等差、等比数列的性质及配套练习（优秀范文五篇）

第一篇：等差、等比数列的性质及配套练习

◇等差数列与等比数列的性质◇

等

定 义 式：an 等差数列的概念 an1d(d为常数，n2,nN*)，或an1and(nN*).递 推 式：an1and(nN*).

ab.2等差中项：任何两个数a,b都有且仅有一个等差中项AA

通项公式：ana1(n1)d，anam(nm)d（广义）.特征：an

前n项和：Snknb，其中kd,ba1d.(a1an)nn(n1)n(n1)na1dnand.22

2特征：SnAn2Bn，其中Add,Ba1.22

注：1.等差数列的定义式和递推式、等差中项、等差数列通项公式的特征、前n项和的特征，都可以作为一个数列是等差数列的判定依据，但等差数列的证明必须根据定义式.2.对任何数列，都有ann1,S1,SnSn1,n2,nN*.等差数列的性质

1.若an为等差数列，则anam(nm)d(m,nN*).2.若an为等差数列，且mnpq(m,n,p,qN*)，则amanapaq.3.若an为等差数列，则S2n1an(2n1)中间项 项数.S奇n14.若等差数列an共有2n1项，则①S奇S偶a中；②.S偶n

S偶an15.若等差数列an共有2n项，则①S偶S奇nd；②.S奇an

6.若an为各项均不为零的等差数列，前n项和为Sn,，则

anS2m

1.2n1

amS2m12n1

anS2n1

.

bnT2n1

7.若an、bn均为各项非零的等差数列，前n项和分别为Sn,Tn，则8.在等差数列an中，若amn,anm(mn)，则amn0.9.在等差数列an中，若Smn,Snm(mn)，则Smn(mn).10.在等差数列an中，若SmSn(mn)，则Smn0.11.若an为等差数列，则kanb仍为等差数列，其中k和b是常数.12.若an、bn为等差数列，则anbn仍为等差数列.13.若an为等差数列，则序号成等差的项也成等差数列，即：若an为等差数列，bn为

正整数等差数列，则

a为等差数列.bn

14.Sn为数列an的前n项和，则an为等差数列

Sn

为等差数列.n

15.若an为等差数列，则an依次k项和仍为等差数列，即Sk,S2kSk,S3kS2k.…仍为

等差数列.等比数列

等比数列的概念

an1an

q(nN*).q(常数q0,n2,nN*)，或定 义 式：

anan

1递 推 式：an1

anq(nN*).等比中项：两个同号的实数a,b才有但有两个等比中项GGab.通项公式：an



a1qn1，anamqnm（广义）.前n项和：当q1时，Snna1，a1(1qn)a1a1qna1an1an(1qn)

当q1时，Sn.1

1q1q1q1q

特征：SnA(qn1)(A0).注：非零常数列既是等差数列也是等比数列，反之亦然.等比数列的性质

1.若an为等比数列，则an

amqnm(m,nN*).2.若an为等比数列，且mnpq(m,n,p,qN*)，则amanapaq.3.若an为等比数列，则kan仍为等比数列，其中k是非零常数.．．

4.若an为等比数列，则当an恒有意义时an仍为等比数列，其中k是任意常数.k



k



5.若an、bn为等比数列，则anbn、

an

仍为等比数列.bn

6.若an为等比数列，则序号成等差的项也成等比数列，即：若an为等比数列，bn为

正整数等差数列，则

a为等比数列.bn

7.Tn为正项数列an的前n项积，则an为等比数列

为等比数列.n

8.若Sk为等比数列an的前n项和，且Sk0，则an依次k项和仍为等比数列，即Sk,S2kSk,S3kS2k.…仍为等比数列.注：等比数列各项积的性质类似于等差数列各项和的性质，应用范围较小，故未写入.等差数列与等比数列的联系

