第一篇:等差、等比数列证明的几种情况
等差、等比数列证明的几种情况
在高中数学教材中,对等差,等比数列作了如下的定义:一个数列从第二项起,每一项与前一项的差等于一个常数d,则这个数列叫等差数列,常数d称为等差数列的公差。一个数列从第二项起,每一项与前一项的比等于一个常数q,则这个数列叫等比数列,常数q称为等比数列的公比。在涉及到用定义来说明一个数列为等差数列或等比数列时,很多时候往往容易忽略定义的完整性,现举一些例子来加以说明。
1、简单的证明
例 :已知数列前n项和snn22n,求通项公式an,并说明这个
数列是否为等差数列。
解:n1时,a1s1123;
n2时,ansnsn1n22nn122n1
2n
1因为n1时,a1211
3所以an2n1
因为n2时,anan12为常数,所以an为等差数列。
2、数列的通项经过适当的变形后的证明
例: 设数列an的前n项的和为Sn,且a11,Sn14an2,nN*。
(1)设bnan12an,求证:数列bn是等比数列;
(2)设cnan,求证:数列cn是等差数列; 2n
证明:(1)n2时
an1Sn1Sn4an4an1,an12an2an2an1,bn2bn
1又b1a22a1S23a1a12
3bn是首项为3,公比为2的等比数列。
(2)bn32n1,an12an32n1,cn1cnan1an113n1a2a32, n1n42n12n2n12n1
又c1a11,2
213cn是首项为,公差为的等差数列。243、证明一个数列的部分是等差(等比)数列
例3:设数列an的前n项的和Snn22n4,nN,⑴写出这个数列的前三项a1,a2,a3;
⑵证明:数列an除去首项后所成的数列a2,a3,a4是等差数列。
S1(n1)解:⑴由sn与an的关系an得到 SS(n2)n1n
a1S1122147
a2S2S1222247
5a3S3S232234757
⑵当n2时,anSnSn1n22n4n12n142n1 2
an1an2n112n12,对于任意n2都成立,从而数列a2,a3,a4是等差数列。
注:由于a2a12,故an1an2不对任意nN成立,因此,数列an不是等差数列。
4、跟椐定义需要另外加以补充的等差(等比)数列的证明。例4:设数列an的首项a11,前n项和sn满足关系3tsn2t3sn13t,求证an为等比数列。
(错证)由题意:3tsn2t3sn13t
3tsn12t3sn23t
两式相减得:3tsnsn12t3sn1sn20
即:3tan2t3an10
所以:an2t3为定值,所以an为等比数列。an13t
由于在证明的过程没有注意到各符号有意义的条件,从而忽略了n的取值范围,导致证明不符合定义的完整性。
正确的证明如下:n3时:
3tsn2t3sn13t
3tsn12t3sn23t
两式相减得:3tsnsn12t3sn1sn20
即:3tan2t3an10 所以:an2t3 an13t
(这只能说明从第二项开始,后一项与前一项的比为定值,所以需要
对第二项与第一项的比另外加以证明,以达到定义的完整性。)
又因为n2时:
3ts22t3s13t
即3ta1a22t3a13t
又因为a11,所以3t3ta2(2t3)3t
所以a2
所以2t3 3ta22t3 a13t
an2t3为定值,所以an为等比数列。an13t所以对任意n2都有
总之,在用定义证明一个数列为等差数列或等比数列的时候,一定要注意下标n的取值范围,不管是anan1aan还是an1an2;n1
an2an1
还是其它的情况,都在考虑定义的完整性,确保任何的后一项与相邻前一项的差(比)为定值,如有不全面的地方须另外加以补充。
第二篇:等差等比数列的证明
专题:等差(等比)数列的证明
1.已知数列{a}中,anan15且2an12n1(n2且nN*).an1(Ⅰ)证明:数列2n为等差数列;(Ⅱ)求数列{an}的前n
项和S.n
2.已知数列{a}中,an12且an1an2n30(n2且nN*).证明:数列an2n为等差数列;
3.已知数列{a}中,an14且2an1an2n50(n2且nN*).证明:数列an2n1为等比数列;
4.数列{an}满足a12,a25,an23an12an.(1)求证:数列{an1an}是等比数列;(2)求数列{an}的通项公式;
5.已知各项均为正数的数列an前n项和为
1a且n是和S2Sn,首项为a1,n的等差中项.求数列a的通项公式; n
6.已知数列{an}的前n项和为Sn,且对任意的n∈N*有an+Sn=
n.(1)设bn=an-1,求证:数列{bn}是等比数列; 7.设数列an的各项都是正数,且对任意
nN*,都有
aaaaS
为数列的前n项和.3132333n2n,其中S
n
(I)求证:
a2Snan;
n
(II)求数列an的通项公式;
8.数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn+1=4an+2(n∈N*),a(1)设bn=an+1-2an,求证:{bn}是等比数列;(2).证明数列{n-2}
是等差数列
(3)设cn=
9.已知正项数列{an}的前n项和Sn满足 2Sn=an+1.求证:{an}是等差数列.
