第一篇：04普通高等学校招生全国统一考试广东卷数学试题及答案
2004年普通高等学校招生广东卷数学试题 一.选择题（共12小题，每题5分，计60分）1．已知平面向量=（3，1），=（x，–3），且，则x=（）A.–3 B.–1 C.1 D.3 2.已知则()A.B.C.D.3.设函数 在x=2处连续,则a=()A.B.C.D.4.的值为()A.–1 B.0 C.D.1 5.函数是()A.周期为的偶函数 B.周期为的奇函数 C.周期为2的偶函数 D..周期为2的奇函数 6.一台X型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8000,有四台这中型号的自动机床各自独立工作,则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是()A.0.1536 B.0.1808 C.0.5632 D.0.9728 7.在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是()A.B.C.D.8.若双曲线的焦点到它相对应的准线的距离是2，则k=（）A.6 B.8 C.1 D.4 9.当时,函数的最小值是()A.4 B.C.2 D.10.变量x、y满足下列条件：
则使z=3x+2y的值最小的（x，y）是 A.(4.5 ,3)B.(3,6)C.(9, 2)D.(6, 4)11.若则 A.B.C.D.12.如右下图,定圆半径为a，圆心为(b ,c), 则直线ax+by+c=0与直线 x–y+1=0的交点在()A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限 二.填空题(共4小题，每题4分，计16分）13.某班委会由4名男生与3名女生组成,现从中选出2人担任正副班长,其中至少有1名女生当选的概率是(用分数作答)14.已知复数z与(z +2)2-8i 均是纯虚数,则 z =.15.由图(1)有面积关系: 则由(2)有体积关系: 16.函数的反函数 三.解答题(共6小题,74分)17.(12分)已知成公比为2的等比数列(也成等比数列.求的值.18.如右下图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,已知AB= 4, AD =3, AA1= 2.E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB= FB=1.(1)求二面角C—DE—C1的正切值;(2)求直线EC1与FD1所成的余弦值.19.(12分)设函数(1)证明: 当0< a < b ,且时,ab >1;(2)点P(x0, y0)(0< x0 <1)在曲线上,求曲线在点P处的切线与x轴和y轴的正向所围成的三角形面积表达式(用x0表达).20(12分)某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s.已知各观测点到该中心的距离都是1020m.试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上)21.(12分)设函数 其中常数m为整数.(1)当m为何值时,(2)定理: 若函数g(x)在[a, b ]上连续,且g(a)与g(b)异号,则至少存在一点x0∈(a,b),使g(x0)=0.试用上述定理证明:当整数m>1时,方程f(x)= 0, 在[e-ｍ-m ,e2ｍ-m ]内有两个实根.22．(14分)设直线与椭圆相交于A、B两点，又与双曲线x2–y2=1相交于C、D两点，C、D三等分线段AB.求直线的方程.2004年普通高等学校招生广东卷数学试题 标准答案 一、选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C A C A B D D A A B D B 二、填空题：
