2014高考必考问题9 等差、等比数列的基本问题 [五篇范例]

第一篇：2014高考必考问题9 等差、等比数列的基本问题

必考问题9 等差、等比数列的基本问题

1．(2012·辽宁)在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝()．

A．58B．88C．143D．176

2．(2012·新课标全国)已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝()．

A．7B．5C．－5D．－7

3．(2012·福建)等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公差为()．

A．1B．2C．3D．

44．(2012·浙江)设公比为q(q＞0)的等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则q＝________.3答案

1、B2、D3、B

42本部分在高考中常以选择题和填空题的形式出现，考查这两种数列的概念、基本性质、简单运算、通项公式、求和公式等，属于中档题；以解答题出现时，各省市的要求不太一样，有的考查等差、等比数列的通项公式与求和等知识，属于中档题；有的与函数、不等式、解析几何等知识结合考查，难度较大．

(1)深刻理解两种数列的基本概念和性质，熟练掌握常用的方法和技能；掌握等差数列

和等比数列的判定、证明方法，这类问题经常出现在以递推数列为背景的试题的第(1)问中．

(2)熟练掌握等差数列和等比数列的性质，并会灵活应用，这是迅速、准确地进行计算的关键

.必备知识

等差数列的有关公式与性质

na1＋annn－1＝na1＋d.2

2(4)2an＝an－1＋an＋1(n∈N*，n≥2)．(5)①an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)；

②若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)；

③等差数列{an}的前n项和为Sn，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，„成等差数列． 等比数列的有关公式与性质

an＋1a11－qna1－anq*n－1(1)q(n∈N，q为非零常数)．(2)an＝a1q.(3)Sn＝(q≠1)． an1－q1－q

*(4)a2n＝an－1an＋1(n∈N，n≥2)．

－(5)①an＝amqnm；②若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq；

③等比数列{an}(公比q≠－1)的前n项和为Sn，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，„也成等比数列．

必备方法

1．运用方程的思想解等差(比)数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量a1、d(或q)，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算．

2．深刻理解等差(比)数列的定义，能正确使用定义和等差(比)数列的性质是学好本章的关键．解题时应从基础处着笔，首先要熟练掌握这两种基本数列的相关性质及公式，然后要熟悉它们的变形使用，善用技巧，减少运算量，既准又快地解决问题．

3．等差、等比数列的判定与证明方法：

an＋1(1)定义法：an＋1－an＝d(d为常数)⇔{an}＝q(q为非零常数)⇔{an}是等an

比数列；

(2)利用中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列；a2an＋2(n∈N*)⇔{an}n＋1＝an·(1)an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．(2)an＝a1＋(n－1)d.(3)Sn＝

是等比数列(注意等比数列的an≠0，q≠0)；

(3)通项公式法：an＝pn＋q(p，q为常数)⇔{an}是等差数列；an＝cqn(c，q为非零常数)

⇔{an}是等比数列；

(4)前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{an}是等差数列；Sn＝mqn－m(m为常

数，q≠0)⇔{an}是等比数列；

(5)若判断一个数列既不是等差数列又不是等比数列，只需用a1，a2，a3验证即可．

等差比数列的基本运算

等差数列和等比数列在公式和性质上有许多相似性，是高考必考内容，着重考查等差、等比数列的基本运算、基本技能和基本思想方法，题型不仅有选择题、填空题、还有解答题，题目难度中等．

