八下沪科版第16章 二次根式教案

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第16章 二次根式

主题

二次根式

课型

新授课

上课时间

教学内容

16.1二次根式;16.2二次根式的运算:1.二次根式的乘除;2.二次根式的加减;3.二次根式的混合运算.

教材分析

二次根式是初中数学知识体系与结构中一个不可或缺的部分,是中考直接考查的一个重点内容.本章是在前面学习实数的基础上进行的,在有关平方根的基础上得到一个升华.同时也是为了学生以后学习勾股定理和解直角三角形打下基础.

教学目标

1.知识与技能

了解二次根式的有关概念;了解二次根式有意义的条件,并利用其确定字母的取值范围;了解二次根式的双重非负性;能够利用二次根式的有关性质进行化简;掌握二次根式的加、减、乘、除运算;能够利用二次根式解决实际问题;应用以上知识解决问题.2.过程与方法

(1)通过具体问题进一步体会有理数运算、二次根式的运算以及整式的运算之间的联系,掌握二次根式混合运算方法.(2)在计算中体会实数的运算律在二次根式的加、减、乘、除运算中仍然成立.3.情感、态度与价值观

通过多项式乘除法则及乘法公式在二次根式运算中的应用,体验迁移、化归思想,使学生进一步形成符号感,提高数学应用意识.培养学生主动探索知识的能力以及分析问题和解决问题的能力,增强学好数学的信心.

教学

重难点

重点:

1.二次根式的概念.2.二次根式的性质.3.二次根式的四则运算.难点:

1.二次根式双重非负性的应用.2.利用二次根式性质进行化简.3.二次根式的混合运算及乘法公式在二次根式中的应用.

知识结构

二次根式→“"

课题

二次根式

课时

1课时

上课时间

教学目标

1.知识与技能

(1)理解二次根式的概念.(2)理解二次根式中被开方数在实数范围内有意义的条件.2.过程与方法

发展观察、归纳、概括等能力,发展有条理的思考能力以及语言表达能力.3.情感、态度与价值观

通过师生共同活动,促进学生在学习活动中培养良好的情感,合作交流,主动参与的意识,在独立思考的同时能够认同他人.

教学

重难点

重点:二次根式的概念和二次根式有意义的条件.难点:确定较复杂的二次根式中字母的取值范围.

教学活动设计

二次设计

课堂导入

根据如图所示的正方形和圆的条件,完成以下填空:

”“

正方形的边长是;圆的半径是.你认为所得的各代数式的共同特点是什么?

探索新知

合作探究

自学指导

1.自学教材P2~4,回答下列问题:

(1)我们把形如”“的式子叫做 ,根号下的数叫做.由于在实数范围内,负实数没有平方根,因此只有当被开方数是 时二次根式在实数范围内有意义.(2)二次根式的性质:”“=|a|=”“

2.思考:若a=”“+”“-2,试求ba的值?

合作探究

【例1】 当x为何值时,下列各式有意义?

(1)”“;(2)”“;

(3)”“;(4)”“.【例2】 化简:(1)(”“)2;(2)(”“)2;

(3)”“4”“”“2;(4)(3”“)2;

(5)”“;(6)”“;

(7)”“;(8)”“.要求:让学生独立思考,给出答案后再交流,教师参与给予适当指导.

续表

探索新知

合作探究

教师指导

1.易错点

(1)判别二次根式时出错,例如”“+1不是二次根式,它是含有二次根式的代数式.(2)忽略含有分母的二次根式的分母不为零这一条件.2.归纳小结

(1)判断一个式子是否为二次根式,要看式子是否同时具备两个特征:

①含有二次根号“”“”;②被开方数为非负数.两者缺一不可.(2)要使二次根式有意义,必须使被开方数为非负数,而不是所含字母为非负数;若式子中含有多个二次根式,则字母的取值必须使各个被开方数同时为非负数.3.方法规律

(1)当几个非负数的和为0时,这几个非负数均为0;

(2)当题目中,同时出现”“”“时(即二次根式下的被开方数互为相反数),则可得a=0.

当堂训练

1.下列式子不是二次根式的是()

(A)”“(B)”“(C)”“(D)”“

2.x取下列各数中的哪个数时,二次根式”“有意义()

(A)-2(B)0(C)2(D)4

3.化简

(1)”“;(2)”“;

(3)”“(a<0,b>0);(4)”“(a>1).4.已知a,b满足”“+|b-1|=0,求2a-b的值.

板书设计

二次根式

1.二次根式的定义

2.二次根式有意义的条件

3.二次根式的性质

教学反思

课题

二次根式的运算

课时

第1课时

上课时间

教学目标

1.知识与技能

理解”“·”“=”“(a≥0,b≥0),”“=”“(a≥0,b>0),并运用他们进行化简计算.2.过程与方法

经历探索二次根式乘除法法则的过程,发展观察、归纳猜想、验证能力.3.情感、态度与价值观

培养学生主动探索知识的能力以及分析问题和解决问题的能力,增强学好数学的信心.

教学

重难点

重点:二次根式的乘、除法运算法则.难点:二次根式的乘法、除法运算.

教学活动设计

二次设计

课堂导入

动手做一做:填空(可用计算器计算):

(1)”“= ,”“×”“=;(2)”“= ,”“×”“=;(3)”“= ,”“=;

(4)”“= ,”“=.

探索新知

合作探究

自学指导

1.自学教材P6~9,回答下列问题:

(1)二次根式的乘法公式:”“·”“=”“(a ,b);

(2)二次根式的除法公式:”“=”“(a ,b);

(3)被开方数中不含开得尽方的因数(或因式);被开方数中不含分母;我们把满足以上两个条件的二次根式,叫作.2.思考:进行二次根式的乘除运算时,最后结果里面分母中的二次根式如何处理?

合作探究

【例1】 计算:

(1)”“×”“;(2)4”“×”“;

(3)6”“×(-3”“);(4)3”“×2”“.【例2】 计算下列各题:

(1)”“÷”“;(2)”“;(3)”“÷”“;(4)”“(a>0).【例3】 探究活动:化简下列两组式子:

(1)2”“= ,”“=;

续表

探索新知

合作探究

(2)3”“= ,”“=;(3)4”“= ,”“=;(4)5”“= ,”“=

你发现了什么规律?请用字母表示你所发现的规律,并与同伴交流.请再任意选几个数验证你发现的规律.要求:让学生独立思考,给出答案后再交流,教师参与给予适当指导.教师指导

1.易错点

(1)运用乘除法公式进行计算时忽略被开方数为非负数.(2)运算结果没有化简成最简二次根式或整式.2.归纳小结

(1)二次根式与二次根式相乘时,可类比单项式与单项式相乘,把系数与系数相乘,被开方数与被开方数相乘.最后结果要化为最简二次根式,计算时要注意积的符号.(2)二次根式的除法运算,可以类比单项式的除法运算,当被除式或除式中有负号时,要先确定商的符号;二次根式相除,根据除法法则,把被开方数与被开方数相除,转化为一个二次根式;二次根式的除法运算还可以与商的算术平方根的性质结合起来,灵活选取合适的方法;最后结果要化为最简二次根式.3.方法规律

运用商的算术平方根的性质:”“=”“(a>0,b≥0),必须注意被开方数是非负数且分母不等于零这一条件.

当堂训练

1.下列各等式成立的是()

(A)4”“×2”“=8”“(B)5”“×4”“=20”“

(C)4”“×3”“=7”“(D)5”“×4”“=20”“

2.在下列各式中,属于最简二次根式的是()

(A)”“(B)”“(C)”“(D)”“

3.化简:

(1)”“(a>0,b>0)=;(2)”“(a>0,b≥0)=.4.计算下列各题:

(1)”“×”“;(2)”“×”“;(3)”“;(4)”“(x>0).

板书设计

二次根式的乘除

1.二次根式的乘法

2.二次根式的除法

3.最简二次根式

教学反思

课题

二次根式的运算

课时

第2课时

上课时间

教学目标

1.知识与技能

理解和掌握二次根式加减运算的方法.2.过程与方法

先提出问题,分析问题,在分析问题中,渗透对二次根式进行加减的方法的理解,再总结经验,用它来指导根式的计算和化简.3.情感、态度与价值观

通过师生共同活动,促进学生在学习活动中培养良好的情感,合作交流,主动参与的意识.

教学

重难点

重点:二次根式的加减运算.难点:快速准确地进行二次根式的加减运算.

教学活动设计

二次设计

课堂导入

计算:

(1)2x-5x;(2)3a2-a2+2a2.上述运算实际上就是合并同类项,如果把题中的x换成”“,a2换成”“,这时上述两小题就成为如下题目:

(1)2”“-5”“;(2)3”“-”“+2”“.这时怎样计算呢?

探索新知

合作探究

自学指导

自学教材P11例4,归纳二次根式的加减运算法则:

(1)教师引导学生回忆合并同类项的方法,尝试计算3”“+”“.”“

(2)计算”“-”“,并说明计算步骤以及为什么可以这样计算.”“

步骤:“一化简、二判断、三合并”;

依据:二次根式的性质、分配律和整式加减法则.

续表

探索新知

合作探究

合作探究

【例题】 计算:

(1)2”“-”“;(2)”“+”“;

(3)”“-”“-”“;(4)(”“+”“)-”“”“+”“”“.要求:让学生先独立完成,给出答案后再互相交流,教师巡视作答情况给予适当指导.教师指导

1.易错点

(1)加减运算前未把各二次根式进行化简.(2)在数轴上表示不等式的解集时,混淆“空心圆圈”和“实心原点”.2.归纳小结

(1)二次根式加减的实质就是合并同类二次根式,合并同类二次根式可以类比合并同类项进行,不是同类二次根式的不能合并.(2)已知两边求等腰三角形的周长,要结合三角形的三边关系进行分类讨论,关键在于把实际问题转化为二次根式的加减混合运算.3.方法规律

二次根式的加减混合运算步骤:(1)把每个二次根式化为最简二次根式;(2)运用加法交换律和结合律把同类二次根式移到一起;(3)把同类二次根式的系数相加减,被开方数不变.

当堂训练

1.下列二次根式中,与”“可以合并的是()

(A)”“(B)”“(C)”“(D)”“

2.三角形的三边长分别为”“cm,”“cm,”“cm,这个三角形的周长是 cm.3.计算:

(1)”“+”“-”“-”“;(2)”“x+”“-”“.

板书设计

二次根式的加减

1.同类二次根式

2.二次根式的加减运算

教学反思

课题

二次根式的运算

课时

第3课时

上课时间

教学目标

1.知识与技能

(1)会进行二次根式的混合运算.(2)能用多项式的乘法公式进行二次根式的化简计算.2.过程与方法

通过具体问题进一步体会有理数运算、二次根式的运算以及整式的运算之间的联系,掌握二次根式混合运算方法.3.情感、态度与价值观

通过多项式乘除法则及乘法公式在二次根式运算中的应用,体验迁移、化归思想,使学生进一步形成符号感,提高数学应用意识.

教学

重难点

重点:二次根式的混合运算.难点:多项式的乘除法则及乘法公式在二次根式运算中的应用方法.

教学活动设计

二次设计

课堂导入

如果梯形的上、下底边长分别为2”“cm,4”“cm,高为”“cm,那么它的面积是多少?

毛毛是这样算的:

梯形的面积:”“(2”“+4”“”“=(”“+2”“”“=”“×”“+2”“×”“=”“+2”“=2”“+6”“(cm2).他的做法正确吗?

探索新知

合作探究

自学指导

1.自学教材P11例5和例6,回答下列问题:

(1)请在括号内写上每步的依据:

(”“+”“”“

=”“×”“+”“×”“()

=”“+”“()

=4”“+3”“()

通过上面的运算过程,我们可以归纳二次根式混合运算的一般步骤:二次根式混合运算的顺序与整式的混合运算顺序一样,先算 ,再算 ,最后算加减,有括号的要先算括号里面的.(2)在二次根式的运算中,多项式乘法法则、乘法公式和乘法的有关运算律仍然适用.2.思考:如何把分母中含有的二次根式变成整式?

合作探究

【例1】 计算:

(1)”“(”“-”“);(2)(”“+”“”“;

(3)(”“+3)(”“+2).

续表

探索新知

合作探究

【例2】 计算下列各题:

(1)(”“-2)(”“+2);(2)”“”“-”“”“2

要求:让学生先独立完成,给出答案后再互相交流,教师巡视作答情况给予适当指导.教师指导

1.易错点

(1)混淆平方差公式和完全平方公式.(2)结果中分母中的二次根式没有转化为整式.2.归纳小结

(1)二次根式的混合运算与实数的混合运算一样,先算乘方,再算乘除,最后算加减,如果有括号就先算括号里面的.(2)多项式的乘法公式在二次根式的混合运算中仍然适用,计算时应先观察式子的特点,能用乘法公式的用乘法公式计算.3.方法规律

把分母中的根号化去就是分母有理化,分母有理化时,分子、分母应同乘以一个适当的式子,如果分母只有一个二次根式,则乘以这个二次根式,使得分母能写成”“·”“的形式;如果分母有两项,分子、分母乘以一个二项式,使得能运用平方差公式计算.如分母是”“+”“,则分子、分母同乘以”“-”“.

当堂训练

1.化简”“(”“+2)的结果是()

(A)2+2”“(B)2+”“

(C)4(D)3”“

2.计算:”“=.3.计算:

(1)(”“+2”“)(”“-3”“);(2)(”“+”“)(”“-”“);

(3)(”“+3”“)2.

板书设计

二次根式的混合运算

1.二次根式的混合运算

2.二次根式与乘法公式

教学反思

第17章 一元二次方程

主题

一元二次方程

课型

新授课

上课时间

教学内容

17.1一元二次方程;17.2一元二次方程的解法:1.配方法;2.公式法;3.因式分解法;17.3一元二次方程根的判别式;*17.4一元二次方程的根与系数的关系;17.5一元二次方程的应用.

教材分析

一元二次方程是在一元一次方程、二元一次方程、分式方程等基础之上学习的,它也是一种数学建模的方法.学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的,是学好高中数学的奠基工程.应该说,一元二次方程是本册书的重点内容.

教学目标

1.知识与技能

了解一元二次方程及有关概念;掌握配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程;掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法;应用以上知识解决问题.2.过程与方法

(1)通过实例,让学生合作探讨,老师点评分析,建立数学模型.给出一元二次方程的概念.(2)结合整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念,如二次项等.(3)通过掌握直接开方法,导入配方法解一元二次方程,又通过练习巩固配方法.(4)通过配方法导出解一元二次方程的求根公式,讨论求根公式的条件.(5)通过复习因式分解进行知识迁移,解决用因式分解法解一元二次方程,并用练习巩固它.(6)提出问题、分析问题,建立一元二次方程的数学模型,并能解可化为一元二次方程的分式方程.3.情感、态度与价值观

经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程,使同学们体会到一元二次方程是刻画现实世界中数量关系的有效数学模型;经历解一元二次方程的过程,使同学们体会到转化等数学思想;经历问题情景,使学生体会到建立数学模型解决实际问题的过程,从而更好地理解方程的意义和作用,激发学生的学习兴趣.

教学

重难点

重点:

1.一元二次方程及其他有关的概念.2.用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法降次——解一元二次方程.3.利用实际问题建立一元二次方程的数学模型,并解决这个问题.难点:

1.一元二次方程配方法解题.2.用公式法解一元二次方程时的讨论.3.建立一元二次方程实际问题的数学模型;方程解与实际问题解的区别.

知识结构

”“

课题

一元二次方程

课时

1课时

上课时间

教学目标

1.知识与技能

(1)通过设置问题,建立数学模型,模仿一元一次方程的概念给一元二次方程下定义.(2)一元二次方程的一般形式及其有关概念.2.过程与方法

发展观察、归纳、概括等能力,发展有条理的思考能力以及语言表达能力.3.情感、态度与价值观

通过生活学习数学,并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情.

教学

重难点

重点:一元二次方程的概念及其一般形式和用一元二次方程的有关概念解决问题.难点:通过提出问题,建立一元二次方程的数学模型,再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念.

教学活动设计

二次设计

课堂导入

叫方程;

叫一元一次方程.

探索新知

合作探究

自学指导

1.自学教材P19~20,回答下列问题:

(1)问题①和②中的方程有哪些共同的特点呢?你知道什么是一元二次方程了吗?

(2)结合上面的方程的特点你能够用一个式子表示一元二次方程的一般形式吗?

(3)ax2+bx+c=0(a≠0)其中 叫做二次项,a叫做 ,bx叫做 ,b叫做.c是常数项.2.思考:下面是一元二次方程吗?(填“是”或“否”)

-2x2-3x+2=0();

x2+”“-3=0();

2x2-31=0();

-5x2=0().合作探究

【例1】 剪一块面积为150 cm2的长方形铁皮,使它的长比宽多5 cm,这块铁皮该怎么剪呢?如果铁皮的宽为x(cm),那么铁皮的长为 cm.根据题意,可得方程是:.【例2】 方程:3x(x-1)=2(x+2)+8是一元二次方程吗?如果是一元二次方程请将它转化成一般形式并分别说出它的二次项,一次项,常数项和它各项的系数.【例3】 已知关于x的一元二次方程(m-”“)x2+3x+m2-2=0的一个根是0,求m的值.要求:让学生独立思考,给出答案后再交流,教师参与给予适当指导.

