等比数列的性质总结

第一篇：等比数列的性质总结

等比数列性质

1.等比数列的定义：2.通项公式： ana1q

n

1anan1

qq0n2,且nN

*

，q称为公比



a1q

qAB

nn

a1q0,AB0，首项：a1；公比：q

推广：anamqnm，从而得qnm

3.等比中项

anam

或q

n（1）如果a,A,b成等比数列，那么A叫做a与b的等差中项．即：A2

ab或A

注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）（2）数列an是等比数列an2an1an1

4.等比数列的前n项和Sn公式：(1)当q1时，Snna1

a11q1q

a11q



n

(2)当q1时，Sn



a1

a1anq1q

n

1q

qAABA'BA'（A,B,A',B'为常数）

nn

5.等比数列的判定方法

（1）用定义：对任意的n,都有an1qan或

an1an

q(q为常数，an0){an}为等比数列

2（2）等比中项：anan1an1（an1an10）{an}为等比数列

（3）通项公式：anAB

n

AB0

n

{an}为等比数列

n

（4）前n项和公式：SnAAB或SnA'BA'A,B,A',B'为常数{an}为等比数列

6.等比数列的证明方法 依据定义：若

anan1

qq0n2,且nN

*

或a

n1

qan{an}为等比数列

7.注意

（1）等比数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：a1、q、n、an及Sn，其中a1、q称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

n1

（2）为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项；ana1q

如奇数个数成等差，可设为…，aq

2,aq

； ,a,aq,aq…（公比为q，中间项用a表示）

8.等比数列的性质(1)当q1时

①等比数列通项公式ana1qn1

a11q1q

n

a1q

qAB

nn

AB

a11q

0是关于n的带有系数的类指数函数，底数为公比q

②前n项和Sn





a1a1q1q

n

a11q

qAABA'BA'，系数和常数项是互为相反

nnn

数的类指数函数，底数为公比q

(2)对任何m,nN*,在等比数列{an}中,有anamqnm,特别的,当m=1时,便得到等比数列的通项公式.因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。

(3)若m+n=s+t(m, n, s, tN*),则anamasat.特别的,当n+m=2k时,得anamak2 注：a1ana2an1a3an2(4)列{an},{bn}为等比数列,则数列{列.(5)数列{an}为等比数列,每隔k(kN*)项取出一项(am,amk,am2k,am3k,)仍为等比数列(6)如果{an}是各项均为正数的等比数列,则数列{logaan}是等差数列(7)若{an}为等比数列,则数列Sn，S2nSn，S3nS2n,，成等比数列

(8)若{an}为等比数列,则数列a1a2an,an1an2a2n,a2n1a2n2a3n成等比数列(9)①当q1时，②当0

k

anbn

(k为非零常数)均为等比数

{a10，则{an}为递减数列,{a10，则{an}为递增数列

n

n

a0，则{a}为递增数列a0，则{a}为递减数列

③当q=1时,该数列为常数列（此时数列也为等差数列）;④当q<0时,该数列为摆动数列.(10)在等比数列{an}中, 当项数为2n(nN*)时,S奇S偶

1q,.(11)若{an}是公比为q的等比数列,则SnmSnqnSm

第二篇：等比数列的性质教案

等比数列的性质（第一课时）

惠来一中

方汉娇

一、【教学目标】

1.结合等比数列的性质，引导学生类比猜想等比数列的几个重要性质，并能初步应用等比数列性质解决相关的简单问题；

如：若数列an是等比数列，mnpq,m,n,p,qN*,则

anamapaq；

2、通过实例让学生明确等比数列性质应满足的条件，避免学生应用性质时由于自己的主观意识，导致性质的错用；

3、通过实例变式，提高学生举一反三的能力，渗透转化、类比的思想方法.二、教学重难点

1、【教学重点】理解掌握等比数列的几个重要性质，并能根据具体问题选择合适、有效的性质进行解题；

2、【教学难点】等比数列性质满足的条件及如何选择合适的性质解决具体的实际问题；

四、【教学过程】

1、回顾旧知，创设问题情境，引入新课。

知识回顾： aan11.q 定义nqn2an1an 2.ana1qn1anamqnm 通项公式

3、等比中项：若a,G,b成等比数列，2a与bGGab 则成为的等比中项，且有

2、新课讲解 已知an是一个无穷等比数列,公比为q.如果是,它的首项与公比分别是多少?

