数列—等差、等比的证明

第一篇：数列—等差、等比的证明

等差、等比数列的证明

1．数列{a327

n}的前n项和为Sn2n2

n（nN）．

（Ⅰ）证明：数列{an}是等差数列；（Ⅱ）若数列{bn}满足：anlog2bn，证明：数列{bn}是等比数列．

2．已知数列{a

n}的前n项和为Sn4an3(nN)，证明：数列{an}是等比数列．

3．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a11，Sn14an2（nN）．

（Ⅰ）证明：数列an

2n

为等差数列；（Ⅱ）证明：数列{an12an}为等比数列．

4．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足：

Sn2a2nn4n（nN），证明：数列{an2n1}为等比数列．

5．（2008北京文20）数列an满足：a11，a)a

n1(n2nn，（nN）是常数．（Ⅰ）当a21时，求及a3的值；

（Ⅱ）数列an是否可能为等差数列? 若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由；

6．设函数fxx2m，mR，定义数列{an}如下：

a10，an1f(an)（nN）．（Ⅰ）当m1时，求a2,a3,a4的值；

（Ⅱ）是否存在实数m，使a2,a3,a4构成公差不为0的等差数列? 若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

6．（2008湖北21）已知数列{an}和{bn}满足：a1，a2

n1

ann4，bnn(1)(an3n21)，其中为实数，nN．

（Ⅰ）证明：数列{an}不是等比数列；

（Ⅱ）试判断数列{bn}是否为等比数列，证明你的结论．

7．（2010安徽20）设数列{an}中的每一项都不为0． 证明：数列{an}为等差数列的充分必要条件是： 对任何nN，都有

111n

aa

a． 1a22a3anan11an1

8．（2011北京文、理20）

若数列An:a1,a2,,an(n2)满足

ak1ak1(k1,2,,n1)，则称An为E数列．

（Ⅰ）写出一个E数列A5满足a1a30；（Ⅱ）若a112，n2000，证明：

E数列An是递增数列的充要条件是an2011．

第二篇：数列等差证明2010江西理数

数列等差证明2010江西理数

2010江西理数）22.（本小题满分14分）

证明以下命题：

（1）对任一正整a,都存在整数b,c(b

（2）存在无穷多个互不相似的三角形△n，其边长an，bn，cn为正整数且an，bn，cn

成等差数列。

【解析】作为压轴题，考查数学综合分析问题的能力以及创新能力。

（1）考虑到结构要证ac2b，；类似勾股数进行拼凑。

证明：考虑到结构特征，取特值1,5,7满足等差数列，只需取b=5a，c=7a，对一切正整数a均能成立。

结合第一问的特征，将等差数列分解，通过一个可做多种结构分解的因式说明构成三角形，再证明互不相似，且无穷。

证明：当an，bn，cn成等差数列，则bnancnbn，分解得：(bnan)(bnan)(cnbn)(cnbn)

选取关于n的一个多项式，4n(n1)做两种途径的分解 ***22222

4n(n21)(2n2)(2n22n)(2n22n)(2n2)4n(n21)

ann22n1对比目标式，构造bnn21(n4)，由第一问结论得，等差数列成立，cn22n1n

考察三角形边长关系，可构成三角形的三边。

下证互不相似。

任取正整数m，n，若△m，△n相似：则三边对应成比例m22m1m21m22m1，n22n1n21n22n1

由比例的性质得：

m1m1mn，与约定不同的值矛盾，故互不相似。n1n1

第三篇：数列等比性质分析2013福建

数列等比性质分析2013福建

9．D5[2013·福建卷] 已知等比数列{an}的公比为q，记bn＝am(n－1)＋1＋am(n－1)＋2＋…＋am(n

*

－1)＋m，cn＝am(n－1)＋1·am(n－1)＋2·…·am(n－1)＋m(m，n∈N)，则以下结论一定正确的是()

mA．数列{bn}为等差数列，公差为q

2mB．数列{bn}为等比数列，公比为q

2C．数列{cn}为等比数列，公比为qm

mD．数列{cn}为等比数列，公比为qm

9．C [解析] 取an＝1，q＝1，则bn＝m，cn＝1，排除A，取a1＝1，q＝－1，m取正偶

cn＋1amn＋1·amn＋2·…·amn＋mmmm数，则bn＝0，排除B，＝＝q·q·…·q,sdo4(共cnam（n－1）＋1·am（n－1）＋2·…·am（n－1）＋m

m个))＝qm，故选C.2

第四篇：证明等比等差数列

1．已知数列满足a1=1，an＋1=2an＋1(n∈N*)(1)求证数列{an＋1}是等比数列；(2)求{an}的通项公式．

2.已知数列{an}中，a135，an21an1(n2,nN)，数列{bn}满足

bn1(nN)an1；

（1）求证：数列（2）求数列

{bn}是等差数列；

{an}的通项公式

na1,a2a23.在数列an中，1 n1n（1）设bnan,n1证明2bn是等差数列;（2）求数列an的通项公式。

4.设数列

{lgan}是等差数列；{an}的前n项和为Sn,a110,an19Sn10。

求证：

5.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+2Sn·Sn－1=0(n≥2),a1=1/2.（1）求证：{1/Sn}是等差数列；（2）求an表达式；

第五篇：数列等比证明二项式定理错项求和2011四川

数列二项式定理错项求和2011四川

011年高考四川卷理科20)(本小题共12分)

设d为非零实数，an = 1122n-1 n-1nn* [Cn d+2Cnd+…+(n—1)Cnd+nCnd](n∈N).n

(I)写出a1,a2,a3并判断{an}是否为等比数列.若是，给出证明；若不是，说明理由；(II)设bn=ndan(n∈N)，求数列{bn}的前n项和Sn．

解析：（1）*

a1d

a2d(d1)

a3d(d1)2

01223n1nanCndCndCndCndd(1d)n1

an1d(1d)n

an1d1an

因为d为常数，所以{an}是以d为首项，d1为公比的等比数列。

bnnd2(1d)n1

（2）Snd2(1d)02d2(1d)13d2(1d)2nd2(1d)n1

d2[(1d)02(1d)13(1d)2n(1d)n1](1)(1d)Snd2[(1d)12(1d)23(1d)3n(1d)n](2)

1(1(1d)n)d2n(1d)nd(d2nd)(1d)n（2）（1）dSnd[1(1d)2

Sn1(dn1)(1d)n