续表

探索新知

合作探究

教师指导

1.易错点

(1)把一元二次方程化为一般形式时出现计算错误.(2)忽略二次项系数不为零.2.归纳小结

(1)在确定一元二次方程各项系数时,首先把一元二次方程转化成一般形式,如果在一般形式中二次项系数为负,那么最好在方程左右两边同乘-1,使二次项系数变为正数.(2)指出一元二次方程的各项系数时,一定要带上前面的符号.(3)一元二次方程转化为一般形式后,若没有出现一次项bx,则b=0;若没有出现常数项c,则c=0.3.方法规律

用一元二次方程的定义求字母的值的方法:根据未知数的最高次数等于2,列出关于某个字母的方程,再排除使二次项系数等于0的字母的值.

当堂训练

1.将x2-3=-3x化为ax2+bx+c=0,a,b,c的值分别为()

(A)0,-3,-3(B)1,-3,3

(C)1,3,-3(D)1,-3,-3

2.若方程x2m+3=5是一元二次方程,则m的值是()

(A)”“(B)”“

(C)-”“(D)-”“

3.把方程mx2-nx+mx+nx2=q-p(m+n≠0)化成一元二次方程的一般形式,再求出它的二次项系数与一次项系数的和.

板书设计

一元二次方程

1.一元二次方程的定义

2.一元二次方程的一般形式

3.一元二次方程的解

教学反思

课题

一元二次方程的解法

课时

第1课时

上课时间

教学目标

1.知识与技能

(1)会利用直接开平方法对形如(x+m)2=n(n≥0)的一元二次方程进行求解.(2)理解配方法的思路,能熟练运用配方法解一元二次方程.2.过程与方法

通过配方法的探究活动,培养学生勇于探索的良好学习习惯.3.情感、态度与价值观

通过对计算过程的反思,获得解决新问题的体验,体会在解决问题的过程中所呈现的数学方法和数学思想.

教学

重难点

重点:运用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程,用配方法熟练地解数字系数为1的一元二次方程.难点:灵活地用配方法解数字系数不为1的一元二次方程.

教学活动设计

二次设计

课堂导入

1.9的平方根是 ,用符号表示为.2.25的平方根是 ,用符号表示为.3.a的平方根是;(a±b)2=.

探索新知

合作探究

自学指导

1.自学教材P23~25,回答下列问题:

解方程:(1)x2=9;(2)x2=25.2.思考:上述解一元二次方程的方法是什么?它的理论依据是什么?方程x2=-36有实数解吗?为什么?

由此你能得到用直接开平方法解一元二次方程需要注意什么呢?

合作探究

【例1】 用配方法解方程:

x2-8x+1=0.【例2】 用配方法解方程:

2x2+1=3x.【例3】 如果方程能化成a(x+b)2=c的形式,那么可得x=.要求:让学生独立思考,给出答案后再交流,教师参与给予适当指导.

续表

探索新知

合作探究

教师指导

1.易错点

(1)利用直接开平方解方程时漏根.(2)利用配方法解二次项系数不为1的方程时,没有把二次项系数化为1就开始配方.(3)配方时两边没有同时加上一次项系数一半的平方.2.归纳小结

直接开平方法是解一元二次方程的最基本的方法,它的理论依据是平方根的定义,它的可解类型有如下几种:①x2=a(a≥0);②(x+a)2=b(b≥0);③(ax+b)2=c(c≥0);④(ax+b)2=(cx+d)2(|a|≠|c|).3.方法规律

运用配方法解一元二次方程的关键是先把一元二次方程转化为二次项系数为1的一元二次方程,然后在方程两边同时添加常数项,使其等于一次项系数一半的平方.

当堂训练

1.方程x2=1的实数根的个数是()

(A)1(B)2

(C)0(D)以上答案都不对

2.方程3x2-1=0的根是()

(A)x=±”“(B)x=±3

(C)x=±”“(D)x=±”“

3.方程(x-a)2=b(b>0)的根是()

(A)a±”“(B)±(a+”“)

(C)±a+”“(D)±a,±b

4.9x2+ + =(+1)2.5.若y2+ay+36是一个完全平方式,则a=.6.用配方法解方程:

(1)3x2-6x-1=0;(2)2x2-5x-4=0.

板书设计

配方法

1.直接开平方法

2.配方法

教学反思

课题

一元二次方程的解法

课时

第2课时

上课时间

教学目标

1.知识与技能

(1)理解一元二次方程求根公式的推导过程.(2)会利用求根公式解简单数字系数的一元二次方程.2.过程与方法

经历探索求根公式的过程,发展学生合情合理的推理能力.3.情感、态度与价值观

通过运用公式法解一元二次方程,提高学生的运算能力,并让学生在学习活动中获得成功的体验,建立学好数学的自信心.

教学

重难点

重点:会用公式法解一元二次方程.难点:理解一元二次方程求根公式的推导过程.

教学活动设计

二次设计

课堂导入

1.配方法解一元二次方程的关键是.2.一元二次方程6x2-7x+1=0中a= ,b= ,c=;4x2-3x=52中a= ,b= ,c=.3.用配方法解一元二次方程4x2-3x=52.

探索新知

合作探究

自学指导

1.自学教材P26~28,回答下列问题:

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系数a,b,c而定,因此解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0,当b2-4ac≥0时,将a,b,c代入式子x= ,就得到方程的根;

当b2-4ac<0时就得到方程无实数根;这个式子叫做一元二次方程的求根公式;

利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法;

由求根公式可知,一元二次方程最多有 个实数根.2.思考:上述解一元二次方程的方法是什么?

它的理论依据是什么?

方程x2=-36有实数解吗?为什么?

由此你能得到用直接开平方法解一元二次方程需要注意什么呢?

合作探究

【例题】 用公式法解下列方程:

(1)x2-x-2=0;

(2)x2-2x=1;

(3)4x2-3x-1=x-2.要求:让学生独立思考,给出答案后再交流,教师参与给予适当指导.

续表

探索新知

合作探究

教师指导

1.易错点

(1)记错求根公式.(2)利用公式法解方程时没有把一元二次方程化为一般形式.2.归纳小结

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根是由方程的系数a,b,c确定的,只要确定了系数a,b,c的值,代入公式就可求得方程的根.3.方法规律

用公式法解一元二次方程时,首先应将其变形为一般形式,然后确定公式中a,b,c的值,再求出b2-4ac的值与“0”比较,最后利用求根公式求出方程的根(或说明其没有实数根).

当堂训练

1.方程x2+x-1=0的一个根是()

(A)1-”“(B)”“

(C)-1+”“(D)”“

2.一元二次方程2x2-(2m+1)x+m=0中,b2-4ac= ,若b2-4ac=9,则m=.3.用公式法解方程4x2-5x+1=0.

板书设计

公式法

1.求根公式的概念及其推导过程

2.应用公式法解一元二次方程

教学反思

课题

一元二次方程的解法

课时

第3课时

上课时间

教学目标

1.知识与技能

(1)理解并掌握用因式分解法解方程的依据.(2)会利用因式分解法解某些简单数字系数的一元二次方程.2.过程与方法

经历探索因式分解法解一元二次方程的过程,发展学生合情合理的推理能力.3.情感、态度与价值观

学会和他人合作,并能与他人交流思维的过程和结果.

教学

重难点

重点:应用因式分解法解一元二次方程.难点:将方程化为一般形式后,对方程左侧二次三项式的因式分解.

教学活动设计

二次设计

课堂导入

1.将下列各式分解因式.(1)x2-3x;(2)2x(5x-1)-3(5x-1);

(3)x2-4;(4)x2-10x+25.2.若ab=0,则 =0或 =0,若x(x-3)=0,则 =0或 =0.

探索新知

合作探究

自学指导

1.自学教材P28~30,回答下列问题:

思考:(1)x(2x+1)=0;(2)3x(x+2)=0;

问题:(1)你能观察出这两题的特点吗?

(2)你知道方程的解吗?说说你的理由.2.因式分解法的理论依据是:两个因式的积等于零,那么这两个因式的值就至少有一个为.即若ab=0,则 或.由上述过程我们知道:当方程的一边能够分解成两个一次因式的乘积形式而另一边等于0时,即可解之.这种方法叫做因式分解法.合作探究

【例1】 用因式分解法解下列方程:

(1)5x2-4x=0;

(2)3x(2x+1)=4x+2.【例2】 用因式分解法解下列方程:

(1)4x2-144=0;

(2)(2x-1)2=(3-x)2.根据以上解题步骤,组内交流,总结用因式分解法解一元二次方程的基本步骤:

(1)将方程化为左边是含未知数的代数式,右边是0的形式;

(2)将方程左边分解成两个一次因式的积;

(3)令每个因式等于0;

(4)求解.要求:让学生独立思考,给出答案后再交流,教师参与给予适当指导.

续表

探索新知

合作探究

教师指导

1.易错点

(1)对因式分解的方法掌握不到位.(2)利用因式分解法解方程时等号右边不为0.2.归纳小结

用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是:①将方程的右边化为0;②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积;③令每一个因式分别为零,就得到两个一元一次方程;④解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解.3.方法规律

利用提公因式法时先将方程右边化为0,观察是否有公因式,若有公因式,用提公因式法快速因式分解;若没有公因式就考虑用公式法因式分解.

当堂训练

1.关于方程(x-m)(x-n)=0的说法中,正确的是()

(A)x-m=0

(B)x-n=0

(C)x-n=0或x-m=0

(D)x-n=0且x-m=0

2.下列一元二次方程能用因式分解法解的有()

①x2=x;②x2-x+”“=0;③x-x2-3=0;④(3x+2)2=16

(A)1个(B)2个

(C)3个(D)4个

3.用因式分解法解下列方程:

(1)x2-9=0;(2)x2-2x=0;

(3)5x2+20x+20=0.

板书设计

因式分解法

1.因式分解的类型

2.应用因式分解法解一元二次方程

教学反思

课题

一元二次方程根的判别式

课时

1课时

上课时间

教学目标

1.知识与技能

理解并掌握一元二次方程根的判别式,能运用判别式,在不解方程的前提下判断一元二次方程根的情况.2.过程与方法

通过一元二次方程根的情况的探究过程,体会从特殊到一般、猜想及分类讨论的数学思想,提高观察、分析、归纳的能力.3.情感、态度与价值观

学生通过观察,分析,讨论相互交流,培养与他人交流的能力,通过观察,分析,感受数学的变化美,激发学生的探求欲望.

教学

重难点

重点:用根的判别式解决实际问题.难点:根的判别式的发现.

教学活动设计

二次设计

课堂导入

1.用公式法解下列方程:

(1)x2-3x+2=0;(2)x2-2x+1=0;(3)x2+3=0.2.提问:通过以上三个方程的求解你发现了什么?

探索新知

合作探究

自学指导

1.自学教材P34~35,归纳二次根式的加减运算法则:

定义:把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式,通常用符号“Δ”表示,即Δ=b2-4ac,一般地,方程ax2+bx+c=0(a≠0)

当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根;

当Δ=0时,方程有两个相等的实数根;

当Δ<0时,方程没有实数根.反过来,同样成立,即

方程有两个不相等的实数根,Δ>0

方程有两个相等的实数根,Δ=0

方程没有实数根,Δ<0

合作探究

【例1】 不解方程,判别下列方程根的情况:

(1)5x2-3x-2=0;

(2)25y2+4=20y;

(3)2x2+”“x+1=0.【例2】 k为何值时,关于x的一元二次方程x2-3x+k=0;

(1)有两个相等的实数根;

(2)有两个不相等的实数根;

(3)无实数根.要求:让学生先独立完成,给出答案后再互相交流,教师巡视作答情况给予适当指导.

续表

探索新知

合作探究

教师指导

1.易错点

(1)计算根的判别式的值时没有把方程化简为一般形式.(2)当一元二次方程有解时错认为b2-4ac>0,漏掉等号.2.归纳小结

利用根的判别式判断一元二次方程根的情况时,要先把方程转化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0).当b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根;当b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根;当b2-4ac<0时,方程无实数根.3.方法规律

利用b2-4ac判断一元二次方程根的情况时,容易忽略二次项系数不能等于0这一条件.

当堂训练

1.下列一元二次方程中,没有实数根的是()

(A)4x2-5x+2=0(B)x2-6x+9=0

(C)5x2-4x-1=0(D)3x2-4x+1=0

2.若关于x的一元二次方程4x2-4x+c=0有两个相等的实数根,则c的值是()

(A)-1(B)1

(C)-4(D)4

3.不解方程,判定下列一元二次方程根的情况:

(1)9x2+6x+1=0;

(2)16x2+8x=-3;

(3)3(x2-1)-5x=0.

板书设计

一元二次方程根的判别式

1.根的判别式

2.由方程根的情况确定字母的取值范围

教学反思

课题

一元二次方程的根与系数的关系

课时

1课时

上课时间

教学目标

1.知识与技能

(1)掌握根与系数的关系.(2)会运用根与系数的关系解决有关问题.2.过程与方法

通过观察,归纳,猜想根与系数的关系,并证明此关系成立,使学生理解其理论依据.3.情感、态度与价值观

培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神.

教学

重难点

重点:根与系数的关系及推导应用.难点:利用根与系数的关系解决有关的问题.

教学活动设计

二次设计

课堂导入

解下列方程,将得到的解填入下面的表格中,你发现表格中两个解的和与积和原来的方程有什么联系?

(1)x2-2x=0;(2)x2+3x-4=0;(3)x2-5x+6=0.

方程

x1

x2

x1+x2

x1·x2

x2-2x=0

x2+3x-4=0

x2-5x+6=0

探索新知

合作探究

自学指导

1.自学教材P37~38,回答下列问题:

(1)如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1,x2,那么x1+x2=-”“,x1x2=”“.(2)如果方程x2+px+q=0(p,q为已知常数,p2-4q≥0)的两个根是x1,x2,那么x1+x2=-p,x1x2=q.2.注意:根与系数的关系使用的前提条件b2-4ac≥0.合作探究

【例1】 不解方程,求出方程两根的和与两根的积(直接口答):

(1)x2+3x-1=0;(2)x2+6x+2=0;

(3)3x2-4x+1=0;(4)x2+3x+3=0.【例2】 已知关于x的方程x2+kx-6=0的一个根是2,求另一个根及k的值.

续表

探索新知

合作探究

【例3】 设方程2x2+3x-1=0的两根分别为x1,x2,不解方程求出下列各式的值.(1)”“+”“;(2)”“+”“;(3)(x1-3)(x2-3);(4)|x1-x2|.要求:让学生先独立完成,给出答案后再互相交流,教师巡视作答情况给予适当指导.教师指导

1.易错点

(1)错认为x1+x2=”“.(2)忽略应用根与系数关系的前提条件b2-4ac≥0.2.归纳小结

(1)运用根的判别式判断一元二次方程根的情况时,必须先把方程化为一般形式,正确地确定各项系数.(2)由根与系数的关系求出字母的值,但一定要代入判别式验算,字母的取值必须使判别式大于等于0,这一点很容易被忽略.3.方法规律

解决根与系数的有关问题时经常要运用到以下代数式及变形:

(1)”“+”“=(x1+x2)2-2x1x2;(2)”“+”“=”“;(3)(x1+a)(x2+a)=x1x2+a(x1+x2)+a2;(4)|x1-x2|=”“=”“.

当堂训练

1.若x1,x2是一元二次方程x2+10x+16=0的两个根,则x1+x2的值是()

(A)-10(B)10(C)-16(D)16

2.已知x1,x2是一元二次方程x2-4x+1=0的两个实数根,则x1x2等于()

(A)-4(B)-1(C)1(D)4

3.已知x1,x2是一元二次方程x2-3x-1=0的两根,不解方程求下列各式的值:

(1)x1+x2;(2)x1x2;(3)”“+”“;(4)”“+”“.

板书设计

一元二次方程的根与系数的关系

1.一元二次方程根与系数的关系

2.利用根与系数的关系求代数式的值

教学反思

课题

一元二次方程的应用

课时

第1课时

上课时间

教学目标

1.知识与技能

学生会用列一元二次方程的方法解决有关增长率、销售及几何图形面积问题.2.过程与方法

通过对实际问题的分析,经历寻找等量关系,列出一元二次方程解决实际问题的过程.3.情感、态度与价值观

进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解决问题的能力,培养学生应用数学的意识.

教学

重难点

重点:利用一元二次方程解决实际问题.难点:根据实际问题,确定等量关系,建立一元二次方程的过程.

教学活动设计

二次设计

课堂导入

1.(1)原产量+增产量=实际产量.(2)单位时间增产量=原产量×增长率.(3)实际产量=原产量×(1+增长率).2.(1)某工厂一月份生产零件1 000个,二月份生产零件1 200个,那么二月份比一月份增产 个?增长率是;

(2)银行的某种储蓄的年利率为6%,小民存1 000元,存满一年连本带利的钱数是;

(3)某厂第一个月生产了彩电m台,第二个月比第一个月产量增长的百分率为x,则第二个月生产了 台;第三个月比第二个月又增长了相同的百分率,则第三个月的产量为 台.

