八下沪科版第16章　二次根式教案

教学目标

1.知识与技能

(1)理解二次根式的概念.(2)理解二次根式中被开方数在实数范围内有意义的条件.2.过程与方法

发展观察、归纳、概括等能力,发展有条理的思考能力以及语言表达能力.3.情感、态度与价值观

通过师生共同活动,促进学生在学习活动中培养良好的情感,合作交流,主动参与的意识,在独立思考的同时能够认同他人.

教学

重难点

重点:二次根式的概念和二次根式有意义的条件.难点:确定较复杂的二次根式中字母的取值范围.

教学活动设计

二次设计

课堂导入

根据如图所示的正方形和圆的条件,完成以下填空:

正方形的边长是;圆的半径是.你认为所得的各代数式的共同特点是什么?

探索新知

合作探究

自学指导

1.自学教材P2~4,回答下列问题:

(1)我们把形如的式子叫做 ,根号下的数叫做.由于在实数范围内,负实数没有平方根,因此只有当被开方数是 时二次根式在实数范围内有意义.(2)二次根式的性质:=|a|=

2.思考:若a=+-2,试求ba的值?

合作探究

【例1】 当x为何值时,下列各式有意义?

(1);(2);

(3);(4).【例2】 化简:(1)()2;(2)()2;

(3)42;(4)(3)2;

(5);(6);

(7);(8).要求:让学生独立思考,给出答案后再交流,教师参与给予适当指导.

当堂训练

1.下列式子不是二次根式的是()

(A)(B)(C)(D)

2.x取下列各数中的哪个数时,二次根式有意义()

(A)-2(B)0(C)2(D)4

3.化简

(1);(2);

(3)(a<0,b>0);(4)(a>1).4.已知a,b满足+|b-1|=0,求2a-b的值.

板书设计

二次根式

1.二次根式的定义

2.二次根式有意义的条件

3.二次根式的性质

教学反思

教学目标

1.知识与技能

理解·=(a≥0,b≥0),=(a≥0,b>0),并运用他们进行化简计算.2.过程与方法

经历探索二次根式乘除法法则的过程,发展观察、归纳猜想、验证能力.3.情感、态度与价值观

培养学生主动探索知识的能力以及分析问题和解决问题的能力,增强学好数学的信心.

教学

重难点

重点:二次根式的乘、除法运算法则.难点:二次根式的乘法、除法运算.

教学活动设计

二次设计

课堂导入

动手做一做:填空(可用计算器计算):

(1)= ,×=;(2)= ，×=;(3)= ,=;

(4)= ,=.

探索新知

合作探究

自学指导

1.自学教材P6~9,回答下列问题:

(1)二次根式的乘法公式:·=(a ,b);

(2)二次根式的除法公式:=(a ,b);

(3)被开方数中不含开得尽方的因数(或因式);被开方数中不含分母;我们把满足以上两个条件的二次根式,叫作.2.思考:进行二次根式的乘除运算时,最后结果里面分母中的二次根式如何处理?

合作探究

【例1】 计算:

(1)×;(2)4×;

(3)6×(-3);(4)3×2.【例2】 计算下列各题:

(1)÷;(2);(3)÷;(4)(a>0).【例3】 探究活动:化简下列两组式子:

(1)2= ,=;

当堂训练

1.下列各等式成立的是()

(A)4×2=8(B)5×4=20

(C)4×3=7(D)5×4=20

2.在下列各式中,属于最简二次根式的是()

(A)(B)(C)(D)

3.化简:

(1)(a>0,b>0)=;(2)(a>0,b≥0)=.4.计算下列各题:

(1)×;(2)×;(3);(4)(x>0).

板书设计

二次根式的乘除

1.二次根式的乘法

2.二次根式的除法

3.最简二次根式

教学反思

教学目标

1.知识与技能

理解和掌握二次根式加减运算的方法.2.过程与方法

先提出问题,分析问题,在分析问题中,渗透对二次根式进行加减的方法的理解,再总结经验,用它来指导根式的计算和化简.3.情感、态度与价值观

通过师生共同活动,促进学生在学习活动中培养良好的情感,合作交流,主动参与的意识.

教学

重难点

重点:二次根式的加减运算.难点:快速准确地进行二次根式的加减运算.

教学活动设计

二次设计

课堂导入

计算:

(1)2x-5x;(2)3a2-a2+2a2.上述运算实际上就是合并同类项,如果把题中的x换成,a2换成,这时上述两小题就成为如下题目:

(1)2-5;(2)3-+2.这时怎样计算呢?

探索新知

合作探究

自学指导

自学教材P11例4,归纳二次根式的加减运算法则:

(1)教师引导学生回忆合并同类项的方法,尝试计算3+.

(2)计算-,并说明计算步骤以及为什么可以这样计算.

步骤:“一化简、二判断、三合并”;

依据:二次根式的性质、分配律和整式加减法则.

当堂训练

1.下列二次根式中,与可以合并的是()

(A)(B)(C)(D)

2.三角形的三边长分别为cm,cm,cm,这个三角形的周长是 cm.3.计算:

(1)+--;(2)x+-.

板书设计

二次根式的加减

1.同类二次根式

2.二次根式的加减运算

教学反思

教学目标

1.知识与技能

(1)会进行二次根式的混合运算.(2)能用多项式的乘法公式进行二次根式的化简计算.2.过程与方法

通过具体问题进一步体会有理数运算、二次根式的运算以及整式的运算之间的联系,掌握二次根式混合运算方法.3.情感、态度与价值观

通过多项式乘除法则及乘法公式在二次根式运算中的应用,体验迁移、化归思想,使学生进一步形成符号感,提高数学应用意识.

教学

重难点

重点:二次根式的混合运算.难点:多项式的乘除法则及乘法公式在二次根式运算中的应用方法.

教学活动设计

二次设计

课堂导入

如果梯形的上、下底边长分别为2cm,4cm,高为cm,那么它的面积是多少?

毛毛是这样算的:

梯形的面积:(2+4)×=(+2)×=×+2×=+2=2+6(cm2).他的做法正确吗?

探索新知

合作探究

自学指导

1.自学教材P11例5和例6,回答下列问题:

(1)请在括号内写上每步的依据:

(+)×

=×+×()

=+()

=4+3()

通过上面的运算过程,我们可以归纳二次根式混合运算的一般步骤:二次根式混合运算的顺序与整式的混合运算顺序一样,先算 ,再算 ,最后算加减,有括号的要先算括号里面的.(2)在二次根式的运算中,多项式乘法法则、乘法公式和乘法的有关运算律仍然适用.2.思考:如何把分母中含有的二次根式变成整式?

合作探究

【例1】 计算:

(1)(-);(2)(+)÷;

(3)(+3)(+2).

当堂训练

1.化简(+2)的结果是()

(A)2+2(B)2+

(C)4(D)3

2.计算:=.3.计算:

(1)(+2)(-3);(2)(+)(-);

(3)(+3)2.

板书设计

二次根式的混合运算

1.二次根式的混合运算

2.二次根式与乘法公式

教学反思

教学内容

17.1一元二次方程;17.2一元二次方程的解法:1.配方法;2.公式法;3.因式分解法;17.3一元二次方程根的判别式;*17.4一元二次方程的根与系数的关系;17.5一元二次方程的应用.

教材分析

一元二次方程是在一元一次方程、二元一次方程、分式方程等基础之上学习的,它也是一种数学建模的方法.学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的,是学好高中数学的奠基工程.应该说,一元二次方程是本册书的重点内容.

教学目标

1.知识与技能

了解一元二次方程及有关概念;掌握配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程;掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法;应用以上知识解决问题.2.过程与方法

(1)通过实例,让学生合作探讨,老师点评分析,建立数学模型.给出一元二次方程的概念.(2)结合整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念,如二次项等.(3)通过掌握直接开方法,导入配方法解一元二次方程,又通过练习巩固配方法.(4)通过配方法导出解一元二次方程的求根公式,讨论求根公式的条件.(5)通过复习因式分解进行知识迁移,解决用因式分解法解一元二次方程,并用练习巩固它.(6)提出问题、分析问题,建立一元二次方程的数学模型,并能解可化为一元二次方程的分式方程.3.情感、态度与价值观

经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程,使同学们体会到一元二次方程是刻画现实世界中数量关系的有效数学模型;经历解一元二次方程的过程,使同学们体会到转化等数学思想;经历问题情景,使学生体会到建立数学模型解决实际问题的过程,从而更好地理解方程的意义和作用,激发学生的学习兴趣.

教学

重难点

重点:

1.一元二次方程及其他有关的概念.2.用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法降次——解一元二次方程.3.利用实际问题建立一元二次方程的数学模型,并解决这个问题.难点:

1.一元二次方程配方法解题.2.用公式法解一元二次方程时的讨论.3.建立一元二次方程实际问题的数学模型;方程解与实际问题解的区别.

知识结构

教学目标

1.知识与技能

(1)通过设置问题,建立数学模型,模仿一元一次方程的概念给一元二次方程下定义.(2)一元二次方程的一般形式及其有关概念.2.过程与方法

发展观察、归纳、概括等能力,发展有条理的思考能力以及语言表达能力.3.情感、态度与价值观

通过生活学习数学,并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情.