【例1】►(2011·江西)已知两个等比数列{an}、{bn}满足a1＝a(a>0)，b1－a1＝1，b2－a

2＝2，b3－a3＝3.(1)若a＝1，求数列{an}的通项公式；(2)若数列{an}唯一，求a的值．

1－－（1）{an}的通项公式为an＝(2＋2)n1或an＝(22)n1.（2）a＝.3关于等差(等比)数列的基本运算，一般通过其通项公式和前n项和公式构造

关于a1和d(或q)的方程或方程组解决，如果在求解过程中能够灵活运用等差(等比)数列的性质，不仅可以快速获解，而且有助于加深对等差(等比)数列问题的认识．

【突破训练1】(2011·广东改编)等差数列{an}前9项的和等于前4项的和．若a1＝1，ak＋a4＝0，则k＝(A)．

A．10B．12C．15D．20

等差、等比数列的判断与证明

高考对该内容的考查主要是等差、等比数列的定义，常与递推数列相结合考查．常作为

数列解答题的第一问，为求数列的通项公式做准备，属于中档题．

【例2】► 设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.(1)设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列；

－(2)求数列{an}的通项公式．an＝(3n－1)·2n

2.判断一个数列是等差数列或等比数列的首选方法是根据定义去判断，其次是

由等差中项或等比中项的性质去判断．

【突破训练2】 在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.a(1)设bn＝－.证明：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}的前n项和Sn.Sn＝(n－1)2n＋2

1.等差数列与等比数列的综合应用

从近几年的考题看，对于等差与等比数列的综合考查也频频出现．考查的目的在于测试

考生灵活运用知识的能力，这个“灵活”就集中在“转化”的水平上．

【例3】►(2012·石家庄二模)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，S1、2S2、3S

3成等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；an2()

13n1(2)数列{bn－an}是首项为－6，公

1差为2的等差数列，求数列{bn}的前n项和．－－＋n2－7n＋

3.3

(1)在等差数列与等比数列的综合问题中，特别要注意它们的区别，避免用错

公式．(2)方程思想的应用往往是破题的关键．

【突破训练3】 数列{an}为等差数列，an为正整数，其前n项和为Sn，数列{bn}为等比

数列，且a1＝3，b1＝1，数列{ban}是公比为64的等比数列，b2S2＝64.1113－(1)求an，bn；an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝8n1.(2)求证：＜.S1S2Sn

4递推数列及其应用

递推数列问题一直是高考命题的特点，递推数列在求数列的通项、求和及其它应用中往往起至关重要的纽带作用，是解决后面问题的基础和台阶，此类题目需根据不同的题设条件，抓住数列递推关系式的特点，选择恰当的求解方法．

【示例】►(2011·湖北)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a1＝a(a≠0)，an＋1＝rSn(n*∈N，r∈R，r≠－1)．(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若存在k∈N*，使得Sk＋1，Sk，Sk＋2成等差数列，试判断：对于任意的m∈N*，且m≥2，am＋1，am，am＋2是否成等差数列，并证明你的结论．

[满分解答](1)由已知an＋1＝rSn，可得an＋2＝rSn＋1，两式相减，得an＋2－an＋1＝r(Sn＋1－Sn)＝ran＋1，即an＋2＝(r＋1)an＋1.(2分)

又a2＝ra1＝ra，所以，当r＝0时，数列{an}为：a,0，„，0，„；(3分)

当r≠0，r≠－1时，由已知a≠0，所以an≠0(n∈N*)，an＋2于是由an＋2＝(r＋1)an＋1，可得r＋1(n∈N*)，an＋

1∴a2，a3，„，an，„成等比数列，－∴当n≥2时，an＝r(r＋1)n2a.(5分)

a，n＝1，综上，数列{an}的通项公式为an＝(6分)n－2rr＋1a，a≥2.

(2)对于任意的m∈N*，且m≥2，am＋1，am，am＋2成等差数列，证明如下：

a，n＝1，当r＝0时，由(1)知，an＝ 0，n≥2.

