双曲线的教案

第一篇：双曲线的教案

《双曲线的简单几何性质》说课稿

一、教材分析

1.教材中的地位及作用

本节课是学生在已掌握双曲线的定义及标准方程之后，在此基础上，反过来利用双曲线的标准方程研究其几何性质。它是教学大纲要求学生必须掌握的内容，也是高考的一个考点，是深入研究双曲线，灵活运用双曲线的定义、方程、性质解题的基础，更能使学生理解、体会解析几何这门学科的研究方法，培养学生的解析几何观念，提高学生的数学素质。

2.教学目标的确定及依据

平面解析几何研究的主要问题之一就是：通过方程，研究平面曲线的性质。教学参考书中明确要求：学生要掌握圆锥曲线的性质，初步掌握根据曲线的方程，研究曲线的几何性质的方法和步骤。根据这些教学原则和要求，以及学生的学习现状，我制定了本节课的教学目标。

（1）知识目标：①使学生能运用双曲线的标准方程讨论双曲线的范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等几何性质；

②掌握双曲线标准方程中的几何意义，理解双曲线的渐近线的概念及证明；

③能运用双曲线的几何性质解决双曲线的一些基本问题。

（2）能力目标：①在与椭圆的性质的类比中获得双曲线的性质，培养学生的观察能力，想象能力，数形结合能力，分析、归纳能力和逻辑推理能力，以及类比的学习方法；

②使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的概念的理解。

（3）德育目标：培养学生对待知识的科学态度和探索精神，而且能够运用运动的，变化的观点分析理解事物。

3.重点、难点的确定及依据

对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质，而学生对渐近线的发现与证明方法接受、理解和掌握有一定的困难。因此，在教学过程中我把渐近线的发现作为重点，充分暴露思维过程，培养学生的创造性思维，通过诱导、分析，巧妙地应用极限思想导出了双曲线的渐近线方程。这样处理将数学思想渗透于其中，学生也易接受。因此，我把渐近线的证明作为本节课的难点，根据本节的教学内容和教学大纲以及高考的要求，结合学生现有的实际水平和认知能力，我把渐近线和离心率这两个性质作为本节课的重点。

4.教学方法

这节课内容是通过双曲线方程推导、研究双曲线的性质，本节内容类似于“椭圆的简单的几何性质”，教学中可以与其类比讲解，让学生自己进行探究，得到类似的结论。在教学中，学生自己能得到的结论应该让学生自己得到，凡是难度不大，经过学习学生自己能解决的问题，应该让学生自己解决，这样有利于调动学生学习的积极性，激发他们的学习积极性，同时也有利于学习建立信心，使他们的主动性得到充分发挥，从中提高学生的思维能力和解决问题的能力。

渐近线是双曲线特有的性质，我们常利用它作出双曲线的草图，而学生对渐近线的发现与证明方法接受、理解和掌握有一定的困难。因此，在教学过程中着重培养学生的创造性思维，通过诱导、分析，从已有知识出发，层层设（释）疑，激活已知，启迪思维，调动学生自身探索的内驱力，进一步清晰概念（或图形）特征，培养思维的深刻性。

例题的选备，可将此题作一题多变（变条件，变结论），训练学生一题多解，开拓其解题思路，使他们在做题中总结规律、发展思维、提高知识的应用能力和发现问题、解决问题能力。

二、教学程序

（一）.设计思路

（二）.教学流程

1.复习引入

我们已经学习过椭圆的标准方程和双曲线的标准方程，以及椭圆的简单的几何性质，请同学们来回顾这些知识点，对学习的旧知识加以复习巩固，同时为新知识的学习做准备，利用多媒体工具的先进性，结合图像来演示。