教学

重难点

重点:一元二次方程的概念及其一般形式和用一元二次方程的有关概念解决问题.难点:通过提出问题,建立一元二次方程的数学模型,再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念.

教学活动设计

二次设计

课堂导入

叫方程;

叫一元一次方程.

探索新知

合作探究

自学指导

1.自学教材P19~20,回答下列问题:

(1)问题①和②中的方程有哪些共同的特点呢?你知道什么是一元二次方程了吗?

(2)结合上面的方程的特点你能够用一个式子表示一元二次方程的一般形式吗?

(3)ax2+bx+c=0(a≠0)其中 叫做二次项,a叫做 ,bx叫做 ,b叫做.c是常数项.2.思考:下面是一元二次方程吗?(填“是”或“否”)

-2x2-3x+2=0();

x2+-3=0();

2x2-31=0();

-5x2=0().合作探究

【例1】 剪一块面积为150 cm2的长方形铁皮,使它的长比宽多5 cm,这块铁皮该怎么剪呢?如果铁皮的宽为x(cm),那么铁皮的长为 cm.根据题意,可得方程是:.【例2】 方程:3x(x-1)=2(x+2)+8是一元二次方程吗?如果是一元二次方程请将它转化成一般形式并分别说出它的二次项,一次项,常数项和它各项的系数.【例3】 已知关于x的一元二次方程(m-)x2+3x+m2-2=0的一个根是0,求m的值.要求:让学生独立思考,给出答案后再交流,教师参与给予适当指导.

当堂训练

1.将x2-3=-3x化为ax2+bx+c=0,a,b,c的值分别为()

(A)0,-3,-3(B)1,-3,3

(C)1,3,-3(D)1,-3,-3

2.若方程x2m+3=5是一元二次方程,则m的值是()

(A)(B)

(C)-(D)-

3.把方程mx2-nx+mx+nx2=q-p(m+n≠0)化成一元二次方程的一般形式,再求出它的二次项系数与一次项系数的和.

板书设计

一元二次方程

1.一元二次方程的定义

2.一元二次方程的一般形式

3.一元二次方程的解

教学反思

教学目标

1.知识与技能

(1)会利用直接开平方法对形如(x+m)2=n(n≥0)的一元二次方程进行求解.(2)理解配方法的思路,能熟练运用配方法解一元二次方程.2.过程与方法

通过配方法的探究活动,培养学生勇于探索的良好学习习惯.3.情感、态度与价值观

通过对计算过程的反思,获得解决新问题的体验,体会在解决问题的过程中所呈现的数学方法和数学思想.

教学

重难点

重点:运用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程,用配方法熟练地解数字系数为1的一元二次方程.难点:灵活地用配方法解数字系数不为1的一元二次方程.

教学活动设计

二次设计

课堂导入

1.9的平方根是 ,用符号表示为.2.25的平方根是 ,用符号表示为.3.a的平方根是;(a±b)2=.

探索新知

合作探究

自学指导

1.自学教材P23~25,回答下列问题:

解方程:(1)x2=9;(2)x2=25.2.思考:上述解一元二次方程的方法是什么?它的理论依据是什么?方程x2=-36有实数解吗?为什么?

由此你能得到用直接开平方法解一元二次方程需要注意什么呢?

合作探究

【例1】 用配方法解方程:

x2-8x+1=0.【例2】 用配方法解方程:

2x2+1=3x.【例3】 如果方程能化成a(x+b)2=c的形式,那么可得x=.要求:让学生独立思考,给出答案后再交流,教师参与给予适当指导.

当堂训练

1.方程x2=1的实数根的个数是()

(A)1(B)2

(C)0(D)以上答案都不对

2.方程3x2-1=0的根是()

(A)x=±(B)x=±3

(C)x=±(D)x=±

3.方程(x-a)2=b(b>0)的根是()

(A)a±(B)±(a+)

(C)±a+(D)±a,±b

4.9x2+ + =(+1)2.5.若y2+ay+36是一个完全平方式,则a=.6.用配方法解方程:

(1)3x2-6x-1=0;(2)2x2-5x-4=0.

板书设计

配方法

1.直接开平方法

2.配方法

教学反思

教学目标

1.知识与技能

(1)理解一元二次方程求根公式的推导过程.(2)会利用求根公式解简单数字系数的一元二次方程.2.过程与方法

经历探索求根公式的过程,发展学生合情合理的推理能力.3.情感、态度与价值观

通过运用公式法解一元二次方程,提高学生的运算能力,并让学生在学习活动中获得成功的体验,建立学好数学的自信心.

教学

重难点

重点:会用公式法解一元二次方程.难点:理解一元二次方程求根公式的推导过程.

教学活动设计

二次设计

课堂导入

1.配方法解一元二次方程的关键是.2.一元二次方程6x2-7x+1=0中a= ,b= ，c=;4x2-3x=52中a= ,b= ,c=.3.用配方法解一元二次方程4x2-3x=52.

探索新知

合作探究

自学指导

1.自学教材P26~28,回答下列问题:

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系数a,b,c而定,因此解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0,当b2-4ac≥0时,将a,b,c代入式子x= ,就得到方程的根;

当b2-4ac<0时就得到方程无实数根;这个式子叫做一元二次方程的求根公式;

利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法;

由求根公式可知,一元二次方程最多有 个实数根.2.思考:上述解一元二次方程的方法是什么?

它的理论依据是什么?

方程x2=-36有实数解吗?为什么?

由此你能得到用直接开平方法解一元二次方程需要注意什么呢?

合作探究

【例题】 用公式法解下列方程:

(1)x2-x-2=0;

(2)x2-2x=1;

(3)4x2-3x-1=x-2.要求:让学生独立思考,给出答案后再交流,教师参与给予适当指导.

当堂训练

1.方程x2+x-1=0的一个根是()

(A)1-(B)

(C)-1+(D)

2.一元二次方程2x2-(2m+1)x+m=0中,b2-4ac= ,若b2-4ac=9,则m=.3.用公式法解方程4x2-5x+1=0.

板书设计

公式法

1.求根公式的概念及其推导过程

2.应用公式法解一元二次方程

教学反思

教学目标

1.知识与技能

(1)理解并掌握用因式分解法解方程的依据.(2)会利用因式分解法解某些简单数字系数的一元二次方程.2.过程与方法

经历探索因式分解法解一元二次方程的过程,发展学生合情合理的推理能力.3.情感、态度与价值观

学会和他人合作,并能与他人交流思维的过程和结果.

教学

重难点

重点:应用因式分解法解一元二次方程.难点:将方程化为一般形式后,对方程左侧二次三项式的因式分解.

教学活动设计

二次设计

课堂导入

1.将下列各式分解因式.(1)x2-3x;(2)2x(5x-1)-3(5x-1);

(3)x2-4;(4)x2-10x+25.2.若ab=0,则 =0或 =0,若x(x-3)=0,则 =0或 =0.

探索新知

合作探究

自学指导

1.自学教材P28~30,回答下列问题:

思考:(1)x(2x+1)=0;(2)3x(x+2)=0;

问题:(1)你能观察出这两题的特点吗?

(2)你知道方程的解吗?说说你的理由.2.因式分解法的理论依据是:两个因式的积等于零,那么这两个因式的值就至少有一个为.即若ab=0,则 或.由上述过程我们知道:当方程的一边能够分解成两个一次因式的乘积形式而另一边等于0时,即可解之.这种方法叫做因式分解法.合作探究

【例1】 用因式分解法解下列方程:

(1)5x2-4x=0;

(2)3x(2x+1)=4x+2.【例2】 用因式分解法解下列方程:

(1)4x2-144=0;

(2)(2x-1)2=(3-x)2.根据以上解题步骤,组内交流,总结用因式分解法解一元二次方程的基本步骤:

(1)将方程化为左边是含未知数的代数式,右边是0的形式;

(2)将方程左边分解成两个一次因式的积;

(3)令每个因式等于0;

(4)求解.要求:让学生独立思考,给出答案后再交流,教师参与给予适当指导.

当堂训练

1.关于方程(x-m)(x-n)=0的说法中,正确的是()

(A)x-m=0

(B)x-n=0

(C)x-n=0或x-m=0

(D)x-n=0且x-m=0

2.下列一元二次方程能用因式分解法解的有()

①x2=x;②x2-x+=0;③x-x2-3=0;④(3x+2)2=16

(A)1个(B)2个

(C)3个(D)4个

3.用因式分解法解下列方程:

(1)x2-9=0;(2)x2-2x=0;

(3)5x2+20x+20=0.

板书设计

因式分解法

1.因式分解的类型

2.应用因式分解法解一元二次方程

教学反思

教学目标

1.知识与技能

理解并掌握一元二次方程根的判别式,能运用判别式,在不解方程的前提下判断一元二次方程根的情况.2.过程与方法

通过一元二次方程根的情况的探究过程,体会从特殊到一般、猜想及分类讨论的数学思想,提高观察、分析、归纳的能力.3.情感、态度与价值观

学生通过观察,分析,讨论相互交流,培养与他人交流的能力,通过观察,分析,感受数学的变化美,激发学生的探求欲望.

