关于勾股定理的研究性论文（共5则范文）

第一篇：关于勾股定理的研究性论文（共）

勾股定理的内容是aZ+bZ=eZ(a、b、e是直角三角形的三条边)。我们以三角形的三条边组成三个正方形,通过割补移位,使两个正方形面积之和等于第三个正方形面积的形式,制作一幅投影片,用来配合勾股定理的推导,对教学十分有益。

一、片型

抽拉旋转片

二、制作方法

1、底片。画一个直角三角形,标出三条边a、b、“。以“、b、“为稗长画三个正方形,其中“边组成的正方形用实线画出,均匀地涂上蓝色。其他两个正方形用虚线画出,不涂色彩。见图1。

图12、抽片(一)。取一条长胶片,长约等于底片长的一倍半,宽等于底片宽的一半。以b为边长,用实线画一个正方形,均匀涂上红色,见图2。

图23、抽片(二)。取一条长胶片,长等于底片长的2倍,宽等于底片的宽。以c为边长,用实线画一个正方形,在正方形内留出两个直角三角形的空白,三角形的大小与图l中的直角三角形相同,其余部分均匀涂上黄色,见图3。

图34、转片(一)。用胶片剪一个直角三角形,大小与图1中的直角三角形相同,涂上黄色,以斜边和长直角边的交点为轴心打孔,准备装旋转铆钉,见图4。

图45、转片(二)。同4所述,剪一个直角三角形,涂上黄色,以斜边和短直角边的交点为轴心打孔,准备装铆钉,见图5。

图56、将图4、图5所示的两个三角形,放在图3所示的正方形内,用铆钉分别将两个三角形固定在正方形的两个顶角上,使之能转动。注意两个三角形的黄色与正方形内黄色一致,看上去是一个完整的正方形,见图6。

图67、将图2所示的抽片(一)水平插入图1所示的片框内,使图2中的正方形与图l中的b边组成的虚线正方形重合,能向右抽动,见图7下部。

图7

将图6所示的抽片(二)按与底片直角三角形的斜边c垂直的方向,插人图1所示的片框内,使图6中的正方形与底片。边组成的正方形重合,并能向右下方抽动,见图7。

三、使用方法

1.如图7所示,讲直龙三角形的三条边分别是a、b、“,以氛b、c、为边一长的蓝色、红色、黄色三个正方形分别代表aZ、bZ、eZ。

2.向右拉动红色的正方形,向右下方拉动黄色的正方形,至图8所示的位置。说明红、黄两个正方形的位置变了,但面积大小没有变。指出黄色正方形与蓝色正方形及红色正方形有一部分已经重合,如果其他部分也完全重合,就证明面积相等了。

图8

3.将图4所示的三角形逆时针旋转9。,将图5所示的三角形顺时视旋转90。,如图9所示,会出现以。

边组成的黄色正方形,通过移位、分解、旋转后,与a边组成蓝色正方形,和与b边组成的红色正方形完全重合,从而直观的表示:a+b=c。

图9

摘 要：勾股定理又名商高定理，也名毕达哥拉斯定理。从两千多年前至今都有人在研究，其证明方法多达500种，并且在实际生活中有广泛应用。在中学阶段，勾股定理是几何部分最重要的定理之一，不仅是教学的重点、难点、考点，而且也是几何学习的基础，除此之外，还可以激发学生学习兴趣，开拓学生知识面，提升学生思维水平。

关键词：勾股定理 中学生 心理特征 证明方法 解题思路。

一、勾股定理介绍

在古代中国，数学着作《周髀算经》开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话：昔者周公问于商高曰：“窃闻乎大夫善数也，请问昔者包牺立周天历度——夫天可不阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？”商高答曰：“若求邪至日者，以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日”这是中国古代对勾股定理的最早记录。在《九章算术》中，“勾股术曰：勾股各自乘，并而开方除之，即弦．又股自乘，以减弦自乘，其余开方除之，即勾．又勾自乘，以减弦自乘，其余开方除之，即股”。毕达哥拉斯参加一次餐会，餐厅铺着正方形大理石地砖，他凝视这些排列规则、美丽的方形磁砖，但毕达哥拉斯不只是欣赏磁砖的美丽，而是想到它们和“数”之间的关系，于是拿了画笔并且蹲在地板上，选了一块磁砖以它的对角线 为边画一个正方形，他发现这个正方形面积恰好等于两块磁砖的面积和。这是西方对毕达哥拉斯定理最早的描述。