2．观察、类比

这节课内容是通过双曲线方程推导、研究双曲线的性质，本节内容类似于“椭圆的简单的几何性质”，教学中可以与其类比讲解，让学生自己进行探究，首先观察双曲线的形状，试着按照椭圆的几何性质，归纳总结出双曲线的几何性质。一般学生能用类似于推导椭圆的几何性质的方法得出双曲线的范围、对称性、顶点、离心率，对知识的理解不能浮于表面只会看图，也要会从方程的角度来解释，抓住方程的本质。用多媒体演示，加强学生对双曲线的简单几何性质范围、对称性、顶点（实轴、虚轴）、离心率（不深入的讲解）的巩固。之后，比较双曲线的这四个性质和椭圆的性质有何联系及区别，这样可以加强新旧知识的联系，借助于类比方法，引起学生学习的兴趣，激发求知欲。

3.双曲线的渐近线的发现、证明

（1）发现

由椭圆的几何性质，我们能较准确地画出椭圆的图形。那么，由双曲线的几何性质，能否较准确地画出双曲线的图形为引例，让学生动笔实践，通过列表描点，就能把双曲线的顶点及附近的点较准确地画出来，但双曲线向远处如何伸展就不是很清楚。从而说明想要准确的画出双曲线的图形只有那四个性质是不行的。

从学生曾经学习过的反比例函数入手，而且可以比较精确的画出反比例函数的图像，它的图像是双曲线，当双曲线伸向远处时，它与x、y轴无限接近，此时x、y轴是的渐近线，为后面引出渐近线的概念埋下伏笔。从而让学生猜想双曲线

有何特征？有没有渐近线？由于双曲线的对称性，我们只须研究它的图形在第一象限的情况即可。在研究双曲线的范围时，由双曲线的标准方程，可解出，当x无限增大时，y也随之增大，不容易发现它们之间的微妙关系。但是如果将式子变形为，我们就会发现：当x无限增大，逐渐减小、无限接近于0，而

就逐渐增大、无限接近于1（）；若将

变形为，即说明此时双曲线在第一象限，当x无限增大时，其上的点与坐标原点之间连线的斜率比1小，但与斜率为1的直线无限接近，且此点永远在直线 的下方。其它象限向远处无限伸展的变化趋势就可以利用对称性得到，从而可知双曲线的图形在远处与直线

无限接近，此时我们就称直线

叫做双曲线的渐近线。这样从已有知识出发，层层设（释）疑，激活已知，启迪思维，调动学生自身探索的内驱力，进一步清晰概念（或图形）特征，培养思维的深刻性。

利用由特殊到一般的规律，就可以引导学生探寻双曲线

(a>0，b>0)的渐近线，让学生同样利用类比的方法，将其变形为

，由于双曲线的对称性，我们可以只研究第一象限向远处的变化趋势，继续变形为

，可发现当x无限增大时，逐渐减小、无限接近于0，逐渐增大、无限接近于，即说明对于双曲线在第一象限远处的点与坐标原点之间连线的斜率比

小，与斜率为的直线无限接近，且此点永远在直线

下方。其它象限向远处无限伸展的变化趋势可以利用对称性得到，从而可知双曲线

(a>0，b>0)的图形在远处与直线

无限接近，直线

叫做双曲线

(a>0，b>0)的渐近线。我就是这样将渐近线的发现作为重点，充分暴露思维过程，培养学生的创造性思维，通过诱导、分析，巧妙地应用极限思想导出了双曲线的渐近线方程。这样处理将数学思想渗透于其中，学生也易接受。

（2）证明 如何证明直线

是双曲线

(a>0，b>0)的渐近线呢？

启发思考①：首先，逐步接近，转换成什么样的数学语言？（x→∞,d→0）

启发思考②：显然有四处逐步接近，是否每一处都进行证明？

启发思考③：锁定第一象限后，具体地怎样利用x表示d

（工具是什么：点到直线的距离公式）

启发思考④：让学生设点，而d的表达式较复杂，能否将问题进行转化？

分析：要证明直线

是双曲线

(a>0，b>0)的渐近线，即要证明随着x的增大，直线和曲线越来越靠拢。也即要证曲线上的点到直线的距离

｜MQ｜越来越短，因此把问题转化为计算｜MQ｜。但因｜MQ｜不好直接求得，因此又可以把问题转化为求｜MN｜。

启发思考⑤：这样证明后，还须交代什么？

（在其他象限，同理可证，或由对称性可知有相似情况）

引导学生层层深入的进行探究，从而更深刻的理解双曲线的渐近线的发现及证明过程。

（3）深化

再来研究实轴在y轴上的双曲线

(a>0，b>0)的渐近线方程就会变得容易很多，此时可利用类比的方法或者利用对称性得到焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程即为。

