《等比数列》教学设计

第一篇：《等比数列》教学设计

《等比数列》教学设计

一、目的要求

1.理解等比数列的概念。

2．掌握等比数列的通项公式，并会根据它进行有关计算。

二、内容分析

1．等比数列与等差数列在内容上是完全平行的，包括定义、性质（等差还是等比）、通项公式、前n项和的公式、两个数的等差（等比）中项、两种数列在函数角度下的解释、具体问题里成等差（等比）数列的三个数的设法等。因此在教学与复习时可用对比方法，以便于弄清它们之间的联系与区别。

这里指出，如果一个数列既是等差数列又是等比数列，其充要条件是它为非0的常数列。事实上，由等比数列的定义可知这个数列是非0数列。取这个数列中的任意连续3项，由题设知这个数列是非0的常数列。

2．数列的学习中，等差数列与等比数列是两种最重要的数列模型。事实上，等差数列描述的是一种绝对均匀的变化，等比数列描述的是一种相对均匀的变化。因为非均匀变化通常要转化或近似成均匀变化来进行研究，所以本章里重点研究等差数列和等比数列。

3．从函数的角度看，如果说等差数列可以与一次函数联系起来，那么等比数列则可以与指数函数联系起来。事实上，由等比数列的通项公式可得，当q＞0，且q≠1时，是一个指数函数，而上式则是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{}的图象是函数的图象上的一些孤立点。

4．本课内容的重点是等比数列的概念及其通项公式。与等差数列一样，在讲等比数列的概念时，关键是要讲清“等比”的意义，即数列中任一项与前一项的比是同一个常数。等比数列的定义，是我们判断一个数列是否为等比数列的基本方法。

与等差数列一样，等比数列也具有一种对称性。对于等差数列来说，与数列中任一项等距离的两项之和等于该项的2倍。类似地，对于等比数列来说，与数列中任一项等距离的两项之积等于该项的平方。

利用上面的性质，常可使一些问题变得简便。例如在具体问题里设成等差数列的3个数时，常设成a－d，a，a＋d；

三、教学过程

1．提出教科书中的数列①、②、③，让学生观察其特点。可问：这些数列是不是等差数列？如果不是，又有什么特点？ 2．提出等比数列的概念。

在观察、概括上述数列特点的基础上，提出这一概念。并将这一概念与等差数列进行对比。

这里可安排一个“想一想”：等差数列的首项、公差均可以是0，等比数列的首项，公比可以是0吗？

由等比数列的定义可知，等比数列的首项、公比均不能为0，各项是0组成的数列不是等比数列。

3．归纳出等比数列的通项公式。让学生自己归纳，并可进行讨论。

在这过程中，如有必要可启发学生：如果等比数列的首项是，公比是q，那

么，如何表示？一般地，呢？

导出通项公式后，可指出像这样归纳得出的公式还不够严谨，学习后续有关知识后可对它进行严格证明。

4．讲例1。5．课堂练习。

做教科书本小节后的“练习”第l、2题。6．归纳总结。

为突出与等差数列的对比，可让学生自己填写下列表格 等差数列 等比数列 定义

通项公式

相应图象的特点

首项、公差(公比)取值有无限制

注：如果等比数列的公比q≠1，那么相应的图象是函数图象上的一群孤立点。

四、布置作业

习题3.4第1、3、4、5题。

第二篇：等比数列教学设计

《等比数列》教学设计（共2课时）

晋元高级中学

杨方玉

一、教材分析：

1、内容简析：

本节主要内容是等比数列的概念及通项公式，它是继等差数列后有一个特殊数列，是研究数列的重要载体，与实际生活有密切的联系，如细胞分裂、银行贷款问题等都要用等比数列的知识来解决，在研究过程中体现了由特殊到一般的数学思想、函数思想和方程思想，在高考中占有重要地位。