10.设数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,a{cn}是等比数列. 3n-1
Sn*
an=2(n-1)(n∈N).
n
(1)
求证:数列{an}为等差数列,并求{an}的通项公式;
(2)求数列{的前n项和Tn,an·an+1
11.设Sn是数列{an}(nN*)的前n项和,已知a14,an1Sn3n,设bnSn3n.(Ⅰ)证明:数列{bn}是等比数列,并求数列{bn}的通项公式;(Ⅱ)令cn
12.已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1,an+2SnSn1=0(n2). 问:数列{1是否为等差数列?并证明你的结论;
Sn
2log2bn
n
2,求数列{cn}的前n项和Tn.bn
13.已知等差数列{an}的公差大于0,且a3,a5是方程x214x450的两根,数列{bn}的前n项的和为Sn,且Sn=
an·bn。求数列{an},{bn}的通项公式;
1bn
(n∈N*),Cn=
14.已知数列{an}与{bn}满足
n1
3+-1
bn+1an+bnan+1=(-2)n+1,bn=n∈N*,且a1=2.-
设cn=a2n+1-a2n-1,n∈N*,证明{cn}是等比数列
15.已知在正项数列{an}中,a1=2,点An(an,an+1)在双曲线y-x=1上,数列{bn}中,点(bn,Tn)在直线y=-x+1上,其
中Tn是数列{bn}的前n项和.
(1)求数列{an}的通项公式;(2)求证:数列{bn}是等比数列;
第三篇:等差、等比数列的判断和证明
等差、等比数列的判断和证明
一、1、等差数列的定义:如果数列an从第二项起每一项与它的前一项的差
等于同一个常数,那么这个数列叫做等差数列,这个常数叫等差数列的公差。即anan1d(nN*,且n2).(或an1and(nN*)).2、等差数列的判断方法:
①定义法:an1and(常数)an为等差数列。
②中项法:等差中项:若a,A,b成等差数列,则A叫做a与b的等差中项,且
Aab。
22an1anan2an为等差数列。
③通项公式法:等差数列的通项:ana1(n1)d或anam(nm)d。公式变形为:ananb.其中a=d, b= a1-d.ananb(a,b为常数)an为等差数列。
④前n项和公式法:等差数列的前n和:Snd
公式变形为Sn=An2+Bn其中A=,B=a1n(a1an)n(n1)d。,Snna122d.2
snAn2Bn(A,B为常数)an为等差数列。
3.等差数列的性质:
(1)当公差d0时,等差数列的通项公式ana1(n1)ddna1d是关于n的一次函数,且斜率为公差d;
n(n1)dddn2(a1)n是关于n的二次函数且常数项为0.前n项和Snna1222
(2)若公差d0,则为递增等差数列,若公差d0,则为递减等差数列,若公差d0,则为常数列。
(3)对称性:若an是有穷数列,则与首末两项等距离的两项之和都等于首末两项之和.当mnpq时,则有amanapaq,特别地,当mn2p时,则有aman2ap
(4)①项数成等差,则相应的项也成等差数列.即ak,akm,ak2m,...(k,mN*)成等
差,公差为md;②若{an}是等差数列,则﹛kan+p﹜(k、p是非零常数)为等差数列,公差为kd.③若{an}、{bn}是等差数列,则{kanpbn}(k、p是非零常数)为等差数列,公差为kd1+pd2(d1、d2 分别为{an}、{bn}的公差)④
Sn,S2nSn,S3nS2n 也成等差数列.⑤{aan}成等比数列;若{an}是等比数列,且
an0,则{lgan}是等差数列.(5)在等差数列{an}中,当项数为偶数2n时,snn(anan1);s偶s奇nd;
s偶an1s偶n
1.当项数为奇数2n1时,s2n1(2n1)an;s偶s奇a1
奇n奇an
(6)项数间隔相等或连续等长的片段和仍构成等差数列,eg:a1,a3,a5…构成等差数列,a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9…也构成等差数列.二、1、等比数列的定义:如果数列an从第二项起每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫等比数列的公比,即
anan
1q(nN*,n2)
2、等比数列的判断方法: ①定义法:
an
1q(q为常数),其中q0,an0an为等比数列。an
②中项法:如果a、G、b三个数成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项,即G=ab.提醒:不是任何两数都有等比中项,只有同号两数才存在等比中项。an2=an-12an+12(nN*,n2)an为等比数列。③通项公式法:等比数列的通项:anan=Aqan为等差数列。
n
a1qn1或anamqnm
④前n项和法:等比数列的前n和:当q1时,Snna1;当q1时,a1(1qn)a1anq
=Aqn-A Sn
