《利用图形求等比数列之和》教学设计

第一篇：《利用图形求等比数列之和》教学设计

《利用图形求等比数列之和》教学设计

浙江省诸暨市暨阳街道暨阳小学 卢慧飞（初稿）浙江省诸暨市实验小学教育集团 陈菊娣（修改）浙江省诸暨市教育局教研室 汤 骥（统稿）

教学内容：人教版小学数学教材六年级上册第107～108页例2及相关练习。教学目标：

1．在学习过程中引导学生探索研究数与形之间的联系，寻找规律，发现规律，学会利用图形来解决一些有关数的问题。

2．让学生经历猜想与验证的过程，体会和掌握数形结合、归纳推理、极限等基本数学思想。

教学重难点：探索数与形之间的联系，寻找规律，并利用图形来解决有关数的问题。教学准备：教学课件。教学过程：

一、直接导入，揭示课题

同学们，上节课我们探究了图形中隐藏的数的规律，今天我们继续研究有关数与图形之间的联系。（板书课题：数与形）

【设计意图】直奔主题，简洁明了，有利于学生清楚本节课学习的内容和方向。

二、探索发现，学习新知

（一）教师与学生比赛算题

1．教师：你知道等于多少吗？（学生：）

教师：那等于多少呢？（学生计算需要时间）教师紧接着说：我已经算好了，是，不信你算算。

2．只要按照这个分子是1，分母依次扩大2倍的规律写下去，不管有多少个分数相加，我都能立马算出结果。有的同学不相信是吗？咱们试试就知道。为了方便，我请我们班计算最快的同学跟我一起算，看看结果是否相同。谁来出题？

学生出题。预设：，，„„

在学生出题后，老师都能立刻算出结果，并且是正确的，学生感到很惊奇。3．知道我为什么算得那么快吗？因为我有一件神秘的法宝，你们也想知道吗？ 【设计意图】一方面，教师通过与学生比赛计算速度，且每次老师胜利，使学生产生好奇心，再通过教师幽默的语言，吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣和求知欲。另一方面，为接下来学习例题做好铺垫。

（二）借助正方形探究计算方法

1．这件法宝就是（师边说边课件出示一个正方形），让我们来把它变一变，聪明的同学们一定能看明白是怎么回事了。

2．进行演示讲解。

（1）演示：用一个正方形表示“1”，先取它的一半就是正方形的（涂红），再剩下部分的一半就是正方形的（涂黄）。

想一想：正方形中表示的涂色部分与空白部分和整个正方形之间有什么关系呢？（涂色部分等于“1”减去空白部分）空白部分占正方形的几分之几？（）那么涂色部分还可以怎么算呢？（），也就是说。

（2）继续演示，谁知道除了通分，还可以怎么算？

根据学生回答，板书。（3）演示：那么计算就可以得到？（）。

3．看到这儿，你发现什么规律了吗？

4．小结：按照这样的规律往下加，不管加到几分之一，只要用1减去这个几分之一就可以得到答案了。

5．这个法宝怎么样？谁来说说它好在哪里？你学会了吗？ 6．尝试练习：

；

。

【设计意图】将复杂的数量运算转化为简单的图形面积计算，转繁为简，转难为易，引导学生探索数与图形的联系，让学生体会到数形结合、归纳推理的数学思想方法。

（三）知识提升，探索发现 1．感受极限。

（1）刚才我们已经从一直加到了，如果我继续加，加到，得数等于？（）再接着加，一直加到，得数等于？（）随着不断继续加，你发现得数越来越？（大）无数个这样的数相加，和会是多少呢？

（2）这时候你心中有没有一个大胆的猜想？（学生猜想：这样一直加下去，得数会不会就等于1了。）

（3）想象一下，如果我们在刚才加的过程中在正方形上不断涂色，那空白部分的面积就越来越？（小）而涂色部分的面积越来越接近？（1）也就是求和的得数越来越接近？（1）最终得数是1吗？你有什么方法来证明得数就是1？