2、教学目标确定：

从知识结构来看，本节核心内容是等比数列的概念及通项公式，可从等比数列的“等比”的特点入手，结合具体的例子来学习等比数列的概念，同时，还要注意“比”的特性。在学习等比数列的定义的基础上，导出等比数列的通项公式以及一些常用的性质。从而可以确定如下教学目标（三维目标）： 第一课时：

（1）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式及公式的推导

（2）在教学过程中渗透方程、函数、特殊到一般等数学思想，提高学生观察、归纳、猜想、证明等逻辑思维能力

（3）通过对等比数列通项公式的推导，培养学生发现意识、创新意识

第二课时：

（1）加深对等比数列概念理解，灵活运用等比数列的定义及通项公式，了解等比中项概念，掌握等比数列的性质

（2）运用等比数列的定义及通项公式解决问题，增强学生的应用

3、教学重点与难点：

第一课时：

重点：等比数列的定义及通项公式

难点：应用等比数列的定义及通项公式，解决相关简单问题

第二课时：

重点：等比中项的理解与运用，及等比数列定义及通项公式的应用

难点：灵活应用等比数列的定义及通项公式、性质解决相关问题

二、学情分析：

从整个中学数学教材体系安排分析，前面已安排了函数知识的学习，以及等差数列的有关知识的学习，但是对于国际象棋故事中的问题，学生还是不能解决，存在疑问。本课正是由此入手来引发学生的认知冲突，产生求知的欲望。而矛盾解决的关键依然依赖于学生原有的认知结构──在研究等差数列中用到的思想方法，于是从几个特殊的对应观察、分析、归纳、概括得出等比数列的定义及通项公式。

数列部分是高中教学的重点和难点，它对学生的数学思想和方法的认识要求比较高，所有准确把握学生的思维能力。同时，这部分内容的学时又是学生形成良好的思维能力的关键。因此，本节教学设计一方面遵循从特殊到一般的认知规律，另一方面也加强观察、分析、归纳、概括能力培养。

多数学生愿意积极参与，积极思考，表现自我。所以教师可以把尽可能多的时间、空间让给学生，让学生在参与的过程中，学习的自信心和学习热情等个性心理品质得到很好的培养。这也体现了教学工作中学生的主体作用。

三、教法选择与学法指导：

由于等比数列与等差数列仅一字之差，在知识内容上是平行的，可用比较法来学习等比数列的相关知识。在深刻理解等差数列与等比数列的区别与联系的基础上，牢固掌握数列的相关知识。因此，在教法和学法上可做如下考虑：

1、教法：采用问题启发与比较探究式相结合的教学方法

教法构思如下：提出问题引发认知冲突观察分析归纳概括得出结论总结提高。在教师的精心组织下，对学生各种能力进行培养，并以促进学生发展，又以学生的发展带动其学习。同时，它也能促进学生学会如何学习，因而特别有利于培养学生的探索能力。

2、学法指导：

学生学习的目的在于学会学习、思考，达到创新的目的，掌握科学有效的学习方法，可增强学生的学习信心，培养其学习兴趣，提高学习效率，从而激发强烈的学习积极性。我考虑从以下几方面来进行学法指导：

（1）把隐含在教材中的思想方法显化。如等比数列通项公式的推导体现了从特殊到一般的方法。其通项公式ana1qn1是以n为字变量的函数，可利用函数思想来解决数列有关问题。思想方法的显化对提高学生数学修养有帮助。

（2）注重从科学方法论的高度指导学生的学习。通过提问、分析、解答、总结，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。训练逻辑思维的严密性和深刻性的目的。

四、教学过程设计：

第一课时

1、创设情境，提出问题（阅读本章引言并打出幻灯片）

情境1：本章引言内容

提出问题：同学们，国王有能力满足发明者的要求吗？ 引导学生写出各个格子里的麦粒数依次为：

1，2，2,2,2, „„，263（1）于是发明者要求的麦粒总数是 1+2+22+23++263情境2：某人从银行贷款10000元人民币，年利率为r，若此人一年后还款，二年后还款，三年后还款，„„，还款数额依次满足什么规律？