这样，我们就完满地解决了画双曲线远处趋向问题，从而可比较精确的画出双曲线。但是如果仔细观察渐近线实质就是双曲线过实轴端点、虚轴端点，作平行与坐标轴的直线

所成的矩形的两条对角线，数形结合，来加强对双曲线的渐近线的理解。

4.离心率的几何意义

椭圆的离心率反映椭圆的扁平程度，双曲线离心率有何几何意义呢？不难得到：，这是刚刚学生在类比椭圆的几何性质时就可以得到的简单结论。通过对离心率的研究，同样也可以使学生进一步加深对渐近线的理解。

由等式，可得：，不难发现：e越小（越接近于1），就越接近于0，双曲线开口越小；e越大，就越大，双曲线开口越大。所以，双曲线的离心率反映的是双曲线的开口大小。通过对这些性质的探究，就可以更好的理解双曲线图形与这些基本量之间的关系，更加准确的作出双曲线的图形。

5.例题分析

为突出本节内容，使学生尽快掌握刚才所学的知识。我选配了这样的例题：

例1.求双曲线9x2－16y2=144的实半轴长和虚半轴长、顶点和焦点坐标、渐近线方程、离心率。选题目的在于拿到一个双曲线的方程之后若不是标准式，要先将所给的双曲线方程化为标准方程，后根据标准方程分别求出有关量。本题求渐近线的方程的方法：（1）直接根据渐近线方程写出；（2）利用双曲线的图形中的矩形框架的对角线得到。加强对于双曲线的渐近线的应用和理解。

变1：求双曲线9y2－16x2=144的实半轴长和虚半轴长、顶点和焦点坐标、渐近线方程、离心率。选题目的：和上题相同先将所给的双曲线方程化为标准方程，后根据标准方程分别求出有关量；但求渐近线时可直接求出，也可以利用对称性来求解。

关键在于对比：双曲线的形状不变，但在坐标系中的位置改变，它的那些性质改变，那些性质不变？试归纳双曲线的几何性质。（小结列表）变2：已知双曲线的渐近线方程是，且经过点(

第二篇：双曲线教案

2.2.1 双曲线及其标准方程

一、教学目标

1.通过试验体会双曲线图形，从中抽象出双曲线定义，通过讨论能正确说出双曲线定义.2.会画双曲线简图.3.能由椭圆标准方程的推导过程类比推导双曲线标准方程，熟记双曲线标准方程.4.能根据条件确定双曲线的标准方程及简单应用.二、教学重点（难点）

1.教学重点：双曲线的定义和双曲线的标准方程.2.教学难点：双曲线的标准方程的推导.三、教学过程

第一环节 双曲线的定义

1.椭圆的定义是什么？(学生回答，教师板书)平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.教师要强调条件：(1)平面内；(2)到两定点F1、F2的距离的和等于常数；(3)常数2a＞|F1F2|.2.提出问题

椭圆是平面内一个动点到两个定点距离之和等于定长的点的轨迹,当然这个定长要大于这两个定点之间的距离.那么,平面上到两定点距离差等于定长的点的轨迹是什么? 3.简单实验(边演示、边说明)做拉链试验

取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在点M处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖所经过的点就画出一条曲线.（1）演示图形

4.应该如何描述出动点M所满足的几何条件？ 5.还有其他约束条件吗? 发现问题：（1）当2a2c时，（2）当2a2c时，（3）当2a2c时，（4）当2a =0时，6.定义