 2取出数列an中的所有奇数项,组成一个新的数列,这个新数列是等比数列吗?如果 ,它的首项与公比分别是多少?是 3在数列an中,每隔10项取出一项,组成一个新的数列,这个新数列是等比数列吗?如果 是,它的首项与公比分别是多少?  1将数列an中的前k项去掉,剩余各项组成一个新的数列,这个新数列是等比数列吗? 1

性质1:对一个等比数列an进行等距离抽取,所得项组成一个新的等比数列

1:在等比数列an中,a22,a68,求a10例

若数列anmnpq,m,n,p,qN*,anamapaq问题1：是等比数列，: 是否成立？ 证明略

问题2：若数列an是等比数列，a3a1a2,a3a7a1a4a5是否成立？

上述结论成立需要什么条件？

性质2: 若数列an特例：当

是等比数列，时，mnpq,m,n,p,qN*,anamapaq:。

mn2panamap2注意：①左右两边各项的下标之和相等；②左右两边的项数相同；

③可以推广到多项

练习1：⑴ 在等比数列an中，若a1a1025,a415，求a7的值；

⑵ 在等比数列an中，若a915,求a3a15的值；

（3）在等比数列an中，若a2a6a101,求a3a9的值；

练习2：⑴ 在等比数列an中，若an0,a2a42a3a5a4a625，求a3a5的值；

⑵ 在等比数列an中，求a7的值； a3和a9是方程7x18x70的两个根，练习3： 已知等比数列{an}满足an>0，n=1,2,且a5a2n522n(n3), 则当n1时,log2a1log2a3log2a2n1 2A.n2n1B.n1 C.n2D.n1

3、课堂小结：

⑴ 等比数列的性质：

性质1:对一个等比数列an进行等距离抽取,所得项组成一个新的等比数列

性质2: 若数列an特例：当是等比数列，时，mnpq,m,n,p,qN*,anamapaq:。

mn2panamap2注意：①左右两边各项的下标之和相等；②左右两边的项数相同；

③可以推广到多项

⑵ 解题思路总结

4、课后思考试题：

已知正数等比数列{an}中，若a1a2a37,a1a2a38,求数列通项公式.5、布置作业

6、板书设计（略）

第三篇：等差、等比数列性质类比

等差、等比数列知识点

一、等差数列：

1.等差数列的证明方法：1.定义法：2．等差中项：对于数列则{an}为等差数列。2.等差数列的通项公式：

an，若2an1anan

2ana1(n1)d------该公式整理后是关于n的一次函数

Sn

n(a1an)n(n1)

2Snna1dSAnBn n223.等差数列的前n项和 1．2.3.abA

2或2Aab 4.等差中项: 如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。即：

5.等差数列的性质:（1）等差数列任意两项间的关系：如果

an是等差数列的第n项，am是等差

aam(nm)d

数列的第m项，且mn，公差为d，则有n

（2）.对于等差数列

an，若m+n=p+q，则am+an=ap+aq。

*SSSSk，S3kS2kakNnn（3）若数列是等差数列，是其前n项的和，那么k，2k

S3k

a1a2a3akak1a2ka2k1a3k

成等差数列。如下图所示：

（4）．设数列

SkS2kSkS3kS2k

an是等差数列，S奇是奇数项的和，S偶是偶数项项的和，Sn是前n项的和，S偶S奇

S奇nn1dSSa偶中，S偶n.2，○2当n为奇数时，则奇

则有如下性质： ○1当n为偶数时，二、等比数列：

1.等比数列的判定方法:①定义法若数列。

an

1q(q0)an

2an是等比aaann2n1，则数列②等比中项：若

n1

aaaqqann12.等比数列的通项公式:如果等比数列的首项是1，公比是，则等比数列的通项为。

3.等比数列的前n项和:○1

Sn

a1(1qn)

(q1)

1q

○

2Sn

a1anq

(q1)

1q

○3当

q1时，Snna1 ab。

4.等比中项:如果使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。那么G5.等比数列的性质:

