热力学统计物理试题

第一篇：热力学统计物理试题

热力学·统计物理试题

适用于200×级本科物理学专业

(200×-200×学年度第×学期)

1.(10分)证明范氏气体的定容热容量只是温度的函数,与比容无关.2.(20分)

dL

dT试证明，相变潜热随温度的变化率为 vTTLcp-cpvpTL vvp

如果相是气相，相是凝聚相，试证明上式可简化为：

dL

dTcpcp 

3．(10分)若将U看作独立变数T, V, n1,… nk的函数，试证明：

（1）U

iniUniVUV

（2）uiUniviUV

4．（20分）试证明，对于遵从玻尔兹曼分布的系统，熵函数可以表示为

SNkPslnPs

s

式中Ps是总粒子处于量子态s的概率，Ps

和。

esNesZ1,s对粒子的所有量子态求

5．（20分）铁磁体中的自旋波也是一种准粒子,遵从玻色分布,色散关系是Ak.试证明在低温下,这种准粒子的激发所导致的热容与T

3/22成正比.6．（20分）在极端相对论情形下电子能量与动量的关系为cp,其中c为光速.试求自由电子气体在0K时的费米能量,内能和简并压.附标准答案

1.解证：范氏气体p2vbRT

(10分)v

RaUp

由式(2.2.7)  p2=T-p=T(5分)vbvvTTVaaU=2U(T,v)U0f(T)

vvTv

a

U

CV=f(T)；与v无关。(5分)

TV

2．(20分)证明：显然属于一级相变;LT(SS);其中SST,p(T)，在p～T相平衡曲线上.dLdT

S



S



SdpS

TT

TpdT



SS

其中：

TT

SPT

 P

dp](5分)dTP

SSdp

[TpdTS

PT

S

又有：CPTS)；LT(S

TP

由麦氏关系(2.2.4): 

SV

（5分）

TPpT

上几式联立(并将一级相变的克拉伯珑方程代入)得：

dLdT

cp-cp





v

TT

L

v

pT



L(5分)vvp



～0； p

若相是气相，相是凝聚相；V



V

～0；T



相按理想气体处理。pV=RT



dLdT

cp



cp



(5分)

3．（10分）证明：（1）U(T,V,n1,nk)U(T,V,n1,nk)

根据欧勒定理，xiff，可得

i

xi

U



i

ni

UniUnivi

V

UVUV

(5分)

（2）U



i

ni

V



i

ni（Uni

vi

UV)

nu

ii

i

ui

Uni

U

(5分)V

4．（20分）证明：出现某状态s几率为Ps

设S1,S2,……Sk状态对应的能级s

设Sk+1 ,Sk+2,……Sw状态对应的能级s

类似………………………………

则出现某微观状态的几率可作如下计算：根据玻尔兹曼统计 PS显然NPs代表粒子处于某量子态S下的几率，NPSe

S

e

s

N；

。于是e

S

代表

SK

S

处于S状态下的粒子数。例如，对于s能级e

SS1

个粒子在s上的K个微

观状态的概率为： PSPS

粒子数

P

Sk

se



SSS1





类似写出：PSP

Sk

se



SSS1





(5分)

………………………………………………等等。

于是N个粒子出现某一微观状态的概率。

P

PS

SS

S

P

Sk

se



SSS1





P

Sk

se



SSS1





一微观状态数

1P，（基于等概率原理）

(5分)

Skln

Skln

kW（5分）SSeePPSSSSK1SS1



S

S

SK

S

kelnPS

S1



e

SK1

SW

S

lnP

S

S







将NPSe

S

带入SkNPSlnPS(5分)

5．（20分）证明: 在体积V中,ω到ω+ dω的频率范围内准粒子的量子态数为

4Vh

1/2

g()dpdpBd,（5分）

推导上式时,用到关系pk.这里B为常数.由于准粒子数不守恒,玻色分布中的0.系统的内能为

m

E0

e



1

g()dB0

m

e



3/2

1

d,（5分）

考虑到态密度在高频时发散,需引入截止频率可令

m

.但在低温下1,在积分中

m

.设x,则有

ECT

5/2



0

x

x

3/2

e1

3/2

dxT

5/2,（5分）

ECVT

TV

其中,C为常数.易得

.（5分）

6．（20分）在极端相对论情形下电子能量与动量的关系为cp,其中c为光速.试求自由电子气体在0K时的费米能量,内能和简并压.解: 在体积V中, 到 + d 的能量范围内电子的量子态数为

8Vh

g()dpdp

8Vhc

d

.（5分）

1,0f

0,0.绝对零度时,费米函数为

0

总电子数满足

Nfg()d

8Vhc

d

1/3

8V3hc

0,可求出费米能量

0

3N

8V

hc

.（5分）8Vhc

0

电子气的内能

Efg()d

d

8V4hc

0

N0

.（5分）

气体的简并压

pd

E3V



N4V

0

.（5分）

第二篇：热力学与统计物理试题

1吉布斯相律的公式为()