10000(1+r),10000(1r),10000(1r),„„（2）情境3：将长度为1米的木棒取其一半，将所得的一半再取其一半，再将所得的木棒继续取其一半，„„各次取得的木棒长度依次为多少？

111，,„„（3）24823234作用于原来的认知结构在原有认知的基础上分析在特殊情况下一般情况下例题和练习问：你能算出第7次取一半后的长度是多少吗？观察、归纳、猜想得()

2172、自主探究，找出规律：

学生对数列（1），（2），（3）分析讨论，发现共同特点：从第二项起，每一项与前一项的比都等于同一常数。也就是说这些数列从第二项起，每一项与前一项的比都具有“相等”的特点。于是得到等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比常用字母q(q0)表示，即an:an1q(nN,n2,q0)。

12如数列（1），（2），（3）都是等比数列，它们的公比依次是2，1+r，点评：等比数列与等差数列仅一字之差，对比知从第二项起，每一项与前一项之“差”为常数，则为等差数列，之“比”为常数，则为等比数列，此常数称为“公差”或“公比”。

3、观察判断，分析总结：

观察以下数列，判断它是否为等比数列，若是，找出公比，若不是，说出理由，然后回答下面问题：

1，3，9，27，„„

1,12,14,18,„„

1，-2，4，-8，„„-1，-1，-1，-1，„„ 1，0，1，0，„„

思考：①公比q能为0吗？为什么？首项能为0吗？

②公比q1是什么数列？

③q0数列递增吗？q0数列递减吗？

④等比数列的定义也恰好给出了等比数列的递推关系式：

这一递推式正是我们证明等比数列的重要工具。

选题分析；因为等差数列公差d可以取任意实数，所以学生对公比q往往忘却它不能取0和能取1的特殊情况，以致于在不为具体数字（即为字母运算）时不会讨论以上两种情况，故给出问题以揭示学生对公比q有防患意识，问题③是让学生明白q0时等比数列的单调性不定，而q0时数列为摆动数列，要注意与等差数列的区别。

备选题：已知xR则x,x2,x3,„„xn，„„成等比数列的从要条件是什么？

4、观察猜想，求通项：

方法1：由定义知道a2a1q,a3a2qa1q2,a4a3qa1q3,„„归纳得：等比数列的通项公式为：ana1qn1(nN)

（说明：推得结论的这一方法称为归纳法，不是公式的证明，要想对这一方式的结论给出严格的证明，需在学习数学归纳法后完成，现阶段我们只承认它是正确的就可以了）

方法2：迭代法

根据等比数列的定义有

anan1qan2qan3q23„„a2qn2a1qn1 方法3：由递推关系式或定义写出：a2a1a3a2a4a3a2a1q,a3a2q,a4a3q,„„

anan1q，通过观察发现ana1„„

anan1n1 qqq„„qq qn1，即：ana1qn1(nN)

（此证明方法称为“累商法”，在以后的数列证明中有重要应用）

公式ana1qn1(nN)的特征及结构分析：

（1）公式中有四个基本量：a1,n,q,an，可“知三求一”，体现方程思想。（2）a1的下标与的qn1上标之和1(n1)n，恰是an的下标，即q的指数比项数少1。

5、问题探究：通项公式的应用

例、已知数列an是等比数列，a32,a864，求a14的值。备选题：已知数列an满足条件：anp()n，且a454425。求a8的值

546、课堂演练：教材138页1、2题

备选题1：已知数列an为等比数列，a1a310,a4a6，求a4的值

备选题2：公差不为0的等差数列an中，a2,a3,a6依次成等比数列，则公比等于

7、归纳总结：

（1）等比数列的定义，即

ana1qn1(q0)

