北师大版数学八年级下册全册教案（2021年春修订）

北师大版数学八年级下册

全册教案设计

2021-1-24

第一章

三角形的证明

等腰三角形

第1课时

全等三角形和等腰三角形的性质

【知识与技能】

能够借助数学符号语言利用综合法证明等腰三角形的性质定理.【过程与方法】

经历“探索－发现－猜想－证明”的过程，让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续和必要发展，发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力.【情感态度】

启发引导学生体会探索结论和证明结论，及合情推理与演绎的相互依赖和相互补充的辩证关系.【教学重点】

探索证明等腰三角形性质定理的思路与方法，掌握证明的基本要求和方法.【教学难点】

明确推理证明的基本要求,如明确条件和结论，能否用数学语言正确表达等.一.情景导入，初步认知

提前请学生回忆并整理已经学过的8条基本事实中的5条：

1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行；

2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等；

3.两边夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）；

4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）；

5.三边对应相等的两个三角形全等（SSS）.【教学说明】对以前所学知识进行复习巩固，为本节课的学习作准备.二.思考探究，获取新知

1.你能用所学知识证明吗？

已知：△ABC与△DEF，∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF.求证：△ABC≌△DEF.证明：∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知），∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和等于180°），∴∠C=180°-(∠A+∠B)，∠F=180°-(∠D+∠E)，∴∠C=∠F（等量代换）.又BC=EF（已知），∴△ABC≌△DEF（ASA）.【归纳结论】

（1）两角相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）；

（2）根据全等三角形的定义，我们可以得到：全等三角形的对应边相等，对应角相等；

2.等腰三角形有哪些性质？以前是如何探索这些性质的，你能再次通过折纸活动验证这些性质吗？

【教学说明】让学生经历这些定理的活动验证和证明过程.具体操作中，可以让学生先独自折纸观察.探索并写出等腰三角形的性质，然后再以六人为小组进行交流，互相弥补不足.【归纳结论】

（1）等腰三角形的两个底角相等；（简称为“等边对等角”）

（2）等腰三角形顶角的平分线、底边中线、底边上的高三条线重合.三.运用新知，深化理解

1.在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，求∠B、∠C的度数

分析：

根据等腰三角形的性质：两底角相等，结合三角形的内角和等于

180°来计算.解：在△ABC中，AB＝AC，∴∠B＝∠C.（等边对等角）

∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＝50°,∴∠B＝∠C＝65°.2.已知在△ABC中，AB＝AC，直线AE交BC于点D，O是AE上一动点但不与A重合，且OB＝OC，试猜想AE与BC、BD与CD的关系，并说明你的猜想的理由.猜想：AE⊥BC，BD＝CD.证明：∵AB＝AC，OB＝OC，AO＝AO，∴△ABO≌△ACO（SSS）.∴∠BAO＝∠CAO.∴AE为∠BAC的平分线.∴AE⊥BC，BD=CD.3.如图，AC与BD交于点O，AD=CB，E、F是BD上两点，且AE=CF，DE=BF.请推导下列结论：（1）∠D=∠B；（2）AE∥CF．

证明：（1）∵在△ADE与△CBF中,AD=CB,AE=CF,DE=BF,∴△ADE≌△CBF（SSS）.∴∠D=∠B

（2）∵△ADE≌△CBF,∴∠AED=∠CFB,∴∠AEO=∠CFO.∵在△AOE与△COF中,∠AEO=∠CFO,∴AE∥CF.4.如图，在△ABC中，AB

AC，AD⊥BC,∠BAC

100°.求∠1、∠3、∠B的度数.解：∵在△ABC中，AB

AC，AD⊥BC,∴∠BAD=∠CAD,∴∠1=∠BAC=50°.又∵AD⊥BC,∴∠3=90°.在△ABC中,AB

AC,∴∠B=∠C=40°.【教学说明】在此练习过程中，一定要注意学生的书写格式，必要时教师要在黑板上板书过程.四.师生互动,课堂小结

1.学习了等腰三角形的性质，较好地运用其性质解决等腰三角形的问题.2.知道等腰三角形的顶角平分线、底边中线与底边上的高互相重合.五.教学板书

布置作业:教材“习题1.1”中第1、3题.在本节课的教学中，要采用小组合作的方式教学，在小组合作的基础上教师通过分析、提问，和学生一起完成以上几个性质定理的证明，注意最好让两至三个学生板演证明,其余学生注意其证明过程的书写是否规范.其后，教师作补充强调.第2课时

等边三角形的性质

【知识与技能】

进一步熟悉证明的基本步骤和书写格式，体会证明的必要性

【过程与方法】

把等腰三角形与等边三角形的性质进行比较，体会等腰三角形和等边三角形的相同之处和不同之处.【情感态度】

体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性

【教学重点】

等腰三角形、等边三角形的相关性质.【教学难点】

等腰三角形、等边三角形的相关性质的应用.一.情景导入，初步认知

在回忆上节课等腰三角形性质的基础上，提出问题：在等腰三角形中作出一些线段(如角平分线、中线、高等)，你能发现其中一些相等的线段吗？

【教学说明】通过提问的形式，复习上节课学习的内容，提高学生的学习兴趣.二.思考探究，获取新知

探究

1.在等腰三角形中自主作出一些线段(如角平分线、中线、高等)，观察其中有哪些相等的线段，并尝试给出证明.【归纳结论】

等腰三角形两个底角的平分线相等；

等腰三角形腰上的高相等；

等腰三角形腰上的中线相等．

如对于“等腰三角形两底角的平分线相等”，的证明方法：

证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．

∵BD、CE为∠ABC、∠ACB的平分线，∴∠3=∠4．

在△ABD和△ACE中，∠3=∠4，AB=AC，∠A=∠A．

∴△ABD≌△ACE(ASA)．

∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)．

你能证明其它两个结论吗？

探究2.求证：等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60°.已知：在△ABC中，AB=BC=AC．

求证：∠A=∠B=∠C=60°.证明：在△ABC中，∵AB=AC，∴∠B=∠C(等边对等角)．

同理：∠C=∠A，∴∠A=∠B=∠C（等量代换）．

又∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A=∠B=∠C＝60°

【归纳结论】等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60°.【教学说明】通过自主探究和同伴的交流，学生一般都能在直观猜测、测量验证的基础上探究出结论.三.运用新知，深化理解

1.如图,已知△ABC和△BDE都是等边三角形.求证:AE=CD.证明：∵△ABC和△BDE都是等边三角形.∴∠ABE=∠CBD=60°,AB=CB,BE=BD.在△ABE与△CBD中,AB=CB,∠ABE=∠CBD,BE=BD.∴△ABE≌△CBD(SAS).∴AE=CD.2.如图，△ABC中，AB=AC，E在CA的延长线上，且ED⊥BC于D，求证：AE=AF

证明：∵AB=AC,∴∠B=∠C,∵ED⊥BC,∴∠B+∠BFD=90°,∠C+∠E=90°,∵∠BFD=∠EFA,∴∠B+∠EFA=90°,∵∠C+∠E=90°,∠B=∠C,∴∠EFA=∠E,∴AE=AF.3.如图，在△ABC中，∠A=20°，D在AB上，AD=DC，∠ACD∶∠BCD=2∶3，求：∠ABC的度数.解：∵AD=DC，∴∠ACD=∠A=20°,∵∠ACD∶∠BCD=2∶3,∴∠BCD=30°,∴∠ACB=50°,∴∠ABC=110°.【教学说明】在巩固等边三角形的性质的同时，进一步对等腰三角形的性质进行综合应用，在书写过程中掌握综合证明法的基本要求和步骤，规范证明的书写格式

四.师生互动，课堂小结

掌握证明的基本步骤和书写格式，经历“探索－发现－猜想－证明”的过程，能够用综合法证明等腰三角形的两条腰上的中线（高），两底角的平分线相等，等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60°.五.教学板书

布置作业:教材“习题1.2”中第2、3

题.在探究时，对学生探究的结果予以汇总、点评，鼓励学生在自己做题目的时候也要多思多想，并要求学生对猜测的结果给出证明.第3课时

等腰三角形的判定及反证法

【知识与技能】

探索等腰三角形判定定理,掌握反证法.【过程与方法】

理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明.【情感态度】

培养学生的逆向思维能力.【教学重点】

理解等腰三角形的判定定理.【教学难点】

了解反证法的基本证明思路，并能简单应用

一.情景导入，初步认知

问题1.等腰三角形性质定理的内容是什么？这个命题的题设和结论分别是什么？

问题2.我们是如何证明上述定理的？

【教学说明】通过问题回顾等腰三角形的性质定理以及证明的思路，要求学生独立思考后再进行交流.二.思考探究，获取新知

1.我们把等腰三角形的性质定理的条件和结论反过来还成立吗？如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等吗？

【归纳结论】有两个角相等的三角形是等腰三角形.（简称：等角对等边）

2.小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗?如果成立，你能证明它吗?

我们来看一位同学的想法：

如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时AB与AC要么相等，要么不相等．

假设AB=AC，那么根据“等边对等角”定理可得∠C=∠B，但已知条件是∠B≠∠C．“∠C=∠B”与已知条件“∠B≠∠C”相矛盾，因此AB≠AC

你能理解他的推理过程吗?

再例如，我们要证明△ABC中不可能有两个直角，也可以采用这位同学的证法，假设有两个角是直角，不妨设∠A=90°，∠B=90°，可得∠A+∠B=180°，但∠A+∠B+∠C=180°,“∠A+∠B=180°”与“∠A+∠B+∠C=180°”相矛盾，因此△ABC中不可能有两个直角．

引导学生思考：上面两道题的证法有什么共同的特点呢?

【归纳结论】都是先假设命题的结论不成立，然后由此推导出了与已知公理或已证明过的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立．这也是证明命题的一种方法，我们把它叫做反证法．

【教学说明】总结这一证明方法，叙述并阐释反证法的含义，让学生了解.三.运用新知，深化理解

1.已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，AD∥BC且∠1=∠2．求证：AB=AC．

证明：∵AD∥BC，∴∠1=∠B(两直线平行，同位角相等)，∠2=∠C(两直线平行，内错角相等)．

又∵∠1=∠2，∴∠B=∠C．

∴AB=AC(等角对等边)．

2.如图，BD平分∠CBA，CD平分∠ACB，且MN∥BC，设AB=12，AC=18，求△AMN的周长.解：∵BD平分∠CBA，CD平分∠ACB，∴∠MBD=∠DBC,∠NCD=∠BCD.∵MN∥BC,∴∠MDB=∠DBC,∠NDC=∠BCD.∴∠MDB=∠MBD,∠NDC=∠NCD.∴MB=MD,NC=ND.∴C△AMN=AM+AN+MN=AM+AN+MD+ND=AM+AN+MB+NC

=(AM+MB)+(AN+NC)

=AB+AC=30.3.如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD

CE.求证：△ABC是等腰三角形.解：∵S△ABC=(AB·CE)=(AC·BD)且BD

CE，∴AB=AC.∴△ABC是等腰三角形.4.如图，在△ABC中，AB

AC，DE∥BC，求证：△ADE是等腰三角形.证明：∵AB

AC，∴∠B=∠C，∵DE∥BC，∴∠B=∠E，∠D=∠C.∴∠D=∠E.∴△ADE是等腰三角形.5.垂直于同一条直线的两条直线平行.证明：假设a、b

不平行，那么a、b

相交

∵a⊥c，b⊥c

∴∠1=900，∠2=900

∴

∠1+∠2=180°

而a、b相交，则∠1+∠2≠180°与∠1+∠2=180°相矛盾.∴假设不成立.即：垂直于同一条直线的两条直线平行

【教学说明】学生在独立思考的基础上再小组交流,培养学生应用知识解决问题的能力.四.师生互动，课堂小结

结合本节课的学习，谈谈等腰三角形性质的判定的区别和联系．

五.教学板书

举例谈谈用反证法说理的基本思路.布置作业:教材“习题1.3”中第1、2、3

题.通过学生的练习，发现学生对等腰三角形的判定定理掌握的较好，而用反证法证明定理的应用掌握不够好，应在这方面多加练习讲解.第4课时

等边三角形的判定

【知识与技能】

理解等边三角形的判别条件及其证明，理解含有30°角的直角三角形性质及其证明，并能利用这两个定理解决一些简单的问题.【过程与方法】

经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维.【情感态度】

在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心.【教学重点】

等边三角形判定定理的发现与证明.【教学难点】

了解反证法的基本证明思路，并能简单应用.一.情景导入，初步认知

1.等腰三角形的性质和判定定理是什么？

2.等边三角形作为一种特殊的等腰三角形，具有哪些性质呢？又如何判别一个三角形是等边三角形呢？

【教学说明】开门见山，引入新课，同时回顾，也为后续探索提供了铺垫.二.思考探究，获取新知

1.一个三角形满足什么条件时是等边三角形？一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形？请证明自己的结论，并与同伴交流.【教学说明】学生自主探究等腰三角形成为等边三角形的条件，并交流汇报各自的结论，教师适时要求学生给出相对规范的证明，概括出等边三角形的判别条件，并引导学生总结.2.用含30°角的两个三角尺，你能拼成一个怎样的三角形?能拼出一个等边三角形吗?

在你所拼得的等边三角形中，有哪些线段存在相等关系，有哪些线段存在倍数关系，你能得到什么结论？说说你的理由．

【教学说明】学生通过动手操作、观察，找出一些线段存在相等关系.从而得出结论，并加深印象.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.【归纳结论】

（1）三个角都相等的三角形是等边三角形；

（2）有一角是60°的等腰三角形是等边三角形.三.运用新知，深化理解

1.见教材P11例3

2.已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=AB．求证：∠BAC=30°

证明：延长BC至D，使CD=BC，连接AD.∵∠ACB=90°，∴∠ACD=90°．

又∵AC=AC．

∴△ACB≌△ACD(SAS)．

∴AB=AD．

∵CD=BC，∴BC=BD．

又∵BC=AB，∴AB=BD．

∴AB=AD=BD，即△ABD是等边三角形．

∴∠B=60°．

在Rt△ABC中，∠BAC=30°．

3.如图，△ABC是等边三角形，BD

CE，∠1

=∠2.求证：△ADE是等边三角形

证明：∵△ABC是等边三角形,∴AB=AC.在△ABD与△ACE中,AB=AC,∠1

=∠2,BD

CE,∴△ABD≌△ACE（SAS）.∴∠EAD=∠BAC=60°,EA=DA.∴△ADE是等边三角形(有一角是60°的等腰三角形是等边三角形).4.如图，在Rt△ABC中，∠B

30°，BD

AD，BD

12，求DC的长.解：在Rt△ABC，∠B

30°

∵BD

∴∠B

=∠BAD=

30°

∴∠ADC=60°.∵∠C=90°,∴∠DAC=30°.在Rt△ADC中,∠DAC=30°

∴CD=AD(在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半).∵BD

AD=12,∴CD=6.【教学说明】变式训练,巩固新知.注意几何语言.熟练运用直角三角形的有关性质.四.师生互动，课堂小结

掌握证明与等边三角形、直角三角形有关的性质定理和判定定理.五.教学板书

布置作业:教材“习题1.4”中第3、5题.通过反复练习，学生对本节课的知识掌握的较好，就是几何过程不够严密，有待加强.2

直角三角形

第1课时

勾股定理及其逆定理

【知识与技能】

1.掌握直角三角形的性质定理（勾股定理）及判定定理的证明方法，并能运用定理解决与直角三角形有关的问题.2.结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立.【过程与方法】

进一步经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维

【情感态度】

体验生活中数学的应用价值，感受数学与人类生活的密切联系，激发学生学数学、用数学的兴趣.【教学重点】

掌握直角三角形的性质定理（勾股定理）及判定定理的证明方法.【教学难点】

运用定理解决与直角三角形有关的问题

一.情景导入，初步认知

我们学过直角三角形的哪些性质和判定方法？与同伴交流.【教学说明】回顾旧知，也为后续探索提供了铺垫.二.思考探究，获取新知

探究1：直角三角形的性质和判定

直角三角形的两个锐角有什么关系？为什么？

如果一个三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是什么三角形？为什么？

【教学说明】让学生在解决问题的同时，总结直角三角形的一般性质.【归纳结论】①直角三角形的两个锐角互余；②有两个角互余的三角形是直角三角形.探究2：勾股定理及其逆定理.教材中曾利用数方格和割补图形的方法得到了勾股定理．如果利用公理及由其推导出的定理，能够证明勾股定理吗?

【教学说明】教师引导学生思考，写出证明过程.【归纳结论】勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．勾股逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．

探究3：互逆命题和互逆定理.观察上面两个命题，它们的条件和结论之间有怎样的关系?在前面的学习中还有类似的命题吗?

上面两个定理的条件和结论互换了位置，即勾股定理的条件是第二个定理的结论，结论是第二个定理的条件．

在前面的学习中还有类似的命题吗?

【教学说明】教师应注意给予适度的引导，学生若出现语言上不严谨时，要先让这个疑问交给学生来剖析，然后再总结.【归纳结论】在两个命题中，如果一个命题条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.如果有些命题，原命题是真命题，逆命题也是真命题，那么我们称它们为互逆定理.三.运用新知，深化理解

1.说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假:

（1）四边形是多边形；

（2）两直线平行，同旁内角互补；

（3）如果ab＝0，那么a＝0，b＝0.【分析】互逆命题和互逆定理的概念，学生接受起来应不会有什么困难，尤其是对以“如果……那么……”形式给出的命题，写出其逆命题较为容易，但对于那些不是以这种形式给出的命题，叙述其逆命题有一定困难．可先分析命题的条件和结论，然后写出逆命题．

解：（1）多边形是四边形．原命题是真命题，而逆命题是假命题．

（2）同旁内角互补，两直线平行．原命题与逆命题同为真．

（3）如果a＝0，b＝0，那么ab＝0．原命题是假命题，而逆命题是真命题．

2.如图，BA⊥DA于A，AD

12，DC

9，CA

15，求证：BA∥DC.证明：在△ADC中，AD

12，DC

9，CA

15.∵AD2+DC2=CA2,∴△ADC是直角三角形.（如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形）

∴AD⊥CD,∵BA⊥DA,∴BA∥DC.3.某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图5所示，∠ACB＝90°，AC＝80米，BC＝60米，若线段CD是一条小渠，且D点在边AB上，已知水渠的造价为10元/米，问D点在距A点多远处时，水渠的造价最低？最低造价是多少？

解：当CD⊥AB时，CD最短，造价最低.∵∠ACB＝90°，AC＝80，BC＝60，∴AB=100.设AD=x,则BD=100-x.∵在Rt△ADC与Rt△BDC中,∴CD2=AC2-AD2,CD2=BC2-BD2.∴AC2-AD2=BC2-BD2.∴802-x2=602-（100-x）2.解得：x=64.∴在Rt△ADC中，CD=48.∴最低造价是：48×10=480（元）.你还能用其他方法求出CD的长吗？

（提示：用面积法）

4.已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．求证：a2+b2＝c2．

证明：延长CB至D，使BD＝b，作∠EBD＝∠A，并取BE＝c，连接ED、AE（如图），则△ABC≌△BED．

∴∠BDE＝90°，ED＝a（全等三角形的对应角相等，对应边相等）．

∴四边形ACDE是直角梯形．∴S梯形ACDE＝(a+b)(a+b)＝（a+b）2．

∴∠ABE＝180°－（∠ABC＋∠EBD）＝180°－90°＝90°，AB＝BE．

∴S△ABE＝c2

∵S梯形ACDE＝S△ABE+S△ABC+S△BED，∴（a+b）2＝c2

ab,即a2

b2＝c2

ab,∴a2+b2＝c2

四.师生互动，课堂小结

这节课我们了解了勾股定理及逆定理的证明方法，并结合数学和生活中的例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立，掌握了证明方法，进一步提高了演绎推理的能力．

五.教学板书

布置作业:教材“习题1.5”中第2、3题.在教学互逆命题和互逆定理时，要强调：互逆命题是相对两个命题而言的，单独一个命题称不上互逆命题；一个命题是真，它的逆命题可能是真，也可能是假.第2课时

直角三角形全等的判定

【知识与技能】

能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理，进一步理解证明的必要性

【过程与方法】

进一步经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感

【情感态度】

进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力

【教学重点】

能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理

【教学难点】

进一步理解证明的必要性.一.情景导入，初步认知

1.判断两个三角形全等的方法有哪几种？

2.已知一条边和斜边，求作一个直角三角形.想一想，怎么画？同学们相互交流.3.有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗？如果其中一个角是直角呢？请证明你的结论.【教学说明】教师顺水推舟，询问能否证明：“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”，从而引入新课.二.思考探究，获取新知

探究：“HL”定理.已知：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，BC=B′C′．求证：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′.证明：在Rt△ABC中，AC2=AB2一BC2(勾股定理)．

又∵在Rt△

A＇

B＇

C＇中，A＇

C＇

2=A＇B＇2一B＇C＇2

(勾股定理)．

∴AB=A＇B＇，BC=B＇C＇，AC=A＇C＇．

∴Rt△ABC≌Rt△A＇B＇C＇

(SSS)．

【归纳结论】斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．（这一定理可以简单地用“斜边、直角边”或“HL”表示．)

【教学说明】讲解学生的板演，借此进一步规范学生的书写和表达.分析命题的条件，既然其中一边和它所对的直角对应相等，那么可以把这两个因素总结为直角三角形的斜边对应相等，于是直角三角形有自己的全等判定定理.三.运用新知，深化理解

1.见教材P20例题

2.填空：如下图，Rt△ABC和Rt△DEF，∠C=∠F=90°.（1）若∠A=∠D，BC=EF，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是AAS.（2）若∠A=∠D，AC=DF，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是ASA.（3）若∠A=∠D，AB=DE，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是AAS.（4）若AC=DF，AB=DE，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是HL.（5）若AC=DF，CB=FE，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是SAS.3.已知：Rt△ABC和Rt△A＇B＇C＇，∠C=∠C＇=90°，BC=B＇C＇，BD、B＇D＇分别是AC、A＇C＇边上的中线，且BD=B＇D＇.求证：Rt△ABC≌Rt△A＇B＇C＇．

证明：在Rt△BDC和Rt△B＇D＇C＇中，∵BD=B＇D＇,BC=B＇C＇,∴Rt△BDC≌Rt△B＇D＇C＇

(HL定理)．

∴CD=C＇D＇．

又∵AC=2CD，A＇C＇=2C＇D＇，∴AC=A＇C＇．

∴在Rt△ABC和Rt△A＇B＇C

＇中，∵BC=B＇C

＇，∠C=∠C

＇=90°，AC=A＇C＇，∴Rt△ABC≌Rt△A＇B＇C(SAS)．

4.如图，已知∠ACB=∠BDA=90°，要使△ACB≌△BDA，还需要什么条件?把它们分别写出来，并证明.解：AC=DB.∵AC=DB,AB=BA,∴△ACB≌△BDA（HL）

其他条件：CB=DA或四边形ACBD是平行四边形等.证明略.【教学说明】这是一个开放性问题，答案不唯一，需要我们灵活地运用公理和已学过的定理，观察图形，积极思考，并在独立思考的基础上，通过同学之间的交流，获得各种不同的答案．

5.如图，在△ABC与△A＇B＇C＇中，CD、C＇D＇分别分别是高，并且AC＝A＇C＇，CD=C＇D＇．∠ACB=∠A＇C＇B＇．求证：△ABC≌△A＇B＇C＇．

分析：要证△ABC≌△A＇B＇C＇，由已知中找到条件：一组边AC=A＇C＇，一组角∠ACB=∠A＇C＇B＇．如果寻求∠A=∠A＇，就可用ASA证明全等；也可以寻求∠B=∠B＇，这样就可用AAS；还可寻求BC=B＇C＇，那么就可根据SAS……注意到题目中有CD、C＇D＇是三角形的高，CD=C＇D＇．观察图形，这里有三对三角形应该是全等的，且题目中具备了HL定理的条件，可证得Rt△ADC≌Rt△A＇D＇C＇，因此证明∠A=∠A＇

就可行．

证明：∵CD、C＇D＇分别是△ABC、△A＇B＇C＇的高(已知)，∴∠ADC=∠A＇D＇C＇=90°．

在Rt△ADC和Rt△A＇D＇C＇中，AC=A＇C＇(已知)，CD=C＇D＇

(已知)，∴Rt△ADC≌Rt△A＇D＇C＇

(HL)．

∠A=∠A＇，(全等三角形的对应角相等)．

在△ABC和△A＇B＇C＇中，∠A=∠A＇

(已证)，AC=A＇C＇

(已知)，∠ACB=∠A＇C＇B＇

(已知)，∴△ABC≌△A＇B＇C＇

(ASA)．

【教学说明】通过上述师生共同活动，学生板书推理过程之后可发动学生去纠错，教师最后再总结.四.师生互动，课堂小结

直角三角形的判定方法有五种，注意“HL”仅适用于直角三角形.五.教学板书

布置作业:教材“习题1.6”中第3、4、5

题.本节课我们讨论了在一般三角形中两边及其一边对角对应相等的两个三角形不一定全等．而当一边的对角是直角时，这两个三角形是全等的，从而得出判定直角三角形全等的特殊方法——HL定理，并用此定理安排了一系列具体的、开放性的问题，不仅进一步掌握了推理证明的方法，而且发展了同学们演绎推理的能力．同学们这一节课的表现很值得夸赞．

3线段的垂直平分线

第1课时

线段垂直平分线的性质定理及逆定理

【知识与技能】

证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理

【过程与方法】

经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明能力,丰富对几何图形的认识

【情感态度】

通过小组活动，学会与他人合作，并能与他人交流思维的过程和结果.【教学重点】

运用几何符号语言证明垂直平分线的性质定理及其逆命题.【教学难点】

垂直平分线的性质定理在实际问题中的运用.一.情景导入，初步认知

如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置?

