等差、等比数列证明的几种情况（最终5篇）

第一篇：等差、等比数列证明的几种情况

等差、等比数列证明的几种情况

在高中数学教材中，对等差，等比数列作了如下的定义：一个数列从第二项起，每一项与前一项的差等于一个常数d，则这个数列叫等差数列，常数d称为等差数列的公差。一个数列从第二项起，每一项与前一项的比等于一个常数q，则这个数列叫等比数列，常数q称为等比数列的公比。在涉及到用定义来说明一个数列为等差数列或等比数列时，很多时候往往容易忽略定义的完整性，现举一些例子来加以说明。

1、简单的证明

例 ：已知数列前n项和snn22n，求通项公式an，并说明这个

数列是否为等差数列。

解：n1时，a1s1123；

n2时，ansnsn1n22nn122n1

2n

1因为n1时，a1211

3所以an2n1

因为n2时，anan12为常数，所以an为等差数列。

2、数列的通项经过适当的变形后的证明

例： 设数列an的前n项的和为Sn，且a11,Sn14an2,nN*。

（1）设bnan12an，求证：数列bn是等比数列；

（2）设cnan，求证：数列cn是等差数列； 2n

证明：（1）n2时

an1Sn1Sn4an4an1，an12an2an2an1，bn2bn

1又b1a22a1S23a1a12

3bn是首项为3，公比为2的等比数列。

（2）bn32n1,an12an32n1,cn1cnan1an113n1a2a32, n1n42n12n2n12n1

又c1a11，2

213cn是首项为，公差为的等差数列。243、证明一个数列的部分是等差（等比）数列

例3：设数列an的前n项的和Snn22n4,nN，⑴写出这个数列的前三项a1,a2,a3；

⑵证明：数列an除去首项后所成的数列a2,a3,a4是等差数列。

S1(n1)解：⑴由sn与an的关系an得到 SS(n2)n1n

a1S1122147

a2S2S1222247

5a3S3S232234757

⑵当n2时，anSnSn1n22n4n12n142n1 2

an1an2n112n12,对于任意n2都成立，从而数列a2,a3,a4是等差数列。

注：由于a2a12，故an1an2不对任意nN成立，因此，数列an不是等差数列。

4、跟椐定义需要另外加以补充的等差（等比）数列的证明。例4：设数列an的首项a11，前n项和sn满足关系3tsn2t3sn13t，求证an为等比数列。

（错证）由题意：3tsn2t3sn13t

3tsn12t3sn23t

两式相减得：3tsnsn12t3sn1sn20

即：3tan2t3an10

所以：an2t3为定值，所以an为等比数列。an13t

由于在证明的过程没有注意到各符号有意义的条件，从而忽略了n的取值范围，导致证明不符合定义的完整性。

正确的证明如下：n3时：

3tsn2t3sn13t

3tsn12t3sn23t

两式相减得：3tsnsn12t3sn1sn20

即：3tan2t3an10 所以：an2t3 an13t

（这只能说明从第二项开始，后一项与前一项的比为定值，所以需要

对第二项与第一项的比另外加以证明，以达到定义的完整性。）

又因为n2时：

3ts22t3s13t

即3ta1a22t3a13t

又因为a11，所以3t3ta2(2t3)3t

所以a2

所以2t3 3ta22t3 a13t

an2t3为定值，所以an为等比数列。an13t所以对任意n2都有

总之，在用定义证明一个数列为等差数列或等比数列的时候，一定要注意下标n的取值范围，不管是anan1aan还是an1an2;n1

an2an1

还是其它的情况，都在考虑定义的完整性，确保任何的后一项与相邻前一项的差（比）为定值，如有不全面的地方须另外加以补充。

第二篇：等差等比数列的证明

专题：等差（等比）数列的证明

1.已知数列{a}中，anan15且2an12n1（n2且nN*）.an1（Ⅰ）证明：数列2n为等差数列；（Ⅱ）求数列{an}的前n

项和S.n

2.已知数列{a}中，an12且an1an2n30（n2且nN*）.证明：数列an2n为等差数列；

3.已知数列{a}中，an14且2an1an2n50（n2且nN*）.证明：数列an2n1为等比数列；

4．数列{an}满足a12,a25,an23an12an.（1）求证：数列{an1an}是等比数列；（2）求数列{an}的通项公式；

5.已知各项均为正数的数列an前n项和为

1a且n是和S2Sn，首项为a1，n的等差中项.求数列a的通项公式； n

6.已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的n∈N*有an＋Sn＝

n.(1)设bn＝an－1，求证：数列{bn}是等比数列； 7.设数列an的各项都是正数，且对任意

nN*，都有

aaaaS

为数列的前n项和.3132333n2n，其中S

n

（I）求证：

a2Snan;

n

（II）求数列an的通项公式；

8.数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)，a(1)设bn＝an＋1－2an，求证：{bn}是等比数列；（2）.证明数列{n－2}