(A)f =k+3+f(B)f =k+2-f(C)f =f+3-k(D)f =f+2+k

2关于一级相变和二级相变()

（A）一级相变有相变潜热，二级相变无相变潜热

（B）一级相变无相变潜热，二级相变有相变潜热

（C）两种相变都有相变潜热

（D）两种相变都无相变潜热

三、证明题

1证明理想气体的内能与体积无关.2证明在S,V不变的情况下,平衡态的U最小.四 计算题将质量相同而温度分别为T1和T2的两杯水在等压下绝热地混合，求熵变 2在三相点附近，固态氨的蒸气压（单位为）方程为：

液态氨的蒸气压方程为：

试求氨三相点的温度和压强，氨的汽化热、升华热及在三相点的熔解热

二、简答题

1写出宏观状态下, 玻尔兹曼系统, Bose系统, Fermi 系统的微观状态数目。2 等概率原理

三、计算题

1:试求绝对零度下电子气体中电子的平均速率。

2:试给出固体热容量的爱因斯坦理论

四、证明题根据玻尔兹曼系统的微观状态数用最可几法导出玻尔兹曼系统的最概然分布。

第三篇：热力学统计物理试题(B卷)

热力学·统计物理试题（B卷）

适用于200×级本科物理学专业

(200×-200×学第×学期)

6．（20分）在极端相对论情形下电子能量与动量的关系为cp,其中c为光速.试求自由电子气体在0K时的费米能量,内能和简并压.附标准答案

1.(10分)解证：范氏气体p

a

vbRT 2v

由式(2.2.7) 

RaUp

p2(5分)=T-p=T

vbvvTTV

aaU

=2U(T,v)U0f(T)

vvTv

U

CV=f(T)；与v无关。(5分)

TV

2．(20分)证明：显然属于一级相变;LT(SS);其中SST,p(T)，在p～T相平衡曲线上.SdpdLS

SSTTdTTpdT

SSS其中： 

TTPTP

SSdpSdp

[](5分)TpdTTdTPP

又有：CPT

S

；LT(SS)TP

由麦氏关系(2.2.4): 

SV

（5分）

TPpT

上几式联立(并将一级相变的克拉伯珑方程代入)得：

dLL

cp-cpdTT

v

TvL

Tvv(5分)pp



若相是气相，相是凝聚相；V

V～0；T～0；

p

相按理想气体处理。pV=RT



dL

cpcp(5分)dT

3．（10分）证明：（1）U(T,V,n1,nk)U(T,V,n1,nk)

根据欧勒定理，xiff，可得

xii

Uni

i

UU

(5分)V

niVUUUU

Vni(vi)niui niVnViii

（2）U

ni

i

ui

UU

(5分)vi

niV

4．（20分）证明：出现某状态s几率为Ps

设S1,S2,……Sk状态对应的能级s

设Sk+1 ,Sk+2,……Sw状态对应的能级s

类似………………………………

es

则出现某微观状态的几率可作如下计算：根据玻尔兹曼统计 PS；

N

显然NPs代表粒子处于某量子态S下的几率，NPSe

S

。于是

e



S

代表

SKS

个粒子在s上的K个微处于S状态下的粒子数。例如，对于s能级eSS

1

观状态的概率为： P

SPS粒子数P

Skes SSS1



类似写出：P

SP

SkesSSS1



………………………………………………等等。(5分)

于是N个粒子出现某一微观状态的概率。

PPS

SS

S

P

Sk

seSSS1

P

Sk

es SSS1

一微观状态数，（基于等概率原理）P

Skln(5分)

Skln

SkSW

SSeePPSSSSK1SS1

（5分）

SW

SKSkelnPSeSlnPS

SK1S1



将NPSe

S

带入SkN

P

S

S

lnPS(5分)

5．（20分）证明: 在体积V中,ω到ω+ dω的频率范围内准粒子的量子态数为

g()d

4V21/2

pdpBd3h,（5分）

推导上式时,用到关系pk.这里B为常数.由于准粒子数不守恒,玻色分布中的0.系统的内能为

E0

m

3/2

m

g()dB0d

e1e1,（5分）

考虑到态密度在高频时发散,需引入截止频率可令

m.但在低温下1,在积分中

m.设x,则有

E



CT5/20

x3/25/2xdxTe1,（5分）

E

CVT3/2

TV其中,C为常数.易得.（5分）

6．（20分）在极端相对论情形下电子能量与动量的关系为cp,其中c为光速.试求自由电子气体在0K时的费米能量,内能和简并压.解: 在体积V中, 到 + d 的能量范围内电子的量子态数为

g()d

8V28V2

pdpd333hhc.（5分）

01,f

0.0,绝对零度时,费米函数为

08V8V3

Nfg()d332d330

3hc0hc总电子数满足,3N

0

8V可求出费米能量

Efg()d

1/3

hc

.（5分）

d3

08V

电子气的内能

h3c

8V43

N0330

44hc.（5分）

气体的简并压

pd

EN

03V4V.（5分）

第四篇：热力学统计物理试题(D卷)

