2013年普通高考数学一轮复习 第3讲 函数的基本性质精品学案（最终定稿）

第一篇：2013年普通高考数学一轮复习 第3讲 函数的基本性质精品学案

2013年普通高考数学科一轮复习精品学案

第3讲 函数的基本性质

一．课标要求

1．通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义； 2．结合具体函数，了解奇偶性的含义； 二．命题走向

从近几年来看，函数性质是高考命题的主线索，不论是何种函数，必须与函数性质相关联，因此在复习中，针对不同的函数类别及综合情况，归纳出一定的复习线索。预测2013年高考的出题思路是：通过研究函数的定义域、值域，进而研究函数的单调性、奇偶性以及最值。

预测明年的对本讲的考察是：（1）考察函数性质的选择题1个或1个填空题，还可能结合导数出研究函数性质的大题；（2）以中等难度、题型新颖的试题综合考察函数的性质，以组合形式、一题多角度考察函数性质预计成为新的热点。三．要点精讲 1．奇偶性

（1）定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。

如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数。

注意： 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ○2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意○一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○2 确定f(－x)与f(x)的关系； ○3 作出相应结论： ○若f(－x)= f(x)或 f(－x)－f(x)= 0，则f(x)是偶函数； 若f(－x)=－f(x)或 f(－x)＋f(x)= 0，则f(x)是奇函数。（3）简单性质：

①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称；

②设f(x)，g(x)的定义域分别是D1,D2，那么在它们的公共定义域上：

奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇 2．单调性

（1）定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1f(x2)），那么就说f(x)在区间D上是增函数（减函数）；

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)； 4．周期性

（1）定义：如果存在一个非零常数T，使得对于函数定义域内的任意x，都有f(x+T)= f(x)，则称f(x)为周期函数；

（2）性质：①f(x+T)= f(x)常常写作f(xTT)f(x),若f(x)的周期中，存在一个最小22的正数，则称它为f(x)的最小正周期；②若周期函数f(x)的周期为T，则f(ωx)（ω≠0）是周期函数，且周期为T||。

四．典例解析

题型一：判断函数的奇偶性 例1．讨论下述函数的奇偶性：

xx(1)f(x)1612;x21n(x1x)(x0)(2)f(x)0(x0);1n(1xx)(x0)(3)f(x)1og2(1x2x211);a2x2(4)f(x)(常数a0);

|xa|a解：（1）函数定义域为R，16x12x1116x16x12xxx f(x)21121f(x)，xxxx21642∴f(x)为偶函数；

16x1（另解）先化简：f(x)14x4x1，显然f(x)为偶函数；从这可以x4看出，化简后再解决要容易得多。

（2）须要分两段讨论： ①设

x0,x0,f(x)1n(1xx)1n②设

x0,x0, 1f(x)1n(x1x)1n1n(1xx)f(x)1xx

∴4+ x∈[0，2)，∵f(2+x)+ f(2－x)，∴f(x)= f(4－x)，∴f(x)= f(－x)= f[4－（－x）]= f(4+x)=2（x+4）－1=2x+7；

2x7综上，f(x)2x1(4x2).(2x0)点评：结合函数的数字特征，借助函数的奇偶性，处理函数的解析式。题型三：判断证明函数的单调性

exa是R上的偶函数。例5．设a0，f(x)aex（1）求a的值；（2）证明f(x)在(0,)上为增函数。

1exax。解：（1）依题意，对一切xR，有f(x)f(x)，即xaeaeaex1x110xR)a0，∴a1，对一切成立，则aexa∵a0，∴a1。

11xx（2）（定义法）设0x1x2，则f(x1)f(x2)e1e2xx

e1e2∴(a)(e(ee)(x2x11ex1x21)e(ex1x2x11ex2x11)x2x1，ex2x1由x10,x20,x2x10，得x1x20,e∴f(x1)f(x2)0，10，1ex2x10，即f(x1)f(x2)，∴f(x)在(0,)上为增函数。（导数法）∵a1，x(0,)

11(ex)21x0 ∴f(x)(ex)exeeexx∴f(x)在(0,)上为增函数

点评：本题用了两种方法：定义法和导数法，相比之下导数法比定义法更为简洁。例6．已知f(x)是定义在R上的增函数，对x∈R有f(x)>0，且f(5)=1，设F(x)= f(x)+1，讨论F(x)的单调性，并证明你的结论。f(x)

（2）已知f(x)82xx2,若g(x)f(2x2)试确定g(x)的单调区间和单调性。解：（1）函数的定义域为(,1)(2,)，分解基本函数为ylog0.7t、tx3x2

显然ylog0.7t在(0,)上是单调递减的，而tx3x2在(,1),(2,)上分别是单调递减和单调递增的。根据复合函数的单调性的规则：

所以函数ylog0.7(x23x2)在(,1),(2,)上分别单调递增、单调递减。（2）解法一：函数的定义域为R，分解基本函数为gf(t)t22x8和t2t。

显然gf(t)t22x8在(1,)上是单调递减的，(,1)上单调递增； 而t2x2222在(,0),(0,)上分别是单调递增和单调递减的。且2x21x1，根据复合函数的单调性的规则：

所以函数的单调增区间为(,1),(0,1)；单调减区间为(1,),(1,0)。

222解法二：g(x)82(2x)(2x)x2x8，42g(x)4x34x，令 g(x)0，得x1或0x1，令 g(x)0，x1或1x0

∴单调增区间为(,1),(0,1)；单调减区间为(1,),(1,0)。

点评：该题考察了复合函数的单调性。要记住“同向增、异向减”的规则。题型五：单调性的应用

例9．已知偶函数f(x)在(0，+∞)上为增函数，且f(2)=0，解不等式f［log2(x+5x+4)］≥0。

2解：∵f(2)=0,∴原不等式可化为f［log2(x+5x+4)］≥f(2)。又∵f(x)为偶函数，且f(x)在(0，+∞)上为增函数，∴f(x)在(－∞,0)上为减函数且f(－2)=f(2)=0。