二、中学生心理特征

中学阶段的学生正处于发育的第二高峰期，在生理和心理上都有很大的变化，在心理上的普遍特征：1.有意注意发展显着，注意的范围扩大，稳定性和集中性增强；2.记忆力随着年龄的增长而增加，对图片、音频等感性的记忆较好，对公式、定理等纯理论的记忆较差，尤其是数学学科，基础的理论公式很多，学生很容易记混淆；3.抽象思维的能力有提升，处于形式运算阶段，但对事物的思考基本还停留在事物表面，没有完全形成自主有意识的抽象思维倾向；4.自制力有所提升，他们开始喜欢崇拜有意志力、自控力的人，但是自身的自制力比较薄弱。虽然我并不赞成把学生分为优等生、中等生和差等生，但是在实际的教育中，是存在这样的分化，并且学生都存在上述的四个普遍特征，也存在一些差异：学习能力、思维方式、自制力等不同。优等生在各个方面普遍比中等生好，而中等生又普遍比差等生好，我们应该从这些差异点着手，因材施教，激发学习兴趣，提升学习能力，引导自主学习，减少学生之间的差异，使学生健康成长，实现自我价值。

三、勾股定理的典型证明方法

勾股定理是全人类文明的一个象征，也是平面几何学的一颗明珠，在实际生活中也有广泛应用。两千年以来，人们从来没有停止对勾股定理的研究。据不完全统计，勾股定理的证明方法多达500种，每一种方法都有优点，每一种方法都包含全人类的智慧。但在中学教学中，我们不可能做到面面俱到，只能教给学生一些典型、基础的证明方法，通过教学引导学生自主学习，自主探索。

说明：第一种证明方法有两个要点：1.几何图形的变化；2.确定等量关系。初中生可以理解这两个要点，因此，我们可以以探究的形式让学生自己做，一来可以提高学生自主学习的兴趣，二来也符合当下的教育理念——探究学习。对于基础较薄弱的学生而言，在掌握基本知识点的同时，可以增加他们学习数学的兴趣，减少对数学的畏惧情绪，对于基础较好的学生而言，他们可以通过这种证明方法，自学勾股定理的基本知识。第二、三种方法分别结合了相似三角形和圆的基础知识点，在教授相似三角形和圆的相关定理时，提出他们在勾股定理证明中的运用。把前后知识点串联起来，差等生可以回顾勾股定理，加深理解，激发他们学习的兴趣，中等生和优等生可以构建不同知识点之间的联系，形成知识体系，提升他们的抽象思维能力，对后继学习有很大帮助。

四、勾股定理的典型解题思路

本题先通过不变量寻找等量关系，再利用勾股定理求解问题。引导基础较差的学生通过折叠寻找图形中的不变量，建立等量关系，提升其处理数学问题的信心，学会一些数学的基本方法和思维方式；引导基础较好的学生复习对称图形的性质，适当提炼解题思路，构建知识体系。

说明：题目本身很简单，由题目容易想到勾股数3、4、5，而忽略分类讨论。我们应引导学生突破惯性思维，不能过于片面、主观，应认真仔细省题。初中生对问题有思考，但思考的深度不够。通过这道题可以告诉学生：突破惯性思维，全面思考问题，不惧怕数学题，使他们愿意主动思考数学题。本题运用到分类讨论思想，这个思想在数学上的运用十分广泛。

五、结语

勾股定理是中学阶段最重要的定理之一，本文从中学生的心理特征，以及不同层次的学生的不同学习特点、心理特点出发，立足缩小学生间的层次差异、实现学生自我价值的观点，讨论勾股定理在实际教学中的不同证明方法的教法，和一些典型题型的解题思路，以及如何在教课过程中引导不同层次的学生学习，产生数学学习兴趣，构建数学知识体系。

参考文献：

[1]《周髀算经》[M].文物出版社1980年3月.据宋代嘉靖六年本影印.[2]《九章算术》[M].重庆大学出版社.2006年10月.