∴对于任意的m∈N*，且m≥2，am＋1，am，am＋2成等差数列．(8分)

当r≠0，r≠－1时，∵Sk＋2＝Sk＋ak＋1＋ak＋2，Sk＋1＝Sk＋ak＋1，若存在k∈N*，使得Sk＋1，Sk，Sk＋2成等差数列，则Sk＋1＋Sk＋2＝2Sk，∴2Sk＋2ak＋1＋ak＋2＝2Sk，即ak＋2＝－2ak＋1.(10分)

由(1)知，a2，a3，„，am，„的公比r＋1＝－2，于是对于任意的m∈N*，且m≥2，am＋1＝－2am，从而am＋2＝4am，∴am＋1＋am＋2＝2am，即am＋1，am，am＋2成等差数列．(12分)

综上，对于任意的m∈N*，且m≥2，am＋1，am，am＋2成等差数列．(13分)

老师叮咛：本题是以an和Sn为先导的综合问题，主要考查等差、等比数列的基础知识以及处理递推关系式的一般方法．失分的原因有：第(1)问中漏掉r＝0的情况，导致结论写

－为an＝r(r＋1)n2a；第(2)问中有的考生也漏掉r＝0的情况，很多考生不知将Sk＋1＋Sk＋2＝2Sk

转化为ak＋1与ak＋2的关系式，从而证明受阻．

【试一试】(2012·四川)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a2an＝S2＋Sn对一切正整数n都成立．(1)求a1，a2的值；(2)设a1＞0，数列{lg10a1的前n项和为Tn.当n为何值时，Tnan

最大？并求出Tn的最大值．

解(1)取n＝1，得a2a1＝S2＋S1＝2a1＋a2，①

取n＝2，得a22＝2a1＋2a2，②

由②－①，得a2(a2－a1)＝a2，③

(i)若a2＝0，由①知a1＝0，(ii)若a2≠0，由③知a2－a1＝1.④

由①、④解得，a1＝2＋1，a2＝22；或a1＝12，a2＝2－2.综上可知a1＝0，a2＝0；或a12＋1，a2＝＋2；或a1＝1－2，a2＝22.(2)当a1＞0时，由(1)知a1＝＋1，a2＋2.当n≥2时，有(2＋2)an＝S2＋Sn，(22)an－1＝S2＋Sn－1，所以(12)an＝(22)an－1，即an＝2an－1(n≥2)，－－所以an＝a12)n1＝(2＋2)n1.10a11100－令bn＝lg，则bn＝1－lg(2)n1＝1－(n－1)lg 2－ an22

21所以数列{bn}是单调递减的等差数列(公差为－lg 2)，2

10从而b1＞b2＞„＞b7＝lg＞lg 1＝0，8

11001当n≥8时，bn≤b8＝0，21282

故n＝7时，Tn取得最大值，且Tn的最大值为

7b1＋b771＋1－3lg 221T7＝7－lg 2.222

训练9 等差、等比数列的基本问题

(时间：45分钟 满分：75分)

一、选择题(每小题5分，共25分)

1．若{an}为等差数列，Sn是前n项和，a1＝1，S3＝9，则该数列的公差d为()．

A．1B．2C．3D．

42．(2012·泰安二模)等比数列{an}中，a4a5＝1，a8a9＝16，则a6a7等于()．

A．16B．±4C．－4D．4

3．(2012·安徽)公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则log2a10＝()．

A．4B．5C．6D．7

4．(2012·日照一模)数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则a6＝()．

A．3×44＋1B．3×44C．44D．44＋

12225．在数列{an}中，对任意n∈N*，a1＋a2＋a3＋„＋an＝3n－1，则a1＋a22＋a3＋„＋an等于

11A．(3n－1)2B.(9n－1)C．9n－1(3n－1)24

二、填空题(每小题5分，共15分)