（13）（14）－2i(15)(16)三、解答题 17．∵α,β,γ成公比为2的等比数列，∴β=2α，γ=4α，∵sinα,sinβ,sinγ成等比数列 当cosα=1时，sinα=0,与等比数列的首项不为零，故cosα=1应舍去，18．解：（I）以A为原点，分别为x轴，y轴,z轴的正向建立空间直角坐标系，则有 D(0,3,0)、D1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C1(4,3,2)于是，设向量与平面C1DE垂直，则有（II）设EC1与FD1所成角为β，则 19.证明：（I）故f(x)在（0，1上是减函数，而在（1，+∞）上是增函数，由0 ∴切线与x轴、y轴正向的交点为 故所求三角形面积听表达式为： 20．解：如图，以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A（－1020，0），B（1020，0），C（0，1020）设P（x,y）为巨响为生点，由A、C同时听到巨响声，得|PA|=|PB|，故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=－x，因B点比A点晚4s听到爆炸声，故|PB|－ |PA|=340×4=1360 由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线上，依题意得a=680, c=1020，用y=－x代入上式，得，∵|PB|>|PA|, 答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心处.21.（I）解：函数f(x)=x-ln(x+m),x∈(-m,+∞)连续，且 当x∈(-m,1-m)时,f ’（x）<0,f(x)为减函数,f(x)>f(1-m)当x∈(1-m, +∞)时,f ’（x）>0,f(x)为增函数,f(x)>f(1-m)根据函数极值判别方法，f(1-m)=1-m为极小值，而且 对x∈(-m, +∞)都有f(x)≥f(1-m)=1-m 故当整数m≤1时，f(x)≥1-m≥0(II)证明：由（I）知，当整数m>1时，f(1-m)=1-m<0, 函数f(x)=x-ln(x+m),在 上为连续减函数.由所给定理知，存在唯一的 而当整数m>1时，类似地，当整数m>1时，函数f(x)=x-ln(x+m),在 上为连续增函数且 f(1-m)与异号，由所给定理知，存在唯一的 故当m>1时，方程f(x)=0在内有两个实根 22．解：首先讨论l不与x轴垂直时的情况，设直线l的方程为 y=kx+b，如图所示，l与椭圆、双曲线的交点为： 依题意有，由 若，则与双曲线最多只有一个交点，不合题意，故 由 故l的方程为(ii)当b=0时，由(1)得 由 故l的方程为 再讨论l与x轴垂直的情况.设直线l的方程为x=c,分别代入椭圆和双曲线方程可解得，综上所述，故l的方程为、和 1978年普通高等学校招生全国统一考试 数学 （理科考生五，六两题选做一题文科考生五，六两题选做一题，不要求做第七题） 一．（下列各题每题4分，五个题共20分） 1．分解因式：x2-4xy+4y2-4z2.解：原式=（x-2y)2-(2z)2=(x-2y-2z)(x-2y+2z) 2.已知正方形的边长为，求侧面积等于这个正方形的面积，高等于这个正方形边长的直圆柱体的体积 解：设底面半径为r，则底面周长2πr= 则 3．求函数的定义域 解： ∵lg(2+x)≥0,∴2+x≥1.故x≥-1为其定义域 4．不查表求cos800cos350+cos100cos550的值 解：原式=sin100cos350+cos100sin350=sin(100+350)=sin450= 5.化简： 二 .（本题满分14分） 已知方程kx2+y2=4，其中k为实数对于不同范围的k值，分别指出方程所代表图形的内形，并画出显示其数量特征的草图 解：1）k>0时，方程的图形是椭圆，中心在坐标原点，此时又可分为：①k>1时,长轴在y轴上，半长轴=2，半短轴=; ②k=1时,为半径r=2的圆; ③k<1时,长轴在x轴上，半长轴=，半短轴=2 Y Y Y k=2 A k=1 (0,2) k=1/4 O A X O B X O X 如图： 2)k=0时，方程为y2=4图形是两条平行于x轴的直线 如图 3）k<0时，方程为 Y Y y=2 k=-4 A O O X B X y=-2 这时图形是双曲线，中心在坐标原点，实轴在y轴上如图： 三．（本题满分14分） （如图）AB是半圆的直径，C是半圆上一点，直线MN切半圆于C点，AM⊥MN于M点，BN⊥MN于N点，CD⊥AB于D点，求证：1)CD=CM=CN.2)CD2=AM·BN M C N A B D 1)证：连CA，CB，则∠ACB=900∠ACM=∠ABC ∠ACD=∠ABC ∴∠ACM=∠ACD∴△AMC≌△ADC ∴CM=CD同理CN=CD∴CD=CM=CN 2）∵CD⊥AB，∠ACD=900 ∴ CD2=AD·DB 由1）知AM=AD，BN=BD ∴CD2=AM·BN 四．