一轮复习等差等比数列证明练习题

第一篇：一轮复习等差等比数列证明练习题

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1．已知数列an是首项为a1，公比q141的等比数列，bn23log1an 44(nN*)，数列cn满足cnanbn．

（1）求证：bn是等差数列；

2ana2,aa6a6(nN)，n1nn2．数列满足1设cnlog5(an3)．

（Ⅰ）求证：cn是等比数列；

*3．设数列an的前n项和为Sn，已知a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN)．（2）求证：数列Sn2是等比数列； 4．数列{an}满足a11,an12n1an(nN)nan22n（1）证明:数列{}是等差数列；

an2Sn25．数列an首项a11，前n项和Sn与an之间满足an(n2)

2Sn1（1）求证：数列1是等差数列

Sn2，an16．数列{an}满足a13，an1（1）求证：{an1}成等比数列； an2*7．已知数列{an}满足an13an4，(nN)且a11，（Ⅰ）求证：数列an2是等比数列；

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8． 数列{an}满足:a11,nan1(n1)ann(n1),nN*（1）证明：数列{an}是等差数列； n9．已知数列{an}的首项a1=

22an，an1，n=1，2，… 3an1（1）证明：数列11是等比数列； an1,Snn2ann(n1),n1,2,L． 210．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1（1）证明：数列n1Sn是等差数列，并求Sn； n11．（16分）已知数列{an}的前n项和是Sn，且Sn2ann（1）证明：an1为等比数列；

12．数列{an}满足：a12,a23,an23an12an(nN)（1）记dnan1an，求证：数列{dn}是等比数列；

13．已知数列{an}的相邻两项an，an1是关于x方程x22nxbn0的两根，且a11．（1）求证：数列{an2n}是等比数列；

14．（本题满分12分）已知数列{an}中，a15且an2an12n1（n2且nN*）． 13a1（Ⅰ）证明：数列nn为等差数列；

215．已知数列an中,a11,an1an(nN*)an3（1）求证:11是等比数列,并求an的通项公式an;an235，a3，且当n2时，2416．设数列an的前n项和为Sn，n．已知a11，a24Sn25Sn8Sn1Sn1．

（1）求a4的值；

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（2）证明：an11an为等比数列； 217．设数列an的前n项和为Sn，且首项a13,an1Sn3n(nN).n(Ⅰ)求证：Sn3是等比数列； 18．（本小题满分10分）已知数列an满足a11，an1a2（1）求证：数列n是等比数列；

n(3n3)an4n6,nN*．

n

参考答案

1．（1）见解析；（2）Sn2(3n2)1n()；（3）m1或m5 3342n12．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）3．（1）

an511Tn2n.3.；459（Ⅲ）a24,a38；

（2）见解析；（3）5

2nn14．（1）详见解析；（2）an；（3）2n326

n11(n1)23． 5．（1）详见解析；（2）an；（3）2(n2)3(2n1)(2n3)6．（1）证明{an1}成等比数列的过程详见试题解析； an2答案第3页，总5页 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

（2）实数t的取值范围为7．详见解析

8．（1）见解析；（2）Sn1331． t222n13n13 49．（1）详见解析（2）Sn21nnn1 2n12n2210．（1）由Snn2ann(n1)知，当n2时，Snn，即(SnS(n1)n1)n(n21)Snn2Sn1n(n1)，所以所以n1n11SnSn11，对n2成立．又S11，nn11n1n1Sn1(n1)1，即Sn是首项为1，公差为1的等差数列．所以nnn2Sn．

n1（2）因为

bnSn1111()32n3n(n1)(n3)2n1n3，所以b1b2Lbn． 11111111115115(L)()22435nn2n1n326n2n312k18k6k411．（1）见解析；（2）解析；（3）存在，或或．

m5m2m1812．（1）dn12n1（2）an2n11

2n12n为偶数3313．（1）见解析；（2）Sn，（3）(,1)

n121n为奇数3314．（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）Snn2n1 15．（1）证明详见解析；（2）23．