16．等比数列{an}中，已知a1＋a2＝a3＋a4＝1，则a7＋a8的值为________．

27．(2012·济南二模)在等比数列{an}中，an＞0(n∈N*)，且a6－a4＝24，a3a5＝64，则{an}的前6项和是________．

8．将全体正整数排成一个三角形数阵：

3456

78910121314 1

5„„„„„„

根据以上排列规律，数阵中第n(n≥3)行从左至右的第3个数是________．

三、解答题(本题共3小题，共35分)

an＋an＋19．(11分)已知数列{an}满足，a1＝1，a2＝2，an＋2＝n∈N*.2

(1)令bn＝an＋1－an，证明：{bn}是等比数列；(2)求{an}的通项公式．

1110．(12分)(2011·新课标全国)已知等比数列{an}中，a1＝q＝.33

1－an(1)Sn为{an}的前n项和，证明：Sn 2

(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋„＋log3an，求数列{bn}的通项公式．

11．(12分)(2012·陕西)设{an}是公比不为1的等比数列，其前n项和为Sn，且a5，a3，a4成等差数列．(1)求数列{an}的公比；(2)证明：对任意k∈N＋，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差数列．

第二篇：等差、等比数列问题

等差等比数列问题

一、等差数列、等比数列基本数列问题

1．等差数列an，s636，sn6144，sn324，求n的值

1）an2an11；2）an2an1n1；3）an2an1n2n1； 4）an2an12n；5）an2an13n

1）sn2an1；2）sn22n1n1；3）sn2an1n2n1； 4）sn2an12n；5）sn2an13n 2．已知数列，aan满足：a＝m（m为正整数）

anA7n5

2．已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为An,Bn，且n，则使得为整数

bnn3Bn的的正整数n个数为：

3．已知等差数列an，a1a3a5a9936，公差d2，求s100的值。

4、已知等差数列an的第2项为8，前10项和为185。1）求an的通项公式；2）若数列依次取出a2,a4,a8,,a2n

n1

an中

an当a为偶数时

n，若a6＝1，则m所有2

当an为奇数时3an1

得到新数列bn，求数列bn的通项公式。

可能的取值为

四、数列与其它

1.已知数列an的通项公式annnN，则数列an的前30项中，最大项和最小项分别

n是

2．已知数列an是递增数列，且ann2n，则实数3.（Ⅰ）设

4．设等比数列an的公比为q（q>0），它的前n项和为40，前2n项和为3280，且前前n项中数值最大的项为27，求数列的第前2n项。

5．已知数列an的首项为23，公差为整数，且前6项为正，从第7项起为负数，求Sn的最大值。

范围是

an为正整数，6．数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，数列{bn}为等比数列，且a1

数列{ban}是公比为64的等比数列，b2S264.（1）求an,bn；（2）求证1113.S1S2Sn

4二、数列思想问题

1．数列an的前n项和Sn，又bn2．求和sn

3,b11，a1,a2,,an是各项均不为零的等差数列（n4），且公差d0，若将此数列删

a1的数值；②求n的所有可d

去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列：①当n =4时，求

能值；

（Ⅱ）求证：对于一个给定的正整数n(n≥4)，存在一个各项及公差都不为零的等差数列

an

b1,b2,,bn，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列．，求bn的前n项和

123n23n aaaa

3．等差数列an和等比bn，求数列anbn的前n项和 4．111

1*2

2*3

3*4

n1n 1213243



n*n11*22*33*4n*n15．已知数列an满足a12a23a3nannn1，求数列an的通项公式

三、复合数列问题

1、已知数列an满足下列条件，且a11，求数列an的通项公式

第三篇：(经典整理)等差、等比数列的性质

等差、等比数列的性质

一：考试要求

1、理解数列的概念、2、了解数列通项公式的意义

3、了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项 二:知识归纳

（一）主要知识：

有关等差、等比数列的结论 1．等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm,S2mSm,S3mS2m,仍为等差数列．

2．等差数列{an}中，若mnpq，则amanapaq 3．等比数列{an}中，若mnpq，则amanapaq

4．等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm,S2mSm,S3mS2m,仍为等比数列．

5．两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{anbn}仍为等差数列．

an1

6．两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数的数列{anbn}、、仍为等比数

bnbn

列．

（二）主要方法：

1．解决等差数列和等比数列的问题时，通常考虑两类方法：①基本量法：即运用条件转化为关于a1和d(q)的方程；②巧妙运用等差数列和等比数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．

