等比数列的概念和通项公式(教学设计)

第一篇：等比数列的概念和通项公式(教学设计)

《等比数列》（第1课时）教学设计 授课地点：武威八中

授课时间：2015年4月22日 授课人：武威六中杨志隆

一、教学目标 知识与技能

1.理解等比数列的概念；

2.掌握等比数列的通项公式；

3.会应用定义及通项公式解决一些实际问题。过程与方法

培养运用归纳类比的方法去发现并解决问题的能力。通过实例，归纳并理解等比数列的概念，探索并掌握等比数列的通项公式，培养学生严密的思维习惯。情感态度与价值观

充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣。

二、教学重点、难点 教学重点：

等比数列的概念及通项公式； 教学难点：

通项公式的推导及初步应用。

三、教学方法

发现式教学法，类比分析法

四、教学过程

（一）旧知回顾，情境导入 1.回顾等差数列的相关性质

设计意图：通过复习等差数列的相关知识，类比学习本节课的内容，用熟知的等差数列内容来分散本节课的难点，为等比数列的学习做铺垫。2.情境展示 情境1：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。” 情境2：一张纸的折叠问题

把以上实例表示为数学问题，并引导学生通过观察、联想，得到两个数列： ①

②

1,2,4,8,16,32,64 设计意图：让学生通过观察，得到两个数列的共同特点：从第二项起，每一项与它前面一项的比都等于同一个常数．由此引入等比数列。

（二）概念探究

1．引导学生通过联想并类比等差数列给出该数列的名称：等比数列 2．归纳总结，形成等比数列的概念．

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫等比数列，这个常数叫做等比数列的公比（引导学生经过类比等差数列的定义得出）。同时给出等比中项的定义，并和等差中项做比较，加深学生对概念的理解。3．对等比数列概念的深化理解 给出几个数列让学生判断是否是等比数列，以加深对概念的理解。问题1：等比数列的项可以为零吗？ 问题2：等比数列的公比可以为零吗？

问题3：若，等比数列的项有什么特点？呢？特别地，若，数列的项有什么特点？ 问题4：形如，，„（）的数列既是等差数列，又是等比数列吗？

设计意图：通过让学生分析讨论，加深学生对概念的深层次理解，培养学生严谨的思维习惯和良好的自主探究能力。通项公式推导

1．定义的代数式表达

引导学生由等比数列的定义写出其递推式，并得到：（1）判定：对于数列，若（，为常数），则称这个数列为等比数列，常数叫做等比数列的公比．

（2）性质：是等比数列（，为常数）

设计意图：通过探索，发现一个概念可以作为判定，又可以得到它的性质，提高学生的自主探究能力。

2.回顾由等差数列的递推式求其通项公式的方法：叠加法和迭代法。让学生类比等差数列的通项公式的推导思路和方法，自主探究等比数列的通项公式的求法，然后教师再做补充，引导学生归纳两种方法：叠乘法和迭代法。

设计意图：培养学生的自学能力和探索精神，体会类比思想在数学中的应用，提高学生的知识迁移能力。

（四）例题解析

例1 课本第51页例3.解：略

设计意图：通过这道例题，加深学生对等比数列的通项公式的理解，同时养成学生良好的动手习惯和规范解题习惯，提高学生的计算能力。

例题后的练习1和2可让学生自己动手完成，以便学生熟练应用通项公式。例2 课本第51页例4 解：略

设计意图：通过让学生举例、不完全归纳和证明，得到两个等比数列的积仍是等比数列，增强学生的归纳总结能力。

（五）、回顾小结

1．等比数列的概念和通项公式； 2．用类比的思想研究数学问题；

3．注重等差数列和等比数列的区别与联系。（小结可先由学生叙述，教师进行补充和整理）

设计意图：让学生将获得的知识进一步条理化、系统化，同时培养学生的归纳总结能力，为学生以后解决问题提供经验和教训．

（六）课后作业

1.课本53页：A组1、2 2.课后思考：类比等差数列，试猜想等比数列的性质。

设计意图：面向全体学生，注重个人差异，加强作业的针对性，对学生进行分层作业，既使学生掌握基础知识，又使学有余力的学生有所提高，在数学上得到不同的发展，同时为下一节等比数列的性质的学习打基础。