（学情预设：学生提出书本的圆形图和线段图，若没有学生提出，教师自己提出。）2．利用线段图直观感受相加之和等于“1”。（1）书本上有两幅图，我们一起来看看（课件出示）。一幅是圆形图，一幅是线段图，你能看懂它的意思吗？请你想一想，然后告诉大家你的想法。

（2）学生看书思考。

（3）全班交流，课件演示，得出结论：这些分数不断加下去，总和就是1。

【设计意图】利用数与形的结合，让学生直观体会极限数学思想，并让学生经历猜想得数等于“1”，到数形结合证明得数等于“1”的过程，激发学生学习兴趣，培养学生探索新知的精神。

3．课堂小结。

对于这种借用图形来帮助我们解决问题的方法，你有什么感受？

教师小结：是的，“数”与“形”有着紧密的联系，在一定条件下可以相互转化。当用数形结合的方法解决问题时，你会发现许多难题的解决变得很简单。

4．举一反三。

其实在以前的学习中，我们也常用到数形结合的数学方法帮助我们解题，你能想到些例子吗？（如学生有困难，教师举例：一年级加法，分数的认识，复杂的路程问题线段图等。）

【设计意图】让学生体会“数形结合”是数学学习中常用的方法。

三、练习巩固 1．基础练习。

（1）学生独立计算。（2）全班交流反馈。

【设计意图】通过练习，回顾新知，巩固新知，使学生对新知识掌握得更扎实。2．小林、小强、小芳、小兵和小刚5人进行象棋比赛，每2人之间都要下一盘。小林已经下了4盘，小强下了3盘，小芳下了2盘，小兵下了1盘。请问：小刚一共下了几盘？分别和谁下的？

解决问题：（1）全班读题，学生独立思考。（2）指名回答。

（3）根据学生回答情况，连线（课件演示）。

（4）结合连线图得出：小刚一共下了2盘，分别和小林、小强下的。【设计意图】让学生进一步体会数形结合的直观性和变难为易的特点。

四、课堂总结

快下课了，请你来说说这节课有什么收获？

第二篇：《利用图形求等比数列之和》教案

教学内容：

人教版小学数学教材六年级上册第107～108页例2及相关练习。

教学目标：

1．在学习过程中引导学生探索研究数与形之间的联系，寻找规律，发现规律，学会利用图形来解决一些有关数的问题。

2．让学生经历猜想与验证的过程，体会和掌握数形结合、归纳推理、极限等基本数学思想。

重点难点：

探索数与形之间的联系，寻找规律，并利用图形来解决有关数的问题。

教学准备：

教学课件。

教学过程：

一、直接导入，揭示课题

同学们，上节课我们探究了图形中隐藏的数的规律，今天我们继续研究有关数与图形之间的联系。（板书课题：数与形）

【设计意图】直奔主题，简洁明了，有利于学生清楚本节课学习的内容和方向。

二、探索发现，学习新知

（一）教师与学生比赛算题

1．教师：你知道等于多少吗？（学生：）

教师：那等于多少呢？（学生计算需要时间）教师紧接着说：我已经算好了，是，不信你算算。

2．只要按照这个分子是1，分母依次扩大2倍的规律写下去，不管有多少个分数相加，我都能立马算出结果。有的同学不相信是吗？咱们试试就知道。为了方便，我请我们班计算最快的同学跟我一起算，看看结果是否相同。谁来出题？

学生出题。预设

在学生出题后，老师都能立刻算出结果，并且是正确的，学生感到很惊奇。

3．知道我为什么算得那么快吗？因为我有一件神秘的法宝，你们也想知道吗？

【设计意图】一方面，教师通过与学生比赛计算速度，且每次老师胜利，使学生产生好奇心，再通过教师幽默的语言，吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣和求知欲。另一方面，为接下来学习例题做好铺垫。

（二）借助正方形探究计算方法

1．这件法宝就是（师边说边课件出示一个正方形），让我们来把它变一变，聪明的同学们一定能看明白是怎么回事了。

2．进行演示讲解。

（1）演示：用一个正方形表示1，先取它的一半就是正方形的（涂红），再剩下部分的一半就是正方形的（涂黄）。想一想：正方形中表示的涂色部分与空白部分和整个正方形之间有什么关系呢？（涂色部分等于1减去空白部分）空白部分占正方形的几分之几？（）那么涂色部分还可以怎么算呢？（），也就是说。