（本题满分12分） 五．（本题满分20分） 已知△ABC的三内角的大小成等差数列，tgAtgC=求角A，B，C的大小又已知顶点C的对边c上的高等于求三角形各边,b,c的长（提示：必要时可验证） 六．（本题满分20分） 七．（本题满分20分，文科考生不要求作此题） 已知函数y=x2+(2m+1)x+m2-1(m为实数） 1）m是什么数值时，y的极值是0？ 2）求证：不论m是什么数值，函数图象（即抛物线）的顶点都在同一条直线L1上画出m=-1、0、1时抛物线的草图，来检验这个结论 3）平行于L1的直线中，哪些与抛物线相交，哪些不相交？求证：任一条平行于L1而与抛物线相交的直线，被各抛物线截出的线段都相等 解：用配方法得： 3.设L：x-y=为任一条平行于L1的直线 与抛物线y=x2+(2m+1)x+m2-1方程联立求解，消去y，得 x2+2mx+m2-1+=0∴（x+m)2=1- 因而当1-≥0即≤1时，直线L与抛物线相交，而＞1时，直线L与抛物线不相交 而这与m无关 因此直线L被各抛物线截出的线段都相等 一九七八年副题 1．（1）分解因式：x2-2xy+y2+2x-2y-3 解：原式=(x-y-1)(x-y+3) (2)求 解：原式=3/4 （4）已知直圆锥体的底面半径等于1cm，母线的长等于2cm，求它的体积 解： 解：原式=30 2．已知两数x1,x2满足下列条件： 1）它们的和是等差数列1，3，…的第20项; 2）它们的积是等比数列2，-6，…的前4项和 求根为的方程 略解：x1 +x2=39，x1x2=-40故：1/x1+1/x2=-39/40 1/x1·1/x2=-1/40 所求方程为：40x2+39x-1=0.3.已知：△ABC的外接圆的切线AD交BC的延长线于D点，求证： A B E C D 证：因为AD是△ABC的外接圆的切线，所以 ∠B=∠1∴△ABD∽△CAD 作AE⊥BD于点E，则 A M N α B E F D 4．（如图）CD是BC的延长线，AB=BC=CA=CD=，DM与AB，AC分别交于M点和N点，且∠BDM=α 求证： 证：作ME⊥DC于E，由△ABC是等边三角形，在直角△MBE中，类似地，过N作NF⊥BC于F，在直角△NFC中，可证： 5．设有f(x)=4x4-4px3+4qx2+2p(m+1)x+(m+1)2.(p≠0）求证： 1）如果f(x)的系数满足p2-4q-4(m+1)=0,那么f(x)恰好是一个二次三项式的平方 2）如果f(x)与F(x)=(2x2+x+b)2表示同一个多项式，那么 p2-4q-4(m+1)=0 6．已知：sinx+bcosx =0.………………………………① Asin2x+Bcos2x=C.………………………………② 其中,b不同时为0 求证：2bA+(b2-2)B+(2+b2)C=0 则①可写成cosysinx-sinycosx=0,∴sin(x-y)=0∴x-y=kπ(k为整数)，∴x=y+kπ 又sin2x=sin2(y+kπ)=sin2y=2sinycosy= cos2x=cos2y=cos2y-sin2y= 代入②，得 7．已知L为过点P而倾斜角为300的直线，圆C为中心在坐标原点而半径等于1的圆，Q表示顶点在原点而焦点在的抛物线设A为L和C在第三象限的交点，B为C和Q在第四象限的交点 1）写出直线L、圆C和抛物线Q的方程，并作草图 2）写出线段PA、圆弧AB和抛物线上OB一段的函数表达式 3）设P＇、B＇依次为从P、B到x轴的垂足求由圆弧AB和直线段BB＇、B＇P＇、P＇P、PA所包含的面积 Y O X B Q L P A C 解：1）直线L、圆C和抛物线Q的方程为 2)由 Y P＇ B＇ O X B A C Q L P 2004年普通高等学校招生浙江卷文史类数学试题 第Ⅰ卷 (选择题 共60分) 一.