1q1qSn=Aqn-Aan为等差数列。
特别提醒:等比数列前n项和公式有两种形式,为此在求等比数列前n项和时,首先要判断公比q是否为1,再由q的情况选择求和公式的形式,当不能判断公比q是否为1时,要对q分q1和q1两种情形讨论求解。
3、等比数列的性质:﹛ an﹜是公比为q的等比数列
(1)对称性:若an是有穷数列,则与首末两项等距离的两项之积都等于首末两项之积.即当mnpq时,则有am.anap.aq,特别地,当mn2p时,则有am.anap.(2)单调性:若a10,q1,或a10,0q1则{an}为递增数列;若a10,q1,或a10,0q1 则{an}为递减数列;若q0,则{an}为摆动数列;若q1,则{an}为常数列.(3)①﹛an﹜(不等于0)公比=q;若﹛bn﹜公比为q
1则②﹛anbn﹜公比为q q1③﹛1/an﹜公比为1/q④﹛an﹜公比为q
(4)在数列{an}中,每隔k项(k N*)取出一项,按原来的顺序排列,所得数列仍为等比数列,公比为qk+1
(5)在数列{an}中,相邻k项的和或积构成公比为qk或qk2的等比数列 方法1:定义法
Eg:已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+2Sn·Sn-1=0(n≥2),a1=
21
(1)求证:为等差数列;
Sn
(2)求an的表达式.
解析:(1)证明 ∵an=Sn-Sn-1(n≥2),an+2Sn·Sn-1=0(n≥2),∴Sn-Sn-1+2Sn·Sn-1=0.11
∵Sn≠0,∴=2(n≥2).
SnSn-1
111
由等差数列的定义,可知是以=2为首项,以2为公差的等差数列.
S1a1Sn
由(1),知=(n-1)d=2+(n-1)×2=2n,SnS1
∴Sn=.2n
当n≥2时,有an=-2Sn·Sn-1=-
2n
当n=1,a1=
212
故a=
-2n
n
n-
1n-
n=n,方法2:等差、等比中项法
Eg:已知数列{cn},其中cn=2n+3n,且数列{cn+1-pcn}为等比数列,求常数p 解析:=即,整理得,解得p=2或p=3.,
第四篇:等差、等比数列问题
等差等比数列问题
一、等差数列、等比数列基本数列问题
1.等差数列an,s636,sn6144,sn324,求n的值
1)an2an11;2)an2an1n1;3)an2an1n2n1; 4)an2an12n;5)an2an13n
1)sn2an1;2)sn22n1n1;3)sn2an1n2n1; 4)sn2an12n;5)sn2an13n 2.已知数列,aan满足:a=m(m为正整数)
anA7n5
2.已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为An,Bn,且n,则使得为整数
bnn3Bn的的正整数n个数为:
3.已知等差数列an,a1a3a5a9936,公差d2,求s100的值。
4、已知等差数列an的第2项为8,前10项和为185。1)求an的通项公式;2)若数列依次取出a2,a4,a8,,a2n
n1
an中
an当a为偶数时
n,若a6=1,则m所有2
当an为奇数时3an1
得到新数列bn,求数列bn的通项公式。
可能的取值为
四、数列与其它
1.已知数列an的通项公式annnN,则数列an的前30项中,最大项和最小项分别
n是
2.已知数列an是递增数列,且ann2n,则实数3.(Ⅰ)设
4.设等比数列an的公比为q(q>0),它的前n项和为40,前2n项和为3280,且前前n项中数值最大的项为27,求数列的第前2n项。
5.已知数列an的首项为23,公差为整数,且前6项为正,从第7项起为负数,求Sn的最大值。
范围是
an为正整数,6.数列{an}为等差数列,其前n项和为Sn,数列{bn}为等比数列,且a1
数列{ban}是公比为64的等比数列,b2S264.(1)求an,bn;(2)求证1113.S1S2Sn
4二、数列思想问题
1.数列an的前n项和Sn,又bn2.求和sn
3,b11,a1,a2,,an是各项均不为零的等差数列(n4),且公差d0,若将此数列删
a1的数值;②求n的所有可d
去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等比数列:①当n =4时,求
能值;
(Ⅱ)求证:对于一个给定的正整数n(n≥4),存在一个各项及公差都不为零的等差数列
an
b1,b2,,bn,其中任意三项(按原来顺序)都不能组成等比数列.,求bn的前n项和
123n23n aaaa
3.等差数列an和等比bn,求数列anbn的前n项和 4.111
1*2
2*3
3*4
n1n 1213243
n*n11*22*33*4n*n15.已知数列an满足a12a23a3nannn1,求数列an的通项公式
三、复合数列问题
1、已知数列an满足下列条件,且a11,求数列an的通项公式
第五篇:一轮复习等差等比数列证明练习题
Fpg
1.已知数列an是首项为a1,公比q141の等比数列,bn23log1an 44(nN*),数列cn满足cnanbn.