在上述基础上，引导学生概括双曲线的定义：

平面内与两定点F1 ,F2的距离的差的绝对值是常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点F1 ,F2叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距.指出：双曲线的定义可以与椭圆相对照来记忆，不要死记.第二环节

画出双曲线简图 第三环节

双曲线的标准方程

现在来研究双曲线的方程.我们可以类似求椭圆的方程的方法来求双曲线的方程.这时设问：求椭圆的方程的一般步骤方法是什么？不要求学生回答，主要引起学生思考，随即引导学生给出双曲线的方程的推导.标准方程的推导：(1)建系设点

取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴(如图2-24)

建立直角坐标系.设M(x，y)为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c(c＞0)，那么F1、F2的坐标分别是(-c，0)、(c，0)．又设点M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数.(2)点的集合

由定义可知，双曲线就是集合：

P={M||M F1|-|M F2||=2a}={M|M F1|-|M F2|=±2a}．(3)代数方程

(4)化简方程(由学生演板)将这个方程移项，两边平方得：

化简得：

两边再平方，整理得：(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2).(以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导.)由双曲线定义，2c＞2a 即c＞a，所以c2-a2＞0． 设c2-a2=b2(b＞0)，代入上式得： b2x2-a2y2=a2b2.这就是双曲线的标准方程.两种标准方程的比较(引导学生归纳)：

x2y2（1）221（a>0 ,b>0）表示焦点在x轴上的双曲线，焦点是

abF1（-c，0）、F2（c，0），这里c2a2b2;y2x2(2）221（a>0 ,b>0）表示焦点在x轴上的双曲线，焦点是

abF1（0，-c）、F2（0，c），这里cy互换即可得到）

教师指出：

2a2b2；（只须将（1）方程的x、(1)如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上.注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上.(2)双曲线标准方程中a、b、c的关系是c2a2b2不同于椭圆方程中c2a2b2.第四环节

应用反馈

例1：已知双曲线上一点P到两焦点F1(5,0)、F2(5,0)的距离的差的绝对值为6，求双曲线的方程.x2y2简解：双曲线有标准方程221（a0,b0）.abc5，2a 6，又c2a2b2 a3，b4.x2y21 ∴916

变式：

1.若P F1P F2=6?

x2y21(x0)9162.若PF1PF210?

两条射线

3.若PF1PF212? 轨迹不存在

第三篇：双曲线及其标准方程教案

双曲线及其标准方程（第一课时）

教学目标：

1．掌握双曲线的定义，能说出其焦点、焦距的意义；

2．能根据定义，按照求曲线方程的步骤推导出双曲线的标准方程，熟练掌握两类标

准方程；

3．能解决较简单的求双曲线标准方程的问题； 4．培养学生观察、分析、归纳和逻辑推理能力。

教学重点：双曲线的定义和标准方程。

教学难点：双曲线标准方程的推导过程。

教学过程：

一、创设情景，引入新课： 师：我们先来思考这样一个问题：（打开几何画板）已知定点F1(1,0)和F2(1,0)，定圆C1的圆心为F1，且半径为r，动圆C2过定点F2，且与定圆相切。

（1）若r4，试求动圆圆心的轨迹；（2）若r1，试求动圆圆心的轨迹。（教师结合几何画板演示分析）：

师：当r4时，我们得到的轨迹是什么？

生：是椭圆。

是：为什么？

生：因为当r4时动圆C2内切于定圆C1，所以两个圆的圆心距MF1满足

MF14MF2，移项后可以得到：MF1MF24满足椭圆的定义，所以得到的轨迹是一个以F1、F2为定点，4为定长的椭圆。

师：很好。那么，当r1呢，此时动圆C2与定圆C1相切有几种情况？

生：有两种情况：内切和外切。

师：我们先来考察两圆外切时的情况（演示），我们得到的轨迹满足什么条件？

生（同时教师板书）：由于两圆外切，所以两个圆的圆心距MF1满足 MF11MF2，移项后可以得到：MF1MF21。(教师演示轨迹)师：我们再来考察两圆内切时的情况（演示），我们得到的轨迹又满足什么条件？

