等比数列讲义

第一篇：等比数列讲义

等比数列

一 知识点回顾

1.等比数列的定义

如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于_______,那么这个数列叫做等比数列,这个常数列叫做等比数列的________,用字母________表示(q≠0)

(1)如果在a与b中插入一个数G,使得a,G,b成__________,则称G为a,b的等比中项.(2)若G是a,b的等比中项,则a,G,b满足_________,即G=ab

4.等比数列的常见性质

(1)公比为q的等比数列的各项同乘以一个不为零的数m,所得数列仍是等比数列,公比仍为q;

(2)若m+n=p+q, m,n,p,q∈N+,则am·an=ap·aq；

(3)若等比数列{an}的公比为q,则{

1an}是以1q为公比的等比数列;

(4)一组等比数列{an}中,下标成等差数列的项依次构成等比数列;

(5)若{an}与{bn}均为等比数列,则{anbn}也为等比数列.5.等比数列前n项和公式

设有等比数列{an}，其首项为a1，公比为q，则其前n项和公式为：

等比数列前n项和公式的推导

一般地，设有等比数列a1，a2，a3，…，an，…，它的前n项和是Sn=a1+a2+a3+…+an。根据等比数列的通项公式，上式可写成Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2+a1qn-1。①

①式两边乖q，得qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-2+a1qn-1+a1qn。②

①的两边分别减去②的两边，得（1-q）Sn=a1-a1qn。

当q≠1时，等比数列前n项和公式

因为a1qn=（a1qn-1）q=anq，所以上面的公式还可以写成当q=1时，数列{an}变为a1，a1，a1，…，a1，…，易得它的前n项和Sn=na1。

二 例题精讲

题型一等比数列的概念及通项公式

1.下列数列中,一定是等比数列的有几个()

①-1,12,-14，-81116②m,m,m,…m； 1

③1，3，9，27，81④a，a2，a3，…，an

A．1B.2C.3D.42.已知等比数列的{bn}的通项公式为bn=（-2）n，则它的公比为（）

A．2B.1C.-2D.-1

3.已知一个等比数列{an}的第2项为2，第3项与第4项的和为4，则a6=（）

A.2B.32C.2或32D.-2或-

324．已知等比数列{an}中，a3=6，a4=18，则a1+a2等于（）

A．4

3B.13C.38D.83

5.已知数列{an}是公比为q的等比数列,则数列{an+1-an}是()

A.公比为q的等比数列B.公比为q2的等比数列

C.是等比数列,但公比不为qD.不一定是等比数列

6等比数列{an}中,a4=4,则a2·a6等于()

A.4B.8C.16D.32

7在等比数列{an}中，a6-a4=24，a3·a5=64，求an。

题型二等比数列的判定

例2 已知数列{an}的前n项和Sn，Sn=（an-1）（n∈N+）。31

（1）求a1，a2；

（2）求证：数列{an}是等比数列。

变式训练1.已知数列{an}是等差数列，c为常数，且c≠0，bn=can，求证：数列{ bn }是等比数列。

2..已知数列{an}中,a1=2,an+1=an

an3,数列{ bn }满足bn=1an12,(1)证明数列{ bn }是等比数列;(2)求an.题型三等比中项问题

例1 若a,2a+2,3a+3成等比数列,求实数a的值.例2.设{an}是由正数组成的等比数列,公比q=2,且a1·a2·a3·…·a30=230，求a2·a5·a8·…·a29的值。

题型四等比数列求和问题

1、错位相减法求和

例1求数列1，3a，5a2，7a3，…，（2n-1）an-1的前n项和。

方法点拨：（1）一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列且公比为q，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法。

（2）在写出“Sn”与“qSn”的表达式时，应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式。

（3）应用等比数列求和公式，必须注意公比q≠1这一前提条件。如果不能确定公比q是否为1，应分两种情况讨论，这在高考中经常考查。

2、分组求和法

例2求和：(x

方法点拨：如果一个数列的每一项是由几个独立的项组合而成，并且各独立项可组成等差数列或等比数列，该数列的前n项和可考虑用拆项法求解。

变式训练1求数列{2n+2n}的前n项和。

一、裂项法求和

2121y)(x21y)(x2n1yn)(x0,x1,y1)例4求

131214121n12(n2)的和。

3方法点拨：常见的拆项公式有：（1）11.(11（2）)；1n1 n。n(nk)knnkn1n题型五用等比数列的性质解题

例1在等比数列{an}中，a1+an=66，a2·an-1=128，Sn=126，求n和q。

例2已知等比数列{an}中，前10项的和S10=10，前20项的和S20=30，求S301、设等比数列{an}的公比q=2，前n项和为Sn，则=（）

A、2B、4C、D、2、在等比数列{an}（n∈N*）中，若a1=1，a4=，则该数列的前10项和为（）

A、2-B、2-C、2-D、2-

3、各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=2，S3n=14，则S4n等于（A、16B、26C、30D、80）4