教学

重难点

重点:用根的判别式解决实际问题.难点:根的判别式的发现.

教学活动设计

二次设计

课堂导入

1.用公式法解下列方程:

(1)x2-3x+2=0;(2)x2-2x+1=0;(3)x2+3=0.2.提问:通过以上三个方程的求解你发现了什么?

探索新知

合作探究

自学指导

1.自学教材P34~35,归纳二次根式的加减运算法则:

定义:把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式,通常用符号“Δ”表示,即Δ=b2-4ac,一般地,方程ax2+bx+c=0(a≠0)

当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根;

当Δ=0时,方程有两个相等的实数根;

当Δ<0时,方程没有实数根.反过来,同样成立,即

方程有两个不相等的实数根,Δ>0

方程有两个相等的实数根,Δ=0

方程没有实数根,Δ<0

合作探究

【例1】 不解方程,判别下列方程根的情况:

(1)5x2-3x-2=0;

(2)25y2+4=20y;

(3)2x2+x+1=0.【例2】 k为何值时,关于x的一元二次方程x2-3x+k=0;

(1)有两个相等的实数根;

(2)有两个不相等的实数根;

(3)无实数根.要求:让学生先独立完成,给出答案后再互相交流,教师巡视作答情况给予适当指导.

当堂训练

1.下列一元二次方程中,没有实数根的是()

(A)4x2-5x+2=0(B)x2-6x+9=0

(C)5x2-4x-1=0(D)3x2-4x+1=0

2.若关于x的一元二次方程4x2-4x+c=0有两个相等的实数根,则c的值是()

(A)-1(B)1

(C)-4(D)4

3.不解方程,判定下列一元二次方程根的情况:

(1)9x2+6x+1=0;

(2)16x2+8x=-3;

(3)3(x2-1)-5x=0.

板书设计

一元二次方程根的判别式

1.根的判别式

2.由方程根的情况确定字母的取值范围

教学反思

教学目标

1.知识与技能

(1)掌握根与系数的关系.(2)会运用根与系数的关系解决有关问题.2.过程与方法

通过观察,归纳,猜想根与系数的关系,并证明此关系成立,使学生理解其理论依据.3.情感、态度与价值观

培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神.

教学

重难点

重点:根与系数的关系及推导应用.难点:利用根与系数的关系解决有关的问题.

教学活动设计

二次设计

课堂导入

解下列方程,将得到的解填入下面的表格中,你发现表格中两个解的和与积和原来的方程有什么联系?

(1)x2-2x=0;(2)x2+3x-4=0;(3)x2-5x+6=0.

方程

x1

x2

x1+x2

x1·x2

x2-2x=0

x2+3x-4=0

x2-5x+6=0

当堂训练

1.若x1,x2是一元二次方程x2+10x+16=0的两个根,则x1+x2的值是()

(A)-10(B)10(C)-16(D)16

2.已知x1,x2是一元二次方程x2-4x+1=0的两个实数根,则x1x2等于()

(A)-4(B)-1(C)1(D)4

3.已知x1,x2是一元二次方程x2-3x-1=0的两根,不解方程求下列各式的值:

(1)x1+x2;(2)x1x2;(3)+;(4)+.

板书设计

一元二次方程的根与系数的关系

1.一元二次方程根与系数的关系

2.利用根与系数的关系求代数式的值

教学反思

教学目标

1.知识与技能

学生会用列一元二次方程的方法解决有关增长率、销售及几何图形面积问题.2.过程与方法

通过对实际问题的分析,经历寻找等量关系,列出一元二次方程解决实际问题的过程.3.情感、态度与价值观

进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解决问题的能力,培养学生应用数学的意识.

教学

重难点

重点:利用一元二次方程解决实际问题.难点:根据实际问题,确定等量关系,建立一元二次方程的过程.

教学活动设计

二次设计

课堂导入

1.(1)原产量+增产量=实际产量.(2)单位时间增产量=原产量×增长率.(3)实际产量=原产量×(1+增长率).2.(1)某工厂一月份生产零件1 000个,二月份生产零件1 200个,那么二月份比一月份增产 个?增长率是;

(2)银行的某种储蓄的年利率为6%,小民存1 000元,存满一年连本带利的钱数是;

(3)某厂第一个月生产了彩电m台,第二个月比第一个月产量增长的百分率为x,则第二个月生产了 台;第三个月比第二个月又增长了相同的百分率,则第三个月的产量为 台.

探索新知

合作探究

自学指导

1.自学教材P41~43例3和例4,回答下列问题:

(1)增长率问题是在原来的量的基础上增长(或降低)多少个百分比的问题.若设原来的产量为a,年平均增长率为x,则一年后的产量为a(1+x).而两年后的产量又以a(1+x)为基础,因平均增长率为x,可表示为a(1+x)(1+x)=a(1+x)2.同样,若x表示平均降低率,则一年后产量为a(1-x),两年后产量为a(1-x)2.(2)利润问题主要用到的关系式是:①每件利润=每件售价-每件进价;②总利润=每件利润×总件数.2.思考:用一元二次方程解应用题的基本步骤是什么?

合作探究

【例1】 某产品原来每件600元,由于连续两次降价,现价为384元,如果两个降价的百分数相同,求每次降价的百分数?

【例2】 某衬衣店将进价为30元的一种衬衣以40元售出,平均每月能售出600件,调查表明:这种衬衣售价每上涨1元,其销售量将减少10件,为了实现平均每月12 000元的销售利润,这种衬衣的售价应定为多少?这时进这种衬衣多少件?

当堂训练

1.某商品两次价格上调后,单位价格从4元变为4.84元,则平均每次调价的百分率是()

(A)9%(B)10%

(C)11%(D)12%

2.某中学准备建一个面积为375 m2的矩形游泳池且游泳池的宽比长短10 m,设游泳池的长为x m,则可列方程为()

(A)x(x-10)=375

(B)x(x+10)=375

(C)2x(2x-10)=375

(D)2x(2x+10)=375

3.某水果批发商场经销一种高档水果,如果每千克盈利10元,每天可售出500千克.经市场调查发现,在进价不变的情况下,若每千克涨价1元,日销售量将减少20千克.现该商场要保证每天盈利6 000元,同时又要使顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元?

板书设计

一元二次方程的应用1

1.增长率问题

2.销售利润问题

3.几何图形面积问题

教学反思

教学目标

1.知识与技能

(1)掌握可化为一元二次方程的分式方程的解法.(2)进一步掌握列一元二次方程解应用题的方法和技能.2.过程与方法

通过解可化为一元二次方程的分式方程,体会数学转化思想在解题中的应用.3.情感、态度与价值观

进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解决问题的能力,培养学生应用数学的意识.

教学

重难点

重点:分式方程转化为一元二次方程.难点:根据实际问题,确定等量关系,列出可化为一元二次方程的分式方程过程.

教学活动设计

二次设计

课堂导入

1.分式方程的定义:.2.解分式方程的思想是 ,步骤有.3.解下列分式方程

(1)=-;

(2)=-.

探索新知

合作探究

自学指导

1.自学教材P43~44例5,回答下列问题:

(1)解可化为一元二次方程的分式方程的基本步骤是什么?

首先把分式方程化简为一元二次方程,然后利用公式法或配方法求解,最后检验所求的解是否符合题意.2.列方程解应用题最关键的是审题,通过审题弄清已知量与未知量之间的等量关系,从而正确地列出方程.概括来说就是实际问题——数学模型——数学问题的解——实际问题的答案.合作探究

一个矩形周长为56厘米.(1)当矩形面积为180平方厘米时,长宽分别为多少?

(2)能围成面积为200平方厘米的矩形吗?请说明理由.分析:(1)设出矩形的一边长为未知数,用周长公式表示出另一边长,根据面积列出相应方程求解即可.(2)同样列出方程,若方程有解则可,否则就不可以.要求:让学生独立思考,给出答案后再交流,教师参与给予适当指导.

当堂训练

1.方程=的解是.2.某单位向一所希望小学赠送1 080本课外书,现用A,B两种不同的包装箱进行包装,单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个;已知每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书.则每个A型包装箱可以装多少本书?

板书设计

一元二次方程的应用2

1.可化为一元二次方程的分式方程的解法

2.列分式方程解应用题

教学反思

教学内容

18.1勾股定理;18.2勾股定理的逆定理.

教材分析

勾股定理是初中几何知识的重要内容,是中考直接考查的一个重点内容.本章是在前面学习实数和三角形的基础上进行的.同时也是为了学生以后学习解直角三角形和特殊四边形打下基础.