生（同时教师板书）：由于两圆内切，所以两个圆的圆心距MF1满足 MF1MF21，移项后可以得到：MF1MF21。(教师演示轨迹)师（同时演示两种情况下的轨迹）：我们可以得到与定圆相切且过定点的动圆的圆心满足MF1MF21即MF1MF21，圆心的轨迹我们称之为双曲线。

二、新课讲解：

1、定义给出

师：今天我们来学习双曲线。同学们能否结合刚才的问题给双曲线下个一般定义？

生：双曲线是到平面上两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数的点的轨迹。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。

师：由椭圆的定义，一般情况下，我们设该常数为2a。那么什么情况下表示的是双曲线的右支，什么情况下表示的是双曲线的左支？

生：当MF1MF22a时，表示的是双曲线的右支，当MF1MF22a时，表示的是双曲线的左支。

2、定义探究

（教师引导学生分情况讨论）： 师：这个常数2a有没有限制条件？

生：有。这个常数2a要比焦距F1F2小。师：很好。为什么要有这个限制条件呢？其他情况会是怎样的呢？我们一起来分析一下：

（1）若a=0，则有MF1MF20即MF1MF2，此时轨迹为线段F1F2的中垂线；

（2）若2a=F1F2,则有MF1MF2F1F2，此时轨迹为直线F1F2上除去线段F1F2中间部分，以F1、F2为端点的两条射线；

（3）若2a>F1F2,则根据三角形的性质，轨迹不存在。

3、双曲线标准方程的推导过程：

师：我们学过求曲线的方程的一般步骤，现在我们一起根据定义求双曲线的标准方程。（师生互动，共同推导之）

第一步：建立直角坐标系；

第二步：设点：设M(x，y)，焦点分别为F1(c,0)和F2(c,0)，M到焦点的距离差的绝对值等于2a；

第三步：启发学生根据定义写出M点的轨迹构成的点集： PMMF1MF22a；

第四步：建立方程：(xc)2y2(xc)2y22a；

ab教师强调：我们得到了焦点在x轴上，且焦点是F1(c,0)和F2(c,0)的双曲线标准方程为x2a2b2 师：那么如果焦点在y轴上呢？（学生练习）

y2x2 生（练习后）：此时的标准方程应该是221(a0,b0)。

ab 4．双曲线标准方程的探讨：

师：刚才我们共同推导了双曲线的标准方程。请同学想一下，双曲线标准方程中字母a、b、c的关系如何？是不是ab？ y21(a0,b0)，这里c2a2b2  第五步：化简，得到

x22y221(a0,b0)

生：a、b、c满足等式c2a2b2，所以有a2c2b2，可以得到a,bc，但不能判断ab。师：很好。我们在求双曲线标准方程过程中还发现，确定焦点对求双曲线方程很重要。那么如何根据方程判定焦点在哪个坐标轴上呢？

y2x2x2y2 生：由于焦点在x轴和y轴上标准方程分别为221和221，我们发现焦点所在轴相

abab关的未知数的分母总是a，所以可以由a来判定。

x2y21，那么你如何寻找a？

师：很好。如果我们知道的方程是32 生：因为a所在的这一项未知数的系数是正的，所以只要找正的系数就可以了。

x2y21呢？

师：如果方程是32 生：先化成标准方程。

师：请同学总结一下。生：化标准，找正号。5．运用新知：

y2x21表示双曲线，则m的取值范围是__________，此时

【练习】已知方程9m1双曲线的焦点坐标是________________，焦距是________________；

【变式】若将9改成2m，则m的取值范围是________________________。

【例1】已知双曲线两个焦点的坐标为F1(5,0)、F2(5,0)，双曲线上一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程。