7116．（1）；（2）证明见解析；（3）an2n18217．(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)(9,3)(3,)

n1．

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18．（1）详见解析（2）详见解析

答案第5页，总5页

第二篇：一轮复习等差等比数列证明练习题

Fpg

1．已知数列an是首项为a1，公比q141の等比数列，bn23log1an 44(nN*)，数列cn满足cnanbn．

（1）求证：bn是等差数列；

2ana2,aa6a6(nN)，n1nn2．数列满足1设cnlog5(an3)．

（Ⅰ）求证：cn是等比数列；

*3．设数列anの前n项和为Sn，已知a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN)．（2）求证：数列Sn2是等比数列； 4．数列{an}满足a11,an12n1an(nN)nan22n（1）证明:数列{}是等差数列；

an2Sn25．数列an首项a11，前n项和Sn与an之间满足an(n2)

2Sn1（1）求证：数列1是等差数列

Sn2，an16．数列{an}满足a13，an1（1）求证：{an1}成等比数列； an2*7．已知数列{an}满足an13an4，(nN)且a11，（Ⅰ）求证：数列an2是等比数列；

Fpg 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

8． 数列{an}满足:a11,nan1(n1)ann(n1),nN*（1）证明：数列{an}是等差数列； n9．已知数列{an}の首项a1=

22an，an1，n=1，2，… 3an1（1）证明：数列11是等比数列； an1,Snn2ann(n1),n1,2,L． 210．已知数列{an}の前n项和为Sn，a1（1）证明：数列n1Sn是等差数列，并求Sn； n11．（16分）已知数列{an}の前n项和是Sn，且Sn2ann（1）证明：an1为等比数列；

12．数列{an}满足：a12,a23,an23an12an(nN)（1）记dnan1an，求证：数列{dn}是等比数列；

13．已知数列{an}の相邻两项an，an1是关于x方程x22nxbn0の两根，且a11．（1）求证：数列{an2n}是等比数列；

14．（本题满分12分）已知数列{an}中，a15且an2an12n1（n2且nN*）． 13a1（Ⅰ）证明：数列nn为等差数列；

215．已知数列an中,a11,an1an(nN*)an3（1）求证:11是等比数列,并求anの通项公式an;an235，a3，且当n2时，2416．设数列anの前n项和为Sn，n．已知a11，a24Sn25Sn8Sn1Sn1．

（1）求a4の值；

答案第2页，总5页

Fpg（2）证明：an11an为等比数列； 217．设数列anの前n项和为Sn，且首项a13,an1Sn3n(nN).n(Ⅰ)求证：Sn3是等比数列； 18．（本小题满分10分）已知数列an满足a11，an1a2（1）求证：数列n是等比数列；

n(3n3)an4n6,nN*．

n

参考答案

1．（1）见解析；（2）Sn2(3n2)1n()；（3）m1或m5 334n12a5n2．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）

11Tn2n.3.；459（Ⅲ）3．（1）a24,a38；

（2）见解析；（3）5

2nn14．（1）详见解析；（2）an；（3）2n326

n11(n1)23． 5．（1）详见解析；（2）an；（3）2(n2)3(2n1)(2n3)6．（1）证明{an1}成等比数列の过程详见试题解析； an2Fpg 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

（2）实数tの取值范围为7．详见解析

8．（1）见解析；（2）Sn1331． t222n13n13 49．（1）详见解析（2）Sn21nnn1 2n12n2210．（1）由Snn2ann(n1)知，当n2时，Snn，即(S(n1)nSn1)n(n21)Snn2Sn1n(n1)，所以所以n1n11SnSn11，对n2成立．又S11，nn11n1n1Sn1(n1)1，即Sn是首项为1，公差为1の等差数列．所以nnn2Sn．

n1（2）因为

bnSn1111()32n3n(n1)(n3)2n1n3，所以b1b2Lbn． 11111111115115(L)()22435nn2n1n326n2n312k18k6k411．（1）见解析；（2）解析；（3）存在，或或．

m5m2m1812．（1）dn12n1（2）an2n11

2n12n为偶数3313．（1）见解析；（2）Sn，（3）(,1)

n121n为奇数3314．（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）Snn2n1 15．（1）证明详见解析；（2）23．