【教学说明】从实际问题入手，提高学生的学习兴趣，使学生明白数学来源于生活，用于生活.二.思考探究，获取新知

探究1：垂直平分线的性质.已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的点．求证：PA=PB．

证明：∵MN⊥AB，∴∠PCA=∠PCB=90°

∵AC=BC，PC=PC,∴△PCA≌△PCB(SAS)．

∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)

【归纳结论】线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等

探究2:垂直平分线判定

你能写出上面这个定理的逆命题吗?它是真命题吗?

逆命题就很容易写出来．“如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上．”

写出逆命题后时，就想到判断它的真假．如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明．

引导学生分析证明过程.已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB．

求证：P点在AB的垂直平分线上．

证明：过点P作已知线段AB的垂线PC,PA=PB，PC=PC，∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL定理)．

∴AC=BC，即P点在AB的垂直平分线上

【教学说明】此处证明可让学生用多种方法证明.【归纳结论】到一条线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.三.运用新知，深化理解

1.已知：如图，在△ABC

中，AB

AC，O

是

△ABC

内一点，且

OC.求证：直线

垂直平分线段BC．

证明：∵

AC，∴

点

在线段

BC的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.同理，点

在线段

BC的垂直平分线上.∴

直线

是线段

BC的垂直平分线（两点确定一条直线）.2.如图，DE为△ABC的AB边的垂直平分线，D为垂足，DE交BC于E，AC

5，BC

8，求△AEC的周长.解：∵DE为△ABC的AB边的垂直平分线,∴AE=BE.∴C△AEC=AC+AE+CE=AC+BE+CE=AC+BC=5+8=13.3.如图，已知：线段CD垂直平分AB，AB平分∠DAC.求证：AD∥BC

证明：∵CD是AB的垂直平分线，∴AC=BC,∴∠CAB=∠B,又∵∠CAB=∠DAB,∴∠DAB=∠B,∴AD∥BC.4.如图，已知：AD是△ABC的高，E为AD上一点，且BE=CE.求证：△ABC是等腰三角形.证明：∵BE=CE，AD⊥BC

∴AD是BC的垂直平分线，∴AB=AC,∴△ABC是等腰三角形.5.如图，已知：AB⊥BC，CD⊥BC，∠AMB=75°,∠DMC=45°，AM=DM.求证：AB=BC.证明：连接AC.∠AMD=180°－75°－45°=60°，且AM=DM，∴△AMD是等边三角形.∴AM=AD.又∵∠MDC=90°－45°=45°，∴∠MDC=∠DMC，∴CD=CM，∴AC为DM的垂直平分线，又∵CD=CM

∴CH是∠DCM角平分线

∴∠ACM=90°－45°=45°，∴∠BAC=180°-∠B=∠ACM=90°-∠ACM=45°

∴AB=BC.【教学说明】学生是第一次证明一条直线是已知线段的垂直平分线，因此老师要引导学生理清证明的思路和方法并给出完整的证明过程.四.师生互动，课堂小结

通过这节课的学习你有哪些新的收获？还有哪些困惑？

五.教学板书

布置作业:教材“习题1.7”中第1、3

题.由于本节课是对垂直平分线的性质与判定的综合应用，学生掌握起来难度较大，所以要引导学生理清证明的思路和方法并给出完整的证明过程.第2课时

三角形三边的垂直平分线

【知识与技能】

1.能够证明三角形三边垂直平分线交于一点.2.垂直平分线的应用.【过程与方法】

经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．体验解决问题的方法，提高实践能力和创新意识.【情感态度】

体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性.【教学重点】

作已知线段的垂直平分线.【教学难点】

垂直平分线的应用.一.情景导入，初步认知

上节课我们学习了线段的垂直平分线，线段的垂直平分线的性质定理、判定定理是什么？

【教学说明】回顾旧知，为本节课作准备.二.思考探究，获取新知

探究1：请同学们剪一个三角形纸片，通过折叠找出每条边的垂直平分线，观察这三条垂直平分线，你是否发现同样的结论?与同伴交流．

【教学说明】让学生自己经历探究的过程，不要直接给出答案或很有指向性的提示.【归纳结论】三角形三边的垂直平分线交于一点，这个点到三个顶点的距离相等.探究2：已知底边及底边上的高，求作等腰三角形．

已知：线段a、h

求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h

作法：1．作BC=a；

2．作线段BC的垂直平分线MN交BC于D点；

3．以D为圆心，h长为半径作弧交MN于A点；

4．连接AB、AC.∴△ABC就是所求作的三角形(如图所示)．

探究3：已知直线

和

上一点

P，用尺规作

l的垂线，使它经过点

P.如果点

是直线

外一点，那么怎样用尺规作

l的垂线，使它经过点

呢？

【教学说明】学生先独立思考完成，然后交流，说出做法并解释作图的理由.三.运用新知，深化理解

1.如图，已知：在△ABC中，AB、BC边上的垂直平分线相交于点P.求证：点P在AC的垂直平分线上.证明：P是AB、BC边上的垂直平分线，∴AP=BP,BP=CP，∴AP=CP，∴P点在AC的垂直平分线上.2.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．

（1）尺规作图：作线段AB的垂直平分线l（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）在已作的图形中，若l分别交AB、AC及BC的延长线于点D、E、F，连接BE．

求证：EF=2DE.解：（1）直线l即为所求．

（2）证明：在Rt△ABC中，∵∠A=30°，∴∠ABC=60°，又∵l为线段AB的垂直平分线，∴EA=EB，∴∠EBA=∠A=30°，∠AED=∠BED=60°，∴∠EBC=30°=∠EBA，∠FEC=60°．

又∵ED⊥AB，EC⊥BC，∴ED=EC．

在Rt△ECF中，∠FEC=60°，∴∠EFC=30°，∴EF=2EC，∴EF=2ED．

3.已知：线段a=4cm,h=6cm.求作：作一个△ABC，使AB

AC，且BC

=a，高AD

=h.作法：略

【教学说明】通过练习，巩固所学知识.熟练运用垂直平分线解决问题.四.师生互动，课堂小结

本节课通过推理证明了“到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三条边的垂直平分线的交点，及三角形三条边的垂直平分线交于一点”的结论，并能根据此结论“已知等腰三角形的底和底边的高，求作等腰三角形”．

五.教学板书

布置作业:教材“习题1.8”中第1、2

题.让学生动手画出符合要求的三角形，训练他们的作图技能，要注意提醒学生正确使用直尺和圆规，规范作图.4

角平分线

第1课时

角平分线的性质定理及逆定理

【知识与技能】

会证明角平分线的性质定理及其逆定理

【过程与方法】

经历探索、猜测、证明的过程，进一步提高学生的推理证明意识和能力．体验解决问题的方法，发展实践能力和创新意识.【情感态度】

经历探索、猜想、证明使学生掌握研究解决问题的方法.【教学重点】

正确地表述角平分线性质定理的逆命题及其证明.【教学难点】

正确地表述角平分线性质定理的逆命题及其证明.一.情景导入，初步认知

让学生到黑板上画出他们收集到的日常生活中应用角平分线的例子，并分别说出它们的作用.【教学说明】高度评价学生的参与热情和学习成果，激励学生继续努力.尤其是对于其中很有创意的发现，可以以该学生名字命名，以此鼓励.提高学生的积极性.二.思考探究，获取新知

探究1：角平分线定理

已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E．

求证：PD=PE．

证明：∵∠1=∠2，OP=OP，∠PDO=∠PEO=90°，∴△PDO≌△PEO(AAS)．

∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)．

【教学说明】请同学们自己尝试着证明上述结论，然后在全班进行交流．教师在教学过程中对有困难的学生要给予指导.【归纳结论】角平分线上的点到这个角两边的距离相等.探究2：角平分线的判定定理.已知：在∠AOB内部有一点P，且PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足且PD=PE.求证：点P在∠AOB的角平分线上．

证明：∴PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠

PEO=90°．

在Rt△ODP和Rt△OEP中,OP=OP，PD=PE，∴Rt△ODP

≌Rt△OEP(HL定理)．

∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等)．

∴点P在∠AOB的角平分线上.【归纳结论】在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上.三.运用新知，深化理解

1.见教材P29例1

2.如图，已知：∠C=90°，DE是AB的垂直平分线，D为垂足，交BC于E，AB=2AC.求证：CE=DE.证明：连接AE，由于∠C=90°，AB=2AC，∴∠B=30°，∠CAB=60°.∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∴∠EAB=∠B=30°，∴∠CAE=60°－30°=30°，即AE是∠CAB的角平分线，∴CE=DE.3.如图，已知：E是∠AOB的平分线上的一点，且EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是C、D.求证：OE垂直平分CD.证明：∵OE是∠AOB的平分线，∴CE=DE，∴Rt△OCE≌Rt△ODE，∴OC=OD，∴O与E都在CD的垂直平分线上，∴OE垂直平分CD.4.如图，已知：在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于D，且DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F.求证：AD是EF的垂直平分线.证明：∵AD是∠BAC的平分线，且DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∴Rt△ADE≌Rt△ADF，∴AE=AF，∴A与D都在EF的垂直平分线上，∴AD就是EF的垂直平分线.【教学说明】综合利用角平分线的性质和判定直角三角形.垂直平分线的相关性质解决问题.进一步发展学生的推论证明能力.在学生独立完成推理过程的基础上，教师要给出书写示范.四.师生互动，课堂小结

先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.五.教学板书

布置作业:教材“习题1.9”中第2、3

题.这节课证明了角平分线的性质定理和判定定理，在有角的平分线（或证明是角的平分线）时，过角平分线上的点向两边作垂线段，利用角平分线的判定或性质则使问题迅速得到解决.学生掌握较好.第2课时

三角形三个内角的平分线

【知识与技能】

证明与角的平分线的性质定理和判定定理相关的结论.【过程与方法】

经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．体验解决问题的方法，发展实践能力和创新意识.【情感态度】

在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心.【教学重点】

三角形三个内角的平分线的性质.【教学难点】

角平分线的性质定理和判定定理的综合应用.一.情景导入，初步认知

本节课继续学习有关角平分线的性质和应用，讨论三角形中的角平分线.那么，今天的这节课的研究方法和内容还是和线段的垂直平分线很类似，在学习的过程中，要注意对比线段垂直平分线的研究方法来学习.【教学说明】通过老师的说明，对这节课的大体内容和总的研究方法有了整体的认识和把握，学生可以在一个比较高的起点上来学习本节课的内容.同时，由于老师点明了线段垂直平分线和角平分线之间的相似性，学生初步感受到了数学中的和谐，对数学对象之间的相互联系有了感性的体验.在教师的帮助下提炼出数学中的联系，构建认知结构.二.思考探究，获取新知

探究：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.1.证明：三角形的三条角平分线相交于一点

已知：如图，设△ABC的角平分线BM、CN相交于点P，求证：P点在∠BAC的角平分线上．

证明：过P点作PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，其中D、E、F是垂足．

∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)．

同理：PE=PF．

∴PD=PF．

∴点P在∠BAC的平分线上(在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上)．

∴△ABC的三条角平分线相交于点P．

2.证明：这一点到三条边的距离相等

如上图，P是△ABC的三条角平分线的交点，求证：PD=PE=PF.由上题的证明可知：PD=PE=PF.【教学说明】让学生把证明落实到笔上，可以培养学生的数学语言表达能力，也可以让学生自己监控自己的思维，培养学生思维的批判性.【归纳结论】三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．

三.运用新知，深化理解

1.见教材P31例3.2.已知：如图，P点是∠AOB平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C、D．

求证：（1）OC=OD；

（2）OP是CD的垂直平分线．

证明：(1)P点是∠AOB角平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，∴PC=PD(角平分线上的点到角两边的距离相等)．

在Rt△OPC和Rt△OPD中，OP=OP，PC=PD，∴Rt△OPC≌Rt△OPD(HL定理)．

∴OC=OD(全等三角形对应边相等)．

（2）又∵OP是∠AOB的角平分线，∴OP是CD的垂直平分线(等腰三角形“三线合一”定理)．

3.如图：直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？你如何发现的?

解：我找到四处．除了△ABC三条角平分线交点P外，在三角形外部还有三点．作∠ACB、∠ABC外角的平分线交于点P1(如图所示)，我们利用角平分线的性质定理和判定定理，可知点P1在∠CAB的角平分线上，且到l1、l2、l3的距离相等．同理还有∠BAC、∠BCA的外角的角平分线的交点P2、P3.因此满足条件共4个，分别是P、P1、P2、P3.4.作图证明：如图，在△ABC中，作∠ABC的平分线BD，交AC于D，作线段BD的垂直平分线EF，分别交AB于E，交BC于F，垂足为O，连结DF．在所作图中，寻找一对全等三角形，并加以证明．（不写作法，保留作图痕迹）

解：（1）画角平分线，线段的垂直平分线．（图形略）

（2）△BOE≌△BOF≌△DOF（证明过程略）

【教学说明】让学生首先自己思考例题的解决方法.分析例题的条件和结论，充分暴露自己的思维过程，让学生“观摩”，在此过程中使学生知道“老师是怎么想到的”.四.师生互动，课堂小结

本节课我们利用角平分线的性质和判定定理证明了三角形三条角平分线交于一点，且这一点到三角形各边的距离相等．并综合运用我们前面学过的性质定理等解决了几何中的计算和证明问题．

五.教学板书

布置作业:教材“习题1.10”中第2、3

题.在例题讲解中，要引导学生先从条件出发，想一想由条件可以得到哪些结论?然后从结论出发，思考如果要证明结论成立或计算出结果，都需要什么结果?从前后两个方向思考，渗透分析和综合的解决问题的方法.章末复习

【知识与技能】

回顾与思考，建立本章的知识框架图.【过程与方法】

进一步掌握综合法的证明方法，结合实例体会反证法的含义.【情感态度】

经历探索、猜想、证明使学生掌握解决问题的方法.【教学重点】

建立本章的知识框架图.【教学难点】

本章知识的综合性应用.一.知识结构

【教学说明】引导学生回顾本章知识点，使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系.二.释疑解惑，加深理解

1.你能说说作为证明基础的几条公理吗？

①两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;

②两条平行线被第三条直线所截,同位角相等;

③两边及其夹角对应相等的两个三角形全等;

（SAS）

④两角及其夹边对应相等的两个三角形全等;

（ASA）

⑤三边对应相等的两个三角形全等;

（SSS）

⑥全等三角形的对应边相等,对应角相等.2.向你的同伴讲述一两个命题的证明思路和证明方法.①综合法：从已知出发利用学过的公理和已证明的定理进行合情推理和演绎推理；

②反证法．

3.与等腰三角形、等边三角形有关的结论：

性质：等腰三角形的两个底角相等，即等边对等角；

等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；

等腰三角形两底角的平分线相等，两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等．

等边三角形的三条边都相等，三个角都相等，并且每个角都等于60°；

判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形；

有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；

三个角都相等的三角形是等边三角形．

4.与直角三角形有关的结论：

①勾股定理的逆定理；

②在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；③斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等．(HL)

5.命题的逆命题及其真假

①互逆命题；

②互逆定理.6.本章所证明的命题

①等腰三角形（含等边三角形）、直角三角形的性质定理及判定定理；

②线段垂直平分线的性质定理及判定定理；

③角平分线的性质定理及判定定理；

④三角形三边的垂直平分线交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等；

⑤三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.7.尺规作图.①线段的垂直平分线;

②角的平分线．

【教学说明】在回顾与思考中建立本章的知识框架图，复习有关定理的探索与证明、证明的思路和方法、尺规作图等.三.典例精析，复习新知

1.使两个直角三角形全等的条件是（）

A．一个锐角对应相等

B．两个锐角对应相等

C．一条边对应相等

D．两条边对应相等

解：A.一个锐角对应相等，利用已知的直角相等，可得出另一组锐角相等，但不能证明两三角形全等，故选项错误；

B.两个锐角相等，那么也就是三个对应角相等，但不能证明两三角形全等，故选项错误；

C.一条边对应相等，再加一组直角相等，不能得出两三角形全等，故选项错误；

D.两条边对应相等，若是两条直角边相等，可利用SAS证全等；若一直角边对应相等，一斜边对应相等，也可证全等，故选项正确．

故选D.2.具有下列条件的两个等腰三角形，不能判断它们全等的是（）

A.顶角、一腰对应相等

B.底边、一腰对应相等

C.两腰对应相等

D.一底角、底边对应相等

答案：C.3.下列说法错误的是（）

A.任何命题都有逆命题

B.定理都有逆定理

C.命题的逆命题不一定是正确的D.定理的逆定理一定是正确的答案：B

4.已知，如图，O是∠ABC、∠ACB的角平分线的交点，OD∥AB交BC于D，OE∥AC交BC于E.若BC=10cm，求△ODE的周长.答案：△DOE的周长为10cm.（提示：证OD=BD，OE=EC）

5.如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于点E，已知△BCE的周长为8，AC－BC=2.求AB与BC的长.分析：由已知AC－BC=2，即AB－BC=2，要求AB和BC的长，利用方程的思想，需找另一个AB与BC的关系．

答案：AB=5，BC=3.【教学说明】通过例题讲解，进一步掌握本章知识，结合相关习题进一步发展学生的推理证明意识和能力.四.复习训练，巩固提高

1.如图，△ABC中，AB=AC，点D在AC边上，且BD=BC=AD，则∠A的度数为（）

A.30°

B.36°

C.45°

D.70°

答案：B.2.等腰三角形底角15°，则等腰三角形的顶角、腰上的高与底边的夹角分别是、.答案：150°，75°.3.如图，已知线段a，h作等腰△ABC，使AB＝AC，且BC＝a，BC边上的高AD＝h.张红的作法是：

（1）作线段

BC＝a；

（2）作线段BC的垂直平分线MN，MN与BC相交于点D；

（3）在直线MN上截取线段h；

（4）连结AB，AC则△ABC为所求的等腰三角形.上述作法的四个步骤中，你认为有错误的一步是（）.A.（1）

B.（2）

C.（3）

D.（4）

答案：C

4.如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E.（1）已知CD=4cm，求AC的长；

（2）求证：AB=AC+CD.解：（1）

先证DE=EB，再求DB=4cm,∴AC=(4+4)cm.（2）

证明△ACD≌△AED，即得AC=AE，∴AB=AC+CD.5.如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高.求证：AD垂直平分EF.证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高.∴DE=DF.∴D在EF的垂直平分线上，在Rt△ADE与Rt△ADF中，DE=DF，AD=AD.∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL).∴AE=AF.∴A在EF的垂直平分线上.∴AD垂直平分EF.【教学说明】利用习题巩固本章知识点，体验解决问题的方法，发展实践能力和创新意识.五.师生互动，课堂小结

通过对本章知识点的复习，你有哪些收获？还存在哪些疑惑？请与同伴、老师交流.布置作业:教材“复习题”中第4、6、7、10题.通过本节课的复习，归纳三角形的证明的相关性质、判定，使学生体验事物之间的联系与区别，从而加强对新知识的应用与理解.通过复习，大部分学生对本章知识掌握的较好，会对三角形进行相关的证明，应注意的问题是证明过程不够严密，逻辑性不强.第二章

一元一次不等式与一元一次不等式组

不等关系

【知识与技能】

1.理解不等式的意义;

2.能根据条件列出不等式;

3.能用实际生活背景和数学背景解释简单不等式的意义.【过程与方法】

通过本节学习,让学生感受到不等关系是客观存在的广泛的数量关系.【情感态度】

通过对富有实际意义问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘与数学的结构美，激发学习兴趣.【教学重点】

用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值.【教学难点】

用不等式或不等式组准确地表示出不等关系.一.情景导入，初步认知

列举出学生身体的高矮、距离学校路程的远近、百米赛跑的时间、数学成绩的多少等现实生活中学生身边熟悉的事例，描述出某种客观事物在数量上存在的不等关系.那么这些不等关系怎样在数学上表示出来呢？

【教学说明】让学生自由地展开联想，教师列举不等关系的相关素材，让学生用数学的观点进行观察、归纳，使学生在具体情境中感受到不等关系与相等关系一样，在现实世界和日常生活中大量存在着.这样学生会由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望，从而进入下一步的探究学习，由此引入新课

二.思考探究，获取新知

探究：1.某中学准备在学校饭厅新添一个通风口，四周用长为xm(x≤5)的装潢条镶嵌（不计接缝），现有两种设计方案.如下图：

问题：

2.通过测量一棵树围（树干的周长）可以计算出它的树龄.通常规定以树干离地面1.5米的地方作为测量部位，某树栽种时的树围为5㎝，以后树围每年增加约为3㎝，这棵树至少生长多少年其树围才能超过2.4m？（只列关系式）

请大家互相讨论后列出关系式.观察由上述问题得到的关系式，它们的共同特点是什么？

【教学说明】通过学生自己总结出不等式的概念，培养学生总结归纳的能力.【归纳结论】一般地，用符号“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式.三.运用新知，深化理解

1.在数学表达式：（1）-3＜0

;（2）3x+5＞0;

（3）x2-6;（4）x=-2;（5）y≠0;（6）x≥50中，不等式的个数是（）

A.2

B.3

C.4

D.5

解析：根据不等式的定义，只要有不等符号的式子就是不等式，所以（1），（2），（5），（6）为不等式，共有4个．

故选C.2.某市最高气温是33℃，最低气温是24℃，则该市气温t（℃）的变化范围是（）

A.t＞33

B.t≤24

C.24＜t＜33

D.24≤t≤33

解析：由题意，某市最高气温是33℃，最低气温是24℃，说明其它时间的气温介于两者之间，所以该市气温t（℃）的变化范围是：24≤t≤33.故选D.3.若m是非负数，则用不等式表示正确的是（）

A.m＜0

B.m＞0

C.m≤0

D.m≥0

解析：非负数即正数或0，即大于或等于0的数，则m≥0．故选D.4.k的值大于-1且不大于3，则用不等式表示

k的取值范围是

．（使用形如a≤x≤b的类似式子填空．）

答案：-1＜k≤3.5.801班班长拿了56元钱去给班内20名优秀学生买奖品，奖品有两种：钢笔和笔记本.已知钢笔每支5元，笔记本每本3元，如果买x支钢笔，则列出关于x的不等式是

5x+3(20-x)≤

56.【教学说明】对本节知识进行巩固练习，及时反馈.四.师生互动,课堂小结

能根据题意列出不等式，特别要注意“不大于”，“不小于”等词语的理解.通过不等关系的式子归纳出不等式的概念.五.教学板书

布置作业:教材“习题2.1”中第1、3

题.本节课充分通过学生举例和老师的选例，让学生体会在现实生活中除了存在许多等量关系外，更多的是不等关系的存在，并通过感受生活中的大量不等关系，初步体会不等式是刻画量与量之间关系的重要数学模型.经历由具体实例建立不等式模型的过程，进一步发展学生的符号感与数学化的能力.在教学中，要充分相信学生的潜力，让学生真正成为学习的主体，让学生的思维在数学课堂上尽情地驰骋，老师要做好课堂的引导者、参与者、合作者，与学生平等地进行交流与学习.2

不等式的基本性质

【知识与技能】

1.经历通过类比、猜测、验证发现不等式基本性质的探索过程，初步体会不等式与等式的异同.2.掌握不等式的基本性质，并能初步运用不等式的基本性质将比较简单的不等式转化为“x＞a”或“x＜a”的形式.【过程与方法】

通过研究等式的基本性质过程类比研究不等式的基本性质过程，体会类比的数学方法

.【情感态度】

通过学生自我探索，发现不等式的基本性质，提高学生学习数学的兴趣和学好数学的自信心.【教学重点】

理解不等式的三个性质.【教学难点】

理解不等式的三个性质.一.情景导入，初步认知

还记得等式的基本性质吗？请用字母表示它.不等式有类似的性质吗？先猜一猜.【教学说明】通过研究等式的基本性质过程类比研究不等式的基本性质过程，体会类比的数学方法.二.思考探究，获取新知

探究1：不等式的基本性质.1.用等号或不等号完成下面的填空.如果2

3,那么

2+3

3+3;2+（-5）

3+（-5）.【归纳结论】不等式的基本性质1：如果在不等式的两边都加上或都减去同一个整式，结果不等号方向不变.【归纳结论】不等式的基本性质2：如果不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变；如果不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向要发生改变