第二篇：勾股定理论文

勾股定理论文

在国外，尤其在西方，勾股定理通常被称为毕达哥拉斯定理．这是由于，他们认为最早发现直角三角形具有“勾²+股²=弦²”这一性质并且最先给出严格证明的是古希腊的数学家毕达哥拉斯

实际上，在更早期的人类活动中，人们就已经认识到这一定理的某些特例．中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明,在世界数学史上具有独特的贡献和地位.尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法,更具有科学创新的重大意义.事实上,“形数统一”的思想方法正是数学发展的一个极其重要的条件.正如当代中国数学家吴文俊所说:"在中国的传统数学中,数量关系与空间形式往往是形影不离地并肩发展着的......除我国在公元前1000多年前发现勾股定理外，据说古埃及人也曾利用“勾三股四弦五”的法则来确定直角．但是，这一传说引起过许多数学史家的怀疑．比如，美国的数学史家M·克莱因教授曾经指出：“我们也不知道埃及人是否认识到毕达哥拉斯定理．我们知道他们有拉绳人（测量员），但所传他们在绳上打结，把全长分成长度为3、4、5的三段，然后用来形成直角三角形之说，则从未在任何文件上得到证实．”不过，考古学家们发现了几块大约完成于公元前2000年左右的古巴比伦的泥版书，据专家们考证，其中一块上面刻有如下问题：“一根长度为30个单位的棍子直立在墙上，当其上端滑下6个单位时，请问其下端离开墙角有多远？”这是一个三边为3:4:5三角形的特殊例子；专家们还发现，在另一块版板上面刻着一个奇特的数表，表中共刻有四列十五行数字，这是一个勾股数表：最右边一列为从1到15的序号，而左边三列则分别是股、勾、弦的数值，一共记载着15组勾股数．这说明，勾股定理实际上早已进入了人类知识的宝库．

欧几里得在他的《几何原本》中给出了勾股定理的推广定理：“直角三角形斜边上的一个直边形，其面积为两直角边上两个与之相似的直边形面积之和”。从上面这一定理可以推出下面的定理：“以直角三角形的三边为直径作圆，则以斜边为直径所作圆的面积等于以两直角边为直径所作两圆的面积和”。如此等等。

805班

李政东

第三篇：勾股定理的论文

勾股定理的论文

关于勾股定理

勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。这是任何定理无法比拟的。

在这数百种证明方法中，有的十分精彩，有的十分简洁，有的因为证明者身份的特殊而非常著名。

中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话：

周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地得到数据呢？”

商高回答说：“数的产生来源于对方和圆这些形体饿认识。其中有一条原理：当直角三角形‘矩’得到的一条直角边‘勾’等于3，另一条直角边‘股’等于4的时候，那么它的斜边‘弦’就必定是5。这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。”

从上面所引的这段对话中，我们可以清楚地看到，我国古

代的人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理这一重

要懂得数学原理了。稍懂平面几何饿读者都知道，所谓勾股定

理，就是指在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。如图所示，我们

图1 直角三角形

用勾（a）和股（b）分别表示直角三角形得到两条直角边，用弦（c）来表示斜边，则可得：

勾2+股2=弦

2亦即：

a2+b2=c2

勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯于公元前550年首先发现的。其实，我国古代得到人民对这一数学定理的发现和应用，远比毕达哥拉斯早得多。如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话，那么周公与商高的对话则可以确定在公元前1100年左右的西周时期，比毕达哥拉斯要早了五百多年。其中所说的勾3股4弦5，正是勾股定理的一个应用特例（32+42=52）。所以现在数学界把它称为勾股定理，应该是非常恰当的。

在稍后一点的《九章算术一书》中，勾股定理得到了更加规范的一般性表达。

书中的《勾股章》说；“把勾和股分别自乘，然后把它们的积加起来，再进行开方，便可以得到弦。”把这段话列成算式，即为：

弦=（勾2+股2）(1/2)

亦即：

c=（a2+b2）(1/2)

中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明。在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2；中间懂得小正方形边长为b-a，则面积为（b-a）

2。于是便可得如下的式子：

4×（ab/2）+（b-a）2=c2

化简后便可得：

a2+b2=c2

亦即：

c=（a2+b2）

(1/2)

图2勾股圆方图

勾股定理趣事

学过几何的人都知道勾股定理．它是几何中一个比较重要的定理，应用十分广泛．迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有400多种．其中，美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话．

总统为什么会想到去证明勾股定理呢？难道他是数学家或数学爱好者？答案是否定的．事情的经过是这样的；

勾股的发现

在1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德．他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨．由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么．只见一个小

