2014届高考数学一轮复习 第33讲《等差、等比数列的综合应用》热点针对训练 理

第一篇：2014届高考数学一轮复习 第33讲《等差、等比数列的综合应用》热点针对训练 理

第33讲 等差、等比数列的综合应用1.(2012·三明市上学期联考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，a2、a4是方程x－x

－2＝0的两个根，S5＝(A)

5A.B．5

25C．－5 2

a1＋a5×552解析：a2、a4是方程x－x－2＝0的两个根，a2＋a4＝1，S5＝，故选A.22

2.(2013·石家庄市质检)已知各项均为正数的等比数列{an}，a1·a9＝16，则a2·a5·a8的值(D)

A．16B．32

C．48D．64

解析：等比数列{an}，a1·a9＝a2·a8＝a2各项均为正数，所以a5＝4，所以a2·a3·a85＝16，33＝a5＝4＝64，即a2·a5·a8的值为64，故选D.3.(2012·山西省大同市高三学情调研)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9＝(D)

A．9B．16

C．36D．45 解析：由等差数列的性质可知a7＋a8＋a9＝2(S6－S3)－S3＝2×27－9＝45，故选D.4.(2013·长春市调研测试)等差数列{an}的公差为3，若a2，a4，a8成等比数列，则a4＝(C)

A．8B．10

C．12D．16

解析：令首项为a，2根据条件有(a＋9)＝(a＋3)(a＋21)⇒a＝3，a4＝3＋3×3＝12，故选C.5.(2013·湖南省长沙市第二次模拟)在等比数列{an}中，a1＋a2＝30，a3＋a4＝60，则a7＋a8＝ 240.解析：由等比数列性质知a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8成等比数列，由已知条件知公比为2，33所以a7＋a8＝(a1＋a2)·q＝30×2＝240.6.(2012·温州十校联合体期末联考)已知1，a1，a2,9成等差数列，1，b1，b2，b3,9成等比数列，且a1，a2，b1，b2，b3都是实数，则(a2－a1)b2＝ 8.8解析：由1，a1，a2,9成等差数列，可得a2－a1＝，3

由1，b1，b2，b3,9成等比数列，可得b2＞0，且b2＝3，所以(a2－a1)b2＝8.7.(2012·浙江杭州市七校联考)已知数列{an}中，a3＝2，a7＝1，若{}为等差数an＋1

1列，则a11＝.2

111解析：由等差数列的性质知，成等差数列，a3＋1a7＋1a11＋1

211则＝＋ a7＋1a3＋1a11＋1

2111即＋a11＝.1＋12＋1a11＋12

8.(2012·金华十校期末联考)已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和为14，且a1，a3，a7恰为等比数列{bn}的前三项．

(1)分别求数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn；

(2)记为数列{aSnTn

nbn}的前n项和为Kn，设cn＝Kcc*

n＋1＞n(n∈N)．

n

解析：(1)设公差为d，则4a1＋6d＝14

a＋2d2

1＝a1a1＋6d，解得d＝1或d＝0(舍去)，a1＝2，所以a＝n＋1，Snn＋3nn＋1

nn＝2bn＝2，Tn＝2－2.(2)因为K12(n＋1)·2n

n＝2·2＋3·2＋…＋，①

故2K＝2·22＋3·23＋…＋n·2n＋(n＋1)·2n＋1

n，② ①－②，得

－K122＋23＋…＋2n－(n＋1)·2n＋1

n＝2·2＋，所以Kn＋1SnTnn＋32n－1

n＝n·2，则cn＝K

n2

cn＋42n＋1－1n＋32n－12n＋1＋n＋2n＋1－cn＝2＋22＋1＝2＋2＞0，所以c*

n＋1＞cn(n∈N)．

9.等差数列{a项和为Sa2

n}是递增数列，前nn，且a1，a3，9成等比数列，S5＝a5.(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若数列{bbn2＋n＋1