【教学说明】以问题的形式引导学生从对比中自己先猜想不等式的基本性质,再通过具体数值验算性质,最后自己总结归纳出性质并能用字母表示出来.因此在整个教学过程中，学生均处于主导地位，教师只是从旁指引.这时，学生对于由自己推导出性质应该感到非常兴奋.三.运用新知，深化理解

1.见教材P41例题

2.将下列不等式化为x﹥a或x﹤a的形式．

（1）

x-7＞26

（2）3x<2x+1

解：(1)为了使不等式x-7＞26中不等号的一边变为x，根据不等式的性质１，不等式两边都加７，不等号的方向不变，得x-7+7﹥26+7，所以x﹥33.（2）为了使不等式3x<2x+1中不等号的一边变为x，根据不等式的性质1，不等式两边都减去2x，不等号的方向不变，得3x-2x﹤2x+1-2x，所以x﹤1.3.若x＞y，则下列式子错误的是（）.A.x-3＞y-3

B.-3x＞-3y

C.x+3＞y+3

D.解：A.不等式两边都减3，不等号的方向不变，正确；

B.乘以一个负数，不等号的方向改变，错误；

C.不等式两边都加3，不等号的方向不变，正确；

D.不等式两边都除以一个正数，不等号的方向不变，正确．故选B.6.已知实数a、b、c在数轴上对应的点如图所示，请判断下列不等式的正确性．

（1）bc＞ab

（2）ac＞ab

（3）c-b＜a-b

（4）c+b＞a+b

（5）a-c＞b-c

（6）a+c＜b+c

解析：由数轴可知：c＜b＜a，a＞0，b＜0，c＜0.因为c＜a，两边都乘以b，注意b是一个负数，所以得bc＞ab，故（1）正确；

因为c＜b，两边都乘以a（a为正数），得ac＜ba，故（2）不正确；

因为c＜a，两边都减b，得c-b＜a-b，所以（3）正确，因为c＜a，两边都加b，得c+b＜a+b，所以（4）不正确；

因为a＞b，两边都减去c，得a-c＞b-c，所以（5）正确；

因为a＞b，两边都加上c，得a+c＞b+c，所以（6）不正确

【教学说明】在讲解例题的过程中要求学生说出每一步变形的依据，加强学生对不等式的基本性质的理解.随堂练习学生独立完成，师生共同讲解，能说出一个不等式为什么可以从一种形式变形为另一种形式，养成步步有据.准确表达的良好学习习惯，并通过这种方式达到熟练掌握不等式的基本性质的目的.四.师生互动,课堂小结

1．本节课主要用类推的方法探索出了不等式的基本性质．

2．利用不等式的基本性质进行简单的化简或填空

五.教学板书

布置作业:教材“习题2.2“中第1、3题.本节课主要采用了类比-实验-交流的教学方法，使用了多媒体教学手段，使得学生参与课堂的积极性很高，课堂气氛非常活跃，大多数学生掌握了不等式的三条基本性质并能简单运用.但这节课，在探索新知上花的时间较多，以至于学生的练习时间太短了，以后我在安排教学内容时应注意教学时间的把握，充分利用好课堂时间.3

不等式的解集

【知识与技能】

1.能根据具体情境理解不等式的解与解集的意义.2.能在数轴上表示不等式的解集.【过程与方法】

培养学生从现实情况中探索、发现并提出简单的数学问题的能力.【情感态度】

通过从实际问题中建立数学模型、探索求不等式的解集的过程，让学生认识数学与人类生活的密切联系，体验数学的探究性和创造性.【教学重点】

理解不等式的解与解集的概念.【教学难点】

不等式解集的数轴表示.一.情景导入，初步认知

1.我们已学习了不等式的基本性质，那么不等式的基本性质有哪些？它与等式的性质有何异同点？

2.方程的解的定义是什么？

3.类似地，你认为什么是不等式的解？这节课我们来研究不等式的解的相关知识.【教学说明】让学生回顾前一节及相关内容，为本节课教学做好知识准备，起到承上启下的作用.二.思考探究，获取新知

探究1：不等式的解、解集的概念

1.x=－2、1、5、6、8能使不等式x＞5成立么？

2.你还能说出几个使不等式x＞5成立的x值吗？你认为不等式x＞5的解有几个？它们有什么特点？

3.你能说出使不等式x2≤0成立的x值吗？

【归纳结论】能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集，求不等式的解集的过程叫做解不等式.【教学说明】通过对以上问题情境的探究，引导学生认识到：不等式的解一般有无数个，但有时只有有限个，有时无解.在此基础上，给出不等式的解集和解不等式的定义.探究2：在数轴上表示不等式的解集.1.讨论：既然不等式的解集在通常情形下有很多个符合条件的解，那么我们能否用一种直观的方法把不等式的解集表示出来呢？请同学们相互交流，发表自己的见解.2.请同学们用自己的方式将不等式x＞3的解集和不等式x+1≤－1的解集x≤-2分别表示在数轴上，并与同伴进行交流.【教学说明】学习在数轴上表示不等式解集时，先鼓励学生用自己的方法表示，以发展他们的创新意识.【归纳结论】提醒学生注意数轴上表示不等式的解集的正确方法：

（1）指示线的方向,“>”向右,“<”向左.（2）有“=”用实心点,没有“=”用空心圈.三.运用新知，深化理解

1.判断正误：（1）不等式x-1＞0有无数个解;

（2）不等式2x-3≤0的解集为x≥

.答案：（1）对；（2）错.2.填空：

（1）方程2x=4的解有（）个,不等式2x<4的解有（）个；

（2）不等式5x≥-10的解集是（）；

（3）不等式x≥-3的负整数解是（）；

（4）不等式x-1<2的正整数解是（）.答案：（1）1

无数；（2）x≥-2;(3)-3、-2、-1；（4）1、2.3.将数轴上x的范围用不等式表示：

（5）x应取大于-2且小于1的值或x等于-2．此不等式的解集在数轴上的表示为：答案：

（1）x>2；（2）x≤3；（3）x≥-1；（4）x<1；（5）-2≤x<1.4.下列说法中，错误的是（）

A.不等式x＜2的正整数解有一个

B.-2是不等式2x-1＜0的一个解

C.不等式-3x＞9的解集是x＞-3

D.不等式x＜10的整数解有无数个

解析：A.不等式x＜2的正整数解只有1，故本选项正确，不符合题意；

B.2x-1＜0的解集为x＜12，所以-2是不等式2x-1＜0的一个解，故本选项正确，不符合题意；

C.不等式-3x＞9的解集是x＜-3，故本选项错误，符合题意；

D.不等式x＜10的整数解有无数个，故本选项正确，不符合题意．故选C.【教学说明】通过自主练习，巩固本节课所学知识.教师可适当引导学生.四.师生互动,课堂小结

1.什么是不等式的解，不等式的解集，解不等式;

2.会探索简单不等式的解集,并把解集表示在数轴上;

3.用数轴表示解集时的注意事项.五.教学板书

布置作业:教材“习题2.3”中第2、3题.在教学中要充分体现学生的积极参与和合作交流.让学生掌握采用类比方程的解得到不等式的解的方法，进一步深入了解问题，积极参与交流探索，并通过老师的引导，理解不等式的解和解集的意义.在学生自主练习、小组展示和交流质疑的过程中，老师能及时发现学生的不同见解，并对学生的思维误区及时进行指导纠正.4

一元一次不等式

第1课时

一元一次不等式及其解法

【知识与技能】

会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示其解集.【过程与方法】

让学生经历一元一次不等式的形成过程，通过类比理解一元一次不等式的解法.【情感态度】

通过对一元一次不等式的学习，提高学生的自主学习能力，激发学生的探究兴趣.【教学重点】

掌握简单的一元一次不等式的解法，并能将解集在数轴上表示出来.【教学难点】

一元一次不等式的解法.一.情景导入，初步认知

复习提问：

（1）不等式的三条基本性质是什么?

（2）运用不等式基本性质把下列不等式化成x>a或x

②2x>x-5

③x－4<6

④x≥x

（3）什么叫一元一次方程?解一元一次方程的步骤是什么?

【教学说明】通过问题，让学生回顾一元一次方程的概念和解一元一次方程的步骤，以及不等式的意义，不等式的基本性质和不等式的解集，为后面归纳一元一次不等式的概念及解法提供条件.同时让学生体会等式与不等式之间所蕴含的特殊与一般的关系.二.思考探究，获取新知

探究1:一元一次不等式的概念

观察下列不等式：

这些不等式有哪些共同点？

【归纳结论】左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式，叫做一元一次不等式.探究2：解一元一次不等式.解不等式3-x<2x+6，并把它的解集表示在数轴上.提出问题：

1.你能利用不等式的基本性质解决吗？试一试.2.在解不等式的过程中是否有与解一元一次方程类似的步骤？能否归纳解一元一次不等式的基本步骤？

3.在解一元一次不等式的步骤中，应注意什么？

【归纳结论】1.解一元一次不等式大致要分五个步骤进行：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化1.2.在数轴上表示不等式的解集时，要注意不等号以及端点的情况.【教学说明】学生通过小组合作学习的方式探索用不等式的基本性质去求解并相互交流做法，通过观察、探讨、交流、归纳一元一次不等式的解法.三.运用新知，深化理解

1.解不等式，并把它的解集表示在数轴上.解：去分母，得3(x-2)

≥2(7-x),去括号，得3x-6≥14-2x,移项.合并同类项，得5x≥20,两边都除以5，得x≥4.这个不等式的解集在数轴上表示如下：

2.解不等式10－4(x－3)≤2(x－1)，并把它的解集在数轴上表示出来.解：去括号，得10－4x+12≤2x－2，移项，得10+2+12≤2x+4x.合并同类项，得24≤6x

系数化为1，得4≤x,即x≥4.在数轴上表示不等式解集如图：

3.解关于x的不等式：

k(x+3)＞x+4;

解：去括号，得kx+3k＞x+4;

若k-1=0，即k=1时，0＞1不成立，∴不等式无解.若k-1＞0，即k＞1时，.若k-1＜0，即k＜1时，.4.y取何正整数时，代数式2(y-1)的值不大于10-4（y-3）的值.解：根据题意列出不等式：

2(y－1)≤10－4(y－3)

解这个不等式，得y≤4，解集在方程y≤4中的正整数解是：1，2，3，4.【教学说明】学生先独立演算，再小组讨论，教师通过巡视及时发现问题并解决问题，强化学生对一元一次不等式解法的过程与步骤的理解.四.师生互动，课堂小结

（1）通过本节课的学习，你学到了哪些知识？（什么是一元一次不等式以及一元一次不等式的解法.）

（2）你觉得在一元一次不等式的解题步骤中，应该注意些什么问题？（如果乘数或除数是负数，不等号的方向要改变.）

五.教学板书

布置作业:教材“习题2.4”中第1、3题.对于一元一次不等式解法的教学中采用小组合作学习的方法，老师应该首先鼓励学生运用不等式的性质和不等式的解集自主尝试求解，再组织小组交流解答过程，并进行适当的归纳总结、类比解方程的方法，并比较其异同.在教学过程中老师不能急于求成，不要包办学生的活动，给学生充分的时间思考、交流，适时给予恰当的引导，再通过范例与学生共同经历解一元一次不等式的过程.第2课时

一元一次不等式的应用

【知识与技能】

1.进一步巩固求一元一次不等式的解集；

2.能利用一元一次不等式解决一些简单的实际问题.【过程与方法】

通过学生独立思考，培养学生用数学知识解决实际问题的能力.【情感态度】

通过学生自主探索，培养学生学数学的好奇心与求知欲，他们能积极参与数学学习活动，锻炼克服困难的意志，增强自信心.【教学重点】

1.求一元一次不等式的解集；

2.用数学知识去解决简单的实际问题.【教学难点】

能结合具体问题发现并提出数学问题.一.情景导入，初步认知

解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上.【教学说明】通过对这两个一元一次不等式的求解，让学生回顾解一元一次不等式的基本步骤以及在数轴上表示解集的方法.二.思考探究，获取新知

探究：利用一元一次不等式解决简单的实际问题

一次环保知识竞赛共有25道题，规定答对一道题得4分，答错或不答一道题扣1分，在这次竞赛中，小明被评为优秀（85分或85分以上），小明至少答对了几道题？

分析：解不等式应用题也和解方程应用题类似，我们先回忆一下列方程解应用题应如何进行.先审题，弄清题中的等量关系；设未知数，用未知数表示有关的代数式；列出方程，解方程；最后写出答案.总的题量有25题.答对一题得4分，答错或不答扣1分，最后得分在85分或85分以上，所以关系式应为：

4×答对题数－1×答错题数≥85

请大家自己写步骤.解：设小明答对了x道题，则他答错和不答的共有（25－x）道题，根据题意，得

4x－1×（25－x）≥85

解这个不等式，得x≥22.所以，小明至少答对了22道题，他可能答对了22，23，24，25道题.大家依据列方程解应用题的过程，对照上面解不等式应用题的步骤，总结一下两者的不同，并给出解一元一次不等式应用题的一般步骤，请互相交流.【归纳结论】

第一步：审题，找不等关系；

第二步：设未知数，用未知数表示有关代数式；

第三步：列不等式；

第四步：解不等式；

第五步：根据实际情况写出答案.【教学说明】通过学生之间的合作、交流，让学生体会不等式在解决实际问题时的作用，增加了学生间的交流、合作，提高了学生教学语言的表达能力.三.运用新知，深化理解

1.某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保持利润率不低于5％，则至多可打（）

A．6折

B．7折

C．8折

D．9折

答案：B.2.有10名菜农，每人可种甲种蔬菜3亩或乙种蔬菜2亩，已知甲种蔬菜每亩可收入0．5万元，乙种蔬菜每亩可收入0.8万元，若要使总收入不低于15．6万元，则至多只能安排

人种甲种蔬菜.答案：4.3.小颖准备用21元钱买笔和笔记本.已知每支笔3元，每个笔记本2.2元，她买了2本笔记本.请你帮她算一算，她还可以买几支笔？

解：设她还可以买n支笔，根据题意得

3n+2.2×2≤21

解这个不等式，得n≤16.6/3

因为在这一问题中n只能取正整数，所以，小颖还可以买1支，2支，3支，4支或5支笔.4.某市的一种出租车起步价为7元，起步路程为3

km(即开始行驶路程在3

km以内都需付7元)，超过3

km，每增加1km加价2．4元(不足1

km以1

km计价)，现在某人乘出租车从甲地到乙地，支付车费14．2元，问从甲地到乙地的路程最多是多少?

解：设从甲到乙地的路程为x

公里，则由题意，可得

＋

2.4

（x－3）≤

14.2,解得

≤6

.所以

从甲到乙地的路程为乙地的路程最多是6

km.【教学说明】通过学生独立对随堂练习的解答，及时发现问题、解决问题，让学生熟练解一元一次不等式，并能利用不等式解决一些实际问题.四.师生互动，课堂小结

通过本节课的学习，你学到了哪些知识？

五.教学板书

布置作业:教材“习题2.5”中第2、3、4

题.本节课的重点是利用一元一次不等式解决实际问题，让学生体会数学与生活的紧密联系.教学内容对于优等生来说并不难，但对于中等生和学困生来说难度就较大.这节课运用分步实施的方法，每一步先让学生尝试解决，然后师生探究方法，再进行巩固练习，这样处理，对于中等生和学困生掌握不等式的运用是十分有利的，对于落实“面向全体学生”这一理念是十分必要的.5

一元一次不等式与一次函数

【知识与技能】

理解一次函数与一元一次不等式的关系，并解决实际问题．

【过程与方法】

经历探索一次函数与一元一次不等式的关系的过程，掌握其应用方法.【情感态度】

培养良好的数学抽象思维，体会本节课知识在现实生活中的应用价值.【教学重点】

一次函数与一元一次不等式的关系.【教学难点】

解决实际问题.一.情景导入，初步认知

上节课我们类比一元一次方程的解法，根据不等式的基本性质，学习了一元一次不等式的解法，本节课我们来学习一元一次不等式其它解法.【教学说明】以“旧”引“新”，由原有的知识为基础，利用初中生的好奇心理，激发学生探究新知的兴趣.二.思考探究，获取新知

探究1：一元一次不等式与一次函数的关系

作出函数y=2x－5的图象，观察图象回答下列问题.（1）x取哪些值时，2x－5=0?

（2）x取哪些值时，2x－5＞0?

（3）x取哪些值时，2x－5＜0?

（4）x取哪些值时，2x－5＞3?

想一想：如果y=－2x－5，那么当x取何值时，y＞0?

【教学说明】通过作函数图象,观察函数图象，进一步理解一次函数的有关知识，让学生从整体上感受利用一次函数图像可以帮助解决一元一次方程、一元一次不等式的问题.【归纳结论】由于任何一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看出：当一次函数值大（小）于0时，可求出自变量相应的取值范围．

探究2:解决实际问题.兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑9

m，然后自己才开始跑，已知弟弟每秒跑3

m，哥哥每秒跑4

m，列出函数关系式，画出函数图象，观察图象回答下列问题：

（1）何时哥哥能追上弟弟？

（2）何时弟弟跑在哥哥前面？

（3）何时哥哥跑在弟弟前面？

（4）谁先跑过20

m？谁先跑过100

m？

解：设兄弟俩赛跑的时间为x秒.哥哥跑过的路程为y1，弟弟跑过的路程为y2，根据题意，得

y1=4x

y2=3x+9

函数图象如图：

从图象上来看：

（1）9s时哥哥追上弟弟；

（2）当0＜x＜9时，弟弟跑在哥哥前面；

（3）当x＞9时，哥哥跑在弟弟前面；

（4）弟弟先跑过20

m，哥哥先跑过100

【教学说明】感知不等式、函数、方程的不同作用与内在联系.三.运用新知，深化理解

1.用画函数图象的方法解不等式5x+4<2x+10．

解法1：原不等式化为3x-6<0，画出直线y=3x-6（左图），可以看出，当x<2时，这条直线上的点在x轴的下方，即这时y=3x-6<0，所以不等式的解集为x<2．

解法2：将原不等式的两边分别看作两个一次函数，画出直线y=5x+4与直线y=2x+10（右图），可以看出，它们交点的横坐标为2，当x<2时，对于同一个x，直线y=5x+4上的点在直线y=2x+10上相应点的下方，这时5x+4<2x+10，所以不等式的解集为x<2．

2.某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游，参加旅游的人数估计为10~25人，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人200元.经过协商，甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用？其余游客八折优惠.该单位选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少？

解：设该单位参加这次旅游的人数是x人，选择甲旅行社时，所需费用为y1元，选择乙旅行社时，所需的费用为y2元，则

y1=200×0.75x=150x

y2=200×0.8（x－1）=160x－160

当y1=y2时，150x=160x－160，解得x=16;

当y1＞y2时，150x＞160x－160，解得x＜16;

当y1＜y2时，150x＜160x－160，解得x＞16.因为参加旅游的人数为10~25人，所以当x=16时，甲乙两家旅行社的收费相同；当17≤x≤25时，选择甲旅行社费用较少，当10≤x≤15时，选择乙旅行社费用较少.3.某学校计划购买若干台电脑，现从两家商场了解到同一型号电脑每台报价均为6000元，并且多买都有一定的优惠.甲商场的优惠条件是：第一台按原价收费，其余每台优惠25%.那么甲商场的收费y1（元）与所买的电脑台数x之间的关系是

.乙商场的优惠条件是：每台优惠20%.那么乙商场的收费y2（元）与所买的电脑台数x之间的关系是

.（1）什么情况下到甲商场购买更优惠？

（2）什么情况下到乙商场购买更优惠？

（3）什么情况下两家商场的收费相同？

解：设要买x台电脑，购买甲商场的电脑所需费用y1元，购买乙商场的电脑所需费用为y2元.则有

y1=6000+（1－25%）（x－1）×6000=4500x+1500

y2=80%×6000x=4800x

（1）当y1＜y2时，有4500x+1500＜4800x解得x＞5即当所购买电脑超过5台时，到甲商场购买更优惠；

（2）当y1＞y2时，有4500x+1500＞4800x.解得x＜5.即当所购买电脑少于5台时，到乙商场买更优惠；

（3）当y1=y2时，即4500x+1500=4800x

解得x=5.即当所购买电脑为5台时，两家商场的收费相同.【教学说明】一方面对上环节中解决此类问题的方法进行巩固，另一方面，让学生在自主学习的过程中进一步体验一元一次不等式与一次函数的图象之间的结合是解决此类问题核心所在.四.师生互动，课堂小结

先小组内交流，收获感想然后以小组为单位派代表进行总结，教师作以补充.五.教学板书

布置作业:教材“习题2.6”中第1、2、3

题.这堂课让学生感受数学与实际结合的魅力，充分体现了数学是解决现实问题的工具的作用.教师角色定位准确，在学生自己通过分析、实践、探究、总结等活动的基础上加以引导，培养了学生发现问题，提出问题和解决问题的能力.6

一元一次不等式组

第1课时

一元一次不等式组的解法（1）

【知识与技能】

1.理解一元一次不等式组及其解的意义，加强运算的熟练性和准确性，培养思维的全面性；

2.初步感知利用一元一次不等式解集的数轴表示求不等式组的解和解集的方法.【过程与方法】

培养学生独立思考的能力和合作交流意识.【情感态度】

初步认识数学与人类生活的密切联系及其对人类历史发展的作用.【教学重点】

正确解一元一次不等式组.【教学难点】

正确解一元一次不等式组.一.情景导入，初步认知

解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来：

【教学说明】复习一元一次不等式的解法.既复习了旧知识,又为新课作了铺垫.这几个练习由浅入深，也可充分调动各层次学生的学习积极性.二.思考探究，获取新知

探究：一元一次不等式有关概念.对比方程组的概念，你能将上述你解的不等式进行组合吗？你能将它们的的解集表示在同一条数轴上吗？你能给你所组成的形如“方程组”的式子取个名字吗？试试看.【归纳结论】（1）一元一次不等式组的概念：一般地,关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起,就组成一个一元一次不等式组.（2）一元一次不等式组的解集的概念：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集.（3）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组.探究2:解不等式组.由①得，x＜4；

由②得，x≥3.故此不等式组的解集为：3≤x＜4，在数轴上表示为：

三.运用新知，深化理解

∵解不等式①得：x＞1;

解不等式②得：x≤2.∴不等式组的解集为：1＜x≤2，在数轴上表示不等式组的解集为：

答案：A

3.若关于x的不等式组的解表示在数轴上如图所示，则这个不等式组的解集为（）

A.x≤2

B.x>1

C.1≤x<2

D.1＜x≤2

答案：D

【教学说明】加强学生对新知识的巩固.教师可在学生遇到困难时从旁指导.四.师生互动,课堂小结

先在小组内交流，收获感想后以小组为单位派代表进行总结，教师作以补充.五.教学板书

布置作业:教材“习题2.8”中第1、2

题.本课要注意的地方是根据课堂的实际情况，如果同学们掌握得较快，时间允许，在做练习时可通过评讲随堂练习第二题，把一元一次不等式组解集的四种情况全部讲清，利于中等生和学困生完成课后作业，增加他们学习数学的兴趣.第2课时

一元一次不等式组的解法（2）

【知识与技能】

1.会解由两个或两个以上一元一次不等式组成的不等式组并能用数轴求得解集；2.应用不等式组解决实际问题.【过程与方法】

通过总结解一元一次不等式组的步骤，培养学生的类比推理能力和不完全归纳能力.【情感态度】

培养学生独立思考的习惯，加强运算的熟练性与准确性.【教学重点】

解不等式组.【教学难点】

应用不等式组解决实际问题.一.情景导入，初步认知

问题：现有两根木条a和b，a长7cm，b长3cm，如果要再找一根木条x，用这三根木条钉成一个三角形木框，请动手试一试：

1.当x是14cm时，能与a和b钉成三角形木框吗？

2.当x是9cm时，能与a和b钉成三角形木框吗？

3.当x是4cm时，能与a和b钉成三角形木框吗？

4.在什么条件下，长度为3cm，7cm，xcm的三条线段可以围成三角形？

【教学说明】引导学生进行试验、观察、发现，激发学生的好奇心和求知欲，让学生亲自动手，亲身体验，加深学生理解x并不是可以取任意值，要钉成三角形，x的取值有一定的范围，让学生深深感受到数学与生活实际是密不可分的.二.思考探究，获取新知

解下列不等式组：

请大家认真观察一下这四组解，你发现了什么？

【教学说明】教师让学生说说自己组的讨论结果，并选择一名学生代表本组作总结性的发言.最后教师引导学生得出以下结论

【归纳结论】最后，教师利用课件将此结论理论化，并用课件展示出来：

两个一元一次不等式所组成的不等式组的解集有以下四种情形.设a＜b,那么

这是用式子表示，也可以用语言简单表述为：同大取大；同小取小；大小小大取中间；大大小小题无解.三.运用新知，深化理解

1.解下列不等式组，结果正确的是（）

答案：D.答案：C.解析：根据不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）解答即可

4.一堆玩具分给若干个小朋友，若每人分2件，则剩余3件；若前面每人分3件，则最后一个人得到的玩具数不足2件.求小朋友的人数与玩具数.解：设小朋友的人数为x，则玩具数为（2x+3）件，根据题意，得

