等比数列教案

第一篇：等比数列教案

2.4 等比数列

（一）（一）教学目标

1．知识与技能：理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式,理解这种数列的模型应用。

２.过程与方法：通过丰富实例抽象出等比数列模型，经历由发现几个具体数列的等比关系，归纳出等比数列的定义，通过与等差数列的通项公式的推导类比，探索等比数列的通项公式。

３.情态与价值：培养学生从实际问题中抽象出数列模型的能力。

（二）教学重、难点

重点：等比数列的定义和通项公式

难点：等比数列与指数函数的关系

（三）学法与教学用具

学法：首先由几个具体实例抽象出等比数列的模型，从而归纳出等比数列的定义；与等差数列通项公式的推导类比，推导等比数列通项公式。

教学用具：投影仪

教学过程： [温故知新] 我们已经学习过一种特殊的数列——等差数列，具备怎样特征的数列才是等差数列呢？（学生齐答）

[情景设置] 实例

1、有三种投资方案可供选择，它们的回报情况如下： 方案1:第一天回报10元,以后每天比前一天多回报10元； 方案2:每天回报100元；

方案3:第一天回报0.1元,以后每天的回报金额比前一天翻一番。提问：应该选择哪种方案，才能使收益最大化？

☆处理：设置情景，让学生积极参与其中。通过罗列3种方案回报金额构成的数列，既复习了等差数列，又自然地引入了等比数列。

方案1：10 20 30 40 50 60 „ 方案2：100 100 100 100 100 100 „ 方案3：0.1 0.2 0.4 0.8 1.6 3.2 „

实例

2、观察细胞分裂的过程：

构成数列：1，2，4，8„

实例3《庄子》中有这样的论述：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”

1111，，… 构成数列：1，24816实例

4、计算机病毒传播问题：

构成数列：1，20，202，203，204，„

实例

5、按银行支付利息的复利方式计算本利和，若存入银行1万元钱,年利率是1.98%，每年本利和构成数列：

10000×1.0198,10000×1.0198,10000×1.0198 ,10000×1.0198„

34提问：上述5组数列有什么共同的特点？ 答：从第2项起,上述5组数列中每一项与前一项的比分别都等于常数2，2，1/2，20,1.0198。共同特点：从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一个常数。☆处理：由学生自己观察发现每个实例中隐藏的数列及其特征，并归纳总结出5组数列的共同特征，从而引出等比数列定义。

[探究新知]

一、等比数列定义:若一个数列从第2项起,每一项与前一项的比都等于同一个常数,则这个数列叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比,常用字母q表示。

anq(n2)an1☆处理：类比等差数列定义，由学生自己总结等比数列定义，并将定义的文字语言转换为数学符号语言。

例、判断下列几组数列是否为等比数列,若是, 求其公比。

，…（1）1,1，248111（2）-1，-2，-4，-8，„

（3）-1，2，-4，8，„（4）1，x，x，x„

（5）a, a, a, a „

设计思路：趁热打铁，巩固等比数列概念。学生可能认为数列(4)(5)也一定是等比数列，在纠错的同时，自然地引出两个注意事项。(2)(3)中的数列让学生直观地体会公比的正负对等比数列各项符号的影响。注意：

(1)q≠0, an ≠0(n ≥1)，q>0时各项同号,q<0时各项正负相间。

(2)各项不为0的常数列既是等差又是等比数列。

二、等比数列通项公式: 设计思路：先复习等差数列通项公式的各种推导方法，让学生围绕定义，仿照等差数列推导等比数列的通项公式。（学生分小组讨论，根据各组讨论情况，选三位同学演板并讲解自己的推导思路。）

方法

一、归纳法 方法

二、累积法 方法

三、迭代法 23a2a1qa3a2qa1q2aa2q,3qa1a2anan1q(an2q)qan2q2(an3q)q2an3q3ana4q,q3aa a4a3qa1q

3n1ana2a3a4qn1a1a2a3an1aaqn1n1ana1qn1a1qn12

通项公式：若等比数列｛an｝的首项是a1，公比是q，则其通项公式为ana1qn1 设计思路：（1）回顾实例1中的三个数列，求出其通项公式。

（2）复习等差数列与一次函数的关系，通过计算机模拟演示，展示等比数列图像，引导学生分析等比数列图像与指数函数图像的关系。（3）通过图像和具体数据的计算让学生体会指数爆炸现象。关于通项公式的两点注意：