（2）继续演示，谁知道除了通分，还可以怎么算？

根据学生回答，板书。

（3）演示：那么计算就可以得到？（）。

3．看到这儿，你发现什么规律了吗？

4．小结：按照这样的规律往下加，不管加到几分之一，只要用1减去这个几分之一就可以得到答案了。

5．这个法宝怎么样？谁来说说它好在哪里？你学会了吗？

6．尝试练习

【设计意图】将复杂的数量运算转化为简单的图形面积计算，转繁为简，转难为易，引导学生探索数与图形的联系，让学生体会到数形结合、归纳推理的数学思想方法。

（三）知识提升，探索发现

1．感受极限。

（1）刚才我们已经从一直加到了，如果我继续加，加到，得数等于？（）再接着加，一直加到，得数等于？（）随着不断继续加，你发现得数越来越？（大）无数个这样的数相加，和会是多少呢？

（2）这时候你心中有没有一个大胆的猜想？（学生猜想：这样一直加下去，得数会不会就等于1了。）

（3）想象一下，如果我们在刚才加的过程中在正方形上不断涂色，那空白部分的面积就越来越？（小）而涂色部分的面积越来越接近？（1）也就是求和的得数越来越接近？（1）最终得数是1吗？你有什么方法来证明得数就是1？

（学情预设：学生提出书本的圆形图和线段图，若没有学生提出，教师自己提出。）

2．利用线段图直观感受相加之和等于1。

（1）书本上有两幅图，我们一起来看看（课件出示）。一幅是圆形图，一幅是线段图，你能看懂它的意思吗？请你想一想，然后告诉大家你的想法。

（2）学生看书思考。

（3）全班交流，课件演示，得出结论：这些分数不断加下去，总和就是1。

【设计意图】利用数与形的结合，让学生直观体会极限数学思想，并让学生经历猜想得数等于1，到数形结合证明得数等于1的过程，激发学生学习兴趣，培养学生探索新知的精神。3．课堂小结。

对于这种借用图形来帮助我们解决问题的方法，你有什么感受？

教师小结：是的，数与形有着紧密的联系，在一定条件下可以相互转化。当用数形结合的方法解决问题时，你会发现许多难题的解决变得很简单。

4．举一反三。

其实在以前的学习中，我们也常用到数形结合的数学方法帮助我们解题，你能想到些例子吗？（如学生有困难，教师举例：一年级加法，分数的认识，复杂的路程问题线段图等。）

【设计意图】让学生体会数形结合是数学学习中常用的方法。

三、练习巩固

1．基础练习。

（1）学生独立计算。

（2）全班交流反馈。

【设计意图】通过练习，回顾新知，巩固新知，使学生对新知识掌握得更扎实。

2．小林、小强、小芳、小兵和小刚5人进行象棋比赛，每2人之间都要下一盘。小林已经下了4盘，小强下了3盘，小芳下了2盘，小兵下了1盘。请问：小刚一共下了几盘？分别和谁下的？

解决问题

（1）全班读题，学生独立思考。

（2）指名回答。

（3）根据学生回答情况，连线（课件演示）。

（4）结合连线图得出：小刚一共下了2盘，分别和小林、小强下的。

【设计意图】让学生进一步体会数形结合的直观性和变难为易的特点。

四、课堂总结

快下课了，请你来说说这节课有什么收获？

课后反思：

图形的直观形象的特点，决定了化数为形往往能达到以简驭繁的目的，例2中，用举例的方法求出等比数列的有限和，都不能证明无限多项相加结果为1，但是接近1，但这个无限接近于1的数是多少呢？电子白板呈现出圆形模型和线段模型来表示1，使学生结合分数意义，在圆上和线段上分别有规律地表示这些加数，当这个过程无止境地持续下去时，所有的扇形和线段就会把整个圆和整条线段占满，即和为1，用画图的方法来表示计算过程和结果，让学生感受到什么叫无限接近，什么叫直观形象，同时，一个极其抽象的极限问题，变得十分直观和便捷。