解不等式组，得4＜x≤6

因为x是整数，所以x=5,6，则2x+3为13，15.因此，当有5个小朋友时，玩具数为13个；当有

6个小朋友时，玩具数为15个.【教学说明】让学生更进一步体会数学知识生活化，并能利用不等式组解决实际问题.四.师生互动，课堂小结

1.这节课你有什么收获？

2.你能用自己的语言概括吗？

3.这节课用到了我们数学中的什么数学思想？

五.教学板书

布置作业:教材“习题2.9”中第1、2

题.通过本课时的学习，学生能够对不等式组的解法和不等式组的运用有一定的理解和掌握，能够体会数学知识在现实生活中的运用.由于本节课是教科书读一读内容，在教学时可以根据学生情况适时安排.章末复习

【知识与技能】

1.掌握不等式的基本性质，理解不等式（组）的解及解集的含义，会解简单的一元一次不等式（组），并能在数轴上表示其解集.2.能够用一元一次不等式解决一些简单的实际问题.3.体会不等式、函数、方程之间的联系.【过程与方法】

通过梳理本章内容，进一步体会模型思想及类比的思想方法.【情感态度】

鼓励合作学习，引导学生从不同的角度思考问题、解决问题，发展学生个性，使每个学生都能体会学习数学的价值，增加学生对数学的理解和学好数学的信心.【教学重点】

对一元一次不等式基本性质的掌握;理解不等式(组)

解及解集的含义，会解简单的一元一次不等式(组),并会在数轴上表示其解集;会解相关的问题,建立起相关的知识体系.【教学难点】

建立起相关的知识体系.一.知识结构

【教学说明】分小组合作完成知识整理和知识联系图.分小组将学生的知识联系图通过展台投影，让全班同学一起来进行评比.二.释疑解惑，加深理解

1.用

表示大小关系的式子，叫做不等式.2.叫做不等式的解集.3.不等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向

；不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向

；不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向

.4.只含有一个未知数，并且

叫做一元一次不等式.解一元一次不等式时，经过

“去分母.、、、.”等变形后，把左边变成单独的一个未知数，右边变成一个常数.要特别注意的是在不等式的两边都乘以（或除以）同一个

时，不等号的方向一定改变.5.列一元一次不等式(组)解答实际问题一般需要遵循如下步骤:①审:分清已知量、未知量及它们之间的关系，找出其中的关系；②设：设出未知数；③列：列出

反映不等关系；④解：解，获得解集

；⑤答：对解决进行

舍去不合题意的答案，确定符合题意的答案，写出答句.6．由几个含有同一个未知数的叫做一元一次不等式组.7.一元一次不等式组中各个不等式解集的叫做一元一次不等式组的解集.8.由于任何一个一次不等式都可以转化为ax+b＞0或ax+b＜0（a，b是常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式ax+b＞0或ax+b＜0，可以看作：当一次函数y

+b的值大（小）于0时，求自变量相应的；反之，求一次函数y

+b的值何时大（小）于0时，只要求出不等式ax+b＞0或ax+b＜0的即可.【教学说明】学生通过对本章的知识进行整理，建构本章的知识体系.通过画本章知识联系图，培养学生归纳整理.对比分析的能力，同时在画图的过程中，学生可以互相进行比较.补充，养成交流与合作的习惯.三.典例精析，复习新知

1.若x＞y，则下列式子错误的是（）

【解析】A.不等式两边都减3，不等号的方向不变，正确；

B.乘以一个负数，不等号的方向改变，错误；

C.不等式两边都加3，不等号的方向不变，正确；

D.不等式两边都除以一个正数，不等号的方向不变，正确．

故选B．

2.已知点M（3a-9，1-a）在第三象限，且它的坐标是整数，则a等于（）

A.1

B.2

C.3

D.4

3.函数y=kx+b的图象如图所示，则当y＜0时x的取值范围是（）

A.x＜-2

B.x＞-2

C.x＜-1

D.x＞-1

【解析】根据图象和数据可知，当y＜0即直线在x轴下方时x的取值范围

是x＞-2．故选B

【教学说明】通过例题学习，学生掌握解一元一次不等式（组）的方法，提高解决实际问题的能力，使学生对本章知识内容有进一步的理解.四.复习训练，巩固提高

∵解不等式①得：x≤1，解不等式②得：x＞-2，∴不等式组的解集为：-2＜x≤1．

在数轴上表示不等式组的解集为：

①×3得，15x+6y=33a+54③，②×2得，4x-6y=24a-16④，③+④得，19x=57a+38，解得x=3a+2，把x=3a+2代入①得，5（3a+2）+2y=11a+18，解得y=-2a+4，3.为支援四川雅安地震灾区，某市民政局组织募捐了240吨救灾物资，现准备租用甲、乙两种货车，将这批救灾物资一次性全部运往灾区，它们的载货量和租金如下表：

如果计划租用6辆货车，且租车的总费用不超过2300元，求最省钱的租车方案

解：设租用甲种货车x辆，则租用乙种（6-x）辆，根据题意得出：

45x+30(6-x)≥240

400x+300(6-x)≤2300，解得：4≤x≤5，则租车方案为：

甲4辆，乙2辆；

甲5辆，乙1辆；

租车的总费用分别为：

4×400+2×300=2200（元）；

5×400+1×300=2300（元），故最省钱的租车方案是租用甲货车4辆，乙货车2辆.4.已知利民服装厂现有A种布料70米，B种布料52米，现计划用这两种布料生产M,N两种型号的时装共80套，已知做一套M型号时装需A种布料0.6米，B种布料0.9米，做一套N型号时装需用A种布料1.1米，B种布料0.4米，若设生产N型号的时装套数为x，用这批布料生产这两种型号的时装有几种方案？

解：生产N型号的时装套数为x时，则生产M型号的时装套数为（80－x），根据题意，得

0.6(80－x)+1.1x≤70

0.9(80－x)+0.4x≤52,解不等式组，得40≤x≤44.因为x是整数，所以x的取值为40，41，42，43，44.因此，生产方案有五种:

（1）生产M型40套，N型40套；

（2）生产M型39套，N型41套；

（3）生产M型38套，N型42套；

（4）生产M型37套，N型43套；

（5）生产M型36套，N型44套.【教学说明】要求每个学生在进行独立思考时，教师要多关注学困生并给予帮助.五.师生互动，课堂小结

通过本节课的学习,你有什么收获?你感觉最困难的是什么?印象最深刻的是哪个部分的知识?

布置作业:教材“复习题”中第5、8、12题.1.本节课的重点在让每个学生建构本章知识体系.教师让学生充分思考、练习和交流，同时充分暴露出存在的问题，达到有效复习的目的.2.第一环节基本知识的复习时间要控制，学生不牢固的部分可以通过例题、练习的形式加深巩固复习.第三章

图形的平移与旋转

图形的平移

第1课时

平移的概念与性质

【知识与技能】

1.认识平移、理解平移定义；

2.理解平移前后两个图形对应点连线平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等的性质；3.能画出简单图形的平移图.【过程与方法】

通过具体实例认识平移，理解平移的基本内涵，理解平移前后两个图形对应点连线平行且相等.对应线段和对应角分别相等的性质.【情感态度】

通过收集自己身边“平移”的实例，感受“生活处处有数学”，激发学生学习数学的兴趣.【教学重点】

理解平移的基本内涵，理解平移前后两个图形对应点连线平行且相等.对应线段和对应角分别相等的性质.【教学难点】

理解平移前后两个图形对应点连线平行且相等，对应线段和对应角分别相等的性质.一.情景导入，初步认知

1.引入问题，出现课题.请你判断：

小明跟着妈妈乘观光电梯上楼，一会儿，小明兴奋地大叫起来：“妈妈！妈妈！你看我长高了！我比对面的大楼还要高！”小明说的对吗？为什么？

2.接触平移现象.教师通过多媒体展示（展示画面）现实生活中平移的具体实例：

（1）箱子在传送带上移动的过程；

（2）手扶电梯上人的移动的过程.教师提问：

①

你能发现传送带上的箱子、手扶电梯上的人在平移前后什么没有改变，什么发生了改变吗？

②

在传送带上，如果箱子的某一按键向前移动了80cm，那么电视机的其它部位（如屏幕左上角的图标）向什么方向移动？移动了多少距离？

③

如果把移动前后的同一箱子看成长方体（多媒体演示书上的图3-2），那么四边形与四边形的形状、大小是否相同？

【教学说明】通过实际问题引入新课，提高学生学习兴趣.二.思考探究，获取新知

探究1：探求平移的定义.根据上述分析，你能说明什么样的图形运动称为平移？

【归纳结论】在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移.平移不改变图形的形状和大小.【教学说明】教师引导学生从语句的主谓分析来看待以上几个句子，让学生自己总结平移的概念.探究2：平移的性质.学生结合P65图3-1的内容和P66图3-2的内容自主学习.【归纳结论】经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等.三.运用新知，深化理解

1.见教材P66例1.2.下列四组图形中,有一组中的两个图形经过平移其中一个能得到另一个,这组图形是（）

答案：D

3.在平移过程中,对应线段（）

A.互相平行且相等

B.互相垂直且相等

C.互相平行(或在同一条直线上)且相等

答案：A

4.如图所示,平移△ABC可得到△DEF,如果∠A=50°,∠C=60°,那么∠E=_____度,∠EDF=_____度,∠F=_____度,∠DOB=_____度.答案：70

5.如图，面积为12cm2的△ABC沿BC方向平移至△DEF的位置，平移的距离是边BC长的两倍，则图中的四边形ACED的面积为（）

A．24cm2

B．36cm2

C．48cm2

D．无法确定

答案：B.6.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＞AD，∠B与

∠C互余,将AB，CD分别平移到EF和EG的位置，则△EFG为______三角形，若AD=2cm，BC=8cm，则FG=______．

答案：直角

【教学说明】通过练习，进一步了解平移的概念和性质.四.师生互动,课堂小结

组织学生小结这节课所学的内容，并作适当的补充.五.教学板书

布置作业:教材“习题3.1”中第1、3题.通过本节课的学习，学生都能了解并掌握平移的概念和性质，且能灵活应用.学生学得较轻松，效果较好.第2课时

平移的坐标变换

【知识与技能】

能在直角坐标系中用坐标的方法研究图形的平移变换，掌握图形在平移过程中各点的变化规律，理解图形在平面直角坐标系上的平移的实质是点坐标的对应变换.【过程与方法】

经历观察、分析、抽象、归纳等过程，经历与他人合作交流的过程，进一步发展数形结合思想与空间观念，培养合作交流能力.【情感态度】

进一步发展数形结合思想与空间观念，培养合作交流能力.【教学重点】

理解图形在平面直角坐标系上的平移实质是点坐标的对应变换.【教学难点】

理解图形在平面直角坐标系上的平移实质是点坐标的对应变换.一.情景导入，初步认知

图中的“鱼”是将坐标为（0,0），（5,4），（3,0），（5,1），（5，-1），（3,0），（4，-2），（0,0）的点用线段一次连接而成的，将这条“鱼”向右平移5个单位长度.（1）画出平移后的新“鱼”.（2）在图中尽量多选取几组对应点，并将它们的坐标填入下表：

（3）你发现对应点的坐标之间有什么关系？

如果将原来的“鱼”向左平移4个单位长度呢？请你先想一想，然后再具体做一做.【教学说明】通过画鱼，提高学生动手操作能力.二.思考探究，获取新知

探究：坐标系中的图形平移变换

学生自主学习P69、P72想一想、做一做

【教学说明】探索平移的坐标特征，对学生来讲比较容易，可以放手让学生来做.【归纳结论】

一个图形一次沿x轴方向、y轴方向平移后所得图形，可以看成是由原来的图形经过一次平移得到的.三.运用新知，深化理解

1.见教材P72例2

2.①在图中标出△ABC各顶点的坐标；

②△ABC向右平移_______个单位得到△A1B1C1的，在图中标出△A1B1C1各点的坐标，观察各点坐标都发生怎样的变化？

③△ABC是怎样平移到△A2B2C2的？

3.如图，将三角形ABC向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到对应的三角形A1B1C1，并写出点A1.B1.C1的坐标.【教学说明】对坐标系中的平移有进一步的认识，灵活运用解决相关问题.四.师生互动,课堂小结

1.纵坐标不变，横坐标分别增加（减少）a个单位时，图形_________________平移

a个

单位；

2.横坐标不变，纵坐标分别增加（减少）

a个单位时，图形_________________平移a个单位；

五.教学板书

布置作业:教材“习题3.3”中第2、4题.本节课学生在画图的基础上，了解图形在平面直角坐标系中坐标的变化情况，既便于记忆，又锻炼了学生的动手能力.2

图形的旋转

【知识与技能】

了解图形的旋转的有关概念并理解它的基本性质以及简单平面图形旋转后的图形的作法.【过程与方法】

1.通过具体事例认识旋转，理解旋转前后两个图形对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等的性质.2.通过画图，培养学生旋转作图的动手操作能力.【情感态度】

通过具体实例认识旋转，理解旋转前后两个图形对应点到旋转中心距离相等，对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等的性质，对具有旋转特征的图形进行观察、分析、画图过程中，发展初步的审美能力.【教学重点】

1.了解图形的旋转的有关概念并理解它的基本性质.

2.了解旋转作图的一般步骤.【教学难点】

简单平面图形旋转后的图形的作法.一.情景导入，初步认知

1.向学生展示有关的图片：

(1)时钟上的秒针在不停的转动；（并介绍顺时针方向和逆时针方向）

(2)大风车的转动；

(3)飞速转动的电风扇叶片；

(4)汽车上的括水器；

(5)由平面图形转动而产生的奇妙图案.2.演示俄罗斯方块游戏.【教学说明】通过观察图片、演示俄罗斯方块游戏，我们发现构成游戏的模块均是由一个小正方形平移变换而来；学生通过玩游戏，发现除了平移运动之外还有旋转运动；通过引导学生列举出一些具有旋转现象的生活实例，我们可以引出课题：“生活中的旋转”.3.下列一组图形变换属于旋转变换的是（）

4.大家来看一面小旗子(出示小旗子，然后一边演示一边叙述)，把这面小旗子绕旗杆底端旋转90°后，这时小旗子的位置发生了变化，形成了新的图案，你能把这时的图案画出来吗？

这面小旗子是结构简单的平面图形，在方格纸上大家能画出它绕点O旋转后的图形，那么在没有方格纸或旋转角不是特殊角的情况下，能否也画出简单平面图形旋转后的图形呢？

这节课我们就来研究：简单的旋转作图.【教学说明】通过作图，为本节课的教学作准备.二.思考探究，获取新知

探究1:旋转的有关概念

试一试,请同学们尝试用自己的语言来描述以下旋转.图1：在同一平面内，点A绕着定点O旋转某一角度得到点B；

图2：在同一平面内，线段AB绕着定点O旋转某一角度得到线段CD；

图3：在同一平面内，三角形ABC绕着定点O旋转某一角度得到三角形DEF

【教学说明】观察了上面图形的运动，引导学生归纳图形旋转的概念.【归纳结论】把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转（rotation）.点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角.探究2：旋转的性质.如图，在硬纸板上，挖出一个三角形ABC，再挖一个小洞O作为旋转中心，硬纸板下面放一张白纸.先在纸上描出这个挖掉的三角形图案（△ABC），然后围绕旋转中心转动硬纸板，再描出这个挖掉的三角形（△DEF），移开硬纸板.问题：请指出旋转中心和各对应点，哪一个角是旋转角？

1．从我们看到的旋转现象以及你所完成的实验中，你认为旋转主要因素是什么？

2．在图形的旋转过程中，哪些发生了改变？哪些没有发生改变？

猜想线段OA与线段OD是什么关系（这里包括数量关系和位置关系）？线段OB和OE，OC和OF呢？AB与DE呢？

3．你能通过度量角的方法得出旋转角度吗？你准备度量哪个角？

【归纳结论】1.旋转前后的图形全等；

2.对应点到旋转中心的距离相等；

3.对应点与旋转中心连线段的夹角等于旋转角.探究3：旋转作图.如图，△ABC绕O点旋转后，顶点A的对应点为点D，试确定顶点B，C对应点的位置，以及旋转后的三角形.分析：一般作图题，在分析如何求作时，都要先假设已经把所求作的图形作出来，然后再根据性质，确定如何操作.【教学说明】本题还有没有其他作法，可以作出△ABC绕O点旋转后的图形△DEF.【归纳结论】确定一个三角形旋转后的位置的条件为：

(1)三角形原来的位置;(2)旋转中心;(3)旋转角.三.运用新知，深化理解

1.如图，如果把钟表的指针看做四边形AOBC，它绕O点旋转得到四边形DOEF.在这个旋转过程中：

（1）旋转中心是什么?

（2）经过旋转，点A，B分别移动到什么位置？

（3）旋转角是什么？

（4）AO与DO的长有什么关系？BO与EO呢？

（5）∠AOD与∠BOE有什么大小关系？

解：（1）O;

（2）D、E（3）∠BOE和∠AOD

（4）相等

（5）相等

2.下列关于旋转和平移的说法正确的是（）

A.旋转使图形的形状发生改变

B.由旋转得到的图形一定可以通过平移得到

C.平移与旋转的共同之处是改变图形的位置和大小

D.对应点到旋转中心距离相等

答案：D.3.如图把正方形绕着点O旋转，至少要旋转度后与原来的图形重合．

答案：90.4.已知点A的坐标为(a，b)，O为坐标原点，连接OA，将线段OA绕点O按逆时针方向旋转90°得OA1，则点A1的坐标为（）.

A.(-a，b)

B.(a，-b)

C.(-b，a)

D.(b，-a)

答案：C.

5.如图所示，在平面直角坐标系中，点A.B的坐标分别为（-2，0）和（2，0）.月牙①绕点B顺时针旋转90°得到月牙②，则点A的对应点A′的坐标为（）

A.（2，2）

B.（2，4）

C.（4，2）

D.（1，2）

答案：B.6.如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是__________.答案：（7,3）.7.已知点O是△ABC边AC的中点，试画出△ABC绕点O旋转180度后的图形，得到的图形和原来的图形组成什么图形？

8.在五边形ABCDE中，AB=AE.BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°.

求证：AD平分∠CDE.证明：连接AC，将△ABC绕点A旋转∠BAE的度数到△AEF的位置，

因为AB=AE，所以AB与AE重合.因为∠ABC+∠AED=180°，且∠AEF=∠ABC，所以∠AEF+∠AED=180°.所以D，E，F三点在一直线上，AC=AF，BC=EF.在△ADC与△ADF中，DF=DE+EF=DE+BC=CD，AF=AC,AD=AD

所以,△ADC≌△ADF(SSS)，因此，∠ADC=∠ADF，即：AD平分∠CDE.【教学说明】让学生通过观察图形的特点，发现图形的旋转关系，巩固旋转的性质.学生独立完成，教师作适当提示.四.师生互动,课堂小结

本节课我们通过作平面图形旋转后的图形，进一步理解了旋转的性质，并且还知道要确定一个三角形旋转后的位置，需要有三个条件：①此三角形原来的位置；②旋转中心；③旋转角.在作图时，要正确运用直尺和圆规，进而准确作出旋转后的图形；要注意语言的表达.五.师生互动,课堂小结

布置作业:教材“习题3.4”中第2、4、5

题.在教学的全过程中，通过提问、指导学生操作等方式引导学生发现规律，通过让学生回顾自己的作画过程和观察自己的画图作品体会、归纳出特征，有效地培养了学生的合作交流、独立思考问题、解决问题的能力.练习的设计，遵循由浅入深的原则，循序渐进地让学生逐步熟练应用旋转特征，解决生活与实际问题，从而体现数学的价值；同时，不同难度的习题可以满足不同层次学生的需要，让“不同的人在数学上得到不同的发展”.3

中心对称

【知识与技能】

1．认识中心对称的概念；

2．能综合运用变换解决有关问题.【过程与方法】

通过观察、探索等过程，使学生更深刻地理解轴对称、平移、旋转及组合等几何变换的规律和特征，并体会图形之间的变换关系.【情感态度】

运用讨论交流等方式，让学生自己探索出图形变化的过程，发展学生的图形分析能力、化归意识和综合运用变换解决有关问题的能力.【教学重点】

中心对称图形及轴对称图形的区别与联系.【教学难点】

综合运用变换解决有关问题.一.情景导入，初步认知

阅读并完成P81引例，【教学说明】通过观察发现两幅图形的内在关系，这个活动为课堂提供了极好的素材，也将极大地激发了学生学习的积极性与主动性.二.思考探究，获取新知

1.观察下图，它们是什么图形？

【归纳结论】把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．在成中心对称的那个图形中，对应点所连线段经过对称中心，并被对称中心平分.2.中心对称与轴对称的联系与区别

3.作图

（1）选择点O为对称中心，画出已知点A关于点O的对称点A′；

（2）选择点O为对称中心，画出与已知△ABC关于点O对称的△A′B′C′.【教学说明】通过以上作图、观察，理解中心对称的概念、性质.三.运用新知，深化理解

1.见教材P82例题.2.下面的图案中，是中心对称图形的个数有（）个

A．1

B．2

C．3

D．4

答案：D.3.下列图形中，是中心对称图形的是（）．

答案：A

4.下列多边形中，是中心对称图形而不是轴对称图形的是（）．

A．平行四边形

B．矩形

C．菱形

D．正方形

答案：A

5.已知下列命题：①中心对称图形一定是轴对称图形；②关于中心对称的两个图形是全等形；③两个全等的图形一定关于中心对称；其中真命题的个数是（）．

A．0

B．1

C．2

D．3

答案：B

6.如图，在正方形ABCD中，作出关于B点对称的图形．

7.如图，△ABC与△A′B′C′关于某一点成中心对称，画出对称中心.【教学说明】通过对中心对称图形的认识，并做相应的练习，可以更容易掌握本节知识点.四.师生互动,课堂小结

先小组内分享收获感想然后以小组为单位派代表进行总结，最后教师作以补充.五.师生互动,课堂小结

布置作业:教材“习题3.6”中第1、4题.八下的学生已经掌握旋转变换和轴对称变换，并且在七下就已经学过旋转变换的作图，而中心对称本身就是旋转变换的一种特殊情况，因此只要让学生通过类比就可以得到画一个已知图形的中心对称图形的画法，不足以成为本节课的难点，而探索中心对称图形的性质是根据特殊到一般的认识方法，探索过程非常重要，特别是性质的掌握也有助于学生应用性质作图、证明、解释生活当中的一些现象.4

简单的图案设计

【知识与技能】

能够灵活运用平移、旋转与轴对称的组合进行一定的图案设计.【过程与方法】

通过观察图形，发展空间观念.【情感态度】

知道平移、旋转在现实生活中的应用，进一步发展空间观念，增强审判意识.【教学重点】

能灵活运用平移、旋转与轴对称的组合进行一定的图案设计.【教学难点】

能灵活运用平移、旋转与轴对称的组合进行一定的图案设计.一.情景导入，初步认知

P85

引例(用平移、旋转或轴对称分析图案的形成)

【教学说明】对教材给出的六个图案通过观察、分析进行议论交流，让学生初步了解图案的设计中常常运用图形变换的思想方法，为学生自己设计图案指明方向.其中图（1）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）都可以看作是由“基本图案”通过旋转适合角度形成（可以让学生自己说说每个旋转的角度和旋转的次数及旋转中心的位置），另外图（2）、（3）、（5）也可以看作是由“基本图案”通过轴对称变换形成（可以让学生指出对轴对称及对称轴的条数），图（2）还可以看作是由“基本图案”通过平移形成.二.思考探究，获取新知

提问：1．基本图案是什么？有几个？

2．分析同色“爬虫”、异色“爬虫”之间的关系.【教学说明】教师引导学生发现：这个图案是由三个“基本图案”组成的，它们分别是三种不同颜色的“爬虫”

（绿、白、黑），形状、大小完全相同.在图中，同色的“爬虫”之间是平移关系，所有同色的“爬虫”可以通过其中一只经过平移而得到；相邻的不同色的“爬虫”之间可以通过旋转而得到，其中，旋转角度为120°，旋转中心为“爬虫”头上、腿上或脚趾上一点.三.运用新知，深化理解

1.国旗上的四个小五角星，通过怎样的移动可以相互得到（）

A.轴对称

B.平移

C.旋转

D.平移和旋转

答案：D

2.起重机将重物垂直提起，这可以看作为数学上的（）

A.轴对称

B.平移

C.旋转

D.变形

答案：B

3.下图是由12个全等三角形组成的，利用平移、轴对称或旋转分析这个图案的形成过程.这个图形可以按照以下步骤形成的.①

以一个三角形的一条边为对称轴作与它对称的图形.②将得到的这组图形以一条边的中点为旋转中心旋转180

°.③分别以这两组图形为平移的“基本图案”，各平移两次，即可得到最终的图形.4.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，请你用对称和旋转的知识回答下列问题：

