等比数列五篇范文

第一篇：等比数列

等比数列

一、等比数列的基本定义

1．等比数列定义：

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这．．．．．．

个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示(q0)，（注意：等比数列的公比和项都不为零）．

2．等比数列的通项公式：ana1qn1．

例1．判断下列数列是否为等比数列：

（1）1,1,1,1；（2）0,1,2,4,8；

例2．已知{an},{bn}是项数相同的等比数列，求证：{anbn}是等比数列。

例3．求出下列等比数列中的未知项：

（1）2,a,8；（2）4,b,c,1． 2

例4．在243和3中间插入3个数，使这5个数成等比数列．

例5．等比数列{an}中，（1）a13，q2，求a6；（2）a320，a6160，求an．

二．等比数列有关概念

1．等比数列的通项公式：ana1qn1．

a1anqa1(1qn)2．等比数列前n项和公式：当q1时，Sn或Sn． 1q1q

当q=1时，Snna1 ．

三等比数列常用性质

1．若{an}为等比数列，mnpq(m,n,q,pN)，则amanapaq．

amqmn． an

3.若{an}为等比数列，则Sn,S2nSn,S3nS2n……成等比数列 2．若{an}为等比数列，则

2例1．（1）在等比数列{an}中，是否有anan1an1（n2）？（2）在数列{an}中，对于任意的正整数n（n2），都有anan1an1，那么数列{an}一定是等比数列．

例2． 已知{an}为GP，且a58,a72，该数列的各项都为正数，求{an}的通项公式。

1，求S10；（2）a11，ak243，q3，求Sk． 2

763例4．求等比数列{an}中，S3，S6，求an；22

例5．若数列前n项和Snkan1(k1,k0)，求证：数列{an}为等比数列，并求其通项例3等比数列{an}，（1）a14，q公式

．

第二篇：等比数列教案

2.4 等比数列

（一）（一）教学目标

1．知识与技能：理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式,理解这种数列的模型应用。

２.过程与方法：通过丰富实例抽象出等比数列模型，经历由发现几个具体数列的等比关系，归纳出等比数列的定义，通过与等差数列的通项公式的推导类比，探索等比数列的通项公式。

３.情态与价值：培养学生从实际问题中抽象出数列模型的能力。

（二）教学重、难点

重点：等比数列的定义和通项公式

难点：等比数列与指数函数的关系

（三）学法与教学用具

学法：首先由几个具体实例抽象出等比数列的模型，从而归纳出等比数列的定义；与等差数列通项公式的推导类比，推导等比数列通项公式。

教学用具：投影仪

教学过程： [温故知新] 我们已经学习过一种特殊的数列——等差数列，具备怎样特征的数列才是等差数列呢？（学生齐答）

[情景设置] 实例

1、有三种投资方案可供选择，它们的回报情况如下： 方案1:第一天回报10元,以后每天比前一天多回报10元； 方案2:每天回报100元；

方案3:第一天回报0.1元,以后每天的回报金额比前一天翻一番。提问：应该选择哪种方案，才能使收益最大化？

☆处理：设置情景，让学生积极参与其中。通过罗列3种方案回报金额构成的数列，既复习了等差数列，又自然地引入了等比数列。

方案1：10 20 30 40 50 60 „ 方案2：100 100 100 100 100 100 „ 方案3：0.1 0.2 0.4 0.8 1.6 3.2 „

实例

2、观察细胞分裂的过程：

构成数列：1，2，4，8„

实例3《庄子》中有这样的论述：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”

1111，，… 构成数列：1，24816实例

4、计算机病毒传播问题：

构成数列：1，20，202，203，204，„

实例

5、按银行支付利息的复利方式计算本利和，若存入银行1万元钱,年利率是1.98%，每年本利和构成数列：

10000×1.0198,10000×1.0198,10000×1.0198 ,10000×1.0198„

34提问：上述5组数列有什么共同的特点？ 答：从第2项起,上述5组数列中每一项与前一项的比分别都等于常数2，2，1/2，20,1.0198。共同特点：从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一个常数。☆处理：由学生自己观察发现每个实例中隐藏的数列及其特征，并归纳总结出5组数列的共同特征，从而引出等比数列定义。