n}满足n＝aa{bn}的前99项的和．

n·n＋1

解析：(1)设数列{an}的公差为d(d>0)． 因为aa2

1，a3，9成等比数列，所以a3＝a1a9，所以(ad)2＝ad)，所以d2

1＋21(a1＋8＝a1d.因为d>0，所以a1＝d.①

因为S2，所以5a5×42

5＝a51＋2·d＝(a1＋4d).② 由①②解得a31＝d＝5.所以a35＋(n－1)×35＝35n(n∈N*

n＝)．

(2)bn2＋n＋1

n3

5·35n＋1＝25n2＋n

9·＋1

nn＋1＝259(1＋1n－1

n＋1．

所以b1＋b2＋b3＋…＋b99

＝259(1＋1－11111112＋1＋2－3＋1＋34＋…＋199100)

＝259(99＋1－1100＝275＋2.75＝277.75.

第二篇：2018年高考数学一轮复习小题精练系列专题08等比数列理!

专题08 等比数列

1．各项为正的等比数列

中，与的等比中项为，则

A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 【答案】C

2．若记等比数列｛an｝的前n项和为Sn，若a12,S36,则S4（）A． 10或8 B． 10 C． 10或8 D． 10或8 【答案】C 【解析】设等比数列的公比为q，由于a12,S36，显然q1，S322q2q26

3，则

q2q20，q2，S4S3a1q362210，选C．

3．在递增等比数列an中，a2a38,a1a49，则a7 A． 32 B． 64 C． 128 D． 16 【答案】B

2【解析】由题易得： a1a48，a1a49，故a1，a4是一元二次方程x9x80的两个实根，又数列an是单调递增的，∴a11，a48，∴q3∴a7a1q62664．故选：B

a48，即q2，a114．设Sn为数列an的前n项和，a11，an12Sn，则数列的前20项和为（）

anA． 31713171 B． C． D．

19191818223443223443【答案】D 【解析】an12Sn，an2Sn1 相减得an13ann2 由a11得出a22,a23a1，an{1,n123n2,n2，1={11n2 an,n223-12D．2 【答案】D 【解析】 20

考点：等比数列的性质．

11．设等比数列{an}中，前n项和为Sn，已知S38，S67，则a2_________． 【答案】【解析】 16 3

考点：等比数列的通项和前n项和的知识及运用．

12．《九章算术》中“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有恒厚若千尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，则m的值为，问何日相逢，各穿几何？”题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进―尺，以后毎天加倍；小老鼠第一天也进―尺，以后每天减半，如果墙足够厚，Sn为前n天两只老打洞之和，则Sn 尺． 【答案】2-【解析】 n1+1 2n-1

考点：等比数列求和．

第三篇：高考数学第九章数列第63课等差等比数列的综合问题教案

等差、等比数列的综合问题

一、教学目标

1.掌握等差、等比数列的性质；

2.能用类比的思想来研究等差、等比数列，体会它们的区别和联系；

3.理解等差数列前n项和Sn与二次函数的关系；掌握求等差数列前n项和最值的基本方法。

二、基础知识回顾与梳理

1、已知an是公差为d的等差数列，下列命题是否正确？

①a2,a4,...a12是等差数列 ；②an,an1,...a1是等差数列；③ca1,ca2,...can（c为常数）是等差数列． 【教学建议】本题选自书本第35页习题，主要复习等差数列的概念，让学生学会用定义判断一个数列是否为等差数列．

2、设an是等比数列，下列命题正确吗？

2①an是等比数列； ②anan1是等比数列；③1是等比数列； ④lgan是等比数列； an⑤anan1是等比数列．

【教学建议】本题选自课本第60页习题，提问学生：如何判断一个数列是否为等比数列，学会用定义判断一个数列是否为等比数列，第⑤小题学生容易忽略等比数列各项不能为零．

3、下列说法是否正确？

①1与4的等比中项是2； ②等比数列an中a11,a54，则a32；

【教学建议】本题考察等比中项的概念，学生可能在概念上犯错，教师在讲解时不需要避免学生出错，让学生暴露问题，老师进一步理清概念．

4、数列1,x,x2,...xn1的前n项和Sn_________．

【教学建议】本题选自书本第56页习题，等比数列求和学生使用时很容易忘记讨论q1，主要让学生加深印象，对等比数列求和一定要考虑q1的特殊情形，进一步练习：等比数列an中，S33a3，则公比q______，说明一些特殊情况下可以回避用求和公式，避免讨论．