男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形．于是伽菲尔德便问他们在干什么？

只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是5呀．”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味。

于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。

1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。

1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统。后来，勾股的证明

人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法。

勾股定理同时也是数学中应用最广泛的定理之一。例如从勾股定理出发逐渐发展了开平方、开立方；用勾股定理求圆周率。据称金字塔底座的四个直角就是应用这一关系来确定的．至今在建筑工地上，还在用它来放线，进行“归方”，即放“成直角”的线。

正因为这样，人们对这个定理的备加推崇便不足为奇了。1955年希腊发行了一张邮票，图案是由三个棋盘排列而成。这张邮票是纪念二千五百年前希腊的一个学派和宗教团体 ── 毕达哥拉斯学派，它的成立以及在文化上的贡献。邮票上的图案是对勾股定理的说明。希腊邮票上所示的证明方法，最初记载在欧几里得的《几何原本》里。

尼加拉瓜在1971年发行了一套十枚的纪念邮票，主题是世界上“十个最重要的数学公式”，其中之一便是勾股定理。

2002年的世界数学家大会在中国北京举行，这是21世纪数学家的第一次大聚会，这次大会的会标就选定了验证勾股定理的“弦图”作为中央图案，可以说是充分表现了我国古代数学的成就，也充分弘扬了我国古代的数学文化，另外，我国经过努力终于获得了2002年数学家大会的主办权，这也是国际数学界对我国数学发展的充分肯定。

今天，世界上几乎没有人不知道七巧板和七巧图，它在国外被称为“唐图”（Tangram），意思是中国图（不是唐代发明的图）。七巧板的历史也许应该追溯到我国先秦的古籍《周髀算经》，其中有正方形切割术，并由之证明了勾股定理。而当时是将大正方形切割成四个同样的三角形和一个小正方形，即弦图，还不是七巧板。现在的七巧板是经过一段历史演变过程的。

勾股趣事

甚至还有人提出过这样的建议：在地球上建造一个大型装置，以便向可能会来访的“天外来客”表明地球上存在有智慧的生命，最适当的装置就是一个象征勾股定理的巨大图形，可以设在撒哈拉大沙漠、苏联的西伯利亚或其他广阔的荒原上，因为一切有知识的生物都必定知道这个非凡的定理，所以用它来做标志最容易被外来者所识别！?

有趣的是：除了三元二次方程x2 + y2 =z2（其中x、y、z都是未知数）有正整数解以外，其他的三元n次方程xn + yn =zn（n为已知正整数，且n＞2）都不可能有正整数解。这一定理叫做费尔马大定理（费尔马是17世纪法国数学家）。

勾股定理的发现

人们对勾股定理的认识经历了从特殊到一般的过程，这在世界许多地区的数学原始文献中都有反映．最早发现＂勾三股四弦五＂这一特殊关系的是古埃及人，这一事实可以追溯到公元前25世纪，中国古代数学家也较早独立发现并证明过勾股定理，而对它的应用更有许

多独到之处．勾股定理一般情况的发现和证明，那要归功于古希腊的毕达哥拉斯．

中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话：周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地的数据呢？”商高回答说：“数的产生来源于对方和圆这些形体的认识。其中有一条原理：当直角三角形‘矩’（即直角）的一条直角边‘勾’等于3，另一条直角边‘股’等于4的时候，那么它的斜边‘弦’就必定是5。这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。”

勾股的发现

从上面所引的这段对话中，我们可以清楚地看到，我国古代的人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理这一重要数学原理了。稍懂平面几何的读者都知道，所谓勾股定理，就是指在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。如图所示，我们用勾（a）和股（b）分别表示直角三角形的两条直角边，用弦（c）来表示斜边，则可以得到： 勾2+股2=弦2 亦即：a2+b2=c

2勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯于公元前550年首先发现的。其实，我国古代得到人民对这一数学定理的发现和应用，远比毕达哥拉斯早得多。如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话，那么周公与商高的对话则可以确定在公元前1100年左右的西周时期，比毕达哥拉斯要早了五百多年。其中所说的勾3股4弦5，正是勾股定理的一个应用特例（32+42=52）。所以现在数学界把它称为勾股定理，应该是非常恰当的。在稍后一点的《九章算术》一书中，勾股定理得到了更加规范的一般性表达。书中的《勾股章》说；“把勾和股分别自乘，然后把它们的积加起来，再进行开方，便可以得到弦。”把这段话列成算式，即为：弦=（勾2+股2）(1/2)亦即：c=（a2+b2）(1/2)