第二篇：等比数列题

等比数列

【做一做1】 等比数列3,6,12,24的公比q＝__________.2．通项公式

等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则通项公式为an＝______(a1≠0，q≠0)．

【做一做2】 等比数列{an}中，a1＝2，q＝3，则an等于()

n－1A．6B．3×2

n－1nC．2×3D．6

【做一做3】 4与9的等比中项为()

A．6B．－6C．±6D．36

题型一求等比数列的通项公式

【例题1】 在等比数列{an}中，已知a5－a1＝15，a4－a2＝6，求an.分析：设公比q，列出关于a1和q的方程组来求解．

题型二等比数列的判定和证明

【例题2】 已知数列{an}满足lg an＝3n＋5，求证：{an}是等比数列． 反思：证明数列是等比数列常用的方法：

①定义法：an＋1anq(q≠0，且是常数)或q(q≠0，且是常数)(n≥2)anan－1{an}为等比

数列．此法适用于给出通项公式的数列，如本题．

*②等比中项法：a2n＋1＝an·an＋2(an≠0，n∈N){an}为等比数列．此法适用于通项公

式不明确的数列．

n－1*③通项法：an＝a1q(其中a1，q为非零常数，n∈N){an}为等比数列．此法适用于

做选择题和填空题．

题型四易错辨析

【例题4】 23与2－3的等比中项是__________．已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7等于()

A．243B．128C．81D．64

111，则其第8项是__________． ，248

9123在等比数列{an}中，a1＝，an＝，公比q＝，则n＝__________.8332(2011·浙江杭州一模)已知等比数列前3项为

第三篇：等比数列第一节

课题：等比数列及其前N项和

学习目标：掌握等比数列的定义，通项公式和前n项和的公式，并能利用这些知识解决有关

问题，培养学生的化归能力

重点、难点：

对等比数列的判断，通项公式和前n项和的公式及性质的应用

知识梳理：

1．等比数列的定义

由定义可推导等比数列的单调性为2．等比数列的是通项公式（如何推导？）通项公式的推广：

3．等比中项 问题探究1：b2＝ac是a，b，c成等比数列的什么条件？ 4．等比数列的常用性质

(1)若{ab12n}，{n}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，an，{an}，{an·bn}，abn

是否是等比数列．

(2)若{an}为等比数列，且m＋n＝p＋q，则(m，n，p，q∈N*)．(3)若{an}是等比数列，公比为q，则ak，ak+m，ak+2m，…(k，m∈N*)是公比为的等比数列．(4)若{an}为等比数列，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…是否是等比数列 5．等比数列的前n项和公式（如何推导？）

若已知首项a1，公比是q，则Sn＝，或首项是a1，末项an，Sn＝.6．问题探究2：如何用函数的观点认识等比数列{an}的通项公式an及前n项和Sn?

典型例题： 考向一 等比数列基本量的计算

【例1】设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2＝6,6a1＋a3＝30.求an和Sn.考向二 等比数列的判定或证明

【例2】已知数列{aaan＋an＋1n}满足1＝1，a2＝2，an*

＋2＝2，n∈N.(1)令bn＝an＋1－an，证明：{bn}是等比数列；(2)求{an}的通项公式．

考向三等比数列性质的应用

【例3】已知等比数列前n项的和为2，其后2n项的和为12，求再往后3n项的和.达标训练：

1.等比数列{an}满足：a1＋a6＝11，a3·a32

4＝

9，且公比q∈(0,1)．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若该数列前n项和Sn＝21，求n的值．

2.在等比数列{a}中，若a1

n1＝2a4＝－4，则公比q＝________；|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝________.3、已知数列{an}是等比数列,且a*

n>0,nN,a3a52a4a6a5a781，则a4a6．

【收获总结】

第四篇：2.3 等比数列（范文模版）

怀仁十一中高中部数学学案导学（三十三——1）

2.3 等比数列主备人袁永红

教学目的：

1.掌握等比数列的定义.2.理解等比数列的通项公式及推导

教学重点：教学难点：学习关键：

自学指导

1．等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么

a这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q≠0），n=qan

1（q≠01“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q)｛an｝成等比数列an1=q（nN,q≠0）.an