热力学·统计物理试题（D卷）

适用于2002级本科物理学专业

(2004-2005学第一学期)

1.(10 points)Consider(U)=0.Show(U)=0

VT

2.(10 points)Consider C 0and(vpVpT)T0.Show Cp0

3.(20 points)Consider a chemical reaction follows that

2N232H2NH30 Show isopiestic equilibrium constant

Kp2742

21p

If the reaction follows that

N23H22NH30

calculate isopiestic equilibrium constant again.4.(20 points)Use Maxwell velocity distribution law to show the fluctuation of velocity and mean translational energy respectively follows that(v)

()

2kTm(38)232(kT)2

e

0x2xdx2432, e0x2xdx43852

5.(20 points)The electronic density of a metal is 5.91028/m.Calculate the Fermi energy, 3

Fermi velocity and degenerate pressure of this free electronic gas at temperature T=0K.6.(20 points)Use canonical ensemble distribution to calculate the internal energy E, free energy F, chemical potential μ, and pressure p of the ideal gas.附简答：

1.(10 points)Solution

(UV（）T=T()T =

pT)V-p;（UV)T=0;pT（pT)V(4 points)

UV

(U,T)(V,T))T（pV

=

(U,T)(p,T)(p,T)(V,T)

=0=（Up)T(4 points)

∵V

（p)T≠0;（Up)T=0(2 points)(10 points)Solution

CpCV

pVTTVT

p

(4 points)

pVTVp

T

=-1(3 points)

VpT

pV

Cp CVT

VTTppV

 C 0)T0, thusCpV  0andCv, Cp0(4 points)

Because（3.(20 points)SolutionAssume NH3 with n0 mol, decomposed n0ε mol，the spare part(1-ε)n0 mol,making N2 with

1n0

n0 mol and H2 with

n0 mol.Total number is(1+ε)n0 mol.xN

n0

(1)n0

22;xH2;x NH3;(1)n0(1)n0(1)n0

Isopiestic equilibrium constant

(5 points)

K

p

1

(xN2)2(xH2)2(xNH3)

274



p2



1





1

p

(5 points)

Ifthe reaction follows that

N23H22NH

0

assume NH3 with 2n0 mol, decomposed 2n0ε mol，the spare part 2(1-ε)n0 mol, making N2 withn0 mol and H2 with3n0 mol.Total number is 2(1+ε)n0 mol.xN

n02(1)n0

;xH2

3n02(1)n0

;x NH3

2(1)n02(1)n0

;(5 points)

Isopiestic equilibrium constant

K

p

(xN2)(xH2)(xNH3)

132

p

132





2(1)



3

2(1)



(1)(1)

22

p



27

16(1)

p

(5 points)

4.(20 points)Solution

(v)2v22(5 points)

In the scope of V and dpx dpy dpz , the molecule number follows that

Vh

--

12mkT

(pxpypz)

e

dpxdpydpz

f(vx, vy,vz)dvxdvydvzmn

2kT

e

m2kT

(vxvyvz)

222

dvxdvydvz

m

4n

2kT

3e

m2kT

v

vdv

(5 points)

(v)v2



kTm

(3

)

D()d

2Vh

(2m)

3

d

(5 points)





154

(kT),22

32

(kT)

()



2

(kT)

(5 points)5.(20 points)Solution

The mean number of electron at one level ε is

when temperature T=0K: f=1ε<μ(0)

f=0ε>μ(0)(5 points)

4Vh

f

e



kT

1

(2m)



(0)



212

d N



(0)3

2m



NV

5.6eV

(5 points)

(0)p(0)2m

vF1.410m.s



p(0)3



NV

1

(5 points)

2.110

Pa

(5 points)

6.(20 points)Solution

(4 points)

3N

E



i1

pi

2m

1E

Z

N!h

3N

e

dq1dq3Ndp1dp3N

3N

ZV

N

2m2

N!h2

The free energy

lnZ(T, V, N)=-NkT(1lnV2mkT32F=--kT2

)Nh

pFV



NkTT,N

V

S

FV2mkT32T

Nk(ln5

V,N



Nh2

)2F

Nk(lnV2mkT325

 N 2

)V ,N Nh2

(4 points)

(4 points)(4 points)

(4 points)

第五篇：热力学统计物理

热力学统计物理（目录）

第一章 热力学的基本规律

第二章 均匀物质的热力学性质

第三章 单元系的相变

第四章 多元系的复相变平衡和化学平衡 热力学平衡

第五章 不可逆过程热力学简介

第六章近独立粒子的最概然分布

第七章 波尔茨曼统计

第八章 玻色统计和费米统计

第九章 系宗理论

第十章 涨落理论

第十一章 非平衡态统计理论初步