满足勾股定理的数组称为勾股数（或商高数）。在西方，人们把这个定理的发现与证明归功于古希腊的毕达哥拉斯，因而称之为毕达哥拉斯定理，满足定理的数组也就称为毕达哥拉斯数。但是1945年，人们在对古巴比伦人遗留下的一块数学泥板的研究中，惊讶地发现上面竟然刻有15组勾股数，其年代远在商高和毕达哥拉斯之前，大约在公元前1900年到公元前l600年之间。这些勾股数组中有些是很大的数，即使在今天也往往是人们所不熟悉的。这个数表使人们有理由相信，古巴比伦人早已掌握了勾股定

勾股的证明

理并很可能找到了一种求得勾股数的一般方法，只不过人们还不能从其他的泥板中找出更多的证据来证明这一点。

勾股趣事

毕达哥拉斯学派倒是明确地给出了勾股数的一组公式：一组勾股数的正整数解：a=2n+1，b=2n2+2n，c=2n2+2n+1，其特点是斜边与其中一股的差为1。

后来，另一个古希腊学者柏拉图（Plato,约前427－前347）也给了另一组公式：a=2n，b=n2-1，c=n2+1，此时斜边与其中一股之差为2。

被誉为“代数学鼻祖”的古希腊数学家丢番图（Diophantus,约330－246）也在研究二次不定方程的时候，对勾股数作了一番探讨。他发现不论是毕达哥拉斯还是柏拉图的式子，都没能给出全部勾股数组，于是他找到了一个新方法：全部解的公式是a=2mn，y=m2-n2，z=m2+n2其中m，n（m>n）是互质且一奇一偶的任意正整数。

丢番图究竟是如何得到这组式子的，人们今天已经无从知晓。重要的是，这组式子包含了全部的勾股数组！

值得一提的是，在早于丢氏三、四百年的我国古代数学巨著《九章算术》中，也提出了一组求勾股数的式子，这组式子相当于：任意给定两个正整数m，n(m＞n)，那么这三个正

整数就是一个整勾股数组。用代数方法很容易证明这一结论。公元3世纪，我国著名数学家刘徽从几何上也证明了这一结论。

不难证明，如果上述m，n(m＞n)，是互质的奇数，那么用《九章算术》中的法则可以求出所有两两互质的整勾股数组。这也是我们中国古代数学家的一项杰出成就。

无论是古埃及人、古巴比伦人还是我们中国人谁最先发现了勾股定理，我们的先人在不同的时期、不同的地点发现的这同一性质，显然不仅仅是哪一个民族的私有财产而是我们全人类的共同财富.勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方。这个定理在中国又称为“商高定理”，在外国称为“毕达哥拉斯定理”。为什么一个定理有这么多名称呢？商高是公元前十一世纪的中国人。当时中国的朝代是西周，是奴隶社会时期。在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话。商高说：“„故折矩，勾广三，股修四，经隅五。”什么是“勾、股”呢？在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”。商高那段话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4（长边）时，径隅（就是弦）则为5。以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”。由于勾股定理的内容最早见于商高的话中，所以人们就把这个定理叫作“商高定理”。毕达哥拉斯（Pythagoras）是古希腊数学家，他是公元前五世纪的人，比商高晚出生五百多年。希腊另一位数学家欧几里德（Euclid，是公元前三百年左右的人）在编著《几何原本》时，认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的，所以他就把这个定理称为“毕达哥拉斯定理”，以后就流传开了。

关于勾股定理的发现，《周髀算经》上说：“故禹之所以治天下者，此数之所由生也。”“此数”指的是“勾三股四弦五”，这句话的意思就是说：勾三股四弦五这种关系是在大禹治水时发现的。

勾股定理的应用非常广泛。我国战国时期另一部古籍《路史后记十二注》中就有这样的记载：“禹治洪水决流江河，望山川之形，定高下之势，除滔天之灾，使注东海，无漫溺之患，此勾股之所系生也。”这段话的意思是说：大禹为了治理洪水，使不决流江河，根据地势高低，决定水流走向，因势利导，使洪水注入海中，不再有大水漫溺的灾害，是应用勾股定理的结果。