[探究新知]

一、等比数列定义:若一个数列从第2项起,每一项与前一项的比都等于同一个常数,则这个数列叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比,常用字母q表示。

anq(n2)an1☆处理：类比等差数列定义，由学生自己总结等比数列定义，并将定义的文字语言转换为数学符号语言。

例、判断下列几组数列是否为等比数列,若是, 求其公比。

，…（1）1,1，248111（2）-1，-2，-4，-8，„

（3）-1，2，-4，8，„（4）1，x，x，x„

（5）a, a, a, a „

设计思路：趁热打铁，巩固等比数列概念。学生可能认为数列(4)(5)也一定是等比数列，在纠错的同时，自然地引出两个注意事项。(2)(3)中的数列让学生直观地体会公比的正负对等比数列各项符号的影响。注意：

(1)q≠0, an ≠0(n ≥1)，q>0时各项同号,q<0时各项正负相间。

(2)各项不为0的常数列既是等差又是等比数列。

二、等比数列通项公式: 设计思路：先复习等差数列通项公式的各种推导方法，让学生围绕定义，仿照等差数列推导等比数列的通项公式。（学生分小组讨论，根据各组讨论情况，选三位同学演板并讲解自己的推导思路。）

方法

一、归纳法 方法

二、累积法 方法

三、迭代法 23a2a1qa3a2qa1q2aa2q,3qa1a2anan1q(an2q)qan2q2(an3q)q2an3q3ana4q,q3aa a4a3qa1q

3n1ana2a3a4qn1a1a2a3an1aaqn1n1ana1qn1a1qn12

通项公式：若等比数列｛an｝的首项是a1，公比是q，则其通项公式为ana1qn1 设计思路：（1）回顾实例1中的三个数列，求出其通项公式。

（2）复习等差数列与一次函数的关系，通过计算机模拟演示，展示等比数列图像，引导学生分析等比数列图像与指数函数图像的关系。（3）通过图像和具体数据的计算让学生体会指数爆炸现象。关于通项公式的两点注意：

(1)函数思想：等比数列{an}的图像是其对应的指数型函数y上的一些孤立的点。

(2)方程思想：an,a1,q,n这四个量会知三求一。

[典例分析] 例

1、由右边框图,写出所打印数列的前5项,并建立数列递推公式。此数列是等比数列吗? 若是,求其通项公式。分析:本题将算法知识介于其中，既体现了知识间的联系性，又巧妙地引出了一个等比数列，而递推关系也包含在程序框图中。引导学生通过类比等差，体会要证明一个数列是等比数列,只需证明对于任意正整数n,a1xq qan1是an一个常数即可。

例

2、某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留量是原来的84%,这种物质的半衰期为多长(精确到1年)？

分析: 要帮助学生发现实际问题中数列的等比关系,抽象出其数学模型。通项公式反映了数列的本质特征,因此关于等比数列的问题首先应想到它的通项公式an=a1qn-1，对于通项公式中的四个量要求会知三求一。

例

3、一个等比数列的第３项和第４项分别是12和18,求它的第１项和第２项。分析:由等比数列的通项公式列出方程组，求出通项公式，再由通项公式求得数列的任一项，这个过程可以帮助学生再次体会通项公式的作用及其与方程之间的联系。

[演练天地]

1、求出引例2—5中等比数列的通项公式。

2、等比数列{an}中,(1)若a1=2,q=-3,求a8与an(2)若a1=2, a9=32,求q(3)若a1=8 ,an=3 ,q=3 ,求项数n 912

[课堂小结]

1、理解与掌握等比数列的定义及数学表达式：

anq(n2)an

12、会推导等比数列的通项公式并掌握其基本应用ana1qn1

3、函数思想:等比数列与指数函数的联系

[课后巩固] 54页 A组 7,8

[新课预知] 类比等差数列推导等比数列的相关性质

[课后反思] 从全面提高学生的素质考虑，本节课把等比数列定义及通项公式的探索、发现、创新等思维过程的暴露、知识形成过程的揭示作为教学重点；将类比、从特殊到一般的归纳等数学思想始终贯穿其中。这样的设计不像将知识和盘托出那么容易，而是要求教师精心设计问题层次，由浅入深，循序渐进，不断地激发学生思维的积极性和创造性，使学生自行发现知识、“创造”知识。这是不仅是对教师，也是对学生更高层次的要求。