是等差数列

(3)设cn＝

9.已知正项数列{an}的前n项和Sn满足 2Sn＝an＋1.求证：{an}是等差数列．

10.设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，a{cn}是等比数列． 3n－1

Sn*

an＝2(n－1)(n∈N)．

n

(1)

求证：数列{an}为等差数列,并求{an}的通项公式；

(2)求数列{的前n项和Tn，an·an+1

11.设Sn是数列{an}（nN*）的前n项和，已知a14，an1Sn3n，设bnSn3n.（Ⅰ）证明：数列{bn}是等比数列，并求数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）令cn

12.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1，an＋2SnSn1＝0(n2)． 问：数列{1是否为等差数列？并证明你的结论；

Sn

2log2bn

n

2，求数列{cn}的前n项和Tn.bn

13.已知等差数列{an}的公差大于0，且a3，a5是方程x214x450的两根，数列{bn}的前n项的和为Sn，且Sn=

an·bn。求数列{an}，{bn}的通项公式；

1bn

(n∈N*),Cn=

14.已知数列{an}与{bn}满足

n1

3＋－1

bn＋1an＋bnan＋1＝(－2)n＋1，bn＝n∈N*，且a1＝2.－

设cn＝a2n＋1－a2n－1，n∈N*，证明{cn}是等比数列

15.已知在正项数列{an}中，a1＝2，点An(an，an＋1)在双曲线y－x＝1上，数列{bn}中，点(bn，Tn)在直线y＝－x＋1上，其

中Tn是数列{bn}的前n项和．

(1)求数列{an}的通项公式；(2)求证：数列{bn}是等比数列；

第三篇：等差、等比数列的判断和证明

等差、等比数列的判断和证明

一、1、等差数列的定义：如果数列an从第二项起每一项与它的前一项的差

等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差。即anan1d(nN*,且n2).(或an1and(nN*)).2、等差数列的判断方法：

①定义法：an1and(常数)an为等差数列。

②中项法：等差中项：若a,A,b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且

Aab。

22an1anan2an为等差数列。

③通项公式法：等差数列的通项：ana1(n1)d或anam(nm)d。公式变形为:ananb.其中a=d, b= a1－d.ananb（a,b为常数）an为等差数列。

④前n项和公式法：等差数列的前n和：Snd

公式变形为Sn=An2+Bn其中A=，B=a1n(a1an)n(n1)d。，Snna122d.2

snAn2Bn（A,B为常数）an为等差数列。

3.等差数列的性质：

（1）当公差d0时，等差数列的通项公式ana1(n1)ddna1d是关于n的一次函数，且斜率为公差d；

n(n1)dddn2(a1)n是关于n的二次函数且常数项为0.前n项和Snna1222

（2）若公差d0，则为递增等差数列，若公差d0，则为递减等差数列，若公差d0，则为常数列。

（3）对称性：若an是有穷数列，则与首末两项等距离的两项之和都等于首末两项之和.当mnpq时,则有amanapaq，特别地，当mn2p时，则有aman2ap

(4)①项数成等差,则相应的项也成等差数列.即ak,akm,ak2m,...(k,mN*)成等

差，公差为md；②若{an}是等差数列，则﹛kan+p﹜(k、p是非零常数)为等差数列，公差为kd.③若{an}、{bn}是等差数列，则{kanpbn}(k、p是非零常数)为等差数列，公差为kd1+pd2（d1、d2 分别为{an}、{bn}的公差）④

Sn,S2nSn,S3nS2n 也成等差数列.⑤{aan}成等比数列；若{an}是等比数列，且

an0，则{lgan}是等差数列.（5）在等差数列{an}中，当项数为偶数2n时，snn(anan1)；s偶s奇nd；

s偶an1s偶n

1.当项数为奇数2n1时，s2n1(2n1)an；s偶s奇a1 

奇n奇an

（6）项数间隔相等或连续等长的片段和仍构成等差数列，eg：a1，a3，a5…构成等差数列，a1+a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9…也构成等差数列.二、1、等比数列的定义：如果数列an从第二项起每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫等比数列的公比，即

anan

1q(nN*,n2)