第三篇：等比数列教学设计

《等比数列》教学设计（共2课时）

晋元高级中学

杨方玉

一、教材分析：

1、内容简析：

本节主要内容是等比数列的概念及通项公式，它是继等差数列后有一个特殊数列，是研究数列的重要载体，与实际生活有密切的联系，如细胞分裂、银行贷款问题等都要用等比数列的知识来解决，在研究过程中体现了由特殊到一般的数学思想、函数思想和方程思想，在高考中占有重要地位。

2、教学目标确定：

从知识结构来看，本节核心内容是等比数列的概念及通项公式，可从等比数列的“等比”的特点入手，结合具体的例子来学习等比数列的概念，同时，还要注意“比”的特性。在学习等比数列的定义的基础上，导出等比数列的通项公式以及一些常用的性质。从而可以确定如下教学目标（三维目标）： 第一课时：

（1）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式及公式的推导

（2）在教学过程中渗透方程、函数、特殊到一般等数学思想，提高学生观察、归纳、猜想、证明等逻辑思维能力

（3）通过对等比数列通项公式的推导，培养学生发现意识、创新意识

第二课时：

（1）加深对等比数列概念理解，灵活运用等比数列的定义及通项公式，了解等比中项概念，掌握等比数列的性质

（2）运用等比数列的定义及通项公式解决问题，增强学生的应用

3、教学重点与难点：

第一课时：

重点：等比数列的定义及通项公式

难点：应用等比数列的定义及通项公式，解决相关简单问题

第二课时：

重点：等比中项的理解与运用，及等比数列定义及通项公式的应用

难点：灵活应用等比数列的定义及通项公式、性质解决相关问题

二、学情分析：

从整个中学数学教材体系安排分析，前面已安排了函数知识的学习，以及等差数列的有关知识的学习，但是对于国际象棋故事中的问题，学生还是不能解决，存在疑问。本课正是由此入手来引发学生的认知冲突，产生求知的欲望。而矛盾解决的关键依然依赖于学生原有的认知结构──在研究等差数列中用到的思想方法，于是从几个特殊的对应观察、分析、归纳、概括得出等比数列的定义及通项公式。

数列部分是高中教学的重点和难点，它对学生的数学思想和方法的认识要求比较高，所有准确把握学生的思维能力。同时，这部分内容的学时又是学生形成良好的思维能力的关键。因此，本节教学设计一方面遵循从特殊到一般的认知规律，另一方面也加强观察、分析、归纳、概括能力培养。

多数学生愿意积极参与，积极思考，表现自我。所以教师可以把尽可能多的时间、空间让给学生，让学生在参与的过程中，学习的自信心和学习热情等个性心理品质得到很好的培养。这也体现了教学工作中学生的主体作用。

三、教法选择与学法指导：

由于等比数列与等差数列仅一字之差，在知识内容上是平行的，可用比较法来学习等比数列的相关知识。在深刻理解等差数列与等比数列的区别与联系的基础上，牢固掌握数列的相关知识。因此，在教法和学法上可做如下考虑：

1、教法：采用问题启发与比较探究式相结合的教学方法

教法构思如下：提出问题引发认知冲突观察分析归纳概括得出结论总结提高。在教师的精心组织下，对学生各种能力进行培养，并以促进学生发展，又以学生的发展带动其学习。同时，它也能促进学生学会如何学习，因而特别有利于培养学生的探索能力。

2、学法指导：

学生学习的目的在于学会学习、思考，达到创新的目的，掌握科学有效的学习方法，可增强学生的学习信心，培养其学习兴趣，提高学习效率，从而激发强烈的学习积极性。我考虑从以下几方面来进行学法指导：

（1）把隐含在教材中的思想方法显化。如等比数列通项公式的推导体现了从特殊到一般的方法。其通项公式ana1qn1是以n为字变量的函数，可利用函数思想来解决数列有关问题。思想方法的显化对提高学生数学修养有帮助。

（2）注重从科学方法论的高度指导学生的学习。通过提问、分析、解答、总结，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。训练逻辑思维的严密性和深刻性的目的。