2∴不等式可化为

log2(x+5x+4)≥①

2或

log2(x+5x+4)≤－2 ②

2由①得x+5x+4≥4，∴x≤－5或x≥0

③

2-7

（2）①当x≤a时，函数f（x）=x－x+a+1=（x－

123）+a+。24若a≤1，则函数f（x）在（－∞，a）上单调递减，从而，函数f（x）在（－∞，a）22上的最小值为f（a）=a+1。

若a＞1131，则函数f（x）在（－∞，a]上的最小值为f（）=+a，且f（）≤ 2242123）－a+。24f（a）。

②当x≥a时，函数f（x）=x+x－a+1=（x+

2若a≤－≤f（a）。

若a＞－1131，则函数f（x）在［a，+∞)上的最小值为f（－）=－a，且f（－）22421，则函数f（x）在［a，+∞］上单调递增，从而，函数f（x）在［a，+∞］22上的最小值为f（a）=a+1。

综上，当a≤－13时，函数f（x）的最小值是－a。24当－112＜a≤时，函数f（x）的最小值是a+1。2213时，函数f（x）的最小值是a+。24当a＞点评：函数奇偶性的讨论问题是中学数学的基本问题，如果平时注意知识的积累，对解此题会有较大帮助.因为x∈R，f（0）=|a|+1≠0，由此排除f（x）是奇函数的可能性.运用偶函数的定义分析可知，当a=0时，f（x）是偶函数，第2题主要考查学生的分类讨论思想、对称思想。

1)。m1（1）证明：当m∈M时，f(x)对所有实数都有意义；反之，若f(x)对所有实数x都有意义，则m∈M；

（2）当m∈M时，求函数f(x)的最小值；

（3）求证：对每个m∈M,函数f(x)的最小值都不小于1。（1）证明：先将f(x)变形：f(x)=log3［(x－2m)+m+］，m1例12．设m是实数，记M={m|m>1}，f(x)=log3(x－4mx+4m+m+

例14．已知函数yf(x)是定义在R上的周期函数，周期T5，函数yf(x)(1x1)yf(x)在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，是奇函数又知且在x2时函数取得最小值5。

①证明：f(1)f(4)0； ②求yf(x),x[1,4]的解析式； ③求yf(x)在[4,9]上的解析式。解：∵f(x)是以5为周期的周期函数，∴f(4)f(45)f(1)，又∵yf(x)(1x1)是奇函数，∴f(1)f(1)f(4)，∴f(1)f(4)0。

②当x[1,4]时，由题意可设f(x)a(x2)25(a0)，由f(1)f(4)0得a(12)25a(42)250，∴a2，∴f(x)2(x2)25(1x4)。

③∵yf(x)(1x1)是奇函数，∴f(0)0，又知yf(x)在[0,1]上是一次函数，∴可设f(x)kx(0x1)，而f(1)2(12)253，∴k3，∴当0x1时，f(x)3x，从而当1x0时，f(x)f(x)3x，故1x1时，f(x)3x。∴当4x6时，有1x51，∴f(x)f(x5)3(x5)3x15。当6x9时，1x54，∴f(x)f(x5)2[(x5)2]252(x7)25

第二篇：2013高考数学(理)一轮复习教案：第二篇 函数与基本初等函数Ⅰ第7讲 函数图象

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第7讲 函数图象

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【2013年高考会这样考】 1．考查函数图象的识辨． 2．考查函数图象的变换． 3．利用函数图象研究函数性质或求两函数的图象的交点个数． 【复习指导】 函数图象是研究函数性质、方程、不等式的重要工具，是数形结合的基础，是高考考查的热点，复习时，应重点掌握几种基本初等函数的图象，并在审题、识图上多下功夫，学会分析“数”与“形”的结合点，把几种常见题型的解法技巧理解透彻．

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基础梳理

1．图象变换法(1)平移变换 ①水平平移：y＝f(x±a)(a＞0)的图象，可由y＝f(x)的图象向(＋)或向(－)平移 单位而得到． ②竖直平移：y＝f(x)±b(b＞0)的图象，可由y＝f(x)的图象向(＋)或向(－)平移 单位而得到．

左

右

a个

上

下 b个

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(2)对称变换 ①y＝f(－x)与y＝f(x)的图象关于 对称． ②y＝－f(x)与y＝f(x)的图象关于 对称． ③y＝－f(－x)与y＝f(x)的图象关于 对称． 由对称变换可利用y＝f(x)的图象得到y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象．

y轴

x轴

原点

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①作出y＝f(x)的图象，将图象位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到上方，其余部分不变，得到y＝|f(x)|的图象； ②作出y＝f(x)在y轴上及y轴右边的图象部分，并作y轴右边的图象关于y轴对称的图象，即得y＝f(|x|)的图象． ①作出y＝f(x)的图象，将图象位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到上方，其余部分不变，得到y＝|f(x)|的图象； ②作出y＝f(x)在y轴上及y轴右边的图象部分，并作y轴右边的图象关于y轴对称的图象，即得y＝f(|x|)的图象．

幻灯片6(3)伸缩变换 ①y＝af(x)(a＞0)的图象，可将y＝f(x)图象上每点的纵坐标伸(a＞1时)或缩(a＜1时)到原来的a倍，横坐标不变． ②y＝f(ax)(a＞0)的图象，可将y＝f(x)的图象上每点的横坐标伸1(a＜1时)或缩(a＞1时)到原来的倍，纵坐标不变． a(4)翻折变换 ①作为y＝f(x)的图象，将图象位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到上方，其余部分不变，得到y＝|f(x)|的图象； ②作为y＝f(x)在y轴上及y轴右边的图象部分，并作y轴右边的图象关于y轴对称的图象，即得y＝f(|x|)的图象．

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2．等价变换 例如：作出函数y＝1－x2的图象，可对解析式等价变形 y≥022y＝1－x⇔1－x≥0y2＝1－x2 y≥0⇔22y＝1－x ⇔x2＋y2＝1(y≥0)，可看出函数的图象为半圆．此过程可归纳为：(1)写出函数解析式的等价组；(2)化简等价组；(3)作图．

幻灯片8 3．描点法作图 方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象．

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一条主线 数形结合的思想方法是学习函数内容的一条主线，也是高考考查的热点．作函数图象首先要明确函数图象的形状和位置，而取值、列表、描点、连线只是作函数图象的辅助手段，不可本末倒置．

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两个区别(1)一个函数的图象关于原点对称与两个函数的图象关于原点对称不同，前者是自身对称，且为奇函数，后者是两个不同的函数对称．(2)一个函数的图象关于y轴对称与两个函数的图象关于y轴对称也不同，前者也是自身对称，且为偶函数，后者也是两个不同函数的对称关系．