2、等比数列的判断方法： ①定义法：

an

1q(q为常数），其中q0,an0an为等比数列。an

②中项法：如果a、G、b三个数成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，即G=ab.提醒：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项。an2=an-12an+12（nN*，n2）an为等比数列。③通项公式法：等比数列的通项：anan=Aqan为等差数列。

n

a1qn1或anamqnm

④前n项和法：等比数列的前n和：当q1时，Snna1；当q1时，a1(1qn)a1anq

=Aqn-A Sn

1q1qSn=Aqn-Aan为等差数列。

特别提醒：等比数列前n项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n项和时，首先要判断公比q是否为1，再由q的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q是否为1时，要对q分q1和q1两种情形讨论求解。

3、等比数列的性质：﹛ an﹜是公比为q的等比数列

（1）对称性：若an是有穷数列，则与首末两项等距离的两项之积都等于首末两项之积.即当mnpq时，则有am.anap.aq，特别地，当mn2p时，则有am.anap.(2)单调性：若a10,q1，或a10,0q1则{an}为递增数列；若a10,q1,或a10,0q1 则{an}为递减数列；若q0，则{an}为摆动数列；若q1，则{an}为常数列.（3）①﹛an﹜(不等于0)公比=q；若﹛bn﹜公比为q

1则②﹛anbn﹜公比为q q1③﹛1/an﹜公比为1/q④﹛an﹜公比为q

（4）在数列{an}中，每隔k项（k N*）取出一项，按原来的顺序排列，所得数列仍为等比数列，公比为qk+1

（5）在数列{an}中，相邻k项的和或积构成公比为qk或qk2的等比数列 方法1：定义法

Eg：已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2)，a1＝

21

(1)求证：为等差数列；

Sn

(2)求an的表达式．

解析：(1)证明 ∵an＝Sn－Sn－1(n≥2)，an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2)，∴Sn－Sn－1＋2Sn·Sn－1＝0.11