1.非零常数列，也只有非零常数列，即是等差数列也是等比数列。

2.等差数列与等比数列可以相互转化.事实上，若an是等比数列，则logcan是等差数列；

若an是等差数列，则c

是等比数列，其中c是常数，且c0,c1.an

3.等差数列和的运算与等比数列积的运算有类似的性质，等差数列差的运算与等比数列商的运算有类似的性质.等差、等比数列性质配套练习

一、选择题：

1.在正整数500至1000之间能被11整除的个数为（）A.34B.35C.36D.37 2．等差数列{an}的公差为,S100=145,则a1+a3+a5+…+a99的值为()

214

5A.60B.85C.D.75

3.设函数f(x)满足f(n+1)=A.95

2f(n)n

(n∈N*)且f(1)=2,则f(20)为（）2

C.105

D.192

B.97

4.若an是等差数列，首项a10,a2011a20120,a2011a20120,，则使前n项和Sn0成 立的最大自然数n是（）A．4021B．4022C．4023D．402

45.在等差数列an中，若S918,Sn240 ,an430，则n的值为（）A.14

B.15

C.16

D.17

6．已知数列{an}，如果a1,a2-a1，a3-a2，…，an-an-1，…是首项为1，公比为的等比数列，则

3an(n∈N*)等于（）3131212

1)B.(1n1)C.(1)D.(1n1)A.(1

2323333n3nn

7．已知数列前n项和Sn=2-1(n∈N*)，则此数列奇数项的前n项和为()

1111

A.(2n11)B.(2n12)C.(22n1)D.(22n2)

3333

8．若正数a、b、c依次成公比大于1的等比数列，则当x>1时，logax、logbx、logcx()

A.依次成等差数列B.依次成等比数列

C.各项的倒数依次成等差数列D.各项的倒数依次成等比数列

9．正项等比数列｛an｝的首项a1=2-5，其前11项的几何平均数为25,若前11项中抽取一项后的 几何平均数仍是25,则抽去一项的项数为()A.6B.7C.9D.1

1(a1a2)

210已知x、y为正实数，且x，a1,a2,y成等差数列，x,b1,b2,y成等比数列，则的取值

b1b

2范围是()A.RB.(0,4C.［4,+D.(-∞,0］∪［4,+∞)

二、填空题：

11.在等差数列an中,若s1560,则a8等于________________.12.在等差数列an中,a10a2a8, ,则使它的前n项和Sn取最大值的自然数n.13.等差数列an,bn的前n项和分别为Sn、Tn,若

Sna2n

=,则11=_________.Tn3n1b1

114.在等比数列bn中,b1b1

52,则b3b13的值等于______________.b4b8b1

215.设an为公比大于1的等比数列，若a2009,a2010是方程4x8x30的两根，则

a2011a201216.某等比数列中, 前7项和为48, 前14项和为60,则前21项和为________________.17.已知f(x)

三、解答题：

18.在等差数列an中，若a1=25且S9=S17,问：数列an前多少项的和最大？

2x，当x11,xnf(xn1)(n2,nN*),则x2012___________.x2

3n217n

19.若数列an的前n项和Sn=-(n∈N*)，求数列｛|an|｝的前n项和Tn.22

20.若等比数列an的公比q1,又a17a24,求使a1a2an

111 a1a2an

成立的自然数n的取值范围.21.在某两个正数之间插入一个数a,则三数成等差数列，若插入二个数b,c,则四数成等比数列.(1)求证:2a≥b+c;

(2)求证:(a+1)≥(b+1)(c+1).22.已知数列an的前n项和为Sn，且满足an2SnSn10(n2),a1(1)求证：

1.2

1

（2）求an表达式.是等差数列；

Sn

第二篇：(经典整理)等差、等比数列的性质

等差、等比数列的性质

一：考试要求

1、理解数列的概念、2、了解数列通项公式的意义

3、了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项 二:知识归纳

（一）主要知识：

有关等差、等比数列的结论 1．等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm,S2mSm,S3mS2m,仍为等差数列．

2．等差数列{an}中，若mnpq，则amanapaq 3．等比数列{an}中，若mnpq，则amanapaq

4．等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm,S2mSm,S3mS2m,仍为等比数列．

5．两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{anbn}仍为等差数列．

an1

6．两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数的数列{anbn}、、仍为等比数

bnbn

列．

（二）主要方法：

1．解决等差数列和等比数列的问题时，通常考虑两类方法：①基本量法：即运用条件转化为关于a1和d(q)的方程；②巧妙运用等差数列和等比数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．