第三篇：等比数列教案

等比数列教案（第一课时）

彭水第一中学校

贺巧

教材分析：

三维目标：知识与技能：1.理解等比数列的定义；2.掌握等比数列的通项公式，会解决知道an，a1，q，n中的三个，求另一个的问题．

过程与方法：通过观察具体数列的规律，从特殊到一般得到等比数列的定义；再由等比数列定义，引导学生推导出等比数列的通项公.情感态度与价值观：培养学生的观察与表达能力，通过等比数列通项的推导，训练学生的逻辑思维能力。

重点：1.等比数列概念的理解与掌握；2.等比数列的通项公式的推导及应用． 难点：等比数列＂等比＂的理解、把握和应用．

易错点：1.忽略公比q0.2.将通项公式ana1qn1错记为ana1qn.前后衔接：上节中学习了等差数列，用类比的方法研究等比数列.命题倾向与经典题型：命题倾向于填空选择题；主要是“知三求二”的题型，以及用累 乘法求一般数列通项公式.学情分析：

学生知识储备：学生已经比较熟悉数列，会用观察法求数列通项公式；通过等差数列的学习，已有研究特殊数列的一般方法与思路.预习及学法指导：建议学生用研究等差数列的方法与思路去预习看书，比较等差数列与 等比数列的异同点.教学方法：

如何突出重点：归纳类比，累乘法，典例讲解，变式训练.如何突出难点：关键在于紧扣定义，类比等差数列的相关知识，来发现解决问题的方法.如何辨析易错点：1.准确理解等比数列定义.2.掌握等比数列通项公式的推导方法.教学过程：

一.新课引入

观察下列数列，看其有何共同特点？

（1）1,2,4,8,16,32，„；

111***1-，-，（3），„.2481632（2）1，，，„；

数列（1）从第二项起，后一项与前一项的比值都为2；数列（2)从第二项起，后一项与前一项的比值都为11；数列（3）从第二项起，后一项与前一项的比值都为-.32总结：以上数列的共同特点从第二项起，后一项与前一项的比值都为同一个常数.二.新课讲解

1．等比数列的定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫等比数列的公比，用字母q表示（q≠0）.思考：（1）为什么q≠0？

（2）怎样用数学表达式表示等比数列定义？

答案：(1)由于分母不能为0，再根据等比数列的定义知q不可能为0.(2)an1q(q为常数且q0).an判断下列数列是否为等比数列：（1）2,2,2,2,2，„；（2）0,0,0,0,0，„；（3）2,4,8,0,16，„.由此说明等比数列中任何项都不能为0；非零的常数列既是等比数列（公比为1）也是等差数列（公差为0）.2.探究等比数列的通项公式

观察法：由等比数列的定义，有：a2a1q； a3a2q(a1q)qa1q2； a4a3q(a1q2)qa1q3；

„ „

观察序号n与q的次方数的关系，不难发现：ana1qn1(a1，q0)累乘法：有等比数列的定义，有

aa2aaq；3q；4q；„；nq a1a3an1a2

所以a2a3a4anqn1，即ana1qn1(a1，q0)a1a2a3an1因此得到等比数列的通项公式1：ana1qn1(a1，q0)思考：类比等差数列，若已知am，q，则an.ama1qm1，则a1amamn1n1nm.，所以aaqqaqn1mm1m1qqnm由此得到等比数列的通项公式2：anamq(nm)

请学生写出“引入”中，（1),(2),(3)的通项公式.3.例题讲解

例1 一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项.解：aa18332216q a23128,a128.1222q3q33例2 已知等比数列{an}中，a26,a5162，求a3,an.解：法一 方程组思想a1q6a12n1，，a18，a233n4a1q162q3