2．深刻领会两类数列的性质，弄清通项和前n项和公式的内在联系是解题的关键．

三：例题诠释，举一反三

例题1(2011佛山)在等差数列{an}中，a1＋2a8＋a15＝96，则2a9－a10＝()A．24B．22C．20D．－8

变式1：(2011广雅)已知数列{an}为等差数列且a1＋a7＋a13＝4π，则tan(a2＋a12)的值为()A

3变式2：（2011重庆理11）在等差数列{an}中，a3a737，则a2a4a6a8

________

B3

A3

3A3

例题2 等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为()

A．130B．170C．210D．260

变式1:（2011高考创新）等差数列{an}的通项公式是an=1-2n,其前n项和为Sn,则数列{的前11项和为（）

A.-45B.-50C.-55D.-66 变式2：（2011高考创新）等差数列{an}中有两项am和ak满足am=

Snn

}

1k,ak=

1m,则该数列前mk

项之和是.例题3(1)已知等比数列{an}，a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，则an＝________.(2)已知数列{an}是等比数列，且Sm＝10，S2m＝30，则S3m＝________(m∈N*)．(3)在等比数列{an}中，公比q＝2，前99项的和S99＝56，则a3＋a6＋a9＋…＋a99＝_______.变式1：(2011佛山)在等比数列{an}中，若a3·a5·a7·a9·a11＝32，则

a9

a1

1的值为()

A．4B．2C．－2D．－

4变式2（2011湛江）等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2an－1＝128，前n项的和Sn＝126，求n和公比q.变式3（2011广州调研）等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2=6，S4=30，则S6.1

例题4 已知数列{an}，an∈N*，Sn＝(an＋2)2.8(1)求证：{an}是等差数列；

(2)若bn＝n－30，求数列{bn}的前n项和的最小值．

变式1已知数列{an}中，a1

3

5，an

2

1an1

(n2,nN

)，数列{bn}满足bn



1an1

(nN

)

（1）求证：数列{bn}是等差数列；

（2）求数列{an}中的最大值和最小值，并说明理由

变式2设等差数列an的前n项和为sn，已知a324,s110，求： ①数列an的通项公式②当n为何值时，sn最大，最大值为多少？

变式3(2011·汕头模拟)已知数列{an}中，a1＝，数列an＝2－，(n≥2，n∈N*)，数列an-1{bn}满足bn＝

(n∈N*)．an-1

(1)求证数列{bn}是等差数列；

(2)求数列{an}中的最大项与最小项，并说明理由．

32a例题5(2008·陕西)(文)已知数列{an}的首项a1＝，an+1=n∈N*an+11

(1)求证数列－1}是等比数列；

ann

(2)求数列{前n项的和

an

变式1 在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*.(1)证明数列{an－n}是等比数列；(2)求数列{an}的前n项和Sn；(3)求证对任意n∈N*都有Sn＋1≤4Sn

变式2设{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，且cn＝an＋bn，证明数列{cn}不是等比数列．

