等比数列第一节

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第一篇:等比数列第一节

课题:等比数列及其前N项和

学习目标:掌握等比数列的定义,通项公式和前n项和的公式,并能利用这些知识解决有关

问题,培养学生的化归能力

重点、难点:

对等比数列的判断,通项公式和前n项和的公式及性质的应用

知识梳理:

1.等比数列的定义

由定义可推导等比数列的单调性为2.等比数列的是通项公式(如何推导?)通项公式的推广:

3.等比中项 问题探究1:b2=ac是a,b,c成等比数列的什么条件? 4.等比数列的常用性质

(1)若{ab12n},{n}(项数相同)是等比数列,则{λan}(λ≠0),an,{an},{an·bn},abn

是否是等比数列.

(2)若{an}为等比数列,且m+n=p+q,则(m,n,p,q∈N*).(3)若{an}是等比数列,公比为q,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公比为的等比数列.(4)若{an}为等比数列,则数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…是否是等比数列 5.等比数列的前n项和公式(如何推导?)

若已知首项a1,公比是q,则Sn=,或首项是a1,末项an,Sn=.6.问题探究2:如何用函数的观点认识等比数列{an}的通项公式an及前n项和Sn?

典型例题: 考向一 等比数列基本量的计算

【例1】设等比数列{an}的前n项和为Sn,已知a2=6,6a1+a3=30.求an和Sn.考向二 等比数列的判定或证明

【例2】已知数列{aaan+an+1n}满足1=1,a2=2,an*

+2=2,n∈N.(1)令bn=an+1-an,证明:{bn}是等比数列;(2)求{an}的通项公式.

考向三等比数列性质的应用

【例3】已知等比数列前n项的和为2,其后2n项的和为12,求再往后3n项的和.达标训练:

1.等比数列{an}满足:a1+a6=11,a3·a32

4=

9,且公比q∈(0,1).

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)若该数列前n项和Sn=21,求n的值.

2.在等比数列{a}中,若a1

n1=2a4=-4,则公比q=________;|a1|+|a2|+…+|an|=________.3、已知数列{an}是等比数列,且a*

n>0,nN,a3a52a4a6a5a781,则a4a6.

【收获总结】

第二篇:等比数列第一节教案

课题: §2.4等比数列

授课类型:新授课

(第1课时)

●教学目标

知识与技能:掌握等比数列的定义;理解等比数列的通项公式及推导;

过程与方法:通过实例,理解等比数列的概念;探索并掌握等比数列的通项公式、性质,能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,提高数学建模能力;体会等比数列与指数函数的关系。

情感态度与价值观:充分感受数列是反映现实生活的模型,体会数学是来源于现实生活,并应用于现实生活的,数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的,提高学习的兴趣。●教学重点

等比数列的定义及通项公式 ●教学难点

灵活应用定义式及通项公式解决相关问题 ●教学过程 Ⅰ.课题导入

复习:等差数列的定义: an-an1=d,(n≥2,n∈N)

等差数列是一类特殊的数列,在现实生活中,除了等差数列,我们还会遇到下面一类特殊的数列。

课本P41页的4个例子: ①1,2,4,8,16,„ ②1,1111,,„ 2481623③1,20,20,20,20,„

234④100001.0198,100001.0198,100001.0198,100001.0198,4100001.01985,„„

观察:请同学们仔细观察一下,看看以上①、②、③、④四个数列有什么共同特征? 共同特点:从第二项起,第一项与前一项的比都等于同一个常数。Ⅱ.讲授新课

1.等比数列:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比;公比通常用字母q表示(q≠0),即:an=q(q≠0)an11“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q){an}成等比数列an1=q(nN,q≠0)an2 隐含:任一项an0且q0

“an≠0”是数列{an}成等比数列的必要非充分条件. 3 q= 1时,{an}为常数。

2.等比数列的通项公式1: ana1qn1(a1q0)由等比数列的定义,有:

a2a1q;

a3a2q(a1q)qa1q2; a4a3q(a1q2)qa1q3;