2．深刻领会两类数列的性质，弄清通项和前n项和公式的内在联系是解题的关键．

三：例题诠释，举一反三

例题1(2011佛山)在等差数列{an}中，a1＋2a8＋a15＝96，则2a9－a10＝()A．24B．22C．20D．－8

变式1：(2011广雅)已知数列{an}为等差数列且a1＋a7＋a13＝4π，则tan(a2＋a12)的值为()A

3变式2：（2011重庆理11）在等差数列{an}中，a3a737，则a2a4a6a8

________

B3

A3

3A3

例题2 等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为()

A．130B．170C．210D．260

变式1:（2011高考创新）等差数列{an}的通项公式是an=1-2n,其前n项和为Sn,则数列{的前11项和为（）

A.-45B.-50C.-55D.-66 变式2：（2011高考创新）等差数列{an}中有两项am和ak满足am=

Snn

}

1k,ak=

1m,则该数列前mk

项之和是.例题3(1)已知等比数列{an}，a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，则an＝________.(2)已知数列{an}是等比数列，且Sm＝10，S2m＝30，则S3m＝________(m∈N*)．(3)在等比数列{an}中，公比q＝2，前99项的和S99＝56，则a3＋a6＋a9＋…＋a99＝_______.变式1：(2011佛山)在等比数列{an}中，若a3·a5·a7·a9·a11＝32，则

a9

a1

1的值为()

A．4B．2C．－2D．－

4变式2（2011湛江）等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2an－1＝128，前n项的和Sn＝126，求n和公比q.变式3（2011广州调研）等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2=6，S4=30，则S6.1

例题4 已知数列{an}，an∈N*，Sn＝(an＋2)2.8(1)求证：{an}是等差数列；

(2)若bn＝n－30，求数列{bn}的前n项和的最小值．

变式1已知数列{an}中，a1

3

5，an

2

1an1

(n2,nN

)，数列{bn}满足bn



1an1

(nN

)

（1）求证：数列{bn}是等差数列；

（2）求数列{an}中的最大值和最小值，并说明理由

变式2设等差数列an的前n项和为sn，已知a324,s110，求： ①数列an的通项公式②当n为何值时，sn最大，最大值为多少？

变式3(2011·汕头模拟)已知数列{an}中，a1＝，数列an＝2－，(n≥2，n∈N*)，数列an-1{bn}满足bn＝

(n∈N*)．an-1

(1)求证数列{bn}是等差数列；

(2)求数列{an}中的最大项与最小项，并说明理由．

32a例题5(2008·陕西)(文)已知数列{an}的首项a1＝，an+1=n∈N*an+11

(1)求证数列－1}是等比数列；

ann

(2)求数列{前n项的和

an

变式1 在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*.(1)证明数列{an－n}是等比数列；(2)求数列{an}的前n项和Sn；(3)求证对任意n∈N*都有Sn＋1≤4Sn

变式2设{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，且cn＝an＋bn，证明数列{cn}不是等比数列．