(1)函数思想：等比数列{an}的图像是其对应的指数型函数y上的一些孤立的点。

(2)方程思想：an,a1,q,n这四个量会知三求一。

[典例分析] 例

1、由右边框图,写出所打印数列的前5项,并建立数列递推公式。此数列是等比数列吗? 若是,求其通项公式。分析:本题将算法知识介于其中，既体现了知识间的联系性，又巧妙地引出了一个等比数列，而递推关系也包含在程序框图中。引导学生通过类比等差，体会要证明一个数列是等比数列,只需证明对于任意正整数n,a1xq qan1是an一个常数即可。

例

2、某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留量是原来的84%,这种物质的半衰期为多长(精确到1年)？

分析: 要帮助学生发现实际问题中数列的等比关系,抽象出其数学模型。通项公式反映了数列的本质特征,因此关于等比数列的问题首先应想到它的通项公式an=a1qn-1，对于通项公式中的四个量要求会知三求一。

例

3、一个等比数列的第３项和第４项分别是12和18,求它的第１项和第２项。分析:由等比数列的通项公式列出方程组，求出通项公式，再由通项公式求得数列的任一项，这个过程可以帮助学生再次体会通项公式的作用及其与方程之间的联系。

[演练天地]

1、求出引例2—5中等比数列的通项公式。

2、等比数列{an}中,(1)若a1=2,q=-3,求a8与an(2)若a1=2, a9=32,求q(3)若a1=8 ,an=3 ,q=3 ,求项数n 912

[课堂小结]

1、理解与掌握等比数列的定义及数学表达式：

anq(n2)an

12、会推导等比数列的通项公式并掌握其基本应用ana1qn1

3、函数思想:等比数列与指数函数的联系

[课后巩固] 54页 A组 7,8

[新课预知] 类比等差数列推导等比数列的相关性质

[课后反思] 从全面提高学生的素质考虑，本节课把等比数列定义及通项公式的探索、发现、创新等思维过程的暴露、知识形成过程的揭示作为教学重点；将类比、从特殊到一般的归纳等数学思想始终贯穿其中。这样的设计不像将知识和盘托出那么容易，而是要求教师精心设计问题层次，由浅入深，循序渐进，不断地激发学生思维的积极性和创造性，使学生自行发现知识、“创造”知识。这是不仅是对教师，也是对学生更高层次的要求。

第二篇：等比数列教案

等比数列（复习课）学案

一.基本要求： ① 理解等比数列的概念；② 掌握等比数列的通项公式与前n项和公式及应用③ 了解等比数

列与指数函数的关系

发展要求：①掌握等比数列的典型性质及应用。②能用类比观点推导等比数列的性质

二．教学过程

（1）、知识回顾

1基础训练题

*（1）等比数列an的前n项和为Sn(nN)，若a3

（2）在等比数列an中，an0，且a1a21,S410，则a4a5=()

A．16Ｂ．27Ｃ．36Ｄ．8

1（3）②设{an}是递增的等比数列，a1an66,a2an1128，前ｎ项和Sｎ＝126，求n和公比q.（4）等比数列中，q＝2，S99=77，求a3a6a99；

（5）.已知数列{an}满足：a12,an12an1；

（1）求证：数列{an1}是等比数列；（2）求数列{an}的前n项和。

32,S392，求数列的首项与公比.2能力提高题

1（08浙江）已知an是等比数列，a22，a5

4，则a1a2a2a3anan1=（）

（A）16（14n）（B）16（12n）（C）

3（14n）（D）

323

（12n）

D．(4n1)

22．数列{an}的前n项和Sn2n1,则a12a2an

（）

A．(2n1)2

{a}

B．

(21)

n

C．4n1

3.在等比数列n中，若1 A．100B．80

aa240,a3a460,则a7a8

=（）

C．95D．13

54（2007陕西）各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn，若S10=2,S30=14,则

