求等比数列的参数及证明等比数列[5篇]

第一篇：求等比数列的参数及证明等比数列

求等比数列的参数及证明等比数列

例

1、（Ⅰ）已知数列Cn，其中Cn2n3n，且数列Cn1pCn为等比数列，求常数p；

（Ⅱ）设an、bn是公比不相等的两个等比数列，Cnanbn，证明数列Cn不是等比数列

分析：要求常数p使数列Cn1pCn为等比数列，可从等比数列的概念和基本性质入手进行推理运算．

解：（Ⅰ）因为Cn1pCn是等比数列，故有(Cn1pCn)2(Cn2pCn1)(CnpCn1)，将Cn2n3n代入上式，得

2n13n1p(2n3n)

22n23n2p(2n13n1)2n3np(2n13n1)，即(2p)2n(3p)3n

n1(2p)22(3p)3n1(2p)2n1(3p)3n1 

整理得

解得 1(2p)(3p)2n3n0，6p2或p3.（Ⅱ）设an、bn的公比分别为p、q，pq，Cnanbn

2欲证Cn不是等比数列，只需证C2C1C

3事实上，2C2(a1pb1q)

2a12p2b12q22a1b1pq

C1C3(a1b1)(a1p2b1q2)

a1pb1qa1b1(pq)222222

22由于pq，pq2pq，又a1、b1不为零，因此 2C2C1C3，故Cn不是等比数列．

小结：本题主要考查等比数列的基础知识逻辑能力，第（2）题中证明一个数列不是等比数列，即证明数列中连续三项不满足等比中项的性质，利用反例证明使数学常用的一种方法．

第二篇：证明等比数列

证明等比数列

记Cn=an*a(n+1)

cn/c(n-1)=an*a(n+1)/an*a(n-1)=a(n+1)/a(n-1)=

3a(2n-1)=3*a(2n-3)

a(2n)=3*a(2n-2)

bn=a(2n-1)+a(2n)=3*a(2n-3)+3*a(2n-2)=3(bn-1)

因此bn/b(n-1)=3，所以bn为等比数列，公比为3。

2设数列{a的第n项}的前n项和Sn=1/3(a的第n项-1)，n属于自然数

求证：数列{a的第n项}为等比数列

Sn=1/3(an-1)

S(n-1)=1/3(a(n-1)-1)

Sn-S(n-1)=an=1/3(an-1-a(n-1)+1)=(an-a(n-1)/3

3an=an-a(n-1)

2an=-a(n-1)

an/a(n-1)=-1/

2所以数列{an}为等比数列

3已知前三项是2，4,8，数列满足a(n+1)=a(n)+2n(就是第n+1项等于第n项加上2n)，求数列的通项公式。这儿没有告诉你数列是等比数列，求通项公式之前必须证明它是等比数列，请问怎么证明?

因为：

a(n+1)-an=2n

所以：

a2-a1=2

a3-a2=

4a4-a3=6

a5-a4=8

.....a(n)-a(n-1)=2(n-1)

上n-1个式子相加得到：

an-a1=2+4+6+8+.....2(n-1)

右边是等差数列，且和=(n-1)/2=n(n-1)

所以：

an-2=n^2-n

an=n^2-n+24、已知数列{3*2的N此方}，求证是等比数列

根据题意，数列是3*2^n(^n表示肩膀上的方次),n=1,2,3,...为了验证它是等比数列只需要比较任何一项和它相邻项的比值是一个不依赖项次的固定比值就可以了.所以第n项和第n+1项分别是3*2^n和3*2^(n+1),相比之后有:

/(3*2^n)=

2因为比值是2,不依赖n的选择,所以得到结论.5数列an前n项和为Sn已知a1=1a(n+1)=(n+2)/n乘以Sn(n=1,2,3......)证明

(1)(Sn/n)是等比数列

(2)S(n+1)=4an1、A(n+1)=(n+2)sn/n=S(n+1)-Sn

即nS(n+1)-nSn=(n+2)Sn

nS(n+1)=(n+2)Sn+nSn

nS(n+1)=(2n+2)Sn

S(n+1)/(n+1)=2Sn/n

即S/=

2S1/1=A1=

1所以Sn/n是以2为公比1为首项的等比数列

2、由1有Sn/n是以2为公比1为首项的等比数列

所以Sn/n的通项公式是Sn/n=1*2^(n-1)