教学目标

1.知识与技能

利用几何图形探索直角三角形三边关系,了解勾股定理的发现过程;掌握勾股定理及其逆定理的内容,会用面积法证明勾股定理;能够利用勾股定理的逆定理判断三角形形状或证明垂直,能够用勾股定理解决简单的实际问题;应用熟练掌握以上知识解决问题.2.过程与方法

(1)理解勾股定理的应用范围,即在直角三角形中.(2)利用几何图形的面积探究勾股定理的基本内容.(3)能够利用勾股定理解决一些简单的实际问题.(4)勾股定理是直角三角形的一个重要性质,把三角形有一个直角的“形”的特点转化为三边“数”的关系,体会数形结合思想.(5)用数学几何知识解决实际问题的关键是建立合适的数学模型,提高从题干中提取有效信息并转化成数学语言的能力.3.情感、态度与价值观

勾股定理和逆定理在实际问题中有着广泛的应用,首先要根据题意,建立数学模型,把实际问题转化为数学问题,在应用过程中培养学生主动探索知识的能力以及分析问题和解决问题的能力,增强学好数学的信心.

教学

重难点

重点:

1.勾股定理的证明.2.勾股定理的应用.3.勾股定理的逆定理.难点:

1.勾股定理的实际应用.2.有关“勾股数”的探究题.3.勾股定理与逆定理的综合应用.

知识结构

教学目标

1.知识与技能

(1)探索直角三角形三边关系,了解勾股定理的发现过程.(2)掌握勾股定理的内容,会用面积法证明勾股定理.2.过程与方法

在探究活动中,培养学生的合作交流意识和探索精神.3.情感、态度与价值观

通过师生共同活动,促进学生在学习活动中培养良好的情感,合作交流,主动参与的意识.

教学

重难点

重点:直角三角形三边关系.难点:勾股定理的证明.

教学活动设计

二次设计

课堂导入

如图所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的树,这就是著名的毕达哥拉斯树,它由若干个图形组成,而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形.各组图形大小不一,但形状一致,结构奇巧.你能说说其中的奥秘吗?

探索新知

合作探究

自学指导

自学教材P52~53,回答下列问题:

(1)在直角三角形中,两条直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2.(2)在直角三角形中,两直角边分别为3,4,那么斜边为5;在直角三角形中,斜边为10,一直角边为6,则另一直角边为8.思考:若一直角三角形两边长分别为12和5,则第三边长一定为13吗?

合作探究

【例1】 如图,每个方格的面积均为1,请分别算出图中正方形A,B,C,A,B,C的面积,请利用该图探究勾股定理.

当堂训练

1.在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对应边分别是a,b,c,若∠A+∠C=90°,则下列等式中成立的是()

(A)a2+b2=c2

(B)b2+c2=a2

(C)a2+c2=b2

(D)c2-a2=b2

2.已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=3,则AB的长为()

(A)4(B)

(C)(D)5

3.4个全等的直角三角形的直角边分别为a,b,斜边为c.现把它们适当拼合,可以得到如图所示的图形,利用这个图形可以验证勾股定理,你能说明其中的道理吗?请试一试.

板书设计

勾股定理1

1.勾股定理的证明

2.利用勾股定理求线段长

教学反思

教学目标

1.知识与技能

会用勾股定理解决一些简单的实际问题.2.过程与方法

应用勾股定理解决问题的过程中培养学生的合作意识和发散能力.3.情感、态度与价值观

通过师生共同活动,促进学生在学习活动中主动参与的意识.

教学

重难点

重点:勾股定理的应用.难点:将实际问题转化为数学问题,利用勾股定理求解.

教学活动设计

二次设计

课堂导入

一个门框的宽为1.5 m,高为2 m,如图所示,一块长3 m,宽2.2 m 的薄木板能否从门框内通过?为什么?

探索新知

合作探究

自学指导

自学教材P54~55,回答下列问题:

在Rt△ABC中,∠C=90°.(1)已知:a=9,b=40,则c=41;

(2)已知:a=6,c=10,则b=8;

(3)已知:b=5,c=13,则a=12;

(4)已知c=n2+1,b=2n,则a=|n2-1|.合作探究

【例1】 飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4 000米处,过了20秒,飞机距离这个男孩5 000米,飞机每小时飞行多少千米?

【例2】 小明的妈妈买了一部29英寸(74厘米)的电视机.小明量了电视机的屏幕后,发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽,他觉得一定是售货员搞错了.你能解释这是为什么吗?

要求:让学生独立思考,给出答案后再交流,教师参与给予适当指导.

当堂训练

1.如图,一根垂直于地面的旗杆在离地面5 m处折断,旗杆顶部落在离旗杆底部12 m处,旗杆折断之前的高度是()

(A)5 m(B)12 m

(C)13 m(D)18 m

2.如图,要制作底边BC的长为44 cm,顶点A到BC的距离与BC长的比为1∶4的等腰三角形木衣架,则腰AB的长为 cm.(结果保留根号)

3.已知AC⊥BC,垂足为C,AC=4,BC=3,将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°,得到线段AD,连接DC,DB.

(1)线段DC=;

(2)求线段DB的长度.

板书设计

勾股定理2

1.勾股定理的直接应用

2.利用勾股定理解决实际问题

教学反思

教学目标

1.知识与技能

通过具体情景(古埃及人的绳子上所打的结)向学生介绍了一些特殊的三角形,这类三角形的各边长都满足a2+b2=c2.通过对这类三角形的观察让学生猜想勾股定理的成立.2.过程与方法

经历探索二次根式乘除法法则的过程,发展观察、归纳猜想、验证能力.3.情感、态度与价值观

培养学生主动探索知识的能力以及分析问题和解决问题的能力,增强学好数学的信心.

教学

重难点

重点:用构造性方法证明勾股定理的逆定理;用勾股定理的逆定理解决具体的问题.难点:勾股定理的逆定理的证明方法.

教学活动设计

二次设计

课堂导入

据说几千年前的古埃及人就已经知道,在一根绳子上连续打上等距离的13个结,然后用钉子将第1个与第13个结钉在一起,拉紧绳子,再在第4个和第8个结处各钉上一个钉子,这样围成的三角形中最长边所对的角就是直角,你知道为什么吗?

探索新知

合作探究

自学指导

1.自学教材P58~59,回答下列问题:

(1)勾股定理的逆定理:如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形.

(2)数学表达式:如图所示,在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,如果a2+b2=c2,则△ABC为直角三角形,c边所对的角为直角,即∠C=90°.(3)能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数,称为勾股数.2.思考:设三角形的三边长为a,b,c(c为最长边).①若a2+b2=c2,那么这个三角形是 三角形;

②若a2+b2>c2,那么这个三角形是 三角形;

③若a2+b2

【例1】 根据下列三角形的三边a,b,c的值,判断三角形是不是直角三角形.如果是,指出哪条边所对的角是直角?

(1)a=7,b=24,c=25;

(2)a=7,b=8,c=11.【例2】 如图所示,D是△ABC的边BC上一点,已知AB=13,AD=12,AC=15,BD=5,试求△ACD的面积.要求:让学生独立思考,给出答案后再交流,教师参与给予适当指导.

当堂训练

1.下列四组线段中,可以构成直角三角形的是()

(A)1,2,3(B)2,3,4

(C)3,4,5(D)4,5,6

2.下列各组数是勾股数的是()

(A)3,4,5(B)1.5,2,2.5

(C)32,42,52(D),,

3.已知:在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c,三边分别为下列长度,判断该三角形是不是直角三角形,并指出哪一个角是直角.(1)a=,b=2,c=;

(2)a=5,b=7,c=9;

(3)a=2,b=,c=.

板书设计

勾股定理的逆定理

1.勾股定理的逆定理

2.勾股定理的逆定理的应用

3.勾股数

教学反思

教学内容

19.1多边形内角和;19.2平行四边形;19.3矩形、菱形、正方形:1.矩形;2.菱形;3.正方形;19.4综合与实践 多边形的镶嵌

教材分析

四边形是初中数学知识体系与结构中的重要组成部分,尤其是平行四边形和特殊四边形的性质与判定是中考直接考查的热点内容.本章是在前面学习全等三角形的基础上进行的,是对所学基本几何图形知识的升华.

教学目标

1.知识与技能

了解多边形内角和及外角和的有关概念;了解平行四边形、矩形、菱形和正方形的性质,并利用其求线段的长或角的度数;掌握平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定方法,并能体会不同判定方法之间的异同点;能够利用特殊四边形的性质或判定进行简单的几何证明;应用熟练掌握以上知识解决问题.2.过程与方法

(1)理解正多边形的定义,掌握多边形的内角和及外角和公式.(2)利用全等三角形的判定和性质,证明平行四边形边、角及对角线的性质.(3)通过平行四边形的性质与判定的应用,启迪学生的思维,提高分析问题的能力.(4)以平行四边形的性质为基础,对比掌握矩形、菱形、正方形的性质.(5)经历探索特殊四边形有关性质、判定条件的过程,在观察中寻求新知,在探究中发展推理能力,逐步掌握说理的基本方法.(6)在具体证明中,体会平行四边形与特殊四边形性质和判定的相同点和不同点.3.情感、态度与价值观

经历探索平行四边形、矩形、菱形和正方形的性质与判定的过程,培养观察能力、动手能力、自学能力、计算能力、逻辑思维能力.让学生在探究过程中加深对特殊四边形的理解,养成主动探索的学习习惯,通过平行四边形与特殊四边形判定方法的类比,进一步体会类比的思想方法的作用.培养学生主动探索知识的能力以及分析问题和解决问题的能力,增强学好数学的信心.