三、诊断练习

1、教学处理：数列小题解法较多，要重视学生自己思路解法。课前学生自主完成，黑板板演，老师点评 学生思路方法，比较多种解法，比较优劣，归纳总结．

2、诊断练习点评

题1：在等差数列an中，若S1590，则a8=______________.【分析与点评】提出问题：条件S1590如何使用，引导学生思考用等差数列求和公式的两种表示形式来翻译条件，归纳思路：（1）完全化归为基本量表示，S1515a1寻求Sn和an的关系，S151514d90，化简得a8a17d6；（2）215(a1a15)90，利用性质2a8a1a15，解得a86．

2题2：公比不为1的等比数列an的前n项和为Sn，且3a,若a11，则S4＝________.a2,a3成等差数列，1答案为：20

【分析与点评】（1）等差等比数列的计算强调基本量的运算：化归为a1,d(q)的计算；（2）本题“递增”是关键，学生容易得到a11,a34q24q2，代入公式求解；也可以得到

a1a34,a1a35q24q2．

题3：等比数列an的各项均为正数,且a1a54,则log2a1log2a2log2a3log2a4log2a5.第3题答案为：5

题4：：等差数列{an}的公差是2，若a2,a4,a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn第4题答案为：Sn_______ n(a1an)n(n1)2

3、要点归纳

（1）强化等差（比）数列的重要性质，对于下标和相等，等差（比）子数列的性质不同，要注意区别；（2）等差（比）数列的前n项和的性质也不同，特别注意有关等差数列前n项和Sn取最值问题，如“诊断练习”第3题；

（3）要重视等差（比）数列的性质在解题中的运用．

四、范例导析

例

1、数列an的前n项和为Sn，若a12且SnSn12nn2,nN

(1)求Sn；

(2)是否存在等比数列bn满足b1a1,b2a3,b3a9？若存在，求出数列bn的通项公式；若不存在，说明理由.【教学处理】让学生板演，了解学生读题后的第一想法，加以点评总结，同时规范学生的书写 【引导分析与精讲建议】

1、第1问强调等差数列的证明,注意n1的验证；

2、第2问注重等差等比数列基本量的计算.解析:(1)因为SnSn12nn2,nN，所以有SnSn12n对n2,nN成立.即an2n对n2,nN成立，又a1S121，所以an2n对nN成立.所以an1an2a对nN成立，所以an是等差数列，所以有Sn(2)存在.由(1)知，an2n对nN成立，所以有a36,a918,又a12，所以有b12，b26,b318,则a1annn2n,nN.2b2b33，b1b2所以存在以b12为首项，以3为公比的等比数列bn.练习:（1）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10100，S10010，求S110；（2）已知等比数列{an}中，a1a2a37，a1a2a38，求an。

变式题：等差数列an的前m项和Sm30,前2m项和S2m100,求前3m项和S3m [点评]：这里变式题起到巩固知识的作用，引导学生用多种思路来求解． 例2：已知数列{an}的前n项和为Sn.(Ⅰ)若数列{an}是等比数列,满足2a1式;(Ⅱ)是否存在等差数列{an},使对任意nN*都有anSn2n2(n1)?若存在,请求出所有满足条件的等差数列;若不存在,请说明理由.第2题答案为：

解:(Ⅰ)设等比数列

a33a2, a32是a2,a4的等差中项,求数列an的通项公an的首项为a1,公比为q，a1(2q2)3a1q,(1)2a1a33a2,依题意,有即32aa2(a2).432a1(qq)2a1q4.(2)由(1)得 q23q20,解得q1或q当q当q2.1时,不合题意舍;2时,代入(2)得a12,所以,an22n12n