即Sn=n2^(n-1)

那么S(n+1)=(n+1)2^n,S(n-1)=(n-1)2^(n-2)

An=Sn-S(n-1)

=n2^(n-1)-(n-1)2^(n-2)

=n*2*2^(n-2)-(n-1)2^(n-2)

=*2^(n-2)

=(n+1)2^(n-2)

=(n+1)*2^n/2^2

=(n+1)2^n/4

=S(n+1)/4

所以有S(n+1)=4An

第三篇：等比数列的证明

等比数列的证明

数列an前n项和为Sn已知a1=1a(n+1)=(n+2)/n乘以Sn(n=1,2,3......)证明

(1)(Sn/n)是等比数列

(2)S(n+1)=4an1、A(n+1)=(n+2)sn/n=S(n+1)-Sn

即nS(n+1)-nSn=(n+2)Sn

nS(n+1)=(n+2)Sn+nSn

nS(n+1)=(2n+2)Sn

S(n+1)/(n+1)=2Sn/n

即S/=

2S1/1=A1=

1所以Sn/n是以2为公比1为首项的等比数列

2、由1有Sn/n是以2为公比1为首项的等比数列

所以Sn/n的通项公式是Sn/n=1*2^(n-1)

即Sn=n2^(n-1)

那么S(n+1)=(n+1)2^n,S(n-1)=(n-1)2^(n-2)

An=Sn-S(n-1)

=n2^(n-1)-(n-1)2^(n-2)

=n*2*2^(n-2)-(n-1)2^(n-2)

=*2^(n-2)

=(n+1)2^(n-2)

=(n+1)*2^n/2^

2=(n+1)2^n/

4=S(n+1)/4

所以有S(n+1)=4An

a(n)-a(n-1)=2(n-1)

上n-1个式子相加得到：

an-a1=2+4+6+8+.....2(n-1)

右边是等差数列，且和=(n-1)/2=n(n-1)

所以：

an-2=n^2-n

an=n^2-n+24、已知数列{3*2的N此方}，求证是等比数列

根据题意，数列是3*2^n(^n表示肩膀上的方次),n=1,2,3,...为了验证它是等比数列只需要比较任何一项和它相邻项的比值是一个不依赖项次的固定比值就可以了.所以第n项和第n+1项分别是3*2^n和3*2^(n+1),相比之后有:

/(3*2^n)=

2因为比值是2,不依赖n的选择,所以得到结论.5数列an前n项和为Sn已知a1=1a(n+1)=(n+2)/n乘以Sn(n=1,2,3......)证明

(1)(Sn/n)是等比数列

(2)S(n+1)=4an1、A(n+1)=(n+2)sn/n=S(n+1)-Sn

即nS(n+1)-nSn=(n+2)Sn

nS(n+1)=(n+2)Sn+nSn

nS(n+1)=(2n+2)Sn

S(n+1)/(n+1)=2Sn/n

即S/=

2S1/1=A1=

1所以Sn/n是以2为公比1为首项的等比数列

2、由1有Sn/n是以2为公比1为首项的等比数列

所以Sn/n的通项公式是Sn/n=1*2^(n-1)

即Sn=n2^(n-1)

那么S(n+1)=(n+1)2^n,S(n-1)=(n-1)2^(n-2)

An=Sn-S(n-1)