幻灯片11 三种途径 明确函数图象形状和位置的方法大致有以下三种途径．(1)图象变换：平移变换、伸缩变换、对称变换．(2)函数解析式的等价变换．(3)研究函数的性质．

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双基自测 x＋31．(人教A版教材习题改编)为了得到函数y＝lg10的图象，只需把函数y＝lg x的图象上所有的点()． A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 x＋3解析 y＝lg＝lg(x＋3)－1可由y＝lg x的图象向左平移3个10单位长度，向下平移1个单位长度而得到． 答案 C

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2．(2011·安徽)若点(a，b)在y＝lg x图象上，a≠1，则下列点也在此图象上的是()． 1A.a，b  B．(10a,1－b)D．(a2,2b)10C.a，b＋1 解析 本题主要考查对数运算法则及对数函数图象，属于简单题．当x＝a2时，y＝lg a2＝2lg a＝2b，所以点(a2,2b)在函数y＝lg x图象上． 答案 D

幻灯片14 13．函数y＝1－的图象是()． x－1

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－1解析 将y＝的图象向右平移1个单位，再向上平移一个单x1位，即可得到函数y＝1－的图象． x－1答案 B

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14．(2011·陕西)函数y＝x3的图象是()． 解析 该题考查幂函数的图象与性质，解决此类问题首先是考虑函数的性质，尤其是奇偶性和单调性，再与函数y＝x比较即可． 111由(－x)3＝－x3知函数是奇函数．同时由当0＜x＜1时，x3＞x，1当x＞1时，x＜x，知只有B选项符合． 3答案 B

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5．已知图①中的图象对应的函数为y＝f(x)，则图②的图象对应的函数为()． A．y＝f(|x|)B．y＝|f(x)| C．y＝f(－|x|)D．y＝－f(|x|)解析 f－x，x≥0，y＝f(－|x|)＝fx，x＜0.答案 C

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考向一 作函数图象 【例1】►分别画出下列函数的图象：(1)y＝|lg x|；(2)y＝2x＋2；(3)y＝x2－2|x|－1； x＋2(4)y＝.x－1[审题视点] 象． 根据函数性质通过平移，对称等变换作出函数图

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解 lg x(1)y＝－lg x x≥1，图象如图①.0＜x＜1.(2)将y＝2x的图象向左平移2个单位．图象如图②.2x－2x－1(3)y＝2x＋2x－1 x≥0.图象如图③.x＜0 33(4)因y＝1＋，先作出y＝的图象，将其图象向右平移1个xx－1x＋2单位，再向上平移1个单位，即得y＝的图象，如图④.x－1

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(1)熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反1比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x＋x的函数；(2)掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程．

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【训练1】 作出下列函数的图象：(1)y＝2x1－1； ＋(2)y＝sin|x|；(3)y＝|log2(x＋1)|.解(1)y＝2x1－1的图象可由y＝2x的图象向左平移1个单位，＋得y＝2x＋1的图象，再向下平移一个单位得到y＝2x＋1－1的图象，如图①所示．

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(2)当x≥0时，y＝sin|x|与y＝sin x的图象完全相同，又y＝sin|x|为偶函数，其图象关于y轴对称，如图②所示．(3)首先作出y＝log2x的图象c1，然后将c1向左平移1个单位，得到y＝log2(x＋1)的图象c2，再把c2在x轴下方的图象翻折到x轴上方，即为所求图象c3：y＝|log2(x＋1)|.如图③所示(实线部分)．

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考向二 函数图象的识辨 【例2】►函数f(x)＝1＋log2x与g(x)＝21x在同一直角坐标系下－的图象大致是()． [审题视点] 在同一个坐标系中判断两个函数的图象，可根据 函数图象上的特征点以及函数的单调性来判断．

幻灯片24 解析 f(x)＝1＋log2x的图象由函数f(x)＝log2x的图象向上平移一个单位而得到，所以函数图象经过(1,1)点，且为单调增函数，显然，A项中单调递增的函数经过点(1,0)，而不是(1,1)，故不满足； 函数g(x)＝21－x＝2×1x，其图象经过(0,2)点，且为单调减函2数，B项中单调递减的函数与y轴的交点坐标为(0,1)，故不满足；D项中两个函数都是单调递增的，故也不满足． 综上所述，排除A，B，D.故选C.答案 C

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函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复． 利用上述方法，排除、筛选错误与正确的选项．

幻灯片26 【训练2】(2010·山东)函数y＝2x－x2的图象大致是()． 解析 当x＞0时，2x＝x2有两根x＝2,4；当x＜0时，根据图象法易得到y＝2x与y＝x2有一个交点，则y＝2x－x2在R上有3个零点，故排除B、C；当x→－∞时，2x→0.而x2→＋∞，故y＝2x－x2＜0，故选A.答案 A

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考向三 函数图象的应用 【例3】►已知函数f(x)＝|x2－4x＋3|.(1)求函数f(x)的单调区间，并指出其增减性；(2)求集合M＝{m|使方程f(x)＝m有四个不相等的实根}． [审题视点] 作出函数图象，由图象观察． 幻灯片28

解f(x)＝x－22 －1，x∈－∞，1]∪[3，＋∞－x－22＋1，x∈1，3，作出图象如图所示．(1)递增区间为[1,2]和[3，＋∞)，递减区间为(－∞，1]和[2,3]．(2)由图象可知，y＝f(x)与y ＝m图象，有四个不同的交点，则0＜m＜1，∴集合M＝{m|0＜m＜1}．

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，(1)从图象的左右分布，分析函数的定义域；从图象的上下分布，分析函数的值域；从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．(2)利用函数的图象可解决方程和不等式的求解问题，比如判断方程是否有解，有多少个解？数形结合是常用的思想方法．

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【训练3】(2010·湖北)若直线y＝x＋b与曲线y＝3－4x－x2有公共点，则b的取值范围是()． A．[－1,1＋22] B．[1－22，1＋22] C．[1－22，3] D．[1－2，3] 解析 在同一坐标系下画出曲线y＝3－4x－x2(注：该曲线是以点C(2,3)为圆心、2为半径的圆不在直线y＝3上方的部分)与

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直线y＝x的图象，平移该直线，结合图形分析可知，当直线沿y轴正方向平移到点(0,3)的过程中的任何位置相应的直线与曲线y＝3－4x－x2都有公共点；注意到与y＝x平行且过点(0,3)的直线的方程是y＝x＋3；当直线y＝x＋b与以点C(2,3)为圆心、2为半径的圆相切时(圆不在直线y＝3上方的部分)，有|2－3＋b|＝2，b＝1－22.结合图形可知，满足题意的只有C选2项． 答案 C