S40等于（）

（A）80（B）30(C)26(D)16

5.等比数列{an}中，an0且a5a681，则log3a1log3a2log3a10的值是（）

A．20

B．10

C． 5

3116,a3

14,则

1a1

1

D．40

a2

1a3

1a4

1a5

6.在等比数列{an}中，若a1a2a3a4a5

=_________________。

7.在正项等比数列an中，a3、a7是方程２x2７x６0的两个根，则a40a50a60的值为（）A．32B．64C．64D．256 变1： 在等比数列{an}中, 若a3、a7是方程２x2７x６0的两根,则a5的值为（）

A．3B．±3C．3D．±

3变2： 等比数列{an}中，a3，a9是方程２x2７x６0的两个根，则a6=（）A．3B．±3C．D．以上皆非

变3：设{an}为公比q>1的等比数列，若a2004和a2005是方程4x8x30的两根，则

a2006a2007

_____.3．思考题

1.已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1,a3,a9成等比数列，则2.设f(n)222

2数列an中，a12,a23,且数列 anan1是以3为公比的等比数列，设bna2n1a2n(nN)



a1a3a9a2a4a10

27的值是

4710

2(8

n

13n10

(nN)，则f(n)等于（）

27(8

n3

（A）

(81)（B）

n

1)（C）1)（D）(8

n

41)

3.(1)求a,a的值

（2）求证bn是等比数列

典型例题精析

题型一等差数列与等比数列的判定 1． 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1,an+1=

n2n

Sn, 求证：{

Snn

是等比数列．

2．在数列an中，a12，an14an3n1，nN*．（Ⅰ）证明数列ann是等比数列；（Ⅱ）求数列an的前n项和Sn；

（Ⅲ）证明不等式Sn1≤4Sn，对任意nN*皆成立．

（Ⅰ）证明：由题设an14an3n1，得an1(n1)4(ann)，n

*

N．

ann是首项为1，且公比为4的等比数列．

n1

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知ann4，于是数列an的通项公式为a所以数列an的前n项和S41n(n1)．

又a111，所以数列

n

n

n

4

n1

n．

（Ⅲ）证明：对任意的nN

*，Sn14Sn

n1

1



(n1)(n2)

4n1n(n1) 4

32



*2

(3nn4)≤0．所以不等式Sn1≤4Sn，对任意nN皆成立．

题型二 等差、等比数列中基本量的计算

3．在等比数列{an}中a1+an=66，a2an-1=128，且前n项和为Sn=126，求n和公比q．

4．设等比数列{an}的前n项和为Sn，S4=1，S8=17，求通项公式．

过关训练

1．已知数列a，a(1－a)，a(1－a)2，a(1－a)3，„是等比数列，则实数a的取值范围为

________________________．

*

2．在数列{an}中，a1＝2，2an＋1＋an＝0(n∈N)，则an＝______________．

23．在等比数列{an}中，已知首项a1an＝q，则项数n＝_______．

34．在等比数列{an}中，(1)a6＝6，a9＝9，则a3＝_________；

(2)a1，a99是方程x2－10x＋16＝0的两根，则a40·a50·a60＝______．

5．①“公差为0的等差数列是等比数列”；②“公比为；③“a，b，c三数成等比数

列的充要条件是b2＝ac”；④“a，b，c三数成等差数列的充要条件是2b＝a＋c”，以上四个命题中，正确的有_____________．

6．已知数列{an}是正项等比数列，a2a4＋2 a3a5＋a4a6＝25，则a3＋a5＝________． 7．等比数列{an}中，已知a9＝－2，则此数列前17项之积为___________． 8．一个三角形的三边成等比数列，则公比q的范围为_________________．

9．设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，若Sn+1，Sn，Sn+2成等差数列，则q的值为

_____________． 10．首项为6的三个数成等比数列，若将它们依次分别减去4，3，2，则成等差数列，则此三个数是_________________．

ac

11．已知a，b，c成等比数列，如果a，x，b和b，y，c＝______．

xy

n

12．设数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋2，则它的通项公式是an＝_______________．