（1）．等比数列任意两项间的关系：如果

an是等比数列的第n项，am是等差数列的第m项，且mn，qanamqnm

公比为，则有

（2）对于等比数列an，若nmuv，则anamauav也就是：a1ana2an1a3an2。

（3）．若数列an是等比数列，Sn是其前n项的和，kN*，那么Sk，S2kSk，S3kS2k成等比数

S3ka1a2a3akak1a2ka2k1a3k

列。如下图所示：SkS2kSkS3kS2k

基础练习

一、选择题：

1．已知｛an｝为等差数列，a2+a8=12,则a5等于（）

(A)4(B)5(C)6(D)7

2．设｛an｝是公比为正数的等比数列，若a11,a5=16,则数列｛an｝前7项的和为（）

A.63B.64C.127D.128

3.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S39，S636，则a7a8a9（）

A．63B．45C．36D．274、设等比数列{an}的公比q2，前n项和为SS

4n，则a（）

A.2B.4 C.15D.17

25.某种细菌在培养过程中,每20分钟分裂一次(一个分裂为两个).经过3个小时,这种细菌由1个可繁殖成-（A.511个B.512个C.1023个D.1024个

6．已知等差数列｛an｝中，a2=6, a5=15.若bn=a2n,则数列｛bn｝的前5项和等于（）

(A)30（B）45(C)90(D)186

7．已知数列an*

对任意的p，qN满足apqapaq，且a26，那么a10等于（）

A．165B．33C．30D．2

18．设{an}是等差数列，若a23,a713，则数列{an}前8项和为（）

Ａ．128Ｂ．80Ｃ．64Ｄ．56

9．设｛an｝是公比为正数的等比数列，若a1＝1,a5=16,则数列｛an｝前7项的和为（）

A.63B.64C.127D.128

10．记等差数列an的前n项和为Sn，若S24，S420，则该数列的公差d=（）

A．7B.6C.3D.2

11．记等差数列an的前n项和为Sn，若a11

2，S420，则S6()

A．16B.24C.36D.48

a2,aa1

1n1nln

12．在数列an中，1n，则an＝（）

2)

A．2lnnB．

二、填空题：

1．等差数列{an}中，a5=24，S5=70，则S10=___

2．等比数列{an}的前n项和为Sn=32n1lnnC．2nlnnD．1nlnn +t，则t=________

3．等比数列{an}中，an>0，a2·a4+2a3·a5+a4·a6=25，则a3+a5=_______

4．设{an}中，an=20－4n，则这个数列前__或____项和最大。

5．已知：两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为An和Bn，且An3n1 n

Bn2n

3求：（1）a15b15=_________（2）an=___________ bn

6.等差数列{an}的公差d1，且前100项和S100=100,则a1+a3 +a5+…a99=__

27．在[1000，2000]内能被3整除且被4除余1的整数个数是________________

8．在数列{an}在中，an4n52*2，a1a2ananbn，nN,其中a,b为常数，则ab

52an4n{a}aaaanbn，nN*,其中a,b为常数，则2n2，19．在数列n在中，linanbnanbn的值是_____________

10．已知{an}为等差数列，a3 + a8 = 22，a6 = 7，则a5 = ____

三、解答题：

1．已知数列

n项和

11111S与SSS与S43453a设Snn345342.是等差数列的前n项和，已知的等比中项为，的等差中项为1，{an}是一个等差数列，且a21，a55。（1）求{an}的通项an；（2）求{an}前Sn的最大值。

求数列

an的通项．

3.等差数列{an}的前n

项和为Sn，a11S39求数列{an}的通项an与前n项和Sn；

4.等差数列an中，a410且a3，a6，a10成等比数列，求数列an前20项的和S20．

第四篇：等比数列性质（本站推荐）

等比数列

1，在等比数列an中，已知a3a636,a4a718,an

12,求n。

2，在1与100之间插入n个正数，使这n个数成等比数列，求插入的n个数的积。3，在等比数列an中，若a22,a6162,求a10。

4，在等比数列an中，a3a4a53,a6a7a824,求a9a10a11。

5，一个项数为偶数的等比数列，它的偶数项和是奇数项和的2倍，又它的首项为1，且中间两项的和为24，求此等比数列的项数。

6，在等比数列an中，a9a10aa0,a19a20b,求a99a100。

7，已知由正数组成的等比数列an中，公比q2，a1a2a3a30245,求

a1a4a7a28

8，在等比数列an中，若a1a2a3168,a2a542,求a5与a7的等比中项。9，在等比数列an中，若a1a2a37,a1a2a38,求an 10，等比数列an的首项为a11024,公比q则当n为何值时，fn有最大值。,12，设fn表示这个数列的前n项的积，