（七）教后反思

第二篇：等比数列的通项公式(教案)

等比数列的通项公式（教案）

一、教学目标

1、掌握等比数列的通项公式，并能够用公式解决一些相关问题。

2、掌握由等比数列的通项公式推导出的相关结论。

二、教学重点、难点

各种结论的推导、理解、应用。

三、教学过程

1、导入

复习

等比数列的定义：

an1q nN* an*

通项公式：ana1qn1 nN

用归纳猜测的方法得到，用累积法证明



2、新知探索

例1 在等比数列an中，（1）已知a13,q2,求a6；

（2）已知a320,a6160,求an.，分析（1）根据等比数列的通项公式，得 a6a1q596（2）可以根据等比数列的通项公式列出一个二元一次方程组

2a15a3a1q20n1n

1解得

所以 aaq52n15q2a6a1q160问：上面的第（2）题中，可以不求a1而只需求得q就得到an吗? 分析 在归纳猜测等比数列的通项公式时，有这样一系列式子：

a2a1q,a3a2qa1q2,a4a3qa2q2a1q3，anan1qan2q2an3q3...a2qn2a1qn1

注意观察等式右边各项的下标与q的次方的和，可以发现，an的表达式中，始终满足

*anamqnm

n,mN

结论1

数列an是等比数列，则有anamqnm*

n,mN。

再来看一下例1中（2）的另一种解法：a6a3q3，所以q=2，所以ana1qn152n1习题2.3（1）P492、在等比数列an中，（1）已知a44,a9972,求an；

（2）已知a26,a6分析

（1）可以根据定义和结论1给出两种解法。

3a4a1q4方法一  8a9a1q97232,求an.27方法二 a9a4q5，所以q=3，所以ana4qn443n4。（2）a6a2q4，所以q2 322当q时,ana2qn26()n233

22当q时,ana2qn26()n233例2 在243和3中间插入3个数，使这5个数成等比数列。

分析

设此三个数为a2，a3，a4，公比为q，则由题意得243，a2，a3，a4，3成等比数列；

13243q4，所以得q

31当q时，a281，a327，a493

1当q时，a281，a327，a493故插入的三个数为81，27，9或-81，27，-9.问：观察一下例2中，当q时，这5个数分别为243，-81，27，-9，3，可以发现什么规律？

答：在等比数列中，当公比小于零时，数列中的奇数项同号，偶数项同号。习题2.3（1）P49

6、在等比数列an中，a10，a2a42a3a5a4a625，求a3a5的值。分析

13a3a4得a32a2a4，同理得a52a4a6 a2a3a10a30,a50a3a5022a2a42a3a5a4a6a32a3a5a5(a3a5)225

a3a55例3 已知等比数列an的通项公式为an32n，求首项和公比q.分析 a1326,a23212q2a22 a

1在例3中，等比数列的通项公式为an32n，是一个常数与指数式的乘积，因为数列是特殊的函数，故表示这个数列的各点(n,an)均在函数y32x的图像上。

问：如果一个数列an的通项公式为anaqn，其中a，q都是不为零的常数，那么这个数列一定是等比数列吗？

an1aqn分析

a1aq0，n1q，所以是等比数列。

anaq一般可以看作是等比数列通项公式的变形，ana1qn1a1na

qaqn，其中a1 qq结论2 等比数列an的通项公式均可写成anaqn（a，q为不等于零的常数）的形式。反之成立。

习题2.3（1）P495、在等比数列an中，22（1）a5a1a9是否成立？a5a3a7是否成立？ 2（2）anan2an2（n>2）是否成立？

（3）你能得到更一般的结论吗？

2分析

（1）a1a9a1a1q8(a1q4)2a5 2，所以成立。a3a7a1q2a1q6(a1q4)2a52（2）an2an2a1qn3a1qn1(a1qn1)2an，所以成立。