探索新知

合作探究

自学指导

1.自学教材P41~43例3和例4,回答下列问题:

(1)增长率问题是在原来的量的基础上增长(或降低)多少个百分比的问题.若设原来的产量为a,年平均增长率为x,则一年后的产量为a(1+x).而两年后的产量又以a(1+x)为基础,因平均增长率为x,可表示为a(1+x)(1+x)=a(1+x)2.同样,若x表示平均降低率,则一年后产量为a(1-x),两年后产量为a(1-x)2.(2)利润问题主要用到的关系式是:①每件利润=每件售价-每件进价;②总利润=每件利润×总件数.2.思考:用一元二次方程解应用题的基本步骤是什么?

合作探究

【例1】 某产品原来每件600元,由于连续两次降价,现价为384元,如果两个降价的百分数相同,求每次降价的百分数?

【例2】 某衬衣店将进价为30元的一种衬衣以40元售出,平均每月能售出600件,调查表明:这种衬衣售价每上涨1元,其销售量将减少10件,为了实现平均每月12 000元的销售利润,这种衬衣的售价应定为多少?这时进这种衬衣多少件?

续表

探索新知

合作探究

【例3】 利用一面墙(墙的长度不限),另三边用58 m长的篱笆围成一个面积为200 m2的矩形场地,求矩形的长和宽.”“

要求:让学生独立思考,给出答案后再交流,教师参与给予适当指导.教师指导

1.易错点

(1)不能确定题目中的等量关系.(2)不理解连续增长的意义,例如把a(1+x)2误认为a(1+2x).2.归纳小结

解决平均增长(降低)率问题的关键是明确基础量和变化后的量.如果设基础量为a,变化后的量为b,平均每年的增长率(或降低率)为x,则两年后的值为a(1±x)2.由此列出方程a(1±x)2=b,求出所需要的量.3.方法规律

在应用题中,未知数的允许值往往有一定的限制,因此除了检验未知数的值是否满足所列方程外,还必须检验它在实际问题中是否有意义.

当堂训练

1.某商品两次价格上调后,单位价格从4元变为4.84元,则平均每次调价的百分率是()

(A)9%(B)10%

(C)11%(D)12%

2.某中学准备建一个面积为375 m2的矩形游泳池且游泳池的宽比长短10 m,设游泳池的长为x m,则可列方程为()

(A)x(x-10)=375

(B)x(x+10)=375

(C)2x(2x-10)=375

(D)2x(2x+10)=375

3.某水果批发商场经销一种高档水果,如果每千克盈利10元,每天可售出500千克.经市场调查发现,在进价不变的情况下,若每千克涨价1元,日销售量将减少20千克.现该商场要保证每天盈利6 000元,同时又要使顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元?

板书设计

一元二次方程的应用1

1.增长率问题

2.销售利润问题

3.几何图形面积问题

教学反思

课题

一元二次方程的应用

课时

第2课时

上课时间

教学目标

1.知识与技能

(1)掌握可化为一元二次方程的分式方程的解法.(2)进一步掌握列一元二次方程解应用题的方法和技能.2.过程与方法

通过解可化为一元二次方程的分式方程,体会数学转化思想在解题中的应用.3.情感、态度与价值观

进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解决问题的能力,培养学生应用数学的意识.

教学

重难点

重点:分式方程转化为一元二次方程.难点:根据实际问题,确定等量关系,列出可化为一元二次方程的分式方程过程.

教学活动设计

二次设计

课堂导入

1.分式方程的定义:.2.解分式方程的思想是 ,步骤有.3.解下列分式方程

(1)”“=-”“;

(2)”“=-”“.

探索新知

合作探究

自学指导

1.自学教材P43~44例5,回答下列问题:

(1)解可化为一元二次方程的分式方程的基本步骤是什么?

首先把分式方程化简为一元二次方程,然后利用公式法或配方法求解,最后检验所求的解是否符合题意.2.列方程解应用题最关键的是审题,通过审题弄清已知量与未知量之间的等量关系,从而正确地列出方程.概括来说就是实际问题——数学模型——数学问题的解——实际问题的答案.合作探究

一个矩形周长为56厘米.(1)当矩形面积为180平方厘米时,长宽分别为多少?

(2)能围成面积为200平方厘米的矩形吗?请说明理由.分析:(1)设出矩形的一边长为未知数,用周长公式表示出另一边长,根据面积列出相应方程求解即可.(2)同样列出方程,若方程有解则可,否则就不可以.要求:让学生独立思考,给出答案后再交流,教师参与给予适当指导.

续表

探索新知

合作探究

教师指导

1.易错点

(1)把分式方程化为整式方程时出错.(2)分式方程的解忘记检验,忽略增根.2.归纳小结

列分式方程解应用题不要忘记检验,检验分两步,一是检验所得未知数的值是不是原方程的根,二是检验所得未知数的值是否使实际问题有意义.

当堂训练

1.方程”“=”“的解是.2.某单位向一所希望小学赠送1 080本课外书,现用A,B两种不同的包装箱进行包装,单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个;已知每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书.则每个A型包装箱可以装多少本书?

板书设计

一元二次方程的应用2

1.可化为一元二次方程的分式方程的解法

2.列分式方程解应用题

教学反思

第18章 勾股定理

主题

勾股定理

课型

新授课

上课时间

教学内容

18.1勾股定理;18.2勾股定理的逆定理.

教材分析

勾股定理是初中几何知识的重要内容,是中考直接考查的一个重点内容.本章是在前面学习实数和三角形的基础上进行的.同时也是为了学生以后学习解直角三角形和特殊四边形打下基础.

教学目标

1.知识与技能

利用几何图形探索直角三角形三边关系,了解勾股定理的发现过程;掌握勾股定理及其逆定理的内容,会用面积法证明勾股定理;能够利用勾股定理的逆定理判断三角形形状或证明垂直,能够用勾股定理解决简单的实际问题;应用熟练掌握以上知识解决问题.2.过程与方法

(1)理解勾股定理的应用范围,即在直角三角形中.(2)利用几何图形的面积探究勾股定理的基本内容.(3)能够利用勾股定理解决一些简单的实际问题.(4)勾股定理是直角三角形的一个重要性质,把三角形有一个直角的“形”的特点转化为三边“数”的关系,体会数形结合思想.(5)用数学几何知识解决实际问题的关键是建立合适的数学模型,提高从题干中提取有效信息并转化成数学语言的能力.3.情感、态度与价值观

勾股定理和逆定理在实际问题中有着广泛的应用,首先要根据题意,建立数学模型,把实际问题转化为数学问题,在应用过程中培养学生主动探索知识的能力以及分析问题和解决问题的能力,增强学好数学的信心.

教学

重难点

重点:

1.勾股定理的证明.2.勾股定理的应用.3.勾股定理的逆定理.难点:

1.勾股定理的实际应用.2.有关“勾股数”的探究题.3.勾股定理与逆定理的综合应用.

知识结构

”“

课题

勾股定理

课时

第1课时

上课时间

教学目标

1.知识与技能

(1)探索直角三角形三边关系,了解勾股定理的发现过程.(2)掌握勾股定理的内容,会用面积法证明勾股定理.2.过程与方法

在探究活动中,培养学生的合作交流意识和探索精神.3.情感、态度与价值观

通过师生共同活动,促进学生在学习活动中培养良好的情感,合作交流,主动参与的意识.

教学

重难点

重点:直角三角形三边关系.难点:勾股定理的证明.

教学活动设计

二次设计

课堂导入

”“

如图所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的树,这就是著名的毕达哥拉斯树,它由若干个图形组成,而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形.各组图形大小不一,但形状一致,结构奇巧.你能说说其中的奥秘吗?

探索新知

合作探究

自学指导

自学教材P52~53,回答下列问题:

(1)在直角三角形中,两条直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2.(2)在直角三角形中,两直角边分别为3,4,那么斜边为5;在直角三角形中,斜边为10,一直角边为6,则另一直角边为8.思考:若一直角三角形两边长分别为12和5,则第三边长一定为13吗?

合作探究

【例1】 如图,每个方格的面积均为1,请分别算出图中正方形A,B,C,A,B,C的面积,请利用该图探究勾股定理.”“

续表

探索新知

合作探究

【例2】 求出直角三角形中未知边的长度.”“

要求:让学生独立思考,给出答案后再交流,教师参与给予适当指导.教师指导

1.易错点

(1)利用勾股定理时不能正确区分直角边和斜边;

(2)利用图形面积证明勾股定理时,不能正确表示出图形的面积.2.归纳小结

(1)根据拼图对拼接图形的面积的不同表示方法,建立相等关系,从而验证勾股定理.(2)求解与直角三角形三边有关的图形面积时,要结合图形想办法把图形的面积与直角三角形三边的平方联系起来,再利用勾股定理找到图形面积之间的等量关系.3.方法规律

利用勾股定理解题未给出图形,作高构造直角三角形时,易漏掉原三角形为钝角三角形的情况.

当堂训练

1.在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对应边分别是a,b,c,若∠A+∠C=90°,则下列等式中成立的是()

(A)a2+b2=c2

(B)b2+c2=a2

(C)a2+c2=b2

(D)c2-a2=b2

2.已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=3,则AB的长为()

”“

(A)4(B)”“

(C)”“(D)5

3.4个全等的直角三角形的直角边分别为a,b,斜边为c.现把它们适当拼合,可以得到如图所示的图形,利用这个图形可以验证勾股定理,你能说明其中的道理吗?请试一试.

板书设计

勾股定理1

1.勾股定理的证明

2.利用勾股定理求线段长

教学反思

课题

勾股定理

课时

第2课时

上课时间

教学目标

1.知识与技能

会用勾股定理解决一些简单的实际问题.2.过程与方法

应用勾股定理解决问题的过程中培养学生的合作意识和发散能力.3.情感、态度与价值观

通过师生共同活动,促进学生在学习活动中主动参与的意识.

教学

重难点

重点:勾股定理的应用.难点:将实际问题转化为数学问题,利用勾股定理求解.

教学活动设计

二次设计

课堂导入

一个门框的宽为1.5 m,高为2 m,如图所示,一块长3 m,宽2.2 m 的薄木板能否从门框内通过?为什么?

”“

探索新知

合作探究

”“

自学指导

自学教材P54~55,回答下列问题:

在Rt△ABC中,∠C=90°.(1)已知:a=9,b=40,则c=41;

(2)已知:a=6,c=10,则b=8;

(3)已知:b=5,c=13,则a=12;

(4)已知c=n2+1,b=2n,则a=|n2-1|.合作探究

【例1】 飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4 000米处,过了20秒,飞机距离这个男孩5 000米,飞机每小时飞行多少千米?

”“

【例2】 小明的妈妈买了一部29英寸(74厘米)的电视机.小明量了电视机的屏幕后,发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽,他觉得一定是售货员搞错了.你能解释这是为什么吗?

要求:让学生独立思考,给出答案后再交流,教师参与给予适当指导.

续表

探索新知

合作探究

教师指导

1.易错点

勾股定理使用的前提条件是三角形是直角三角形,对一般三角形一定不能使用.2.归纳小结

(1)在直角三角形中,若两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么①a=”“;②b=”“;③c=”“.(2)利用勾股定理解决实际问题时,关键是把实际问题转化到直角三角形中,然后利用勾股定理解答.3.方法规律

勾股定理表达式中有三个量,如果条件中只有一个已知量,通常需要巧设未知数,灵活地寻找题中的等量关系,然后利用勾股定理列方程求解.

当堂训练

1.如图,一根垂直于地面的旗杆在离地面5 m处折断,旗杆顶部落在离旗杆底部12 m处,旗杆折断之前的高度是()

”“

(A)5 m(B)12 m

(C)13 m(D)18 m

2.如图,要制作底边BC的长为44 cm,顶点A到BC的距离与BC长的比为1∶4的等腰三角形木衣架,则腰AB的长为 cm.(结果保留根号)

”“

3.已知AC⊥BC,垂足为C,AC=4,BC=3”“,将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°,得到线段AD,连接DC,DB.”“

(1)线段DC=;

(2)求线段DB的长度.

板书设计

勾股定理2

1.勾股定理的直接应用

2.利用勾股定理解决实际问题

教学反思

课题

勾股定理的逆定理

课时

1课时

上课时间

教学目标

1.知识与技能

通过具体情景(古埃及人的绳子上所打的结)向学生介绍了一些特殊的三角形,这类三角形的各边长都满足a2+b2=c2.通过对这类三角形的观察让学生猜想勾股定理的成立.2.过程与方法

经历探索二次根式乘除法法则的过程,发展观察、归纳猜想、验证能力.3.情感、态度与价值观

培养学生主动探索知识的能力以及分析问题和解决问题的能力,增强学好数学的信心.

教学

重难点

重点:用构造性方法证明勾股定理的逆定理;用勾股定理的逆定理解决具体的问题.难点:勾股定理的逆定理的证明方法.

教学活动设计

二次设计

课堂导入

”“

据说几千年前的古埃及人就已经知道,在一根绳子上连续打上等距离的13个结,然后用钉子将第1个与第13个结钉在一起,拉紧绳子,再在第4个和第8个结处各钉上一个钉子,这样围成的三角形中最长边所对的角就是直角,你知道为什么吗?

探索新知

合作探究

自学指导

1.自学教材P58~59,回答下列问题:

(1)勾股定理的逆定理:如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形.”“

(2)数学表达式:如图所示,在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,如果a2+b2=c2,则△ABC为直角三角形,c边所对的角为直角,即∠C=90°.(3)能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数,称为勾股数.2.思考:设三角形的三边长为a,b,c(c为最长边).①若a2+b2=c2,那么这个三角形是 三角形;

②若a2+b2>c2,那么这个三角形是 三角形;

③若a2+b2

【例1】 根据下列三角形的三边a,b,c的值,判断三角形是不是直角三角形.如果是,指出哪条边所对的角是直角?

(1)a=7,b=24,c=25;

”“

(2)a=7,b=8,c=11.【例2】 如图所示,D是△ABC的边BC上一点,已知AB=13,AD=12,AC=15,BD=5,试求△ACD的面积.要求:让学生独立思考,给出答案后再交流,教师参与给予适当指导.

续表

探索新知

合作探究

教师指导

1.易错点

(1)机械地认为Rt△ABC中,c边所对的角是直角;

(2)a2+b2是否与c2相等需要计算说明,不能一开始就用a2+b2=c2.2.归纳小结

(1)在运用勾股定理的逆定理时,要特别注意找到最大边,定理描述的是最大边的平方等于另外两边的平方和.(2)判断勾股数的方法:必须满足两个条件:一要符合等式a2+b2=c2;二要都是正整数.3.方法规律

勾股定理的逆定理的主要作用是判断一个三角形是否是直角三角形,另外,还可以运用勾股定理的逆定理来判断一个角是否是直角,或判断两条直线是否垂直.

当堂训练

1.下列四组线段中,可以构成直角三角形的是()

(A)1,2,3(B)2,3,4

(C)3,4,5(D)4,5,6

2.下列各组数是勾股数的是()

(A)3,4,5(B)1.5,2,2.5

(C)32,42,52(D)”“,”“,”“

3.已知:在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c,三边分别为下列长度,判断该三角形是不是直角三角形,并指出哪一个角是直角.(1)a=”“,b=2”“,c=”“;

(2)a=5,b=7,c=9;

(3)a=2,b=”“,c=”“.

板书设计

勾股定理的逆定理

1.勾股定理的逆定理

2.勾股定理的逆定理的应用

3.勾股数

教学反思

第19章 四边形

主题

四边形

课型

新授课

上课时间

教学内容

19.1多边形内角和;19.2平行四边形;19.3矩形、菱形、正方形:1.矩形;2.菱形;3.正方形;19.4综合与实践 多边形的镶嵌

教材分析

四边形是初中数学知识体系与结构中的重要组成部分,尤其是平行四边形和特殊四边形的性质与判定是中考直接考查的热点内容.本章是在前面学习全等三角形的基础上进行的,是对所学基本几何图形知识的升华.

教学目标

1.知识与技能

了解多边形内角和及外角和的有关概念;了解平行四边形、矩形、菱形和正方形的性质,并利用其求线段的长或角的度数;掌握平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定方法,并能体会不同判定方法之间的异同点;能够利用特殊四边形的性质或判定进行简单的几何证明;应用熟练掌握以上知识解决问题.2.过程与方法

(1)理解正多边形的定义,掌握多边形的内角和及外角和公式.(2)利用全等三角形的判定和性质,证明平行四边形边、角及对角线的性质.(3)通过平行四边形的性质与判定的应用,启迪学生的思维,提高分析问题的能力.(4)以平行四边形的性质为基础,对比掌握矩形、菱形、正方形的性质.(5)经历探索特殊四边形有关性质、判定条件的过程,在观察中寻求新知,在探究中发展推理能力,逐步掌握说理的基本方法.(6)在具体证明中,体会平行四边形与特殊四边形性质和判定的相同点和不同点.3.情感、态度与价值观

经历探索平行四边形、矩形、菱形和正方形的性质与判定的过程,培养观察能力、动手能力、自学能力、计算能力、逻辑思维能力.让学生在探究过程中加深对特殊四边形的理解,养成主动探索的学习习惯,通过平行四边形与特殊四边形判定方法的类比,进一步体会类比的思想方法的作用.培养学生主动探索知识的能力以及分析问题和解决问题的能力,增强学好数学的信心.