(1)求证:bn是等差数列;
2ana2,aa6a6(nN),n1nn2.数列满足1设cnlog5(an3).
(Ⅰ)求证:cn是等比数列;
*3.设数列anの前n项和为Sn,已知a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN).(2)求证:数列Sn2是等比数列; 4.数列{an}满足a11,an12n1an(nN)nan22n(1)证明:数列{}是等差数列;
an2Sn25.数列an首项a11,前n项和Sn与an之间满足an(n2)
2Sn1(1)求证:数列1是等差数列
Sn2,an16.数列{an}满足a13,an1(1)求证:{an1}成等比数列; an2*7.已知数列{an}满足an13an4,(nN)且a11,(Ⅰ)求证:数列an2是等比数列;
Fpg 本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。
8. 数列{an}满足:a11,nan1(n1)ann(n1),nN*(1)证明:数列{an}是等差数列; n9.已知数列{an}の首项a1=
22an,an1,n=1,2,… 3an1(1)证明:数列11是等比数列; an1,Snn2ann(n1),n1,2,L. 210.已知数列{an}の前n项和为Sn,a1(1)证明:数列n1Sn是等差数列,并求Sn; n11.(16分)已知数列{an}の前n项和是Sn,且Sn2ann(1)证明:an1为等比数列;
12.数列{an}满足:a12,a23,an23an12an(nN)(1)记dnan1an,求证:数列{dn}是等比数列;
13.已知数列{an}の相邻两项an,an1是关于x方程x22nxbn0の两根,且a11.(1)求证:数列{an2n}是等比数列;
14.(本题满分12分)已知数列{an}中,a15且an2an12n1(n2且nN*). 13a1(Ⅰ)证明:数列nn为等差数列;
215.已知数列an中,a11,an1an(nN*)an3(1)求证:11是等比数列,并求anの通项公式an;an235,a3,且当n2时,2416.设数列anの前n项和为Sn,n.已知a11,a24Sn25Sn8Sn1Sn1.
(1)求a4の值;
答案第2页,总5页
Fpg(2)证明:an11an为等比数列; 217.设数列anの前n项和为Sn,且首项a13,an1Sn3n(nN).n(Ⅰ)求证:Sn3是等比数列; 18.(本小题满分10分)已知数列an满足a11,an1a2(1)求证:数列n是等比数列;
n(3n3)an4n6,nN*.
n
参考答案
1.(1)见解析;(2)Sn2(3n2)1n();(3)m1或m5 334n12a5n2.(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)
11Tn2n.3.;459(Ⅲ)3.(1)a24,a38;
(2)见解析;(3)5
2nn14.(1)详见解析;(2)an;(3)2n326
n11(n1)23. 5.(1)详见解析;(2)an;(3)2(n2)3(2n1)(2n3)6.(1)证明{an1}成等比数列の过程详见试题解析; an2Fpg 本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。
(2)实数tの取值范围为7.详见解析
8.(1)见解析;(2)Sn1331. t222n13n13 49.(1)详见解析(2)Sn21nnn1 2n12n2210.(1)由Snn2ann(n1)知,当n2时,Snn,即(S(n1)nSn1)n(n21)Snn2Sn1n(n1),所以所以n1n11SnSn11,对n2成立.又S11,nn11n1n1Sn1(n1)1,即Sn是首项为1,公差为1の等差数列.所以nnn2Sn.
n1(2)因为
bnSn1111()32n3n(n1)(n3)2n1n3,所以b1b2Lbn. 11111111115115(L)()22435nn2n1n326n2n312k18k6k411.(1)见解析;(2)解析;(3)存在,或或.
m5m2m1812.(1)dn12n1(2)an2n11
2n12n为偶数3313.(1)见解析;(2)Sn,(3)(,1)
n121n为奇数3314.(Ⅰ)详见解析(Ⅱ)Snn2n1 15.(1)证明详见解析;(2)23.
7116.(1);(2)证明见解析;(3)an2n18217.(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)(9,3)(3,)
n1.
答案第4页,总5页
Fpg 18.(1)详见解析(2)详见解析
Fpg