教学

重难点

重点:

1.多边形的有关概念.2.平行四边形的性质和判定.3.特殊四边形的性质和判定.难点:

1.平行四边形性质和判定的综合应用.2.特殊四边形性质和判定的综合应用.3.多边形的平面镶嵌.

知识结构

教学目标

1.知识与技能

(1)理解并掌握多边形的内角、外角等概念;

(2)掌握多边形的内角和公式与外角和,进一步了解转化的数学思想.2.过程与方法

经历探索多边形的内角和公式及外角和的过程.3.情感、态度与价值观

通过师生共同活动,促进学生在学习活动中培养合作交流的意识,在独立思考的同时能够认同他人.

教学

重难点

重点:多边形内角和公式、外角和的探索.难点:会用多边形的内角和公式求多边形的内角和,并会逆用公式求多边形的边数.

教学活动设计

二次设计

课堂导入

你能从图中找出几个由一些线段围成的图形吗?根据你的认识,它们各是几边形?

探索新知

合作探究

自学指导

1.自学教材P70~73,回答下列问题:

(1)在平面内,由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.在顶点处一边与另一边延长线所组成的角叫做多边形的外角.一个多边形,如果把它任何一边双向延长,其他各边都在延长所得直线的同一旁,这样的多边形叫凸边形;多边形中连接不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线.(2)n边形的内角和等于(n-2)×180°(n为不小于3的整数);n边形外角和等于360°(n为不小于3的整数).2.思考:各个角都相等的多边形是正多边形吗?

合作探究

【例1】 若一个多边形有14条对角线,则这个多边形的边数是()

(A)10(B)7

(C)14(D)6

【例2】 若一个多边形的内角和等于1 080°,则这个多边形的边数是()

(A)9(B)8

(C)7(D)6

【例3】 一个多边形的外角和是内角和的,求这个多边形的边数.要求:让学生独立思考,给出答案后再交流,教师参与给予适当指导.

当堂训练

1.将一个n边形变成(n+1)边形,内角和将()

(A)减少180°(B)增加90°

(C)增加180°(D)增加360°

2.若从一个多边形的一个顶点出发,最多可以引10条对角线,则它是 边形.3.若两个多边形的边数之比是1∶2,内角和度数之比为1∶3,求这两个多边形的边数.

板书设计

多边形内角和

1.多边形的有关概念

2.多边形内角和定理

3.多边形的外角和及正多边形

教学反思

教学目标

1.知识与技能

(1)理解并掌握平行四边形的定义.(2)掌握平行四边形的性质1及性质2.2.过程与方法

通过平行四边形性质的探索过程,丰富学生从事数学活动的经验与体验,发展应用意识.3.情感、态度与价值观

在应用平行四边形的性质的过程中养成独立思考的习惯,在数学学习活动中获得成功的体验.

教学

重难点

重点:平行四边形的边、角的性质及平行线间的距离.难点:运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算.

教学活动设计

二次设计

课堂导入

我们一起来观察图中的竹篱笆格子和汽车的防护链,想一想它们是什么几何图形的形象?

探索新知

合作探究

自学指导

1.自学教材P75~76,回答下列问题:

(1)两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.如图,平行四边形ABCD记作“▱ABCD”.(2)平行四边形性质1:平行四边形的对边相等;

性质2:平行四边形的对角相等.(3)夹在两条平行线之间的平行线段相等;平行线之间的距离处处相等.2.思考:平行四边形的性质1和性质2是如何证明的?

合作探究

【例1】 如图,在平行四边形ABCD中,E是AD边上的中点,若∠ABE=∠EBC,AB=2,求平行四边形ABCD的周长

【例2】

如图,l1∥l2,BE∥CF,BA⊥l1,DC⊥l2.下面给出四个结论:①AB=DC;②BE=CF;③S△ABE=S△DCF;④S▱ABCD=S▱BCFE.其中正确的结论有 个.要求:让学生独立思考,给出答案后再交流,教师参与给予适当指导.

当堂训练

1.

如图,在▱ABCD中,EF∥BC,则图中平行四边形有 个.如图,在▱ABCD中,EF∥BC,则图中平行四边形有 个.

2.如图,▱ABCD中,∠ABC和∠BCD的平分线交于AD边上一点E,且BE=4,CE=3,则AB的长是.

3.如图所示,已知四边形ABCD是平行四边形,∠ADC=125°,∠CAD=28°,则∠ABC= ,∠CAB=.

板书设计

平行四边形1

1.平行四边形的定义

2.平行四边形边、角的性质

3.两条平行线间的距离

教学反思

教学目标

1.知识与技能

掌握平行四边形对角线互相平分的性质.2.过程与方法

充分利用平面图形的旋转变换探索平行四边形的等量关系,进一步培养学生分析问题、探索问题的能力,培养学生的动手能力.3.情感、态度与价值观

感受数学逻辑美,增加学习数学的兴趣和自信心.

教学

重难点

重点:平行四边形对角线互相平分的性质.难点:综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题和简单的证明题.

教学活动设计

二次设计

课堂导入

如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,图中共有几对全等三角形?有哪些线段相等?

探索新知

合作探究

自学指导

1.自学教材P78,完成下列问题:

(1)平行四边形性质3:平行四边形对角线互相平分.(2)证明如下:

已知:▱ABCD,AC,BD交于点O,求证:OA=OC,OB=OD.证明:在▱ABCD中,∵AB∥DC,∴∠OAB= ,∠OBA= ，又AB=DC,∴△OAB≌(ASA)，∴OB= ,OA=.2.点拨:利用平行四边形对角线互相平分这一性质,引导学生观察图形,找出全等三角形,从而解决问题.而连接对角线也是常用的辅助线.

合作探究

【例1】 如图,▱ABCD中,两条对角线AC,BD相交于点O.(1)指出图中相等的线段;

(2)若AC=18,BD=24,则AO= ,BO=;又若AB=11,则△AOB的周长为.【例2】如图,在平行四边形ABCD中,AC,BD为对角线,BC=6,BC边上的高为4,你能算出图中阴影部分的面积吗?

要求:让学生先独立完成,给出答案后再互相交流,教师巡视作答情况给予适当指导.

当堂训练

1.如图,▱ABCD的对角线AC,BD交于点O,且AB=5,△OCD的周长为23,则平行四边形ABCD的两条对角线的和是()

(A)18(B)28

(C)36(D)46

2.▱ABCD的对角线AC,BD交于点O,若两条对角线长的和为20 cm,且BC长为6 cm,则△AOD的周长为 cm.3.如图,已知▱ABCD和▱EBFD的顶点A,E,F,C在一条直线上,求证:AE=CF.

板书设计

平行四边形2

1.平行四边形对角线的性质

2.例1

例2

教学反思

教学目标

1.知识与技能

探索平行四边形的判别条件中,理解并掌握用边、对角线来判定平行四边形的方法.2.过程与方法

培养学生的观察能力、动手能力、自主学习能力、逻辑推理能力.3.情感、态度与价值观

在教学中渗透事物总是相互联系又相互区别的辩证唯物主义观点.

教学

重难点

重点:理解和掌握平行四边形的判定定理.难点:培养学生合情推理的能力以及严谨的书写表达,体会几何思维的真正内涵.

教学活动设计

二次设计

课堂导入

取两根等长的木条AB,CD,将它们平行放置,再用两根木条BC,AD加固,得到的四边形ABCD是平行四边形吗?

探索新知

合作探究

自学指导

1.自学教材P79~81,理解平行四边形的3个判定定理:

(1)定理1:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.(2)定理2:两组对边分别相等的四边形是平行四边形;

(3)定理3:对角线互相平分的四边形是平行四边形.2.练一练:不能判定一个四边形是平行四边形的条件是()

(A)两组对边分别平行

(B)一组对边平行另一组对边相等

(C)一组对边平行且相等

(D)两组对边分别相等

合作探究

【例1】 如图,四边形ABCD中,AD∥BC,AE⊥AD交BD于点E,CF⊥BC交BD于点F,且AE=CF.求证:四边形ABCD是平行四边形.【例2】

如图,▱ABCD的对角线AC,BD交于点O,点E,F在AC上,点G,H在BD上,且AF=CE,BH=DG.求证:GF∥HE.

【例3】 四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,给出下列四个条件:①AD∥BC;②AD=BC;③OA=OC;④OB=OD.从中任选两个条件,能使四边形ABCD为平行四边形的选法有()

(A)3种(B)4种(C)5种(D)6种

要求:让学生先独立完成,给出答案后再互相交流,教师巡视作答情况给予适当指导.

当堂训练

1.下面给出四边形ABCD中,∠A,∠B,∠C,∠D的度数之比,其中能判定四边形ABCD为平行四边形的是()

(A)1∶2∶3∶4(B)2∶3∶2∶3

(C)2∶2∶3∶3(D)1∶2∶2∶3

2.