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难点突破5——高考中函数图象的考查题型

涉及函数图象的知识点在高考中的考查形式主要有三种类型：

一、由解析式选配图象 解决时需要从定义域、值域、奇偶性、单调性等方面综合考查，有时也可以根据特殊情况(如特殊点、特殊位置)进行分析．

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x【示例】►(2011·山东)函数y＝2－2sin x的图象大致是()．

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二、图象平移问题 一般地，平移按“左加右减，上正下负”进行函数式的变换． 【示例】►(2011·郑州模拟)若函数f(x)＝kax－ax(a＞0且a≠1)－在(－∞，＋∞)上既是奇函数又是增函数，则g(x)＝loga(x＋k)的图象是()．

幻灯片36

幻灯片37

三、图象对称问题 【示例】►(2011·厦门质检)函数y＝log2|x|的图象大致是()．

幻灯片38

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活页限时训练

第三篇：高考地理一轮复习第七单元城市与地理环境第3讲城市空间结构学案

第3讲　城市空间结构

课标展示

核心素养

城市的空间结构及其形成原因。

1.综合思维：通过对城市的功能区图、地租等值线图以及城市空间发展材料的分析，判读城市的空间结构图，分析城市功能区的影响因素，比较城市服务功能的差异。

2.人地协调观：判断城市功能区的合理性，进行城市功能区规划，保证人口、城市、经济社会协调发展。

授课提示：对应学生用书第139页

[基础梳理]

一、城市功能区

1．形成背景

各项活动同类活动高度集聚。

2．主要类型及特点

类型

特点

住宅区

最为广泛的土地利用方式

工业区

一般分布在城市外围，并沿主要交通干线分布

商业区

是城市的核心区，大多呈团块状或条状，多分布于交通便捷的市中心和街道两侧

3.中心商务区的特点

经济活动最为繁忙；人口数量昼夜差别很大；建筑物高大密集；内部分区明显。

【特别提示】

1．城市功能分区≠城市用地类型

城市功能分区和城市用地类型是两个不同的概念，比如商业用地不等同于商业区，商业用地是指商业活动占用的土地，而商业区中除了商业活动外，还有其他活动，即用地类型除了商业用地外，还有住宅用地、交通用地等。

【素养引领】

1．(综合思维)工业区为什么向市区外缘移动和趋向于沿主要交通干线分布？

提示：①市区内地价高，向市区外缘移动可降低生产成本；②有利于保护城市环境；③沿交通线分布可降低运输成本。

二、城市功能分区的成因

1．影响城市功能区形成的因素

(1)历史因素：是城市功能分区的形成基础，城市原有的土地利用状况在很大程度上决定了城市功能分区的现状。

(2)经济因素：对城市功能区分化影响显著。

(3)社会因素：主要影响住宅区的分化，包括职业、收入水平、民族和宗教信仰等。

(4)政治因素：政策对城市功能区的形成起着重要作用。

【素养引领】

2．(区域认知)高级住宅区是怎样分布的？

提示：高级住宅区房价较高，但是高级住宅区并不是布局在地租最高的城市中心区域，而是分布在环境优美、交通便捷的城市外围，与低级住宅区背向发展。

2．城市空间结构模式

同心圆模式、扇形模式、多核心模式和未来“田园城市”。

三、地域文化对城市的影响

1．表现：影响城市建筑景观和格局。

2．典例

(1)美国城市

①首都华盛顿：以国会大厦为轴心，划分为四个区。

②其他大城市：市中心区为摩天大厦，四周建筑物错落其间。

(2)欧洲城市：市中心区很少建设现代化高楼大厦。

(3)中国传统城市

①政治中心(北京)：多以皇宫为中心，将其摆放在城市的中轴线上。

②“天人合一”思想影响，形成“山水城市”。

【特别提示】

2．北京是中国的古都，天安门广场、故宫都是具有悠久历史的古老建筑。广场周围没有高楼大厦，这是符合保留历史遗迹原则的。

授课提示：对应学生用书第140页

考点　城市功能分区及其合理布局

【核心素养下的命题分析】

多以城市空间结构图、城市规划图、统计图为载体，通过分析城市功能区的成因与合理规划等，考查综合思维和人地协调观。抓住城市功能区的特点及其成因是解答该类问题的关键。

典例(2019·高考天津卷)读W市主城区2004年与2016年工业和居住用地情况图(如图)，回答(1)～(2)题。

(1)2016年与2004年的土地利用情况相比，该市主城区发生的变化是()

A．在乙河以西的地区中，甲河以南的工业功能明显减弱

B．在乙河以西的地区中，甲河以北的居住功能明显增强

C．在乙河以东的地区中，新建工厂主要集中在该区中部

D．在乙河以东的地区中，新增住宅主要集中在乙河沿岸

(2)由于该市工业用地和居住用地的变化，可能产生的问题及有效的对策是()

A．工业污染扩散　加强河流水质监测

B．就业岗位减少　提高第三产业比重

C．居住区较偏远　增加中心城区住宅用地

D．交通压力增大　完善城市交通网络布局

[规范审答]

从图像中获取和解读信息

第(1)题，读图可知，乙河以西、甲河以南的工业用地比重基本没变，工业功能基本不变；在乙河以西的地区中，甲河以北的居住用地比重增大，居住功能明显增强；乙河以东地区中，新建工厂主要集中在该区南、北两端；乙河以东地区中，新增住宅主要集中在东部地区。第(2)题，读图可知，新增工业用地和居住用地均未向沿河地区集中，不一定会加大河水污染；工厂增多，就业岗位会增加；居住区主要集中分布在甲河和乙河沿岸的城市中部地区；职住分离明显，工业用地范围扩大，会增加交通压力，为了便于职工上下班，应完善城市交通网络布局。