变式3.在数列an中，a11,an12an2（1）设bn

n

an

2n1,证明bn是等差数列;（2）

求数列an的前n项和Sn。

当堂讲练： 1．（1）若一个等差数列前3项的和为34，最后三项的和为146，且所有项的和为390,则这个数列有项；

（2）已知数列{an}是等比数列,且an>0,nN,a3a52a4a6a5a781，则

a4a6

*

（3）等差数列前m项和是30，前2m项和是100，则它的前3m项和是．

2．若数列{an}成等差数列，且Smn,Snm(mn)，求Snm．

3．等差数列{an}中共有奇数项，且此数列中的奇数项之和为77，偶数项之和为66，a11，求其项数和中间项.4．若数列{an}（nN*）是等差数列，则有数列bn

a1a2an

n

（nN*）也为

等差数列，类比上述性质，相应地：若数列{cn}是等比数列，且cn>0（nN*），则有

d

n

nN*）也是等比数列．

5．设Sn和Tn分别为两个等差数列的前n项和，若对任意nN，都有则第一个数列的第11项与第二个数列的第11项的比是．说明：

anbn

S2n1T2n1

*

SnTn



7n14n27，．

四：课后练习

1基础部分

1已知各项均为正数的等差数列an中，a1a1136，则a6的最小值为（）

A、4B、5C、6D、7

2.已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（）

A.3B.4C.5D.23.等差数列{an}中，a13a8a15120,则2a9a10

（）

A．24 B．22 C．20 D．-8

4{an}是等差数列，a1>0，a2009＋a2010>0，a2009·a2010<0，使前n项和Sn>0成立的最大自然数n是（）A．4019B．4018C．4017D．4016

5.在等差数列{an}中,前n项和为Sn,若a75,S721,那么S10等于（）

A．55 B．40 C．35 D．70

6.(2009山东卷文)在等差数列{an}中,a37,a5a26,则a6____________.7设Sn是等差数列an的前n项和，已知S636,Sn324,Sn6144,则n=__________.S2007

S2005200

52

aSa20088在等差数列n中，1，其前n项的和为n．若2007

S2008_________，则

2提高部分

1、（2010惠州 第三次调研理 4）等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2a8a1130，那

么S13值的是（）A．130

B．6

5C．70D．以上都不对

2．（2010揭阳市一模 理4）数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1,a3,a7为等比数列{bn}的连续三项，则数列{bn}的公比为

A

B．4C．2D．

3、(2009安徽卷文 2）已知{an}为等差数列，于A.-1

12，则

B.1C.3D.7

等

4.（2009江西卷文）公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn.若a4是a3与a7的等比中项, S832,则S10等于

A.18B.24C.60D.90

5．（2011佛山一检）在等差数列an中，首项a10,公差d0，若

aka1a2a3a7，则k()

A．22 B．23 C．24D．25

6.（2010全国卷1文）（4）已知各项均为正数的等比数列{an}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则

aaa=

(A)

7.（2010湖北文）7.已知等比数列{am}中，各项都是正数，且a1，则

a9a10a7

a8

A.1

a3,2a2成等差数列，B.1

C.3

D3

8（2010福建理）3．设等差数列an的前n项和为Sn,若a111,a4a66,则当Sn取最小值时,n等于

A．6

B．7

C．8

D．9

9.（广东省佛山市顺德区2010年4月普通高中毕业班质量检测试题理科）在等比数列{an}中，若a1a2a32，a2a3a416, 则公比q10．（2010年3月广东省广州市高三一模数学理科试题）在等比数列an中，a11，公比

q2，若an前n项和Sn127，则n的值为．

11．(2010年3月广东省深圳市高三年级第一次调研考试理科)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S981，则a2a5a8．

12．若Sn和Tn分别表示数列{an}和{bn}的前n项和，对任意自然数n，有an

2n32

*，（1）求数列{bn}的通项公式；（2）设集合A{x|x2an,nN}，4Tn12Sn13n，B{y|y4bn,nN}．若等差数列{cn}任一项cnAB,c1是AB中的最大数，且

*

265c10125，求{cn}的通项公式．

第三篇：等差、等比数列性质类比

等差、等比数列知识点

一、等差数列：

1.等差数列的证明方法：1.定义法：2．等差中项：对于数列则{an}为等差数列。2.等差数列的通项公式：

an，若2an1anan

2ana1(n1)d------该公式整理后是关于n的一次函数

Sn

n(a1an)n(n1)