(Ⅱ)假设存在满足条件的数列{an},设此数列的公差为d,则

[a1(n1)d][a1nn(n1)d]2n2(n1),得 2d22331n(a1dd2)n(a12a1dd2)2n22n对nN*恒成立, 2222d222,32则a1dd2，21223aadd0,1212解得d2,d2,或此时an2n,或an2n.a2,a2.112故存在等差数列{an},使对任意nN*都有anSn2n(n1).其中an2n, 或an2n

例

3、已知等差数列{an}的首项a11，公差d0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{bn}的第2项、第3项、第4项．

(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；

（2）设数列cn对nN均有cc1c2nan1成立，求c1c2c2015． b1b2bn11an.22备用题：已知数列{an}的前n项和Sn与通项an满足Sn(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设fxlog3x,bnfa1fa2fan，Tn(3)若cnanfan，求cn的前n项和Un.111，求T2015； b1b2bn【教学处理】第（1）题，可由学生自行解答；第（2）题教师可引导学生进行观察和思考，教师点评时要侧重学生解题方法，注意运用函数的思想，注意对n1时情况的关注，培养学生严密的思维和严谨的学习态度。【引导分析与精讲建议】

（1）用方程思想求出首项和公差公比是解决问题的基础；

（2）对于等差等比综合问题学生会有困难，要引导学生抓住关键，注意等比数列证明方法；

（3）用函数的思想是解决第（2）题的关键所在，解题中要注意培养学生思维的严谨性，对表达中字母n的取值范围加以重视，注意对n1时情况的关注。

五、解题反思

解决等差（比）数列的问题时，通常考虑两类方法：①基本量法，即运用条件转化成关于a1和dq的方程；②运用等差（比）数列的性质（如下标和的性质、子数列的性质、和的性质）．

第四篇：2018届高考数学二轮复习专题能力训练8及其综合应用理

专题能力训练8平面向量及其综合应用

(时间:60分钟 满分:100分)

一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.设m,n为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

2.若等边△ABC的边长为3,平面内一点M满足,则的值为()A.2 B.-C.D.-2 3.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a-b=(),则|a+2b|=()A.2 B.C.D.2 4.已知平面向量a,b,c满足c=xa+yb(x,y∈R),且a·c>0,b·c>0.()A.若a·b<0,则x>0,y>0 B.若a·b<0,则x<0,y<0 C.若a·b>0,则x<0,y<0 D.若a·b>0,则x>0,y>0 5.△ABC所在平面上的动点P满足=λ(tan B+tan C),其中λ>0,则动点P一定经过△ABC的()A.重心 B.内心 C.外心 D.垂心

6.(2017浙江镇海中学5月模拟)已知△ABC的外接圆半径为2,D为该圆上一点,且,则△ABC的面积的最大值为()A.3 B.4 C.3 D.4 7.如图,三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上,边B3C3上有10个不同的点P1,P2,…,P10,记mi=(i=1,2…,10),则m1+m2+…+m10的值为()

A.15 8.B.45

C.60

D.180

如图,扇形OAB中,OA=1,∠AOB=90°,M是OB的中点,P是弧AB上的动点,N是线段OA上的动点,则的最小值为()A.0 B.C.D.1-

二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)9.在边长为1的正方形ABCD中,2,BC的中点为F,=2,则=.10.若平面向量a,b,e满足|e|=1,a·e=1,b·e=2,|a-b|=2,则a·b的最小值

为.11.已知向量a,b及实数t满足|a+tb|=3.若a·b=2,则t的最大值是.12.如图,在同一个平面内,向量的模分别为1,1,的夹角为α,且tan α=7,的夹角为45°.若=m+n(m,n∈R),则m+n=.13.(2017浙江杭州二模)设P为△ABC所在平面上一点,且满足3+4=m(m>0).若△ABP的面积为8,则△ABC的面积为.14.如图,平面内有三个向量,其中的夹角为120°,的夹角为30°,且||=||=2,||=4,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的值为.三、解答题(本大题共2小题,共30分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分15分)