教学

重难点

重点:

1.多边形的有关概念.2.平行四边形的性质和判定.3.特殊四边形的性质和判定.难点:

1.平行四边形性质和判定的综合应用.2.特殊四边形性质和判定的综合应用.3.多边形的平面镶嵌.

知识结构

”“

课题

多边形内角和

课时

1课时

上课时间

教学目标

1.知识与技能

(1)理解并掌握多边形的内角、外角等概念;

(2)掌握多边形的内角和公式与外角和,进一步了解转化的数学思想.2.过程与方法

经历探索多边形的内角和公式及外角和的过程.3.情感、态度与价值观

通过师生共同活动,促进学生在学习活动中培养合作交流的意识,在独立思考的同时能够认同他人.

教学

重难点

重点:多边形内角和公式、外角和的探索.难点:会用多边形的内角和公式求多边形的内角和,并会逆用公式求多边形的边数.

教学活动设计

二次设计

课堂导入

你能从图中找出几个由一些线段围成的图形吗?根据你的认识,它们各是几边形?

”“

探索新知

合作探究

自学指导

1.自学教材P70~73,回答下列问题:

(1)在平面内,由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.在顶点处一边与另一边延长线所组成的角叫做多边形的外角.一个多边形,如果把它任何一边双向延长,其他各边都在延长所得直线的同一旁,这样的多边形叫凸边形;多边形中连接不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线.(2)n边形的内角和等于(n-2)×180°(n为不小于3的整数);n边形外角和等于360°(n为不小于3的整数).2.思考:各个角都相等的多边形是正多边形吗?

合作探究

【例1】 若一个多边形有14条对角线,则这个多边形的边数是()

(A)10(B)7

(C)14(D)6

【例2】 若一个多边形的内角和等于1 080°,则这个多边形的边数是()

(A)9(B)8

(C)7(D)6

【例3】 一个多边形的外角和是内角和的”“,求这个多边形的边数.要求:让学生独立思考,给出答案后再交流,教师参与给予适当指导.

续表

探索新知

合作探究

教师指导

1.易错点

(1)根据内角和求多边形的边数时,误认为内角和除以180而得到边数,忘记再加上2;

(2)混淆正多边形的定义,必须同时满足所有的边相等、所有的角相等(正三角形除外).2.归纳小结

(1)正多边形的每一个内角都相等,每一个外角也都相等;

(2)正n边形的每一个内角都等于”“;

(3)正n边形的每一个外角都等于”“;

(4)多边形的每个内角与其相邻的外角都互补.3.方法规律

从n边形一个顶点出发,可以作(n-3)条对角线,n边形对角线总条数为”“.

当堂训练

1.将一个n边形变成(n+1)边形,内角和将()

(A)减少180°(B)增加90°

(C)增加180°(D)增加360°

2.若从一个多边形的一个顶点出发,最多可以引10条对角线,则它是 边形.3.若两个多边形的边数之比是1∶2,内角和度数之比为1∶3,求这两个多边形的边数.

板书设计

多边形内角和

1.多边形的有关概念

2.多边形内角和定理

3.多边形的外角和及正多边形

教学反思

课题

平行四边形

课时

第1课时

上课时间

教学目标

1.知识与技能

(1)理解并掌握平行四边形的定义.(2)掌握平行四边形的性质1及性质2.2.过程与方法

通过平行四边形性质的探索过程,丰富学生从事数学活动的经验与体验,发展应用意识.3.情感、态度与价值观

在应用平行四边形的性质的过程中养成独立思考的习惯,在数学学习活动中获得成功的体验.

教学

重难点

重点:平行四边形的边、角的性质及平行线间的距离.难点:运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算.

教学活动设计

二次设计

课堂导入

我们一起来观察图中的竹篱笆格子和汽车的防护链,想一想它们是什么几何图形的形象?

”“

探索新知

合作探究

自学指导

1.自学教材P75~76,回答下列问题:

”“

(1)两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.如图,平行四边形ABCD记作“▱ABCD”.(2)平行四边形性质1:平行四边形的对边相等;

性质2:平行四边形的对角相等.(3)夹在两条平行线之间的平行线段相等;平行线之间的距离处处相等.2.思考:平行四边形的性质1和性质2是如何证明的?

合作探究

”“

【例1】 如图,在平行四边形ABCD中,E是AD边上的中点,若∠ABE=∠EBC,AB=2,求平行四边形ABCD的周长

【例2】

”“

如图,l1∥l2,BE∥CF,BA⊥l1,DC⊥l2.下面给出四个结论:①AB=DC;②BE=CF;③S△ABE=S△DCF;④S▱ABCD=S▱BCFE.其中正确的结论有 个.要求:让学生独立思考,给出答案后再交流,教师参与给予适当指导.

续表

探索新知

合作探究

教师指导

1.易错点

(1)表示平行四边形的四个大写字母没有按照顺时针或逆时针的顺序书写;

(2)混淆平行线间的距离与点到直线的距离.2.归纳小结

(1)平行四边形的定义是判断一个四边形是平行四边形的重要方法;

(2)平行四边形对边平行,对角相等,所以经常利用该性质解决和角度有关的问题.3.方法规律

两条平行线之间的距离是指垂线段的长度,当两条平行线的位置确定时,它们之间的距离也随之确定,它不随垂线段的位置的改变而改变,是一个定值.

当堂训练

1.”“

如图,在▱ABCD中,EF∥BC,则图中平行四边形有 个.如图,在▱ABCD中,EF∥BC,则图中平行四边形有 个.”“

2.如图,▱ABCD中,∠ABC和∠BCD的平分线交于AD边上一点E,且BE=4,CE=3,则AB的长是.”“

3.如图所示,已知四边形ABCD是平行四边形,∠ADC=125°,∠CAD=28°,则∠ABC= ,∠CAB=.

板书设计

平行四边形1

1.平行四边形的定义

2.平行四边形边、角的性质

3.两条平行线间的距离

教学反思

课题

平行四边形

课时

第2课时

上课时间

教学目标

1.知识与技能

掌握平行四边形对角线互相平分的性质.2.过程与方法

充分利用平面图形的旋转变换探索平行四边形的等量关系,进一步培养学生分析问题、探索问题的能力,培养学生的动手能力.3.情感、态度与价值观

感受数学逻辑美,增加学习数学的兴趣和自信心.

教学

重难点

重点:平行四边形对角线互相平分的性质.难点:综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题和简单的证明题.

教学活动设计

二次设计

课堂导入

”“

如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,图中共有几对全等三角形?有哪些线段相等?

探索新知

合作探究

自学指导

1.自学教材P78,完成下列问题:

(1)平行四边形性质3:平行四边形对角线互相平分.(2)证明如下:

”“

已知:▱ABCD,AC,BD交于点O,求证:OA=OC,OB=OD.证明:在▱ABCD中,∵AB∥DC,∴∠OAB= ,∠OBA= ,又AB=DC,∴△OAB≌(ASA),∴OB= ,OA=.2.点拨:利用平行四边形对角线互相平分这一性质,引导学生观察图形,找出全等三角形,从而解决问题.而连接对角线也是常用的辅助线.”“

合作探究

【例1】 如图,▱ABCD中,两条对角线AC,BD相交于点O.(1)指出图中相等的线段;

”“

(2)若AC=18,BD=24,则AO= ,BO=;又若AB=11,则△AOB的周长为.【例2】如图,在平行四边形ABCD中,AC,BD为对角线,BC=6,BC边上的高为4,你能算出图中阴影部分的面积吗?

要求:让学生先独立完成,给出答案后再互相交流,教师巡视作答情况给予适当指导.

续表

探索新知

合作探究

教师指导

1.易错点

混淆平行四边形ABCD的对角线性质,易错认为OA=OB=OC=OD.2.归纳小结

(1)平行四边形被对角线分成四个小三角形,相邻两个三角形的周长之差等于邻边边长之差.(2)利用平行四边形的性质解决线段的问题时,要注意运用平行四边形的对边相等,对角线互相平分的性质.3.方法规律

经过平行四边形对角线的交点的直线把对边截得的两条线段相等,并且该直线平分平行四边形的面积.

当堂训练

”“

1.如图,▱ABCD的对角线AC,BD交于点O,且AB=5,△OCD的周长为23,则平行四边形ABCD的两条对角线的和是()

(A)18(B)28

(C)36(D)46

2.▱ABCD的对角线AC,BD交于点O,若两条对角线长的和为20 cm,且BC长为6 cm,则△AOD的周长为 cm.3.如图,已知▱ABCD和▱EBFD的顶点A,E,F,C在一条直线上,求证:AE=CF.”“

板书设计

平行四边形2

1.平行四边形对角线的性质

2.例1

例2

教学反思

课题

平行四边形

课时

第3课时

上课时间

教学目标

1.知识与技能

探索平行四边形的判别条件中,理解并掌握用边、对角线来判定平行四边形的方法.2.过程与方法

培养学生的观察能力、动手能力、自主学习能力、逻辑推理能力.3.情感、态度与价值观

在教学中渗透事物总是相互联系又相互区别的辩证唯物主义观点.

教学

重难点

重点:理解和掌握平行四边形的判定定理.难点:培养学生合情推理的能力以及严谨的书写表达,体会几何思维的真正内涵.

教学活动设计

二次设计

课堂导入

取两根等长的木条AB,CD,将它们平行放置,再用两根木条BC,AD加固,得到的四边形ABCD是平行四边形吗?

”“

探索新知

合作探究

自学指导

1.自学教材P79~81,理解平行四边形的3个判定定理:

(1)定理1:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.(2)定理2:两组对边分别相等的四边形是平行四边形;

(3)定理3:对角线互相平分的四边形是平行四边形.2.练一练:不能判定一个四边形是平行四边形的条件是()

(A)两组对边分别平行

(B)一组对边平行另一组对边相等

(C)一组对边平行且相等

(D)两组对边分别相等

合作探究

【例1】 如图,四边形ABCD中,AD∥BC,AE⊥AD交BD于点E,CF⊥BC交BD于点F,且AE=CF.求证:四边形ABCD是平行四边形.【例2】

”“

如图,▱ABCD的对角线AC,BD交于点O,点E,F在AC上,点G,H在BD上,且AF=CE,BH=DG.求证:GF∥HE.

”“

【例3】 四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,给出下列四个条件:①AD∥BC;②AD=BC;③OA=OC;④OB=OD.从中任选两个条件,能使四边形ABCD为平行四边形的选法有()

(A)3种(B)4种(C)5种(D)6种

要求:让学生先独立完成,给出答案后再互相交流,教师巡视作答情况给予适当指导.

续表

探索新知

合作探究

教师指导

1.易错点

(1)混淆平行四边形判定定理1和定理2;

(2)错认为一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形.2.归纳小结

平行四边形判定和性质的综合应用一般有两种情况:一是先判定一个四边形是平行四边形,然后再用平行四边形的性质去解决某些问题;二是先运用平行四边形的性质得到线段平行、角相等等,再判定一个四边形是平行四边形.3.方法规律

判定平行四边形的一般思路:

(1)考虑对边关系:证明两组对边分别平行;或两组对边分别相等;或一组对边平行且相等;

(2)考虑对角关系:证明两组对角分别相等;

(3)考虑对角线关系:证明两条对角线互相平分.

当堂训练

1.下面给出四边形ABCD中,∠A,∠B,∠C,∠D的度数之比,其中能判定四边形ABCD为平行四边形的是()

(A)1∶2∶3∶4(B)2∶3∶2∶3

(C)2∶2∶3∶3(D)1∶2∶2∶3

2.”“

如图,四边形ABCD的对角线相交于点O,AO=CO,请添加一个条件(只添一个即可),使四边形ABCD是平行四边形.”“

3.如图,点B,E,C,F在一条直线上,AB=DF,AC=DE,BE=FC.(1)求证:△ABC≌△DFE;

(2)连接AF,BD,求证:四边形ABDF是平行四边形.

板书设计

平行四边形3

平行四边形判定定理1

平行四边形判定定理2

平行四边形判定定理3

教学反思

课题

平行四边形

课时

第4课时

上课时间

教学目标

1.知识与技能

(1)理解三角形中位线的概念,掌握它的性质;

(2)能较熟练地运用三角形中位线的性质进行有关的证明和计算.2.过程与方法

通过对中位线性质的探究培养学生的观察能力、动手能力和逻辑推理能力.3.情感、态度与价值观

通过师生共同活动,在独立思考的同时能够认同他人,促进学生在学习活动中培养合作交流的意识.

教学

重难点

重点:掌握和运用三角形中位线的性质.难点:三角形中位线性质的证明(辅助线的添加方法).

教学活动设计

二次设计

课堂导入

我们已经学习了平行四边形的性质与判定方法,今天老师给同学一个剪纸的任务.怎样将一张三角形纸片剪成两部分,使分成的两部分能拼成一个平行四边形?能用什么定理来证明四边形DBCF是平行四边形呢?

”“

探索新知

合作探究

自学指导

1.自学教材P81~82,回答下列问题:

(1)平行线等分线段的性质:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等.推论:经过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边.(2)三角形中位线定理:三角形两边中点连线平行于第三边,并且等于第三边的一半.2.思考:三角形的中位线有哪些性质?

”“

合作探究

【例1】 如图,在△ABC中,点D,E分别是AB,AC的中点,∠A=50°,∠ADE=60°,则∠C的度数为()

(A)50°(B)60°

(C)70°(D)80°

【例2】 如图,在△ABC中,D,E,F分别为边AB,BC,CA的中点.证明:四边形DECF是平行四边形.”“

续表

探索新知

合作探究

要求:让学生先独立完成,给出答案后再互相交流,教师巡视作答情况给予适当指导.教师指导

1.易错点

(1)混淆三角形的中线与中位线的概念;

(2)一个三角形有三条中位线,每条中位线与第三边都有相应的位置关系和数量关系.2.归纳小结

三角形的中位线的性质不仅反映了线段间的位置关系,而且还揭示了线段间的数量关系,借助三角形中位线的性质可以进行几何求值(计算角度、求线段的长度)、证明(证明线段相等、证明线段的不等、证明线段的倍分关系、证明两角相等)、作图,且能解决生活实际问题.3.方法规律

应用三角形中位线定理解决问题时,已知条件中往往给出两个中点,若已知条件只给出一个中点,必须要证明另一个点也是中点,才能运用此定理.

当堂训练

1.如果等边三角形的边长为4,那么等边三角形的中位线长为()

(A)2(B)4

(C)6(D)8

2.如图,在平行四边形ABCD中,AD=8,点E,F分别是BD,CD的中点,则EF=.”“

3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=60°,AB=8 cm,E,F分别为边AC,AB的中点.求EF的长.”“

板书设计

平行四边形4

1.平行线等分线段的性质

2.三角形中位线定理

教学反思

课题

矩形

课时

第1课时

上课时间

教学目标

1.知识与技能

(1)掌握矩形的概念和性质;

(2)理解矩形与平行四边形的区别与联系.2.过程与方法

经历探索矩形性质的过程,丰富从事数学活动的经验与体验.3.情感、态度与价值观

通过师生共同活动,促进学生在学习活动中培养合作交流的意识,在独立思考的同时能够认同他人.

教学

重难点

重点:矩形的性质.难点:矩形的性质的灵活应用.

教学活动设计

二次设计

课堂导入

如图,如何推动一个平行四边形木框,使它成为一个矩形?想一想,在推动过程中,原平行四边形的对边、对角、对角线有何变化?

”“

探索新知

合作探究

自学指导

1.阅读教材P86~87,完成下列问题:

(1)矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形,矩形是特殊的平行四边形,除具有一般平行四边形的性质外,矩形还有如下性质:

性质1:矩形的四个角都是直角;

性质2:矩形的对角线相等.(2)直角三角形斜边中线的性质:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.”“

证明如下:对于任一个直角△ABC(其中∠ABC=90°),构造一个长为AB,宽为BC的矩形ABCD,设矩形对角线AC,BD交于O,则AO=OC=BO=OD=”“AC=”“BD.即斜边上中线BO等于斜边AC的一半.2.思考:各个角都相等的多边形是正多边形吗?

合作探究

【例1】 如图,在矩形ABCD中,E,F为边BC上的两点,且BE=CF,连接AF,DE交于点O.求证:△ABF≌△DCE.”“

续表

探索新知

合作探究

”“

【例2】 如图,O是矩形ABCD的对角线AC的中点,M是AD的中点,若AB=5,AD=12,则四边形ABOM的周长为.要求:让学生独立思考,给出答案后再交流,教师参与给予适当指导.教师指导

1.易错点

(1)混淆平行四边形与矩形对角线的性质;

(2)做题时忽略矩形的隐含条件,即四个角都是直角.2.归纳小结

(1)矩形的四个角都是直角,常作为证明或求值的隐含条件;

(2)在直角三角形中遇到斜边中点常作斜边中线,进而可将问题转化为等腰三角形的问题,然后利用等腰三角形“三线合一”的性质解题.3.方法规律

矩形的两条对角线互相平分且相等,即对角线把矩形分成四个等腰三角形,当两条对角线的夹角为60°或120°时,图中有等边三角形,可以利用等边三角形的性质解题.