4710

13．设f(n)＝2＋2＋2＋2＋…＋23n＋10，则f(n)＝_______________． 14．已知数列{an}的前n项和为Sn＝pn2－2n＋q．

(1)当q＝__________时，数列{an}是等差数列；

(2)在(1)的条件下，若a1与a5的等差中项为18，bn满足an＝2log2bn，则数列的{bn}前n项和Tn＝______________．

等比数列的前n项和

选择题

1．等比数列an中，S44，S88，则a17a18a19a20的和为（）

A．4B． 3

C．16D．2

42已知等比数列的前n项和Sn4a，则a的值等于（）

A．－4B．－3 C．0D．

13．在等比数列an中，a14,q5，使Sn10的最小值n是（）

7n



A．11B．10 C．12D．9

4．在等比数列an中，Sn表示前n项和，若a32S21,a42S31，则公比q（）A．3B．－3 C．－1D．1

5．在等比数列an中a18，q，an，则Sn等于（）

C．8D．1

56．等比数列1，2，4，„从第5项到第10项的和是（）

A．1024B．127 C．1000D．1008

7．等比数列an的各项都是正数，若a181，a516，则它的前5项的和是（）

A．179B．211 C．243D．275 8．等比数列an的前n项和Sn中（）

A．任意一项都不为零 B．必有一项为零 C．至多有有限为零

A．31B．



D．可以有无数项为零

9、某工厂总产值月平均增长率为p，则年平均增长率为（）

A、pB、12pC、(1p)12D、(1p)12

1填空题

10．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫作等和数列，这个常数叫作该数列的公和。已知数列an是等和数列，且a12，公和为5，那么a18的值为，这个数列的前21项和S21的值为。

11、某种产品计划每年降低成本q%，若三年后的成本是a元，则现在的成本是。

12、等比数列{an}中，a5a6a7a548，那么这个数列的前10项和S10=。

解答题

13、在等比数列{an}中，已知S34,S636，求an。

14、在等比数列{an}中，已知a1an66，a2an1128

23n

,an成等差数列（n为正整数）

15、已知f(x)a1xa2xa3xanx，且a1，a2，a3。又f(1)n2，Sn

126求n与q。

（1）求an。（2）比较f()与3的大小。f(1)n。

答案：

1、A2、B3、A4、A5、B

6、D7、B8、D9、D 10、3.52a11、3(1q%)

12、1023

13、Sn



2n

114、n的值为6，q为2或

1215、（1）an2n1（2）f()3

第三篇：等比数列教案

等比数列教案（第一课时）

彭水第一中学校

贺巧

教材分析：

三维目标：知识与技能：1.理解等比数列的定义；2.掌握等比数列的通项公式，会解决知道an，a1，q，n中的三个，求另一个的问题．

过程与方法：通过观察具体数列的规律，从特殊到一般得到等比数列的定义；再由等比数列定义，引导学生推导出等比数列的通项公.情感态度与价值观：培养学生的观察与表达能力，通过等比数列通项的推导，训练学生的逻辑思维能力。

重点：1.等比数列概念的理解与掌握；2.等比数列的通项公式的推导及应用． 难点：等比数列＂等比＂的理解、把握和应用．

易错点：1.忽略公比q0.2.将通项公式ana1qn1错记为ana1qn.前后衔接：上节中学习了等差数列，用类比的方法研究等比数列.命题倾向与经典题型：命题倾向于填空选择题；主要是“知三求二”的题型，以及用累 乘法求一般数列通项公式.学情分析：

学生知识储备：学生已经比较熟悉数列，会用观察法求数列通项公式；通过等差数列的学习，已有研究特殊数列的一般方法与思路.预习及学法指导：建议学生用研究等差数列的方法与思路去预习看书，比较等差数列与 等比数列的异同点.教学方法：

如何突出重点：归纳类比，累乘法，典例讲解，变式训练.如何突出难点：关键在于紧扣定义，类比等差数列的相关知识，来发现解决问题的方法.如何辨析易错点：1.准确理解等比数列定义.2.掌握等比数列通项公式的推导方法.教学过程：

一.新课引入

观察下列数列，看其有何共同特点？

（1）1,2,4,8,16,32，„；

111***1-，-，（3），„.2481632（2）1，，，„；

数列（1）从第二项起，后一项与前一项的比值都为2；数列（2)从第二项起，后一项与前一项的比值都为11；数列（3）从第二项起，后一项与前一项的比值都为-.32总结：以上数列的共同特点从第二项起，后一项与前一项的比值都为同一个常数.二.新课讲解

1．等比数列的定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫等比数列的公比，用字母q表示（q≠0）.思考：（1）为什么q≠0？

