数列的性质证明（共5篇）

第一篇：数列的性质证明

只有三种形式:

x(n)=x(n-1)+F(F是关于N的函数)用累加法

x(n)/x(n-1)=G(G是关于N的函数)用累积法

x(n)=Ax(n-1)+B

x(n)取倒数后是上述情况

等差数列an依次每项k之和仍为等差数列,其公差为原公差的k^2倍,即数列Sk,S2k-Sk,S3k-S2k也为等差数列

对此条性质进行证明Sk=ka1+k(k-1)d/2

S2k=2ka1+2k(2k-1)d/2

S3k=3ka1+3k(3k-1)d/2

S2k-Sk=ka1+k(3k-1)d/2

S3k-S2k=ka1+k(5k-1)d/2

(S2k-Sk）-Sk=k^2*d

(S3k-S2k)-(S2k-Sk）=k^2*d

所以

等差数列an依次每项k之和仍为等差数列,其公差为原公差的k^2倍,即数列Sk,S2k-Sk,S3k-S2k也为等差数列

证明.项数为奇数2n-1的等差数列｛an｝有(1)S奇－S偶＝an

(2)s奇／S偶＝n/n-1.证明：由题意令此数列公差为d，则:a(n+1)-an=d,即an-a(n+1)=d

又由通项公式得：a(2n-1)=a1+(2n-2)d=an+(n-1)d

S奇－S偶＝(a1-a2)+(a3-a4)+...+(a(2n-3)-a(2n-2))+a(2n-1)

=(n-1)*(-d)+an+(n-1)d

=an

求前2n-1项和得：S(2n-1)=S奇+S偶＝(2n-1)[a1+a(2n-1)]/2

又a1+a(2n-1)=2an,则：

S奇+S偶＝(2n-1)*an=(2n-1)*(S奇-S偶)

即：2nS奇＝(2n-2)S偶

所以：s奇／S偶＝2n/（2n-2)=n/(n-1)

证明.项数为偶数2n的等差数列｛an｝有(1)S奇－S偶＝nd,(2)s奇／S偶＝an/an+1

(3)S2n=n(a1+a2n)=~~~=n(an+an+1)

[an与an+1为中间两项】

证明：（1）S奇=a1+a3+…+a(2n-1)，共n项(2n-1为下标）

S偶=a2+a4+…+a2n，共n项(2n为下标）

S偶－S奇=(a2-a1)+(a4-a3)+…+[a2n-a(2n-1)]=nd

(2)S奇=A1+A3+A5+……+A(2n-3)+A(2n-1)

S偶=A2+A4+A6+……+A(2n-2)+A2n

如果n为奇数

A1+A(2n-1)=A3+A(2n-3)=……=A(n-2)+A(n+2)=2An

A2+A2n=A4+A(2n-2)=……=A(n-1)+A(n+3)=2A(n+1)

S奇=nAn

S偶=nA(n+1)

S奇/S偶=An/A(n+1)

如果n为偶数

A1+A(2n-1)=A3+A(2n-3)=……=A(n-1)+A(n+1)=2An

A2+A2n=A4+A(2n-2)=……=An+A(n+2)=2A(n+1)

S奇=nAn

S偶=nA(n+1)

S奇/S偶=An/A(n+1)

(3)项数为偶数，所以都可以配对，共有N对

p,q,r,s为下标，当p+q=r+s时，有ap+aq=ar+as,所以a1+a2n=a2+a2n-1=…=ak+a(2n-k+1)……=an+an+1,这n对的值都相等 所以S2n=n(a1+a2n)=……n(ak+a(2n-k+1)=……=n(an+an+1)

第二篇：数列证明

数列证明

1、数列{an}的前n项和记为Sn，已知a11,an1（Ⅰ）数列{

2、已知数列an的前n项和为Sn,Snn2Sn(n1,2,3).证明： nSn}是等比数列；

（Ⅱ）Sn14an.n1(an1)(nN).3（Ⅰ）求a1,a2；

（Ⅱ）求证数列an是等比数列。

3、已知数列{an}的前项和为Sn，且满足an2SnSn10n2a11。21

○1 求证：是等差数列

；○2求an的表达式；

Sn

4、在数列an中，a12，an14an3n1，（n∈N*）。

（Ⅰ）证明数列ann是等比数列；

（Ⅱ）求数列an的前n项和Sn；

5、设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1b11，a3b521，a5b313。

（Ⅰ）求{an}，{bn}的通项公式；

（Ⅱ）求数列

an的前n项和Sn bn 2

6、已知数列an中，Sn是其前n项和，并且Sn14an2(n1,2,),a11，⑴设数列bnan12an(n1,2,)，求证：数列bn是等比数列； ⑵设数列cnan,(n1,2,)，求证：数列cn是等差数列； n2⑶求数列an的通项公式及前n项和。