如图,四边形ABCD的对角线相交于点O,AO=CO,请添加一个条件(只添一个即可),使四边形ABCD是平行四边形.

3.如图,点B,E,C,F在一条直线上,AB=DF,AC=DE,BE=FC.(1)求证:△ABC≌△DFE;

(2)连接AF,BD,求证:四边形ABDF是平行四边形.

板书设计

平行四边形3

平行四边形判定定理1

平行四边形判定定理2

平行四边形判定定理3

教学反思

教学目标

1.知识与技能

(1)理解三角形中位线的概念,掌握它的性质;

(2)能较熟练地运用三角形中位线的性质进行有关的证明和计算.2.过程与方法

通过对中位线性质的探究培养学生的观察能力、动手能力和逻辑推理能力.3.情感、态度与价值观

通过师生共同活动,在独立思考的同时能够认同他人,促进学生在学习活动中培养合作交流的意识.

教学

重难点

重点:掌握和运用三角形中位线的性质.难点:三角形中位线性质的证明(辅助线的添加方法).

教学活动设计

二次设计

课堂导入

我们已经学习了平行四边形的性质与判定方法,今天老师给同学一个剪纸的任务.怎样将一张三角形纸片剪成两部分,使分成的两部分能拼成一个平行四边形?能用什么定理来证明四边形DBCF是平行四边形呢?

探索新知

合作探究

自学指导

1.自学教材P81~82,回答下列问题:

(1)平行线等分线段的性质:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等.推论:经过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边.(2)三角形中位线定理:三角形两边中点连线平行于第三边,并且等于第三边的一半.2.思考:三角形的中位线有哪些性质?

合作探究

【例1】 如图,在△ABC中,点D,E分别是AB,AC的中点,∠A=50°,∠ADE=60°,则∠C的度数为()

(A)50°(B)60°

(C)70°(D)80°

【例2】 如图,在△ABC中,D,E,F分别为边AB,BC,CA的中点.证明:四边形DECF是平行四边形.

当堂训练

1.如果等边三角形的边长为4,那么等边三角形的中位线长为()

(A)2(B)4

(C)6(D)8

2.如图,在平行四边形ABCD中,AD=8,点E,F分别是BD,CD的中点,则EF=.

3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=60°,AB=8 cm,E,F分别为边AC,AB的中点.求EF的长.

板书设计

平行四边形4

1.平行线等分线段的性质

2.三角形中位线定理

教学反思

教学目标

1.知识与技能

(1)掌握矩形的概念和性质;

(2)理解矩形与平行四边形的区别与联系.2.过程与方法

经历探索矩形性质的过程,丰富从事数学活动的经验与体验.3.情感、态度与价值观

通过师生共同活动,促进学生在学习活动中培养合作交流的意识,在独立思考的同时能够认同他人.

教学

重难点

重点:矩形的性质.难点:矩形的性质的灵活应用.

教学活动设计

二次设计

课堂导入

如图,如何推动一个平行四边形木框,使它成为一个矩形?想一想,在推动过程中,原平行四边形的对边、对角、对角线有何变化?

探索新知

合作探究

自学指导

1.阅读教材P86~87,完成下列问题:

(1)矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形,矩形是特殊的平行四边形,除具有一般平行四边形的性质外,矩形还有如下性质:

性质1:矩形的四个角都是直角;

性质2:矩形的对角线相等.(2)直角三角形斜边中线的性质:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

证明如下:对于任一个直角△ABC(其中∠ABC=90°),构造一个长为AB,宽为BC的矩形ABCD,设矩形对角线AC,BD交于O,则AO=OC=BO=OD=AC=BD.即斜边上中线BO等于斜边AC的一半.2.思考:各个角都相等的多边形是正多边形吗?

合作探究

【例1】 如图,在矩形ABCD中,E,F为边BC上的两点,且BE=CF,连接AF,DE交于点O.求证:△ABF≌△DCE.

当堂训练

1.下列性质中,矩形具有但平行四边形不一定具有的是()

(A)对边相等(B)对角相等

(C)对角线相等(D)对边平行

2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10 cm,点D为AB的中点,则CD= cm.

3.已知:如图,在矩形ABCD中对角线AC,BD相交于点O,∠AOB=120°,AD=4 cm.(1)判断△AOB的形状;

(2)求对角线的长.

板书设计

矩形1

1.矩形的定义和性质

2.直角三角形斜边上中线的性质

教学反思

教学目标

1.知识与技能

(1)理解并掌握矩形的判定方法;

(2)使学生能应用矩形定义、判定等知识,解决简单的证明题和计算题.2.过程与方法

经历探索矩形判定的过程,发展学生实验探索的意识;形成几何分析思路和方法.3.情感、态度与价值观

培养推理能力,会根据需要选择有关的结论证明,体会来自于实践的需要.

教学

重难点

重点:矩形的判定方法.难点:矩形的判定方法的运用.

教学活动设计

二次设计

课堂导入

小明想要做一个矩形相框送给妈妈做生日礼物,于是找来两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条制作,你有什么办法可以检测他做的是否是矩形相框?看看谁的方法可行!

探索新知

合作探究

自学指导

1.阅读教材P88~89,完成下列问题:

(1)矩形的判定定理1:对角线相等的平行四边形是矩形.

证明如下:已知:▱ABCD中,AC=BD.求证:▱ABCD是矩形.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC.又∵DC=CD,AC=BD,∴△ADC≌△BCD,∴∠ADC=∠BCD,又∵∠ADC+∠BCD=180°,∴∠ADC=∠BCD=90°,∴▱ABCD是矩形.(2)定理2:三个角是直角的四边形是矩形.

2.思考:现在你能回答P88交流中的道理了吗?

合作探究

【例1】 如图,M是▱ABCD的边AD上的中点,且MB=MC,求证:四边形ABCD是矩形.

【例2】 已知:如图所示,▱ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E,F,G,H.求证:四边形EFGH是矩形.要求:让学生独立思考,给出答案后再交流,教师参与给予适当指导.

当堂训练

1.如图,四边形ABCD的对角线互相平分,要使它变为矩形,需要添加的条件是()

(A)AB=CD(B)AD=BC

(C)AB=BC(D)AC=BD

2.如图,∠AOB=90°,在∠AOB内的任意一点P到这个角的两边的距离之和为6,则图中四边形的周长为.3.如图所示,在四边形ABCD中,BE=DF,AC与EF互相平分于点O,∠B=90°.求证:四边形ABCD是矩形.

板书设计

矩形2

1.矩形的判定定理1

2.矩形的判定定理2

教学反思

教学目标

1.知识与技能

(1)掌握菱形的概念、性质及菱形面积的计算方法;

(2)理解菱形与平行四边形的区别与联系.2.过程与方法

经历探索菱形性质的过程,丰富从事数学活动的经验与体验.3.情感、态度与价值观

通过师生的探究活动促进学生在学习活动中培养合作交流的意识和对他人的认同感.

教学

重难点

重点:菱形的性质.难点:菱形的性质的灵活应用.

教学活动设计

二次设计

课堂导入

1.什么叫做平行四边形?什么叫矩形?平行四边形和矩形之间的关系是什么?

2.怎样改变木框构造,使其成为菱形?

探索新知

合作探究

自学指导

1.阅读教材P90~91,完成下列问题:

(1)菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形,菱形是特殊的平行四边形,它除了具有平行四边形所有性质外,还具有一些特殊性质:

性质1:菱形的四条边都相等.性质2:菱形的对角线互相垂直.(2)菱形面积的求法:菱形的面积=底×高=×两对角线乘积.2.思考:菱形是轴对称图形吗?如果是,它有几条对称轴,它的对称轴是什么?如果不是,请说明理由.合作探究

【例1】 如图,在菱形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,连接AE,AF.AE和AF有什么样的数量关系?说明理由.

【例2】 如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD相交于点O,且∠ACD=30°,BD=4,求菱形ABCD的面积.要求:让学生独立思考,给出答案后再交流,教师参与给予适当指导.

当堂训练

1.菱形的一边与两条对角线所成的角的度数的比为1∶2,则菱形中较大的内角是()

(A)150°(B)120°

(C)110°(D)100°

2.如果菱形的边长是2 cm,一条对角线的长也是2 cm,那么该菱形的另一条对角线的长是()

(A)3 cm(B)4 cm

(C)cm(D)2cm

3.如图所示,在菱形ABCD中,AB=5,对角线AC=6.若过点A作AE⊥BC,垂足为E,求AE的长.

板书设计

菱形1

1.菱形的定义与菱形的性质1

2.菱形的性质2

教学反思

教学目标

1.知识与技能

(1)理解并掌握菱形的判定方法;

(2)使学生能应用菱形定义、判定等知识,解决简单的证明题和计算题.2.过程与方法

通过探索菱形判定思想的过程,领会菱形的概念以及应用方法,培养学生主动探究的思想和说理的能力.3.情感、态度与价值观

培养推理能力,会根据需要选择有关的结论证明,体会来自于实践的需要.

教学

重难点

重点:菱形的判定方法.难点:菱形的判定方法的运用.