四、教学过程设计：

第一课时

1、创设情境，提出问题（阅读本章引言并打出幻灯片）

情境1：本章引言内容

提出问题：同学们，国王有能力满足发明者的要求吗？ 引导学生写出各个格子里的麦粒数依次为：

1，2，2,2,2, „„，263（1）于是发明者要求的麦粒总数是 1+2+22+23++263情境2：某人从银行贷款10000元人民币，年利率为r，若此人一年后还款，二年后还款，三年后还款，„„，还款数额依次满足什么规律？

10000(1+r),10000(1r),10000(1r),„„（2）情境3：将长度为1米的木棒取其一半，将所得的一半再取其一半，再将所得的木棒继续取其一半，„„各次取得的木棒长度依次为多少？

111，,„„（3）24823234作用于原来的认知结构在原有认知的基础上分析在特殊情况下一般情况下例题和练习问：你能算出第7次取一半后的长度是多少吗？观察、归纳、猜想得()

2172、自主探究，找出规律：

学生对数列（1），（2），（3）分析讨论，发现共同特点：从第二项起，每一项与前一项的比都等于同一常数。也就是说这些数列从第二项起，每一项与前一项的比都具有“相等”的特点。于是得到等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比常用字母q(q0)表示，即an:an1q(nN,n2,q0)。

12如数列（1），（2），（3）都是等比数列，它们的公比依次是2，1+r，点评：等比数列与等差数列仅一字之差，对比知从第二项起，每一项与前一项之“差”为常数，则为等差数列，之“比”为常数，则为等比数列，此常数称为“公差”或“公比”。

3、观察判断，分析总结：

观察以下数列，判断它是否为等比数列，若是，找出公比，若不是，说出理由，然后回答下面问题：

1，3，9，27，„„

1,12,14,18,„„

1，-2，4，-8，„„-1，-1，-1，-1，„„ 1，0，1，0，„„

思考：①公比q能为0吗？为什么？首项能为0吗？

②公比q1是什么数列？

③q0数列递增吗？q0数列递减吗？

④等比数列的定义也恰好给出了等比数列的递推关系式：

这一递推式正是我们证明等比数列的重要工具。

选题分析；因为等差数列公差d可以取任意实数，所以学生对公比q往往忘却它不能取0和能取1的特殊情况，以致于在不为具体数字（即为字母运算）时不会讨论以上两种情况，故给出问题以揭示学生对公比q有防患意识，问题③是让学生明白q0时等比数列的单调性不定，而q0时数列为摆动数列，要注意与等差数列的区别。

备选题：已知xR则x,x2,x3,„„xn，„„成等比数列的从要条件是什么？

4、观察猜想，求通项：

方法1：由定义知道a2a1q,a3a2qa1q2,a4a3qa1q3,„„归纳得：等比数列的通项公式为：ana1qn1(nN)

（说明：推得结论的这一方法称为归纳法，不是公式的证明，要想对这一方式的结论给出严格的证明，需在学习数学归纳法后完成，现阶段我们只承认它是正确的就可以了）

方法2：迭代法

根据等比数列的定义有

anan1qan2qan3q23„„a2qn2a1qn1 方法3：由递推关系式或定义写出：a2a1a3a2a4a3a2a1q,a3a2q,a4a3q,„„

anan1q，通过观察发现ana1„„

anan1n1 qqq„„qq qn1，即：ana1qn1(nN)

（此证明方法称为“累商法”，在以后的数列证明中有重要应用）

公式ana1qn1(nN)的特征及结构分析：

（1）公式中有四个基本量：a1,n,q,an，可“知三求一”，体现方程思想。（2）a1的下标与的qn1上标之和1(n1)n，恰是an的下标，即q的指数比项数少1。

5、问题探究：通项公式的应用

例、已知数列an是等比数列，a32,a864，求a14的值。备选题：已知数列an满足条件：anp()n，且a454425。求a8的值

546、课堂演练：教材138页1、2题

备选题1：已知数列an为等比数列，a1a310,a4a6，求a4的值

备选题2：公差不为0的等差数列an中，a2,a3,a6依次成等比数列，则公比等于

7、归纳总结：

（1）等比数列的定义，即

ana1qn1(q0)