选择题: 本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1) 若U={1,2,3,4},M={1,2},N={2,3},则= (A) {1,2,3} (B) {4} (C) {1,3,4} (D) {2} （2）直线y=2与直线x+y—2=0的夹角是 （A） （B） （C） （D） (3) 已知等差数列的公差为2,若成等比数列,则= (A) –4 (B) –6 (C) –8 (D) –10 （4）已知向量且∥，则= （A） （B） （C） （D） （5）点P从（1，0）出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q的坐标为 （A）（（B）（（C）（（D）（（6）曲线y2=4x关于直线x=2对称的曲线方程是 （A）y2=8--4x （B）y2=4x—8 （C）y2=16--4x （D）y2=4x—16 (7) 若展开式中存在常数项,则n的值可以是 (A) (B) (C) (D) (8)“”“A=30º”的(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也必要条件 (9)若函数的定义域和值域都是[0，1]，则a= （A） （B） （C） （D）2 （10）如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中已知AB=1，D在棱BB1上，且BD=1，若AD与平面AA1C1C所成的角为α，则α= （A）（B）（C）（D） （11）椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，线段F1F2被点（，0）分成5：3两段，则此椭圆的离心率为 （A） （B） （C） （D） （12）若和g(x)都是定义在实数集R上的函数，且方程有实数解，则不可能是 （A） （B） （C） （D） 第Ⅱ卷 （非选择题 共90分） 二.填空题：三大题共4小题，每小题4分，满分16分把答案填在题中横线上 （13）已知则不等式的解集是 （14）已知平面上三点A、B、C满足则的值等于 （15）已知平面α⊥β，=，P是空间一点，且P到α、β的距离分别是1、2，则点P到的距离为 （16）设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，经过5次跳动质点落在点（3，0）（允许重复过此点）处，则质点不同的运动方法共有 种（用数字作答） 三.解答题：本大题共6小题，满分74分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 （17）（本题满分12分） 已知数列的前n项和为 （Ⅰ）求； （Ⅱ）求证数列是等比数列 （18）（本题满分12分） 在ΔABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且 （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若，求bc的最大值 （19）（19）（本题满分12分） 如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是线段EF的中点 （Ⅰ）求证AM∥平面BDE； （Ⅱ）求证AM⊥平面BDF； （Ⅲ）求二面角A—DF—B的大小； （20）（本题满分12分） 某地区有5个工厂，由于用电紧缺，规定每个工厂在一周内必须选择某一天停电（选哪一天是等可能的）假定工厂之间的选择互不影响 （Ⅰ）求5个工厂均选择星期日停电的概率； （Ⅱ）求至少有两个工厂选择同一天停电的概率 （21）（本题满分12分） 已知a为实数，（Ⅰ）求导数； （Ⅱ）若，求在[--2，2] 上的最大值和最小值； （Ⅲ）若在（--∞，--2]和[2，+∞）上都是递增的，求a的取值范围 （22）（本题满分14分） 已知双曲线的中心在原点，右顶点为A（1，0）点P、Q在双 曲线的右支上，支M（m,0）到直线AP的距离为1 （Ⅰ）若直线AP的斜率为k，且，求实数m的取值范围； （Ⅱ）当时，ΔAPQ的内心恰好是点M，求此双曲 线的方程 2004年普通高等学校招生浙江卷文史类数学试题 参考答案 一选择题本大题共12小题,每小题5分,共60分 1.B 2.A 3.B 4.A 5.A 6.C 7.C 8.B 9.D 10.D 11D 12.B 二.填空题 (本大题共4小题,每小题4分,共16分) 13.14.–4 15.16.5 三.解答题 17.解: (Ⅰ)由,得 ∴ 又,即,得 .(Ⅱ)当n>1时,得所以是首项,公比为的等比数列.(12分) (18) 解: (Ⅰ) = = = = (Ⅱ) ∵ ∴,又∵ ∴ 当且仅当 b=c=时,bc=,故bc的最大值是.