法二 应用等比数列通项公式2 a5a2q52，q3，a3a2q18，ana2qn223n1

三．课堂训练

基础题：人教版A版教材P52，练习1；

中档题：在等比数列{an}中，a36，a418，则a1a2.拔高题：在等比数列{an}中，a71求{an}的通项公式.，且a4，a51，a6成等差数列，四．课堂小结

1.等比数列的定义；

2.等比数列的通项公式． 五．作业布置

1.人教版A版课后习题2.4 A组第1题； 2.在数列{an}中，a1六．板书设计

§2.4 等比数列

一．定义 例1 课堂训练1.二．通项公式 例2 2.累乘法 3.七．教学反思

本堂课预设目标与内容顺利完成。从学生的反应来看，大部分学生能够掌握，会计算求等比数列的通项公式。少部分学生在计算上不熟练，因为前面等差数列中都是加减消元求首项和公差，而这节中要采用两式相除求公比。课后还要多加练习才行。

1，an12an0，求a4，an.5

第四篇：等比数列复习题

等比数列

[重点]

等比数列的概念，等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式。1．定义：数列{an}若满足

an

1=q(q0,q为常数)称为等比数列。q为公比。an

2．通项公式：an=a1qn-1(a10、q0)。

na13.前n

4.性质：（man=a2p，（3）记 5a

1和q[难点]

例题选讲1.（湖北），则a

（）2．（辽宁）,则Sn等于（）3．已知a1（1）（2）设（3）记bn=

2，求｛bn｝数列的前项和Sn，并证明Sn+=1.

anan23Tn1

一、选择题

1．在公比q1的等比数列{an}中，若am=p,则am+n的值为（）

n+1n-1nm+n-

1（A）pq（B）pq（C）pq（D）pq

2.若数列{an}是等比数列，公比为q，则下列命题中是真命题的是（）（A）若q>1,则an+1>an（B）若0

3eud教育网 http://教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！

（C）若q=1,则sn+1=Sn（D）若-1

b9bb9b10

（A）8（B）（）（C）9（D）（）10

aaaa

4．在2与6之间插入n个数，使它们组成等比数列，则这个数列的公比为

（）（A）3（B）1（C）n（D）n

35．若

值为（（A）60)

(2){a2n-1的个数为（A）（7a、b（（A）8C，则一AC=B2（9．（）

（A）10．设n} 中（（A（C）至多有一项为零（D）或有一项为零，或有无穷多项为零 11．在由正数组成的等比数列{an}中，若a4a5a6=3,log3a1+log3a2+log3a8+log3a9的值为

43（A）（B）（C）2（D）3

（）

4n

112．在正项等比数列{an}中，a1+a2+……an=,则a1+a2+…an的值为

（）

（A）2n（B）2n-1（C）2n+1（D）2n+1-

213.数列{an}是正数组成的等比数列，公比q=2,a1a2a3……a20=a50,，则a2a4a6……a20的值为（A）230（B）283（C）2170（D）2102-2（）

14．在数列{an}中，a1=2,an+1=2an+2,则a100的值为（）

（A）2100-2（B）2101-2（C）2101（D）21

515．某商品的价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，最后一年的价格与原来的价格比较，变化情况是（）

（A

123．已知…,xn,bK，则45．5a7+2,则实数6．若28在n1.已知等比数列{an}，公比为-2，它的第n项为48，第2n-3项为192，求此数列的通项公式。

2.数列{an}是正项等比数列，它的前n项和为80，其中数值最大的项为54，前2n项的和为6560，求它的前100项的和。

3.已知a+b+c,b+c-a,c+a-b,a+b-c成等比数列，且公比为q,求证：（1）q3+ q 2+q=1,a

（2）q=

c

11,从第二项起，{an}是以为公比的等比数列，{an}22的前n项和为Sn，试问：S1,S2,S3…,Sn,…能否构成等比数列？为什么？

4.已知数列{an}满足a1=1,a2=-

5.求Sn=(x+

111)+(x2+2)+…+(xn+n)(y0)。yyy

6.某企业年初有资金1000万元，如果该企业经过生产经营，50%，但每年年底都要扣除消费基金x资金达到2000万元（扣除消费基金后）（精确到万元）。

7.已知数列{an}满足a1=1,a2n比为q的等比数列(q>0),bn=anan+1，cn=a2n-1+a2n,求cn。

8.7m2,1000/ m2，一次性国家财政补贴28800元，学校补贴14400若付107.5%每年复利一次计算(即本年利息计入次年的本息),那么每年应付款多少元?(参考数据:1.0759

