班级：一对一
所授年级+科目：
高一数学
授课教师：
课次：第次
学生：
上课时间：
教学目标
教学重难点
指数函数知识点总结
（一）指数与指数幂的运算
1．根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中>1，且∈*．
u
负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作。
当是奇数时，当是偶数时，2．分数指数幂
正数的分数指数幂的意义，规定：，u
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
3．实数指数幂的运算性质
（1）·；
（2）；
（3）．
（二）指数函数及其性质
1、指数函数的概念：
一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．
注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．
2、指数函数的图象和性质
a>1
0 定义域 R 定义域 R 值域y＞0 值域y＞0 在R上单调递增 在R上单调递减 非奇非偶函数 非奇非偶函数 图象都过定点（0,1） 图象都过定点（0,1） 注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出： （1）在[a，b]上，值域是或； （2）若，则；取遍所有正数当且仅当； （3）对于指数函数，总有； 1．比较大小 例1 已知函数满足，且，则与的大小关系是_____． 分析：先求的值再比较大小，要注意的取值是否在同一单调区间内． 解：∵，∴函数的对称轴是． 故，又，∴．∴函数在上递减，在上递增． 若，则，∴；若，则，∴． 综上可得，即． 评注：①比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等． ②对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参数进行讨论． 2．求解有关指数不等式 例2 已知，则x的取值范围是___________． 分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围． 解：∵，∴函数在上是增函数，∴，解得．∴x的取值范围是． 评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论． 3．求定义域及值域问题 例3 求函数的定义域和值域． 解：由题意可得，即，∴，故,∴函数的定义域是． 令，则，又∵，∴． ∴，即． ∴，即,∴函数的值域是． 评注：利用指数函数的单调性求值域时，要注意定义域对它的影响． 4．最值问题 例4 函数在区间上有最大值14，则a的值是_______． 分析：令可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后的取值范围． 解：令，则，函数可化为，其对称轴为． 当时，∵，∴，即． ∴当时，,解得或（舍去）； 当时，∵，∴，即，∴ 时，解得或（舍去）； ∴a的值是3或． 评注：利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用，比如：换元法，整体代入等． 5．解指数方程 例5 解方程． 解：原方程可化为，令，上述方程可化为，解得或（舍去），∴，∴，经检验原方程的解是． 评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验根． 6．图象变换及应用问题 例6 为了得到函数的图象，可以把函数的图象（）． A．向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度 B．向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度 C．向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度 D．向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度 分析：注意先将函数转化为，再利用图象的平移规律进行判断． 解：∵，∴把函数的图象向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，可得到函数的图象，故选（C）． 评注：用函数图象解决问题是中学数学的重要方法，利用其直观性实现数形结合解题，所以要熟悉基本函数的图象，并掌握图象的变化规律，比如：平移、伸缩、对称等． 综合练习 比较下列各组数的大小： （1）若，比较 与 ；（2）若，比较 与； （3）若，且，比较a与b； （4）若，且，比较a与b． 解： （1）由，故 ．又，故 ．从而 ． （2）由，因，故 ．又，故 ．从而 ． （3）应有 ．因若，则 ．又，故，这样 ．又因，故 ．从而，这与已知 矛盾． （4）应有 ．因若，则 ．又，故，这样有 ．又因，且，故 ．从而，这与已知 矛盾． 小结：比较通常借助相应函数的单调性、奇偶性、图象来求解． 曲线 分别是指数函数,和的图象,则 与1的大小关系是 （）.（分析:首先可以根据指数函数单调性,确定,在轴右侧令,对应的函数值由小到大依次为,故应选 .小结:这种类型题目是比较典型的数形结合的题目,第(1)题是由数到形的转化,第(2)题则是由图到数的翻译,它的主要目的是提高学生识图,用图的意识.3 已知-1≤x≤2,求函数f(x)=3+2·3x+1-9x的最大值和最小值 解：设t=3x,因为-1≤x≤2，所以，且f(x)=g(t)=-(t-3)2+12,故当t=3即x=1时，f(x)取最大值12；当t=9即x=2时f(x)取最小值-24。 