2Snna1dSAnBn n223.等差数列的前n项和 1．2.3.abA

2或2Aab 4.等差中项: 如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。即：

5.等差数列的性质:（1）等差数列任意两项间的关系：如果

an是等差数列的第n项，am是等差

aam(nm)d

数列的第m项，且mn，公差为d，则有n

（2）.对于等差数列

an，若m+n=p+q，则am+an=ap+aq。

*SSSSk，S3kS2kakNnn（3）若数列是等差数列，是其前n项的和，那么k，2k

S3k

a1a2a3akak1a2ka2k1a3k

成等差数列。如下图所示：

（4）．设数列

SkS2kSkS3kS2k

an是等差数列，S奇是奇数项的和，S偶是偶数项项的和，Sn是前n项的和，S偶S奇

S奇nn1dSSa偶中，S偶n.2，○2当n为奇数时，则奇

则有如下性质： ○1当n为偶数时，二、等比数列：

1.等比数列的判定方法:①定义法若数列。

an

1q(q0)an

2an是等比aaann2n1，则数列②等比中项：若

n1

aaaqqann12.等比数列的通项公式:如果等比数列的首项是1，公比是，则等比数列的通项为。

3.等比数列的前n项和:○1

Sn

a1(1qn)

(q1)

1q

○

2Sn

a1anq

(q1)

1q

○3当

q1时，Snna1 ab。

4.等比中项:如果使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。那么G5.等比数列的性质:

（1）．等比数列任意两项间的关系：如果

an是等比数列的第n项，am是等差数列的第m项，且mn，qanamqnm

公比为，则有

（2）对于等比数列an，若nmuv，则anamauav也就是：a1ana2an1a3an2。

（3）．若数列an是等比数列，Sn是其前n项的和，kN*，那么Sk，S2kSk，S3kS2k成等比数

S3ka1a2a3akak1a2ka2k1a3k

列。如下图所示：SkS2kSkS3kS2k

基础练习

一、选择题：

1．已知｛an｝为等差数列，a2+a8=12,则a5等于（）

(A)4(B)5(C)6(D)7

2．设｛an｝是公比为正数的等比数列，若a11,a5=16,则数列｛an｝前7项的和为（）

A.63B.64C.127D.128

3.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S39，S636，则a7a8a9（）

A．63B．45C．36D．274、设等比数列{an}的公比q2，前n项和为SS

4n，则a（）

A.2B.4 C.15D.17

25.某种细菌在培养过程中,每20分钟分裂一次(一个分裂为两个).经过3个小时,这种细菌由1个可繁殖成-（A.511个B.512个C.1023个D.1024个

6．已知等差数列｛an｝中，a2=6, a5=15.若bn=a2n,则数列｛bn｝的前5项和等于（）

(A)30（B）45(C)90(D)186

7．已知数列an*

对任意的p，qN满足apqapaq，且a26，那么a10等于（）

A．165B．33C．30D．2

18．设{an}是等差数列，若a23,a713，则数列{an}前8项和为（）

Ａ．128Ｂ．80Ｃ．64Ｄ．56

9．设｛an｝是公比为正数的等比数列，若a1＝1,a5=16,则数列｛an｝前7项的和为（）

A.63B.64C.127D.128

10．记等差数列an的前n项和为Sn，若S24，S420，则该数列的公差d=（）

A．7B.6C.3D.2

11．记等差数列an的前n项和为Sn，若a11

2，S420，则S6()

A．16B.24C.36D.48

a2,aa1

1n1nln

12．在数列an中，1n，则an＝（）

2)

A．2lnnB．

二、填空题：

1．等差数列{an}中，a5=24，S5=70，则S10=___

2．等比数列{an}的前n项和为Sn=32n1lnnC．2nlnnD．1nlnn +t，则t=________

3．等比数列{an}中，an>0，a2·a4+2a3·a5+a4·a6=25，则a3+a5=_______

4．设{an}中，an=20－4n，则这个数列前__或____项和最大。

5．已知：两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为An和Bn，且An3n1 n

Bn2n

3求：（1）a15b15=_________（2）an=___________ bn

6.等差数列{an}的公差d1，且前100项和S100=100,则a1+a3 +a5+…a99=__

27．在[1000，2000]内能被3整除且被4除余1的整数个数是________________

8．在数列{an}在中，an4n52*2，a1a2ananbn，nN,其中a,b为常数，则ab

52an4n{a}aaaanbn，nN*,其中a,b为常数，则2n2，19．在数列n在中，linanbnanbn的值是_____________

10．已知{an}为等差数列，a3 + a8 = 22，a6 = 7，则a5 = ____

三、解答题：

1．已知数列

n项和

11111S与SSS与S43453a设Snn345342.是等差数列的前n项和，已知的等比中项为，的等差中项为1，{an}是一个等差数列，且a21，a55。（1）求{an}的通项an；（2）求{an}前Sn的最大值。