第五篇：讲等比数列性质学案doc

2.4等比数列性质

学习目标：

1、理解等比数列的主要性质, 能推导证明有关性质；

2、能运用有关性质进行计算和证明.【温故知新】

1．已知数列{an}的前4项为2,6,18,54，则它的一个通项公式为.2．若数列{an}的通项公式为an－1n＝2)，则其前4项依次为，第10项为.3．若{an}满足a1＝5，an＋1＝－2an，则该数列的前4项依次为，a2a＝，a3a＝，a

4＝，其通项公式为.12a

3A【使用说明】

通过不完全归纳，类比等方法得出结论，再利用概念，已有公式证明结论，由感性认识到理性认识，完成以下的内容，做好疑难标记。【自学园地】

类比等差数列性质的学习，自学等比数列的常用性质：

1、等比数列{an}，推广式(项与项间关系式)：思路：

2、若b是a和c的等比中项，则b=，推广式：

思路：（参考教科书53页练习4）

3、等比数列{an}中,当m+n=p+q（m、n，p，q∈N+）时，有aman=apaq，成立吗？ 思路：

4、等比数列{an}中,当m，n，p，q…（m、n，p，q…∈N+）成等差数列时，am，an，ap，aq…

成等比数列。（即：下标成等差，对应项成等比）思路：（参考书上53页练习3）

5.先判断是否为等比数列，再计算公比。(1)若{an}是公比为q的等比数列，则

①{c·an}(c是非零常数)是公比为的等比数列； ②{|an|}是公比为的等比数列；

③{am

n}(m是整数常数)是公比为的等比数列；

④｛1a｝是等比数列吗？

n

⑤｛lnan｝是等比数列吗？

⑥每隔k项抽取一项组成的新数列是公比为的等比数列。

(2)若{an}、{bn}分别是公比为q1、q2，项数相同的等比数列，则数列{an·bn}是公比为的等比数列．an



b

是等比数列吗？

n



B【使用说明】

1、将自学中遇到的问题组内交流，标记好疑难点；

2、组内解决不了的问题直接提出来作为全班展示。例1：（等比数列的判定和证明）

数列{an}中，an73n，求证：数列{an}是等比数列。

【题后感悟】证明和判断数列是等比数列的常用方法：

【变式训练】

1.（1）｛an

｝是各项均为正数的等比数列，是等比数列吗？为什么?

（2）已知aan,bn是项数相同的等比数列，n是等比数列吗？

bn

例2:（等比数列的通项公式）

已知等比数列{an}，若a1a2a37,a1a2a38,求an。

【题后感悟】

【变式训练】

2.在等比数列中：(1)若a1a2a321,a1a2a3216,求an；

(2)若a3a518,a4a872,求公比q.例3:已知等比数列{an}中，a2a6a10＝1，求a3·a9.【题后感悟】

【变式训练】

3.(1)在各项均为正数的等比数列{an}中，若a5·a6＝9，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝

()

(2){an}为等比数列，且a1a9＝64，a3＋a7＝20，求a1

1例4：应用问题

某工厂2008年1月的生产总值为a万元，计划从2008年2月起，每年生产总值比上个月增长m ﹪，那么到2009年8月底该厂的生产总值为多少万元？

【题后感悟】

【变式训练】

4、完成书上53页2、5【课时小结】

【课堂检测】

1、在等比数列{an}中，已知a2= 5，a4 = 10，则公比q的值为________

2、2与8的等比中项为G，则G的值为_______

3、在等比数列{an}中，an＞0, a2a42a3a5a4a636, 那么a3a5 =_________

4、已知数列1，a2,a3,4是等比数列，则a2a3=_________

5、在等比数列中a76,a109，那么a4=_________.1、已知{an}是等比数列a2=2，a6=18，则公比 q=（）A、11

2B、-

2C、或-

2D、1

42．若2a，b,2c成等比数列，则函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点的个数是(A．0B． 1C．2D．0或

23、已知等差数列的公差不为0，且第2，3，6项构成等比数列，则公比为（）A、1B、2C、3D、44、已知等差数列a，b，c，三项之和为12，且a，b，c+2成等比数列，则a＝（A、2或8

B、2C、8

D、-2或-85、在等比数列{an}中，a3a4a5=3，a6a7a8=24，则a9a10a11的值为（）A、48

B、7

2C、14

4D、1926、在等比数列an中，a3+a10=a（a≠0），a19+a20=b，则a99+a100等于（）9

A、b9

a

8B、ba

C、b10

a

9D、ba)）