变式3.在数列an中，a11,an12an2（1）设bn

n

an

2n1,证明bn是等差数列;（2）

求数列an的前n项和Sn。

当堂讲练： 1．（1）若一个等差数列前3项的和为34，最后三项的和为146，且所有项的和为390,则这个数列有项；

（2）已知数列{an}是等比数列,且an>0,nN,a3a52a4a6a5a781，则

a4a6

*

（3）等差数列前m项和是30，前2m项和是100，则它的前3m项和是．

2．若数列{an}成等差数列，且Smn,Snm(mn)，求Snm．

3．等差数列{an}中共有奇数项，且此数列中的奇数项之和为77，偶数项之和为66，a11，求其项数和中间项.4．若数列{an}（nN*）是等差数列，则有数列bn

a1a2an

n

（nN*）也为

等差数列，类比上述性质，相应地：若数列{cn}是等比数列，且cn>0（nN*），则有

d

n

nN*）也是等比数列．

5．设Sn和Tn分别为两个等差数列的前n项和，若对任意nN，都有则第一个数列的第11项与第二个数列的第11项的比是．说明：

anbn

S2n1T2n1

*

SnTn



7n14n27，．

四：课后练习

1基础部分

1已知各项均为正数的等差数列an中，a1a1136，则a6的最小值为（）

A、4B、5C、6D、7

2.已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（）

A.3B.4C.5D.23.等差数列{an}中，a13a8a15120,则2a9a10

（）

A．24 B．22 C．20 D．-8

4{an}是等差数列，a1>0，a2009＋a2010>0，a2009·a2010<0，使前n项和Sn>0成立的最大自然数n是（）A．4019B．4018C．4017D．4016

5.在等差数列{an}中,前n项和为Sn,若a75,S721,那么S10等于（）

A．55 B．40 C．35 D．70

6.(2009山东卷文)在等差数列{an}中,a37,a5a26,则a6____________.7设Sn是等差数列an的前n项和，已知S636,Sn324,Sn6144,则n=__________.S2007

S2005200

52

aSa20088在等差数列n中，1，其前n项的和为n．若2007

S2008_________，则

2提高部分

1、（2010惠州 第三次调研理 4）等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2a8a1130，那

么S13值的是（）A．130

B．6

5C．70D．以上都不对

2．（2010揭阳市一模 理4）数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1,a3,a7为等比数列{bn}的连续三项，则数列{bn}的公比为

A

B．4C．2D．

3、(2009安徽卷文 2）已知{an}为等差数列，于A.-1

12，则

B.1C.3D.7

等

4.（2009江西卷文）公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn.若a4是a3与a7的等比中项, S832,则S10等于

A.18B.24C.60D.90

5．（2011佛山一检）在等差数列an中，首项a10,公差d0，若

aka1a2a3a7，则k()

A．22 B．23 C．24D．25

6.（2010全国卷1文）（4）已知各项均为正数的等比数列{an}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则

aaa=

(A)

7.（2010湖北文）7.已知等比数列{am}中，各项都是正数，且a1，则

a9a10a7

a8

A.1

a3,2a2成等差数列，B.1

C.3

D3

8（2010福建理）3．设等差数列an的前n项和为Sn,若a111,a4a66,则当Sn取最小值时,n等于

A．6

B．7

C．8

D．9

9.（广东省佛山市顺德区2010年4月普通高中毕业班质量检测试题理科）在等比数列{an}中，若a1a2a32，a2a3a416, 则公比q10．（2010年3月广东省广州市高三一模数学理科试题）在等比数列an中，a11，公比

q2，若an前n项和Sn127，则n的值为．

11．(2010年3月广东省深圳市高三年级第一次调研考试理科)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S981，则a2a5a8．

12．若Sn和Tn分别表示数列{an}和{bn}的前n项和，对任意自然数n，有an

2n32

*，（1）求数列{bn}的通项公式；（2）设集合A{x|x2an,nN}，4Tn12Sn13n，B{y|y4bn,nN}．若等差数列{cn}任一项cnAB,c1是AB中的最大数，且

*

265c10125，求{cn}的通项公式．

第四篇：等差、等比数列性质类比

等差、等比数列知识点

一、等差数列：

1.等差数列的证明方法：1.定义法：2．等差中项：对于数列则{an}为等差数列。2.等差数列的通项公式：

an，若2an1anan

2ana1(n1)d------该公式整理后是关于n的一次函数

Sn

n(a1an)n(n1)