（3）从（1）（2）可以看出，等式两边各项的下表和相等，左边是同一项的平方，如果把左边换成两个不同项的乘积呢？

同时，类比等差数列中的一个结论：在等差数列an中，当m+n=p+q(m,n,p,q都是正整数)时，有amanapaq，可以猜测：在等比数列an中，当m+n=p+q(m,n,p,q都是正整数)时，有amanapaq.12证

amana1qm1a1qna1qmn2，apaqa1qp1a1qq1a12qpq2

所以amanapaq.结论3 在等比数列an中，当m+n=p+q(m,n,p,q都是正整数)时，有amanapaq.习题

在等比数列an中，a1，a99是方程x10x160的两个实根，求a40a60.2分析 可以利用结论3.因为a1，a99是方程x10x160的两个实根，所以可得a1a99=16，所以a40a60=a1a99=16.在结论3中，当m=n或p=q时，可以发现此项总是处于另两项的中间。结论

4若a，G，b成等比数列，则称G为a和b的等比中项，且Gab。习题2.3（1）P49

7、（1）求45和80的等比中项；

（2）已知两个数k+9和6-k的等比中项是2k，求k.分析

（1）设此等比中项是G，则G=4580=3600，所以G=60.（2）(2k)2(k9)(6k)，化简，得5k3k540，所以k222218或k3

5四、归纳总结

本节课的主要内容是由等比数列的通项公式引深而得到的几个结论，要求学生能牢记并灵活运用。

五、布置作业

做与本节课内容相关的练习册。

六、教学反思

本节课的内容都是由等比数列的通项公式推导而得到。在上课的时候，我先是把等比数列的通项公式推导一遍，再由相关的例题或习题引出相关的结论，在讲解中引导学生思考，充分发挥学生的主体作用，使学生能够与我产生互动，调节课堂气氛，使学生积极思考。在上课的过程中，有些地方因缺乏经验不能很好地连贯在一起，这在以后的讲课中要注意。

第三篇：等比数列前n项和公式教学设计（模版）

等比数列前n项和公式教学设计 1.复习:(1)等比数列的定义

(2)等比数列的通项公式: 2.引例：

一个穷人到富人那里去借钱,原以为富人不愿意，哪知富人一口答应了下来,但提出了如下条件：在30天中，富人第一天借给穷人1万元,第二天借给穷人2万元,以后每天所借的钱数都比上一天多1万;但借钱第一天,穷人还1分钱,第二天还2分钱,以后每天所还的钱数都是上一天的两倍,30天后互不相欠.穷人听后觉得挺划算,本想定下来,但又想到此富人是吝啬出了名的,怕上当受骗,所以很为难。”请在座的同学思考讨论一下,穷人能否向富人借钱?（1）启发引导学生数学地观察问题，构建数学模型。

学生直觉认为穷人可以向富人借钱，教师引导学生自主探求，得出：

S穷人30天借到的钱：

'301230229(130)302465（万元）

穷人需要还的钱：S301222?

29（2）教师紧接着把如何求S学生探究，3012222？的问题让S301222229

①若用公比2乘以上面等式的两边，得到

2S30222229230②

若②式减去①式，可以消去相同的项，得到：

S3023011073741823(分)≈1073(万元)＞ 465（万元）

由此得出穷人不能向富人借钱

（3）小组合作

仿照公比为2的等比数列求和方法，推倒等比数列前 项和公式：

等式两边应同乘以等比数列的公比，即（板书）

③两端同乘以，得 ④，③－④得

醒学生注意 的取值）当 当 时，由③可得 时，由⑤得

（不必导出④，但当时设想不到）.⑤，（提问学生如何处理，适时提于是

（4）教师：还有没有其他推导方法？

a2a1a3a2anan1q

a2a3ana1a2an1q

即

sna1snanqsna1anq1q(q1)。

学生B：

sna1a1qa1qa1qa1a1qa1qn2a1q1n1

n2aqsn1a1qsnana1qsnanqa1anq1q(q1)snqsna1anqsn

3．练习：

求下列等比数列的各项和：

(1)1，3，9，…，2187

（2）1,1,1,1,,2481512

2、根据下列条件求等比数列a的前n项和S

nn①a12,q2,n8

②a18,q2,an12

4．布置作业：

1、根据下列条件，求等比数列an的前n项和S

n①: a13,q2,n6

②: a18,q12,an12

0,n049 ③：a20.12,a50.0 ④: a1a310,a4a654，2、在等比数列an中，①:已知a12,S326，求q和Sn ②:已知S230,S3115，求Sn