（1）△ADE和△DFA关于直线AD对称吗?为什么？

（2）把△BDE绕点D顺时针旋转160°后能否与△CDF重合？为什么？

（3）把△BDE绕点D旋转多少度后，此时的△BDE和△CDF关于直线BC对称？

【教学说明】对本节知识进行巩固练习、使学生具有在发展空间观念的同时能够灵活运用平移旋转轴对称的组合进行一定的图案设计的能力.四.师生互动，课堂小结

先小组内交流，收获感想后以小组为单位派代表进行总结，教师作以补充.五.教学板书

布置作业:教材“习题3.7”中第2、3

题.学生经过学习对轴对称、平移、旋转等图形变换的特点有了全面的认识.通过练习，进一步完善对合理选择变换方式的把握，是对这一章的学习由理论上的探求迈向实际应用的第一步.通过问题的解答，利用图形不同的变化，学生了解生活中丰富多彩、千变万化的图形世界，形成初步思路，对本节课的内容有一个整体的感受，通过图形间的变换关系，学生认识到一切事物的变化可以通过一系列基本变化的组合得到，体会事物从量变到质变的过程，培养学生创新思维能力.章末复习

【知识与技能】

1.平移的基本涵义及其性质；

2.旋转的基本涵义及其性质；

3.能按要求作出简单平面图形平移后或旋转后的图形；

4.图形之间的变换关系；

5.运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计.【过程与方法】

通过回顾进一步理解平移、旋转的基本性质，并能准确作出简单平面图形平移、旋转后的图形.【情感态度】

通过回顾与思考，进一步发展学生的空间观念，培养其操作技能，增强审美意识.【教学重点】

理解平移、旋转与中心对称的概念和性质.掌握坐标系中平移、对称的坐标特征

【教学难点】

灵活运用平移、旋转与中心对称的概念和性质解决相关图形问题

一.知识结构

【教学说明】引导学生回顾本章知识点，使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系.二.释疑解惑，加深理解

1.平移

平移的概念：在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做图形的平移.平移的性质：平移不改变图形的形状和大小；图形经过平移，连接各组对应点所得的线段互相平行且相等.2.旋转

旋转的概念：把一个图形绕一个定点转动一定的角度，这样的图形运动叫做旋转，这个定点叫做旋转中心，旋转的角度叫做旋转角.旋转的性质：旋转前、后的图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；每一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等.3.轴对称

如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，那么这个图形叫做轴对称图形.4.中心对称与中心对称图形中心对称与中心对称图形的联系与区别：

区别:

中心对称指两个全等图形的相互位置关系,中心对称图形指一个图形本身成中心对称.联系:

如果将中心对称图形的两个图形看成一个整体,则它们是中心对称图形.如果将中心对称图形对称的部分看成两个图形,则它们成中心对称.【教学说明】我们通过分组讨论，解决了具有能反映本章内容的一串问题.加深学生的了解.三.典例精析，复习新知

1.如图，把三角形△ABC绕着点C顺时针旋转35°，得到△A＇B＇C，A＇B＇交AC于点D，若∠A＇DC=90°，则∠A的度数是__________．

答案：55°

2.下列图案中，含有旋转变换的有（）

．

A.4个

B.3个

C.2个

D.1个

答案：A

3.下列图形中，绕某个点旋转180°能与自身重合的有（）

①正方形

②长方形

③等边三角形④线段

⑤角

⑥平行四边形

A.5个

B.2个

C.3个

D.4个

答案：D

4.△DEF是△ABC先向左平移3㎝，再绕左边的顶点逆时针旋转30°得到的，画出△ABC．

5.如图,四边形ABCD的∠BAD=∠C=90°,AB=AD,AE⊥BC于E,△BEA旋转后能与△DFA重合．

（1）旋转中心是哪一点?

（2）旋转了多少度?

（3）若AE=5㎝,求四边形AECF的面积．

解：（1）A点（2）90°（3）25cm2

【教学说明】学生在思考问题的过程中体会平移与旋转的特点和性质，有助于加深对旧知识的理解，让掌握知识和熟练技能有机结合四.复习训练，巩固提高

1.如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连结BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，连结EF，若∠BEC=60°，则∠EFD的度数为（）

A．10°

B．15°

C．20°

D．25°

答案：B

2.△ABC和△A＇B＇C＇关于点O对称，下列结论不正确的是

（）.A．OA=A＇O

B．AB∥A＇B＇

C．CO=BO

D．∠BAC=∠B＇A＇C＇

答案：C

3.下列的说法中,正确的是

（）

A.会重合的图形一定是轴对称图形

B.中心对称图形一定是会重合的图形

C.两个成中心对称的图形的对称点连线必过对称中心

D.两个会重合的三角形一定关于某一点成中心对称

答案：C

4.已知点O是△ABC边AC的中点，试画出△ABC绕点O旋转180度后的图形，得到的图形和原来的图形组成什么图形？

5.如图，∠BAC=120°，以BC边作等边△BCD，把△ABD

绕着D点按顺时针方向旋转60°后到△ECD的位置.若AB=3,AC=2，求∠BAD的度数和AD的长.答案：∠BAD＝60°，AD＝5

6.如图，你能说明△ABC通过怎样的移动可以得到△BAD吗？

答案：先将△ABC沿直线AB向左平移，使点B与点A重合，然后再以过A点且垂直于AB的直线为对称轴翻折.7.如图①，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是BA延长线上的一点，AF=AB，（1）△ABE≌△ADF吗？说明理由.（2）阅读下列材料：如图②，把△ABC沿直线平移线段BC的长度，可以变到△ECD的位置；如图③，以BC为轴把△ABC翻折180°，可以变到△DBC的位置；如图④，以点A为中心，把△ABC旋转180°，可以变到△AED的位置，像这样其中一个三角形是由另一个三角形按平行移动、翻折、旋转等方法变成的，这种只改变位置，不改变形状大小的图形变换，叫做三角形的全等变换.请回答下列问题：

在图①中，可以通过平移、翻折、旋转中的哪一种方法，使△ABE变到△ADF的位置？并指出图①中线段BE与DF之间的关系.解：(1)∵ABCD为正方形

∴AB=AD，∠DAB=∠DAF=90°

又∵AF=AB,AE=AD

∴AF=AE,∴△ADF≌△ABE

(2)将△ABE绕点A逆时针旋转90°而得到△AFD，BE=DF.8.如图，已知P是正方形ABCD内一点，以B为旋转中心，把△PBC沿逆时针方向旋转90°得到△P′BA，连结PP′，求∠P′PB的度数.答案：45度.【教学说明】应用平移、旋转解决实际问题，增强了学生应用数学的意识，让学生总结学习到的思想方法，培养学生的综合能力.五.师生互动，课堂小结

图形的轴对称、平移、旋转是几何中的重要概念，应用轴对称、平移、旋转解题也是一种极为重要的数学思想方法，适当地应用轴对称、平移、旋转等方法，将那些分散、远离的条件从图形的某一部分转移到适当的新的位置上，集中、汇集已知条件和求证结论，发现、拓展解题思路，构造基础三角形、平行四边形，进行计算与证明.布置作业:教材“复习题”中第2、5、7、9题.本节突出平移与旋转概念加深理解和性质应用探究活动的教学.首先分析图形的变换、平面直角坐标系中的平移旋转方面帮助学生把握概念的本质特征，以培养学生观察、分析的能力，再引导学生运用性质解决数学问题和实际问题，由浅入深，培养学生应用数学知识分析、解决问题的能力.第四章

因式分解

1因式分解

【知识与技能】

使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念；通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较，学习代数式的变形和转化与化归的能力，培养学生的分析问题能力与综合应用能力.【过程与方法】

认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系（即相反变形），并能利用这种关系寻求因式分解的方法；通过解决实际问题，学会将实际应用问题转化为用所学到的数学知识解决问题，体验解决问题策略的多样性，发展实践应用意识.【情感态度】

培养学生接受矛盾的对立统一观点，独立思考，勇于探索的精神和实事求是的科学态度.【教学重点】

因式分解的概念.【教学难点】

难点是理解因式分解与整式乘法的相互关系，并利用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法.一.情景导入，初步认知

下题简便运算怎样进行？

问题1：736×95+736×5

问题2：-2.67×

132+25×2.67+7×2.67

【教学说明】对乘法公式进行分析，为因式分解作铺垫.二.思考探究，获取新知

问题：(1)993-99能被99整除吗？为了回答这个问题，你该怎样做？把你的想法与同学交流。

993-99

99×992-99

99(992-1)

∴993-99能被99整除.(2)993-99能被100整除吗？为了回答这个问题，你该怎样做？把你的想法与同学交流。

小明是这样做的：993-99

99×992－99×1

99（992－1）=

99（99+1）（99-1）=

99×98×100

所以993-99能被100整除.想一想：

（1）在回答993-99能否被100整除时，小明是怎么做的？

（2）请你说明小明每一步的依据.（3）993-99还能被哪些正整数整除？为了回答这个问题，你该怎做？

【教学说明】

老师点拨：回答这个问题的关键是把993-99化成了怎样的形式？

【归纳结论】

以上三个问题解决的关键是把一个数式化成了几个数的积的形式.可以了解:993-99可以被98、99、100三个连续整数整除.将99换成其他任意一个大于1的整数,上述结论仍然成立吗?

学生探究发现：用a表示任意一个大于1的整数，则：a3-a=a×a2-a=a×(a2-1)=a×(a+1)(a-1)=(a-1)×a×(a+1)

①

能理解吗?你能与同伴交流每一步怎么变形的吗？

②

这样变形是为了达到什么样的目的？

【教学说明】

经历从分解因数到分解因式的类比过程，探究概念本质属性.【归纳结论】

把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做把这个多项式分解因式.三.运用新知，深化理解

1.下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？

（1）4a（a+2b）=4a2+8ab；

（2）6ax－3ax2=3ax（2－x）；

（3）a2－4=（a+2）(a－2）；

（4）x2－3x+2=x（x－3）+2.答案：（2）（3）是因式分解.2.试将下列各式化成几个整式的积的形式

（1）3x2-2x=______-

(2)m2-4n2

=____

答案：（1）x(3x-2)

（2）(m+2n)(m-2n)

3.分解因式.4m2-4m=______

2a3+2a=______

y2+4y+4=______

答案：4m(m-1)

2a(a2+1)

(y+2)2

4.如果a+b=10,ab=21,则a2b+ab2的值为.答案：210.5.如果a-3b=-3,那么5-a+3b的值是（）

A.0

B.2

C.5

D.8

答案：D.6.9993-999能被998整除吗？能被1000整除吗？

解：9993-999=999（9992-1）=999（999+1）（999-1）=999×1000×998所以9993-999能被998整除，能被1000整除。

【教学说明】

通过练习，使学生理解因式分解与整式乘法的区别.四.师生互动，课堂小结

1.你能说说什么是分解因式吗？

把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做把这个多项式分解因式。

2.应该怎样认识“因式分解”？

（分解因式与整式乘法是互逆过程.）

3.分解因式要注意以下几点：分解的对象必须是多项式；分解的结果一定是几个整式的乘积的形式；要分解到不能分解为止.五.教学板书

布置作业:教材“习题4.1”中第1、2

题.根据课下学生的反馈情况来看，本节课的教学设计基本上达到了预期的目的.学生对因式分解有了清晰的认识,理解了因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系（即相反变形），并基本掌握了这种关系寻求因式分解的方法．还有个别学生虽然会判断哪些是因式分解，但在寻求因式分解的方法上还存在一定的困难.在下一课时，我将针对本课时所反馈的情况，调整侧重点，争取让所有的学生能对因式分解有更进一步的学习.2提公因式法

第1课时

公因式为单项式的因式分解

【知识与技能】

理解公因式和提公因式法的概念，会用提公因式法进行公因式为单项式的因式分解.【过程与方法】

通过与质因数分解的类比，让学生感悟数学中数与式的共同点，体验数学的类比思想.【情感态度】

通过对公因式是单项式的因式分解的教学，体会提公因式法.【教学重点】

掌握提公因式法的一般步骤.【教学难点】

用提公因式法分解公因式为单项式的多项式.一.情景导入，初步认知

采用什么方法？依据是什么？

【教学说明】

由乘法分配律的逆运算过渡到因式分解，从提取的公因式是一个单项式，进一步发展学生的类比思想.二.思考探究，获取新知

1.多项式ab+ac中，各项有相同的因式吗？多项式

3x2+x呢？多项式mb2+nb-b呢？

【归纳结论】多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式．

2.多项式2x2+6x3中各项的公因式是什么？那多项式2x2y+6x3y2中各项的公因式是什么？

【归纳结论】

（1）各项系数是整数，系数的最大公约数是公因式的系数；

（2）各项都含有的字母的最低次幂的积是公因式的字母部分；

（3）公因式的系数与公因式字母部分的积是这个多项式的公因式．

3.将以下多项式写成几个因式的乘积的形式：

（1）ab+ac

（2）x2+4x

（3）mb2+nb-b

【归纳结论】

如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.【教学说明】

由学生自主探索解题途径，在此过程中，通过观察、对比等手段，确定多项式各项的公因式，加强学生的直觉思维，渗透化归的思想方法，培养学生的观察能力.三.运用新知，深化理解

1.见教材P95例1.2.因式分解：3x(x－2)－(2－x)

解：3x(x－2)－(2－x)=3x(x－2)+(x－2)=(x－2)(3x+1)

3.计算：(－2)11+(－2)10的结果是（）

A.2100

B.－210

C.－2

D.－1

答案：B.【教学说明】

四.师生互动，课堂小结

从今天的课程中，你学到了哪些知识？

掌握了哪些方法？

五.教学板书

布置作业:教材“习题4.2”中第1、2

题.本课时运用类比的数学方法，在新概念提出、新知识点的讲授过程中，可以使学生易于理解和掌握.如学生在接受提取公因式法时，由提公因数到找公因式，由整式的乘法的逆运算到提取公因式的概念，都是利用了类比的数学思想，从而使得学生接受新的概念时显得轻松自然，容易理解.第2课时

公因式为多项式的因式分解

【知识与技能】

让学生会确定多项式中各项的公因式，会用提公因式法进行因式分解.【过程与方法】

通过多项式因式分解，领悟把公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律.【情感态度】

通过对公因式是多项式时的因式分解的教学，培养“换元”的意识.【教学重点】

用提公因式法把多项式分解因式.【教学难点】

准确找出公因式，并能找出公因式.一.情景导入，初步认知

1.公因式的定义.

2.把下列各式分解因式.

（1）8mn2+2mn

（2）a2b-5ab+9b

（3）-3ma3+6ma2-12ma

（4）-2x3+4x2-8x

【教学说明】回顾上一课时提取单项式公因式的方法的基本方法与步骤，为学生能从容地把提取公因式从单项式过渡到多项式提供必要的基础，以板演的形式让学生回忆提取公因式的方法与步骤，使学生真正理解基本方法和步骤.二.思考探究，获取新知

探究：因式分解：（1）a（x-3）+2b（x-3）（2）y（x+1）+y2（x+1）2

【教学说明】引导学生通过类比将提取单项式公因式的方法与步骤推广应用于提取多项式公因式.由于题中很明显地表明，多项式中的两项都存在着（x-3），通过观察，学生较容易找到第一题公因式是（x-3），而第二题公因式是y（x+1），并能顺利地进行因式分解.三.运用新知，深化理解

1.见教材P97例2、例3.2.因式分解：3x(x－2)－(2－x)

解：3x(x－2)－(2－x)=3x(x－2)+(x－2)=(x－2)(3x+1)

3.因式分解a(a－b)3+2a2(b－a)2－2ab(b－a)2

解：原式=a(a－b)3+2a2(a－b)2－2ab(a－b)2

=a(a－b)2［(a－b)+2a－2b］

=a(a－b)2(3a－3b)

=3a(a－b)3

4.已知x、y都是正整数，且x(x－y)－y(y－x)=12，求x、y.解：∵x(x－y)－y(y－x)=12∴(x－y)(x+y)=12

∵x、y是正整数∴12分解成1×12，2×6，3×4

又∵x－y与x+y奇偶性相同，且x－y

【教学说明】这个问题的关键是把式子化成两个式子相乘的形式，而且要找出12的约数.四.师生互动，课堂小结

从今天的课程中，你学到了哪些知识？

掌握了哪些方法？

五.教学板书

布置作业:教材“习题4.3”中第1、2

题.学生们通过本节课的学习已经能准确的找出公因式，并用提公因式法分解因式，但是在学习的过程中，我发现学生们还存在以下几个不足之处：

1.因式分解结果的书写不符合代数式的书写规范.当结果是几个因式的积时，应把单项式写在前面，多项式写在后面.2.因式分解最后的结果应该以最简的形式展现，有相同因式的，要写成幂的形式.提公因式后，还有同类项的，一定要合并.3.提取公因式一定要一次性提取完整，不能只看相同的因式，也要注意系数，应该取各项系数的最大公约数.4.遇到互为相反数的因式有的学生不能很好的处理.遇到互为相反数的项，先转化，再提公因式，转化原则：变后不变前,变偶不变奇,变少不变多.3

公式法

第1课时

用平方差公式进行因式分解

【知识与技能】会用平方差公式进行因式分解.【过程与方法】经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维，渗透数学的“互逆”、换元、整体的思想，感受数学知识的完整性.【情感态度】在探究的过程中培养学生独立思考的习惯，在交流的过程中学会向别人清晰地表达自己的思维和想法，在解决问题的过程中让学生深刻感受到“数学是有用的”.【教学重点】掌握公式法中的平方差公式进行分解因式.【教学难点】灵活运用公式法或已学过的提公因式法进行分解因式,正确判断因式分解的彻底性.一.情景导入，初步认知

填空：

（1）（x+5）（x-5）=________；

（2）（3x+y）（3x-y）=________；

（3）（3m+2n）（3m-2n）=________________

它们的结果有什么共同特征？

尝试将它们的结果分别写成两个因式的乘积：

x2－25=________;

9x2－y2=_______;

9m2－4n2=______.【教学说明】

对平方差公式进行复习，利于本节课的教学.二.思考探究，获取新知

1.观察下列过程，谈谈你的感受.将多项式a2-b2进行因式分解:

∵（a+b）(a-b)=a2-b2

整式乘法

∴a2-b2=（a+b）(a-b)

因式分解

【归纳结论】

整式乘法公式的逆向变形得到分解因式的方法.这种分解因式的方法称为运用公式法.2.找特征

a2-b2=(a+b)(a-b)

(1)公式左边：（是一个将要被分解因式的多项式）被分解的多项式含有两项，且这两项异号，并且能写成（）2－（）2的形式.(2)公式右边:（是分解因式的结果）分解的结果是两个底数的和乘以两个底数的差的形式.三.运用新知，深化理解

1.见教材P99例1、例2

2.下列多项式能转化成（）2－（）2的形式吗？如果能，请将其转化成（）2－（）2的形式.（1）m2－81=m2－92;

（2）1－16b2=12－(4b)2;

（3）4m2+9;

（4）a2x2－25y2=(ax)2－(5y)2;

（5）－x2－25y2.3.下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（）

A．a2＋b2

B．－a2＋b2

C．－a2－b2

D．－(－a2)＋b2

答案：B

4.(x＋1)2－9(x－1)2

解：原式=4(2x－1)(2－x)

5.将下列各式分解因式

（1）a2b2-a2c2=a2（b2-c2）=a2（b+c）（b-c）；

（2）-x5y3+x3y5=x3y3（-x2+y2）=x3y3（x+y）（-x+y）

（3）（a+b）2-9（a-b）2=［（a+b）+3（a-b）］［（a+b）-3（a-b）］=（a+b+3a-3b）（a+b-3a+3b）=（4a-2b）（4b-2a）=4（2a-b）（2b-a）；

（4）

p4－1=（p2+1）（p2－1）=(p2+1)(p-1)(p+1).6.若a＋b=2011,a－b=1,求a2－b2的值.解：a2－b2=（a＋b）（a－b）=2011×1=2011

7.简便计算.(1)5652－4352=（565+435）（565-435）=1000×130=130000.【教学说明】

在讲解使用整体法进行分解因式时，需注意强调括号前的系数变化和去括号后的符号变化，这往往是大多数学生容易出现的错误情况.四.师生互动,课堂小结

1.本节课我们主要学习了,运用平方差公式进行因式分解，利用平方差公式时,先判断能否使用平方差公式进行因式分解，判断的依据：

是一个二项式（或可看成一个二项式）；

2)每项可写成平方的形式；

3)两项的符号相反.2.在综合运用多种方法分解因式时，多项式中有公因式的先提取公因式，后再用平方差公式分解因式.3.分解因式，应进行到每一个多项式因式不能再分解为止.五.教学板书

布置作业:教材“习题4.4”中第1、2

题.本节课下来能很好地完成了课前设定的目标，学生能利用平方差公式来进行因式分解.学生在课堂上和老师的互动也比较好。在教学过程中，教师应该语言流畅、教态亲切、语速合适、设计合理、设计中小步骤.当然,本节课也存在一些问题，其中比较突出的就是在例题的安排上对题目的把握不是很好.把所有类型的利用平方差进行因式分解的题型在同一道例题中出现，对于刚接触这种方法的学生来说要求过高，也违背了小步骤教学的教学特点.第2课时

用完全平方公式进行因式分解

【知识与技能】

使学生了解运用公式法分解因式的意义；会用公式法（直接用公式不超过两次）分解因式（指数是正整数）；使学生清楚地知道提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，然后再考虑用平方差公式或完全平方公式进行分解因式.【过程与方法】

经历整式乘法的完全平方公式逆向得出运用公式法分解因式的方法的过程，发展学生的逆向思维和推理能力.【情感态度】

培养学生灵活运用知识的能力和积极思考的良好行为，体会因式分解在数学学科中的地位和价值.【教学重点】

掌握公式法中的完全平方公式进行分解因式

【教学难点】

灵活地运用公式法或已学过的提公因式法进行分解因式，正确判断因式分解的彻底性问题.一.情景导入，初步认知

完全平方公式

现在我们把完全平方公式反过来，可得：

两个数的平方和，加上（或减去）这两个数的积的两倍，等于这两数和（或者差）的平方.【教学说明】

对完全平方公式进行复习，为本节课的教学作准备.二.思考探究，获取新知

形如的多项式称为完全平方式.【归纳结论】

我们可以利用乘法公式把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫公式法.三.运用新知，深化理解

1.见教材P101例3、例4

2.判别下列各式是不是完全平方式．

(1)x2+y2;

(2)x2+2xy+y2;

(3)x2-2xy+y2;

(4)x2+2xy-y2

(5)-x2+2xy-y2.答案：（2）（3）（5）是完全平方式

3.当m=______时，x2＋2(m－3)x＋25是完全平方式．

答案:

8或－2

4.分解因式：-8ax2+16axy-8ay2

解：原式=-8a（x2-2xy+y2）=-8a（x-y）2

5.分解因式：（a2+1）2-4a2

解：原式=（a2+1+2a）（a2+1-2a）=（a+1）2（a-1）2

6.分解因式:（a2-4a+4）-c2

解：原式=（a-2）2-c2=（a-2+c）（a-2-c）

7.（x+3y）2+（2x+6y）（3y-4x）+（4x-3y）2

解：原式=（x+3y）2-2（x+3y）（4x-3y）+（4x-3y）2=（x+3y-4x+3y）2

=(-3x+6y)2=9(x-2y)2

8.一天,小明在纸上写了一个算式为4x2

+8x+11,并对小刚说:“无论x取何值,这个代数式的值都是正值,你不信试一试?”