教学活动设计

二次设计

课堂导入

木工在做菱形的窗格时,总是保证四条边框一样长,你知道其中的道理吗?借助以下图形探索:如图,在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA,试说明四边形ABCD是菱形.

探索新知

合作探究

自学指导

1.阅读教材P91~92,完成下列问题:

(1)菱形的判定定理1:四边都相等的四边形是菱形.(2)菱形的判定定理2:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.证明:如图所示,四边形ABCD为平行四边形,所以AO=CO,又∵DB⊥AC,又OD=OD,所以△AOD≌△COD.∴DA=DC,∴四边形ABCD是菱形.2.思考:现在你能解决课堂导入中的问题了吗?

合作探究

【例1】 如图,小聪在作线段AB的垂直平分线时,他是这样操作的:分别以点A和点B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧相交于点C,D,则直线CD即为所求.根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是()

(A)矩形(B)菱形

(C)一般的四边形(D)平行四边形

【例2】 如图所示,▱ABCD的对角线AC的垂直平分线交AD于E,交BC于F,交AC于O,则四边形AECF是菱形吗?为什么?

要求:让学生独立思考,给出答案后再交流,教师参与给予适当指导.

当堂训练

1.顺次连接矩形各边中点所得的四边形是()

(A)矩形(B)平行四边形

(C)菱形(D)都有可能

2.下列图形中,不一定为菱形的是()

(A)两条对角线互相垂直平分的四边形

(B)四条边都相等的四边形

(C)有一条对角线平分一个内角的四边形

(D)用两个边长相等的等边三角形拼成的图案

3.如图所示,四边形ABCD中,E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点.请你添加一个条件,使四边形EFGH为菱形,应添加的条是.4.如图,O为矩形ABCD对角线的交点,DE∥AC,CE∥BD.(1)试判断四边形OCED的形状,并说明理由;

(2)若AB=6,BC=8,求四边形OCED的面积.

板书设计

菱形2

1.菱形的判定定理1

2.菱形的判定定理2

教学反思

课题

正方形

课时

1课时

上课时间

教学目标

1.知识与技能

(1)了解正方形的有关概念,理解并掌握正方形的性质和判定定理;

(2)会利用正方形的性质和判定进行相关的计算和证明.2.过程与方法

通过探索正方形的性质和判定方法,培养学生主动探究的思想.3.情感、态度与价值观

培养推理能力,会根据需要选择有关的结论证明,体会数学知识是来自于实践的需要.

教学

重难点

重点:正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系.难点:正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用.

教学活动设计

二次设计

课堂导入

用一张长方形的纸片(如图所示)折出一个正方形.

通过折纸思考:什么样的四边形是正方形?

探索新知

合作探究

自学指导

1.阅读教材P92~93,完成下列问题:

(1)正方形的定义:有一个角是直角,且有一组邻边相等的平行四边形是正方形.正方形与矩形、菱形、平行四边形的关系:正方形即是特殊的矩形,又是特殊的菱形,更是特殊的平行四边形.关系如图:

(2)正方形的性质:

性质1:正方形的四条边都相等,四个角都是直角.性质2:正方形的对角线相等且互相垂直平分.(3)正方形的判定方法:

①有一个内角是直角的菱形是正方形;

②邻边相等的矩形是正方形;

③对角线相等的菱形是正方形;

④对角线相互垂直的矩形是正方形.合作探究

【例1】 在正方形ABCD中,对角线的交点为O,E是OB上的一点,DG⊥AE于G,DG交OA于F.求证:OE=OF.【例2】 求证:矩形的四个角的平分线所围成的四边形是正方形.

已知:矩形ABCD,AG,BE,CE,DG分别是四个角的平分线.求证:四边形FGHE是正方形.要求:让学生独立思考,给出答案后再交流,教师参与给予适当指导.

当堂训练

1.正方形的一条对角线为4,则这个正方形的面积是()

(A)8(B)4

(C)8(D)16

2.对角线互相垂直平分且相等的四边形一定是()

(A)矩形(B)菱形

(C)正方形(D)不能确定

3.如图所示,已知平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,E是BD延长线上一点,且△ACE是等边三角形.(1)求证:四边形ABCD是菱形;

(2)若∠AED=2∠EAD,求证:四边形ABCD是正方形.

板书设计

正方形

1.正方形的定义及性质

2.正方形的判定方法

教学反思

教学目标

1.知识与技能

通过探索多边形平面镶嵌,知道三角形、四边形和正六边形可以平面镶嵌,并能运用这几种图形进行简单的镶嵌设计.2.过程与方法

通过探索多边形的平面镶嵌,进一步了解多边形的相关知识;

3.情感、态度与价值观

通过师生共同活动,促进学生在学习活动中培养合作交流的意识和创新能力.

教学

重难点

重点:探究多边形平面镶嵌的条件.难点:用两种正多边形进行平面镶嵌以及平面镶嵌的规律.

教学活动设计

二次设计

课堂导入

下面的图形是由一些地板砖铺成的,请同学们看看它们有什么特点.

探索新知

合作探究

自学指导

1.阅读教材P99~100,完成下列问题:

(1)平面镶嵌的概念:

用形状相同或不同的平面封闭图形,覆盖平面区域,使图形间既无缝隙又不重叠地全部覆盖,在几何里面叫做平面镶嵌.(2)平面镶嵌的条件是:必须保证每一个顶点处的几个内角和恰好为一个周角.(不留空隙,不重叠).(3)平面镶嵌的种类:

①单一的正多边形镶嵌:由于正三角形、正方形、正六边形的内角分别为60°,90°,120°,都能被360°整除,所以可以进行平面镶嵌,其他正多边形则不能.②两种或两种以上正多边形镶嵌,以正三角形、正六边形为例,因为4×60°+1×120°=360°或2×60°+2×120°=360°,所以正三角形、正六边形可一起镶嵌.③此外,用全等的许多任意三角形或任意四边形也可进行平面镶嵌.

当堂训练

1.下列几种形状的瓷砖中,只用一种不能够铺满地面的是()

(A)正六边形(B)正五边形

(C)正方形(D)正三角形

2.用正三角形和正方形地砖镶嵌地面,在每个顶点处需用 个正三角形地砖和 个正方形地砖才可以镶嵌地面.3.现有四种地砖,它们的形状分别是:正三角形、正方形、正六边形、正八边形,且它们的边长都相等.同时,选择其中两种地砖密铺地面,选择方式有多少种?

板书设计

综合与实践 多边形的镶嵌

1.平面镶嵌的定义

2.平面镶嵌的条件

教学反思

教学内容

20.1数据的频数分布;20.2数据的集中趋势与离散程度:1.数据的集中趋势;2.数据的离散程度.20.3综合与实践 体重指数(略)

教材分析

本章主要研究平均数(主要是加权平均数)、中位数、众数以及极差、方差等统计量的统计意义,学习如何利用这些统计量分析数据的集中趋势和离散情况,并通过研究如何用样本的平均数和方差估计总体的平均数和方差,进一步体会用样本估计总体的思想.

教学目标

1.知识与技能

理解频数、频率的意义,知道频数和频率都能反映每个对象出现的频繁程度.掌握中位数、众数的概念,会求出一组数据的中位数与众数;能结合具体情境体会平均数、中位数和众数三者的区别,能初步选择恰当的数据代表对数据作出自己的正确评判;了解方差的定义和计算公式,理解方差概念的产生和形成的过程,会用方差计算公式来比较两组数据的波动大小.2.过程与方法

(1)经历数据的收集、整理,描述与分析的过程,进一步发展学生的统计意识和数据处理能力.(2)了解频数分布的意义和作用,会列出频数分布表、制作频数分布直方图.(3)经历数据的收集与处理的过程,发展学生初步的统计意识和数据处理的能力;通过有关平均数问题的解决,发展学生的数学应用能力.(4)通过解决实际问题的过程,区分刻画“平均水平”的三个数据代表,让学生获得一定的评判能力,进一步发展其数学应用能力.(5)经历探索方差的应用过程,体会数据波动中的方差的求法以及区别.3.情感、态度与价值观

通过对数据分析有关统计量的学习,掌握数据分析的常用方法,培养学生的统计意识,形成尊重事实、用数据说话的态度,认识数据处理的实际意义,在学习活动中培养良好的交流合作和主动参与的意识,体会数学在实际生活中的应用.

教学

重难点

重点:

1.频数与频率.2.平均数、中位数和众数.3.方差及其应用.难点:

1.频数分布直方图.2.利用平均数、中位数和众数分析数据的集中趋势.3.利用平均数和方差进行选拔.

知识结构

教学目标

1.知识与技能

(1)理解频数、频率的意义,知道频数和频率都能反映每个对象出现的频繁程度.(2)了解频数分布的意义和作用,会列出频数分布表、制作频数分布直方图.2.过程与方法

经历数据的收集、整理,描述与分析的过程,进一步发展学生的统计意识和数据处理能力.3.情感、态度与价值观

在学习活动中培养良好的交流合作和主动参与的意识,体会数学在实际生活中的应用.