（2）怎样用数学表达式表示等比数列定义？

答案：(1)由于分母不能为0，再根据等比数列的定义知q不可能为0.(2)an1q(q为常数且q0).an判断下列数列是否为等比数列：（1）2,2,2,2,2，„；（2）0,0,0,0,0，„；（3）2,4,8,0,16，„.由此说明等比数列中任何项都不能为0；非零的常数列既是等比数列（公比为1）也是等差数列（公差为0）.2.探究等比数列的通项公式

观察法：由等比数列的定义，有：a2a1q； a3a2q(a1q)qa1q2； a4a3q(a1q2)qa1q3；

„ „

观察序号n与q的次方数的关系，不难发现：ana1qn1(a1，q0)累乘法：有等比数列的定义，有

aa2aaq；3q；4q；„；nq a1a3an1a2

所以a2a3a4anqn1，即ana1qn1(a1，q0)a1a2a3an1因此得到等比数列的通项公式1：ana1qn1(a1，q0)思考：类比等差数列，若已知am，q，则an.ama1qm1，则a1amamn1n1nm.，所以aaqqaqn1mm1m1qqnm由此得到等比数列的通项公式2：anamq(nm)

请学生写出“引入”中，（1),(2),(3)的通项公式.3.例题讲解

例1 一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项.解：aa18332216q a23128,a128.1222q3q33例2 已知等比数列{an}中，a26,a5162，求a3,an.解：法一 方程组思想a1q6a12n1，，a18，a233n4a1q162q3

法二 应用等比数列通项公式2 a5a2q52，q3，a3a2q18，ana2qn223n1

三．课堂训练

基础题：人教版A版教材P52，练习1；

中档题：在等比数列{an}中，a36，a418，则a1a2.拔高题：在等比数列{an}中，a71求{an}的通项公式.，且a4，a51，a6成等差数列，四．课堂小结

1.等比数列的定义；

2.等比数列的通项公式． 五．作业布置

1.人教版A版课后习题2.4 A组第1题； 2.在数列{an}中，a1六．板书设计

§2.4 等比数列

一．定义 例1 课堂训练1.二．通项公式 例2 2.累乘法 3.七．教学反思

本堂课预设目标与内容顺利完成。从学生的反应来看，大部分学生能够掌握，会计算求等比数列的通项公式。少部分学生在计算上不熟练，因为前面等差数列中都是加减消元求首项和公差，而这节中要采用两式相除求公比。课后还要多加练习才行。

1，an12an0，求a4，an.5

第四篇：《等比数列求和》教案

等比数列的前n项和（第一课时教案）

一、教材分析

1.从在教材中的地位与作用来看

《等比数列的前n项和》是数列这一章中的一个重要内容，从教材的编写顺序上来看，等比数列的前n项和是第三章“数列”第五节的内容，一方面它是“等差数列的前n项和”与“等比数列”内容的延续、与前面学习的函数等知识也有着密切的联系，另一方面它又为进一步学习“数列的极限”等内容作准备。就知识的应用价值上来看，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。就内容的人文价值上来看，等比数列的前n项和公式的探究与推导需要学生观察、分析、归纳、猜想，有助于培养学生的创新思维和探索精神,是培养学生应用意识和数学能力的良好载体。2.从学生认知角度来看

从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导．不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于q = 1这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错。3.学情分析

教学对象是刚进入高中的学生，虽然具有一定的分析问题和解决问题的能力，逻辑思维能力也初步形成，但由于年龄的原因，对问题的分析缺乏深刻性和严谨性。4.重点、难点

教学重点：公式的推导、公式的特点和公式的运用． 教学难点：公式的推导方法和公式的灵活运用．

公式推导所使用的“错位相减法”是高中数学数列求和方法中最常用的方法之一，它蕴含了重要的数学思想，所以既是重点也是难点。

二、目标分析

1．知识与技能目标：理解等比数列的前n项和公式的推导方法；掌握等比数列的前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题。

2.过程与方法目标：通过公式的推导过程，培养学生猜想、分析、综合的思维能力，提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质。

3．情感态度与价值观：通过经历对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美。用数学的观点看问题，一些所谓不可理解的事就可以给出合理的解释，从而帮助我们用科学的态度认识世界。