（2）等比数列的通项公式ana1qn1(nN)及推导过程。

8、课后作业：

必作：教材138页练习4；习题1（2）（4）2、3、4、5 选作：

1、已知数列an为等比数列，且a1a2a37,a1a2a38，求an

2、已知数列an满足a11,an12an1

（1）求证：an1是等比数列。

（2）求an的通项an。

第三篇：等比数列教学设计

等比数列教学设计

一、教学目标

1、知识与技能：通过教学使学生理解等比数列的概念，推导并掌握通项公式.2、过程与方法：使学生进一步体会类比、归纳的思想，培养学生的观察、概括能力.3、情感、态度与价值观：培养学生勤于思考，实事求是的精神，及严谨的科学态度.二、教学重点、难点

教学重点：等比数列的定义和通项公式

教学难点：在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能灵活解决问题。

三、学法与教法

学法：兴趣→观察→分析归纳→得到猜想结论

教法：讲授法、引导发现法、类比探究法、讲练结合法

四、教学过程设计

活动

一、观察，找规律，给等比数列下定义

按规律写数

（1）3，6，12，24，____，____，____；（2）5，10，____，40，____，160，.（3）某种汽车购买时的价格是36万元，每年的折旧率是10%，求这辆车各

年开始时的价格（单位：万元）。

板书：等比数列的定义及符号语言

练习：判断下列数列是不是等比数列，并说明理由(1)１,2, 4, 16, 64, …(2)16, 8, 1, 2, 0,…(3)2, 2, 2, 2, …

（4）an= 3

活动

二、观察如下的两个数之间，插入一个什么数后者三个数就会成为一个 等比数列：

（1）1，____，9（2）-1，____，-4 n1（3）-12，____，-3（4）1，____，1 类比得定义：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。例:求出下列等比数列中的未知项.-4 , b, c，学生思考，找到解决方案。

教师引导有没有更好的方法呢，引出通项公式。活动

三、类比等差数列累加法，用累乘法得结论

n1aaq1 通项公式： n

用通项公式再次解决上题，体会用公式的优越。活动

四、应用公式解决问题

一个等比数列的第３项和第４项分别是１２和１８，求它的第１项和第２项．

练习.学生动笔练习，熟悉公式。

活动

五、归纳小结 提炼精华

1.本节课研究了的概念，得到了通项公式； 2.注意在研究内容与方法上要与等差数列相类比； 3.用方程的思想认识通项公式，并加以应用.活动

六、作业习题2.4第1、7（2）、8（1）题 课后反思

第四篇：等比数列教学设计

新蔡二高教学设计 年级：15级 学科：数学 主备课人：徐德功 日期 2017年12月6日 课题：高三数学一轮复习 等比数列 1．了解等比数列的通项公式an与前n项和公式Sn的关系． 三 维

1、知识目标 2．能通过前n项和公式Sn求出等比数列的通项公式an． 教 学 目

2、能力目标 增强等比数列的认识，优化解题思路、解题方法，提升数学表达的能力。标

3、德育目标 培养学生认识数学的美。重点：熟练掌握等比数列的性质运用。难点：：解题思路和解题方法的优化。教学过程：【知识精讲】

一、基本公式、性质 1.等比数列定义：一般地，如果一个数列从 起，每一项与它的前一项的比值等于同一个，那么这个数列就叫等比数列，这个常数q叫做等比数列的。2相关公式：（1）定义：an1（2）通项公式：ana1qn1推广：anamqnm q(n1,q0)an q1na1 aanq（3）前n项和公式：Sna1(1qn)Sn=1 q11q1q 3.等比数列{an}的一些性质（1）对于任意的正整数p,q,r,s,如果pqrs，则apaqaras（2）对于任意的非零实数b，{ban}也是等比数列（3）已知{bn}是等比数列，则{anbn}也是等比数列（4）如果an0，则{logaan}是等差数列（5）数列{logaan}是等差数列，则{an}是等比数列（6）{a2n},{a2n1},{a3n},{a3n1},{a3n2}等都是等比数列