我的答案：(1)B__(2)D_

1．“六看法”判断城市三大功能区

(1)看面积：住宅区面积最大，其次是工业区，商业区面积最小。

(2)看距市中心远近：一般情况下，距离市中心由近及远依次为商业区、住宅区、工业区。

(3)看形态：商业区一般呈点状、条状，住宅区和工业区一般呈片状。

(4)看人口变化：商业区昼夜人口差别最大，白天人口多，晚上人口少；住宅区与商业区变化相反；工业区人口昼夜差别最小。

(5)看建筑物密度：商业区建筑物高大稠密，住宅区次之，工业区建筑物密度最小。

(6)看分布趋势：住宅区、工业区不断向郊外移动，市中心比例逐年下降；商业区虽也有向郊区交通便捷处移动的趋势，但幅度较小，在市中心上升幅度较大。

2．经济因素对城市功能区的影响

经济因素是市场经济条件下影响城市功能区形成的主要因素，原因有两方面：一是由于地理位置、交通通达度的不同造成了地租差异；二是城市各项功能活动(如商业、工业、住宅等)的付租能力往往随空间位置呈现出不同的变化趋势。

(1)距离市中心远近与城市功能区的关系

(2)交通通达度对城市功能区的影响

交通通达度越好，土地价格或地租越高；反之则越低。城市不同区位土地的交通通达度不同，地租高低也就相应地存在着差异，因而形成不同的功能区。

3．工业区的布局原则

(1)与城市整体

工业特点

规模小，无污染

用地规模大，轻度污染

严重污染，大型企业

布局

有组织地布局在城区

城市边缘或近郊区

远离城市的郊区

(2)与住宅区：①要有便利的交通；②要设置卫生防护带。

(3)与风向

(4)与河流：布局于城市河流下游。

〉〉

命题角度一　城市功能区的分布及成因

(2018·高考北京卷)城市某区域土地利用强度，可以用建设用地面积占该区域土地面积的比值表示。读图，回答1～2题。

1．该城市()

A．Ⅰ区高档写字楼密度大

B．Ⅱ区适宜建垃圾填埋场

C．Ⅲ区商业网点最为密集

D．Ⅳ区城市热岛效应最强

2．甲处土地利用强度增大，最可能的原因是()

A．建设民俗博物馆

B．划定耕地保护区

C．增加种植业投入

D．扩大卫星城规模

解析：第1题，据图可知，Ⅰ区位于市中心，为中心商务区，地价较高，因此建筑物高大稠密，A对，C错；Ⅱ区离市中心较近，不适宜建垃圾填埋场，B错；Ⅳ区位于郊区，远离市中心，城市热岛效应较弱，D错。第2题，据题干知，城市区域土地利用强度，可以用建设用地面积占该区域土地面积的比值表示。据图可知，甲地远离市区，但是土地利用强度增大，说明建设用地面积增多，最有可能是卫星城的规模扩大，D对。其他均不会增加建设用地面积，不会使土地利用强度增大，A、B、C错误。

答案：1.A　2.D

(2018·高考经典题)某单中心城市，各方向发展比较均衡，城市中心附近人口和产业分布过于集中，交通拥堵，人居环境较差。下图示意该城市某个方向的土地价格(P)变化。据此完成3～4题。

3．为优化城市中心附近的功能布局，在城市更新改造过程中，甲地宜增建()

A．公园

B．工业园区

C．住宅

D．物流园区

4．乙地附近比例最大的用地类型可能是()

A．仓储用地

B．公共绿地

C．工业用地

D．居住用地

解析：第3题，读图可知甲地位于城市中心附近且地价较低，如果增建公园绿地不但可以缓解材料中所述“该城市中心附近人口和产业过分集中，交通拥堵，人居环境较差”的现状，而且征地成本也相对较低，故A正确。工业园区占地面积大且对环境有一定污染，不适宜建在城市中心附近，建住宅区会导致城市中心附近人口更加集中，物流园区一般建在城郊交通通达度较高的地区，若建在城市中心附近，会加剧交通拥堵，故B、C、D错误。第4题，该城市为单中心城市，且各方向发展比较均衡，城市空间结构最可能为同心圆模式。乙地附近地价仅次于市中心(从市中心到郊区方向)，故该地附近最可能为住宅区，居住用地类型比例最大，D正确，排除A、B、C三项。

答案：3.A

4.D

〉〉

命题角度二　城市空间结构的评价

下图为“某个组团式城市布局图”，各城区分散布局。据此完成5～6题。

5.该城市的布局模式有利于()

A．缩短居民出行距离

B．改善城市生态环境

C．加强各区之间联系

D．节省基础设施投资

6．该城市规划建设物流园区和化工园区，应分别安排在()

A．①处和③处

B．①处和④处

C．②处和③处

D．②处和④处

解析：组团式城市是在城市市区及近郊范围，组成城市功能整体的各部分，由三个及三个以上具有一定规模的、分散并相隔一定距离的集中功能区团块，通过便捷的交通连接形成的一个城市实体。第5题，组团式城市各部分之间距离相对较远，增加了居民的出行距离，不利于各区之间的联系，故A、C错；城市各部分内部主要功能区相对齐全，所以增加了基础设施投资，故D错；各部分之间有林地相隔，有利于改善城市集中布局产生的环境问题，故B对。第6题，物流园区占地广，需要有较低地价的土地；需要有便利的交通，利于物资的集散。①处在高速公路出入口，交通便利，交通条件优于②③④处，比较合适。化工园区对环境污染严重，主要是水体污染与大气污染。结合图中的等高线、河流流向，可判断③位于河流下游，且处在最小风频的上风向，对城区污染小，适合建化工园区。

答案：5.B　6.A

〉〉

命题角度三　经济因素对城市功能区的影响

(2019·高考北京卷)下图示意某地商业和农业地租水平。读图，回答下题。

7．该图体现()

A．两种用地类型呈交错分布

B．两种地租变化率的差异小

C．商业用地向郊区持续扩展

D．农业用地受到政策的保护

解析：图中显示在商业用地外围分布着农业用地，两种用地截然分开，即不存在交错分布的情况，说明商业用地没有侵占农业用地即没有向郊区持续扩展，可判断农业用地受到了政策的保护。D对，A、C错。图中显示，城区商业用地的地租变化率远高于郊区农业用地的地租变化率。B错。

答案：D

素养立意：立足人地协调观和综合思维，考查城市空间结构的形成(2020·河北石家庄一模)新加坡被誉为“城市公共交通的典范”，其成功之处在于将城市交通系统与城市整体规划相结合，制定了环状交通加卫星镇的总体规划。新加坡将全国划分为5个人口约100万的大区，5个大区再分为25个卫星镇，每个卫星镇依据人口规模建设相应等级的商业、学校、医疗、公园、交通等公共配套设施，并通过便捷的交通网络将中心城区及各卫星镇连接。最终发展形成多中心空间体系，成为解决交通拥堵问题的有效方式。据此完成(1)～(3)题。