求数列

an的通项．

3.等差数列{an}的前n

项和为Sn，a11S39求数列{an}的通项an与前n项和Sn；

4.等差数列an中，a410且a3，a6，a10成等比数列，求数列an前20项的和S20．

第四篇：等差、等比数列问题

等差等比数列问题

一、等差数列、等比数列基本数列问题

1．等差数列an，s636，sn6144，sn324，求n的值

1）an2an11；2）an2an1n1；3）an2an1n2n1； 4）an2an12n；5）an2an13n

1）sn2an1；2）sn22n1n1；3）sn2an1n2n1； 4）sn2an12n；5）sn2an13n 2．已知数列，aan满足：a＝m（m为正整数）

anA7n5

2．已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为An,Bn，且n，则使得为整数

bnn3Bn的的正整数n个数为：

3．已知等差数列an，a1a3a5a9936，公差d2，求s100的值。

4、已知等差数列an的第2项为8，前10项和为185。1）求an的通项公式；2）若数列依次取出a2,a4,a8,,a2n

n1

an中

an当a为偶数时

n，若a6＝1，则m所有2

当an为奇数时3an1

得到新数列bn，求数列bn的通项公式。

可能的取值为

四、数列与其它

1.已知数列an的通项公式annnN，则数列an的前30项中，最大项和最小项分别

n是

2．已知数列an是递增数列，且ann2n，则实数3.（Ⅰ）设

4．设等比数列an的公比为q（q>0），它的前n项和为40，前2n项和为3280，且前前n项中数值最大的项为27，求数列的第前2n项。

5．已知数列an的首项为23，公差为整数，且前6项为正，从第7项起为负数，求Sn的最大值。

范围是

an为正整数，6．数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，数列{bn}为等比数列，且a1

数列{ban}是公比为64的等比数列，b2S264.（1）求an,bn；（2）求证1113.S1S2Sn

4二、数列思想问题

1．数列an的前n项和Sn，又bn2．求和sn

3,b11，a1,a2,,an是各项均不为零的等差数列（n4），且公差d0，若将此数列删

a1的数值；②求n的所有可d

去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列：①当n =4时，求

能值；

（Ⅱ）求证：对于一个给定的正整数n(n≥4)，存在一个各项及公差都不为零的等差数列

an

b1,b2,,bn，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列．，求bn的前n项和

123n23n aaaa

3．等差数列an和等比bn，求数列anbn的前n项和 4．111

1*2

2*3

3*4

n1n 1213243



n*n11*22*33*4n*n15．已知数列an满足a12a23a3nannn1，求数列an的通项公式

三、复合数列问题

1、已知数列an满足下列条件，且a11，求数列an的通项公式

第五篇：等差、等比数列子数列性质的探究

等差、等比数列的子数列探究

【教学目标】

经历等差数列与等比数列子数列的性质的研究过程，体验“归纳——猜想——论证”的数学发现的科学方法；体会从特殊到一般、类比等数学思想，获得数学发现与研究的乐趣。

【教学重点】

归纳-猜想-论证、从特殊到一般、类比等数学思想方法的体验与认识。

【教学难点】

“归纳——猜想——论证”等数学数学思想方法的习得。

【教材分析】

前段时间，高三学生已经进行了数列的系统复习，掌握了等差、等比数列的定义与应用；学习了解决数列问题的“基本量法”、“类比”、“归纳、猜想、论证”等数学思想方法，本课主要通过等差、等比子数列的研究，强化数学的学习过程，加深对于数学本质的理解，规范解决数学问题的基本方法与要求，获得数学概念学习的新的体会。

【学情分析】

从学生的认知基础看，学生已经对于等差、等比数列有了较好的理解与认识，也能够开展对于数学新问题的学习与研究能力；从学生的思维发展看，高三学生已经具备了一定的研究与学习有关新概念与新问题的能力。

