＝2又因为A＝B，所以2a＋1＝3a＋122a－xB.x－a2＋1，无解；

②若2＝3a＋1时，显然不合题意；

1③若2>3a＋1，即a

2a＝3a＋1又因为A＝B，所以2a＋1＝2，解得a＝－1.综上所述，a＝－1

2,14．设集合A＝{x2x－1，－4}，B＝{x－5,1－x,9}，若A∩B＝{9}，求A∪B.解 由9∈A，可得x＝9或2x－1＝9，解得x＝±3或x＝5.当x＝3时，A＝{9,5，－4}，B＝{－2，－2,9}，B中元素重复，故舍去；

当x＝－3时，A＝{9，－7，－4}，B＝{－8,4,9}，A∩B＝{9}满足题意，故A∪B＝{－7，－4，－8,4,9}；

当x＝5时，A＝{25,9，－4}，B＝{0，－4,9}，此时A∩B＝{－4,9}与A∩B＝{9}矛盾，故舍去．

综上所述，A∪B＝{－8，－4,4，－7,9}． 2

15．A＝{x|－2＜x＜－1或x＞1}，B＝{x|a≤x＜b}，A∪B＝{x|x＞－2}，A∩B＝{x|1＜x＜3}，求实数a，b的值．

解 ∵A∩B＝{x|1＜x＜3}，∴b＝3，又A∪B＝{x|x＞－2}，∴－2＜a≤－1，又A∩B＝{x|1＜x＜3}，∴－1≤a＜1，∴a＝－1.16．设集合A＝{x|x＋4x＝0，x∈R}，B＝{x|x＋2(a＋1)x＋a－1＝0，a∈R，x∈R}，若222

B⊆A，求实数a的取值范围．

思路分析 本题体现了分类讨论思想，应对集合B中所含元素个数分类讨论．

解 ∵A＝{0，－4}，∴B⊆A分以下三种情况：

(1)当B＝A时，B＝{0，－4}，由此知0和－4是方程x＋2(a＋1)x＋a－1＝0的两个根，22Δ＝4a＋1－4a－1＞0，由根与系数之间的关系，得－2a＋1＝－4，a2－1＝0，222 2解得a＝1.(2)当∅≠BA时，B＝{0}或B＝{－4}，并且Δ＝4(a＋1)－4(a－1)＝0，解得a＝－1，此

时B＝{0}满足题意．

(3)当B＝∅时，Δ＝4(a＋1)－4(a－1)＜0，解得a＜－1.综上所述，所求实数a的取值范围是(－∞，－1]∪{1}．

【点评】 分类讨论思想是一种重要的数学思想方法，是历年来高考考查的重点，其基本思路是将一个复杂的数学问题分解或分割成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略.文章来源：福州五佳教育网 http:///yikao/(五佳教育艺考文化课集训，承诺保过本科线，打造福建省性价比最高的文化课集训)

第五篇：海南省文昌中学高中数学 算法初步,复数,常用逻辑用语,推理与证明测试题

海南省文昌中学高中数学测试题：算法初步,复数,常用逻辑用语,推理与证明

一、选择题（12×5＝60分）

1、复数1+2=()2i

(A)1+2i(B)1-2i(C)-1(D)

32、设m,n是整数，则“m,n均为偶数”是“m+n是偶数”的()

(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件

(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件

3、设复数z满足1zi，则|1z|=（）1z

A.0B.1C.2D.2m1ni，其中m，n是实数，i是虚数单位，则mni（）1i

A．12iB． 12iC．2iD．2i

122x

5、有四个关于三角函数的命题: p1:x,yR;sinxcos2

2sinx p2:x,yR;sin(xy)sinxsiny ；p3:x[0,];

4、已知

2A,p1,p4B,p2,p4C,p1,p3D,p2,p36、在复平面内，复数zsin2icos2对应的点位于()

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

7、如下面的图,框图表示的程序所输出的结果是（）

（A）3（B）12（C）60（D）3608、下面的程序框图，如果输入三个实数a、b、c，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（）