(19) (满分12分) 方法一 解: (Ⅰ)记AC与BD的交点为O,连接OE,∵O、M分别是AC、EF的中点，ACEF是矩形，∴四边形AOEM是平行四边形，∴AM∥OE ∵平面BDE，平面BDE，∴AM∥平面BDE (Ⅱ)在平面AFD中过A作AS⊥DF于S，连结BS，∵AB⊥AF，AB⊥AD，∴AB⊥平面ADF，∴AS是BS在平面ADF上的射影，由三垂线定理得BS⊥DF ∴∠BSA是二面角A—DF—B的平面角 在RtΔASB中，∴ ∴二面角A—DF—B的大小为60º （Ⅲ）设CP=t（0≤t≤2）,作PQ⊥AB于Q，则PQ∥AD，∵PQ⊥AB，PQ⊥AF，∴PQ⊥平面ABF，平面ABF，∴PQ⊥QF 在RtΔPQF中，∠FPQ=60º，PF=2PQ ∵ΔPAQ为等腰直角三角形，∴ 又∵ΔPAF为直角三角形，∴，∴ 所以t=1或t=3(舍去) 即点P是AC的中点 方法二 （Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系 设，连接NE，则点N、E的坐标分别是（、（0,0,1）,∴ =(,又点A、M的坐标分别是 （）、（∴ =（∴=且NE与AM不共线，∴NE∥AM 又∵平面BDE，平面BDE，∴AM∥平面BDF （Ⅱ）∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF ∴AB⊥平面ADF ∴为平面DAF的法向量 ∵=（·=0，∴=（·=0得,∴NE为平面BDF的法向量 ∴cos<>= ∴的夹角是60º 即所求二面角A—DF—B的大小是60º （Ⅲ）设P(t,t,0)(0≤t≤)得 ∴=（，0，0） 又∵PF和CD所成的角是60º ∴ 解得或（舍去），即点P是AC的中点 (20) 解: (Ⅰ)设5个工厂均选择星期日停电的事件为A,则.(Ⅱ)设5个工厂选择的停电时间各不相同的事件为B,则 因为至少有两个工厂选择同一天停电的事件是,所以 (12分) (21) 解: (Ⅰ)由原式得 ∴ (Ⅱ)由 得,此时有.由得或x=-1,又 所以f(x)在[--2,2]上的最大值为最小值为 (Ⅲ)解法一:的图象为开口向上且过点(0,--4)的抛物线,由条件得 即 ∴--2≤a≤2.所以a的取值范围为[--2,2].解法二:令即 由求根公式得: 所以在和上非负.由题意可知,当x≤-2或x≥2时,≥0,从而x1≥-2,x2≤2,即 解不等式组得: --2≤a≤2.∴a的取值范围是[--2,2].(22) (满分14分) 解: (Ⅰ)由条件得直线AP的方程(即.又因为点M到直线AP的距离为1,所以 得.∵ ∴≤≤2,解得+1≤m≤3或--1≤m≤1--.∴m的取值范围是 (Ⅱ)可设双曲线方程为 由 得.又因为M是ΔAPQ的内心,M到AP的距离为1,所以∠MAP=45º,直线AM是∠PAQ的角平分线,且M到AQ、PQ的距离均为1因此，（不妨设P在第一象限） 直线PQ方程为 直线AP的方程y=x-1,∴解得P的坐标是（2+，1+），将P点坐标代入得，所以所求双曲线方程为 即 2004年普通高等学校招生浙江卷理工类数学试题 第Ⅰ卷 (选择题 共60分) 一.选择题: 本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1) 若U={1,2,3,4},M={1,2},N={2,3},则= (A) {1,2,3} (B) {2} (C) {1,3,4} (D) {4} (2) 点P从(1,0)出发,沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点,则Q的坐标为 (A) (B) （(C) （(D) （(3) 已知等差数列的公差为2,若成等比数列,则= (A) –4 (B) –6 (C) –8 (D) –10 (4)曲线关于直线x=2对称的曲线方程是 (A) (B) (C) (D) (5) 设z=x—y,式中变量x和y满足条件则z的最小值为 (A) (B) –1 (C) (D) –3 (6) 已知复数,且是实数,则实数t= (A) (B) (C) -- (D) -- (7) 若展开式中存在常数项,则n的值可以是 (A) (B) (C) (D) (8)在ΔABC中,“A>30º”是“sinA>”的(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也必要条件 (9)若椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦点分成5：3两段，则此椭圆的离心率为 （A） （B） （C） （D） （10）如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中已知AB=1，D在棱BB1上，且BD=1，若AD与平面AA1C1C所成的角为α，则α= （A）（B）（C）（D） （11）设是函数f(x)的导函数，y=的图象 如图所示，则y= f(x)的图象最有可能的是 （12）若和g(x)都是定义在实数集R上的函数，且方程有实数解，则不可能是 （A） （B） （C） （D） 第Ⅱ卷 （非选择题 共90分） 二.