(1)新加坡发展形成多中心空间体系的主要目的是()

A．分散中心城区人口

B．加强城市管理力度

C．疏解城市中心职能

D．促进关联产业集聚

(2)新加坡卫星镇建设完善的公共配套设施主要是为了()

A．调整区域产业结构，加快经济转型发展

B．提供大量就业岗位，减轻城市就业压力

C．就近解决民生需求，减轻交通出行压力

D．完善基础服务设施，提升城市化的水平

(3)推测位于新加坡卫星镇中心的核心设施主要是()

A．交通枢纽

B．绿地公园

C．医疗中心

D．批发市场

解析：第(1)题，依据材料可知，大区、卫星镇主要是依据人口规模进行划分的，则该空间体系的主要目的是分散中心城区人口。第(2)题，材料提及：每个卫星镇都有相应等级的公共配套设施，利于人口在卫星镇购物、求学、看病，因此利于解决民生需求；同时也可减轻到中心城区购物、看病带来的交通压力。第(3)题，通过便捷的交通网络将中心城区及各卫星镇连接，则卫星镇中心为交通枢纽，既便于与镇外联系，也便于及时分散卫星镇的人口，减轻交通压力。故卫星镇中心核心设施主要是交通枢纽。

答案：(1)A(2)C(3)A

授课提示：对应学生用书第142页

地租曲线图的判读

[典题导入]

(高考经典题)读图文材料，完成(1)～(2)题。

地租是城市各种环境因素在经济上的综合表现。上图显示了某市中心城区地租从中心向边缘递减的变化趋势。由于环境质量、基础设施等因素的不同，城市不同方向的地租变化程度存在差异。

(1)符合图中该城区实际情况的表述是()

A．北部地区的地租梯度，总体大于南部地区

B．地租相同的区位，西南方向距市中心最近

C．西北方向地租等值线稀疏，表示该方向交通设施较好

D．东南方向地租等值线密集，表示该方向空气质量较好

(2)该市规划在甲地建设产业园区，最适宜的是()

A．电子信息产业园区

B．钢铁工业产业园区

C．航空航天产业园区

D．汽车工业产业园区

[图形解读]

提示：交通通达度　大于　正南　高　差　高　好　电子信息产业园区

[尝试解题](1)__C__(2)__A__

[判读方法]

判读时要注意三“读”：

一读极值：该区域地租的最大值、最小值。

结合图示，一般距市中心越近，地租越高，在等值线图中数值由内向外地租由高值中心向四周降低。

二读密度：等地租线的疏密变化。

等地租线越密集，说明地租变化越大；等地租线越稀疏，说明地租变化越小。如等值线图中东侧乙地等地租线相对密集，北部丙地等地租线相对稀疏。

三读凹凸：等地租线的弯曲变化及形成原因。

导致等地租线弯曲变化的主要因素是交通的通达度，交通通达度越高，地租越高，等地租线向外凸出，如等值线图中丁处；交通通达度越低，地租越低，等地租线向里凹，如等值线图中戊处。故等值线并不是规则的同心圆，而是出现一定的弯曲。

上面立体图中在城市环线与公路干线交会处出现地租次高峰。等值线图中的甲地受交通和环境状况等因素的影响，等值线出现闭合，即地租次高峰。

[应用体验]

(2020·广东实验中学测试)2017年中央经济工作会议，指出要促进房地产市场平稳健康发展，坚持“房子是用来住的，不是用来炒的”的定位，下图为江西省某城市房价等值线图。读图，回答(1)～(2)题。

(1)该城市各地点房价最大差值(元/平方米)可能是()

A．6

000　　B．5

000　　　C．4

000　　　D．3

000

(2)如果你的“房子是用来住的”，购房性价比最高的地点是()

A．M点

B．E点

C．F点

D．P点

审答流程

1．问题探究

(1)地租等值线的判读一般有何规律？

提示：一般地租等值线由市中心向外呈同心圆状分布，数值依次减小；若等值线由中心向外凸或内凹，说明此处地租高于或低于附近地区。

(2)城市中购房性价比的含义是什么？

提示：购房性价比指房子的居住舒适度与房屋价格的比值。

2．信息解读

提示：交汇　上游　低

[尝试解题](1)__B__(2)__A__

第四篇：2015年高考数学一轮复习优秀学案目录

目录

第一章 集合与常用逻辑用语 课时1集合与集合之间的关系 课时2集合的基本运算

课时3常用逻辑用语

第一章 检测试题

第二章不等式

课时4不等式的概念和性质 课时5基本不等式

课时6不等式的解法

课时7 线性规划

课时8 不等式的应用

第二章 检测试题

第三章 函数

课时9 函数的概念

课时10 函数的值域

课时11 函数的单调性

课时12 函数的奇偶性和周期性 课时13一次函数和二次函数 课时14 指数与对数运算

课时15 指数函数

课时16 对数函数

课时17 幂函数

课时18 函数的图像

课时19 函数与方程

课时20 函数的应用

第三章 检测试题

第四章 导数

课时21 导数的概念及运算 课时22 导数的应用

（一）课时23 导数的应用

（二）课时24 导数的综合应用

第四章 检测试题

第五章三角函数与解三角形 课时25 任意角

课时26 同角三角函数关系及诱导公式课时27 三角函数的图像和性质 课时28 三角恒等变换

课时29 正弦定理与余弦定理 课时30 解三角形实际举例

第五章 检测试题

第六章向量

课时31 向量的线性运算

课时32 向量的分解与坐标运算 课时33平面向量的数量积 课时34平面向量的应用举例第六章 检测试题第七章 数列 课时35 数列的概念与通项 课时36 等差数列 课时37 等比数列 课时38 等差数列与等比数列的综合 课时39 数列求和 第七章 检测试题 第八章 立体几何 课时40平面的基本性质与推论 课时41 空间中的平行关系 课时42 空间中的垂直关系 课时43 空间几何体的直观图与三视图 课时44 几何体的表面积与体积 第八章 检测试题 第九章解析几何 课时45 直线及其方程 课时46 直线与直线的位置关系 课时47 圆的方程 课时48 直线和圆的位置关系 课时49 椭圆的定义与标准方程 课时50 椭圆的几何性质 课时51 直线和椭圆的位置关系 课时52 双曲线 课时53 抛物线的定义和标准方程 课时54 抛物线的几何性质 课时55圆锥曲线的综合问题 第九章 检测试题 第十章 概率与统计 课时56 抽样与估计 课时57 事件 与概率 课时58 古典概型 课时59 几何概型 课时60 变量的相关系关系与统计案例 第十章 检测试题 第十一章算法框图、复数与推理证明课时61 程序框图与算法语句 课时62 复数 课时63 推理 课时64 证明 第十一章 检测试题