A.c > xB.x > cC.c > bD.b > c 1

9、右边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，121称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a所表示 1331的数是（）14a41(A)2(B)4(C)6(D)8 151010

51p4:sinxcosyxy, 其中是假命题的是()

第(7)题图

第(8)题图

3an，那么根据归纳推理可得数列的通项公式()3an

2332n1A,B,C,D, 2 n1nn22n1n2

11、平面向量a，b共线的充要条件是（）

10、已知数列{an}中，a11,an1

A.a，b方向相同

C.R，ba B.a，b两向量中至少有一个为零向量

D.存在不全为零的实数1，2，1a2b0

12、已知平面α⊥平面β，α∩β= l，点A∈α，Al，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（）．．．

A.AB∥mB.AC⊥mC.AB∥βD.AC⊥β

二、填空题（4×5＝20分）

13、若复数z1a2i, z234i，且

14、若xy2z1为纯虚数，则实数a的值为。z

20，则x0且y0的逆否命题_____________________________

15、设zC，且|zi||z1|，则复数z在平面直角坐标系中对应的点的轨迹方程为

___________________________________。zi的最小值为________________。

16、蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图.其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n幅图的蜂巢总数.则 f(4)__________;f(n)=________________

三、解答题（4×10＝40分）

17、在△ABC中，三个内角A,B,C对应的边分别为a, b,c.且A,B,C成等差数列，a, b,c成等比数列。求证：△ABC为等边三角形。

18、已知复数z1m(4m2)i(mR)，z22Cos(3Sin)i

(,R)，并且z1z2，求的取值范围。

19、已知{a*

n}是正数组成的数列，a1=

1，且点an1)(nN)在函数

y=x2+1的图象上.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；

(Ⅱ)若列数{ba

2n}满足b11,bn1bn2n，求证：bnbn2bn1.20、设p：实数x满足x24ax3a20，其中a0，q：实数x满足x2x60

或x22x80，且p是q的必要不充分条件，求a的取值范围。

高中数学测试题

（八）答案

一，CACCABDACC DD

二，13，814，若x0或y0，则xy20

315，y

x，16，f(4)=37;f(n)3n23n1 三，17，证明：有A,B,C成等差数列，有2B＝A+C,①

∵A,B,C为△ABC的内角，∴ A＋B＋C＝,②∴由①②得，B

由a, b,c23。③ 成等比数列，有bac。④由余弦定理以及③式可得，b2a2c22acCos2B2a，再由④式可得，caca2c2acac

即(ac)20，因此ac，从而有A＝C,⑤由②③⑤可得

ABC

18，由z13，所以△ABC为等边三角形。z2，可得m2Cos，①4m23Sin，②

2由①②可得：44Cos3Sin 即化简4Sin23Sin 32939即4(sin)∴当Sin时，min 816816

当sin1时，max7，故[9,7]。16

19，（Ⅰ）由已知得an+1=an+

1、即an+1-an=1，又a1=1,所以数列｛an｝是以1为首项，公差为1的等差数列.故an=1+(a-1)×1=n.(Ⅱ)由（Ⅰ）知：an=n从而bn+1-bn=2.n

bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+···+（b2-b1）+b1

=2+2+···+2+1n-1n-2

12n

＝12=2n-1.因为bnn+2n-1

n·bn+2-b2

n1=(2-1)(2-1)-(2-1)2

=(22n+2-2n+2-2n+1)-(22n+2-2-2n+1-1)

=-5·2n+4·2n

=-2n＜0,所以bn·bn+2＜b2

n1,20，设A{x︱x24ax3a20(a0)}＝{x︱3axa(a0)}

B{x︱x2x60或x22x80}

＝{x︱2x3}∪{x︱x4或x2}＝{x︱x4或x2} ∵p是q的必要不充分条件，∴qp且p推不出q

∴CRBCRA，∵CRB{x︱4x2}

CRA＝{x︱x3a或xa}

则有a4且a0①或3a2且a0②

所以a4或2

3a0。