7、已知数列{an}的前n项和为Sn，且anSnSn1(n2,Sn0),a1

（Ⅰ）求证：数列{

2.91}为等差数列； Sn8、已知数列{an}满足a11，an12an1

（1）求证：{an1}是等比数列

（2）求an的表达式和Sn的表达式

9、数列an的前n项和为Sn，a11，an12Sn(nN*)．（Ⅰ）求数列an的通项an；（Ⅱ）求数列nan的前n项和Tn．

第三篇：数列证明

数列——证明

1．已知a13且anSn12，(1)证明 数列公式.nSn是等差数列；（2）求Sn及an的通项n2

112.已知等比数列an的公比为q=-.（1）若a3，求数列an的前n项和；（Ⅱ）证明：

42对任意kN，ak，ak2，ak1成等差数列。

3.已知等比数列an中，a11an11（1）sn为数列an前n项的和，证明：sn,q，332

（2）设bnlog3a1log3a2log3an，求数列bn的通项公式.4.成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn}中的b2、b4、b5(Ⅰ)求数列{bn}的通项公式；(Ⅱ)数列{bn}的前n项和为Sn，求证：数列{Sn是等比数列.5.在数列an中，a1=0，且对任意kN，a2k1,a2k,a2k+1成等差数列，其公差为2k.*54

（Ⅰ）证明a4,a5,a6成等比数列；（Ⅱ）求数列an的通项公式；

第四篇：第2课数列的性质（模版）

第2课数列的性质

(时间：90分钟满分：100分)

题型示例

三个互不相等的实数成等差数列，如果适当排列这三个数，又可成为等比数列，这三个数的和为6，求这三个数.分析三个数适当排列，不同的排列方法有6种，但这里不必分成6种，因为若以三个数中哪一个

数为等比中项，则只有三种情况，因此对于分类讨论问题，恰当的分类是解好问题的关键.解由已知，可设这三个数为a-d,a,a+d,则a-d+a+a+d=6,∴a=2,这三个数可表示为2-d,2,2+d,(1)若2-d为等比中项，则有(2-d)2=2(2+d),解之得d=6或d=0(舍去).此时三个数为：-4,2,8.(2)若2+d是等比中项，则有(2+d)2=2(2-d),解之得d=-6或d=0(舍去)，此时三个数为：8，2，-4.(3)若2为等比中项，则22=(2+d)·(2-d),∴d=0(舍去).综上可求得此三数为-4,2,8.点评此题给我们的启示是：数学解题既要精炼又要全面.一、选择题(8×3′＝24′)

1．下列各命题中，真命题是()

A．若｛an｝成等差数列，则｛|an|｝也成等差数列

B．若｛|an|｝成等差数列，则｛an｝也成等差数列

C．若存在自然数n,使得2an+1=an+an+2，则｛an｝一定是等差数列

D．若｛an｝是等差数列，对任何自然数n都有2an+1=an+an+

22．从{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}中任选3个不同的数使它们成等差数列，则这样的等差数列最多有

()

A.20个B.40个C.60个D.80个

3．若正数a、b、c依次成公比大于1的等比数列，则当x>1时，logax、logbx、logcx()

A.依次成等差数列B.依次成等比数列

C.各项的倒数依次成等差数列D.各项的倒数依次成等比数列

4．已知数列{an}，如果a1,a2-a1，a3-a2，…，an-an-1，…是首项为1，公比为1的等比数列，则an等于(n

3∈N)（）3131)B.(1n1)A.(12233n

2121(1)D.(1n1)3333n

15．等差数列{an}的公差为,S100=145,则a1+a3+a5+…+a99的值为()

2145A.60B.85C.D.75 2

6．已知数列前n项和Sn=2n-1(n∈N*)，则此数列奇数项的前n项和为()

11A.(2n11)B.(2n12)33

11C.(22n1)D.(22n2)33

7．正项等比数列｛an｝的首项a1=2-5，其前11项的几何平均数为25,若前11项中抽取一项后的几何平均

数仍是25,则抽去一项的项数为()

A.6B.7C.9D.11 C.1(a1a2)2

8．已知x、y为正实数，且x，a1,a2,y成等差数列，x,b1,b2,y成等比数列，则的取值范围是b1b

2()