2Snna1dSAnBn n223.等差数列的前n项和 1．2.3.abA

2或2Aab 4.等差中项: 如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。即：

5.等差数列的性质:（1）等差数列任意两项间的关系：如果

an是等差数列的第n项，am是等差

aam(nm)d

数列的第m项，且mn，公差为d，则有n

（2）.对于等差数列

an，若m+n=p+q，则am+an=ap+aq。

*SSSSk，S3kS2kakNnn（3）若数列是等差数列，是其前n项的和，那么k，2k

S3k

a1a2a3akak1a2ka2k1a3k

成等差数列。如下图所示：

（4）．设数列

SkS2kSkS3kS2k

an是等差数列，S奇是奇数项的和，S偶是偶数项项的和，Sn是前n项的和，S偶S奇

S奇nn1dSSa偶中，S偶n.2，○2当n为奇数时，则奇

则有如下性质： ○1当n为偶数时，二、等比数列：

1.等比数列的判定方法:①定义法若数列。

an

1q(q0)an

2an是等比aaann2n1，则数列②等比中项：若

n1

aaaqqann12.等比数列的通项公式:如果等比数列的首项是1，公比是，则等比数列的通项为。

3.等比数列的前n项和:○1

Sn

a1(1qn)

(q1)

1q

○

2Sn

a1anq

(q1)

1q

○3当

q1时，Snna1 ab。

4.等比中项:如果使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。那么G5.等比数列的性质:

（1）．等比数列任意两项间的关系：如果

an是等比数列的第n项，am是等差数列的第m项，且mn，qanamqnm

公比为，则有

（2）对于等比数列an，若nmuv，则anamauav也就是：a1ana2an1a3an2。

（3）．若数列an是等比数列，Sn是其前n项的和，kN*，那么Sk，S2kSk，S3kS2k成等比数

S3ka1a2a3akak1a2ka2k1a3k

列。如下图所示：SkS2kSkS3kS2k

基础练习

一、选择题：

1．已知｛an｝为等差数列，a2+a8=12,则a5等于（）

(A)4(B)5(C)6(D)7

2．设｛an｝是公比为正数的等比数列，若a11,a5=16,则数列｛an｝前7项的和为（）

A.63B.64C.127D.128

3.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S39，S636，则a7a8a9（）

A．63B．45C．36D．274、设等比数列{an}的公比q2，前n项和为SS

4n，则a（）

A.2B.4 C.15D.17

25.某种细菌在培养过程中,每20分钟分裂一次(一个分裂为两个).经过3个小时,这种细菌由1个可繁殖成-（A.511个B.512个C.1023个D.1024个

6．已知等差数列｛an｝中，a2=6, a5=15.若bn=a2n,则数列｛bn｝的前5项和等于（）

(A)30（B）45(C)90(D)186

7．已知数列an*

对任意的p，qN满足apqapaq，且a26，那么a10等于（）

A．165B．33C．30D．2

18．设{an}是等差数列，若a23,a713，则数列{an}前8项和为（）

Ａ．128Ｂ．80Ｃ．64Ｄ．56

9．设｛an｝是公比为正数的等比数列，若a1＝1,a5=16,则数列｛an｝前7项的和为（）

A.63B.64C.127D.128

10．记等差数列an的前n项和为Sn，若S24，S420，则该数列的公差d=（）

A．7B.6C.3D.2

11．记等差数列an的前n项和为Sn，若a11

2，S420，则S6()

A．16B.24C.36D.48

a2,aa1

1n1nln

12．在数列an中，1n，则an＝（）

2)