当堂训练

1.下列性质中,矩形具有但平行四边形不一定具有的是()

(A)对边相等(B)对角相等

(C)对角线相等(D)对边平行

2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10 cm,点D为AB的中点,则CD= cm.”“

”“

3.已知:如图,在矩形ABCD中对角线AC,BD相交于点O,∠AOB=120°,AD=4 cm.(1)判断△AOB的形状;

(2)求对角线的长.

板书设计

矩形1

1.矩形的定义和性质

2.直角三角形斜边上中线的性质

教学反思

课题

矩形

课时

第2课时

上课时间

教学目标

1.知识与技能

(1)理解并掌握矩形的判定方法;

(2)使学生能应用矩形定义、判定等知识,解决简单的证明题和计算题.2.过程与方法

经历探索矩形判定的过程,发展学生实验探索的意识;形成几何分析思路和方法.3.情感、态度与价值观

培养推理能力,会根据需要选择有关的结论证明,体会来自于实践的需要.

教学

重难点

重点:矩形的判定方法.难点:矩形的判定方法的运用.

教学活动设计

二次设计

课堂导入

小明想要做一个矩形相框送给妈妈做生日礼物,于是找来两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条制作,你有什么办法可以检测他做的是否是矩形相框?看看谁的方法可行!

探索新知

合作探究

自学指导

1.阅读教材P88~89,完成下列问题:

(1)矩形的判定定理1:对角线相等的平行四边形是矩形.”“

证明如下:已知:▱ABCD中,AC=BD.求证:▱ABCD是矩形.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC.又∵DC=CD,AC=BD,∴△ADC≌△BCD,∴∠ADC=∠BCD,又∵∠ADC+∠BCD=180°,∴∠ADC=∠BCD=90°,∴▱ABCD是矩形.(2)定理2:三个角是直角的四边形是矩形.”“

2.思考:现在你能回答P88交流中的道理了吗?

合作探究

【例1】 如图,M是▱ABCD的边AD上的中点,且MB=MC,求证:四边形ABCD是矩形.”“

【例2】 已知:如图所示,▱ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E,F,G,H.求证:四边形EFGH是矩形.要求:让学生独立思考,给出答案后再交流,教师参与给予适当指导.

续表

探索新知

合作探究

教师指导

1.易错点

忽略用定义判定一个四边形是矩形必须具备两个条件中的一个:一是有一个角是直角;二是平行四边形.也就是说有一个角是直角的四边形不一定是矩形,必须加上“平行四边形”这个条件,它才是矩形.2.归纳小结

矩形的判定方法

(1)定义法:有一个角是直角的平行四边形是矩形;

(2)方法一:对角线相等的平行四边形是矩形;

(3)方法二:有三个角是直角的四边形是矩形.3.方法规律

矩形的判定通常有两种途径:①先证四边形是平行四边形,再证有一个角是直角或对角线相等;②直接证四边形的三个角是直角.

当堂训练

1.如图,四边形ABCD的对角线互相平分,要使它变为矩形,需要添加的条件是()

”“

(A)AB=CD(B)AD=BC

(C)AB=BC(D)AC=BD

”“

2.如图,∠AOB=90°,在∠AOB内的任意一点P到这个角的两边的距离之和为6,则图中四边形的周长为.3.如图所示,在四边形ABCD中,BE=DF,AC与EF互相平分于点O,∠B=90°.求证:四边形ABCD是矩形.”“

板书设计

矩形2

1.矩形的判定定理1

2.矩形的判定定理2

教学反思

课题

菱形

课时

第1课时

上课时间

教学目标

1.知识与技能

(1)掌握菱形的概念、性质及菱形面积的计算方法;

(2)理解菱形与平行四边形的区别与联系.2.过程与方法

经历探索菱形性质的过程,丰富从事数学活动的经验与体验.3.情感、态度与价值观

通过师生的探究活动促进学生在学习活动中培养合作交流的意识和对他人的认同感.

教学

重难点

重点:菱形的性质.难点:菱形的性质的灵活应用.

教学活动设计

二次设计

课堂导入

1.什么叫做平行四边形?什么叫矩形?平行四边形和矩形之间的关系是什么?

2.怎样改变木框构造,使其成为菱形?

”“

探索新知

合作探究

自学指导

1.阅读教材P90~91,完成下列问题:

(1)菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形,菱形是特殊的平行四边形,它除了具有平行四边形所有性质外,还具有一些特殊性质:

性质1:菱形的四条边都相等.性质2:菱形的对角线互相垂直.(2)菱形面积的求法:菱形的面积=底×高=”“×两对角线乘积.2.思考:菱形是轴对称图形吗?如果是,它有几条对称轴,它的对称轴是什么?如果不是,请说明理由.合作探究

”“

【例1】 如图,在菱形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,连接AE,AF.AE和AF有什么样的数量关系?说明理由.”“

【例2】 如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD相交于点O,且∠ACD=30°,BD=4,求菱形ABCD的面积.要求:让学生独立思考,给出答案后再交流,教师参与给予适当指导.

续表

探索新知

合作探究

教师指导

1.易错点

(1)混淆平行四边形与菱形对角线的性质;

(2)利用对角线求菱形面积时出错,误认为菱形面积等于对角线的乘积.2.归纳小结

(1)菱形的四条边都相等,常作为证明或求值的隐含条件;

(2)菱形是轴对称图形,它的两条对角线所在的直线都是它的对称轴,每条对角线平分一组对角.3.方法规律

菱形的面积计算有如下方法:

(1)一边长与两对边的距离(即菱形的高)的积;

(2)四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的4倍);

(3)两条对角线长度乘积的一半.

当堂训练

1.菱形的一边与两条对角线所成的角的度数的比为1∶2,则菱形中较大的内角是()

(A)150°(B)120°

(C)110°(D)100°

2.如果菱形的边长是2 cm,一条对角线的长也是2 cm,那么该菱形的另一条对角线的长是()

(A)3 cm(B)4 cm

(C)”“cm(D)2”“cm

3.如图所示,在菱形ABCD中,AB=5,对角线AC=6.若过点A作AE⊥BC,垂足为E,求AE的长.”“

板书设计

菱形1

1.菱形的定义与菱形的性质1

2.菱形的性质2

教学反思

课题

菱形

课时

第2课时

上课时间

教学目标

1.知识与技能

(1)理解并掌握菱形的判定方法;

(2)使学生能应用菱形定义、判定等知识,解决简单的证明题和计算题.2.过程与方法

通过探索菱形判定思想的过程,领会菱形的概念以及应用方法,培养学生主动探究的思想和说理的能力.3.情感、态度与价值观

培养推理能力,会根据需要选择有关的结论证明,体会来自于实践的需要.

教学

重难点

重点:菱形的判定方法.难点:菱形的判定方法的运用.

教学活动设计

二次设计

课堂导入

”“

木工在做菱形的窗格时,总是保证四条边框一样长,你知道其中的道理吗?借助以下图形探索:如图,在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA,试说明四边形ABCD是菱形.

探索新知

合作探究

自学指导

1.阅读教材P91~92,完成下列问题:

(1)菱形的判定定理1:四边都相等的四边形是菱形.(2)菱形的判定定理2:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.证明:如图所示,四边形ABCD为平行四边形,所以AO=CO,又∵DB⊥AC,又OD=OD,所以△AOD≌△COD.∴DA=DC,∴四边形ABCD是菱形.2.思考:现在你能解决课堂导入中的问题了吗?

合作探究

”“

【例1】 如图,小聪在作线段AB的垂直平分线时,他是这样操作的:分别以点A和点B为圆心,大于”“AB的长为半径画弧,两弧相交于点C,D,则直线CD即为所求.根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是()

(A)矩形(B)菱形

(C)一般的四边形(D)平行四边形

【例2】 如图所示,▱ABCD的对角线AC的垂直平分线交AD于E,交BC于F,交AC于O,则四边形AECF是菱形吗?为什么?

”“

”“

要求:让学生独立思考,给出答案后再交流,教师参与给予适当指导.

续表

探索新知

合作探究

教师指导

1.易错点

(1)混淆菱形与矩形的判定方法;

(2)错认为对角线互相垂直的四边形是菱形.2.归纳小结

(1)当四边形的条件中存在多个关于边的等量关系时,运用四条边都相等来判定一个四边形是菱形比较方便;

(2)方法一:有一组邻边相等的平行四边形是菱形;

(3)方法二:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.方法规律

判定一个四边形是菱形时,要结合条件灵活选择方法.如果可以证明四条边相等,可直接证出菱形;如果只能证出一组邻边相等或对角线互相垂直,可以尝试证出这个四边形是平行四边形,然后用定义法或判定定理2来证明菱形.

当堂训练

1.顺次连接矩形各边中点所得的四边形是()

(A)矩形(B)平行四边形

(C)菱形(D)都有可能

2.下列图形中,不一定为菱形的是()

(A)两条对角线互相垂直平分的四边形

(B)四条边都相等的四边形

”“

(C)有一条对角线平分一个内角的四边形

(D)用两个边长相等的等边三角形拼成的图案

3.如图所示,四边形ABCD中,E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点.请你添加一个条件,使四边形EFGH为菱形,应添加的条是.4.如图,O为矩形ABCD对角线的交点,DE∥AC,CE∥BD.(1)试判断四边形OCED的形状,并说明理由;

”“

(2)若AB=6,BC=8,求四边形OCED的面积.

板书设计

菱形2

1.菱形的判定定理1

2.菱形的判定定理2

教学反思

课题

正方形

课时

1课时

上课时间

教学目标

1.知识与技能

(1)了解正方形的有关概念,理解并掌握正方形的性质和判定定理;

(2)会利用正方形的性质和判定进行相关的计算和证明.2.过程与方法

通过探索正方形的性质和判定方法,培养学生主动探究的思想.3.情感、态度与价值观

培养推理能力,会根据需要选择有关的结论证明,体会数学知识是来自于实践的需要.

教学

重难点

重点:正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系.难点:正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用.

教学活动设计

二次设计

课堂导入

用一张长方形的纸片(如图所示)折出一个正方形.”“

通过折纸思考:什么样的四边形是正方形?

探索新知

合作探究

自学指导

1.阅读教材P92~93,完成下列问题:

”“

(1)正方形的定义:有一个角是直角,且有一组邻边相等的平行四边形是正方形.正方形与矩形、菱形、平行四边形的关系:正方形即是特殊的矩形,又是特殊的菱形,更是特殊的平行四边形.关系如图:

(2)正方形的性质:

性质1:正方形的四条边都相等,四个角都是直角.性质2:正方形的对角线相等且互相垂直平分.(3)正方形的判定方法:

①有一个内角是直角的菱形是正方形;

②邻边相等的矩形是正方形;

③对角线相等的菱形是正方形;

”“

④对角线相互垂直的矩形是正方形.合作探究

【例1】 在正方形ABCD中,对角线的交点为O,E是OB上的一点,DG⊥AE于G,DG交OA于F.求证:OE=OF.【例2】 求证:矩形的四个角的平分线所围成的四边形是正方形.”“

已知:矩形ABCD,AG,BE,CE,DG分别是四个角的平分线.求证:四边形FGHE是正方形.要求:让学生独立思考,给出答案后再交流,教师参与给予适当指导.

续表

探索新知

合作探究

教师指导

1.易错点

(1)忽略正方形的对称性,它有4条对称轴;

(2)正方形具有菱形和矩形的所有性质,它的对角线把其分成四个全等的等腰直角三角形.2.归纳小结

(1)正方形被对角线分成4个等腰直角三角形,因此在正方形中解决问题时常用到等腰三角形的性质与直角三角形的性质;

(2)在正方形中,常利用对角线互相垂直平分证明线段相等.3.方法规律

正方形的判定方法有很多,可以先证明它是矩形,再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直;或先证明它是菱形,再证明它有一个角是直角或对角线相等.

当堂训练

1.正方形的一条对角线为4,则这个正方形的面积是()

(A)8(B)4”“

(C)8”“(D)16

2.对角线互相垂直平分且相等的四边形一定是()

(A)矩形(B)菱形

”“

(C)正方形(D)不能确定

3.如图所示,已知平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,E是BD延长线上一点,且△ACE是等边三角形.(1)求证:四边形ABCD是菱形;

(2)若∠AED=2∠EAD,求证:四边形ABCD是正方形.

板书设计

正方形

1.正方形的定义及性质

2.正方形的判定方法

教学反思

课题

综合与实践 多边形的镶嵌

课时

1课时

上课时间

教学目标

1.知识与技能

通过探索多边形平面镶嵌,知道三角形、四边形和正六边形可以平面镶嵌,并能运用这几种图形进行简单的镶嵌设计.2.过程与方法

通过探索多边形的平面镶嵌,进一步了解多边形的相关知识;

3.情感、态度与价值观

通过师生共同活动,促进学生在学习活动中培养合作交流的意识和创新能力.

教学

重难点

重点:探究多边形平面镶嵌的条件.难点:用两种正多边形进行平面镶嵌以及平面镶嵌的规律.

教学活动设计

二次设计

课堂导入

下面的图形是由一些地板砖铺成的,请同学们看看它们有什么特点.”“

”“

探索新知

合作探究

自学指导

1.阅读教材P99~100,完成下列问题:

(1)平面镶嵌的概念:

用形状相同或不同的平面封闭图形,覆盖平面区域,使图形间既无缝隙又不重叠地全部覆盖,在几何里面叫做平面镶嵌.(2)平面镶嵌的条件是:必须保证每一个顶点处的几个内角和恰好为一个周角.(不留空隙,不重叠).(3)平面镶嵌的种类:

①单一的正多边形镶嵌:由于正三角形、正方形、正六边形的内角分别为60°,90°,120°,都能被360°整除,所以可以进行平面镶嵌,其他正多边形则不能.②两种或两种以上正多边形镶嵌,以正三角形、正六边形为例,因为4×60°+1×120°=360°或2×60°+2×120°=360°,所以正三角形、正六边形可一起镶嵌.③此外,用全等的许多任意三角形或任意四边形也可进行平面镶嵌.

续表

探索新知

合作探究

合作探究

”“

【例1】 如图是只选用大小相同的正方形在某顶点O周围拼接成的镶嵌图案.判断:若只选用一种大小相同的正多边形,在下列四个选项中,能进行平面镶嵌的是()

(A)正五角形(B)正六边形

(C)正八边形(D)正十边形

【例2】 用正多边形镶嵌,设在一个顶点周围有m个正三角形,n个正六边形,则m,n的值分别为()

(A)0,3(B)4,1(C)2,2(D)2,2或4,1

要求:让学生独立思考,给出答案后再交流,教师参与给予适当指导.教师指导

1.易错点

(1)错认为只有正多边形才能进行平面镶嵌;

(2)用几种多边形进行平面镶嵌时,简单的把多边形的内角相加,而不是把围绕同一顶点的几个内角相加.2.归纳小结

使用给定的某种正多边形,当围绕一个点拼在一起的几个正多边形的内角和为360°时,就可以铺满平面的区域(一部分).否则,就不能作平面镶嵌.3.方法规律

抓住一个拼接点,看几种不同正多边形在同一个拼接点处能否拼出360°.如果要用两种正多边形地砖进行平铺,且在拼接点处不确定两种地砖的个数时,要分情况讨论,对需要的其中一种正多边形,从自然数1开始计算,然后利用360°的周角确定其他正多边形的个数,得出的数值必须是正整数.

当堂训练

1.下列几种形状的瓷砖中,只用一种不能够铺满地面的是()

(A)正六边形(B)正五边形

(C)正方形(D)正三角形

2.用正三角形和正方形地砖镶嵌地面,在每个顶点处需用 个正三角形地砖和 个正方形地砖才可以镶嵌地面.3.现有四种地砖,它们的形状分别是:正三角形、正方形、正六边形、正八边形,且它们的边长都相等.同时,选择其中两种地砖密铺地面,选择方式有多少种?

板书设计

综合与实践 多边形的镶嵌

1.平面镶嵌的定义

2.平面镶嵌的条件

教学反思

第20章 数据的初步分析

主题

数据的初步分析

课型

新授课

上课时间

教学内容

20.1数据的频数分布;20.2数据的集中趋势与离散程度:1.数据的集中趋势;2.数据的离散程度.20.3综合与实践 体重指数(略)

教材分析

本章主要研究平均数(主要是加权平均数)、中位数、众数以及极差、方差等统计量的统计意义,学习如何利用这些统计量分析数据的集中趋势和离散情况,并通过研究如何用样本的平均数和方差估计总体的平均数和方差,进一步体会用样本估计总体的思想.

教学目标

1.知识与技能

理解频数、频率的意义,知道频数和频率都能反映每个对象出现的频繁程度.掌握中位数、众数的概念,会求出一组数据的中位数与众数;能结合具体情境体会平均数、中位数和众数三者的区别,能初步选择恰当的数据代表对数据作出自己的正确评判;了解方差的定义和计算公式,理解方差概念的产生和形成的过程,会用方差计算公式来比较两组数据的波动大小.2.过程与方法

(1)经历数据的收集、整理,描述与分析的过程,进一步发展学生的统计意识和数据处理能力.(2)了解频数分布的意义和作用,会列出频数分布表、制作频数分布直方图.(3)经历数据的收集与处理的过程,发展学生初步的统计意识和数据处理的能力;通过有关平均数问题的解决,发展学生的数学应用能力.(4)通过解决实际问题的过程,区分刻画“平均水平”的三个数据代表,让学生获得一定的评判能力,进一步发展其数学应用能力.(5)经历探索方差的应用过程,体会数据波动中的方差的求法以及区别.3.情感、态度与价值观

通过对数据分析有关统计量的学习,掌握数据分析的常用方法,培养学生的统计意识,形成尊重事实、用数据说话的态度,认识数据处理的实际意义,在学习活动中培养良好的交流合作和主动参与的意识,体会数学在实际生活中的应用.