„ „ „ „ „ „ „

anan1qa1qn1(a1q0)3.等比数列的通项公式2: anamqm1(a1q0)4.既是等差又是等比数列的数列:非零常数列

探究:课本P56页的探究活动——等比数列与指数函数的关系 等比数列与指数函数的关系:

等比数列{an}的通项公式ana1qn1(a1q0),它的图象是分布在曲线y(q>0)上的一些孤立的点。

当a10,q >1时,等比数列{an}是递增数列; 当a10,0q1,等比数列{an}是递增数列; 当a10,0q1时,等比数列{an}是递减数列; 当a10,q >1时,等比数列{an}是递减数列;

当q0时,等比数列{an}是摆动数列;当q1时,等比数列{an}是常数列。[范例讲解] 课本P57例

1、例

2、P58例3 解略。Ⅲ.课堂练习

课本P59练习1、2 [补充练习] 2.(1)一个等比数列的第9项是

a1xqq41,公比是-,求它的第1项(答案:a1=2916)93(2)一个等比数列的第2项是10,第3项是20,求它的第1项与第4项(答案:a1=

a2=5, qa4=a3q=40)

Ⅳ.课时小结

本节学习内容:等比数列的概念和等比数列的通项公式. Ⅴ.课后作业

课本P60习题A组1、2题 ●板书设计 ●授后记

第三篇:等比数列题

等比数列

【做一做1】 等比数列3,6,12,24的公比q=__________.2.通项公式

等比数列{an}的首项为a1,公比为q,则通项公式为an=______(a1≠0,q≠0).

【做一做2】 等比数列{an}中,a1=2,q=3,则an等于()

n-1A.6B.3×2

n-1nC.2×3D.6

【做一做3】 4与9的等比中项为()

A.6B.-6C.±6D.36

题型一求等比数列的通项公式

【例题1】 在等比数列{an}中,已知a5-a1=15,a4-a2=6,求an.分析:设公比q,列出关于a1和q的方程组来求解.

题型二等比数列的判定和证明

【例题2】 已知数列{an}满足lg an=3n+5,求证:{an}是等比数列. 反思:证明数列是等比数列常用的方法:

①定义法:an+1anq(q≠0,且是常数)或q(q≠0,且是常数)(n≥2)anan-1{an}为等比

数列.此法适用于给出通项公式的数列,如本题.

*②等比中项法:a2n+1=an·an+2(an≠0,n∈N){an}为等比数列.此法适用于通项公

式不明确的数列.

n-1*③通项法:an=a1q(其中a1,q为非零常数,n∈N){an}为等比数列.此法适用于

做选择题和填空题.

题型四易错辨析

【例题4】 23与2-3的等比中项是__________.已知等比数列{an}满足a1+a2=3,a2+a3=6,则a7等于()

A.243B.128C.81D.64

111,则其第8项是__________. ,248

9123在等比数列{an}中,a1=,an=,公比q=,则n=__________.8332(2011·浙江杭州一模)已知等比数列前3项为

第四篇:2.3 等比数列(范文模版)

怀仁十一中高中部数学学案导学(三十三——1)

2.3 等比数列主备人袁永红

教学目的:

1.掌握等比数列的定义.2.理解等比数列的通项公式及推导

教学重点:教学难点:学习关键:

自学指导

1.等比数列:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么

a这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比;公比通常用字母q表示(q≠0),n=qan

1(q≠01“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q){an}成等比数列an1=q(nN,q≠0).an

2 隐含:任一项an0且q0、“an≠0”是数列{an}成等比数列的必要非充分条件. 3 q= 1时,{an}2.等比数列的通项公式1: ana1qn1(a1q0)由等比数列的定义,有:

a2a1q;a3a2q(a1q)qa1q2;a4a3q(a1q2)qa1q3;

„ „ „ „ „ „ „ anan1qa1qn1(a1q03.等比数列的通项公式2: anamqm1(a1q0)

4.既是等差又是等比数列的数列:非零常数列.