2 隐含：任一项an0且q0、“an≠0”是数列｛an｝成等比数列的必要非充分条件． 3 q= 1时，{an}2.等比数列的通项公式1: ana1qn1(a1q0)由等比数列的定义，有：

a2a1q；a3a2q(a1q)qa1q2；a4a3q(a1q2)qa1q3；

„ „ „ „ „ „ „ anan1qa1qn1(a1q03.等比数列的通项公式2: anamqm1(a1q0)

4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．

5．证明数列{an}为等比数列：

①定义：证明an1an1an22aa或=常数，②中项性质：an 1nn2anan1an

尝试练习

1．求下面等比数列的第4项与第5项：

（1）5，－15，45，„„；（2）1.2，2.4，4.8，„„；（3）,.,;(4)2,1,2.求下列等比数列的公比、第5项和第ｎ项：2133282，„„.2

（1）2，6，18，54，„；（2）7，561428，,;2739

（3）0.3，－0.09，0.027，－0.0081，„；（4）5，5c1，52c1，53c1,.3.数列m,m,m,„m,()

A.一定是等比数列B.既是等差数列又是等比数列

C.一定是等差数列不一定是等比数列D.既不是等差数列，又不是等比数列

4.已知数列{an}是公比q≠±1的等比数列，则在{an+an+1},{an+1－an}，{

是等比数列的有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

5.（1）一个等比数列的第9项是，公比是－，求它的第1项.（2）一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项.典例精讲

例1.求下列各等比数列的通项公式：

1．a1=2,a3=8

解：a3a1qq24q24913an}{nan}这四个数列中，an1an(2)2n12n或an(2)(2)n1(2)n

2．a1=5, 且2an1=3an解：qan13an23又：a15an5()n1 2

an1n ann13．a1=5, 且

解：an1an12,ann1a12a32an1 ,,na23an1n

1a1n例2.求出下列等比数列中的未知项：

(1)2,a,8;以上各式相乘得：an

(2)-4,b,c,.解：

（１）根据题意，得

（２）根据题意，得

所以ａ＝４或ａ＝－４．

解得

所以ｂ＝２，ｃ＝－１．

例3在等比数列{an}中，（１）已知ａ１＝３，ｑ＝－２，求ａ６；（２）已知ａ３＝20，ａ６＝160，求ａｎ．

解：（１）由等比数列的通项公式，得

（２）设等比数列的公比为ｑ，那么

所以

例4在243和３中间插入３个数，使这５个数成等比数列．

解设插入的三个数为a2，a3，a4，由题意知243，a2，a3，a4，3成等比数列．

设公比为ｑ，则

因此，所求三个数为８１，２７，９，或－８１，２７，－９．

基础训练

1.判断下列数列是否为等比数列：

（１）１，１，１，１，１；

（２）０，１，２，４，８；

（３）1，1111，，.81624

2在等比数列{an}中，（１）已知ａ１＝３，ｑ＝－２，求ａ６；

（２）已知ａ３＝20，ａ６＝160，求ａｎ.3.在243和３中间插入３个数，使这５个数成等比数列．

4.成等差数列的三个正数之和为15，若这三个数分别加上1，3，9后又成等比数列，求这三个数.能力提升

1．在等比数列｛an｝中，a3·a4·a5＝3，a6·a7·a8＝24，则a9·a10·a11的值等于()

A.48B.72C.144D.192

2．在等比数列中，已知首项为

3．已知等比数列{an}的公比q=－912，末项为,公比为，则项数n等于______.833aa3a5a71,则13a2a4a6a8

4．已知数列｛an｝为等比数列，(1)若an＞0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5.(2)a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求an.5.已知数列｛an｝满足：lgan＝3n＋5，试用定义证明｛an｝是等比数列.6．有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12

学习反思

第五篇：等比数列复习题

等比数列

[重点]

等比数列的概念，等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式。1．定义：数列{an}若满足

an

1=q(q0,q为常数)称为等比数列。q为公比。an

2．通项公式：an=a1qn-1(a10、q0)。

na13.前n

4.性质：（man=a2p，（3）记 5a

1和q[难点]

例题选讲1.（湖北），则a

（）2．（辽宁）,则Sn等于（）3．已知a1（1）（2）设（3）记bn=

2，求｛bn｝数列的前项和Sn，并证明Sn+=1.