勾股定理的历史

勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”，是初等几何中的一个基本定理。那么大家知道多少勾股定理的别称呢？我可以告诉大家，有：毕达哥拉斯定理，商高定理，百牛定理，驴桥定理和埃及三角形等。所谓勾股定理，就是指“在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。”这个定理有十分悠久的历史，几乎所有文明古国（希腊、中国、埃及、巴比伦、印度等）对此定理都有所研究。勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯（Pythagoras，公元前572?～公元前497?）于公元前550年首先发现的。但毕达哥拉斯对勾股定理的证明方法已经失传。著名的希腊数学家欧几里得（Euclid，公元前330～公元前275）在巨著《几何原本》（第Ⅰ卷，命题47）中给出一个很好的证明。

中国古代对这一数学定理的发现和应用，远比毕达哥拉斯早得多。中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话：周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地得到数据呢？” 商高回答说：“ 数的产生来源于对方和圆这些形体的认识。其中有一条原理：当直角三角形‘矩'得到的一条直角边‘勾'等于3，另一条直角边’股'等于4的时候，那么它的斜边'弦'就必定是5。这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。” 如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话，那么周公与商高的对话则可以确定在公元前1100年左右的西周时期，比毕达哥拉斯要早了五百多年。其中所说的勾3股4弦5，正是勾股定理的一个应用特例。所以现在数学界把它称为“勾股定理”是非常恰当的。

在稍后一点的《九章算术》一书中（约在公元50至100年间）（上图），勾股定理得到了更加规范的一般性表达。书中的《勾股章》说；“把勾和股分别自乘，然后把它们的积加起来，再进行开方，便可以得到弦”。中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明（右图）。赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。以后的数学家大多继承了这一风格并且有发展，只是具体图形的分合移补略有不同而已。例如稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是用以形证数的方法，中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位。尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法，更具有科学创新的重大意义。

第四篇：勾股定理的证明方法研究性学习

“勾股定理的证明方法研究性学习”学习小组评

价量规

模块6 作业模板

作者姓名 主题单元名称

尹勇 勾股定理

学科

数学

年级

八年级

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“勾股定理的证明方法研究性学习”学习小组评价量规

第五篇：研究性学习论文

研究性学习：探究污水的处理

一。污水处理的必要性

随着人们对生态环境的重视程度的日益加深，关于水污染的话题不断被提起，特别是地下水污染问题。民众环保意识的觉醒，对水污染的关切程度达到了空前。

全世界每天约有200吨垃圾倒进河流、湖泊和小溪，每升污水会污染8升淡水；所有流经亚洲城市的河流均被污染；美国40%的水资源流域被加工食品废料、金属、肥料和杀虫剂污染；欧洲55条河流中仅有5条水质差强人意。20世纪，世界人口增加了两倍，而人类用水增加了5倍。世界上许多国家正面临水资源危机：12亿人用水短缺，30亿人缺乏用水卫生设施。

中国水资源人均占有量少，空间分布不平衡。随着中国城市化、工业化的加速，水资源的需求缺口也日益增大。在这样的背景下，污水处理行业成为新兴产业，目前与自来水生产、供水、排水、中水回用行业处于同等重要地位。

二。污水处理的现状

截至2005年底，全国661个设市城市中，已有383个城市建成污水处理厂792座，污水处理率由2000年的34%提高到52%，并形成了适合国情的污水处理技术路线和管理机制。其中，有135个城市的污水处理率已达到或接近70%，单厂处理规模达到每天100万立方米。

2007年，中国水污染治理投资达到3387.6亿元，比上年增加32%，占当年GDP的1.36%。

中国水环境质量总体保持稳定。2007年，共取缔一级水源保护区内排污口942个，停建二级水源保护区内可能造成污染的建设项目1294个，限期治理931个。

截至2010年9月底，全国设市城市、县及部分重点建制镇（以下简称“城镇”）累计建成污水处理厂2631座，污水处理能力达到1.22亿立方米/日；全国正在建设的城镇污水处理项目达1849个，总设计能力约4660万立方米/日。在全国设市城市中，已有593个城市建有污水处理厂，占设市城市总数的90.7%；累计建成污水处理厂1623座，形成污水处理能力1.04亿立方米/日；其中36个大中城市（直辖市、省会城市和计划单列市）建有污水处理厂376座，处理能力达4368万立方米/日。在县城及乡、镇中，全国已有933个县（含新疆生产建设兵团团级单位）建有污水处理厂，约占县城总数的52.1%；县城及乡、镇建有污水处理厂1008座，处理能力达1826万立方米/日。