三、教学方法与教学手段

本节课属于新授课型，主要利用计算机和实物投影等辅助教学，采用启发探究，合作学习，自主学习等的教学模式.四、教学过程分析

学生是认知的主体，也是教学活动的主体，设计教学过程必须遵循学生的认知规律，引导学生去经历知识的形成与发展过程，结合本节课的特点，我按照自主学习的教学模式来设计如下的教学过程，目的是在教学过程中促使学生自主学习，培养自主学习的习惯和意识，形成自主学习的能力。

1．创设情境，提出问题

在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，当时的印度国王大舍罕为赞赏，对他说：我可以满足你的任何要求。西萨说：请给我棋盘的64个方格上，第一格放1粒小麦，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的两倍，直至第64格．国王觉得太容易了，就同意了他的要求。国王令宫廷数学家计算，结果出来后，国王大吃一惊．为什么呢？大家想一下，这个国王能够满足宰相的要求吗？

【教师提问】

同学们，你们知道西萨要的是多少粒小麦吗？引导学生写出麦粒总数．带着这样的问题，学生会动手算了起来，他们想到用计算器依次算出各项的值，然后再求和．这时我对他们的这种思路给予肯定． 2．学生探究，解决情境

263在肯定他们的思路后，我接着问：1，2，2，„，2是什么数列？有何特征？ 应归结为什么数学问题呢？

探讨1：，记为（1）式，注意观察每一项的特征，有何联设s=1+2+22+23++26364系？（学生会发现，后一项都是前一项的2倍）

探讨2： 如果我们把每一项都乘以2，就变成了它的后一项，（1）式两边同乘以2则2s64=2+22+23++263+264，记为（2）式．比较（1）(2）两式，你有什么发现？ 有

【设计意图】留出时间让学生充分地比较，等比数列前n项和的公式推导关键是变“加”为“减”，在教师看来这是很显然的事，但在学生看来却是“不可思议”的，因此教学中应着力在这儿做文章，从而培养学生的辩证思维能力．

解决情境问题：经过比较、研究，学生发现：（1）、（2）两式有许多相同的项，把两

s642641式相减，相同的项就可以消去了，得到：。老师强调指出：这就是错位相减法，并 2 要求学生纵观全过程，反思：为什么（1）式两边要同乘以2呢？

【设计意图】经过繁难的计算之苦后，突然发现上述解法，不禁惊呼：真是太简洁了，让学生在探索过程中，充分感受到成功的情感体验，从而增强学习数学的兴趣和学好数学的信心，同时也为推导一般等比数列前n项和提供了方法。3．类比联想，解决问题

这时我再顺势引导学生将结论一般化，设等比数列为an，公比为q，如何求它的前n项和？让学生自主完成，然后对个别学生进行指导。

一般等比数列前n项和：Sna1a2a3an1an?

即Sna1a1qa1q2a1qn2a1qn1?

方法1：错位相减法

2n2a1qn1Sna1a1qa1qa1q 23n1na1qqSna1qa1qa1qa1qa1(1qn)(1q)Sna1a1q1q这里的q能不能等于1？等比数列中的公比能不能为1？q=1时是什么数列？此时sn=？

na1(1qn)Sn1qna1q1

q1na1a1qn在学生推导完成之后，我再问：由(1q)Sna1a1q得Sn

1q【设计意图】在教师的指导下，让学生从特殊到一般，从已知到未知，步步深入，让学生自己探究公式，从而体验到学习的愉快和成就感。4．讨论交流，延伸拓展

探究等比数列前n项和公式，还有其它方法吗？我们知道, sn=a1+a1q+a1q2++a1qn-1=a1+q(a1+a1q++a1qn-2)那么我们能否利用这个关系而求出Sn呢？ 方法2：提取公比q Sna1a1qa1q2a1qn2a1qn1 a1q（a1a1qa1qn2）a1q（Sna1qn1）(1q)Sna1a1qn

根据等比数列的定义又有呢？

方法3：利用等比定理

a2a3a4an=====q，能否联想到等比定理从而求出sna1a2a3an-13

aaa2a34nq a1a2a3an1a2a3anSa1qn(1q)Sna1anq

Saa1a2an1nn„„

【设计意图】以疑导思，激发学生的探索欲望，营造一个让学生主动观察、思考、讨论的氛围.以上两种方法都可以化归到Sna1qsn1, 这其实就是关于Sn的一个递推式，递推数列有非常重要的研究价值，是研究性学习和课外拓展的极佳资源，它源于课本，又高于课本，对学生的思维发展有促进作用.领悟数学应用价值，从特殊到一般,从模仿到创新，有利于学生的知识迁移和能力提高。5．巩固提高，深化认识