第四篇：《数列通项公式》教学设计

《数列通项公式》教学设计

【授课内容】数列通项公式 【授课教师】陈鹏 【授课班级】高三6班

【授课时间】2009年10月20日晚自习【教学目标】

一、知识目标：

1.解决形如an+1=pan +f(n)通项公式的确定。

2．通过学习让学生掌握和理解an+1=pan +f(n)此类型的通项公式的求法。

二、能力目标：

在实践中通过观察、尝试、分析、类比的方法导出数列通项公式，培养学生类比思维能力。通过对公式的应用，提高学生分析问题和解决问题的能力。利用学案导学，促进学生自主学习的能力。

三、情感目标：

通过公式的推导使学生进一步体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思想方法。【教学重点】

通过学习让学生能够熟练准确的确定掌an+1=pan +f(n)此类型的通项公式，并 能解决实际问题。【教学难点】

1.如何将an+1=pan +f(n)转化为我们学过的两个基础数列（等差和等比）。2.理解和掌握an+1=pan +f(n)此类型数列通项公式确定的数学思想方法。【教学方法】探索式 启发式 【教学过程】 一．引入：

1、等差、等比数列的通项公式？

2、如何解决an+1–an =f(n)型的通项公式？

3、如何解决an+1∕an =f(n)型的通项公式？

二．新授内容：

例1：设数列{an}中，a1=1, an+1=3an , 求an的通项公式。

解：略

例2：设数列{an}中，a1=1, an+1=3an+1, 求an的通项公式。分析：设an+1=3an+1为an+1+A=3(an+A)

例3：设数列{an}中，a1=1, an+1=3an+2n, 求an的通项公式。

分析：设an+1=3an+2n为an+1+A(n+1)+B=3(an+An+B)

思考：设数列{an}中，a1=1, an+1-3an=2n, 求an的通项公式。

分析：法一：设an+1=3an+2n 为an+1+A2n+1 =3（an+A2n）

法二：an+1=3an+2n的等式两边同时除以2n方可解决

三．总结：

形如an+1=pan +f(n)此类数列通项公式的求法，可以通过适当的策略将问题化归为等差数列或等比数列问题加以解决。四．练习：

1、设数列{an}中，a1=1, an+1=2an+3, 求an的通项公式。

2、设数列{an}中，a1=1, an+1=3an+2n+1, 求an的通项公式。

3（2009全国卷Ⅱ理）设数列的前项和为sn ,已知a1=1, sn+1=4an +2（I）设bn=an+1 –2an，证明数列{bn}是等比数列（II）求数列的通项公式。

【课后反思】

递推数列的题型多样，求递推数列的通项公式的方法也非常灵活，往往可以通过适当的策略将问题化归为等差数列或等比数列问题加以解决。等差、等比数列是两类最基本的数列，是数列部分的重点，自然也是高考考查的热点，而考查的目的在于测试灵活运用知识的能力，这个“灵活”往往集中在“转化”的水平上。转化的目的是化陌生为熟悉，当然首先是等差、等比数列，根据不同的递推公式，采用相应的变形手段，达到转化的目的。

因而求递推数列的通项公式问题成为了高考命题中颇受青睐的考查内容。求递推数列通项公式的方法策略是：公式法、累加法、累乘法、待定系数法、换元法等等。只要仔细辨析递推关系式的特征，准确选择恰当的方法，是迅速求出通项公式的关键。

一、学情分析和教法设计：

1、学情分析：

学生在前一阶段的学习中已经基本掌握了等差、等比数列这两类最基本的数列的定义、通项公式、求和公式，同时也掌握了与等差、等比数列相关的综合问题的一般解决方法。本节课作为一节专题探究课，将会根据递推公式求出数列的项，并能运用累加、累乘、化归等方法求数列的通项公式，从而培养学生观察、分析、归纳、猜想的能力、逻辑思维能力以及演绎推理的能力。

2、教法设计：

本节课设计的指导思想是：讲究效率，加强变式训练、合作学习。采用以问题情景为切入点，引导学生进行探索、讨论，注重分析、启发、反馈。先引出相应的知识点，然后剖析需要解决的问题，在例题及变式中巩固相应方法，再从讨论、反馈中深化对问题和方法的理解，从而较好地完成知识的建构，更好地锻炼学生探索和解决问题的能力。

在教学过程中采取如下方法：

①诱导思维法：使学生对知识进行主动建构，有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性； ②分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性； ③讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点。

