数列等差证明2010江西理数

第一篇：数列等差证明2010江西理数

数列等差证明2010江西理数

2010江西理数）22.（本小题满分14分）

证明以下命题：

（1）对任一正整a,都存在整数b,c(b

（2）存在无穷多个互不相似的三角形△n，其边长an，bn，cn为正整数且an，bn，cn

成等差数列。

【解析】作为压轴题，考查数学综合分析问题的能力以及创新能力。

（1）考虑到结构要证ac2b，；类似勾股数进行拼凑。

证明：考虑到结构特征，取特值1,5,7满足等差数列，只需取b=5a，c=7a，对一切正整数a均能成立。

结合第一问的特征，将等差数列分解，通过一个可做多种结构分解的因式说明构成三角形，再证明互不相似，且无穷。

证明：当an，bn，cn成等差数列，则bnancnbn，分解得：(bnan)(bnan)(cnbn)(cnbn)

选取关于n的一个多项式，4n(n1)做两种途径的分解 ***22222

4n(n21)(2n2)(2n22n)(2n22n)(2n2)4n(n21)

ann22n1对比目标式，构造bnn21(n4)，由第一问结论得，等差数列成立，cn22n1n

考察三角形边长关系，可构成三角形的三边。

下证互不相似。

任取正整数m，n，若△m，△n相似：则三边对应成比例m22m1m21m22m1，n22n1n21n22n1

由比例的性质得：

m1m1mn，与约定不同的值矛盾，故互不相似。n1n1

第二篇：数列—等差、等比的证明

等差、等比数列的证明

1．数列{a327

n}的前n项和为Sn2n2

n（nN）．

（Ⅰ）证明：数列{an}是等差数列；（Ⅱ）若数列{bn}满足：anlog2bn，证明：数列{bn}是等比数列．

2．已知数列{a

n}的前n项和为Sn4an3(nN)，证明：数列{an}是等比数列．

3．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a11，Sn14an2（nN）．

（Ⅰ）证明：数列an

2n

为等差数列；（Ⅱ）证明：数列{an12an}为等比数列．

4．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足：

Sn2a2nn4n（nN），证明：数列{an2n1}为等比数列．

5．（2008北京文20）数列an满足：a11，a)a

n1(n2nn，（nN）是常数．（Ⅰ）当a21时，求及a3的值；

（Ⅱ）数列an是否可能为等差数列? 若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由；

6．设函数fxx2m，mR，定义数列{an}如下：

a10，an1f(an)（nN）．（Ⅰ）当m1时，求a2,a3,a4的值；

（Ⅱ）是否存在实数m，使a2,a3,a4构成公差不为0的等差数列? 若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

6．（2008湖北21）已知数列{an}和{bn}满足：a1，a2

n1

ann4，bnn(1)(an3n21)，其中为实数，nN．

（Ⅰ）证明：数列{an}不是等比数列；

（Ⅱ）试判断数列{bn}是否为等比数列，证明你的结论．

7．（2010安徽20）设数列{an}中的每一项都不为0． 证明：数列{an}为等差数列的充分必要条件是： 对任何nN，都有

111n

aa

a． 1a22a3anan11an1

8．（2011北京文、理20）

若数列An:a1,a2,,an(n2)满足

ak1ak1(k1,2,,n1)，则称An为E数列．

（Ⅰ）写出一个E数列A5满足a1a30；（Ⅱ）若a112，n2000，证明：

E数列An是递增数列的充要条件是an2011．

第三篇：数列证明

数列证明

1、数列{an}的前n项和记为Sn，已知a11,an1（Ⅰ）数列{

2、已知数列an的前n项和为Sn,Snn2Sn(n1,2,3).证明： nSn}是等比数列；

（Ⅱ）Sn14an.n1(an1)(nN).3（Ⅰ）求a1,a2；

（Ⅱ）求证数列an是等比数列。

3、已知数列{an}的前项和为Sn，且满足an2SnSn10n2a11。21

○1 求证：是等差数列

；○2求an的表达式；

Sn

4、在数列an中，a12，an14an3n1，（n∈N*）。

（Ⅰ）证明数列ann是等比数列；

（Ⅱ）求数列an的前n项和Sn；

5、设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1b11，a3b521，a5b313。

（Ⅰ）求{an}，{bn}的通项公式；

（Ⅱ）求数列

an的前n项和Sn bn 2

6、已知数列an中，Sn是其前n项和，并且Sn14an2(n1,2,),a11，⑴设数列bnan12an(n1,2,)，求证：数列bn是等比数列； ⑵设数列cnan,(n1,2,)，求证：数列cn是等差数列； n2⑶求数列an的通项公式及前n项和。