教学

重难点

重点:

1.频数与频率.2.平均数、中位数和众数.3.方差及其应用.难点:

1.频数分布直方图.2.利用平均数、中位数和众数分析数据的集中趋势.3.利用平均数和方差进行选拔.

知识结构

”“

课题

数据的频数分布

课时

1课时

上课时间

教学目标

1.知识与技能

(1)理解频数、频率的意义,知道频数和频率都能反映每个对象出现的频繁程度.(2)了解频数分布的意义和作用,会列出频数分布表、制作频数分布直方图.2.过程与方法

经历数据的收集、整理,描述与分析的过程,进一步发展学生的统计意识和数据处理能力.3.情感、态度与价值观

在学习活动中培养良好的交流合作和主动参与的意识,体会数学在实际生活中的应用.

教学

重难点

重点:理解掌握频数、频率的概念.难点:会对数据进行分组,制作频数分布表和频数直方图.

教学活动设计

二次设计

课堂导入

某班一次数学测验成绩如下:

53 69 81 61 69 91 78 75 81 81 67 76 81 79 94 61 69 89 70 70 87 88 86 90 88 85 67 71 82 87 75 87 95 53 65 74 77

若想了解大部分同学处于哪个分数段?成绩的整体分布情况如何?你应该怎么做?

探索新知

合作探究

自学指导

自学教材P107~110,回答下列问题:

(1)我们把一批数据中落在某个小组内数据的个数称为这个小组的频数,通常用选举时唱票的方法,对落在各小组内的数据个数进行记录并计算出每一个小组的频数,制成频数分布表.如果一组数据共有n个,而其中某一组数据是m个,那么”“就是该数据在这批数据中出现的频率.(2)绘制频数分布直方图的具体步骤:

①计算这批数据中最大数与最小数的差;

②决定组距和组数;组数=”“;

③决定分点;

④列频数分布表;

⑤画频数分布直方图.合作探究

【例1】 选班长时,欢欢、盈盈、贝贝、晶晶四个同学的得票情况如下表,但黑色部分被马小虎同学不小心洒上了墨水,看不清相关的数据,那么被选上班长的是()

”“

(A)欢欢(B)盈盈

(C)贝贝(D)晶晶

续表

探索新知

合作探究

【例2】 为创建“国家园林城市”,某校举行了以“爱我黄石”为主题的图片制作比赛,评委会对200名同学的参赛作品打分发现,参赛者的成绩x均满足50≤x<100,并制作了频数分布直方图,如图.”“

根据以上信息,解答下列问题:

(1)请补全频数分布直方图;

(2)若依据成绩,采取分层抽样的方法,从参赛同学中抽40人参加图片制作比赛总结大会,则从成绩80≤x<90的选手中应抽多少人?

要求:让学生独立思考,给出答案后再交流,教师参与给予适当指导.教师指导

1.易错点:

(1)混淆频数与某一数据的具体数据;

(2)绘制频数分布直方图时组距与组数设置不合理.2.归纳小结:

(1)频率=频数÷数据总数.能够灵活运用此公式是解题的关键.(2)频率是从0到1之间的数,不能小于0,也不能大于1.3.方法规律:

通过频数分布直方图了解样本的基本情况,然后运用样本估计总体的思想解决实际问题是常用的数学方法.

当堂训练

1.在对n个数据进行整理的频数分布表中,各组的频数之和等于()

(A)n(B)1(C)2n(D)3n

2.在500个数据中,用适当的方法抽取50个为样本进行统计,频率分布表中54.5~57.5这一组的频率(百分比)是0.15,那么估计总体数据在54.5~57.5之间的有()

(A)150个(B)75个(C)60个(D)15个

3.青云中学八年级(1)班的50名学生的年龄情况是:15岁的2人,14岁的45人,13岁的3人,则14岁的频数是 ,频率为.

板书设计

数据的频数分布

1.频数与频率

2.频数分布直方图

教学反思

课题

数据的集中趋势

课时

第1课时

上课时间

教学目标

1.知识与技能

(1)掌握平均数和加权平均数的概念,会求一组数据的平均数和加权平均数.(2)会用平均数和加权平均数解决实际生活中的问题.2.过程与方法

经历数据的收集与处理的过程,发展学生初步的统计意识和数据处理的能力;通过有关平均数问题的解决,发展学生的数学应用能力.3.情感、态度与价值观

通过小组合作活动,培养学生的合作意识;通过解决实际问题,让学生体会数学与生活的密切联系.

教学

重难点

重点:会求加权平均数.难点:对“权”的理解.

教学活动设计

二次设计

课堂导入

某校初二年级共有4个班,在一次数学考试中参考人数和成绩如下:

班级

1班

2班

3班

4班

参考人数

平均成绩

求该校初二年级在这次数学考试中的平均成绩.下述计算方法是否合理?为什么?

探索新知

合作探究

自学指导

1.自学教材P117~120,回答下列问题:

(1)平均数及其计算公式:

平均数=”“,”“=”“(x1+x2+…+xn).(2)加权平均数:”“=”“(f1+f2+…+fk=n,k≤n),其中f1,f2,…,fk分别表示数据x1,x2,…,xk出现的次数,或者表示数据x1,x2,…,xk在总结果中的比重,我们称为各数据的权.”“叫做这n个数据的加权平均数.2.思考:在实际问题应用中如何使平均数不受极端值影响,更能反映选手真实水平.合作探究

【例1】 一个地区某月前两周从星期一到星期五每天的最低气温依次是(单位:℃)x1,x2,x3,x4,x5和x1+1,x2+2,x3+3,x4+4,x5+5,若第一周这五天的平均最低气温为7 ℃,则第二周这五天的平均最低气温为 ℃.

续表

探索新知

合作探究

【例2】 一家公司打算招聘一名部门经理,现对甲、乙两名应聘者从笔试、面试、实习成绩三个方面表现进行评分,笔试占总成绩20%、面试占30%、实习成绩占50%,各项成绩如表所示:

应聘者

笔试

面试

实习

试判断谁会被公司录取,为什么?

要求:让学生独立思考,给出答案后再交流,教师参与给予适当指导.教师指导

1.易错点:

(1)利用公式求平均数时,要数清数据的个数,求数据总和时不要漏加或多加数据;

(2)不理解权的含义,将算术平均数与加权平均数的计算公式混淆.2.归纳小结:

(1)在计算加权平均数时,一定要弄清,各数据的权.算术平均数实质上是各项权相等的加权平均数.(2)数据的权能够反映数据的相对“重要程度”,要突出某个数据,只需要给它较大的“权”,权的差异对结果会产生直接的影响.3.方法规律:

去掉一个最高分和一个最低分,使平均数免受极端值影响,更能反映选手真实水平.

当堂训练

1.若7名学生的体重(单位:kg)分别是40,42,43,45,47,47,58,则这组数据的平均数是()

(A)44(B)45(C)46(D)47

2.如果一组数据6,x,2,4的平均数为5,则数据x为()

(A)8(B)5(C)4(D)3

3.某中学随机调查了50名学生,了解他们一周在校的体育锻炼时间,结果如下表所示:

时间(小时)

人数

求这50名同学这一周在校的平均体育锻炼时间是多少?

板书设计

平均数

1.平均数及加权平均数

2.平均数的应用

教学反思

课题

数据的集中趋势

课时

第2课时

上课时间

教学目标

1.知识与技能

掌握中位数、众数的概念,会求出一组数据的中位数与众数;能结合具体情境体会平均数、中位数和众数三者的区别,能初步选择恰当的数据代表对数据作出自己的正确评判.2.过程与方法

通过解决实际问题的过程,区分刻画“平均水平”的三个数据代表,让学生获得一定的评判能力,进一步发展其数学应用能力.3.情感、态度与价值观

将知识的学习放在解决问题的情境中,通过数据分析与处理,体会数学与现实生活的联系,培养学生求真的科学态度.

教学

重难点

重点:中位数、众数的意义;

难点:能结合平均数、中位数和众数三者的差别,对数据做出初步判断.

教学活动设计

二次设计

课堂导入

小明和小亮是同桌,同时也是学习上的竞争对手,本学期以来的5次数学测试成绩(单位:分)如下:

小明:88,68,88,92,94

小亮:72,85,87,93,93

小明和小亮都认为自己的成绩比对方好,如果你是小明或者小亮,你能说出自己成绩好的理由吗?

探索新知

合作探究

自学指导

1.自学教材P123~127,回答下列问题:

(1)一般地,当将一组数据按大小顺序排列后,位于正中间的一个数据(当数据的个数是奇数时)或正中间的两个数据的平均数(当数据的个数是偶数时)叫做这组数据的中位数.一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数.(2)用样本估计总体:当总体中一些数据难以计算时,我们就可以用样本中对应数据估计总体.2.思考:为什么要用样本平均数估计总体平均数?用样本平均数估计总体平均数,差异较大原因是什么?

合作探究

【例1】 某公司销售部有营销人员15人,销售部为了制定某种商品的销售量,统计了这15个人的销售量如下(单位:件):800,510,250,250,210,250,210,210,150,210,150,120,120,210,150.求这15个销售员该月销量的中位数和众数.假设销售部负责人把每位营销员的月销售定额定为320件,你认为合理吗?如果不合理,请你制定一个合理的销售量并说明理由.

续表

探索新知

合作探究

【例2】 为了估计鱼塘中鱼的条数,养鱼者首先从鱼塘中打捞30条鱼做上标记,然后放归鱼塘,经过一段时间,等有标记的鱼完全混合于鱼群中,再打捞200条鱼,发现其中带标记的鱼有5条,则鱼塘中估计有 条鱼.要求:让学生独立思考,给出答案后再交流,教师参与给予适当指导.教师指导

1.易错点:

(1)当数据个数为偶数个时,求错中位数;

(2)求众数错把该写的是数据写成该数据的权.2.归纳小结:

(1)在确定中位数的时候应该先排序,然后再确定数据.(2)用样本平均数估计总体平均数,如果样本容量太小,往往差异较大.3.方法规律:

平均数能充分利用数据提供的信息,但易受极端值影响;中位数代表了这组数据数值大小的“中点”,不受极端值影响,众数反映一组数据中出现次数最多的数据,它们均不能充分利用数据信息,但有时比平均数更能反映问题.

当堂训练

1.气候宜人的省级度假旅游胜地吴川吉兆,测得一至五月份的平均气温分别为17,17,20,22,24(单位:℃),这组数据的中位数是()

(A)24(B)22(C)20(D)17

2.某校七年级共320名学生参加数学测试,随机抽取50名学生的成绩进行统计,其中15名学生成绩达到优秀,估计该校七年级学生在这次数学测试中达到优秀的人数有()

(A)50人(B)64人(C)90人(D)96人

3.从鱼塘打捞草鱼240尾,从中任选9尾,称得每尾的质量(单位:kg)分别是1.5,1.6,1.4,1.6,1.2,1.7,1.8,1.3,1.4.依此估计这240尾草鱼的总质量有 kg.4.某瓜农采用大棚栽培技术种植了一亩地的良种西瓜,这亩地产西瓜约600个,在西瓜上市前该瓜农随机摘下10个成熟的西瓜,称重如下:

西瓜质量/千克

5.5

5.4

5.0

4.9

4.6

西瓜数量/个

计算这10个西瓜的平均质量,并根据计算结果估计这亩地的西瓜产量是多少?

板书设计

中位数和众数

1.中位数和众数

2.中位数和众数的作用

3.用样本平均数估计总体平均数

教学反思

课题

数据的离散程度

课时

1课时

上课时间

教学目标

1.知识与技能

(1)了解方差的定义和计算公式,理解方差概念的产生和形成的过程;

(2)会用方差计算公式来比较两组数据的波动大小.2.过程与方法

经历探索方差的应用过程,体会数据波动中的方差的求法以及区别.3.情感、态度与价值观

培养学生的统计意识,形成尊重事实、用数据说话的态度,认识数据处理的实际意义.

教学

重难点

重点:理解方差的概念与作用.难点:理解方差公式,应用方差对数据波动情况的比较、判断.

教学活动设计

二次设计

课堂导入

甲、乙二人在一次射击比赛中,各打了6发子弹,成绩如下:

甲:9.8,9.7,9.8,9.8,9.8,9.9

乙:9.6,9.7,10,9.8,9.9,9.8

两人射击的平均成绩是怎样的?从射击成绩稳定性上看,谁的成绩更稳定?

探索新知

合作探究

自学指导

1.自学教材P129~131,回答下列问题:

(1)设一组数据是x1,x2,x3,…,xn,它们的平均数是x,我们用s2=”“[(x1-x)2+(x2-x)2+…+(xn-x)2]来衡量这组数据的离散程度,并把它叫做这组数据的方差.(2)方差的作用是衡量一组数据的离散程度,从而比较谁波动更小.2.思考:如果一组数据全部相等(没有波动),那么这组数据的方差是多少?

合作探究

【例1】 如果给定数组中每一个数都减去同一非零常数,则数据的()

(A)平均数改变,方差不变

(B)平均数改变,方差改变

(C)平均数不变,方差不变

(D)平均数不变,方差改变

【例2】 段巍和金志强两人参加体育项目训练,近期的5次测试成绩如下表所示,谁的成绩比较稳定?为什么?

测试次数

段巍

金志强

要求:让学生独立思考,给出答案后再交流,教师参与给予适当指导.续表

探索新知

合作探究

教师指导

1.易错点:

(1)计算方差时忘记除以总数n;

(2)不理解方差的作用,一组数据方差越大,说明这组数据离散程度越大,方差越小,说明离散程度越小.2.归纳小结:

(1)方差是统计学中非常重要的一个特征数,当两组数据的平均数相同或接近时,通常比较两组数据的方差来判断数据的稳定性;

(2)方差越大,数据的稳定性越差;方差越小,数据的稳定性越好;

(3)用样本方差估计总体方差,在平均数相同情况下,方差越大,意味着数据对平均数的离散程度也越大.3.方法规律:

将一组数据同时加上或减去k(没有改变原数据离散程度),方差不变,若同时乘以或除以k,则方差乘以或除以k2.

当堂训练

1.如果一组数据x1,x2,…,xn的方差是4,则另一组数据x1+3,x2+3,…,xn+3的方差是()

(A)4(B)7

(C)8(D)19

2.已知一个样本:1,3,5,x,2,它的平均数为3,则这个样本的方差是.3.水稻种植是嘉兴的传统农业.为了比较甲、乙两种水稻的长势,农技人员从两块试验田中,分别随机抽取5棵植株,将测得的苗高数据绘制成图:请你根据统计图所提供的数据,计算平均数和方差,并比较两种水稻的长势.”“

板书设计

方差

1.方差的作用及计算

2.方差的应用

教学反思

20.3综合与实践 体重指数(略)

教材典题变式

第16章 二次根式
16.1 二次根式

变式1:代数式”“有意义,则x的取值范围是(A)

(A)x≥-1且x≠1(B)x≠1

(C)x≥1且x≠-1(D)x≥-1

解析:根据题意可知x+1≥0且x-1≠0,解得x≥-1且x≠1.故选A.变式2:计算:

(1)(”“)2;(2)(-”“)2;(3)(2”“)2;

(4)”“;(5)”“;(6)-”“.解:(1)(”“)2=0.3.(2)(-”“)2=(-1)2×(”“)2=13.(3)(2”“)2=22×(”“)2=12.(4)”“=2.(5)”“=”“-”“”“=”“.(6)-”“=-|-π|=-π.变式3:先化简,再求值:a+”“,其中a=-2或3.解:a+”“=a+”“=a+|a+1|,当a=-2时,原式=-2+|-2+1|=-2+1=-1;

当a=3时,原式=3+|3+1|=3+4=7.

16.2 二次根式的运算
第1课时

变式1:计算:

(1)”“×”“;

(2)9”“×”“-”“”“;

(3)”“×2”“×”“-”“”“;

(4)2a”“·”“-”“·”“(a≥0,b≥0).解:(1)原式=”“=”“.(2)原式=-”“”“”“”“=-”“=-27”“.(3)原式=-”“”“”“”“=-”“=-”“.(4)原式=-2a×”“=-16a3b.变式2:计算:

(1)”“;(2)”“;(3)”“;

(4)”“÷”“-”“”“(a>0,b>0).解:(1)”“=”“=”“=”“.(2)”“=”“

=”“=”“.(3)”“=”“

=”“=”“.(4)”“÷”“-”“”“

=”“×”“-”“”“”“

=-”“

=-”“.

第2课时

变式:计算:

(1)”“-”“-”“;

(2)”“-3”“+3x”“;

(3)3”“-”“+2”“-”“;

解:(1)原式=2”“-”“-”“=0.(2)原式=3”“-”“+3”“=5”“.(3)原式=”“-3”“+4”“-”“=”“.