5.证明数列{an}为等比数列:

①定义:证明an1an1an22aa或=常数,②中项性质:an 1nn2anan1an

尝试练习

1.求下面等比数列的第4项与第5项:

(1)5,-15,45,„„;(2)1.2,2.4,4.8,„„;(3),.,;(4)2,1,2.求下列等比数列的公比、第5项和第n项:2133282,„„.2

(1)2,6,18,54,„;(2)7,561428,,;2739

(3)0.3,-0.09,0.027,-0.0081,„;(4)5,5c1,52c1,53c1,.3.数列m,m,m,„m,()

A.一定是等比数列B.既是等差数列又是等比数列

C.一定是等差数列不一定是等比数列D.既不是等差数列,又不是等比数列

4.已知数列{an}是公比q≠±1的等比数列,则在{an+an+1},{an+1-an},{

是等比数列的有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

5.(1)一个等比数列的第9项是,公比是-,求它的第1项.(2)一个等比数列的第2项是10,第3项是20,求它的第1项与第4项.典例精讲

例1.求下列各等比数列的通项公式:

1.a1=2,a3=8

解:a3a1qq24q24913an}{nan}这四个数列中,an1an(2)2n12n或an(2)(2)n1(2)n

2.a1=5, 且2an1=3an解:qan13an23又:a15an5()n1 2

an1n ann13.a1=5, 且

解:an1an12,ann1a12a32an1 ,,na23an1n

1a1n例2.求出下列等比数列中的未知项:

(1)2,a,8;以上各式相乘得:an

(2)-4,b,c,.解:

(1)根据题意,得

(2)根据题意,得

所以a=4或a=-4.

解得

所以b=2,c=-1.

例3在等比数列{an}中,(1)已知a1=3,q=-2,求a6;(2)已知a3=20,a6=160,求an.

解:(1)由等比数列的通项公式,得

(2)设等比数列的公比为q,那么

所以

例4在243和3中间插入3个数,使这5个数成等比数列.

解设插入的三个数为a2,a3,a4,由题意知243,a2,a3,a4,3成等比数列.

设公比为q,则

因此,所求三个数为81,27,9,或-81,27,-9.

基础训练

1.判断下列数列是否为等比数列:

(1)1,1,1,1,1;

(2)0,1,2,4,8;

(3)1,1111,,.81624

2在等比数列{an}中,(1)已知a1=3,q=-2,求a6;

(2)已知a3=20,a6=160,求an.3.在243和3中间插入3个数,使这5个数成等比数列.

4.成等差数列的三个正数之和为15,若这三个数分别加上1,3,9后又成等比数列,求这三个数.能力提升

1.在等比数列{an}中,a3·a4·a5=3,a6·a7·a8=24,则a9·a10·a11的值等于()

A.48B.72C.144D.192

2.在等比数列中,已知首项为

3.已知等比数列{an}的公比q=-912,末项为,公比为,则项数n等于______.833aa3a5a71,则13a2a4a6a8

4.已知数列{an}为等比数列,(1)若an>0,且a2a4+2a3a5+a4a6=25,求a3+a5.(2)a1+a2+a3=7,a1a2a3=8,求an.5.已知数列{an}满足:lgan=3n+5,试用定义证明{an}是等比数列.6.有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12

学习反思

第五篇:等比数列复习题

等比数列

[重点]

等比数列的概念,等比数列的通项公式,等比数列的前n项和公式。1.定义:数列{an}若满足

an

1=q(q0,q为常数)称为等比数列。q为公比。an

2.通项公式:an=a1qn-1(a10、q0)。

na13.前n

4.性质:(man=a2p,(3)记 5a

1和q[难点]

例题选讲1.(湖北),则a

()2.(辽宁),则Sn等于()3.已知a1(1)(2)设(3)记bn=

2,求{bn}数列的前项和Sn,并证明Sn+=1.

anan23Tn1

一、选择题

1.在公比q1的等比数列{an}中,若am=p,则am+n的值为()

n+1n-1nm+n-

1(A)pq(B)pq(C)pq(D)pq

2.若数列{an}是等比数列,公比为q,则下列命题中是真命题的是()(A)若q>1,则an+1>an(B)若0

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(C)若q=1,则sn+1=Sn(D)若-1

b9bb9b10

(A)8(B)()(C)9(D)()10

aaaa

4.在2与6之间插入n个数,使它们组成等比数列,则这个数列的公比为

()(A)3(B)1(C)n(D)n

35.若

值为((A)60)