A.RB.(0,4C.［4,+D.(-∞,0］∪［4,+∞)

二、填空题(4×3′＝12′)

9．等差数列｛an｝最初五项之和与其次五项之和的比为3∶4(n∈N*),则首项a1与公差d的比为.10．已知等比数列｛an｝的前n项和为Sn(n∈N)，若a3=3S2+2,a4=3S3+2,则公比q的值是11．12-22+32-42+52-62+…+992-100212．若一个等差数列前3项的和为34,最后3项的和为146，且所有项的和为390,则这个数

列有项.三、解答题(3×10′＋12′＋10′＝52′)

13．已知数列{an}的首项a1=a(a是常数且a≠-1),an=2an-1+1(n∈N*,n≥2).(1){an}是否是等差数列？若是，求出{an}的通项公式；若不是，说明理由;

(2)设bn=an+c(n∈N*,c是常数)，若{bn}是等比数列，求实数c的值，并求出{bn}的通项公式.14．设实数a≠0,且函数f(x)=a(x2+1)-(2x+

(1)求a的值;

(2)设数列｛an｝的前n项和Sn=f(n),令bn=

列.1)有最小值-1.aa2a4a2n,n=1，2,3…，证明数列｛bn｝是等差数n

3n217n15．若数列｛an｝的前n项和Sn=-(n∈N*)，求数列｛|an|｝的前n项和Tn.2

216．在某两个正数之间插入一个数a,则三数成等差数列，若插入二个数b,c,则四数成等

比数列.(1)求证:2a≥b+c;

(2)求证:(a+1)2≥(b+1)(c+1).1171317．已知数列{an}的通项公式an=n2n(n∈N*)4126

1(1)是否存在等于的项?为什么? 2

(2)此数列是否有相等的连续两项?若有，它们分别是哪两项;若没有，说明理由;

(3)此数列是否有值最小的项?为什么?

四、思考与讨论(12′)

18．在xOy平面上有点P1(a1,b1)，P2(a2,b2)，…，Pn(an,bn)，…，对每个自然数n，点Pn位于函数

ay=2000()x(0

(1)求点Pn的纵坐标bn的表达式；

(2)若对每个自然数n，以bn、bn+

1、bn+2为边长能构成一个三角形，求a的取值范围；

(3)设cn=lgbn(n∈N)．若a取(2)中确定的范围的最小整数，问数列{cn}前多少项的和最大?试说明理由．

参考答案

1．DA错，例如数列-3,-1,1，这样B也错，C应是对任意自然数n;D正是等差中项的性质.2．B由等差数列的概念知an-1+an+1=2an,所选的三个数只要首末两数之和为偶数，则该三数即可构成等差数列.因此，把所给的10个数分为1,3,5,7,9;2,4,6,8,10两组,分别任取两数，另一数自然确定，共有22A5=5×4×2=40个.故选B.3．Cb2=ac2lgblgalgc2lgblgalgc211.lgxlgxlgxlogbxlogaxlogcx

11()n=3(11)． 4．Aan=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)= n1231

35．AS100=(a1+a3+…+a99)+(a2+a4+…+a100)=145,又(a2+a4+…+a100)-(a1+a3+a5+…+a99)=50d

S奇S偶145则解得S奇=a1+a3+a5+…+a99=60.SS25偶奇

1(14n)12n(21).6．Can=2，奇数项构成公比为4的等比数列.∴Sn143n-

17．A(a11

1·q11+2+…+1011)=25q55=2110q=4.=25qx=2100x=50.1x1010抽取一项后，(a1·q)

抽出的项的q的指数为5，故是第6项.2(a1a2)2(xy)2(2xy)4xy8．C4.b1b2xyxyxy

9．13∶1a1a2a55a3a3a12d3a1∶d=13∶1.a6a7a105a8a8a17d

4①

② a33S2210．4 a3S234

②-①:a4-a3＝3（33－32）＝3a3，∴a4=4a3.11．-5050两项结合，利用平方差公式.a1a2a33412．13，∵a1+an=a2+an-1=a3+an-2，anan1an2146

∴34+146=3(a1+an),a1+an=60．∴390=n·60，∴n=13.213．解（1）∵a1=a(a≠-1),a2=2a+1,a3=2a2+1=2(2a+1)+1=4a+3,a1+a3=5a+3,2a2=4a+2.∵a≠-1,∴5a+3≠4a+2,即a1+a3≠2a2,故{an}不是等差数列.2(2)由{bn}是等比数列，得b1b3=b2