anan23Tn1

一、选择题

1．在公比q1的等比数列{an}中，若am=p,则am+n的值为（）

n+1n-1nm+n-

1（A）pq（B）pq（C）pq（D）pq

2.若数列{an}是等比数列，公比为q，则下列命题中是真命题的是（）（A）若q>1,则an+1>an（B）若0

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（C）若q=1,则sn+1=Sn（D）若-1

b9bb9b10

（A）8（B）（）（C）9（D）（）10

aaaa

4．在2与6之间插入n个数，使它们组成等比数列，则这个数列的公比为

（）（A）3（B）1（C）n（D）n

35．若

值为（（A）60)

(2){a2n-1的个数为（A）（7a、b（（A）8C，则一AC=B2（9．（）

（A）10．设n} 中（（A（C）至多有一项为零（D）或有一项为零，或有无穷多项为零 11．在由正数组成的等比数列{an}中，若a4a5a6=3,log3a1+log3a2+log3a8+log3a9的值为

43（A）（B）（C）2（D）3

（）

4n

112．在正项等比数列{an}中，a1+a2+……an=,则a1+a2+…an的值为

（）

（A）2n（B）2n-1（C）2n+1（D）2n+1-

213.数列{an}是正数组成的等比数列，公比q=2,a1a2a3……a20=a50,，则a2a4a6……a20的值为（A）230（B）283（C）2170（D）2102-2（）

14．在数列{an}中，a1=2,an+1=2an+2,则a100的值为（）

（A）2100-2（B）2101-2（C）2101（D）21

515．某商品的价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，最后一年的价格与原来的价格比较，变化情况是（）

（A

123．已知…,xn,bK，则45．5a7+2,则实数6．若28在n1.已知等比数列{an}，公比为-2，它的第n项为48，第2n-3项为192，求此数列的通项公式。

2.数列{an}是正项等比数列，它的前n项和为80，其中数值最大的项为54，前2n项的和为6560，求它的前100项的和。

3.已知a+b+c,b+c-a,c+a-b,a+b-c成等比数列，且公比为q,求证：（1）q3+ q 2+q=1,a

（2）q=

c

11,从第二项起，{an}是以为公比的等比数列，{an}22的前n项和为Sn，试问：S1,S2,S3…,Sn,…能否构成等比数列？为什么？

4.已知数列{an}满足a1=1,a2=-

5.求Sn=(x+

111)+(x2+2)+…+(xn+n)(y0)。yyy

6.某企业年初有资金1000万元，如果该企业经过生产经营，50%，但每年年底都要扣除消费基金x资金达到2000万元（扣除消费基金后）（精确到万元）。

7.已知数列{an}满足a1=1,a2n比为q的等比数列(q>0),bn=anan+1，cn=a2n-1+a2n,求cn。

8.7m2,1000/ m2，一次性国家财政补贴28800元，学校补贴14400若付107.5%每年复利一次计算(即本年利息计入次年的本息),那么每年应付款多少元?(参考数据:1.0759

1011

1.921,1.0752.065,1.0752.221)

第八单元等比数列

一、选择题CDACABCDBDABABD

二、填空题 1．

12．50，10，2或2,10,50 3．ab

k7k27

4．05.9简解：a3+a9=-,a3a9=a5a7=-,∴(-)=3×+2k=933336、1Ar(1r)n

7.2248、n

(1r)

2二、解答题

n

1①ana1(2)48n-1n-1

1．解得a=3(-2)。1=3 ∴an=a1q2n

4192②a2n3a1(2)

a1(1qn)

①80

2．∵

n项中又由3．（a

 c

4.当当当n1(11212S

1n-1n1

∴Sn=()Sn

1()n

{S}可以构成等比数列。

n1n1

2()25、当x1,y1时，11(1)nnyx(1x)xxn11yny1112n

n∴Sn=(x+x+…+x)+(+)= n

111x1xyy2ynyy1

y

1yn

当x=1,y1时Sn=n+n n1

yy

xxn1

n 当x1,y=1时Sn=

1x

当x=y=1时Sn=2n

6.设an表示第n年年底扣除消费基金后的资金。

a1=1000(1+)-x

21111

a2=[1000(1+)-x](1+)-x=1000(1+)2-x(1+)-x

a3类推所得a5则1000,解得x

7、∵bn+1由a1=1,a由a2=r,a∴Cn8依次类推第n则各年付款的本利和{an}为等比数列。

x(11.07510)

元。∴10年付款的本利和为S10=

11.075

个人负担的余额总数为72×1000-28800-14400=28800元。10年后余款的本利和为18800×1.07510

11.07510288001.075100.07510

288001.075解得x=4200元 ∴x10

11.0751.0751