已知函数 （且） （1）求的最小值； （2）若，求的取值范围． 解：（1），当 即 时，有最小值为 （2），解得 当 时，；当 时，． 5（1）已知是奇函数，求常数m的值； （2）画出函数的图象，并利用图象回答：k为何值时，方程|3Ｘ－１｜＝k无解？有一解？有两解？ 解： （1）常数m=1 （2）当k<0时，直线y=k与函数的图象无交点,即方程无解; 当k=0或k1时,直线y=k与函数的图象有唯一的交点，所以方程有一解; 当0 已知，求函数的值域． 解：由 得，即，解之得，于是，即，故所求函数的值域为 求函数y＝的单调区间.分析 这是复合函数求单调区间的问题 可设y＝,u＝x2-3x+2，其中y＝为减函数 ∴u＝x2-3x+2的减区间就是原函数的增区间(即减减→增) u＝x2-3x+2的增区间就是原函数的减区间(即减、增→减) 解：设y＝,u＝x2-3x+2,y关于u递减，当x∈(-∞，)时，u为减函数，y关于x为增函数； 当x∈［，+∞)时，u为增函数，y关于x为减函数.8 已知函数，（1）求证：对任何为增函数；（2）若为奇函数时，求a的值。 （1） 故对任何a∈R，f（x）为增函数． （2），又为奇函数，得到。即 定义在R上的奇函数有最小正周期为2，且时，（1）求在[－1，1]上的解析式；（2）判断在（0，1）上的单调性； （3）当为何值时，方程=在上有实数解.解（1）∵上的奇函数,∴,又∵2为最小正周期,∴ 设，则，∴ （2）= ∴在（0，1）上为减函数。 （3）∵在（0，1）上为减函数,∴ 即 同理在（－1，0）时，,又,∴当或时,在[－1，1]内有实数解。 函数y＝a｜x｜(a>1)的图像是（） 分析 本题主要考查指数函数的图像和性质、函数奇偶性的函数图像，以及数形结合思想和分类讨论思想.解法1：(分类讨论)： 去绝对值，可得y＝ 又a>1，由指数函数图像易知，应选B.解法2：因为y＝a｜x｜是偶函数，又a>1，所以当x≥0时，y＝ax是增函数；x＜0时，y＝a-x是减函数.一、选择题 1．函数f（x）=(a2-1)x在R上是减函数，则a的取值范围是（） A、B、C、a< D、1< 2.下列函数式中，满足f(x+1)=f(x)的是（） A、(x+1) B、x+ C、2x D、2-x 3.下列f(x)=(1+ax)2是（） A、奇函数 B、偶函数 C、非奇非偶函数 D、既奇且偶函数 4．函数y=是（） A、奇函数 B、偶函数 C、既奇又偶函数 D、非奇非偶函数 5．函数y=的值域是（） A、（-） B、（-0）（0，+） C、（-1，+） D、（-，-1）（0，+） 6．下列函数中，值域为R+的是（） A、y=5 B、y=()1-x C、y= D、y= 7．已知0 A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 二、填空题 8．函数y=的定义域是 9．函数y=()(-3)的值域是 10．直线x=a(a>0)与函数y=()x,y=()x,y=2x,y=10x的图像依次交于A、B、C、D四点，则这四点从上到下的排列次序是 11．函数y=3的单调递减区间是 12．若f(52x-1)=x-2,则f(125)= 答案 1、D；2、D；3、B；4、A；5、D；6、B；7、A 8.(-,0)(0,1) (1,+) 9．[（）9，39] 10．D、C、B、A 11．（0，+） 12．0 三、解答题 13、已知关于x的方程2a－7a+3=0有一个根是2,求a的值和方程其余的根.解: 2a－7a+3=0,a=或a=3.a=时,方程为: 8·()－14·()+3=0x=2或x=1－log3 a=2时,方程为: ·2－·2+3=0x=2或x=－1－log214、设a是实数，,试证明对于任意a,为增函数.证明：设∈R,且则 由于指数函数 y=在R上是增函数,且,所以即<0，又由>0得+1>0,+1>0,所以<0即,因为此结论与a取值无关，所以对于a取任意实数，为增函数.15、已知函数f(x)=(a－a)(a>0且a1)在(－,+)上是增函数,求实数a的取值范围.解: 由于f(x)递增，若设x f(x)－f(x)=[(a－a)－(a－a)] =(a －a)(1+a·a)<0,故(a－9)（(a －a)<0.(1),解得a>3; (2),解得0 求下列函数的定义域与值域.(1)y＝2; (2)y＝4x+2x+1+1.解：(1)∵x-3≠0，∴y＝2的定义域为｛x｜x∈R且x≠3｝.又∵≠0，∴2≠1，∴y＝2的值域为｛y｜y>0且y≠1｝.(2)y＝4x+2x+1+1的定义域为R.∵2x>0,∴y＝4x+2x+1+1＝(2x)2+2·2x+1＝(2x+1)2>1,∴y＝4x+2x+1+1的值域为｛y｜y>1｝.17 已知9x-10.3x+9≤0，求函数y=（）x-1-4·（）x+2的最大值和最小值.解：由已知得（3x）2-10·3x+9≤0 得（3x-9）（3x-1）≤0 ∴1≤3x≤9 故0≤x≤2 而y=()x-1-4·()x+2= 4·（）2x-4·（）x+2 令t=（）x（），则y=f（t）=4t2-4t+2=4（t-）2+1 当t=即x=1时，ymin=1； 当t=1即x=0时，ymax=2.18 已知函数f(x)＝ (a>0且a≠1).(1)求f(x)的定义域和值域；(2)讨论f(x)的奇偶性；(3)讨论f(x)的单调性.解：(1)易得f(x)的定义域为｛x｜x∈R｝.设y＝,解得ax＝-① ∵ax>0当且仅当->0时，方程①有解.解->0得-1
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