虽然由于国家和各级政府对环境保护重视程度的不断提高，中国污水处理行业正在快速增长，污水处理总量逐年增加，城镇污水处理率不断提高。但目前中国污水处理行业仍处于发展的初级阶段。

一方面，中国目前的污水处理能力尚跟不上用水规模的迅速扩张，管网、污泥处理等配套设施建设严重滞后。另一方面，中国的污水处理率与发达国家相比，还存在着明显的差距，且处理设施的负荷率低。

三。污水处理的方法与过程

（一）污水处理的基本方法

污水处理基本方法是用物理、化学或生物方法，或几种方法配合使用以去除污水中的有

害物质，按照水质状况及处理后出水的去向确定其处理程度，污水处理一般可分为一级、二级和三级处理。

（1）一级处理采用物理处理方法，即用格栅、筛网、沉沙池、沉淀池、隔油池等构筑物，去除污水中的固体悬浮物、浮油，初步调整pH值，减轻污水的腐化程度。污水经一级处理后，一般达不到排放标准（BOD去除率仅25－40%）。故通常为预处理阶段，以减轻后续处理工序的负荷和提高处理效果。

（2）二级处理是采用生物处理方法及某些化学方法来去除污水中的可降解有机物和部分胶体污染物。经过二级处理后，污水中BOD的去除率可达80-90％，即BOD合量可低于30mg/L。经过二级处理后的水，一般可达到农灌标准和污水排放标准，故二级处理是污水处理的主体。但经过二级处理的水中还存留一定量的悬浮物、生物不能分解的溶解性有机物、溶解性无机物和氮磷等藻类增值营养物，并含有病毒和细菌。因而不能满足要求较高的排放标准，如处理后排入流量较小、稀释能力较差的河流就可能引起污染，也不能直接用作自来水、工业用水和地下水的补给水源。

（3）三级处理是进一步去除二级处理未能去除的污染物，如磷、氮及生物难以降解的有机污染物、无机污染物、病原体等。污水的三级处理是在二级处理的基础上，进一步采用化学法（化学氧化、化学沉淀等）、物理化学法（吸附、离子交换、膜分离技术等）以除去某些特定污染物的一种“深度处理”方法。显然，污水的三级处理耗资巨大，但能充分利用水资源。

污水处理相当复杂，处理方法的选择，必须根据污水的水质和数量，排放到的接纳水体或水的用途来考虑。同时还要考虑污水处理过程中产生的污泥、残渣的处理利用和可能产生的二次污染问题，以及絮凝剂的回收利用等。

（二）污水处理的工艺流程

1、活性污泥工艺

活性污泥工艺是国内外城市污水处理工艺的主流，由于其较高的处理效率，运行稳定可靠，而被大中型污水处理厂广泛采用。成为典型的污水二级处理工艺，其主要工艺流程为：

主要设备：排污泵、格栅、吸砂机、刮吸呢机、曝气机、潜水搅拌机、滗水机、回流泵、压榨机等。

2、氧化沟工艺

从本质上讲，氧化沟工艺是传统活性污泥法的一种变形和发展，最突出的优点是在保证稳定高效的处理效果前提下，占地面积小，运行管理简单，降低了总投资和运行费用，同时除氮，除磷的效果优于传统活性污泥法。氧化沟工艺也有许多类型，按池型，运行方式、曝气设备的差别，目前较流行的有两种：

主要设备：排污泵、格栅、转刷曝气机、潜水推流器、污泥回流泵、刮吸泥机、压榨机等。

废水处理基本方法 3.A-O法及A-B法

A-O法及A-B法均为活性污泥的变形，A-O法即厌氧好氧生物除磷工艺，A-B法即吸附生物降解工艺。

厌氧段不曝气，又不能使污泥沉降，所以在厌氧池中要配置机械搅拌设备。

A-B法由A段和B段组成，两段串联。A-B工艺没有一沉池，污水经预处理后，直接进A段曝气池，A曝排出的混合液在中沉池进行泥水分离，中沉池出水进入B段曝气，B曝排出的混合液进入二沉池进行泥分离。