解：

4x2

+8x+11=（2x+2）2+7

∵（2x+2）2+7≥0∴无论x取何值,这个代数式的值都是正值

【教学说明】

在综合应用提公因式法和公式法分解因式时,一般按以下两步完成：

（1）有公因式，先提公因式；

（2）再用公式法进行因式分解.四.师生互动,课堂小结

从今天的课程中，你学到了哪些知识？

掌握了哪些方法？你认为分解因式中的平方差公式以及完全平方公式与乘法公式有什么关系？

五.教学板书

布置作业:教材“习题4.5”中第1、2

题.因式分解虽然与整式的乘法是互逆运算，但是对于学生而言，它是一个新的知识，学生在前面的学习中虽然已经掌握平方差公式和完全平方公式，然而受思维定势的影响，学生对公式的逆用会产生混淆，学生的惯性思维是：平方差公式是（a+b）（a-b）=a2-b2，完全平方公式是(a±b)2=a2±2ab+b2，一旦要将公式逆向，部分学生就比较难以接受，特别是学习能力较弱的学生，难度就更大一些。在练习中，根据学生的个体差异，有效分层，开展课内技能训练，让每个学生都学有所成.第四章

因式分解

章末复习

【知识与技能】

掌握提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，及在实数范围内分解因式的运用，培养学生简便运算和应用因式分解解决数学问题的能力.【过程与方法】

通过寻求乘法公式与因式分解的关系，理解因式分解的含义.【情感态度】

通过因式分解的学习，体会整体数学思想和转化的数学思想.【教学重点】

熟练运用各种方法来进行因式分解.【教学难点】

因式分解各种方法的综合运用，利用因式分解解决数学问题.一.知识结构

【教学说明】

引导学生回顾本章知识点，使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系

二、释疑解惑，加深理解

1.因式分解的定义

把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.2.提公因式法

如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．

3.公式法

(1)平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b).即两个数的平方差，等于这两个数的和与这个数的差的积.（2）完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2.其中，a2±2ab+b2叫做完全平方式.【教学说明】

(1)因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆的运算;

(2)因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验.三、典例精析，复习新知

1.下列变形是否是因式分解？为什么，(1)3x2y-xy+y=y(3x2-x)；

(2)x2-2x+3=(x-1)2+2；

(3)x2y2+2xy-1=(xy+1)(xy-1)；

(4)xn(x2-x+1)=xn+2-xn+1+xn.【解析】

(1)不是因式分解，提公因式错误，可以用整式乘法检验其正确性.(2)不是因式分解，不满足因式分解的含义;

(3)不是因式分解，因为因式分解是恒等变形而本题不恒等;

(4)不是因式分解，是整式乘法.2.下列变形是否正确？为什么？

(1)x2-3y2=(x+3y)(x-3y)；

(2)4x2-6xy+9y2=(2x-3y)2；

(3)x2-2x-1=(x-1)2.【解析】

(1)不正确，目前在有理数范围内不能再分解.(2)不正确，4x2-6xy+9y2不是完全平方式，不能进行分解.(3)不正确，x2-2x-1不是完全平方式，不能用完全平方公式进行分解，而且在有理数范围内也不能分解.3.用提公因式法将下列各式因式分解.(1)ax-ay；

(2)6xyz-3xz2；

(3)-x3z+x4y；

(4)36aby-12abx+6ab；

(5)3x(a-b)+2y(b-a)；

(6)x(m-x)(m-y)-m(x-m)(y-m).【解析】

(1)～(4)题直接提取公因式分解即可，(5)题和(6)题首先要适当的变形，其中(5)题把b-a化成-(a-b)的，(6)题把(x-m)(y-m)化成(m-x)(m-y)，然后再提取公因式.解：(1)ax-ay=a(x-y);

(2)6xyz-3xz2=3xz(2y-z);

(3)-x3z+x4y=x3(-z+xy);

(4)36aby-12abx+6ab=6ab(6y-2x+1);

(5)3x(a-b)+2y(b-a)=3x(a-b)-2y(a-b)=(a-b)(3x-2y);

(6)x(m-x)(m-y)-m(x-m)(y-m)

=x(m-x)(m-y)-m(m-x)(m-y)

=(m-x)(m-y)(x-m)

=-(m-x)2(m-y).4.用公式法分解因式.(1)m2+2m+1；(2)9x2-12x+4；(3)1-10x+25x2；

(4)(m+n)2-6(m+n)+9;（5）4x2-9.解：(1)

m2+2m+1=(m+1)2;

(2)

9x2-12x+4=(3x-2)2;

(3)

1-10x+25x2=(1-5x)2;

(4)

(m+n)2-6(m+n)+9=(m+n-3)2;

(5)

4x2-9=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3).5.分解因式.(1)x3-2x2+x；(2)(a+b)2-4a2；(3)x4-81x2y2；

(4)x2(x-y)+y2(y-x)；(5)(a+b+c)2-(a-b-c)2.解：

(1)x3-2x2+x=x(x2-2x+1)=x(x-1)2;

(2)(a+b)2-4a2=(a+b+2a)(a+b-2a)=(3a+b)(b-a);

(3)x4-81x2y2=x2(x2-81y2)=x2(x+9y)(x-9y);

(4)x2(x-y)+y2(y-x)=x2(x-y)-y2(x-y)=(x-y)(x2-y2)=(x-y)(x+y)(x-y)=(x+y)(x-y)2;

(5)（a+b+c)2-(a-b-c)2=［(a+b+c)+(a-b-c)］［(a+b+c)-(a-b-c)］

=2a·(2b+2c)=4a(b+c).【教学说明】

基础习题的练习，增强学生对于上面知识点的理解，也有利于学生发现自己的学习漏洞，及时弥补，同时也为本节课做了一个很好的知识铺垫.四、复习训练，巩固提高

1.若9x2+kxy+36y2是完全平方式，则k=_______.分析：

完全平方式是形如：a2±2ab+b2即两数的平方和与这两个数乘积的2倍的和(或差).解析：∵9x2+kxy+36y2=(3x)2+kxy+(6y)2，∴kxy=±2·3x·6y=±36xy.∴k=±36.2.利用因式分解计算下列各题.(1)7.6×199.9+4.3×199.9-1.9×199.9；

(2)20022-4006×2002+20032；

(3)5652×11-4352×11；(4)(5)2-(2)2.解：(1)原式=1999；(2)原式=1；

(3)原式=1430000；

(4)原式=28.3.计算

4.解方程组

分析：本题是一个二元二次方程组，就目前的知识水平来说，用代入消元法或加减消元法来解是困难的.但是我们发现这个方程组有一个特点是方程x2-4y2=5可以通过因式分解为(x+2y)(x-2y)=5，再把x-2y=1代入方程(x+2y)(x-2y)=5中，即可得到x+2y=5由此原方程组就可以化成一个二元一次方程组而解出.解：由①得(x+2y)(x-2y)=5，③把②代入③中得x+2y=5，④

∴原方程组化为

②+④得2x=6，∴x=3.②-④得4y=4，∴y=1.∴原方程组的解为

5.已知x-y=1,xy=2，求x3y-2x2y2+xy3的值.解：x3y-2x2y2+xy3=xy(x2-2xy+y2)=xy(x-y)2.当x-y=1，xy=2时，原式=2×12=2.6.已知x-y=2，x2-y2=6，求x与y的值.解：∵x2-y2=6,∴(x+y)(x-y)=6.又∵x-y=2，①

∴x+y=3.②.7.求证：四个连续自然数的积再加上1，一定是一个完全平方数.证明：设这四个连续自然数依次为n，n+1，n+2，n+3，则

n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n2+3n)(n2+3n+2)+1

=(n2+3n)2+2(n2+3n)+1=(n2+3n+1)2

∴n(n+1)(n+2)(n+3)+1一定是一个完全平方数.【教学说明】

这些训练题有一定的难度，应对学生分层教学.五、师生互动，课堂小结

解因式分解题时，首先考虑是否有公因式，如果有，先提公因式；如果没有公因式或提取公因式后，在考虑能否用公式法，最后，直到每一个因式都不能再分解为止.布置作业:教材“复习题”中第1、3、4、7、9题.（1）对象：因式分解是把一个多项式进行恒等变形；

（2）方向：因式分解与整式的乘法是互逆的过程，具有方向性；

（3）目标：是要把一个多项式化成几个整式的乘积；

（4）最终：把一个多项式分解到不能再分解为止．第五章分式与分式方程

第2课时

分式的基本性质及约分

【知识与技能】

1.理解分式的基本性质并能利用性质进行分式的约分；

2.了解什么是最简分式，能将分式化为最简分式.【过程与方法】

通过对分式的基本性质的归纳，培养学生观察、类比、推理的能力.【情感态度】

让学生在讨论活动中通过相互间的合作与交流，进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力.【教学重点】

掌握分式的基本性质.【教学难点】

运用分式的基本性质来化简分式.一.情景导入，初步认知

1.分数的基本性质是什么？

2.3/6=1/2的依据是什么？

【教学说明】

通过分数的约分复习分数的基本性质，通过类比来学习分式的基本性质．

二.思考探究，获取新知

探究1：

分式的基本性质.你认为分式3a/6a与1/2相等吗？m2/mn与n/m呢？

【教学说明】

通过对分数的基本性质的理解，可类比得出分式的基本性质，但学生只想到分式的分子分母同时乘以或除以一个数，不容易想到整式，另外这个整式不能为零，老师要引导学生想到这一点．

【归纳结论】

分式的分子和分母都同时乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.用字母表示为：

探究2：最简分式.化简下列分式：

【教学说明】

有的学生在应用分式的基本性质时往往没有同时乘以或除以同一个公因式．有些学生不能正确找到分子.分母的公因式，导致约分的错误和不彻底．所以教师要适当引导.【归纳结论】

把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分，分子和分母已没有公因式，这样的分式称为最简分式．

三.运用新知，深化理解

1.下列各式正确的是（）

答案：C

2.填空：

答案：6a2，a-2.3.下列运算错误的是（）

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

答案：B

5.若把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（）

A.扩大3倍

B.不变

C.缩小3倍

D.缩小6倍

答案：C

6.约分：

【教学说明】

在教学中让学生将约分的步骤分为这样几步，首先将找出分子和分母公因式并提取，再将分式的分子和分母同时除以公因式．最后看看结果是否为最简分式或整式．

四.师生互动,课堂小结

这节课你有哪些收获？

五.教学板书

布置作业:教材“习题5.2”中第1、2题.学生对分式的基本性质，能说能背.从表面上来看，掌握的比较好.但从练习中可以发现很多问题，如：不会找分式的分子.分母中的公因式；分子、分母不同时乘或除；约分不彻底等.所以在这些方面要多练习.第五章

分式与分式方程

1认识分式

第1课时

认识分式

【知识与技能】

了解分式的概念明确分式和整式的区别.【过程与方法】

让学生经历用字母表示实际问题中数量关系的过程，体会分式是表示现实世界中的一类量的数学模型.【情感态度】

培养学生观察、归纳、类比的思维，让学生学会自主探索，合作交流.【教学重点】

掌握分式的概念.【教学难点】

正确区分整式与分式.一.情景导入，初步认知

下列式子中哪些是整式？

a，-3x2y3，5x-1，x2+xy+y2，，，【教学说明】

因为分式概念的学习是学生通过观察，比较分式与整式的区别从而获得分式的概念，所以必须熟练掌握整式的概念．

二.思考探究，获取新知

1.问题情境.问题情景（1）：面对目前严重的土地沙化问题，某县决定分期分批固沙造林，一期工程计划在一定期限内固沙造林2400公顷，实际每月固沙造林的面积比原计划多30公顷，结果提前完成一原计划的任务.这一问题中有哪些等量关系？

如果设原计划每月固沙造林x公顷，那么原计划完成一期工程需要_____个月，实际完成一期工程用了_______个月.问题情景（2）：新华书店库存一批图书，其中一种图书的原价是每册a元，现降价x元销售，当这种图书的库存全部售出时，其销售额为b元.降价销售开始时，新华书店这种图书的库存量是多少？

【教学说明】

教师要给学生一定的思考时间，让学生积极投身于问题情景中，根据学生的情况可以给予适当的提示和引导．

2.讨论内容：对前面出现的代数式如下，它们有什么共同特征？它们与整式有什么不同？，【教学说明】

学生通过观察.归纳.总结出整式与分式的异同，从而得出分式的概念．

【归纳结论】

一般的用A、B表示两个整式，A除以整式B，可以表示成AB的形式，如果B中含有字母，那么我们称AB为分式.A为分式的分子，B为分式的分母.对于任何一个分式的分母不等于0.三.运用新知，深化理解

1.见教材P109例1.2.下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？

(1)b2a;

(2)2a+b;

(3)－x+14－x;

(4)12xy+x2y.答案：（2）、（4）是整式，（1）、（3）是分式．

3.x取什么值时，下列分式无意义？

(1)x2x－3；(2)x－15x+10.答案：（1）因为当分母的值为零时，分式没有意义．由2x-3=0，得x=

32，所以当x

32时，分式无意义．

（2）因为当分母的值为零时，分式没有意义．

由5x+10=0，得x=-2，所以当x=-2

时，分式无意义．

4.若分式2x-3有意义，则x的取值范围是（）

A.x≠3

B.x≠-3

C.x＞3

D.x＞-3

解析：当分母x-3≠0，即x≠3时，分式2x-3有意义．故选A.5.若分式|x|-1x+1的值为零，则x的值为1

分析：分式的值为0的条件是：

（1）分子=0；

（2）分母≠0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题.解析：|x|-1x+1=0，则|x|-1=0，即x=±1，且x+1≠0，即x≠-1．故x=1．

【教学说明】

让学生体会分式的意义，理解如果a的取值使得分母的值为零，则分式没有意义，反之有意义．

四.师生互动，课堂小结

1.学习了分式的概念，掌握了整式与分式的异同．

2.知道当分式的分母不等于零时分式才有意义．

3.在学习新知识时，可把它与所学的旧知识比较，通过观察、类比、归纳它们的异同的方法来学习新知识．

4.我们应该多种树，保护人类生存环境．

五.教学板书

布置作业:教材“习题5.1”中第1、2题.在学习分式的概念时，借助整式的概念，用类比的思想进行教学，学生掌握的较好，能够紧抓概念，很容易的区分整式与分式.而在分式的值等于0的教学中，一部分学生都只考虑分式的分子等于0，而没有考虑分式的分母.因此，在后面的教学中对这方面的教学有待加强.2分式的乘除法

知识与技能】

理解分式的乘除运算法则，会进行简单的分式的乘除法运算.【过程与方法】

经历探索分式的乘除法法则的过程，并结合具体情境说明其合理性.【情感态度】

通过师生讨论.交流，培养学生合作探究的意识和能力.【教学重点】

掌握分式的乘除法法则.【教学难点】

熟练地运用法则进行计算，提高运算能力.一.情景导入，初步认知

计算，并说出分数的乘除法的法则：

【教学说明】

复习小学学过的分数的乘除法运算，为学习分式乘除法的法则做准备.二.思考探究，获取新知

探究：

分式的乘除法法则.你能总结分式乘除法的法则吗？与同伴交流.【归纳结论】

分式的乘除法的法则:

两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母;

两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.【教学说明】

让学生观察运算，通过小组讨论交流，并与分数的乘除法的法则类比，让学生自己总结出分式的乘除法的法则.三.运用新知，深化理解

1.见教材P114例1.2.见教材P115例2.通过例题讲解，使学生会根据法则，理解每一步的计算，从而进行简单的分式的乘除法运算，并能解决一些与分式有关的简单的实际问题，增强学生代数推理的能力与应用意识.需要给学生强调的是分式运算的结果通常要化成最简分式或整式，对于这一点，很多学生在开始学习分式计算时往往没有注意到结果要化简.6.甲队在n天内挖水渠a米，乙队在m天内挖水渠b米，如果两队同时挖水渠，要挖x米，需要多少天才能完成？（用代数式表示）

【教学说明】

能解决一些与分式有关的简单的实际问题.四.师生互动，课堂小结

分式乘除法的运算步骤：

当分式的分子与分母都是单项式时：

(1)乘法运算步骤是，①用分子相乘的积做积的分子，分母相乘的积做积的分母；②把分式积中的分子与分母分别写成分子与分母的分因式与另一个因式的乘积形式，如果分子(或分母)的符号是负号，应把负号提到分式的前面；③约分

(2)除法的运算步骤是，把除式中的分子与分母颠倒位置后，与被除式相乘，其它与乘法运算步骤相同.当分式的分子.分母中有多项式，①

分解因式；

②

②如果分子与分母有公因式，先约分再计算.③如果分式的分子(或分母)的符号是负号时，应把负号提到分式的前面.最后的计算结果必须是最简分式.五.教学板书

布置作业:教材“习题5.3”中第1、2题.在练习中暴露出一些问题，例如我在传授过程中急于求成，法则的引入没有给学生过多的时间，如果时间足够，学生自己得出法则并不是一件难事.在解决习题时，对学生容易出现的错误没有重点强调.所以学生在后面的练习中仍然出现这样那样的错误.学生答题的规范性还差了些，在黑板上的板书不到位，在以后的教学中加强学生的答题规范性练习.3

分式的加减法

第1课时

同分母分式的加减法

【知识与技能】

理解同分母的分式加减法的运算法则，能进行同分母的分式加减及分母互为相反式的分式加减法运算.【过程与方法】

类比同分数加减法的法则归纳出分式的加减法法则.【情感态度】

通过学习认识到数与式的联系，理解事物拓延的内在本质，丰富数学情感与思想.【教学重点】

分式加减法的运算.【教学难点】

掌握同分母分式的加减法则，能进行分式的加减法运算.一.情景导入，初步认知

1.做一做：

.【教学说明】通过做一做的几道同分母分数加减的题，引导学生用类比的思想，猜一猜同分母分式的加减运算，并试图让学生认识其合理性,从而抛出同分母分式加减法的运算法则，点明本节课的主要内容.二.思考探究，获取新知

探究：同分母分式的加减

你能根据分数的加减法运算法则，总结出当分母相同时，分式的加减法运算法则吗？

【归纳结论】

同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．

用式子表示为：

三.运用新知，深化理解

1.见教材P117-P118例

1~例2

2.计算：

3.计算：

四.师生互动,课堂小结

同分母分式加减法则是：同分母的分式相加减,分母不变，把分子相加减.五.教学板书

布置作业:教材“习题5.4”中第1、2

题.通过这节课的学习，总结分式加减的特点：同分母分式加减法则是：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.第2课时

异分母分式的加减法

【知识与技能】

1.会找最简公分母，能进行分式的通分；

2.理解并掌握异分母分式加减法的法则.【过程与方法】

类比同分数加减法的法则归纳出分式的加减法法则.【情感态度】

通过学习认识到数与式的联系，理解事物拓延的内在本质，丰富数学情感与思想.【教学重点】

理解异分母分式的加减法则.【教学难点】

掌握异分母的分式加减法的运算.一.情景导入，初步认知

1..猜一猜

那么?

你是怎么做的？

【教学说明】这是几个简单异分母的加减例子.也是对上节课所学知识的回顾，同时把本章前面几节所述分式概念，分式的约分以及分式乘除都有一定的复习，都可以通过这几个例子得到很好的诠释.二.思考探究，获取新知

探究:异分母分式的加减

讨论：小明认为，只要把异分母的分式化成同分母的分式，异分母的分式的加减问题就变成了同分母的分式的加减问题.小亮同意小明的这种看法，但他俩的具体做法不同：

小明：

小亮：

你对这两种做法有何评论？与同伴交流.【教学说明】学生观察讨论，总结出异分母分式计算的法.【归纳结论】根据分式的基本性质，可以将异分母的分式化为同分母的分式，这个过程叫通分.为了方便计算，异分母的分式通分时，通常取最简单的公分母（最简公分母）作它们的共同公分母.异分母分式加减法的法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算．

用式子表示为：

三.运用新知，深化理解

1.见教材P120-121例3、例4

2.计算:

【教学说明】通过演练巩固，让学生对分式的加减法有更好的认识与掌握.四.师生互动,课堂小结

1.学会用转化的思想将分母互为异分母的分式加减运算转化成同分母分式的加减法.2.分子是多项式时，一定记得添括号后再进行加减运算.3.类比方法很多时候是对的，学会用这种方法去分析和解决问题.4.确定最简公分母的一般步骤：

①取各分母的_______的最小公倍数；

②凡出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式都要取；

③相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取___________________的；

④如果分母是多项式，一般应先___________.五.教学板书

布置作业:教材“习题5.4”中第1、2

题.“习题5.5”中第1、2题.在授课结束后发现学生对于同分母的分式的加减运算掌握得比较好，但是对于异分母的分式加减就掌握得不是很理想，很多学生对于分式的通分还很不熟练，也有学生对于计算结果应该为最简分式理解不够总是无法化到最简的形式，所以对异分母的加减法还要加强练习.第3课时

分式的加减混合运算

【知识与技能】

1.熟练地进行同分母的分式加减法的运算.会把异分母的分式通分，转化成同分母的分式相加减；

2.明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算.【过程与方法】

经历分式的混合运算探讨过程，训练学生的分式运算能力.【情感态度】

培养学生在学习中转化未知问题为已知问题的能力和意识,进一步通过实例发展学生的符号感和用数学的意识.【教学重点】

熟练地进行分式的混合运算.【教学难点】

熟练地进行分式的混合运算.一.情景导入，初步认知

1.同分母分式是怎样进行加减运算的？

2.异分母分式又是如何进行加减？

3.当分式的运算中含有加、减、乘、除时，该如何运算？

【教学说明】通过回忆同分母分式的加减法法则.异分母分式的加减法运算，来引出本节课的内容，同时又对问题3点明了类比的思想方法，使进入新知识的学习顺理成章.二.思考探究，获取新知

1.计算：-5×（1-7）＋6÷2

2.观察上题中的运算过程，你能借鉴有理数的混合运算顺序，总结出分式的混合运算顺序吗？

【归纳结论】

同四则运算顺序相同；分式混合运算中，先乘方再算乘除后算加减，有括号的先算括号内的.【教学说明】

学生观察讨论，通过类比的方法总结出分式混合运算的法则.这样学生的理解更透彻.3.观察下列题目的计算过程，你能发现什么吗？

问题：这个计算结果对吗？还能进一步化简吗？

【归纳结论】

最后结果要写成最简分式.由此，我们可以总结出分式的混合运算的法则：先乘方再算乘除最后算加减，有括号的先算括号内的.三.运用新知，深化理解

【教学说明】

教学时，要随时注意学生出现的错误，及时给予纠正．对计算错误的原因，要仔细分析．帮助学生从根本上弄清概念和法则，使学生明白所犯错误的原因，才能避免再犯同样的错误.四.师生互动,课堂小结

通过本节课的学习，你有哪些收获？还存在哪些疑惑？请与同伴交流.五.教学板书

布置作业:教材“习题5.6”中第2

题.学生依据分数的混合运算的性质进行分式的混合运算，学起来并不难，但要达到运算熟练的程度并不容易．在强调进行分式混合运算同时，要注意运算顺序：在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加减；

有括号要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-”号提到分式本身的前面.4

分式方程

第1课时

分式方程的概念及解法

【知识与技能】

1.理解分式方程的概念;

2.会通过设适当的未知数并根据等量关系列出分式方程；

3.学生掌握解分式方程的基本方法和步骤.【过程与方法】

通过列出的方程归纳出它们的共同特点，得出分式方程的概念.了解分式的概念，明确分式和整式的区别；经历和体会解分式方程的必要步骤；使学生进一步了解数学思想中的“转化”思想.【情感态度】

在建立分式方程的数学模型的过程中培养能力和克服困难的勇气，并从中获得成就感，提高解决问题的能力.【教学重点】

掌握分式方程的解法、解，分式方程要验根.【教学难点】

掌握分式方程的解法、解，分式方程要验根.一.情景导入，初步认知

在这一章的第一节《分式》中，我们曾研究过一个“固沙造林，绿化家园”的问题.面对日益严重的土地沙化问题，某县决定分期分批固沙造林，一期工程计划在一定期限内固沙造林2400公顷，实际每月固沙造林的面积比原计划多30公顷，结果提前4个月完成计划任务.原计划每月固沙造林多少公顷？

分析：这一问题中有哪些已知量和未知量？

已知量：造林总面积2400公顷实际每月造林面积比原计划多30公顷提前4个月完成原任务

未知量：原计划每月固沙造林多少公顷

这一问题中有哪些等量关系？

实际每月固沙造林的面积=计划每月固沙造林的面积+30公顷

原计划完成的时间-完成实际的时间=4个月

我们设原计划每月固沙造林x公顷，那么原计划完成一期工程需要_____个月，实际完成一期工程用了______个月，根据题意，可得方程____________.【教学说明】

为了让学生经历从实际问题抽象.概括分式方程这一“数学化”的过程，体会分式方程的模型在解决实际生活问题中作用，利用第一节《分式》中一个熟悉的问题，引导学生努力寻找问题中的所有等量关系，发展学生分析问题.解决问题的能力.二.思考探究，获取新知

探究1：分式方程的概念

问题：甲.乙两地相距

1400

km，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用

h，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.8

倍．

（1）你能找出这一问题中的所有等量关系吗？

（2）如果设特快列车的平均行驶速度为

km/h，那么

满足怎样的方程？

（3）如果设小明乘高铁列车从甲地到乙地需

h，那么

满足怎样的方程？

问题：为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款．已知七年级同学捐款总额为4800

元，八年级同学捐款总额为5000元，八年级捐款人数比七年级多

20人，而且两个年级人均捐款额恰好相等．如果设七年级捐款人数为

人，那么

满足怎样的方程？

【教学说明】

再次让学生经历从实际问题抽象.概括分式方程这一“数学化”的过程，体会分式方程的模型作用.回顾刚才我们得出的4个方程：

它们和我们以前所碰到的方程一样吗？有什么不一样的地方？上面所得到的方程有什么共同特点？

【教学说明】

通过让学生通过观察.归纳.总结出整式方程与分式方程的异同，从而得出分式方程的概念

【归纳结论】

分母中中含有未知数的方程叫做分式方程

探究2：分式方程的解法

1.解下列分式方程：

【教学说明】

通过观察，使学生发现可以将分式方程通过去分母转化成一元一次方程来求解.通过教师对例题讲解，让学生明确解分式方程的一般步骤.【归纳结论】1.解分式方程的一般步骤：

（1）去分母（即在方程的两边都乘以最简公分母），把原分式方程化为_____；

（2）解这个整式方程；

2.下列哪种解法准确？

解分式方程

解法一：

将原方程变形为

方程两边都乘以x-2,得：1-x=-1-2

解这个方程，得：x=4.解法二：

将原方程变形为方程两边都乘以x-2,得：1-x=-1-2(x-2)

解这个方程，得：x=2

你认为x=2是原方程的根？与同伴交流.【归纳结论】

增根概念：将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含未知数的整式，并约去分母，有时可能产生不适合原分式方程的解(或根)，这种根通常称为增根；

认识增根：

①

增根是去分母后所得的根；

②

增根使最简公分母的值为；

③

增根（填“是”或“不是”）原方程的根.三.运用新知，深化理解

A．2个

B.3个

C.4个

D.5个

答案：B.（）是分式方程,（）是整式方程.答案：B;A、C

3.王军同学准备在课外活动时间组织部分同学参加电脑网络培训，按原定的人数估计共需费用300元.后因人数增加到原定人数的2倍，费用享受了优惠，一共只需要480元，参加活动的每个同学平均分摊的费用比原计划少4元，原定的人数是多少？如果设原定是x人，那么

满足怎样的分式方程?