第五篇：等比数列教学设计

等比数列教学设计

上传: 毛怡珍

更新时间：2012-5-10 20:11:43

等比数列(第一课时)

【课题】

等比数列(第一课时)（教案）

【教材】

北师大版《数学》必修5—1，1.3.1第一课时 北京师范大学出版社 【授课教师】毛怡珍 【授课类型】新授课 教学内容分析

较之以往教材不同之处在于教材在处理本节课时，有意将等比数列的函数特征放在后面思考交流中，其意图在于突出与等差数列的类比思想。当用类比推理方法得到等比数列定义、通项公式后，学生很自然的得出等比数列的函数特征，乃至等比中项，所以它起到一个承前启后的作用。教学目标

（1）知识目标：使学生掌握等比数列的定义及通项公式，发现等比

数列的一些简单性质，并能运用定义及通项公式解决一些实际问题。

（2）能力目标：培养运用归纳类比的方法发现问题并解决问题的能

力及运用方程的思想的计算能力。

（3）德育目标：培养积极动脑的学习作风，在数学观念上增强应用 意识，在个性品质上培养学习兴趣。

教学重点：等比数列的定义和通项公式

教学难点：在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能灵活

运用这些公式解决相应的实际问题。

教学思路设计：G·波利亚说：“类比就是一种相似，相似的对象在

某个方面彼此一致，类比的对象则其相应部分在某些关系上相似，类

比是一个伟大的领路人.”鉴于等差数列与等比数列两者十分类似的

特点，在等比数列的教学中，采用类比的方法，可就两者的定义、性

质、公式、解题方法等方面的异同，进行对比，以加深对等差、等比

数列内在联系的理解，并发展学生类比思维的能力.教师可通过类比

等差数列来促进学生主动获取等比数列的知识，在知识的发生过程中

用类比的方法优化认知结构.如通过复习类比等差数列的定义得到等 比数列的定义和公比概念，同样也可以类比等差数列的证明方法来获

得等比数列的证明方法等

教学手段： 为了突出重点、突破难点，本节课主要采用观察、分析、类比、归纳的方法，让学生参与学习，将学生置于主体位置，发挥学

生的主观能动性，将知识的形成过程转化为学生亲自探索类比归纳的

过程，使学生获得发现的成就感。

教学过程设计：

一、创设情景——提出问题

情景

1、播放一段拉面师傅做拉面的视频。拉面师傅将一根很粗的面条，拉伸，捏合，如此反复几次，就拉成了很多根细面条，这样捏合8次后可拉出多少根面条？

前8次捏合成的面条根数构成了一个数列 1，2，4，8，16，32，64，128

情景

2、庄子曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”

意思：“一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完”。这样，每日剩下的部分都是前一日的一半。可以得到一个数列

情景

3、除了单利，银行还有一种支付利息的方式———复利，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息，也就是通常说的“利滚利”．按照复利计算本利和的公式是 本利和＝本金（1＋利率）存期