【问题提出】

在数列研究的过程中，等差数列与等比数列是两个十分重要的数列；我们已经研究了等差数列与等比数列的一些性质，这两节课，我们将研究了从等差及等比数列中取出部分的项，按原来的顺序组成的一个“子数列”所具有的性质；研究这些数列的的一般特征与规律。

观察下列数列，试写出一个符合前4项的通项公式，指出它们具有什么性质？

（1）1,2,3,4,...；

（2）2,4,6,8,...；

（3）1,3,5,7,...；

（4）1,2,4,8,...（4）5,9,13,17,...（5）2,5,8,11,...（6）1,4,16,64,...（7）5,20,80,320,...（设计意图：学生通过从特殊到一般的归纳与猜测，获得各数列的通项公式；指出其一般特性；体验通项公式的猁过程，逐步获得子数列的概念。）

【问题探究】

1）教师提问：观察上述数列，从数列的项来看，他们间存在什么联系吗？

2）形成子数列定义：给定无穷数列an，数列an中任取无穷多项，不改变它们在原来数列中的先后次序，得到新的数列ak1,ak2,ak3,...,ak,...(k...1k2k3 n

kn...,k1,k2,k3,knN)称为数列an的一个子数列。

3）指出上述数列中子数列关系。

结论：任何一个无穷数列都存在无穷多个子数列。

问题

一、数列an是无穷等差数列，问：数列an是否存在等差的子数列？ 研究：

1、设ana(a为常数），则任取一些项组成的数列都是等差子数列。

2、ann中有子数列bn2n1,bn2n,bn5n等。

3、an

1n1中有子数列bn3n1,bnn等 2224、数列an是等差数列，若k1k2k3...kn...，k1,k2,k3,knN)，当ak1t，且m的等差数列时，ak1,ak2,ak3,...,ak是数列an的一个首项为t，k1,k2,k3,...nk,是公差为,...,...n公差为md的等差子数列。证明：略。

方法小结：

（1）只要首项不同，公差不同就可以确定不同的等差子数列。

（2）从具体的例子中小结出如何寻找等差子数列，以及子数列的公差和原数列的公差之间的关系，从而得出结论：

1）2）

等差数列中下标成等差数列（公差为k）的项仍然成等差数列。新的等差数列的公差等于原等差数列的公差的k倍。

（设计意图：研究问题的1以及2，在前面已经解决过，只是让学生通过复习，加深对于子数列的理

解；问题3的解决，是为归纳猜想作必要的准备；问题的证明，是为了规范学生的表达形式。）

问题

二、数列an是等比数列，问：数列an是否存在等比的子数列？

1、设ana(a为常数），则任取一些项组成的数列都是等比子数列。

2、an2n中有子数列bn22n1和bn25n等。

3、an2()

n

1中有子数列bn2()等。

n4、数列an是等比数列，若k1k2k3...kn...，k1,k2,k3,knN)，当ak1t，且m的等差数列时，ak1,ak2,ak3,...,akn,...是数列an的一个首项为t，k1,k2,k3,...nk,是公差为,...公比为qk的等比子数列。

证明结论：设an是等比数列，q是公比，若am,an为常数时，an

qnm，当nmkam

an

qnmqk也是常数。am

方法小结：

（1）只要首项不同，公比不同就可以确定不同的等比子数列。

（2）从具体的例子中小结出如何寻找等比子数列，以及子数列的公比和原数列的公比之间的关系，从而得出结论： 1）

等比数列中下标成等差数列（公差为k）的项仍然成等比数列。

2）法。）

新的等比数列的公比等于qk。

（设计意图：学习类比的数学思想方法；进一步体会从特殊到一般，归纳——猜想——论证的数学思想方问题

三、数列an是等差数列，问：数列an是否存在等比的子数列？

1、若an=n，求数列an的等比子数列？ 子数列bn=

2n

1和bn=

3n1

等。

（自然数列是学生最容易想到的，除了自然数列之外，其他的数列不容易想到）

2、给出一个例子一起研究。

例题1：已知：等差数列an，且an3n1。问：等差数列an中是否存在等比子数列cn？（1）写出an的一些项：2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，„，学生尝试后找出结果有：