教学

重难点

重点:理解掌握频数、频率的概念.难点:会对数据进行分组,制作频数分布表和频数直方图.

教学活动设计

二次设计

课堂导入

某班一次数学测验成绩如下:

53 69 81 61 69 91 78 75 81 81 67 76 81 79 94 61 69 89 70 70 87 88 86 90 88 85 67 71 82 87 75 87 95 53 65 74 77

若想了解大部分同学处于哪个分数段?成绩的整体分布情况如何?你应该怎么做?

探索新知

合作探究

自学指导

自学教材P107~110,回答下列问题:

(1)我们把一批数据中落在某个小组内数据的个数称为这个小组的频数,通常用选举时唱票的方法,对落在各小组内的数据个数进行记录并计算出每一个小组的频数,制成频数分布表.如果一组数据共有n个,而其中某一组数据是m个,那么就是该数据在这批数据中出现的频率.(2)绘制频数分布直方图的具体步骤:

①计算这批数据中最大数与最小数的差;

②决定组距和组数;组数=;

③决定分点;

④列频数分布表;

⑤画频数分布直方图.合作探究

【例1】 选班长时,欢欢、盈盈、贝贝、晶晶四个同学的得票情况如下表,但黑色部分被马小虎同学不小心洒上了墨水,看不清相关的数据,那么被选上班长的是()

（A）欢欢(B)盈盈

(C)贝贝(D)晶晶

当堂训练

1.在对n个数据进行整理的频数分布表中,各组的频数之和等于()

(A)n(B)1(C)2n(D)3n

2.在500个数据中,用适当的方法抽取50个为样本进行统计,频率分布表中54.5~57.5这一组的频率(百分比)是0.15,那么估计总体数据在54.5~57.5之间的有()

(A)150个(B)75个(C)60个(D)15个

3.青云中学八年级(1)班的50名学生的年龄情况是:15岁的2人,14岁的45人,13岁的3人,则14岁的频数是 ,频率为.

板书设计

数据的频数分布

1.频数与频率

2.频数分布直方图

教学反思

教学目标

1.知识与技能

(1)掌握平均数和加权平均数的概念,会求一组数据的平均数和加权平均数.(2)会用平均数和加权平均数解决实际生活中的问题.2.过程与方法

经历数据的收集与处理的过程,发展学生初步的统计意识和数据处理的能力;通过有关平均数问题的解决,发展学生的数学应用能力.3.情感、态度与价值观

通过小组合作活动,培养学生的合作意识;通过解决实际问题,让学生体会数学与生活的密切联系.

教学

重难点

重点:会求加权平均数.难点:对“权”的理解.

教学活动设计

二次设计

课堂导入

某校初二年级共有4个班,在一次数学考试中参考人数和成绩如下:

班级

1班

2班

3班

4班

参考人数

平均成绩

应聘者

笔试

面试

实习

甲

乙

教学目标

1.知识与技能

掌握中位数、众数的概念,会求出一组数据的中位数与众数;能结合具体情境体会平均数、中位数和众数三者的区别,能初步选择恰当的数据代表对数据作出自己的正确评判.2.过程与方法

通过解决实际问题的过程,区分刻画“平均水平”的三个数据代表,让学生获得一定的评判能力,进一步发展其数学应用能力.3.情感、态度与价值观

将知识的学习放在解决问题的情境中,通过数据分析与处理,体会数学与现实生活的联系,培养学生求真的科学态度.

教学

重难点

重点:中位数、众数的意义;

难点:能结合平均数、中位数和众数三者的差别,对数据做出初步判断.

教学活动设计

二次设计

课堂导入

小明和小亮是同桌,同时也是学习上的竞争对手,本学期以来的5次数学测试成绩(单位:分)如下:

小明:88,68,88,92,94

小亮:72,85,87,93,93

小明和小亮都认为自己的成绩比对方好,如果你是小明或者小亮,你能说出自己成绩好的理由吗?

探索新知

合作探究

自学指导

1.自学教材P123~127,回答下列问题:

(1)一般地,当将一组数据按大小顺序排列后,位于正中间的一个数据(当数据的个数是奇数时)或正中间的两个数据的平均数(当数据的个数是偶数时)叫做这组数据的中位数.一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数.(2)用样本估计总体:当总体中一些数据难以计算时,我们就可以用样本中对应数据估计总体.2.思考:为什么要用样本平均数估计总体平均数?用样本平均数估计总体平均数,差异较大原因是什么?

合作探究

【例1】 某公司销售部有营销人员15人,销售部为了制定某种商品的销售量,统计了这15个人的销售量如下(单位:件):800,510,250,250,210,250,210,210,150,210,150,120,120,210,150.求这15个销售员该月销量的中位数和众数.假设销售部负责人把每位营销员的月销售定额定为320件,你认为合理吗?如果不合理,请你制定一个合理的销售量并说明理由.

当堂训练

1.气候宜人的省级度假旅游胜地吴川吉兆,测得一至五月份的平均气温分别为17,17,20,22,24(单位:℃),这组数据的中位数是()

(A)24(B)22(C)20(D)17

2.某校七年级共320名学生参加数学测试,随机抽取50名学生的成绩进行统计,其中15名学生成绩达到优秀,估计该校七年级学生在这次数学测试中达到优秀的人数有()

(A)50人(B)64人(C)90人(D)96人

3.从鱼塘打捞草鱼240尾,从中任选9尾,称得每尾的质量(单位:kg)分别是1.5,1.6,1.4,1.6,1.2,1.7,1.8,1.3,1.4.依此估计这240尾草鱼的总质量有 kg.4.某瓜农采用大棚栽培技术种植了一亩地的良种西瓜,这亩地产西瓜约600个,在西瓜上市前该瓜农随机摘下10个成熟的西瓜,称重如下:

西瓜质量/千克

5.5

5.4

5.0

4.9

4.6

西瓜数量/个

教学目标

1.知识与技能

(1)了解方差的定义和计算公式,理解方差概念的产生和形成的过程;

(2)会用方差计算公式来比较两组数据的波动大小.2.过程与方法

经历探索方差的应用过程,体会数据波动中的方差的求法以及区别.3.情感、态度与价值观

培养学生的统计意识,形成尊重事实、用数据说话的态度,认识数据处理的实际意义.

教学

重难点

重点:理解方差的概念与作用.难点:理解方差公式,应用方差对数据波动情况的比较、判断.

教学活动设计

二次设计

课堂导入

甲、乙二人在一次射击比赛中,各打了6发子弹,成绩如下:

甲:9.8,9.7,9.8,9.8,9.8,9.9

乙:9.6,9.7,10,9.8,9.9,9.8

两人射击的平均成绩是怎样的?从射击成绩稳定性上看,谁的成绩更稳定?

探索新知

合作探究

自学指导

1.自学教材P129~131,回答下列问题:

(1)设一组数据是x1,x2,x3,…,xn,它们的平均数是x,我们用s2=[(x1-x)2+(x2-x)2+…+(xn-x)2]来衡量这组数据的离散程度,并把它叫做这组数据的方差.(2)方差的作用是衡量一组数据的离散程度,从而比较谁波动更小.2.思考:如果一组数据全部相等(没有波动),那么这组数据的方差是多少?

合作探究

【例1】 如果给定数组中每一个数都减去同一非零常数,则数据的()

(A)平均数改变,方差不变

(B)平均数改变,方差改变

(C)平均数不变,方差不变

(D)平均数不变,方差改变

【例2】 段巍和金志强两人参加体育项目训练,近期的5次测试成绩如下表所示,谁的成绩比较稳定?为什么?

测试次数

段巍

金志强

当堂训练

1.如果一组数据x1,x2,…,xn的方差是4,则另一组数据x1+3,x2+3,…,xn+3的方差是()

(A)4(B)7

(C)8(D)19

2.已知一个样本:1,3,5,x,2,它的平均数为3,则这个样本的方差是.3.水稻种植是嘉兴的传统农业.为了比较甲、乙两种水稻的长势,农技人员从两块试验田中,分别随机抽取5棵植株,将测得的苗高数据绘制成图:请你根据统计图所提供的数据,计算平均数和方差,并比较两种水稻的长势.

板书设计

方差

1.方差的作用及计算

2.方差的应用

教学反思

7.5~14.5

0.25

14.5~21.5

0.3

21.5~28.5

0.3

28.5~35.5

7.5~14.5

0.25

14.5~21.5

0.3

21.5~28.5

0.3

28.5~35.5

0.15

甲

乙

月工资(元)

000

000

000

500

000

700

客观题

选择题

总分

得分

得分率

填空题

总分

得分

得分率

主观题

计算题

总分

得分

得分率

证明题

总分

得分

得分率

应用题

总分

得分

得分率

作图题

总分

得分

得分率

问 题 分 析

错因

分析

分析结果

主观因素

审题不清

概念不清

计算失误

解题思路不清

书写错误

基础知识

基本概念

公式概念

基本运算

基本方法

其他

知识的综合运用

基础知识记忆是否准确

解题是否有思路

答题是否全面、规范

综合分析思路是否清晰

教师总结及点评