7116．（1）；（2）证明见解析；（3）an2n18217．(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)(9,3)(3,)

n1．

答案第4页，总5页

Fpg 18．（1）详见解析（2）详见解析

Fpg

第三篇：等差等比数列综合练习题

等差数列等比数列综合练习题

一．选择题

1.已知an1an30，则数列an是（）

A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.摆动数列 2.等比数列{an}中，首项a18，公比q，那么它的前5项的和S5的值是（）A．31333537

B．

C．

D． 2222123.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S7=35，则a4=()A.8 B.7

C.6

D.5 4.等差数列{an}中，a13a8a15120,则2a9a10（）A．24 B．22

C．20

D．-8 5.数列an的通项公式为an3n228n，则数列an各项中最小项是（）A.b7a7,则b6b8（）A.2

B.4

C.8

D.16 10.已知等差数列an中, an0,若m1且am1am1am20,S2m138,则m等于

A.38

B.20

C.10

D.9 11.已知sn是等差数列an(nN*)的前n项和,且s6s7s5,下列结论中不正确的是（）A.d<0

B.s110

C.s120

D.s130 12.等差数列{an}中，a1，a2，a4恰好成等比数列，则

a4的值是（）a1 A．1

B．2

C．3

D．4

二．填空题

13．已知{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，则a75＝________ 14.在等比数列{an}中，a2a816，则a5=__________ 15．在等差数列{an}中，若a7＝m，a14＝n，则a21＝__________ 16.若数列xn满足lgxn11lgxnnN,且x1x2x100100,则lgx101x102x200________ 17.等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3+a17=10,则S19的值_________ 18.已知等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＝40，a4＋a5＋a6＝20，则前9项之和等于_________

三.解答题

19.设三个数a，b，c成等差数列，其和为6，又a，b，c1成等比数列，求此三个数.20.已知数列an中，a11,an2an13，求此数列的通项公式.2ans5n3n,求它的前3项，并求它21.设等差数列的前n项和公式是n的通项公式.22.已知等比数列an的前n项和记为Sn,，S10=10，

S30=70，求S40

第四篇：等差等比数列的证明

专题：等差（等比）数列的证明

1.已知数列{a}中，anan15且2an12n1（n2且nN*）.an1（Ⅰ）证明：数列2n为等差数列；（Ⅱ）求数列{an}的前n

项和S.n

2.已知数列{a}中，an12且an1an2n30（n2且nN*）.证明：数列an2n为等差数列；

3.已知数列{a}中，an14且2an1an2n50（n2且nN*）.证明：数列an2n1为等比数列；

4．数列{an}满足a12,a25,an23an12an.（1）求证：数列{an1an}是等比数列；（2）求数列{an}的通项公式；

5.已知各项均为正数的数列an前n项和为

1a且n是和S2Sn，首项为a1，n的等差中项.求数列a的通项公式； n

6.已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的n∈N*有an＋Sn＝

n.(1)设bn＝an－1，求证：数列{bn}是等比数列； 7.设数列an的各项都是正数，且对任意

nN*，都有

aaaaS

为数列的前n项和.3132333n2n，其中S

n

（I）求证：

a2Snan;

n

（II）求数列an的通项公式；

8.数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)，a(1)设bn＝an＋1－2an，求证：{bn}是等比数列；（2）.证明数列{n－2}

是等差数列

(3)设cn＝

9.已知正项数列{an}的前n项和Sn满足 2Sn＝an＋1.求证：{an}是等差数列．

10.设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，a{cn}是等比数列． 3n－1

Sn*

an＝2(n－1)(n∈N)．

n

(1)

求证：数列{an}为等差数列,并求{an}的通项公式；

(2)求数列{的前n项和Tn，an·an+1

11.设Sn是数列{an}（nN*）的前n项和，已知a14，an1Sn3n，设bnSn3n.（Ⅰ）证明：数列{bn}是等比数列，并求数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）令cn