∵Sn≠0，∴＝2(n≥2)．

SnSn－1

111

由等差数列的定义，可知是以＝2为首项，以2为公差的等差数列．

S1a1Sn

由(1)，知＝(n－1)d＝2＋(n－1)×2＝2n，SnS1

∴Sn＝.2n

当n≥2时，有an＝－2Sn·Sn－1＝－

2n

当n＝1，a1＝

212

故a＝

－2n

n

n－

1n－

n＝n，方法2：等差、等比中项法

Eg：已知数列{cn}，其中cn=2n+3n，且数列{cn+1-pcn}为等比数列，求常数p 解析：=即，整理得，解得p=2或p=3．，

第四篇：等差、等比数列问题

等差等比数列问题

一、等差数列、等比数列基本数列问题

1．等差数列an，s636，sn6144，sn324，求n的值

1）an2an11；2）an2an1n1；3）an2an1n2n1； 4）an2an12n；5）an2an13n

1）sn2an1；2）sn22n1n1；3）sn2an1n2n1； 4）sn2an12n；5）sn2an13n 2．已知数列，aan满足：a＝m（m为正整数）

anA7n5

2．已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为An,Bn，且n，则使得为整数

bnn3Bn的的正整数n个数为：

3．已知等差数列an，a1a3a5a9936，公差d2，求s100的值。

4、已知等差数列an的第2项为8，前10项和为185。1）求an的通项公式；2）若数列依次取出a2,a4,a8,,a2n

n1

an中

an当a为偶数时

n，若a6＝1，则m所有2

当an为奇数时3an1

得到新数列bn，求数列bn的通项公式。

可能的取值为

四、数列与其它

1.已知数列an的通项公式annnN，则数列an的前30项中，最大项和最小项分别

n是

2．已知数列an是递增数列，且ann2n，则实数3.（Ⅰ）设

4．设等比数列an的公比为q（q>0），它的前n项和为40，前2n项和为3280，且前前n项中数值最大的项为27，求数列的第前2n项。

5．已知数列an的首项为23，公差为整数，且前6项为正，从第7项起为负数，求Sn的最大值。

范围是

an为正整数，6．数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，数列{bn}为等比数列，且a1

数列{ban}是公比为64的等比数列，b2S264.（1）求an,bn；（2）求证1113.S1S2Sn

4二、数列思想问题

1．数列an的前n项和Sn，又bn2．求和sn

3,b11，a1,a2,,an是各项均不为零的等差数列（n4），且公差d0，若将此数列删

a1的数值；②求n的所有可d

去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列：①当n =4时，求

能值；

（Ⅱ）求证：对于一个给定的正整数n(n≥4)，存在一个各项及公差都不为零的等差数列

an

b1,b2,,bn，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列．，求bn的前n项和

123n23n aaaa

3．等差数列an和等比bn，求数列anbn的前n项和 4．111

1*2

2*3

3*4

n1n 1213243



n*n11*22*33*4n*n15．已知数列an满足a12a23a3nannn1，求数列an的通项公式

三、复合数列问题

1、已知数列an满足下列条件，且a11，求数列an的通项公式

第五篇：一轮复习等差等比数列证明练习题

Fpg

1．已知数列an是首项为a1，公比q141の等比数列，bn23log1an 44(nN*)，数列cn满足cnanbn．

（1）求证：bn是等差数列；

2ana2,aa6a6(nN)，n1nn2．数列满足1设cnlog5(an3)．

（Ⅰ）求证：cn是等比数列；

*3．设数列anの前n项和为Sn，已知a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN)．（2）求证：数列Sn2是等比数列； 4．数列{an}满足a11,an12n1an(nN)nan22n（1）证明:数列{}是等差数列；

an2Sn25．数列an首项a11，前n项和Sn与an之间满足an(n2)

2Sn1（1）求证：数列1是等差数列

Sn2，an16．数列{an}满足a13，an1（1）求证：{an1}成等比数列； an2*7．已知数列{an}满足an13an4，(nN)且a11，（Ⅰ）求证：数列an2是等比数列；

Fpg 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

8． 数列{an}满足:a11,nan1(n1)ann(n1),nN*（1）证明：数列{an}是等差数列； n9．已知数列{an}の首项a1=

22an，an1，n=1，2，… 3an1（1）证明：数列11是等比数列； an1,Snn2ann(n1),n1,2,L． 210．已知数列{an}の前n项和为Sn，a1（1）证明：数列n1Sn是等差数列，并求Sn； n11．（16分）已知数列{an}の前n项和是Sn，且Sn2ann（1）证明：an1为等比数列；

12．数列{an}满足：a12,a23,an23an12an(nN)（1）记dnan1an，求证：数列{dn}是等比数列；

13．已知数列{an}の相邻两项an，an1是关于x方程x22nxbn0の两根，且a11．（1）求证：数列{an2n}是等比数列；

14．（本题满分12分）已知数列{an}中，a15且an2an12n1（n2且nN*）． 13a1（Ⅰ）证明：数列nn为等差数列；

215．已知数列an中,a11,an1an(nN*)an3（1）求证:11是等比数列,并求anの通项公式an;an235，a3，且当n2时，2416．设数列anの前n项和为Sn，n．已知a11，a24Sn25Sn8Sn1Sn1．

（1）求a4の值；

答案第2页，总5页

Fpg（2）证明：an11an为等比数列； 217．设数列anの前n项和为Sn，且首项a13,an1Sn3n(nN).n(Ⅰ)求证：Sn3是等比数列； 18．（本小题满分10分）已知数列an满足a11，an1a2（1）求证：数列n是等比数列；

n(3n3)an4n6,nN*．

n

参考答案

1．（1）见解析；（2）Sn2(3n2)1n()；（3）m1或m5 334n12a5n2．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）

11Tn2n.3.；459（Ⅲ）3．（1）a24,a38；

（2）见解析；（3）5

2nn14．（1）详见解析；（2）an；（3）2n326

n11(n1)23． 5．（1）详见解析；（2）an；（3）2(n2)3(2n1)(2n3)6．（1）证明{an1}成等比数列の过程详见试题解析； an2Fpg 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

（2）实数tの取值范围为7．详见解析

8．（1）见解析；（2）Sn1331． t222n13n13 49．（1）详见解析（2）Sn21nnn1 2n12n2210．（1）由Snn2ann(n1)知，当n2时，Snn，即(S(n1)nSn1)n(n21)Snn2Sn1n(n1)，所以所以n1n11SnSn11，对n2成立．又S11，nn11n1n1Sn1(n1)1，即Sn是首项为1，公差为1の等差数列．所以nnn2Sn．

n1（2）因为

bnSn1111()32n3n(n1)(n3)2n1n3，所以b1b2Lbn． 11111111115115(L)()22435nn2n1n326n2n312k18k6k411．（1）见解析；（2）解析；（3）存在，或或．

m5m2m1812．（1）dn12n1（2）an2n11

2n12n为偶数3313．（1）见解析；（2）Sn，（3）(,1)

n121n为奇数3314．（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）Snn2n1 15．（1）证明详见解析；（2）23．

7116．（1）；（2）证明见解析；（3）an2n18217．(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)(9,3)(3,)

n1．

答案第4页，总5页

Fpg 18．（1）详见解析（2）详见解析

Fpg