第3课时

变式1:计算:

(1)”“÷”“-”“×”“+”“;

(2)”“÷”“×”“-”“.解:(1)原式=”“-”“+”“=4-”“+2”“=4+”“.(2)原式=”“×”“-5”“

=”“×”“-5”“

=”“×”“-5”“

=”“-5”“

=-”“.变式2:计算:

(1)(”“+”“)(”“-”“);

(2)(3”“-2”“)2-(3”“+2”“)2.解:(1)(”“+”“)(”“-”“)=(”“)2-(”“)2=5-3=2.(2)(3”“-2”“)2-(3”“+2”“)2=(3”“-2”“+3”“+2”“)(3”“-2”“-3”“-2”“)=-24”“.

第17章 一元二次方程
17.1 一元二次方程

变式1:下列方程中,是一元二次方程的是 ①②④⑥(填入序号即可).①”“-y=0;②2x2-x-3=0;③”“=3;

④x2=2+3x;⑤x3-x+4=0;⑥t2=2;

⑦x2+3x-”“=0;⑧”“=2.变式2:把下列方程转化成一元二次方程的一般形式,并指出二次项系数、一次项系数和常数项.(1)x(x-2)=4x2-3x;

(2)”“-”“=”“;

(3)关于x的方程mx2-nx+mx+nx2=q-p(m+n≠0).解:(1)去括号,得x2-2x=4x2-3x.移项、合并同类项,得3x2-x=0.二次项系数为3,一次项系数为-1,常数项为0.(2)去分母,得2x2-3(x+1)=3(-x-1).去括号、移项、合并同类项,得2x2=0.二次项系数为2,一次项系数为0,常数项为0.(3)移项、合并同类项,得(m+n)x2+(m-n)x+p-q=0.二次项系数为m+n,一次项系数为m-n,常数项为p-q.变式3:已知关于x的一元二次方程x2+mx+3=0的一个解是x=1,求m的值.解:根据方程的解的定义,将x=1代入原方程,得12+m×1+3=0,解得m=-4,即m的值为-4.

17.2 一元二次方程的解法
第1课时

变式1:用直接开平方法解下列方程:

(1)x2-16=0;(2)3x2-27=0;

(3)(x-2)2=9;(4)(2y-3)2=16.解:(1)移项,得x2=16.根据平方根的定义,得x=±4,即x1=4,x2=-4.(2)移项,得3x2=27.两边同时除以3,得x2=9.根据平方根的定义,得x=±3,即x1=3,x2=-3.(3)根据平方根的定义,得x-2=±3,即x-2=3或x-2=-3,即x1=5,x2=-1.(4)根据平方根的定义,得2y-3=±4,即2y-3=4或2y-3=-4,即y1=”“,y2=-”“.变式2:用配方法解下列方程:

(1)x2-2x-35=0;

(2)3x2+8x-3=0.解:(1)移项,得x2-2x=35.配方,得x2-2x+12=35+12,即(x-1)2=36.直接开平方,得x-1=±6.所以原方程的根是x1=7,x2=-5.(2)方程两边同时除以3,得x2+”“x-1=0.移项,得x2+”“x=1.配方,得x2+”“x+”“”“”“2=1+”“”“”“2,即”“x+”“”“2=”“”“”“2.直接开平方,得x+”“”“.所以原方程的根是x1=”“,x2=-3.变式3:请用配方法说明:不论x取何值,代数式x2-5x+7的值恒为正.解:因为x2-5x+7=x2-5x+”“”“”“2+7-”“”“”“2=”“x-”“”“2+”“,而”“x-”“”“2≥0,所以”“x-”“”“2+”“”“.所以代数式x2-5x+7的值恒为正.

第2课时

变式1:方程3x2-8=7x化为一般形式是 3x2-7x-8=0 ,其中a= 3 ,b=-7 ,c=-8 ,方程的根为 x=”“.变式2:用公式法解下列方程:

(1)-3x2-5x+2=0;

(2)2x2+3x+3=0.解:(1)将-3x2-5x+2=0两边同乘以-1得3x2+5x-2=0.因为a=3,b=5,c=-2,所以b2-4ac=52-4×3×(-2)=49>0,所以x=”“=”“,所以x1=”“,x2=-2.(2)因为a=2,b=3,c=3,所以b2-4ac=32-4×2×3=9-24=-15<0,所以原方程没有实数根.

第3课时

变式1:方程3x(x+1)=3x+3的解为(D)

(A)x=1(B)x=-1

(C)x1=0,x2=-1(D)x1=1,x2=-1

变式2:用因式分解法解下列方程:

(1)x2+5x=0;

(2)(x-5)(x-6)=x-5.解:(1)原方程转化为x(x+5)=0,所以x=0或x+5=0,所以原方程的解为x1=0,x2=-5.(2)原方程转化为(x-5)(x-6)-(x-5)=0,所以(x-5)[(x-6)-1]=0,所以(x-5)(x-7)=0,所以x-5=0或x-7=0,所以原方程的解为x1=5,x2=7.变式3:用公式法分解因式解下列方程:

(1)x2-6x=-9;

(2)4(x-3)2-25(x-2)2=0.解:(1)原方程可变形为x2-6x+9=0,则(x-3)2=0,所以x-3=0,所以原方程的解为x1=x2=3.(2)[2(x-3)]2-[5(x-2)]2=0,[2(x-3)+5(x-2)][2(x-3)-5(x-2)]=0,(7x-16)(-3x+4)=0,所以7x-16=0或-3x+4=0,所以原方程的解为x1=”“,x2=”“.

17.3 一元二次方程根的判别式

变式1:一元二次方程x2-4x+4=0的根的情况是(B)

(A)有两个不相等的实数根

(B)有两个相等的实数根

(C)有一个实数根

(D)无实数根

变式2:关于x的方程(a-5)x2-4x-1=0有实数根,则a满足的条件是 a≥1.变式3:是否存在这样的非负整数m,使关于x的一元二次方程m2x2-(2m-1)x+1=0有两个不相等的实数根?若存在,请求出m的值;若不存在,请说明理由.解:不存在,理由如下:

假设m2x2-(2m-1)x+1=0有两个不相等的实数根,则[-(2m-1)]2-4m2>0,解得m<”“.因为m为非负整数,所以m=0.而当m=0时,原方程m2x2-(2m-1)x+1=0是一元一次方程,只有一个实数根,与假设矛盾.所以不存在这样的非负整数,使原方程有两个不相等的实数根.

*17.4 一元二次方程根与系数的关系

变式1:不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积:

(1)x2+2x+1=0;

(2)2x2+3=7x2+x;

(3)5x-5=6x2-4.解:(1)x1+x2=-2,x1x2=1.(2)x1+x2=-”“,x1x2=-”“.(3)x1+x2=”“,x1x2=”“.变式2:已知方程5x2+kx-6=0的一个根为2,求它的另一个根及k的值.解:设方程的另一个根是x1,则2x1=-”“,所以x1=-”“.又因为x1+2=-”“,所以-”“+2=-”“,所以k=-7.变式3:已知α,β是关于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2=0的两个不相等的实数根,且满足”“+”“=-1,求m的值.解:因为α,β是方程的两个不相等的实数根,所以α+β=-(2m+3),αβ=m2.又因为”“+”“=”“=”“=-1,化简整理,得m2-2m-3=0.解得m=3或m=-1.当m=-1时,方程为x2+x+1=0,此时Δ=12-4<0,方程无解,所以m=-1舍去.当m=3时,方程为x2+9x+9=0,此时Δ=92-4×9>0,方程有两个不相等的实数根.综上所述,m=3.

17.5 一元二次方程的应用

变式1:某商场今年1月份的销售额为60万元,2月份的销售额下降10%,改进经营管理后月销售额大幅度上升,到4月份销售额已达到121.5万元,求3,4月份销售额的月平均增长率.解:设3,4月份销售额的月平均增长率为x.根据题意,得60(1-10%)(1+x)2=121.5,则(1+x)2=2.25,解得x1=0.5,x2=-2.5(不合题意,舍去).答:3,4月份销售额的月平均增长率为50%.变式2:某超市将进价为40元的商品按定价50元出售时,能卖500件.已知该商品每涨价1元,销售量就会减少10件,为获得8 000元的利润,且尽量减少库存,售价应为多少?

解:设每件商品涨价x元,根据题意,得

(50+x-40)(500-10x)=8 000,即x2-40x+300=0.解得x1=10,x2=30.经检验,x1=10,x2=30都是原方程的解.当x=10时,售价为10+50=60(元),销售量为500-10×10=400(件);

当x=30时,售价为30+50=80(元),销售量为500-10×30=200(件).因为要尽量减少库存,”“

所以取x=10,此时售价应为60元.变式3:某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室,要求长与宽的比为2∶1.在温室内,沿前侧内墙保留3 m宽的空地,其他三侧内墙各保留1 m宽的通道.当矩形温室的长与宽各为多少时,蔬菜种植区域的面积是288 m2?

解:设矩形温室的宽为x m,则长为2x m.根据题意,得(x-2)·(2x-4)=288.解得x1=-10(不合题意,舍去),x2=14.所以x=14,2x=2×14=28.答:当矩形温室的长为28 m,宽为14 m时,蔬菜种植区域的面积是288 m2.变式4:为了保护环境,充分利用水资源,某市经过“调整水费听证会”讨论后决定:水费由过去每立方米1.8元调整为2.1元,并提出“超额高费措施”,即每户每月定额用水不超过12 m3,超过12 m3的部分,另加收每立方米2元的高额排污费.(1)某户居民响应节水号召,计划月平均用水量比过去少3 m3,这使得260 m3的水比过去多用半年,问这户居民计划月平均用水量是多少立方米?

(2)如果该户居民响应节水号召后,在一年中实际有四个月的月平均用水量超过计划月平均用水量的40%,其余八个月按计划用水,那么按照新交费法,该户居民一年需要交水费多少元?

解:(1)这户居民计划平均每月用水x m3.由题意,得”“-”“=6.去分母,化简得x2+3x-130=0,解得x1=10,x2=-13.经检验,x1,x2都是原方程的根,但x=-13不合实际,舍去,取x=10.答:这户居民计划平均每月用水10 m3.(2)该户居民有四个月的月平均用水量为10(1+40%)=14(m3),需交水费[14×2.1+(14-12)×2]×4=133.6(元),其余八个月需交水费10×2.1×8=168(元).所以该户居民一年需交水费为133.6+168=301.6(元).答:该户居民一年需交水费301.6元.

第18章 勾股定理
18.1 勾股定理
第1课时

变式1:作8个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,再做三个边长分别为a,b,c的正方形,将它们象如图所示拼成两个正方形.求证:a2+b2=c2.”“”“

证明:由图易知,这两个正方形的边长都是a+b,所以它们的面积相等.左边的正方形面积可表示为a2+b2+”“ab×4,”“

右边的正方形面积可表示为c2+”“ab×4.因为a2+b2+”“ab×4=c2+”“ab×4,所以a2+b2=c2.变式2:如图,△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的平分线.已知AB=5,AD=3,则BC的长为(C)

(A)5(B)6(C)8(D)10

”“

变式3:如图,已知在△ABC中,∠ACB=90°,AB=5 cm,BC=3 cm,CD⊥AB交AB于点D,求CD的长.解:因为在△ABC中,∠ACB=90°,AB=5 cm,BC=3 cm,所以由勾股定理得AC2=AB2-BC2=52-32=42,所以AC=4 cm.又因为S△ABC=”“AB·CD=”“AC·BC,所以CD=”“=”“=”“(cm),故CD的长是”“cm.

”“

第2课时

第2课时

变式1:如图,有两棵树,一棵高12米,另一棵高6米,两树相距8米.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,问小鸟至少飞行 10 米.”“

解:在Rt△ABC中,BC=13 m,AC=5 m,则AB=”“=12 m,6秒后,BC=10 m,则AB=”“=5”“m,则船向岸边移动距离为(12-5”“)m.”“

变式3:如图,在树上距地面10 m的D处有两只猴子,它们同时发现地面上C处有一筐水果,一只猴子从D处向上爬到树顶A处,然后利用拉在A处的滑绳AC滑到C处,另一只猴子从D处先滑到地面B,再由B跑到C,已知两猴子所经过的路程都是15 m,求树高AB.解:Rt△ABC中,∠B=90°,设BC=a m,AC=b m,AD=x m,则10+a=x+b=15.所以a=5,b=15-x.又在Rt△ABC中,由勾股定理得(10+x)2+a2=b2,所以(10+x)2+52=(15-x)2,解得x=2,即AD=2 m,所以AB=AD+DB=2+10=12(m).答:树高AB为12 m.

18.2 勾股定理的逆定理

变式1:三角形的边长之比为:①1.5∶2∶2.5;②4∶7.5∶8.5;③1∶”“∶2;④3.5∶4.5∶5.5.其中可以构成直角三角形的有(C)

(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个

变式2:判断满足下列条件的三角形是否是直角三角形.(1)在△ABC中,∠A=20°,∠B=70°;

(2)在△ABC中,AC=7,AB=24,BC=25;

(3)△ABC的三边长a,b,c满足(a+b)(a-b)=c2.解:(1)在△ABC中,因为∠A=20°,∠B=70°,所以∠C=180°-∠A-∠B=90°,即△ABC是直角三角形.(2)因为AC2+AB2=72+242=625,BC2=252=625,所以AC2+AB2=BC2.根据勾股定理的逆定理可知,△ABC是直角三角形.(3)因为(a+b)(a-b)=c2,所以a2-b2=c2,即a2=b2+c2.根据勾股定理的逆定理可知,”“

△ABC是直角三角形.变式3:如图所示,已知AD是△ABC边BC上的中线,BC=10 cm,AC=4 cm,AD=3 cm,求S△ABC.解:过点A作AE⊥BC交BC于点E.因为AD是△ABC的中线,所以CD=”“BC=”“×10=5(cm).”“

因为CD2=52=25,AD2+AC2=32+42=25,所以AD2+AC2=CD2,所以△DAC是直角三角形.因为S△ADC=”“AD·AC=”“DC·AE,所以AE=”“=”“=”“(cm).所以S△ABC=”“BC·AE=”“×10×”“=12(cm2).

第19章 四边形
19.1 多边形的内角和

变式1:五边形ABCDE中,从顶点A最多可引 2 条对角线,可以把这个五边形分成 3 个三角形.若一个多边形的边数为n,则从一个顶点最多可引 n-3 条对角线.变式2:若一个多边形的内角和是其外角和的3倍,求这个多边形的边数.解:设多边形的边数为n,根据题意,得(n-2)·180=3×360,解得n=8.则这个多边形的边数是8.变式3:一个正多边形的每个外角都等于与它相邻的内角的”“,求这个正多边形的边数.解:设正多边形的边数为n,则它的每个外角为”“,每个内角为”“,那么”“=”“×”“,解得n=7.答:这个正多边形的边数是7.

19.2平行四边形

”“

第1课时

第1课时

变式1:如图,平行四边形ABCD中,CE⊥AB于E,若∠A=125°,则∠BCE的度数为(A)

(A)35°(B)55°(C)25°(D)30°

”“

变式2:如图,在△ABC中,AB=AC=5,点D,E,F分别是AC,BC,BA延长线上的点,四边形ADEF为平行四边形,DE=2,则AD= 7.变式3:如图,已知l1∥l2,点E,F在l1上,点G,H在l2上.求证:△EGO与△FHO面积相等.证明:因为l1∥l2,所以点E,F到l2之间的距离都相等,设为h.”“

所以S△EGH=”“GH·h,S△FGH=”“GH·h,所以S△EGH=S△FGH,所以S△EGH-S△GOH=S△FGH-S△GOH,所以△EGO的面积等于△FHO的面积.

第2课时

”“

变式1:如图,在▱ABCD中,已知∠ODA=90°,AC=10 cm,BD=6 cm,则AD的长为(A)

(A)4 cm(B)5 cm

(C)6 cm(D)8 cm

”“

变式2:如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,EF过点O与AB,CD分别相交于点E,F.求证:OE=OF.证明:因为四边形ABCD是平行四边形,所以OD=OB,DC∥AB,所以∠FDO=∠EBO.在△DFO和△BEO中,”“

所以△DFO≌△BEO(ASA),所以OE=OF.变式3:在▱ABCD中,(1)如图①,O为对角线BD,AC的交点.求证:S△ABO=S△CBO;

(2)如图②,设P为对角线BD上任一点(点P与点B,D不重合),S△ABP与S△CBP仍然相等吗?若相等,请证明;若不相等,请说明理由.”“”“

(1)证明:在▱ABCD中,AO=CO,设点B到AC的距离为h,则S△ABO=”“AO·h,S△CBO=”“CO·h,所以S△ABO=S△CBO.(2)解:仍然相等.证明如下:连接AC交BD于点O.在▱ABCD中,AO=OC,由(1)可得S△ABO=S△BCO,S△APO=S△CPO,所以S△ABO-S△APO=S△BCO-S△CPO,所以S△ABP=S△CBP.