解：方程两边都乘以y（y-1），得2y2+y（y-1）=（y-1）（3y-1），2y2+y2-y=3y2-4y+1，3y=1，解得y=1/3.检验：当y=1/3时，y（y-1）=1/3×1/3-1=-2/9≠0，∴y=1/3是原方程的解，∴原方程的解为y=1/3.解：两边同时乘以（x+1）（x-2），得x（x-2）-（x+1）（x-2）=3．

解这个方程，得x=-1．

检验：x=-1时（x+1）（x-2）=0，x=-1不是原分式方程的解，∴原分式方程无解．

（3）

解：方程的两边同乘（x-1）（x+1），得3x+3-x-3=0，解得x=0．

检验：把x=0代入（x-1）（x+1）=-1≠0．

∴原方程的解为：x=0.（4）

解：方程的两边同乘（x+2）（x-2），得2-（x-2）=0，解得x=4．

检验：把x=4代入（x+2）（x-2）=12≠0．∴原方程的解为：x=4.再两边同乘以3x-1，得3（3x-1）-1=2，3x-1=1，x=2/3.检验：把x=2/3代入（3x-1）：（3x-1）≠0，∴x=2/3是原方程的根．∴原方程的解为x=2/3．

（6）

解：方程两边同乘以2（3x-1），得：-2+3x-1=3，解得：x=2，检验：x=2时，2（3x-1）≠0．所以x=2是原方程的解.【教学说明】

通过学生的反馈练习，考察学生对分式方程概念的理解；以及解分式方程.使教师能全面了解学生对解分式方程是否清楚，以便教师能及时地进行查缺补漏.四.师生互动,课堂小结

1.什么样的方程是分式方程？

2.解分式方程的一般步骤：

（1）去分母（即在方程的两边都乘以最简公分母），把原分式方程化为_____；

（2）解这个整式方程；

（3）检验：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母的值不等于零的根是原分式方程的_____，使最简公分母的值等于零的根是原方程的_____.五.教学板书

布置作业:教材“习题5.7”中第1、2、3题.“习题5.8”中第1、2题.虽然在课堂上做了很多，但也存在许多不足的地方，以下是教师在教学中应该注意的地方：第一，讲例题时，先讲一个产生增根的较好，这样便于说明分式方程有时无解的原因，也便于讲清分式方程检验的必要性，也是解分式方程与整式方程最大的区别所在，从而再强调解分式方程必须检验，不能省略不写这一步；第二，给学生的鼓励不是很多.鼓励可以让学生有充分的自信心.“信心是成功的一半”，在今后的课堂教学中，应尊重其差异性，尽可能分层教学，评价标准多样化，多鼓励，少批评；多肯定，少指责.用动态的、发展的、积极的眼光看待每个学生，帮助他们树立自信心.赞美的力量是巨大的，有时，一句赞美的话，可以改变人的一生.一句肯定的话、一个赞许的点头、一张表示优秀的卡片，都是很好的鼓励，会起到意想不到的良好结果.第2课时

分式方程的应用

【知识与技能】

1.经历将实际问题中的等量关系用分式方程表示的过程；

2.掌握列分式方程解应用题的一般步骤；

3.会列出分式方程解决简单的应用题，提高学生分析问题、解决问题的能力，培养学生的应用意识.【过程与方法】

经历“实际问题情境——建立分式方程模型——求解——解释解的合理性”的过程，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力，增强学生学数学.用数学的意识．

【情感态度】

通过创设贴近学生生活实际的现实情境，增强学生的应用意识，培养学生对生活的热爱．

【教学重点】

列分式方程解应用题.【教学难点】

对所求出的分式方程的根进行检验.一.情景导入，初步认知

1.解分式方程的一般步骤;

3.列一元一次方程解应用题的一般步骤分哪几步？

【教学说明】

回顾上节课知识，检查学生掌握情况，复习列一元一次方程解应用题的一般步骤，引出新问题.二.思考探究，获取新知

例1.某单位将沿街的一部分房屋出租.每间房屋的租金第二年比第一年多500元，所有房屋出租的租金第一年为9.6万元，第二年为10.2万元.（1）你能找出这一情境的等量关系吗？

（2）根据这一情境，你能提出哪些问题？

（3）你能利用方程求出这两年每间房屋的租金各是多少吗？

（4）你能总结出列分式方程解应用题的一般步骤吗？

【教学说明】

引导学生通过独立思考和小组讨论的形式，用所学过的列方程解应用题的一般方法去解决问题，鼓励学生大胆尝试，形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神．

【归纳结论】

列分式方程解应用题的一般步骤：审——设——列——解——验——答

三.运用新知，深化理解

1.见教材P129例3.2.在达成铁路复线工程中，某路段需要铺轨．先由甲工程队独做2天后，再由乙工程队独做3天刚好完成这项任务．已知乙工程队单独完成这项任务比甲工程队单独完成这项任务多用2天，求甲、乙工程队单独完成这项任务各需要多少天？

解：设甲工程队单独完成任务需x天，则乙工程队单独完成任务需(x+2)天.依题意得

化为整式方程得x2－3x－4=0

解得x=－1或x=4．

检验：当x=4和x=－1时，x(x+2)≠0，∴x=4和x=－1都是原分式方程的解．

但x=－1不符合实际意义，故x=－1舍去.∴乙单独完成任务需要x+2=6（天）．

答：甲、乙工程队单独完成任务分别需要4天、6天．

3.去年5月12日，四川省汶川县发生了里氏8.0级大地震，兰州某中学师生自愿捐款，已知第一天捐款4800元，第二天捐款6000元，第二天捐款人数比第一天捐款人数多50人，且两天人均捐款数相等，那么两天共参加捐款的人数是多少？人均捐款多少元？

解法1：设第一天捐款x人，则第二天捐款（x+50）人，由题意列方程4800x=6000x+50．

解得

=200．

检验：当x

=200时，x（x+50）≠0，∴

=200是原方程的解．

两天捐款人数x+（x+50）=450，人均捐款4800/x=24（元）．

解法2：设人均捐款x元，由题意列方程6000/x-4800/x＝50

．

解得x=24，两天捐款人数为6000/x+4800/x=450

答：两天共参加捐款的有450人，人均捐款24元．

4.在我市某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标．经测算：甲队单独完成这项工程需要60天；若由甲队先做20天，剩下的工程由甲、乙合做24天可完成．

（1）乙队单独完成这项工程需要多少天？

（2）甲队施工一天，需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元．若该工程计划在70天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱？还是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱？

解：（1）设乙队单独完成需x天

根据题意，得1/60×20+(1/x+1/60)×24=1.解这个方程，得x=90.经检验，x=90是原方程的解.∴乙队单独完成需90天.（2）设甲、乙合作完成需y天，则有(1/60+1/90)y=1

解得y=36（天）.甲单独完成需付工程款为60×3.5=210（万元）

乙单独完成超过计划天数不符题意（若不写此行不扣分）．

甲、乙合作完成需付工程款为36（3.5+2）=198（万元）.答：在不超过计划天数的前提下，由甲、乙合作完成最省钱．

【教学说明】

使学生体会丰富的实例，巩固用分式方程解决实际问题的技巧．

四.师生互动,课堂小结

今天这节课大家有什么收获？你学到了哪些知识？

五.教学板书

布置作业:教材“习题5.9”中第1、2、3题.应用题历来是个“老大难”，学生痛苦，老师无奈，怎么办？降低门槛，找准知识的关键点，引导学生喜欢应用题.第五章

分式与分式方程

章末复习

【知识与技能】

1.使学生进一步熟悉分式的意义及分式的运算；2.会解分式方程，利用分式方程解决实际问题.【过程与方法】

通过复习，发展学生的代数表达能力、运算能力和有条理地思考问题的能力

【情感态度】

提高学生解决实际问题的能力，培养学生的符号感，提高分析问题和解决问题的能力.【教学重点】

会解分式方程，利用分式方程解决实际问题.【教学难点】

会解分式方程，利用分式方程解决实际问题.一.知识结构

【教学说明】

引导学生回顾本章知识点，使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系.二.释疑解惑，加深理解

1.分式概念：形如，其中分母B中含有字母，分数是整式而不是分式.2.分式的基本性质.分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，用式子表示是：.分式的约分和通分：

(1)约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．

(2)最简分式的概念：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式．

求几个分式的最简公分母的步骤：

（1）取各分式的分母中系数最小公倍数；

(2)各分式的分母中所有字母或因式都要取到；

(3)相同字母（或因式）的幂取指数最大的；

(4)所得的系数的最小公倍数与各字母（或因式）的最高次幂的积（其中系数都取正数）即为最简公分母;

(5)各个分式的分母都是多项式，并且可以分解因式.这时，可先把各分式的分母中的多项式分解因式，再确定各分式的最简公分母，最后通分.3.分式的运算

（1）同分母分式的加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减;

（2）异分母分式的加减法法则：异分母的分式相加减，先通分．变为同分母后再加减;

(3)分式的四则混合运算运算顺序与分数的四则运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号要先算括号内的．有些题目先运用乘法分配律，再计算更简便些.4.分式方程.分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.分式方程的解法：

①去分母，方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程;

②按解整式方程的步骤求出未知数的值;

③验根.5.分式方程的应用.列分式方程与列整式方程解应用题一样，应仔细审题，找出反映应用题中所有数量关系的等式，恰当地设出未知数，列出方程．与整式方程不同的是求得方程的解后，应进行两次检验，一是检验是否是增根，二是检验是否符合题意.【教学说明】

通过学生的回顾与思考，加深学生对解分式方程的步骤及解应用题的步骤的认识.三.典例精析，复习新知

解：方程两边同乘x－2，得

1=－(1－x)－(3x－2)

1=－1+x－3x+6

2x=4

∴x=2

检验：将x=2代入x－2=2－2=0

∴x=2为原方程的增根.故原方程无解.2.有一道题：“先化简，再求值：其中，x=-3”．

小玲做题时把“x=-3”错抄成了“x=3”，但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事？

解：原式计算的结果等于x2+4，所以不论x的值是+3还是-3结果都为13。

3.一辆汽车开往距离出发地180千米的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前40分钟到达目的地.求前一小时的行驶速度．

解：设前一小时的速度为x

km/小时，则一小时后的速度为1.5x

km/小时，解这个方程为x=60，经检验，x=60是所列方程的根，即前一小时的速度为60

km/h．

4.某市从今年1月1日起调整居民用天燃气价格，每立方米天燃气价格上涨25%．小颖家去年12月份的燃气费是96元．今年小颖家将天燃气热水器换成了太阳能热水器，5月份的用气量比去年12月份少10

m3，5月份的燃气费是90元．求该市今年居民用气的价格．

解：设该市去年居民用气的价格为x元/

m3，则今年的价格为(1+25%)x元/

m3．

根据题意，得

解这个方程，得x＝2.4．

经检验，x＝2.4是所列方程的根．

2.4×(1+25%)＝3

(元)．

所以，该市今年居民用气的价格为3元/

m3．

【教学说明】

通过设置恰当的、有一定梯度的题目，关注学生知识技能的发展和不同层次的需求.四.复习训练，巩固提高

1.若的值为零，则x的值是.答案：-1.2.若分式的值是正整数，则整数x的值是.答案：2，4.答案：无解

4.先化简，再求值：

6.轮船在顺水中航行30千米的时间与在逆水中航行20千米所用的时间相等，已知水流速度为2千米/小时，求船在静水中的速度.解：设船在静水中的速度为x千米／小时.去分母得30(x－2)=20(x+2)

∴30x－60=20x+40

经检验：x=10是方程的根.答：船在静水中的速度是10千米／小时.7.某车间加工1200个零件后，采用了新工艺，工效是原来的1.5倍，这样加工零件就少用10小时，采用新工艺前、后每小时分别加工多少个零件？

解：设采用新工艺前每小加工x个零件，则采用新工艺后每时加工1.5x个零件.由题意得

经检验：x=40是方程的解,∴1.5x=60

答：采用新工艺前、后每时分别加工40个、60个零件.8.福兴商场文具专柜以每支a（a为整数）元的价格购进一批“英雄”牌钢笔，决定每支加价2元销售．由于这种品牌的钢笔价格优、质量好、外观美，很快就销售一空．结账时，售货员发现这批钢笔的销售总额为399a＋805（元）．你能根据上面的信息求出文具专柜共购进多少支钢笔及每支钢笔的进价a是多少元吗？

分析：依题意，知购进钢笔的支数为，显然，仅仅通过不能求出a．因此，挖掘条件中的内涵是解决问题的关键．这里a为正整数，也是正整数．

解：设文具专柜共购进钢笔y支，则有

∵a＞0且为整数，y为正整数，∴a＋2是7的约数．

∴a＋2＝7或a＋2＝1．

∴a＝5，a＝－1（不合题意）．

当a＝5时，y＝400．

答：文具专柜共购进钢笔400支，每支进价5元

【教学说明】

让学生能从具体的情境中发现数量关系和变化规律，并用符号表示，发展学生的符号感．通过解决生活中的实际问题，提高分析问题和解决问题的能力.五.师生互动，课堂小结

1.通过对本章的复习，你有什么收获？

2.现实生活中会经常遇到问题，你能用本章知识解决吗？

布置作业:教材“复习题”中第11、10、13题.学生的回顾与思考，使学生对分式的基本性质、乘除法、加减法等基本运算有一个更深层次的认识；加深学生对解分式方程的步骤及解应用题的步骤的认识.通过设置恰当的、有一定梯度题目，关注学生知识技能的发展和不同层次的需求.加强学生对分式的运算等基本技能的训练.部分学生能举一反三，较好地掌握分式方程及其应用题的有关知识与解决生活中的实际问题等基本技能.第六章

平行四边形

平行四边形的性质

第1课时

平行四边形的边角特征

【知识与技能】

探索并掌握平行四边形的性质，并能简单应用.【过程与方法】

经历探索平行四边形有关概念和性质的过程，在活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯.【情感态度】

在探索活动过程中发展学生的探究意识.【教学重点】

平行四边形性质的探索.【教学难点】

平行四边形性质的理解.一.情景导入，初步认知

出示与平行四边形有关的图片，让学生观察.问题：图中哪些图形我们没有学习过，这些图形是什么图形？

【教学说明】通过观察图片，引出本节课的内容.二.思考探究，获取新知

探究1：平行四边形的有关概念.同学们拿出准备好的剪刀、彩纸或白纸一张.将一张纸对折，剪下两张叠放的三角形纸片，将它们相等的一边重合，得到一个四边形.（1）你拼出了怎样的四边形？与同桌交流一下；

（2）给出某位同学拼出的四边形，它们的对边有怎样的位置关系？说说你的理由，请用简捷的语言刻画这个图形的特征.【教学说明】通过学生动手实践，引出平行四边形的概念.【归纳结论】两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形，平行四边形ABCD记做□ABCD；平行四边形的不相邻的两个顶点连成的线段叫做它的对角线.探究2：平行四边形的对称性.平行四边形是轴对称图形吗？是中心对称图形吗？如果是,你能找出他的对称中心、对称轴吗？并验证你的结论.【归纳结论】平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心.探究3:

平行四边形的性质.如图（1），四边形ABCD是平行四边形.求证:AB=CD,BC=DA.【教学说明】学生通过说理，由直观感受上升到理性分析，在操作层面感知的基础上提升，并了解图形具有的数学本质.【归纳结论】平行四边形的对边、对角相等.三.运用新知，深化理解

1.见教材P136例1

2.如图,在平行四边形ABCD中，下列各式不一定正确的是（）

A.∠1+∠2=180°

B.∠2+∠3=180°

C.∠3+∠4=180°

D.∠2+∠4=180°

答案：D

3.如图,已知在平行四边形ABCD中，AB=4

cm，AD=7

cm，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF=_______.答案：3

4.如图所示,已知平行四边形ABCD中,E.F分别是BC和AD上的点,且BE=DF.求证:△ABE≌△CDF.证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,∠B=∠D.在△ABE和△CDF中,∴△ABE≌△CDF（SAS）.5.如图,已知四边形ABCD是平行四边形，∠BCD的平分线CF交边AB于F，∠ADC的平分线DG交边AB于G.(1)求证:AF=GB；

(2)请你在已知条件的基础上再添加一个条件，使得△EFG是等腰直角三角形,并说明理由.解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD.∴∠AGD=∠CDG.∵∠ADG=∠CDG，∴∠ADG=∠AGD.∴AD=AG.同理,BC=BF.又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC,AG=BF.∴AG-GF=BF-GF，即AF=GB.(2)添加条件EF=EG.理由如下:

由(1)证明易知

∠AGD=∠ADG=∠ADC

∠BFC=∠BCF=∠BCD.∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD=180°.∴∠AGD+∠BFC=90°.∴∠GEF=90°.又∵EF=EG，∴△EFG为等腰直角三角形.【教学说明】通过练一练,学生进一步理解平行四边形的性质，并进行简单合情推理，体现性质的应用，同时从不同角度平移.旋转等再一次认识平行四边形的本质特征.四.师生互动，课堂小结

（1）经历了对平行四边形的特征探索，你有什么感受和收获？给自己一个评价.（2）在与同伴合作交流中练表现，优秀方面有哪些？你看到同伴哪些优点？

（3）本节学习到了什么（知识上、方法上）？

五.教学板书

布置作业:教材“习题6.1”中第2、3、4题.本节教材直观感知活动较多，由学生的心理及年龄特点决定，学生有一定的逻辑思考能力及说理能力，因此从理性角度分析平行四边形的性质特点是非常需要的.学生在“运用新知，深化理解”环节中，要引导有条理的叙述及数学语言的表达.第2课时

平行四边形的对角线特征

【知识与技能】

进一步掌握平行四边形对角线互相平分的性质,学会应用平行四边形的性质.【过程与方法】

对平行四边形具有了一定的观察分析的能力和合情推理能力,具备了自行得出平行四边形对角线的性质的基础.【情感态度】

在应用中进一步发展学生合情推理能力，增强逻辑推理能力，掌握说理的基本方法.【教学重点】

平行四边形性质的应用.【教学难点】

发展合情推理及逻辑推理能力.一.情景导入，初步认知

什么样的图形是平行四边形？

平行四边形都有哪些性质？

平行四边形还有其它的性质吗？

【教学说明】以问题串形式回顾平行四边形的概念和平行四边形的性质.温故知新，为本节课作准备.二.思考探究，获取新知

在上节课的做一做中,我们发现平行四边形除了边、角有特殊的关系以外，对角线还有怎样的特殊关系呢？请尝试证明这一结论.如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O.求证:OA=OC,OB=OD.证明:

∵四边形ABCD是平行四边形

∴AB=CD，AB//DC.∴∠BAO=∠DCO，∠ABO=∠CDO.∴△AOB≌△COD.∴OA=OC,OB=OD.【教学说明】通过对上节课做一做的回顾，得出平行四边形对角线互相平分的性质，再通过严格的说理证明，深化对知识的理解.【归纳结论】平行四边形的对角线互相平分.三.运用新知，深化理解

1.见教材P138例2.2.如图所示,在□ABCD中,对角线AC、BD交于点O,下列式子中一定成立的是（）

A.AC⊥BD

B.OA=OC

C.AC=BD

D.AO=OD

答案：B.3.如图,□ABCD的周长为16

cm，AC、BD相交于点O，OE⊥AC交AD于E，则△DCE的周长为（）

A.4

B.6

C.8

D.10

答案：C.4.如图，□ABCD中,EF过对角线的交点O,如果AB=4

cm,AD=3

cm,OF=1

cm,则四边形BCFE的周长为（）

答案：9

.5.平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,∠ADB=90°,OA=6,OB=3.求AD和AC的长度.解:∵四边形ABCD是平行四边形

∴OA=OC=6OB=OD=3

∴AC=12

又∵∠ADB=90°

∴在Rt△ADO中，根据勾股定理得OA2=OD2+AD2

∴AD=3

6.平行四边形ABCD的两条对角线相交于O，OA、OB、AB的长度分别为3

cm、4

cm、5

cm，求其它各边以及两条对角线的长度.解：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD，AD=BC,OA=OC，OB=OD.又∵OA=3

cm，OB=4cm，AB=5cm,∴AC=6cm，BD=8cm，CD=5cm.∵△AOB中，32+42=52，即AO2+BO2=AB2,∴∠AOB

=90°.∴AC⊥BD.∴Rt△AOD中，OA2+OD2=AD2.∴AD=5cm，BC=5cm.答：这个平行四边形的其它各边都是5cm，两条对角线长分别为6cm和8cm.【教学说明】通过一组训练，达到了学生对平行四边形性质的掌握.四.师生互动,课堂小结

本节课你有哪些收获？你能将平行四边形的性质进行归纳吗？

五.教学板书

布置作业:教材“习题6.2”中第2、3题.通过练习，学生对本节课的知识掌握的较好，唯一不足的地方是：书写过程不够规范，有待加强.2

平行四边形的判定

第1课时

平行四边形的判定（1）

【知识与技能】

1.会证明平行四边形的2

种判定方法;

2.理解平行四边形的这两种判定方法，并学会简单运用.【过程与方法】

在运用平行四边形的判定方法解决问题的过程中，进一步培养和发展学生的逻辑思维能力和推理论证的表达能力.【情感态度】

通过平行四边形判别条件的探索，培养学生面对挑战，勇于克服困难的意志，鼓励学生大胆尝试，从中获得成功的体验，激发学生的学习热情.【教学重点】

平行四边形判定方法的探究、运用.【教学难点】

平行四边形判定方法的运用.一.情景导入，初步认知

1．平行四边形的定义是什么？它有什么作用？

2．平行四边形还有哪些性质？

【教学说明】教师提出问题，由学生独立思考，并回答定义正反两方面的作用，总结出平行四边形的其他几条性质．

二.思考探究，获取新知

探究1：平行四边形的判定定理1.用两对长度分别相等的笔，能否在平面内用这四根笔摆成一个平行四边形？

你能说明你所摆出的四边形是平行四边形吗？

【教学说明】通过学生的互相交流，口述其推理论证的过程．根据学生的认知水平，教师应估计到学生可能会在推理论证时遇到困难，所以应加以适当引导．

【归纳结论】两组对边分别相等的四边形是平行四边形.探究2：平行四边形的判定定理2.请利用两根长度相等的笔能摆出以笔顶端为顶点的平行四边形.你能说明你所摆出的四边形是平行四边形吗？

【归纳结论】一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.三.运用新知，深化理解

1.如图，在平行四边形ABCD中，E.F分别是AD、BC的中点．

求证：四边形BFDE是平行四边形.证明：∵四边形ABCD是平行四边形

∴AD=CB，AD//BC.又∵E.F分别是AD、BC的中点，∴ED=AD，BF=BC.∴DE=BF.又∵ED∥BF,∴四边形BFDE是平行四边形.2.如图,ABDC，DC=EF=10，DE=CF=8，则图中的平行四边形有_____________________，理由分别是_________________________、___________________________.答案：四边形ABCD，四边形CDEF；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,两组对边分别相等的四边形是平行四边形.3.如图,E.F是平行四边形ABCD对角线BD上的两点，请你添加一个适当的条件:_______________，使四边形AECF是平行四边形.答案：BE=DF或∠BAE=∠DCF等任何一个均可.4.如图,AD=BC,要使四边形ABCD是平行四边形,还需补充的一个条件是:__________________.答案：①AD∥BC,②AB=CD,③∠A+∠B=180°,④∠C+∠D=180°等.5.如图,在□ABCD中,已知M和N分别是边AB.DC的中点,试说明四边形BMDN也是平行四边形.证明：∵□ABCD,∴ABCD.∵M.N是中点,∴BM=AB,DN=CD.∴BMDN.∴四边形BMDN也是平行四边形.【教学说明】学生在思考的过程中逐步熟悉平行四边形的定义，并知道举一反三，掌握证明平行四边形的方法.四.师生互动，课堂小结