（1）口答：

在公比为q的等比数列{an}中

若a12,q1，则Sn________，若a11，q1，则Sn________ 33若a1=—15，a4=96，求q及S4，若a31,S34（2）判断是非：

1(12n)①1248(2)

（）12n23n1(12)②12222

（）

12③若c0且c1，则

n1121，求a1及q.2cccc2462nc2[1(c2)n]1c（）

【设计意图】对公式的再认识，剖析公式中的基本量及结构特征，识记公式,并加强计算能力的训练。

6．例题讲解，形成技能

例1．求和

1aaaa

1111例2．求等比数列，，的第5项到第10项的和．

24816方法1： 观察、发现：a5a6a10S10S4．

方法2： 此等比数列的连续项从第5项到第10项构成一个新的等比数列：首项为a516，公比为q2，项数为n6．

23n1111变式1：求11，2,3,4,5的前n项和． 248163212345变式2：求，，的前n项和．

2481632【设计意图】采用变式教学设计题组，深化学生对公式的认识和理解，通过直接套用公 式、变式运用公式、研究公式特点这三个层次的问题解决，促进学生新的数学认知结构的形成．通过以上形式，让全体学生都参与教学，以此培养学生自主学习的意识．解题时，以学生分析为主，教师适时给予点拨。7.总结归纳，加深理解

以问题的形式出现，引导学生回顾公式、推导方法，鼓励学生积极回答，然后老师再从知识点及数学思想方法两方面总结。

【设计意图】以此培养学生的口头表达能力，归纳概括能力。8．课后作业，分层练习

必做： P129练习3（1）习题3.5 第1题 选作： 思考题(1):求和 x+2x2+3x3++nxn.（2）画一个边长为2cm的正方形, 再将这个正方形各边的中点相连得到第2个正方形,依此类推,这样一共画了10个正方形, 求这10个正方形的面积的和。

【设计意图】布置弹性作业以使各个层次的学生都有所发展.让学有余力的学生有思考的空间，便于学生开展自主学习。

五、评价分析

本节课通过三种推导方法的研究，使学生从不同的思维角度掌握了等比数列前n项和公式．错位相减：变加为减，等价转化；递推思想：纵横联系，揭示本质；等比定理：回归定义，自然朴实．学生从中深刻地领会到推导过程中所蕴含的数学思想，培养了学生思维的深刻性、敏锐性、广阔性、批判性．同时通过精讲一题，发散一串的变式教学，使学生既巩固了知识，又形成了技能，在此基础上，通过民主和谐的课堂氛围，培养了学生自主学习、合作交流的学习习惯，也培养了学生勇于探索、不断创新的思维品质，形成学习能力。

六、教学设计说明 1．情境设置生活化.本着新课程的教学理念，考虑到高一学生的心理特点以及初、高中教学的衔接，让学生学生初步了解“数学来源于生活”，采用故事的形式创设问题情景，意在营造和谐、积极的学习气氛，激发学生主动探究的欲望。2．问题探究活动化．

教学中本着以学生发展为本的理念，充分给学生想的时间、说的机会以及展示思维过程的舞台，通过他们自主学习、合作探究,展示学生解决问题的思想方法，共享学习成果，体验数学学习成功的喜悦.通过师生之间不断合作和交流，发展学生的数学观察能力和语言表达能力，培养学生思维的发散性和严谨性。3．辨析质疑结构化．

在理解公式的基础上,及时进行正反两方面的“短、平、快”填空和判断是非练习.通过总结、辨析和反思，强化了公式的结构特征，促进学生主动建构，有助于学生形成知识模块，优化知识体系。4．巩固提高梯度化．

例题通过公式的正用和逆用进一步提高学生运用知识的能力；由教科书中的例题改编而成，并进行适当的变式,可以提高学生的模式识别的能力，培养学生思维的深刻性和灵活性。5．思路拓广数学化．