填空题：三大题共4小题，每小题4分，满分16分把答案填在题中横线上 （13）已知则不等式≤5的解集是 （14）已知平面上三点A、B、C满足则的值等于 （15）设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，经过5次跳动质点落在点（3，0）（允许重复过此点）处，则质点不同的运动方法共有 种（用数字作答） （16）已知平面α和平面交于直线，P是空间一点，PA⊥α，垂足为A，PB⊥β，垂足为B，且PA=1，PB=2，若点A在β内的射影与点B在α内的射影重合，则点P到的距离为 三.解答题：本大题共6小题，满分74分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 （17）（本题满分12分） 在ΔABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且 （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若，求bc的最大值 （18） （本题满分12分） 盒子中有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为2的球4个，标号为5的球3个，第一次从盒子中任取1个球，放回后第二次再任取1个球（假设取到每个球的可能性都相同）记第一次与第二次取到球的标号之和为ε （Ⅰ）求随机变量ε的分布列； （Ⅱ）求随机变量ε的期望Eε （19）（本题满分12分） 如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是线段EF的中点 （Ⅰ）求证AM∥平面BDE； （Ⅱ）求二面角A—DF—B的大小； （20）（本题满分12分） 设曲线≥0）在点M（t,c--1）处的切线与x轴y轴所围成的三角表面积为S（t） （Ⅰ）求切线的方程； （Ⅱ）求S（t）的最大值 （21）（本题满分12分） 已知双曲线的中心在原点，右顶点为A（1，0）点P、Q在双 曲线的右支上，支M（m,0）到直线AP的距离为1 （Ⅰ）若直线AP的斜率为k，且，求实数m的取值范围； （Ⅱ）当时，ΔAPQ的内心恰好是点M，求此双曲 线的方程 （22）（本题满分14分） 如图，ΔOBC的在个顶点坐标分别为（0,0）、（1,0）、（0,2）,设P为线段BC的中点,P为线段CO的中点,P3为线段OP1的中点,对于每一个正整数n,Pn+3为线段PnPn+1的中点,令Pn的坐标为(xn,yn),（Ⅰ）求及; （Ⅱ）证明 (Ⅲ)若记证明是等比数列.2004年普通高等学校招生浙江卷理工类数学试题 参考答案 一.选择题: 本大题共12小题,每小题5分,共60分.1.D 2.A 3.B 4.C 5.A 6.A 7.C 8.B 9.D 10.D 11.C 12.B 二.填空题:本大题共4小题,每小题4分,满分16分.13.14.--25 15.5 16.三.解答题:本大题共6小题,满分74分.17.(本题满分12分) 解: (Ⅰ) = = = = (Ⅱ) ∵ ∴,又∵ ∴ 当且仅当 b=c=时,bc=,故bc的最大值是.(18) (满分12分) 解: (Ⅰ)由题意可得,随机变量ε的取值是2、3、4、6、7、10 随机变量ε的概率分布列如下 ε P 0.09 0.24 0.16 0.18 0.24 0.09 随机变量ε的数学期望 Eε=2×0.09+3×0.24+4×0.13+6×0.18+7×0.24+10×0.09=5.2.