A．2lnnB．

二、填空题：

1．等差数列{an}中，a5=24，S5=70，则S10=___

2．等比数列{an}的前n项和为Sn=32n1lnnC．2nlnnD．1nlnn +t，则t=________

3．等比数列{an}中，an>0，a2·a4+2a3·a5+a4·a6=25，则a3+a5=_______

4．设{an}中，an=20－4n，则这个数列前__或____项和最大。

5．已知：两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为An和Bn，且An3n1 n

Bn2n

3求：（1）a15b15=_________（2）an=___________ bn

6.等差数列{an}的公差d1，且前100项和S100=100,则a1+a3 +a5+…a99=__

27．在[1000，2000]内能被3整除且被4除余1的整数个数是________________

8．在数列{an}在中，an4n52*2，a1a2ananbn，nN,其中a,b为常数，则ab

52an4n{a}aaaanbn，nN*,其中a,b为常数，则2n2，19．在数列n在中，linanbnanbn的值是_____________

10．已知{an}为等差数列，a3 + a8 = 22，a6 = 7，则a5 = ____

三、解答题：

1．已知数列

n项和

11111S与SSS与S43453a设Snn345342.是等差数列的前n项和，已知的等比中项为，的等差中项为1，{an}是一个等差数列，且a21，a55。（1）求{an}的通项an；（2）求{an}前Sn的最大值。

求数列

an的通项．

3.等差数列{an}的前n

项和为Sn，a11S39求数列{an}的通项an与前n项和Sn；

4.等差数列an中，a410且a3，a6，a10成等比数列，求数列an前20项的和S20．

第五篇：等差等比数列的证明

专题：等差（等比）数列的证明

1.已知数列{a}中，anan15且2an12n1（n2且nN*）.an1（Ⅰ）证明：数列2n为等差数列；（Ⅱ）求数列{an}的前n

项和S.n

2.已知数列{a}中，an12且an1an2n30（n2且nN*）.证明：数列an2n为等差数列；

3.已知数列{a}中，an14且2an1an2n50（n2且nN*）.证明：数列an2n1为等比数列；

4．数列{an}满足a12,a25,an23an12an.（1）求证：数列{an1an}是等比数列；（2）求数列{an}的通项公式；

5.已知各项均为正数的数列an前n项和为

1a且n是和S2Sn，首项为a1，n的等差中项.求数列a的通项公式； n

6.已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的n∈N*有an＋Sn＝

n.(1)设bn＝an－1，求证：数列{bn}是等比数列； 7.设数列an的各项都是正数，且对任意

nN*，都有

aaaaS

为数列的前n项和.3132333n2n，其中S

n

（I）求证：

a2Snan;

n

（II）求数列an的通项公式；

8.数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)，a(1)设bn＝an＋1－2an，求证：{bn}是等比数列；（2）.证明数列{n－2}

是等差数列

(3)设cn＝

9.已知正项数列{an}的前n项和Sn满足 2Sn＝an＋1.求证：{an}是等差数列．

10.设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，a{cn}是等比数列． 3n－1

Sn*

an＝2(n－1)(n∈N)．

n

(1)

求证：数列{an}为等差数列,并求{an}的通项公式；

(2)求数列{的前n项和Tn，an·an+1

11.设Sn是数列{an}（nN*）的前n项和，已知a14，an1Sn3n，设bnSn3n.（Ⅰ）证明：数列{bn}是等比数列，并求数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）令cn

12.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1，an＋2SnSn1＝0(n2)． 问：数列{1是否为等差数列？并证明你的结论；

Sn

2log2bn

n

2，求数列{cn}的前n项和Tn.bn

13.已知等差数列{an}的公差大于0，且a3，a5是方程x214x450的两根，数列{bn}的前n项的和为Sn，且Sn=

an·bn。求数列{an}，{bn}的通项公式；

1bn

(n∈N*),Cn=

14.已知数列{an}与{bn}满足

n1

3＋－1

bn＋1an＋bnan＋1＝(－2)n＋1，bn＝n∈N*，且a1＝2.－

设cn＝a2n＋1－a2n－1，n∈N*，证明{cn}是等比数列

15.已知在正项数列{an}中，a1＝2，点An(an，an＋1)在双曲线y－x＝1上，数列{bn}中，点(bn，Tn)在直线y＝－x＋1上，其

中Tn是数列{bn}的前n项和．

(1)求数列{an}的通项公式；(2)求证：数列{bn}是等比数列；