(2){a2n-1的个数为(A)(7a、b((A)8C,则一AC=B2(9.()

(A)10.设n} 中((A(C)至多有一项为零(D)或有一项为零,或有无穷多项为零 11.在由正数组成的等比数列{an}中,若a4a5a6=3,log3a1+log3a2+log3a8+log3a9的值为

43(A)(B)(C)2(D)3

()

4n

112.在正项等比数列{an}中,a1+a2+……an=,则a1+a2+…an的值为

()

(A)2n(B)2n-1(C)2n+1(D)2n+1-

213.数列{an}是正数组成的等比数列,公比q=2,a1a2a3……a20=a50,,则a2a4a6……a20的值为(A)230(B)283(C)2170(D)2102-2()

14.在数列{an}中,a1=2,an+1=2an+2,则a100的值为()

(A)2100-2(B)2101-2(C)2101(D)21

515.某商品的价格前两年每年递增20%,后两年每年递减20%,最后一年的价格与原来的价格比较,变化情况是()

(A

123.已知…,xn,bK,则45.5a7+2,则实数6.若28在n1.已知等比数列{an},公比为-2,它的第n项为48,第2n-3项为192,求此数列的通项公式。

2.数列{an}是正项等比数列,它的前n项和为80,其中数值最大的项为54,前2n项的和为6560,求它的前100项的和。

3.已知a+b+c,b+c-a,c+a-b,a+b-c成等比数列,且公比为q,求证:(1)q3+ q 2+q=1,a

(2)q=

c

11,从第二项起,{an}是以为公比的等比数列,{an}22的前n项和为Sn,试问:S1,S2,S3…,Sn,…能否构成等比数列?为什么?

4.已知数列{an}满足a1=1,a2=-

5.求Sn=(x+

111)+(x2+2)+…+(xn+n)(y0)。yyy

6.某企业年初有资金1000万元,如果该企业经过生产经营,50%,但每年年底都要扣除消费基金x资金达到2000万元(扣除消费基金后)(精确到万元)。

7.已知数列{an}满足a1=1,a2n比为q的等比数列(q>0),bn=anan+1,cn=a2n-1+a2n,求cn。

8.7m2,1000/ m2,一次性国家财政补贴28800元,学校补贴14400若付107.5%每年复利一次计算(即本年利息计入次年的本息),那么每年应付款多少元?(参考数据:1.0759

1011

1.921,1.0752.065,1.0752.221)

第八单元等比数列

一、选择题CDACABCDBDABABD

二、填空题 1.

12.50,10,2或2,10,50 3.ab

k7k27

4.05.9简解:a3+a9=-,a3a9=a5a7=-,∴(-)=3×+2k=933336、1Ar(1r)n

7.2248、n

(1r)

2二、解答题

n

1①ana1(2)48n-1n-1

1.解得a=3(-2)。1=3 ∴an=a1q2n

4192②a2n3a1(2)

a1(1qn)

①80

2.∵

n项中又由3.(a

 c

4.当当当n1(11212S

1n-1n1

∴Sn=()Sn

1()n

{S}可以构成等比数列。

n1n1

2()25、当x1,y1时,11(1)nnyx(1x)xxn11yny1112n

n∴Sn=(x+x+…+x)+(+)= n

111x1xyy2ynyy1

y

1yn

当x=1,y1时Sn=n+n n1

yy

xxn1

n 当x1,y=1时Sn=

1x

当x=y=1时Sn=2n

6.设an表示第n年年底扣除消费基金后的资金。

a1=1000(1+)-x

21111

a2=[1000(1+)-x](1+)-x=1000(1+)2-x(1+)-x

a3类推所得a5则1000,解得x

7、∵bn+1由a1=1,a由a2=r,a∴Cn8依次类推第n则各年付款的本利和{an}为等比数列。

x(11.07510)

元。∴10年付款的本利和为S10=

11.075

个人负担的余额总数为72×1000-28800-14400=28800元。10年后余款的本利和为18800×1.07510

11.07510288001.075100.07510

288001.075解得x=4200元 ∴x10

11.0751.0751

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