(19) (满分12分) 方法一 解: (Ⅰ)记AC与BD的交点为O,连接OE,∵O、M分别是AC、EF的中点，ACEF是矩形，∴四边形AOEM是平行四边形，∴AM∥OE ∵平面BDE，平面BDE，∴AM∥平面BDE (Ⅱ)在平面AFD中过A作AS⊥DF于S，连结BS，∵AB⊥AF，AB⊥AD，∴AB⊥平面ADF，∴AS是BS在平面ADF上的射影，由三垂线定理得BS⊥DF ∴∠BSA是二面角A—DF—B的平面角 在RtΔASB中，∴ ∴二面角A—DF—B的大小为60º （Ⅲ）设CP=t（0≤t≤2）,作PQ⊥AB于Q，则PQ∥AD，∵PQ⊥AB，PQ⊥AF，∴PQ⊥平面ABF，平面ABF，∴PQ⊥QF 在RtΔPQF中，∠FPQ=60º，PF=2PQ ∵ΔPAQ为等腰直角三角形，∴ 又∵ΔPAF为直角三角形，∴，∴ 所以t=1或t=3(舍去) 即点P是AC的中点 方法二 （Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系 设，连接NE，则点N、E的坐标分别是（、（0,0,1）,∴ =(,又点A、M的坐标分别是 （）、（∴ =（∴=且NE与AM不共线，∴NE∥AM 又∵平面BDE，平面BDE，∴AM∥平面BDF （Ⅱ）∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF ∴AB⊥平面ADF ∴为平面DAF的法向量 ∵=（·=0，∴=（·=0得,∴NE为平面BDF的法向量 ∴cos<>= ∴的夹角是60º 即所求二面角A—DF—B的大小是60º （Ⅲ）设P(t,t,0)(0≤t≤)得 ∴=（，0，0） 又∵PF和CD所成的角是60º ∴ 解得或（舍去），即点P是AC的中点 （20）（满分12分） 解：（Ⅰ）因为 所以切线的斜率为 故切线的方程为即 （Ⅱ）令y=0得x=t+1,又令x=0得 所以S（t）= = 从而 ∵当（0，1）时，>0,当（1,+∞）时,<0,所以S(t)的最大值为S(1)= (21) (满分12分) 解: (Ⅰ)由条件得直线AP的方程 即 因为点M到直线AP的距离为1,∵ 即.∵ ∴ 解得+1≤m≤3或--1≤m≤1--.∴m的取值范围是 (Ⅱ)可设双曲线方程为 由 得.又因为M是ΔAPQ的内心,M到AP的距离为1,所以∠MAP=45º,直线AM是∠PAQ的角平分线,且M到AQ、PQ的距离均为1因此，（不妨设P在第一象限） 直线PQ方程为 直线AP的方程y=x-1,∴解得P的坐标是（2+，1+），将P点坐标代入得，所以所求双曲线方程为 即 （22）（满分14分） 解：(Ⅰ)因为，所以，又由题意可知 ∴ = = ∴为常数列 ∴ (Ⅱ)将等式两边除以2，得 又∵ ∴ （Ⅲ）∵ = = 又∵ ∴是公比为的等比数列 1983年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案 （这份试题共九道大题，满分120分） 一．（本题满分10分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A，B，C，D的四个结论，其中只有一个结论是正确的把正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题：选对的得2分;不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得0分 1．两条异面直线，指的是 （D） （A）在空间内不相交的两条直线 （B）分别位于两个不同平面内的两条直线 （C）某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线 （D）不在同一平面内的两条直线 2．方程x2-y2=0表示的图形是 （A） （A）两条相交直线 （B）两条平行直线 （C）两条重合直线 （D）一个点 3．三个数a,b,c不全为零的充要条件是 （D） （A）a,b,c都不是零 （B）a,b,c中最多有一个是零 （C）a,b,c中只有一个是零（D）a,b,c中至少有一个不是零 4．设则的值是 （C） （A） （B） （C） （D） 5．这三个数之间的大小顺序是 （C） （A） （B） （C） （D） 二．（本题满分12分） 1．在同一平面直角坐标系内，分别画出两个方程的图形，并写出它们交点的坐标 2．在极坐标系内，方程表示什么曲线？画出它的图形 解： Y O X P 1.图形如左图所示 交点坐标是：O（0，0），P（1，-1） O X (,0) 2．曲线名称是：圆 图形如右所示 三．（本题满分12分） 1．已知，求微分 2．