第五篇：第3课时　函数性质综合问题

第3课时　函数性质综合问题

第第3

课时

函数性质的综合问题

题型一

函数的单调性与奇偶性

例

例

(1)设

设

f(x)

是定义在R

上的偶函数，当

当

x0

时，f(x)

＝ln

x

＋e

x

.若

若

a

＝f（－)，b＝

＝f(log

3)，c

＝f(2－

0.2)，则

a，b，c的大小关系为（）

A

．bac

B

．cba

C

．abc

D

．acb

【答案】C

【解析】当

当

x0

时，f(x)

＝ln

x

＋e

x

为增函数，f(x)的图

像于

关于

y

轴对称，且在(－

－，0)上

上

是

减

少的，在(0，＋)上

上

是

增

加的，a

＝f（－)

＝f()，又

又

3log

312－

0.2

0，f()f(log

3)f(2－

0.2)，abc.(2)(2021

新高考全国

Ⅰ

改编)

若定义在R数

上的奇函数

f(x)

在(－

－，0)上

上

是

减

少的，且

且

f(2)

＝0，则满足

xf(x

－1)

0的的x的取值范围是（）

A

．[

－1,1]

[3，＋)

B

．[

－3，－1]

[0,1]

C．

．[

－1,0]

[1，＋)

D．

．[

－1,0]

[1,3]

【答案】D

【解析】数

因为函数

f(x)

为定义在R

上的奇函数，则

则

f(0)

＝0.又

又

f(x)

在(－

－，0)上

上

是

减

少且，且

f(2)

＝0，数

画出函数

f(x)的大致图

像

如图(1)

所示，数

则函数

f(x

－1)的大致图

像

如图(2)

所示．

当

当

x

0

时，要满足

xf(x

－1)

0，则

f(x－

－1)

0，得－1

x

0.当

当

x0

时，要满足

xf(x

－1)

0，则

f(x－

－1)

0，得

得

x

3.足

故满足

xf(x

－1)

0的的x的取值范围是[－

－1,0]

[1,3]

．

[

高考改编题]

若函数

f(x)

是定义域为

R的的奇函数，f(2)

＝0，且在(0，＋)上

上

是

增

加的足，则满足

f(x

－1)

0的的x的取值范围是______，满足

f（(x))x0的的x的取值范围是______

．

】

【答案】[

－1,1]

[3，＋)

（－2,0)

(0,2)

【解析】数

由函数

f(x)的性质，作出函数

f(x)的大致图

像

如图所示，∵

∵f(x

－1)

0，则－2

x

－1

0

或

或

x－

－1

2，解得－1

x

或

或

x

3.当

f（(x))x0

时，xf(x)0，即

f(x)的图

像

在二、四象限，即－2x0

或

或

0x2.思维升华

解决不等式问题，一定要充分利用已知条件，一是把已知不等式化成f(x

1)f(x

2)或

或

f(x

1)f(x

2)的形式，再利用单调性解不等式；二是利用函数的性质，画出

出

f(x)的图

像，利用图

像

解不等式．

练

跟踪训练

(1)

已知函数

f(x)

满足以下两：

个条件：

①意

任意

x

1，x

(0，＋)

且

x

x

2，(x

－

－x

2)[f(x

1)

－f(x

2)]0；；

②

对定义域内任意

意

x

有

有

f(x)

＋f（－x)

＝0，则符合条件的函数是（）

A

．f(x)

＝2x

B

．f(x)

＝1

－|x|

C

．f(x)

＝－x

D

．f(x)

＝ln(x

＋

＋3)

【答案】C

【解析】

由

①知

知

f(x)

在(0，＋)上

上

是

减

少的，由

②知

知

f(x)

为奇函数．

(2)

已知偶函数

f(x)

在区间[0，＋)上

上

是

增加的，则满足

f(2x

－1)f

è

èæ

æø

øö

ö13的的x的取值范围是________

．

【答案】

è

èæ

æø

øö

ö13，23

【解析】有

依题意有

f(x)

在[0，＋)上

上

是

增加的，在(－

－，0]上

上

是

减

少的，|2x－

－1|

13，即－

2x

－1

13，解得

x23

.题型二

函数的奇偶性与周期性

例

例

(1)(2021

德州联考)

已知定义在R上

上数的奇函数

f(x)

满足

f(x

＋2)

＝－f(x)，当0

x

时，f(x)

＝x

则，则

f(2

023)

等于（）

A

．2

019

B

．1

C

．0

D

．－1

【答案】D

【解析】数

根据题意，函数

f(x)

满足

f(x

＋2)＝－f(x)，则有

f(x

＋4)

＝－f(x

＋2)

＝f(x)，为

即函数是周期为

4的周期函数，则

f(2

023)＝

＝f（－1

＋2

024)

＝f（－1)，又函数

y

＝f(x)且

为奇函数，且

x

[0,1]，时，f(x)

＝x

则，则

f(－

－1)

＝－f(1)

＝－1，故

f(2

023)

＝－1.(2)(2021

济南模拟)

已知定义在R

上的奇数

函数

f(x)

满足

f(x

－4)

＝－f(x)，且在区间[0,2]上

上

是

增

加的，则（）

A

．f(2

019)

＝f(2

017)

B

．f(2

019)

＝f(2

020)

C

．f(2

020)f(2

019)

D

．f(2

020)f(2

018)

【答案】A

【解析】为

因为

f(x)

满足

f(x

－4)

＝－f(x)，以

所以

f(x

－8)

＝f(x)，以

所以

f(x)

是以

为周期的函数，则

f(2

017)＝

＝f(1)，f(2

018)

＝f(2)，由

而由

f(x

－4)

＝－f(x)得

得

f(2

019)

＝f(3)

＝－f（－3)

＝－f(1

－4)

＝f(1)，f(2

020)

＝f(4)＝

＝－

－f(0)

＝0，为

又因为

f(x)

在[0,2]上

上

是

增

加的，以

所以

f(2)f(1)f(0)

＝0，即

f(2

019)