二、教学设计：

1、教材的地位与作用：

递推公式是认识数列的一种重要形式，是给出数列的基本方式之一。对数列的递推公式的考查是近几年高考的热点内容之一，属于高考命题中常考常新的内容；另一个面，数学思想方法的考查在高考中逐年加大了它的份量。化归思想是本课时的重点数学思想方法，化归思想就是把不熟悉的问题转化成熟悉问题的数学思想，即把数学中待解决或未解决的问题，通过观察、分析、联想、类比等思维过程，选择恰当的方法进行变换、转化，归结到某个或某些已经解决或比较容易解决的问题上，最终解决原问题的一种数学思想方法；化归思想是解决数学问题的基本思想，解题的过程实际上就是转化的过程。因此，研究由递推公式求数列通项公式中的数学思想方法是很有必要的。

2、教学重点、难点：

教学重点：根据数列的递推关系式求通项公式。教学难点：解题过程中方法的正确选择。

3、教学目标：(1)知识与技能：

会根据递推公式求出数列中的项，并能运用累加、累乘、化归等方法求数列的通项公式。(2)过程与方法：

①培养学生观察、分析、归纳、猜想的能力、逻辑思维能力以及演绎推理的能力；

②通过阶梯性练习和分层能力培养练习，提高学生分析问题和解决问题的能力，使不同层次的学生的能力都能得到提高。(3)情感、态度与价值观：

①通过对数列的递推公式的分析和探究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；

②通过对数列递推公式和数列求和问题的分析和探究，使学生养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯；

③通过互助合作、自主探究等课堂教学方式培养学生认真参与、积极交流的主体意识。

三、教学过程：

（1）复习数列的递推公式、等差和等比数列的递推公式，并解决问题。（2）课堂小结（3）作业布置

已知:a1a0,an1kanb,(k0)(1)k,b在何种条件下,数列an分别成等差数列,等比数列.(2)若数列a,又非等比数列且ab n既非等差数列,k10, 如何求an的通项公式.(3)利用(2)的方法分别求出以下数列an的通项公式, ①若a11,2an13an2.②若a11,an2an13anan1.三、课后反思：

递推数列的题型多样，求递推数列的通项公式的方法也非常灵活，往往可以通过适当的策略将问题化归为等差数列或等比数列问题加以解决。等差、等比数列是两类最基本的数列，是数列部分的重点，自然也是高考考查的热点，而考查的目的在于测试灵活运用知识的能力，这个“灵活”往往集中在“转化”的水平上。转化的目的是化陌生为熟悉，当然首先是等差、等比数列，根据不同的递推公式，采用相应的变形手段，达到转化的目的。

因而求递推数列的通项公式问题成为了高考命题中颇受青睐的考查内容。求递推数列通项公式的方法策略是：公式法、累加法、累乘法、待定系数法、换元法等等。只要仔细辨析递推关系式的特征，准确选择恰当的方法，是迅速求出通项公式的关键。

第五篇：数学分层作业(等比数列通项公式2)

紧扣教材 分层作业夯实基础步步为营

数学分层作业（等比数列通项公式2）

知 识: 等比中项、性质.方 法:明晰特征,掌握方法.（基本训练1—5；知识应用6—7；灵活应用8—9）组别学号 姓名评价

1.写出下面等比数列的第4项与第5项：

（1）5，－15，45，；（2）1.2，2.4，4.8，； 2.（1）a,G,b成等比数列；

（2）等比数列的性质：若m+n=p+k，则有

3.等比数列an中，a32，a864，那么它的公比q

4.三个数成等比数列,它的和为14,它们的积为64,求这三个数.5.已知{an}是等比数列，且an0,a2a42a3a5a4a625, 求a3a5．

6．设｛an｝是由正数组成的等比数列，且a5a6=81，log3a1+ log3a2+…+ log3a10的值是

7.在等比数列中，an>0，且an2anan1，则该数列的公比q等于.8.已知四个数，前三个数成等比数列，和为19，后三个数成等差数列，和为12，求此四个数.9.（1）｛an｝是等比数列，C是不为0的常数，数列can是等比数列吗？为什么？

（2）已知an,bn是项数相同的等比数列，an是等比数列吗？为什么？ bn