如图,在平面四边形ABCD中,AB=13,AC=10,AD=5,cos∠DAC==120.(1)求cos∠BAD;(2)设=x+y,求x,y的值.16.(本小题满分15分)

如图,在△ABC中,D是BC的中点，(1)若=4,=-1,求的值;

(2)若P为AD上任一点,且恒成立,求证:2AC=BC.参考答案

专题能力训练8平面向量及其综合应用

1.A 解析 m,n为非零向量,若存在λ<0,使m=λn,即两向量反向,夹角是180°,则m·n=|m||n|cos 180°=-|m||n|<0.反过来,若m·n<0,则两向量的夹角为(90°,180°],并不一定反向,即不一定存在负数λ,使得m=λn.故选A.2.A 解析 因为,则,即=2-=2.2223.B 解析 向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a-b=(),可得|a-b|=5,即|a|+|b|-2a·b=5,解222得a·b=0.|a+2b|=|a|+4|b|+4a·b=1+16=17,所以|a+2b|=.故选B.4.A 5.D 解析 ∵=λ(·tan B+tan C)=λ[||·||cos(π-B)tan B+||·||cos Ctan C] =λ||(-||sin B+||sin C), 由正弦定理得||sin C=||sin B,∴=0.∴AP⊥BC,故动点P一定经过△ABC的垂心.6.B 解析 由知,ABDC为平行四边形,又A,B,C,D四点共圆, ∴ABDC为矩形,即BC为圆的直径, ∴当AB=AC时,△ABC的面积取得最大值×2×4=4.7.D 解析 因为AB2与B3C3垂直,设垂足为C,所以上的投影为AC,mi==|AB2|×|AC|=2×3=18,从而m1+m2+…+m10的值为18×10=180.8.D 解析 建立如图所示平面直角坐标系,设P(cos t,sin t),M,N(m,0),则=(m-cos t,-sin t),故=1-,因为0≤m≤1,所以=1-≥1-;又因为1-=1-sin(t+φ)=1-sin(t+φ)(tan φ=2),所以1-=1-sin(t+φ)≥1-(当且仅当sin(t+φ)=1时取等号).故选D.9.-解析 如下图,建立平面直角坐标系,则E,G,B(1,0),D(0,1),则=(-1,1),则=1×(-1)+×1=-.10.11.解析 ∵a·b=2⇒|a||b|cos θ=2(θ|a+tb|=3⇒9=a2+t2b2+4t=a2++4t≥4t≥8t,∴t≤.为

a,b的夹角),∴

12.3 解析 ||=||=1,||=,由tan α=7,α∈[0,π]得0<α<,sin α>0,cos α>0,tan

22α=,sin α=7cos α,又sinα+cosα=1,得sin α=,cos α==1,=cos=-,得方程组解得所以m+n=3.13.14 解析

由3+4=m, 可得, 可设, 则D,A,C共线,且D在线段AC上, 可得, 即有D分AC的比为4∶3, 即有C到直线AB的距离等于P到直线AB的距离的倍, 故S△ABC=S△ABP=×8=14.14.6 解析 由已知根据向量数量积的定义可得=-2,=12,=0,在=λ+μ两边分别乘, 得

即所以λ+μ=6.15.解(1)设∠CAB=α,∠CAD=β, 则cos α=,cos β=, 从而可得sin α=,sin β=, 故cos∠BAD=cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=.(2)由=x+y,得 即解得

16.解(1)∵,∴E,F为AD的四等分点.以BC为x轴,以D为原点建立平面直角坐标系, 设B(-a,0),C(a,0),A(m,n),则E,F, ∴=(m+a,n),=(m-a,n),.∵=4,=-1, ∴解得m2+n2=,a2=.∴-a2+(m2+n2)-a2=.(2)∵P为AD上任一点,设P(λm,λn),则=((1-λ)m,(1-λ)n),=(a-λm,-λn), , ∴=(1-λ)m(a-λm)-(1-λ)λn2=(1-λ)·(ma-λm2-λn2),.∵恒成立, ∴ma+(m2+n2)≥0恒成立,即(m2+n2)λ2-(m2+n2+ma)λ+(m2+n2)+ma≥0恒成立, ∴Δ=(m2+n2+ma)2-4(m2+n2)·≤0，2222222即(m+n)-ma(m+n)+ma≤0, ∴≤0，∴(m2+n2)=ma,即m2-2ma=-n2, ∴AC==a, 又BC=2a,∴2AC=BC.