2,即(a+c)(4a+3+c)=(2a+1+c),化简得a-c-ac+1=0,即(a+1)(1-c)=0.∵a≠-1,∴c=1,∴b1=a+1,q=

∴bn=b1qn-1=(a+1)·2n-1.14．(1)解∵f(x)=a(x-b2=2.b1122)+a-有最小值-1.aa

12∴a>0,且f()=a-=-1.∴a=1或a=-2(舍)，∴a=1.aa

(2)证明由(1)知f(x)=x2-2x,∴Sn=n2-2n.∴n=1时，a1=S1=-1；n≥2时，an=Sn-Sn-1=(n2-2n)-［(n-1)2-2(n-1)］=2n-3.且a1=-1满足上式.∴an=2n-3,即｛an｝是首项为-1,公差为2的等差数列.∴bn=1241n(a2a2n)1n(14n3)(a+a+…+a2n)=·=·=2n-1.nnn22

∴bn+1-bn＝［2(n+1)-1］-(2n-1)=2.∴｛bn｝是等差数列.15．解n≥2时，an=Sn-Sn-1=10-3n..n=1时，a1=S1＝7满足上式，∴对n∈N*，an=10-3n.令10-3n>0,则n<10,∴a1>0,a2>0，a3>0,a4<0，… 3

3n217n(n3)22∴T（n）＝2.3n17n24(n4)22

mn2a① 216．证明(1)设原两数为m,n(m,n>0),则mcb ② 2③ nbc

由①知a>0,由②，③知b,c>0, b2c2

∴=m+n=2a2abc=b3+c3=(b+c)(b2+c2-bc)≥(b+c)(2bc-bc)=(b+c)bc,∴2a≥b+c.cb

mn(2)由①得a=≥mn=a2≥bc 2

a2bca2+2a≥bc+b+c(a+1)2≥bc+b+c+1=(b+1)(c+1).2abc

17．解(1)若数列中有等于11171312的项，则有an=n2-n+=,3n-17n+20=0 246212

51解得n=4或n=又n∈N则n=4,故数列的第4项等于.32

1113171317(2)an=n2-n+,an+1=(n+1)2-(n+1)+.46461212

若数列中有连续两项相等，则121713113717n-n+=(n+1)2-(n+1)+解得n=.464631212

由于n∈N,故不存在相等的连续两项.(3)an=117223(n-)+,故当n=3时an取最小值.46144

点评本题反映了数列的通项公式是关于项与它的序号的关系的式子，因此可运用方程思想，通过通项公式求出数列的各项或某一项所对应的项数.另外，运用函数观点理解数列，其通项公式亦可视为定义域为正整数集的函数解析式，于是可运用有关函数知识解决一些数列问题.18．解(1)由题意，可知an=11(n+n+1)=n+.22

1aan2∴bn=2000()an=2000()． 1010

ax)在(-∞,+∞)上为减函数，∴对每个正整数n，有bn>bn+1>bn+2． 10

aa∴以bn、bn+

1、bn+2为边能构成三角形的充要条件是bn+1+bn+2>bn，即+()2>1.1010(2)∵函数y=2000（解得a<-5(1+5)或a>5(-1).∵0

7n(3)易知a=7，则bn=2000()2.10

于是cn=lgbn=3+lg2+(n+11)lg0.7，且为递减数列． 2

由,解得n≤20.8∴n=20.因此，{cn}的前20项和最大．

第五篇：数列等比性质分析2013福建

数列等比性质分析2013福建

9．D5[2013·福建卷] 已知等比数列{an}的公比为q，记bn＝am(n－1)＋1＋am(n－1)＋2＋…＋am(n

*

－1)＋m，cn＝am(n－1)＋1·am(n－1)＋2·…·am(n－1)＋m(m，n∈N)，则以下结论一定正确的是()

mA．数列{bn}为等差数列，公差为q

2mB．数列{bn}为等比数列，公比为q

2C．数列{cn}为等比数列，公比为qm

mD．数列{cn}为等比数列，公比为qm

9．C [解析] 取an＝1，q＝1，则bn＝m，cn＝1，排除A，取a1＝1，q＝－1，m取正偶

cn＋1amn＋1·amn＋2·…·amn＋mmmm数，则bn＝0，排除B，＝＝q·q·…·q,sdo4(共cnam（n－1）＋1·am（n－1）＋2·…·am（n－1）＋m

m个))＝qm，故选C.2