一个小组共有10名同学，其中4名是女同学，6名是男同学要从小组内选出3名代表，其中至少有1名女同学，求一共有多少种选法 解：1.2． 或： 四．（本题满分12分） 计算行列式（要求结果最简）： 解：把第一列乘以加到第2列上，再把第三列乘以加到第2列上，得 五．（本题满分15分） 1．证明：对于任意实数t，复数的模 适合2．当实数t取什么值时，复数的幅角主值适合？ 1．证：复数（其中t 是实数）的模为 要证对任意实数t，有，只要证对任意实数t，成立 对任意实数t，因为，所以可令 且，于是 2．因为复数的实部与虚部都是非负数，所以z的幅角主值一定适合从而 显然因为 由于 这就是所求的实数t的取值范围 六．（本题满分15分） 如图，在三棱锥S-ABC中，S在底面上的射影N位于底面的高CD上;M是侧棱SC上的一点，使截面MAB与底面所成的角等 S M P C A N D B 于∠NSC，求证SC垂直于截面MAB 证：因为SN是底面的垂线，NC是斜线SC在底面上的射影，AB⊥NC，所以AB⊥SC（三垂线定理） 连结DM因为AB⊥DC，AB⊥SC，所以AB垂直于DC和SC所决定的平面又因DM在这个平面内，所以AB⊥DM ∴∠MDC是截面与底面所成二面角的平面角，∠MDC=∠NSC 在△MDC和△NSC中，因为∠MDC=∠NSC，∠DCS是公共角，所以∠DMC=∠SNC=900从而DM⊥SC从AB⊥SC，DM⊥SC，可知SC⊥截面MAB 七．（本题满分16分） 如图，已知椭圆长轴|A1A2|=6，焦距|F1F2|=，过椭圆焦点F1作一直线，交椭圆于两点M，N设∠F2F1M=α（0≤α＜π）当α取什么值时，|MN|等于椭圆短轴的长？ Y M α A1 F1 O F2 A X N 解一：以椭圆焦点F1为极点，以F1为起点并过F2的射线为极轴建立极坐标系 由已知条件可知椭圆长半轴a=3，半焦距c=，短半轴b=1，离心率e=，中心到准线距离=,焦点到准线距离p=.椭圆的极坐标方程为 解得 以上解方程过程中的每一步都是可逆的，所以当或时，|MN|等于短轴的长 解二：以椭圆的中心为原点，F1F2所在直线为x轴建立直角坐标系（如图）由已知条件知，椭圆的方程为 MN所在直线方程为 解方程组 消去y得.下同解法一 解三：建立坐标系得椭圆如解二，MN所在直线的参数方程为 代入椭圆方程得 设t1,t2是方程两根，则由韦达定理，下同解一 解四：设|F1M|=x,则|F2M|=6-x|F1F2|=，∠F2F1M=α 在△MF1F2中由余弦定理得 同理，设|F1N|=y，则|F2N|=6-y在△F1F2N中，由余弦定理得 下同解一 八．（本题满分16分） 已知数列{an}的首项a1=b(b≠0），它的前n项的和Sn=a1+a2+…+an (n≥1),并且S1，S2，Sn，…是一个等比数列，其公比为p（p≠0且|p|＜1） 1．证明：a2,a3,a3,…an,…(即{an}从第二项起）是一个等比数列 2．设Wn=a1S1+a2S2+a3S3+…+anSn(n≥1),求（用b,p表示） 1．证：由已知条件得S1=a1=b.Sn=S1pn-1=bpn-1(n≥1） 因为当n≥2时，Sn=a1+a2+…+an-1+an=Sn-1+an,所以 an=Sn-Sn-1=bpn-2(p-1)(n≥2)从而 因此a2,a3,a3,…an,…是一个公比为p的等比数列 2．解：当n≥2时，且由已知条件可知p2<1，因此数列a1S1，a2S2，a3S3，…anSn…是公比为p2<1的无穷等比数列于是 从而 九．（本题满分12分） 1．已知a,b为实数，并且e 1．证：当e 考虑函数因为但时，所以函数内是减函数 因为e 2．证一：由ab=ba，得blna=alnb，从而 考虑函数，它的导数是 因为在（0，1）内，所以f(x)在（0，1）内是增函数 由于0 所以a=b 证二：因为0 假如a 矛盾 所以a不能小于b 假如a>b，则，而，这也与矛盾 所以a不能大于b因此a=b 证三：假如a 即ab 假如b 因此a=b第二篇：78版 普通高等学校招生全国统一考试数学试题及答案
第三篇：04普通高等学校招生全国统一考试浙江卷文科数学试题及答案
第四篇：04普通高等学校招生全国统一考试浙江卷理科数学试题及答案
第五篇：普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案 83届
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