第3课时

”“

变式1:如图,E,F是四边形ABCD的对角线AC上的两点,AF=CE,DF=BE,DF∥BE,四边形ABCD是平行四边形吗?请说明理由.解:四边形ABCD是平行四边形.理由如下:因为DF∥BE,所以∠AFD=∠CEB.又因为AF=CE,DF=BE,所以△AFD≌△CEB(SAS),所以AD=CB,∠DAF=∠BCE,所以AD∥CB,所以四边形ABCD是平行四边形.”“

变式2:如图,在△ABC中,分别以AB,AC,BC为边在BC的同侧作等边△ABD,等边△ACE、等边△BCF.试探究四边形DAEF是平行四边形.解:因为△ABD和△FBC都是等边三角形,所以∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠ABF=60°,所以∠DBF=∠ABC.又因为BD=BA,BF=BC,所以△ABC≌△DBF,所以AC=DF.又因为△ACE是等边三角形,所以AC=AE,所以AC=DF=AE.同理可证△ABC≌△EFC,所以AB=EF=AD,所以四边形DAEF是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形).”“

变式3:已知,如图,AB,CD相交于点O,AC∥DB,AO=BO,E,F分别是OC,OD的中点.求证:

(1)△AOC≌△BOD;

(2)四边形AFBE是平行四边形.证明:(1)因为AC∥BD,所以∠C=∠D.在△AOC和△BOD中,”“

所以△AOC≌△BOD(AAS).(2)因为△AOC≌△BOD,所以CO=DO.因为E,F分别是OC,OD的中点,所以OF=”“OD,OE=”“OC,所以EO=FO.又因为AO=BO.所以四边形AFBE是平行四边形.

第4课时

”“

变式1:如图,在△ABC中,D,E分别为AC,BC的中点,AF平分∠CAB,交DE于点F.若DF=3,则AC的长为(C)

(A)”“(B)3

(C)6(D)9

”“

变式2:如图所示,吴伯伯家有一块等边三角形的空地ABC,点E,F分别是边AB,AC的中点,量得EF=5 m.他想把四边形BCFE用篱笆围成一圈放养小鸡,则需要篱笆的长度是(C)

(A)15 m(B)20 m(C)25 m(D)30 m

变式3:如图,在△ABC中,AB=5,AC=3,点N为BC的中点,AM平分∠BAC,CM⊥AM,垂足为点M,延长CM交AB于点D,求MN的长.”“

解:因为AM平分∠BAC,CM⊥AM,所以∠DAM=∠CAM,∠AMD=∠AMC.在△AMD与△AMC中,”“

所以△AMD≌△AMC(ASA),所以AD=AC=3,DM=CM.因为BN=CN,所以MN为△BCD的中位线,所以MN=”“BD=”“(AB-AD)=”“(AB-AC)=”“(5-3)=1.

19.3矩形、菱形、正方形
1 矩 形
第1课时

”“

变式1:如图所示,矩形ABCD的两条对角线相交于点O,∠AOD=60°,AD=2,则AC的长是(B)

(A)2(B)4

(C)2”“(D)4”“

”“

变式2:如图,已知矩形ABCD中,E是AD上的一点,F是AB上的一点,EF⊥EC,且EF=EC,DE=4 cm,矩形ABCD的周长为32 cm,求AE的长.解:因为四边形ABCD是矩形,所以∠A=∠D=90°,所以∠CED+∠ECD=90°.又因为EF⊥EC,所以∠AEF+∠CED=90°,所以∠AEF=∠ECD.而EF=EC,所以△AEF≌△DCE,所以AE=CD.设AE=x cm,所以CD=x cm,AD=(x+4)cm,则有2(x+4+x)=32,解得x=6.即AE的长为6 cm.”“

变式3:如图,已知BD,CE是△ABC不同边上的高,点G,F分别是BC,DE的中点,试说明GF⊥DE.解:连接EG,DG.因为BD,CE是△ABC的高,”“

所以∠BDC=∠BEC=90°.因为点G是BC的中点,所以EG=”“BC,DG=”“BC,所以EG=DG.又因为点F是DE的中点,所以GF⊥DE.

第2课时

”“

变式1:四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AD∥BC,AC=BD.试添加一个条件 AB∥CD(答案不唯一),使四边形ABCD为矩形.”“

变式2:如图所示,矩形ABCD的对角线相交于点O,点E,F,G,H分别是AO,BO,CO,DO的中点,请问四边形EFGH是矩形吗?请说明理由.解:四边形EFGH是矩形.理由如下:

因为四边形ABCD是矩形,所以AC=BD,AO=BO=CO=DO.因为点E,F,G,H分别是AO,BO,CO,DO的中点,所以EO=FO=GO=HO.所以OE=OG,OF=OH.所以四边形EFGH是平行四边形.因为EO+GO=FO+HO,即EG=FH,所以四边形EFGH是矩形.变式3:已知O为四边形ABCD对角线的交点,下列条件能使四边形ABCD成为矩形的是(D)

(A)OA=OC,OB=OD

(B)AC=BD

(C)AC⊥BD

(D)∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°

”“

变式4:如图,GE∥HF,直线AB与GE交于点A,与HF交于点B,AC,BC,BD,AD分别是∠EAB,∠FBA,∠ABH,∠GAB的平分线.求证:四边形ADBC是矩形.证明:因为GE∥HF,所以∠GAB+∠ABH=180°.因为AD,BD分别是∠GAB,∠ABH的平分线,”“

所以∠1=”“∠GAB,∠4=”“∠ABH,所以∠1+∠4=”“(∠GAB+∠ABH)=”“×180°=90°,所以∠ADB=180°-(∠1+∠4)=90°.同理可得∠ACB=90°.又因为∠ABH+∠FBA=180°,∠4=”“∠ABH,∠2=”“∠FBA,所以∠2+∠4=”“(∠ABH+∠FBA)=”“×180°=90°,即∠DBC=90°.所以四边形ADBC是矩形.

2 菱 形
第1课时

”“

变式1:如图所示,在菱形ABCD中,已知∠A=60°,AB=5,则△ABD的周长是(C)

(A)10(B)12

(C)15(D)20

变式2:如图所示,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,BD=12 cm,AC=6 cm,求菱形的周长.”“

解:因为四边形ABCD是菱形,所以AC⊥BD,AO=”“AC,BO=”“BD.因为AC=6 cm,BD=12 cm,所以AO=3 cm,BO=6 cm.在Rt△ABO中,由勾股定理,得

AB=”“=”“=3”“(cm).所以菱形的周长为4AB=4×3”“=12”“(cm).变式3:如图所示,在菱形ABCD中,点O为对角线AC与BD的交点,且在△AOB中,AB=13,OA=5,OB=12.求菱形ABCD两对边的距离h.”“

解:在Rt△AOB中,AB=13,OA=5,OB=12,即S△AOB=”“OA·OB=”“×5×12=30,所以S菱形ABCD=4S△AOB=4×30=120.又因为菱形两组对边的距离相等,所以S菱形ABCD=AB·h=13h,所以13h=120,得h=”“.

第2课时

”“

变式1:如图,将△ABC沿BC方向平移得到△DCE,连接AD,下列条件中能够判定四边形ACED为菱形的是(B)

(A)AB=BC

(B)AC=BC

(C)∠B=60°

(D)∠ACB=60°

”“

变式2:如图所示,在△ABC中,∠B=90°,AB=6 cm,BC=8 cm.将△ABC沿射线BC方向平移10 cm,得到△DEF,A,B,C的对应点分别是D,E,F,连接AD.求证:四边形ACFD是菱形.证明:由平移的性质得

CF=AD=10 cm,DF=AC.因为∠B=90°,AB=6 cm,BC=8 cm,所以AC=”“=”“=10(cm),所以AC=DF=AD=CF=10 cm,所以四边形ACFD是菱形.”“

变式3:如图所示,▱ABCD的对角线BD的垂直平分线与边AB,CD分别交于点E,F.求证:四边形DEBF是菱形.证明:因为四边形ABCD是平行四边形,所以AB∥DC.所以∠FDO=∠EBO.又因为EF垂直平分BD,所以OB=OD.在△DOF和△BOE中,”“

所以△DOF≌△BOE(ASA).所以OF=OE.所以四边形DEBF是平行四边形.又因为EF⊥BD,所以四边形DEBF是菱形.

3 正方形

”“

变式1:如图,已知E点在正方形ABCD的边BC的延长线上,且CE=AC,AE与CD相交于点F,则∠AFC= 112.5°.变式2:如图,正方形ABCD的边长为1 cm,AC为对角线,AE平分∠BAC,EF⊥AC,求BE的长.”“

解:因为四边形ABCD为正方形,所以∠B=90°,∠ACB=45°,AB=BC=1 cm.因为EF⊥AC,所以∠EFA=∠EFC=90°.又因为∠ECF=45°,所以△EFC是等腰直角三角形,所以EF=FC.因为∠BAE=∠FAE,∠B=∠EFA=90°,AE=AE,所以△ABE≌△AFE,所以AB=AF=1 cm,BE=EF.所以FC=BE.在Rt△ABC中,AC=”“=”“=”“(cm),所以FC=AC-AF=(”“-1)cm,所以BE=(”“-1)cm.”“

变式3:已知在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°,如果添加一个条件,即可推出该四边形是正方形,那么这个条件可以是(D)

(A)∠D=90°(B)AB=CD

(C)AD=BC(D)BC=CD

”“

变式4:已知:如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC,∠ABC的平分线交于点D,DE⊥BC于点E,DF⊥AC于点F.求证:四边形CEDF是正方形.证明:过点D作DG⊥AB于点G.因为DF⊥AC,DE⊥BC,所以∠DFC=∠DEC=90°.又因为∠C=90°,所以四边形CEDF是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形).因为AD平分∠BAC,DF⊥AC,DG⊥AB,所以DF=DG.同理可得DE=DG,所以DE=DF.所以四边形CEDF是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形).

19.4 综合与实践

变式1:请欣赏下列图案,并观察每一种图案是由哪一种或几种正多边形镶嵌而成的.”“

答:(1)正六边形;(2)正方形;(3)正六边形、正三角形、正方形.变式2:用正五边形能作平面镶嵌吗?为什么?

解:用正五边形不能作平面镶嵌.理由如下:

”“

因为正五边形的内角和为

(5-2)×180°=540°,所以每个内角的度数为”“=108°.而360°不能被108°整除,即由108°的整数倍不能得到一个周角,故不能作平面镶嵌,如图所示.”“

变式3:如图所示,正多边形A,B,C密铺地面,其中A为正六边形,C为正方形,请通过计算求出正多边形B的边数.解:设正多边形B一个内角为x,则有120°+90°+x=360°,所以x=150°,所以n=360÷(180-150)=12.所以B为正十二边形.

第20章 数据的初步分析
20.1 数据的频数分布

变式1:某校对初三年级1 600名男生的身高进行了测量,结果身高(单位:m)在1.58~1.65这一小组的频率为0.4,则该组的人数为(A)

(A)640人(B)480人(C)400人(D)40人

变式2:某班50名学生在适应性考试中,分数段在90~100分的频率为0.1,则该班在这个分数段的学生有 5 人.变式3:统计武汉园博会前20天日参观人数,得到如下频数分布表和频数直方图(部分未完成):

武汉园博会前20天日参观人数的频数分布表

组别(万人)

组中值(万人)

频数

频率

7.5~14.5

0.25

14.5~21.5

0.3

21.5~28.5

0.3

28.5~35.5

”“

(1)请补全频数分布表和频数直方图;

(2)求出日参观人数不低于21.5万人的天数和所占的百分比;

(3)利用以上信息,试估计武汉园博会(会期247天)的参观总人数.解:(1)14.5~21.5小组的组中值是(14.5+21.5)÷2=18,20-5-6-3=6,3÷20=0.15.武汉园博会前20天日参观人数的频数分布表

组别(万人)

组中值(万人)

频数

频率

7.5~14.5

0.25

14.5~21.5

0.3

21.5~28.5

0.3

28.5~35.5

0.15

”“

(2)依题意得日参观人数不低于21.5万人有6+3=9(天),所占百分比为9÷20=45%.(3)因为园博会前20天的平均每天参观人数约为”“=”“=20.45(万人),所以武汉园博会(会期247天)的参观总人数约为20.45×247=5 051.15(万人).故武汉园博会(会期247天)的参观总人数约为5 051.15万人.

20.2数据的集中趋势与离散程度
1 数据的集中趋势
第1课时

变式1:如果一组数据3,7,2,a,4,6的平均数是5,则a的值是(A)

(A)8(B)5(C)4(D)3

变式2:某班10名学生为支援“希望工程”,将平时积攒下来的零花钱捐献给贫困地区的失学儿童,每人捐款金额如下(单位:元):10,12,13,21,40,16,17,18,19,20.那么这10名同学平均捐款多少元?

解:x=”“×(10+12+13+21+40+16+17+18+19+20)=18.6(元).答:这10名同学平均捐款18.6元.变式3:小王参加某企业招聘测试,他的笔试、面试、技能操作得分分别为85分、80分、90分,若依次按照2∶3∶5的比例确定成绩,则小王的成绩是(D)

(A)255分(B)84分(C)84.5分(D)86分

变式4:学校准备从甲、乙两位选手中选择一位选手代表学校参加所在地区的汉字听写大赛,学校对两位选手从表达能力、阅读理解、综合素质和汉字听写四个方面做了测试,他们各自的成绩(百分制)如下表:

选手

表达能力

阅读理解

综合素质

汉字听写

(1)由表中成绩已算得甲的平均成绩为80.25,请计算乙的平均成绩,从他们的这一成绩看,应选派谁;

(2)如果表达能力、阅读理解、综合素质和汉字听写分别赋予它们2,1,3和4的权,请分别计算两名选手的平均成绩,从他们的这一成绩看,应选派谁.解:(1)”“=(73+80+82+83)÷4=79.5,因为80.25>79.5,所以应选派甲.答:从平均成绩看,应选派甲.(2)”“=(85×2+78×1+85×3+73×4)÷(2+1+3+4)=79.5,”“=(73×2+80×1+82×3+83×4)÷(2+1+3+4)=80.4.因为79.5<80.4,所以应选派乙.答:综合各项成绩,应选派乙.

第2课时

变式1:一组数据1,2,4,5,8,x的众数与平均数相等,那么x的值是 4.变式2:如图是某俱乐部篮球队队员年龄结构条形图,根据图中信息,求该队队员年龄的众数和中位数.”“

解:由条形统计图中出现频数最大条形最高的数据是在第三组21岁中,故众数是21;因图中是按从小到大的顺序排列的,由图知该队有10人,其中第5和第6名队员的年龄都是21岁,故中位数是21.变式3:某公司员工的月工资情况统计如下表:

员工人数

月工资(元)

000

000

000

500

000

700

(1)分别计算该公司员工工资的平均数、中位数和众数;

(2)你认为用(1)中计算出的哪个数据来代表该公司员工的月工资水平更为适合?请简要说明理由.解:(1)”“=(7 000×2+6 000×4+4 000×8+3 500×20+3 000×8+2 700×4)÷(2+4+8+20+8+4)=3 800(元).中位数为3 500元,众数为3 500元.(2)极端值7 000元、6 000元对数据的平均水平影响较大,因此选择中位数代表该公司员工的月工资水平更合适.

2 数据的离散程度

变式1:某农科所在8个试验点对甲、乙两种玉米进行对比试验,这两种玉米在各试验点的亩产量如下(单位:kg):

甲:450,460,450,430,450,460,440,460;

乙:440,470,460,440,430,450,470,440.则在这些试验点 甲种玉米 的产量比较稳定(填“甲种玉米”或“乙种玉米”).变式2:为了从甲、乙两名同学中选拔一个参加射击比赛,对他们的射击水平进行了测验,两人在相同条件下各射击10次,命中的环数如下(单位:环):

甲:7,8,6,8,6,5,9,10,7,4;

乙:9,5,7,8,6,8,7,6,7,7.(1)求”“,”“,”“,”“;

(2)你认为该选拔哪名同学参加射击比赛?为什么?

解:(1)”“=(7+8+6+8+6+5+9+10+7+4)÷10=7,”“=[(7-7)2+(8-7)2+(6-7)2+(8-7)2+(6-7)2+(5-7)2+(9-7)2+(10-7)2+(7-7)2+(4-7)2]÷10=3,”“=(9+5+7+8+6+8+7+6+7+7)÷10=7,”“=[(9-7)2+(5-7)2+(7-7)2+(8-7)2+(6-7)2+(8-7)2+(7-7)2+(6-7)2+(7-7)2+(7-7)2]÷10=1.2.(2)因为”“>”“,所以乙的成绩稳定,选择乙同学参加射击比赛.

20.3 综合与实践 体重指数(略)

数学试卷分析表

学生 年级

考查知识点

考查试卷总分 考查试卷得分 得分率

客观题

选择题

总分

得分

得分率

填空题

总分

得分

得分率

主观题

计算题

总分

得分

得分率

证明题

总分

得分

得分率

应用题

总分

得分

得分率

作图题

总分

得分

得分率

问 题 分 析

错因

分析

分析结果

主观因素

审题不清

概念不清

计算失误

解题思路不清

书写错误

基础知识

基本概念

公式概念

基本运算

基本方法

其他

知识的综合运用

基础知识记忆是否准确

解题是否有思路

答题是否全面、规范

综合分析思路是否清晰

教师总结及点评

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