第四篇：等差等比数列的证明

专题：等差（等比）数列的证明

1.已知数列{a}中，anan15且2an12n1（n2且nN*）.an1（Ⅰ）证明：数列2n为等差数列；（Ⅱ）求数列{an}的前n

项和S.n

2.已知数列{a}中，an12且an1an2n30（n2且nN*）.证明：数列an2n为等差数列；

3.已知数列{a}中，an14且2an1an2n50（n2且nN*）.证明：数列an2n1为等比数列；

4．数列{an}满足a12,a25,an23an12an.（1）求证：数列{an1an}是等比数列；（2）求数列{an}的通项公式；

5.已知各项均为正数的数列an前n项和为

1a且n是和S2Sn，首项为a1，n的等差中项.求数列a的通项公式； n

6.已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的n∈N*有an＋Sn＝

n.(1)设bn＝an－1，求证：数列{bn}是等比数列； 7.设数列an的各项都是正数，且对任意

nN*，都有

aaaaS

为数列的前n项和.3132333n2n，其中S

n

（I）求证：

a2Snan;

n

（II）求数列an的通项公式；

8.数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)，a(1)设bn＝an＋1－2an，求证：{bn}是等比数列；（2）.证明数列{n－2}

是等差数列

(3)设cn＝

9.已知正项数列{an}的前n项和Sn满足 2Sn＝an＋1.求证：{an}是等差数列．

10.设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，a{cn}是等比数列． 3n－1

Sn*

an＝2(n－1)(n∈N)．

n

(1)

求证：数列{an}为等差数列,并求{an}的通项公式；

(2)求数列{的前n项和Tn，an·an+1

11.设Sn是数列{an}（nN*）的前n项和，已知a14，an1Sn3n，设bnSn3n.（Ⅰ）证明：数列{bn}是等比数列，并求数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）令cn

12.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1，an＋2SnSn1＝0(n2)． 问：数列{1是否为等差数列？并证明你的结论；

Sn

2log2bn

n

2，求数列{cn}的前n项和Tn.bn

13.已知等差数列{an}的公差大于0，且a3，a5是方程x214x450的两根，数列{bn}的前n项的和为Sn，且Sn=

an·bn。求数列{an}，{bn}的通项公式；

1bn

(n∈N*),Cn=

14.已知数列{an}与{bn}满足

n1

3＋－1

bn＋1an＋bnan＋1＝(－2)n＋1，bn＝n∈N*，且a1＝2.－

设cn＝a2n＋1－a2n－1，n∈N*，证明{cn}是等比数列

15.已知在正项数列{an}中，a1＝2，点An(an，an＋1)在双曲线y－x＝1上，数列{bn}中，点(bn，Tn)在直线y＝－x＋1上，其

中Tn是数列{bn}的前n项和．

(1)求数列{an}的通项公式；(2)求证：数列{bn}是等比数列；

第五篇：等比数列题

等比数列

【做一做1】 等比数列3,6,12,24的公比q＝__________.2．通项公式

等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则通项公式为an＝______(a1≠0，q≠0)．

【做一做2】 等比数列{an}中，a1＝2，q＝3，则an等于()

n－1A．6B．3×2

n－1nC．2×3D．6

【做一做3】 4与9的等比中项为()

A．6B．－6C．±6D．36

题型一求等比数列的通项公式

【例题1】 在等比数列{an}中，已知a5－a1＝15，a4－a2＝6，求an.分析：设公比q，列出关于a1和q的方程组来求解．

题型二等比数列的判定和证明

【例题2】 已知数列{an}满足lg an＝3n＋5，求证：{an}是等比数列． 反思：证明数列是等比数列常用的方法：

①定义法：an＋1anq(q≠0，且是常数)或q(q≠0，且是常数)(n≥2)anan－1{an}为等比

数列．此法适用于给出通项公式的数列，如本题．

*②等比中项法：a2n＋1＝an·an＋2(an≠0，n∈N){an}为等比数列．此法适用于通项公

式不明确的数列．

n－1*③通项法：an＝a1q(其中a1，q为非零常数，n∈N){an}为等比数列．此法适用于

做选择题和填空题．

题型四易错辨析

【例题4】 23与2－3的等比中项是__________．已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7等于()

A．243B．128C．81D．64

111，则其第8项是__________． ，248

9123在等比数列{an}中，a1＝，an＝，公比q＝，则n＝__________.8332(2011·浙江杭州一模)已知等比数列前3项为