例如，现在存入银行10000元钱，年利率是1.98%，那么按照复利，5年内各年末得到的本利和分别是：

时 间 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 年初本金（元）10000

10000×1.0198 10000×1.01982 10000×1.01983 10000×1.01984

年末本利和（元）10000×1.0198 10000×1.01982 10000×1.01983 10000×1.01984 10000×1.01985

各年末的本利和组成了下面的数列：

10000×1.0198，10000×1.01982，10000×1.01983，10000×1.01984，10000×1.01985

提问：请同学们仔细观察这三个数列有什么共同特征？

生：从第二项起，每一项与前一项的比都等于同一常数。也就是说这些数列从第二项起，每一项与前一项的比都具有“相等”的特点。

【设计意图】情景1是通过播放拉面录像激发学生学习的积极性和兴

趣，同时又自然的给出一组等比数列；情景2是一句古语，意在给出 一组公比小于1的等比数列；情景3是生活中的存款时复利计算问题，可激发学生学习的积极性。

二、观察归纳，探索研究

①1，2，4，8，16，32，64，128

②1，，，„„

③10000×1.0198，10000×1.01982，10000×1.01983，10000×1.01984，10000×1.01985

1、等比数列的定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比常用字母q 表示。即

刚才的三个数列都是等比数列，它们的公比依次是2，1/2,1.0198 【设计意图】引导学生通过“观察、分析、归纳”，类比等差数列的定义得出等比数列的定义。探索研究

一、判定下列数列是否是等比数列，若是写出公比q，若不是，说出理由，然后回答下面问题。

问题1（1）公比q能否为零？为什么？首项a1呢？（2）公比q=1时是什么数列？

【设计意图】通过对这5个数列的研究，让学生发现在等比数列定义中应注意的三个方面①a1≠0,q≠0；②与n 无关的常数；③q=1时非零常数列既是等差数列也是等比数列，也加深了学生对定义的理解。探索研究

二、问题2 运用类比的思想可以发现，等比数列的定义是把等差数列的定义中的“差”换成了“比”，同样，你能类比得出等比数列的通项公式吗？

方法1：同等差数列———归纳法． 方法2：类比等差数列，累乘可得，即，各式相乘，得，„„，．

2、等比数列的通项公式是

【设计意图】采用、类比、归纳的方法，让学生参与学习，发挥学

生的主观能动性，将知识的形成过程转化为学生亲自探索类比归纳的

过程，使学生获得发现的成就感。

三、尝试应用

例

1、求下列各等比数列的通项公式：

例

2、一个等比数列的首项是2，第2项和第3项的和是12，求它的第8项的值。解：略

【设计意图】通过例1及例2是让学生熟悉通项公式及其一些简单的应用。巩固练习：

练习

1、在等比数列中完成下表： 题次 ⑴ ⑵

⑶ ⑷

2、（1）一个等比数列的第9项是36，公比是-2，求它的第1项.（2）一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项.【设计意图】练习1让学生明白公式中a1 ,q,n,an四个量中，知道任意三个即可求另一个；练习2使学生掌握等比数列运算中常规的消元方法。

四、归纳小结

下面请同学们回忆一下，这节课学习的主要内容？

1、等比数列的定义，怎样判断一个数列是否是等比数列

2、等比数列的通项公式，每个字母代表的含义。

3、等比数列应注意那些问题

4、通项公式的应用

(知三求一)

5、本节课采用的主要思想——类比思想

【设计意图】由学生自己总结，锻炼学生自主构建完整的数学知识体系的能力。让学生在独立思考中不断深化感性认识，总结规律，有利于学生对本节课的学习从感性上升到理性。

五、作业

1、在各项为负数的数列中，如果，且，求n的值

2、课后思考:第27页思考交流题

六、板书设计 等比数列

二、通项公式的推

四、课时小结

一、等比数列的定义

导

五、作业

三、例题

七、课后反思

在本节课等比数列的教学中，通过让学生回答问题、上黑板练习、自己举例解答，学生配合较好，课堂气氛也较好，在课堂上学生能够主动积极地与老师合作、发现问题、提出问题，基本达到了预先的教学目的；同时在课堂教学中注意到了要灌输类比、归纳、猜测的思想，培养学生观察、概括的能力；又通过现实生活中的实例让学生充分感受到了数列是反映现实生活的模型，让学生体会到数学是来源于现实生活并应用于现实生活的，给学生提高了学习兴趣。但在课堂教学中提问回答，上黑板并不能遍及到所有学生，而课堂是所有学生的课堂，在课堂上加入让所有学生讨论这一环节可能会更好一些；尤其可以分组讨论，让学生各小组之间进行竞争，会更加调动学生学习的积极性。同时在设计问题时还要注意问题的合理性与难度梯度。