＝f(2

017)，f(2

020)f(2

019)，f(2

020)f(2

018)．

．

思维升华

已知函数的周期性、奇偶性求函数值，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所有函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内，把未知区间上的函数性质转化为已知区间上的函数性质求解．

练

跟踪训练2

(1)

已知f(x)

是R

上的奇函数，且

且

f(x

＋2)

＝f(x)，则

f(2

020)

＋f(2

021)＝

＝________.【答案】0

【解析】意

依题意

f(x)

为奇函数，且周期为2，f(2

020)

＋f(2

021)

＝f(0)

＋f(1)，∵

∵f(x)

为奇函数，f(0)

＝0，且

f（－1)

＝－f(1)，①

①

为

又周期为

2，f（－1)

＝f(1)，②

②

由

①②得

解得

f(1)

＝f（－1)

＝0，f(2

020)

＋f(2

021)

＝0.(2)

已知

f(x)

是定义在R

上以

为周期的偶若

函数，若

f(1)1，f(5)

＝2a

－3，则实数

a的取值范围是________

．

【答案】(－

－，2)

【解析】∵

∵f(x)

为偶函数，且周期为

3，f(5)

＝f(5

－6)

＝f（－1)

＝f(1)，∵

∵f(1)1，f(5)

＝2a

－31，即

即

a2.题型三

函数的奇偶性与对称性

例

例

(1)

已知函数

f(x)

是定义域为

R的奇足

函数，且满足

f(4

－x)

＝－f(x)，则

f(x)的的周期为（）

A

．－4

B

．2

C

．4

D

．6

【答案】C

【解析】∵

∵f(4

－x)

＝－f(x)，f(x)的图

像

关于点(2,0)

对称，f（－x)

＝－f(x

＋4)，又∵

∵f（－x)

＝－f(x)，f(x

＋4)

＝f(x)

．

T

＝4.(2)

函数

y

＝f(x)

对任意

x

R

都有

f(x

＋2)＝

＝f（－x)

成立，且函数

y

＝f(x

－1)的图

像

关于点(1,0)

对称，f(1)

＝4，则

f(2

020)

＋f(2

021)

＋f(2

022)的值为________

．

【答案】4

【解析】数

因为函数

y

＝f(x

－1)的图

像

关于点

点(1,0)

对称，数

所以函数

y

＝f(x)的图

像

关于原点对称，即数

函数

f(x)是

是

R

上的奇函数，以

所以

f(x

＋2)

＝－f(x)，所以

f(x

＋4)

＝－f(x＋

＋2)

＝f(x)，故

f(x)的周期为

4.以

所以

f(2

021)

＝f(505

＋1)

＝f(1)

＝4，以

所以

f(2

020)

＋f(2

022)

＝f(2

020)

＋f(2

020

＋

＋2)

＝

＝f(2

020)

＋f（－2

020)

＝f(2

020)

－f(2

020)＝

＝0，以

所以

f(2

020)

＋f(2

021)

＋f(2

022)

＝4.思维升华

由函数的奇偶性和对称性求函数的性质，一种思路是按奇偶性、对称性的定义，可推导出周期性，二是可利用奇偶性、对称性画草图，利用图

像

判断周期性．

练

跟踪训练

函数

f(x)

满足

f(x

－1)

为奇函数，f(x

＋1)

为偶函数，则下列说法正确的是

是________

．（填序号)

①

①f(x)的周期为

8；

②

②f(x)

关于点（－1,0)

对称；

③

③f(x)

为偶函数；

④

④f(x

＋7)

为奇函数．

【答案】

①②④

【解析】∵

∵f(x

－1)

为奇函数，f(x

－1)的的图

像

关于(0,0)

对称，f(x)的图

像

关于点（－1,0)

对称，又

又

f(x

＋1)

为偶函数，f(x

＋1)的图

像线

关于直线

x

＝0

对称，f(x)的图

像线

关于直线

x

＝1

对称，f(x)的图

像

关于点（－1,0)

和直线

x

＝1

对

对称，f(x)的周期为

8，①②

正确，③

不正确．

∵

∵T

＝8，f(x

＋7)

＝f(x

－1)，又

又

f(x

－1)

为奇函数，f(x

＋7)，为奇函数，故

④

正确．

题型四

函数的周期性与对称性

例

例

已知

f(x)的定义域为

R，其函数图像线

关于直线

x

＝－3

对称，且

f(x

＋3)

＝f(x－

－3)，若当

x

[0,3]

时，f(x)

＝2

x

＋

＋1，则下列结论正确的是________

．（填序号)

①

①f(x)

为偶函数；

②

②f(x)

在[

－6，－3]上

上

是

减

少的；；

③

③f(x)

关于直线

x

＝3

对称；

④

④f(100)

＝5.【答案】

①③④

】

【解析】f(x)的图

像线

关于直线

x

＝－3，对称，则

则

f（－x)

＝f(x

－6)，又

又

f(x

＋3)

＝f(x

－3)，则

f(x)的周期

T

＝6，f（－x)

＝f(x

－6)

＝f(x)，f(x)

为偶函数，故

①

正确；

当

当

x

[0,3]

时，f(x)

＝2

x

＋

＋1

是

是

增

加的，∵

∵T

＝6，故

f(x)

在[

－6，－3]

上也

是

增

加的，故

②

不正确；

f(x)

关于直线

x

＝－3

对称且

T

＝6，f(x)

关于直线

x

＝3

对称，故

③

正确；

f(100)

＝f(16

＋4)

＝f(4)

＝f（－2)

＝f(2)＝

＝5，故

④

正确．

思维升华

函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性是函数的四大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性、对称性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．

练

跟踪训练

函数

f(x)

是定义域为

R的奇足

函数，满足

f(x

－4)

＝－f(x)，f(x

－4)

＝f(－

－x)，且当

x

[0,2]

时，f(x)

＝2

x

＋

＋log

x，则f（－80)，f（－25)，f(11)的大小关系为________

．

【答案】f（－25)f（－80)f(11)

【解析】

依题意，f(x)的周期为

8，且

f(x)是奇函数，其图

像于

关于

x

＝2

对称，当x

[0,2]

时，f(x)

是

是

增

加的，f(x)

在[

－2,2]上

上

是

增

加的，又

又

f（－80)

＝f(0)，f（－25)

＝f（－1)，f(11)＝

＝f(3)

＝f(1)，f（－1)f(0)f(1)

．

即

即

f（－25)f（－80)f(11)

．