第五篇：2013届高考历史一轮复习：选修三__第3讲_备考针对训练

1．阅读材料并结合所学知识，回答下列问题。

材料1：

材料2：参战各方伤亡情况统计：

材料3：人类最可尊敬的高尚品格是通过战争而提示和显露出来。没有战争，世界将陷入自私自利之中„„永久和平是一个梦，并且还不是一个美梦，而战争是上帝安排的世界秩序的一部分。在战争中得到发展的是人类的最高贵的美德，包括勇敢、克己、忠于职责，以及甘冒生命危险的自我牺牲。

——德军参谋总长毛奇

(1)结合材料和所学知识，分析说明高科技战争的特点。

(2)概括材料3的主要观点和意图。试从战争与经济发展的关系简要批驳上述观点。(3)针对21世纪人类和平事业面临的挑战，我国应该坚持怎样的立场？

2．(2012·丽水模拟)阅读下列材料：

材料1：

材料3：„„世界人民和平大会终于于1952年12月12日在维也纳胜利召开了。到会国家85个，代表1 880名。这里面正式代表1 627名，列席代表102名，来宾105名，国际组织代表46名。代表性是非常广泛的，„„这一盛大的会议，真可以说是不同种族、不同阶层、不同信仰、不同派别的人类大集会。

„„讨论了三个中心问题：(一)关于民族独立与国际安全；(二)关于停止现行战争，首先是朝鲜战争；(三)关于缓和国际紧张局势。„„

——摘自《关于世界人民和平

大会的经过和成就的报告》

请回答：

(1)概括材料1、2共同的主题思想。

(2)根据上述材料并结合所学知识，概括指出二战后反战和平运动的特点，并谈谈你对战争的认识。

3．阅读下列材料，回答问题。

2010年1月27日，美国休斯敦大屠杀博物馆举行了国际大屠杀纪念日仪式。国际大屠杀纪念日是联合国大会2005年为纪念在第二次世界大战中犹太人惨遭纳粹法西斯屠杀而设立的国际纪念日。中国驻休斯敦总领事高燕平在纪念仪式上说：“60多年前发生的对犹太民族的大屠杀是人类历史上一场惨绝人寰的灾难和国际罪行。所有爱好和平的国家和民族应该以史为鉴，坚持和平发展和合作的主题，相互尊重，相互理解，和睦相处，共同繁荣，绝不让类似悲剧重演。中国人民自古崇尚和平正义，为第二次世界大战的最终胜利，做出了巨大的牺牲和重要的贡献。目前，世界上仍存在着威胁国际和平和地区稳定的各种不安全因素。中国人民愿与各国人民携手为推动建立一个和谐和平、共同繁荣的世界而不懈努力。”

(1)依据材料和所学知识回答，设立国际大屠杀纪念日反映了联合国什么样的宗旨和原则？

(2)目前，威胁国际和平和地区稳定的各种不安全因素还有哪些？概述二战以来世界人民为维护世界和平所作出的努力。

4．(2012·绍兴模拟)阅读下面两幅图片，回答问题。

图一《生意经》的副标题是：卖伞的渴望下雨，我们当然渴望战争啦！

图二《桥》的副标题是：西方国家向中东地区派出大规模武装力量，与此相对应的是，恐怖分子也向西方国家发起进攻！

(1)图片《生意经》揭示的实质问题是什么？

(2)根据你的理解，图片《桥》表达了作者怎样的思想？