12.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1，an＋2SnSn1＝0(n2)． 问：数列{1是否为等差数列？并证明你的结论；

Sn

2log2bn

n

2，求数列{cn}的前n项和Tn.bn

13.已知等差数列{an}的公差大于0，且a3，a5是方程x214x450的两根，数列{bn}的前n项的和为Sn，且Sn=

an·bn。求数列{an}，{bn}的通项公式；

1bn

(n∈N*),Cn=

14.已知数列{an}与{bn}满足

n1

3＋－1

bn＋1an＋bnan＋1＝(－2)n＋1，bn＝n∈N*，且a1＝2.－

设cn＝a2n＋1－a2n－1，n∈N*，证明{cn}是等比数列

15.已知在正项数列{an}中，a1＝2，点An(an，an＋1)在双曲线y－x＝1上，数列{bn}中，点(bn，Tn)在直线y＝－x＋1上，其

中Tn是数列{bn}的前n项和．

(1)求数列{an}的通项公式；(2)求证：数列{bn}是等比数列；

第五篇：等差与等比数列综合专题练习题

1．数列{an}是等差数列，若

值时，n＝()A．11a＜－1，且它的前n项和Sn有最大值，那么当Sn取得最小正a10

anB．17C．19D．21 2.已知公差大于0的等差数列{

求数列{an}的通项公式an． }满足a2a4＋a4a6＋a6a2＝1，a2，a4，a8依次成等比数列，3.已知△ABC中，三内角A、B、C的度数成等差数列，边a、b、c依次成等比数列．求证：△ABC是等边三角形．

4.设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn．是否存在实数k，使4Sn＝(k＋an)2对一切正整数n成立？若存在，求出k的值，并求相应数列的通项公式；若不存在，说明理由．

答：存在k＝0，an＝0或k＝1，an＝2n－1适合题意．

5.设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，Sn=nan﹣2n(n﹣1)，(n∈N*)(Ⅰ)求证数列{an}为等差数列，并写出通项公式；(Ⅱ)是否存在自然数n，使得S1S22S3

3Sn

n400?

若存在，求出n的值；若不存在，说明理由；

6．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝55，S20＝210.(1)求数列{an}的通项公式；

a(2)设bnm、k(k>m≥2，m，k∈N*)，使得b1、bm、bk成等比数列？若存在，an＋1

求出所有符合条件的m、k的值；若不存在，请说明理由．

2a1＋9d＝11a1＝1，解：(1)设等差数列{an}的公差为d，即，解得所以an＝a1＋(n－1)d2a1＋19d＝21d＝1.**2＝n(n∈N)．(2)假设存在m、k(k>m≥2，m，k∈N)，使得b1、bm、bk成等比数列，则bm＝

an1mkm21kb1bk.因为bn＝，所以b1＝，bm＝，bk＝所以(＝×.整理，22k＋1an＋1n＋1m＋1k＋1m＋1

2m2

得k＝－m＋2m＋1

以下给出求m、k的方法：因为k>0，所以－m2＋2m＋1>0，解得1－2

已知二次函数y＝f(x)的图象经过坐标原点，其导函数为f(x)＝3x2－2x,.数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N*)均在函数y＝f(x)的图象上

3m(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn<对所20anan＋1

有n∈N*都成立的最小正整数m.17．已知点(1是函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象上一点，等比数列{an}的前n项和为f(n)3

－c，数列{bn}的首项为c，且前n项和Sn满足Sn－Sn－1Sn＋Sn＋1(n≥2)．(1)求数列{an}

11000和{bn}的通项公式；(2)若数列{前n项和为Tn，问Tn>n是多少？ 2009bnbn＋1

8.已知定义域为R的二次函数f(x)的最小值为0，且有f(1＋x)＝f(1－x)，直线g(x)＝4(x－1)的图象被f(x)的图象截得的弦长为4，数列{an}满足a1＝2，(an＋1－an)g(an)＋f(an)＝0

*(n∈N)．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求数列{an}的通项公式；(3)设bn＝3f(an)－g(an＋1),求数列{bn}的最值及相应的n.