（1）判定一个四边形是平行四边形的方法有哪几种？这些方法是从什么角度去考虑的？

（2）我们是通过什么方法得出平行四边形的这几种判定方法的？这样的探索过程对你有什么启发？

（3）类比、观察、拼图、实验等都是学习数学、发现结论的常用方法．

五.教学板书

布置作业:教材“习题6.3”中第1、2、3题.本节课在引入的环节上，采用复习引入的方式.首先复习了平行四边形的定义和性质，唤起学生对已有知识的回忆，让学生初步感受平行四边形的性质与判定的区别与联系，为平行四边形的性质和判定的综合运用作了铺垫.知识的真正获得不是靠知者的“告诉”，而是在于学习者的亲身体验所得，本节课判定方法的得出都非常重视知识的发生、形成过程，让学生亲历了类比、观察、实验、猜想、验证、推理的整个过程，培养学生的探究能力，发展学生的合情推理能力.学生把所学知识灵活地加以运用，有效地激发了学生的学习兴趣，提高了学习效率.数学的学习要重视学习方法的指导.本节课通过由浅入深的练习和灵活的变式，引导学生善于抓住图形的基本特征和题目的内在联系，达到触类旁通的效果.第2课时

平行四边形的判定（2）

【知识与技能】

1.理解对角线互相平分的四边形是平行四边形这一判定定理.2.理解两组对角分别相等的四边形是平行四边形，并学会简单运用.【过程与方法】

经历平行四边行判别条件的探索过程，在探究活动中发展学生的合情推理意识.【情感态度】

在运用平行四边形的判定方法解决问题的过程中，进一步培养和发展学生的逻辑思维能力和推理论证的几何表达能力.【教学重点】

平行四边形判定方法的综合运用.【教学难点】

平行四边形判定方法的综合运用.一.情景导入，初步认知

1.平行四边形的定义是什么？它有什么作用？

2.判定四边形是平行四边形的方法有哪些？

3.平行四边形有哪些性质？

4.你能根据平行四边形的性质，猜想平行四边形还有哪些判定方法吗？

【教学说明】对比平行四边形的性质，猜测平行四边形判断的其他方法.二.思考探究，获取新知

探究1：平行四边形的判定定理3.能否用两根不同长度的细木条摆出以木条顶端为顶点的平行四边形？

思考：你能说明你得到的四边形是平行四边形吗？以上活动事实,能用文字语言表达吗？

已知:如图,四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,并且OA=OC,OB=OD.求证:四边形ABCD是平行四边形.证明:

∵OA=OC,OB=OD，且∠AOB=∠COD，∴△AOB≌△COD（SAS）.∴AB=CD.同理可得:BC=AD.∴四边形ABCD是平行四边形.【教学说明】在此活动中，教师应重点关注：（1）学生实验操作的准确性；（2）学生能否运用不同的方法从理论上证明他们的猜想、发现；（3）学生使用几何语言的规范性和严谨性.【归纳结论】对角线互相平分的四边形是平行四边形.探究2：平行四边形的判定定理4.如图：∠A=∠C,∠B=∠D,求证：四边形ABCD为平行四边形

证明：∵∠A=∠C,∠B=∠D,∠A+∠C+∠B+∠D=360°,∴∠A+∠B=180°,∴AD∥BC,同理：AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形.【归纳结论】两组对角分别相等的四边形是平行四边形.三.运用新知，深化理解

1.下列给出了四边形ABCD中∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比，其中能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）

A.1∶2∶3∶4

B.2∶2∶3∶3

C.2∶3∶2∶3

D.2∶3∶3∶2

答案：C.2.填空题：

如图，在四边形ABCD中，若∠A=120°,则∠B=_____,∠C=____，∠D=_____时，四边形ABCD是平行四边形.答案：60°，120°，60°.3.如图,在平行四边形ABCD中,点M、N

分别是AD、BC上的两点，点E、F在对角线BD上，且DM=BN，BE=DF.求证：四边形MENF是平行四边形.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，∴∠MDF=∠NBE.又∵DM=BN,DF=BE,∴△MDF≌△NBE（SAS）,∴MF=EN,∠MFD=∠NEB,∴∠MFE=∠NEF,∴MF∥EN,∴四边形MENF是平行四边形.4.判断下列说法是否正确

(1)一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形.（）

(2)两组对角都相等的四边形是平行四边形.（）

(3)一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形.（）

(4)一组对边平行,一组邻角互补的四边形是平行四边形.（）

答案：×，√，√，×.5.如图所示，D为△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，且AE=CE，FC∥AB．求证：CD=AF．

证明：∵FC∥AB，∴∠DAC=∠ACF，∠ADF=∠DFC．

又∵AE=CE，∴△ADE≌△CFE（AAS），∴DE=EF．

∵AE=CE，∴四边形ADCF为平行四边形．

∴CD=AF．

6.如图，□ABCD中，对角线AC.BD相交于点O，过点O作两条直线分别与AB，BC，CD，AD交于G，F，H，E四点.求证：四边形EGFH是平行四边形.证明：∵四边形ABCD是平行四边形

∴AO=CO

AD∥CB

∴∠OAE=∠OCF

又∵∠AOE=∠COF

△AOE≌△COF（ASA）

∴OE=OF

同理可得：OG=OH

∴四边形EGFH为平行四边形

【教学说明】通过练习进行强化和巩固,加深学生对定理的理解,从而达到灵活的运用.四.师生互动.课堂小结

（1）判定一个四边形是平行四边形的方法有哪几种？

（2）我们是通过什么方法得出平行四边形的这几种判定方法的，这样的探索过程对你有什么启发？

五.教学板书

布置作业:教材“习题6.4”中第1、2、3题.本节课的设计通过探究活动的开展探求平行四边形的判定方法，通过对判定方法的进一步理解、典型例题的分析、精选的随堂练习，使学生一定能够掌握平行四边形的判定方法及应用判定方法解决实际生活的问题．

第3课时

平行四边形性质与判定的综合应用

【知识与技能】

1.理解平行线之间的一些定理;

2.运用平行四边形的性质.判定方法解决问题.【过程与方法】

经历平行线间相关定理的探索过程，在探究活动中发展学生的合情推理意识.【情感态度】

在运用平行四边形的性质.判定方法解决问题的过程中，进一步培养和发展学生的逻辑思维.【教学重点】

平行四边形的性质和判定的综合运用.【教学难点】

平行四边形的性质和判定的综合运用.一.情景导入，初步认知

1.平行四边形的定义是什么？它有什么作用？

2.平行四边形有那些性质?

3．判定四边形是平行四边形的方法有哪些？

【教学说明】教师提出问题,由学生独立思考，并口答得出定义.总结出平行四边形的性质和判定四边形是平行四边形的几个条件．

二.思考探究，获取新知

探究1：平行线之间的距离

在笔直的铁轨上,夹在铁轨之间的平行枕木是否一样长?

你能说明理由吗?与同伴交流.【教学说明】从实际的生活出发,让学生感受数学来源于生活又服务于生活

【归纳结论】若两条直线平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等，这个距离称为平行线间的距离，即平行线间的距离相等.探究2：平行线之间的平行线段.夹在平行线之间的平行线段一定相等吗？

你能证明你的结论吗？

【归纳结论】平行线之间的平行线段相等.【教学说明】通过对平行四边形性质的简单应用，引入了平行线之间的距离的概念;再通过生活中的生活实例的应用，深化对知识的理解.三.运用新知，深化理解

1.见教材P146例4.2.在同一平面内，直线a∥c，且直线a到直线c的距离是2；直线b∥c，直线b到直线c的距离为5，则直线a到直线b的距离为（）

A.3

B.7

C.3或7

D.无法确定

答案：C

3.如图：平行四边形ABCD中，∠ABC=70°，∠ABC的平分线交AD于点E,过

D作BE的平行线交BC于点F,求∠CDF的度数.解：∵BE平分∠ABC,∠ABC=70°,∴∠EBF=35°.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥CB,∠ADC

=∠ABC=70°,∵BE∥DF,∴BE=DF.∴四边形BFDE是平行四边形.∴∠ADF=∠EBC=35°.∴∠CDF=35°.4.如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，在AB的延长线上截取BE=AB，BF=BD，连接CE，DF，相交于点M．求证：CD=CM．

证明：∵四边形ABCD是平行四边形．

∴ABDC．

又∵BE=AB，∴BEDC，∴四边形BDCE是平行四边形．

∵DC∥BF，∴∠CDF=∠F．

同理，∠BDM=∠DMC．

∵BD=BF，∴∠BDF=∠F．

∴∠CDF=∠CMD，∴CD=CM．

5.已知如图所示，在□ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点.求证：（1）△AFD≌△CEB.（2）四边形AECF是平行四边形.解：（1）在□ABCD中，AD=CB，AB=CD，∠D=∠B．

∵E，F分别为AB，CD的中点，∴DF=CD，BE=AB，∴DF=BE，∴△AFD≌△CEB．

（2）在□ABCD中，AB=CD，AB∥CD．

由（1）得BE=DF，∴AE=CF，∴四边形AECF是平行四边形．

【教学说明】通过练习进行强化和巩固,加深学生对平行四边形的性质定理和判定定理的理解,从而达到灵活的运用.四.师生互动，课堂小结

师生共同小结，主要围绕下列几个问题：

（1）平行四边形的性质有哪些？判定一个四边形是平行四边形的方法有哪几种？

（2）夹在平行线间的平行线段有何特点？你是怎样得到结论的？（3）能综合运用平行线的性质和判定定理.五.教学板书

布置作业:教材“习题6.5”中第2、3题.本节课的内容是对前面所学的平行四边形的性质与判定的综合应用，对于学生来说，难度有点大，学生不容易掌握性质与判定之间的转化，所以对于本节课的内容还应该加大训练.3

三角形的中位线

【知识与技能】

1.知道三角形中位线的概念，明确三角形中位线与中线的不同.2.理解三角形中位线定理，并能运用它进行有关的论证和计算.【过程与方法】

引导学生通过观察.实验.联想来发现三角形中位线的性质，培养学生观察问题.分析问题和解决问题的能力.【情感态度】

创设问题情景，激发学生的热情和兴趣，激活学生思维.【教学重点】

三角形中位线定理.【教学难点】

三角形中位线定理的灵活应用.一.情景导入，初步认知

怎样将一张三角形纸片剪成两部分，使分成的两部分能拼成一个平行四边形？

操作：（1）剪一个三角形，记为△ABC；

（2）分别取AB,AC中点D,E，连接DE；

（3）

沿DE将△ABC剪成两部分，并将△ABC绕点E旋转180°，得四边形BCFD.【教学说明】通过一个有趣的动手操作问题入手，激发学生学习兴趣.为后面中位线的证明做准备.二.思考探究，获取新知

1.思考：四边形ABCD是平行四边形吗？你能证明吗？

2.探索新结论：若四边形ABCD是平行四边形，那么DE与BC有什么位置和数量关系呢？

【教学说明】激发了学生的求知欲和好奇心，激起了学生探究活动的兴趣.【归纳结论】1.连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线;

2.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半.三.运用新知，深化理解

1.如图所示，DE是△ABC的中位线，BC=8，则DE=______．

答案：4.2.如图所示，在□ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OE∥BC交CD于E，若OE=3cm，则AD的长为（）．

A．3cm

B．

6cm

C．9cm

D．12cm

答案：B.3.如图所示，已知E为□ABCD中DC边的延长线上的一点，且CE=DC，连接AE，分别交BC，BD于点F，G，连接AC交BD于点O，连接OF，求证：AB=2OF．

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴ABCD，AD=BC．

∵CE=CD，∴ABCE，∴四边形ABEC为平行四边形．

∴BF=FC，∴OFAB，即AB=2OF．

4.如图所示，在ABCD中，EF∥AB且交BC于点E，交AD于点F，连接AE，BF交于点M，连接CF，DE交于点N，求证：MN∥AD且MN=AD．

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC．

又∵EF∥AB，∴EF∥CD．

∴四边形ABEF，ECDF均为平行四边形．

又∵M，N分别为□ABEF和□ECDF对角线的交点．

∴M为AE的中点，N为DE的中点，即MN为△AED的中位线．

∴MN∥AD且MN=AD．

5.如图所示，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，则四边形EFGH是平行四边形吗？为什么？

解：EFGH是平行四边形，连接AC

在△ABC中，∵EF是中位线，∴EFAC．同理，GHAC

∴EFGH．

∴四边形EFGH为平行四边形

【教学说明】巩固三角形中位线定理,同时也兼顾平行四边形判定定理的熟练运用.四.师生互动，课堂小结

1.了解三角形中位线的概念；

2.探索并掌握三角形中位线的性质，并能应用其性质求有关问题.五.教学板书

布置作业:教材“习题6.6”中第1、2、3

题.本节课以探究三角形中位线的性质及证明为主线，开展教学活动.在三角形中位线定理探究过程中，学生先是通过动手画图、观察、测量、猜想出三角形中位线的性质，然后师生利用几何画板的测量和动态演示功能验证猜想的正确性，再引导学生尝试构造平行四边形进行证明.通过知识的形成过程，使学生体会探究数学问题的基本方法；通过定理的探究与证明，努力培养学生分析问题和解决问题的能力，提升学生数学的思维品质.4

多边形的内角和与外角和

【知识与技能】

掌握多边形内角和定理与外角和定理，进一步了解转化的数学思想.【过程与方法】

经历质疑、猜想、归纳等活动，发展学生的合情推理能力，积累数学活动的经验，在探索中学会与人合作，学会交流自己的思想和方法.【情感态度】

让学生体验猜想得到证实的成功喜悦和成就感，在解题中感受生活中数学的存在，体验数学充满着探索和创造.【教学重点】

多边形内角和、外角和定理的探索和应用.【教学难点】

多边形定义的理解；多边形内角和公式的推导；转化的数学思维方法的渗透.一.情景导入，初步认知

1．三角形是如何定义的？

2．仿照三角形定义，你能学着给四边形.五边形……n边形下定义吗？

3．结合图形认识多边形的顶点、边、内角及对角线.【教学说明】对概念分析和归纳，培养学生的口头表达能力和语言组织能力，同时渗透类比思想.二.思考探究，获取新知

探究：多边形的内角和

1．三角形的内角和是多少度？你是怎么得出的？

①用量角器度量；

②拼角.【教学说明】学生分组，利用度量和拼角的方法验证三角形的内角和，为四边形内角和的探索奠定基础.2．四边形的内角和是多少？你又是怎样得出的？

①度量；②拼角；

③将四边形转化成三角形求内角和.3．在四边形内角和的探索过程中，用到了几种方法，你认为哪种方法好？请讲述你的理由.度量法：不精确；

拼角法：操作不方便；

当多边形边数n较大时，度量法.拼角法都不可取.第三种方法：精确.省事且有理论根据.4．根据四边形的内角和的求法，你能否求出五边形的内角和呢？

【教学说明】由于四边形的内角和易求得，这里采用略讲，而着重研究求五边形的内角和.在课堂上应该留给学生充足的时间讨论、交流，寻求多种不同的分割方法来得出五边形的内角和.这既符合新课程教学理念，又符合学生的认知规律和年龄特征，同时渗透转化思想.【归纳结论】从n边形的一个顶点可以引出(n-3)条对角线，把n边形分成(n-2)个三角形.从而得出：n边形的内角和是(n-2)·180°.探究2：多边形的外角和

问题：（多媒体演示）清晨，小明沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步.（1）小明每从一条街道转到下一条街道时，身体转过的角是哪个角？

（2）他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？

（3）在上图中，你能求出∠1+∠2+

∠3+∠4+∠5的结果吗？你是怎样得到的？

问题引申：

1.如果广场的形状是六边形，那么还有类似的结论吗？

2.如果广场的形状是八边形呢？

【归纳结论】1.多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角.2.在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和.3.多边形的外角和等于360°.三.运用新知，深化理解

1.四边形ABCD中，如果∠A+∠C+∠D=280°，则∠B的度数是（）

A．80°

B．90°

C．170°

D．20°

答案：A.2．一个多边形的内角和等于1080°，这个多边形的边数是（）

A．9

B．8

C．7

D．6

答案：B.3．内角和等于外角和2倍的多边形是（）

A．五边形

B．六边形

C．七边形

D．八边形

答案：B.4．六边形的内角和等于______度．

答案：720.5．正十边形的每一个内角的度数等于______，每一个外角的度数等于______．

答案：144°，36°.6.已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC,DF平分∠ADC．BE与DF有怎样的位置关系？为什么？

解：BE∥DF．

理由：∵∠A=∠C=90°，∴∠A+∠C=180°．

∴∠ABC+∠ADC=360°-180°=180°．

∵∠ABE=∠ABC，∠ADF=∠ADC，∴∠ABE+∠ADF=（∠ABC+∠ADC）=×180°=90°．

又∵∠ABE+∠AEB=90°，∴∠AEB=∠ADF，∴BE∥DF（同位角相等，两直线平行）．

7.如果一个多边形的边数增加1,那么这个多边形的内角和增加多少度？若将n边形的边数增加1倍，则它的内角和增加多少度？

答案：180°，n·180°.8.如图，以五边形的每个顶点为圆心，以1为半径画圆，求圆与五边形重合的面积．

解：（5-2）×180°÷360°×12×π=1.5π．

【教学说明】通过练习，学生加深对n边形内角和和外角和定义的理解，并将其运用到圆的面积问题中，扩散了学生的思维.四.师生互动,课堂小结

1.多边形的内角的概念及内角和公式；

2.多边形的外角概念及外角和.五.教学板书

布置作业:教材“习题6.7”中第1题，“习题6.8”中第1、2、3题.本节课的设计突出对多边形的内角和、外角和公式的探究与推导过程，探究过程既有类比的方法，又有承接多边形内角和的新方法；既是新知识的学习过程，又是旧知识的拓展过程.相信这样的设计一定能够达到教学目标的三个维度的要求.另外，可以考虑增加一些课堂中的习题量，以帮助学生巩固新知识.章末复习

【知识与技能】

1.能够熟练掌握平行四边形的判定和性质定理，并能够应用数学符号语言表述证明过程.2.掌握三角形中位线的定义和性质，明确三角形中位线与中线的不同并能运用它进行有关的论证和计算.3.掌握多边形内角和、外角和定理，进一步了解转化的数学思想.4.会熟练应用所学定理进行证明.【过程与方法】

通过讨论交流，进一步发展学生的合作交流意识.【情感态度】

体会证明中所运用的归类、类比、转化等数学思想，通过复习课对证明的必要性有进一步的认识.【教学重点】

熟练应用所学定理进行证明.【教学难点】

熟练应用所学定理进行证明.一.知识结构

【教学说明】引导学生回顾本章知识点，使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系.二.释疑解惑，加深理解

1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形.2.平行四边形的性质（边，角，对角线，对称性）

（1）边的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对边平行；

（2）角的性质：平行四边形的对角相等；

（3）对角线的性质：平行四边形的对角线互相平分；

（4）平行四边形是中心对称图形

.3.平行四边形的判定.（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义）;

（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形

;

（3）

对角线互相平分的四边形是平行四边形

;

（4）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;

（5）两组对角分别相等的四边形是平行四边形

.4.两条平行线间的距离的定义.若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等，这个距离称为平行线之间的距离，实际上平行线间的距离处处相等.5.三角形的中位线

.（1）三角形中位线的定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线

;

（2）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角线的第三边，且等于第三边的一半.6.多边形的内角与外角和

.（1）多边形：在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形

;

（2）n边形的内角和是(n-2)·180°;

（3）多边形的外角和等于360°.【教学说明】通过课前热身练习，学生对知识进行回忆，进一步体会平行四边形的性质、判定,概念再现，知识梳理.三.典例精析，复习新知

1.在四边形ABCD中，若AB=CD，再添加一个条件为_______________，就可以判定四边形ABCD为平行四边形.答案：本题为开放式题目，只需添上一组能使四边形ABCD成平行四边形的条件即可，例AB∥CD.2.已知E.F.G.H分别为□ABCD各边的中点，则四边形EFGH为_______.答案：平行四边形.3.下列结论正确的是（）

A．对角线相等且一组对角相等的四边形是平行四边形

B．一边长为5cm，两条对角线长分别是4cm和6cm的四边形是平行四边形

C．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形

D．对角线相等的四边形是平行四边形

答案：C.4.如图,在平行四边形ABCD中，EF∥AB，GH∥AD，EF与GH交于点O，则该图中的平行四边形的个数共有（）

A.7个

B.8个

C.9个

D.11个

答案：C.5.已知如图直线m∥n，A.B为直线n上两点，C.D为直线m上两点，BC与AD交于点O，则图中面积相等的三角形有（）

A.1对

B.2对

C.3对

D.4对

答案：C.6.若一个多边形内角和为1800°，求该多边形的边数.解：设这个多边形的边数为n，则：

(n-2)×180°=1800°

n=12

即该多边形为十二边形

7.如图所示，在四边形ABCD中，DC∥AB，以AD，AC为边作□ACED，延长DC交EB于F，求证：EF=FB．

证明：过点B作BG∥AD，交DC的延长线于G，连接EG．

∵DC∥AB，∴ABGD是平行四边形，∴BGAD．

在□ACED中，ADCE，∴CEBG．

∴四边形BCEG为平行四边形，∴EF=FB．

【教学说明】通过上面的解题分析，再对整个学习过程进行总结，能够促进理解，提高认识水平，从而促进数学观点的形成和发展，更好地进行知识建构，实现良性循环.四.复习训练，巩固提高

1.多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350°，求该多边形的边数.分析：该外角的大小范围应该是0°＜x＜180°

由此可得到该多边形内角和范围应该是

1170°＜1350°-x＜1350°，而1350°-x=(n-2)·180°

解1：设该多边形边数为n，这个外角为x

则(n-2)·180°+x=1350°

∴

因为n为整数，所以必为整数.即：90°-x必为180°的倍数.又因为0°＜x＜180°，所以x=90°,∴n=9.解2：设该多边形边数为n，这个外角为x.(n-2)·180°+x=1350°

0°＜x＜180°

∴1170°＜1350°-x＜1350°

∴1170°＜(n-2)·180°＜1350°

又∵n为整数，∴n=9.则该多边形为九边形.2.如图，在四边形ABCD中，点E是线段AD上的任意一点（E与A，D不重合），G，F，H分别是BE，BC，CE的中点．请证明四边形EGFH是平行四边形.分析:（1）根据三角形中位线定理得GF∥EC,GF=EC=EH,一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以EGFH是平行四边形.证明：（1）在△BEC中，∵G，F分别是BE，BC的中点，∴GF∥EC且GF=EC

.又∵H是EC的中点，EH=EC，∴GF∥EH且GF=EH

.∴四边形EGFH是平行四边形.3.如图，分别以△ABC的三边为边长，在BC的同侧作等边三角形ABD，等边三角形BCE，等边三角形ACF，连接DE，EF.求证：四边形ADEF是平行四边形.解析：先证△EDB≌△CFE，可得BD=EF，ED=CF.∵BD=DA，CF=AF，∴ED=AF，EF=DA，∴四边形ADEF是平行四边形.4.如图所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AD于E，EF∥BC交AC于F，那么AE与CF相等吗？请验证你的结论．

解：AE=CF．

理由：过E作EG∥CF交BC于G，∴∠3=∠C．

∵∠BAC=90°，AD⊥BC，∴∠ABC+∠C=90°，∠ABD+∠BAD=90°．

∴∠C=∠BAD，∴∠3=∠BAD．

又∵∠1=∠2，BE=BE，∴△ABE≌△GBE（AAS），∴AE=GE．

∵EF∥BC，EG∥CF，∴四边形EGCF是平行四边形，∴GE=CF，∴AE=CF．

【教学说明】这些训练题有一定的难度，应对学生分层教学.五.师生互动，课堂小结

通过本节课的复习，你取得了哪些经验？（学生总结，老师补充）

布置作业:教材“复习题”中第3、5、6、9、11、13、14题.本节复习课，我是先引导学生复习本章知识点.采用讨论、提问的方式进行教学，学生的积极性比较高，大部分学生都能掌握平行四边形的有关概念、性质定理、判定定理、多边形的内角和公式、外角和公式.通过知识点的回顾，学生对本章知识作了个系统的了解和整理.接着是例题讲解，这些例题都是基础知识，比较简单，可以先让学生独立完成，简答题可让个别学生上台板演，教师注重学生的板书过程，适当的作强调、更正.再是学生练习，这组练习题的难度较大，应采用分组教学，教师适当的提示、引导，使优生得到更好的锻炼、提高.

北师大版数学八年级下册全册教案（2021年春修订）

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