7、已知数列{an}的前n项和为Sn，且anSnSn1(n2,Sn0),a1

（Ⅰ）求证：数列{

2.91}为等差数列； Sn8、已知数列{an}满足a11，an12an1

（1）求证：{an1}是等比数列

（2）求an的表达式和Sn的表达式

9、数列an的前n项和为Sn，a11，an12Sn(nN*)．（Ⅰ）求数列an的通项an；（Ⅱ）求数列nan的前n项和Tn．

第四篇：数列证明

数列——证明

1．已知a13且anSn12，(1)证明 数列公式.nSn是等差数列；（2）求Sn及an的通项n2

112.已知等比数列an的公比为q=-.（1）若a3，求数列an的前n项和；（Ⅱ）证明：

42对任意kN，ak，ak2，ak1成等差数列。

3.已知等比数列an中，a11an11（1）sn为数列an前n项的和，证明：sn,q，332

（2）设bnlog3a1log3a2log3an，求数列bn的通项公式.4.成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn}中的b2、b4、b5(Ⅰ)求数列{bn}的通项公式；(Ⅱ)数列{bn}的前n项和为Sn，求证：数列{Sn是等比数列.5.在数列an中，a1=0，且对任意kN，a2k1,a2k,a2k+1成等差数列，其公差为2k.*54

（Ⅰ）证明a4,a5,a6成等比数列；（Ⅱ）求数列an的通项公式；

第五篇：等差等比数列的证明

专题：等差（等比）数列的证明

1.已知数列{a}中，anan15且2an12n1（n2且nN*）.an1（Ⅰ）证明：数列2n为等差数列；（Ⅱ）求数列{an}的前n

项和S.n

2.已知数列{a}中，an12且an1an2n30（n2且nN*）.证明：数列an2n为等差数列；

3.已知数列{a}中，an14且2an1an2n50（n2且nN*）.证明：数列an2n1为等比数列；

4．数列{an}满足a12,a25,an23an12an.（1）求证：数列{an1an}是等比数列；（2）求数列{an}的通项公式；

5.已知各项均为正数的数列an前n项和为

1a且n是和S2Sn，首项为a1，n的等差中项.求数列a的通项公式； n

6.已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的n∈N*有an＋Sn＝

n.(1)设bn＝an－1，求证：数列{bn}是等比数列； 7.设数列an的各项都是正数，且对任意

nN*，都有

aaaaS

为数列的前n项和.3132333n2n，其中S

n

（I）求证：

a2Snan;

n

（II）求数列an的通项公式；

8.数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)，a(1)设bn＝an＋1－2an，求证：{bn}是等比数列；（2）.证明数列{n－2}

是等差数列

(3)设cn＝

9.已知正项数列{an}的前n项和Sn满足 2Sn＝an＋1.求证：{an}是等差数列．

10.设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，a{cn}是等比数列． 3n－1

Sn*

an＝2(n－1)(n∈N)．

n

(1)

求证：数列{an}为等差数列,并求{an}的通项公式；

(2)求数列{的前n项和Tn，an·an+1

11.设Sn是数列{an}（nN*）的前n项和，已知a14，an1Sn3n，设bnSn3n.（Ⅰ）证明：数列{bn}是等比数列，并求数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）令cn

12.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1，an＋2SnSn1＝0(n2)． 问：数列{1是否为等差数列？并证明你的结论；

Sn

2log2bn

n

2，求数列{cn}的前n项和Tn.bn

13.已知等差数列{an}的公差大于0，且a3，a5是方程x214x450的两根，数列{bn}的前n项的和为Sn，且Sn=

an·bn。求数列{an}，{bn}的通项公式；

1bn

(n∈N*),Cn=

14.已知数列{an}与{bn}满足

n1

3＋－1

bn＋1an＋bnan＋1＝(－2)n＋1，bn＝n∈N*，且a1＝2.－

设cn＝a2n＋1－a2n－1，n∈N*，证明{cn}是等比数列

15.已知在正项数列{an}中，a1＝2，点An(an，an＋1)在双曲线y－x＝1上，数列{bn}中，点(bn，Tn)在直线y＝－x＋1上，其

中Tn是数列{bn}的前n项和．

(1)求数列{an}的通项公式；(2)求证：数列{bn}是等比数列；