从整理知识提升到强化方法，由课内巩固延伸到课外思考，变“知识本位”为“学生本位”，使数学学习成为提高学生素质的有效途径。以生活中的实例作为思考，让学生认识到数学来源于生活并应用于生活，生活中处处有数学． 6．作业布置弹性化．

通过布置弹性作业，为学有余力的学生提供进一步发展的空间，有利于丰富学生的知识，拓展学生的视野，提高学生的数学素养．

第五篇：等比数列求和教案

《等比数列的前n项和》教学设计

教材：人教版必修五§2.5.1

教学目标：（1）知识目标：理解等比数列的前n项和公式的推导方法；掌握等比数列的前

n项和公式并能运用公式解决一些简单问题；

（2）能力目标：提高学生的建模意识，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方

法，渗透方程思想、分类讨论思想；

（3）情感目标：培养学生将数学学习放眼生活，用生活眼光看数学的思维品质； 教学重点：（1）等比数列的前n项和公式；

（2）等比数列的前n项和公式的应用； 教学难点：等比数列的前n项和公式的推导； 教学方法：问题探索法及启发式讲授法 教 具：多媒体 教学过程：

一、复习提问

回顾等比数列定义，通项公式。

（1）等比数列定义：（2）等比数列通项公式：

（，（3）等差数列前n项和公式的推导方法：倒序相加法。

二、问题引入：

阅读:课本第55页“国王赏麦的故事”。

问题:如何计算

引出课题:等比数列的前n项和。

三、问题探讨： 问题：如何求等比数列的前n项和公式

回顾：等差数列的前n项和公式的推导方法。

倒序相加法。

等差数列

根据等差数列的定义

它的前n项和是

（1）

（2）

（1）+（2）得：

探究：等比数列的前n项和公式是否能用倒序相加法推导？

学生讨论分析，得出等比数列的前n项和公式不能用倒序相加法推导。

回顾：等差数列前n项和公式的推导方法本质。

构造相同项，化繁为简。

探究：等比数列前n项和公式是否能用这种思想推导？

根据等比数列的定义：

变形：

具体：

„„

学生分组讨论推导等比数列的前n项和公式，学生不难发现：

由于等比数列中的每一项乘以公比都等于其后一项。所以将这一特点应用在前n项和上。

由此构造相同项。数学具有和谐美，错位相减，从而化繁为简。

（1）

（2）

由此构造相同项。数学具有和谐美，错位相减，从而化繁为简。

当q=1时，当时，学生经过讨论还发现了其他的推导方法，让学生课后整合自己的思路，将各自的推导过程展示在班级学习园地，同学们共享探究。由等比数列的通项公式推出求和公式的第二种形式：

当

四.知识整合:

时，1．等比数列的前n项和公式：

当q=1时，当时，2．公式特征：

⑴等比数列求和时，应考虑

与

两种情况。

⑵当时，等比数列前n项和公式有两种形式,分别都涉及四个量，四个量中“知三求一”。

⑶等比数列通项公式结合前n项和公式涉及五个量，五个量中“知三求二”（方程思想）。3．等比数列前n项和公式推导方法：错位相减法。

五、例题精讲：

例1．运用公式解决国王赏麦故事中的难题。

变式练习：⑴求等比数列1,2,4,8„的前多少项和是63.⑵求等比数列1,2,4,8„第4项到第7项的和.，例2．画一个边长为2cm的正方形，再将这个正方形各边的中点相连得到第2个正方形，依次类推⑴若一共画了7个正方形，求第7个正方形的面积？

⑵若已知所画正方形的面积和为画的最后一个正方形的面积。，求一共画了几个正方形，及所 解：由题意得：每个正方形的面积构成等比数列，且

（1）

（2）

答：（1）第七个正方形的面积是。

（2）一共测了5个正方形，所画的最后一个正方形的面积是。

巩固练习：⑴已知等比数列中，,求。

⑵已知等比数列

六、课堂小结：

中，,，求n。

1、等比数列的前n项和公式：

当q=1时，当时，2、等比数列的前n项和推导方法：错位相减法。

3、数学思想：类比，分类讨论，方程的数学思想。

七、课后作业：

基础题：课本P61习题2.5 A组1，2

提高题：求和（探究与发现：查阅网络，思考等比数列前n项和公式还有无其它推导方法？