①2，8，32，128，512，„，24n1;②2,14,98,686,4802, „，27

n

1;③2,20,200,2000, „，210n1;④5,20,80,320, „，54n1;⑤2,26,338, „，213n1

（2）猜想：①cn24n1；②cn27n1；③cn210n1；④cn54n1；⑤

cn213n1

（3）提问：这些猜想是否正确呢？

我们可以从两个方面进行思考：通过演绎推理证明猜想为真，或者找出反例说明此猜想为假，从而否定或修正此猜想。（4）学生分组证明猜想

分析：24∵2

4n1

n1的项被3除余2，从而得出利用二项式定理证明的方法。

证1：（用二项式定理）

2(31)n12(3k1)6k2(kN)，即24n1除以3余2，∴cn是an的子数列。

分析 ：由前面几项符合推广到无穷项都符合，从而得出利用数学归纳法证明的方法。证2：（数学归纳法）

① 当n=1时，c12311a1

② 假设当n=k时，ck22k13m1am(mN)，那么当n=k+1时，ck1

22(k1)122k1422k14(3m1)3(4m1)1a4m1.由①、②得cn是an的子数列。

n1n

1c272(61)3k2,kN;n（5）同理证明

cn210n12(91)n13k2,kN,cn54n15(31)n13k2，kN;cn213n12(121)n13k2,kN.（6）引申：让学生找规律——以an中任一项为首项，以3k1(kN)为公比的等比数列均是该等差

数列的等比子数列

（7）小结：归纳法是从特殊到一般的推理方法，而由此所作出的猜想是需要进一步证明的。从归纳猜

想到论证的思维方法是我们研究数学问题常用的方法。

（8）思考：对给定的等差数列可以构造出等比数列，不确定的等差数列中是否存在等比数列？

【方法总结】

1、“归纳——猜想——论证”是数学发现的方法，从特殊到一般的数学思想方法，是研究数学问题的常用方法；

2、研究性学习，是数学思维培养的重要手段；

3、合作学习方式，是研究性学习的有效途径。

【方法应用】

思考

1、等比数列是否存在等差子数列？请举例说明，并研究一般规律。

思考2： 已知：数列an是首项a12,公差是d的等差数列。数列bn是等比数列，且

b1a1,b2a2。问：是否存在自然数d，使得数列bn是数列an的子数列？如存在，试求出d的一

切可能值。

思考

3、数列an是等比数列，问：数列an是否存在等差的子数列？ 分析：先取d=1，2，3，4，5，6。发现当d是奇数时，不可能。∵a2是奇数，∴公比

a2an

1为分数，则bn2(2)从第三项开始就不是自然数

2取d=2，an：2，4，6，8，„，bn：2，4，8，16，„，an2n,bn2n,2n是偶数，∴d=2时，数列bn是数列an的子数列，取d=4，an：2，6，10，14，18，„，bn：2，6，18，54，„，an4n2,bn23n12(41)n12(4k1)42k2(kN)，∴d=4时，数列bn是数列an的子数列。同理d=6时，数列bn也是数列an的子数列。由此猜想当d2m(mN)时，数列bn是数列an的子数列。可以用二项式定理或数学归纳法证明。

证1：（用二项式定理）在an中，a12,d2m,an2(n1)2m.在bn中，b1=2，b222m,q

则2(m1)

k1

22m

1m,bn2(1m)n1。令bkan(k3), 2

1k2

=2(n1)2m.(m1)k11(n1)m,mk1Ck 1m

2k21k32

an中的CkkCkCkk1m11(n1)m，可解出n1m1m1N,即bk为

某一项。

证2：（数学归纳法）①当n=1时，b1a1；②假设bk是an的第p项，即

2(m1)k122m(p1),则bk1bk(m1)22m(p1)(m1)=2+

2mm(p1)p11即bk1是an中的第m（p-1）+p+1项。由①、②得，数列bn是数列an的子

数列。