（2）等比数列的通项公式ana1qn1(nN)及推导过程。

8、课后作业：

必作：教材138页练习4；习题1（2）（4）2、3、4、5 选作：

1、已知数列an为等比数列，且a1a2a37,a1a2a38，求an

2、已知数列an满足a11,an12an1

（1）求证：an1是等比数列。

（2）求an的通项an。

第四篇：等比数列教学设计

等比数列教学设计

一、教学目标

1、知识与技能：通过教学使学生理解等比数列的概念，推导并掌握通项公式.2、过程与方法：使学生进一步体会类比、归纳的思想，培养学生的观察、概括能力.3、情感、态度与价值观：培养学生勤于思考，实事求是的精神，及严谨的科学态度.二、教学重点、难点

教学重点：等比数列的定义和通项公式

教学难点：在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能灵活解决问题。

三、学法与教法

学法：兴趣→观察→分析归纳→得到猜想结论

教法：讲授法、引导发现法、类比探究法、讲练结合法

四、教学过程设计

活动

一、观察，找规律，给等比数列下定义

按规律写数

（1）3，6，12，24，____，____，____；（2）5，10，____，40，____，160，.（3）某种汽车购买时的价格是36万元，每年的折旧率是10%，求这辆车各

年开始时的价格（单位：万元）。

板书：等比数列的定义及符号语言

练习：判断下列数列是不是等比数列，并说明理由(1)１,2, 4, 16, 64, …(2)16, 8, 1, 2, 0,…(3)2, 2, 2, 2, …

（4）an= 3

活动

二、观察如下的两个数之间，插入一个什么数后者三个数就会成为一个 等比数列：

（1）1，____，9（2）-1，____，-4 n1（3）-12，____，-3（4）1，____，1 类比得定义：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。例:求出下列等比数列中的未知项.-4 , b, c，学生思考，找到解决方案。

教师引导有没有更好的方法呢，引出通项公式。活动

三、类比等差数列累加法，用累乘法得结论

n1aaq1 通项公式： n

用通项公式再次解决上题，体会用公式的优越。活动

四、应用公式解决问题

一个等比数列的第３项和第４项分别是１２和１８，求它的第１项和第２项．

练习.学生动笔练习，熟悉公式。

活动

五、归纳小结 提炼精华

1.本节课研究了的概念，得到了通项公式； 2.注意在研究内容与方法上要与等差数列相类比； 3.用方程的思想认识通项公式，并加以应用.活动

六、作业习题2.4第1、7（2）、8（1）题 课后反思

第五篇：等比数列教学设计

新蔡二高教学设计 年级：15级 学科：数学 主备课人：徐德功 日期 2017年12月6日 课题：高三数学一轮复习 等比数列 1．了解等比数列的通项公式an与前n项和公式Sn的关系． 三 维

1、知识目标 2．能通过前n项和公式Sn求出等比数列的通项公式an． 教 学 目

2、能力目标 增强等比数列的认识，优化解题思路、解题方法，提升数学表达的能力。标

3、德育目标 培养学生认识数学的美。重点：熟练掌握等比数列的性质运用。难点：：解题思路和解题方法的优化。教学过程：【知识精讲】

一、基本公式、性质 1.等比数列定义：一般地，如果一个数列从 起，每一项与它的前一项的比值等于同一个，那么这个数列就叫等比数列，这个常数q叫做等比数列的。2相关公式：（1）定义：an1（2）通项公式：ana1qn1推广：anamqnm q(n1,q0)an q1na1 aanq（3）前n项和公式：Sna1(1qn)Sn=1 q11q1q 3.等比数列{an}的一些性质（1）对于任意的正整数p,q,r,s,如果pqrs，则apaqaras（2）对于任意的非零实数b，{ban}也是等比数列（3）已知{bn}是等比数列，则{anbn}也是等比数列（4）如果an0，则{logaan}是等差数列（5）数列{logaan}是等差数列，则{an}是等比数列（6）{a2n},{a2n1},{a3n},{a3n1},{a3n2}等都是等比数列