1011

1.921,1.0752.065,1.0752.221)

第八单元等比数列

一、选择题CDACABCDBDABABD

二、填空题 1．

12．50，10，2或2,10,50 3．ab

k7k27

4．05.9简解：a3+a9=-,a3a9=a5a7=-,∴(-)=3×+2k=933336、1Ar(1r)n

7.2248、n

(1r)

2二、解答题

n

1①ana1(2)48n-1n-1

1．解得a=3(-2)。1=3 ∴an=a1q2n

4192②a2n3a1(2)

a1(1qn)

①80

2．∵

n项中又由3．（a

 c

4.当当当n1(11212S

1n-1n1

∴Sn=()Sn

1()n

{S}可以构成等比数列。

n1n1

2()25、当x1,y1时，11(1)nnyx(1x)xxn11yny1112n

n∴Sn=(x+x+…+x)+(+)= n

111x1xyy2ynyy1

y

1yn

当x=1,y1时Sn=n+n n1

yy

xxn1

n 当x1,y=1时Sn=

1x

当x=y=1时Sn=2n

6.设an表示第n年年底扣除消费基金后的资金。

a1=1000(1+)-x

21111

a2=[1000(1+)-x](1+)-x=1000(1+)2-x(1+)-x

a3类推所得a5则1000,解得x

7、∵bn+1由a1=1,a由a2=r,a∴Cn8依次类推第n则各年付款的本利和{an}为等比数列。

x(11.07510)

元。∴10年付款的本利和为S10=

11.075

个人负担的余额总数为72×1000-28800-14400=28800元。10年后余款的本利和为18800×1.07510

11.07510288001.075100.07510

288001.075解得x=4200元 ∴x10

11.0751.0751

第五篇：等比数列第一节

课题：等比数列及其前N项和

学习目标：掌握等比数列的定义，通项公式和前n项和的公式，并能利用这些知识解决有关

问题，培养学生的化归能力

重点、难点：

对等比数列的判断，通项公式和前n项和的公式及性质的应用

知识梳理：

1．等比数列的定义

由定义可推导等比数列的单调性为2．等比数列的是通项公式（如何推导？）通项公式的推广：

3．等比中项 问题探究1：b2＝ac是a，b，c成等比数列的什么条件？ 4．等比数列的常用性质

(1)若{ab12n}，{n}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，an，{an}，{an·bn}，abn

是否是等比数列．

(2)若{an}为等比数列，且m＋n＝p＋q，则(m，n，p，q∈N*)．(3)若{an}是等比数列，公比为q，则ak，ak+m，ak+2m，…(k，m∈N*)是公比为的等比数列．(4)若{an}为等比数列，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…是否是等比数列 5．等比数列的前n项和公式（如何推导？）

若已知首项a1，公比是q，则Sn＝，或首项是a1，末项an，Sn＝.6．问题探究2：如何用函数的观点认识等比数列{an}的通项公式an及前n项和Sn?

典型例题： 考向一 等比数列基本量的计算

【例1】设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2＝6,6a1＋a3＝30.求an和Sn.考向二 等比数列的判定或证明

【例2】已知数列{aaan＋an＋1n}满足1＝1，a2＝2，an*

＋2＝2，n∈N.(1)令bn＝an＋1－an，证明：{bn}是等比数列；(2)求{an}的通项公式．

考向三等比数列性质的应用

【例3】已知等比数列前n项的和为2，其后2n项的和为12，求再往后3n项的和.达标训练：

1.等比数列{an}满足：a1＋a6＝11，a3·a32

4＝

9，且公比q∈(0,1)．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若该数列前n项和Sn＝21，求n的值．

2.在等比数列{a}中，若a1

n1＝2a4＝－4，则公比q＝________；|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝________.3、已知数列{an}是等比数列,且a*

n>0,nN,a3a52a4a6a5a781，则a4a6．

【收获总结】