四．污水处理目前存在的主要问题

首先，污水处理设施的规划和建设未能与城镇化进程相匹配。污水处理设施主要包括污水处理厂、污水收集管网及其他一些配套设施。近十年来，我国污水处理厂的数量飞速增长，污水管网里程数也快速增加。然而，污水处理设施的规划和建设却未能完全与城镇化进程相匹配。部分地区污水处理厂规划和建设过于超前，建设完成后实际收纳污水较少，部分污水

处理设施长期闲置；或者建设的污水处理厂处理能力严重落后于地区经济发展速度，现有污水处理厂超负荷运转，处理能力之外的污水只能直排外环境。

其次，污水处理设施无法稳定发挥处理效果。近些年，随着污水处理厂数量的飞速增长，对专业的运行管理人员的需求大幅增加，然而，符合要求的人员却比较缺乏，导致部分污水处理厂无法得到科学有效的管理，无法全面发挥污水处理厂的处理效果；地方环保部门对污水处理厂的检查频次低、监管不到位，在日常的监督检查中走过场，日常的监督性监测和在线监测系统等监控手段未有效利用，未及时掌握污水处理厂的运行状况，部分污水处理厂运行管理人员不尽心尽责进行管理；部分工业企业将未处理达标的工业污水或者超出企业承载能力的事故污水直接排入下水管网，对污水处理厂的运行稳定性产生冲击，个别情况甚至会导致生化系统的崩溃、污水处理厂停运，而含较高浓度重金属等污染物的工业污水则会导致污泥中的部分指标严重超标，只能按照危险废物进行处置；部分地区制定的污水处理费收取标准偏低，且无法完全收取到位，部分地方政府由于财政比较困难，对污水处理的补贴不足甚至挪用污水处理费，无法将相关费用及时拨付到位。

第三，污水处理产物尚未得到有效处置。虽然我国大部分城镇污水经过了污水处理设施的处理且达到排放标准，但是未得到有效处置的污泥和大量直排的中水仍然持续污染水体和土壤，城镇污水处理难题尚未真正化解。环境保护部于2010年下发了《关于加强城镇污水处理厂污泥污染防治工作的通知》，然而，当前污水处理厂产生的污泥仍未得到有效处置。当前污泥处置以垃圾填埋场填埋为主，但是过高的含水率使得垃圾填埋场产生滑坡、渗滤液大幅增加等问题，部分垃圾填埋场甚至因此拒绝接受污水处理厂的污泥；通过工业窑炉进行焚烧处置则成本较高，且处置能力有限，处置的比例非常低；污泥处置不畅导致污水处理厂减少排泥甚至不排泥，排放的污泥露天堆放，随意抛弃、倾倒现象成为常态，使得水体和土壤受到了持续的污染。

五．污水处理的前景与要求

中国应完善污水处理的政策法规，建立监管体制，创建合理的污水处理收费体系，扶植国内环保产业发展，推进污水处理行业的产业化和市场化。污水处理行业是一个朝阳产业，发展前景十分广阔。中国将在“十一五”期间投资3000亿元以推进城市污水处理和利用，中国污水处理行业由此迎来高速发展期。

未来污水处理将朝着智慧水务方向发展，在“智慧水务”理念的引导下，水务集团的管理发生了变革，它们采用数据采集、传输等传感设备在线检测水务系统的运行状态，并采用可视化的方式有机整合水务管理部门设施，形成“水务物联网”。集团通过水务数字化管理平台将海量数据进行及时分析与处理，即在各污水处理厂、泵站安装数据采集前置机或数据采集DSP模块，将自控系统中的生产运行数据通过3G网络实时传输到集团总部，进行集中存储和应用。通过对各类关键数据的实时监视和智能分析，再提供分类、分级预警，且利用短信、光、警报声等通知相关负责人，同时给予相应的处理结果辅助决策建议，以更加精细和动态的方式管理水务运营系统的整个生产、管理和服务流程，使之更加数字化、智能化、规范化，从而达到“智慧”的状态。六。结语

在生态文明被高度重视的当下，保护环境不应仅仅是一个口号，而应是我们所有人努力的方向。通过这次研究性学习，我们不仅学到了知识，还产生了浓浓的爱国之情。用我们的知识来为国家排忧解难，才是我们当今少年伟大的志向！