解：因为双曲线的焦点再x轴上，所以设它的标准方程为 x22ab 因为2a=6，2c=10，所以a=3，c=5。y221(a0,b0)，所以b2523216，x2y21。

所以所求双曲线的标准方程为916 【变式】已知两个定点的坐标为F1(5,0)、F2(5,0)，动点P到F1、F2的距离的差

等于6，求P点的轨迹方程。

解：因为PF1PF26，所以P的轨迹是双曲线的右支，设双曲线标准方程为1(a0,b0)，a2b2 因为2a=6，2c=10，所以a=3，c=5。x2y2 所以b2523216，x2y21(x3)。

所以所求P点的轨迹方程为916【例2】已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线上两点P1、P2的坐标分别为

9(3,42)、(,5)，求双曲线的标准方程。

4解：因为双曲线的焦点在y轴上，所以设所求双曲线的标准方程为

y2x2 221(a0,b0)，ab 因为点P1、P2在双曲线上，所以点P1、P2的坐标适合方程，代入得： (42)232212ab2a162 可解得：。92b9425212bay2x21。

所以所求双曲线得标准方程为：169【变式】已知双曲线的焦点在坐标轴上，并且双曲线上两点P1、P2的坐标分别为

9（分情况讨论）(3,42)、(,5)，求双曲线的标准方程。4 【练习】（1）ABC一边两个端点是B(0,6)和C(0,6)，顶点A满足ABAC8，求A的轨迹方程。

（2）ABC一边的两个端点是B(0,6)和C(0,6)，另两边所在直线的斜率之积是

4，求顶点9A的轨迹。

三、本课小结：

师：我们总结一下本节课我们学了什么？

生：

1、双曲线的定义；

2、双曲线标准方程推导过程；

3、运用已有知识解决一些

简单的问题。

四、作业：

课本P108：2、3、4 问题：一炮弹在M处爆炸，在F1、F2处听到爆炸声。已知两地听到爆炸声的时间差为2s，又知两地相距800m，并且此时的声速为340m/s，那么M点一定在哪条曲线上？

第四篇：双曲线的渐近线教案

双曲线的渐近线教案

教学目的

(1)正确理解双曲线的渐近线的定义，能利用双曲线的渐近线来画双曲线的图形．

(2)掌握由双曲线求其渐近线和由渐近线求双曲线的方法，并能作初步的应用，从而提高分析问题和解决问题的能力．

教学过程

一、揭示课题

师：给出双曲线的方程，我们能把双曲线画出来吗？

生(众)：能画出来．

师：能画得比较精确点吗？

(学生默然．)

其附近的点，比较精确地画出来．但双曲线向何处伸展就不很清楚了．在画其他曲线时，也有同样的问题．如曲线

我们可以比较精确地画出整个曲线．因为我们知道，当曲线伸向远处时，它逐渐地越 的趋向，我们是清楚的，它逐渐地在x轴负方向上越来越接近x轴，即x轴为y＝2x的一条渐近线，但它的另一端则不然，它伸向何处是不够清楚的．所以双曲线和其他曲线一样，当它向远处伸展时，它的趋向如何，是需要研究的问题．今天这堂课，我们就来讨论一下“双曲线向何处去”这样一个问题．

(板书课题：双曲线的渐近线．)

二、讲述定义

师：前一课我们讨论了双曲线的范围、对称性和顶点，我们回忆一下，双曲线的范围x≤－a，x≥a是怎样得出来的？

直线x＝－a和x＝a的外侧．我们能不能把双曲线的范围再缩小一点？我们先看看双曲线在第一象限的情况．

设M(x，y)是双曲线上在第一象限内的点，则

考察一下y变化的范围：

因为x2－a2＜x2，所以

这个不等式意味着什么？

(稍停，学生思考．)

平面区域．

之间(含x轴部分)．这样，我们就进一步缩小了双曲线所在区域的范围．

为此，我们考虑下列问题：

经过A2、A1作y轴的平行线x＝±a，经过B2、B1作x轴的平行线y＝±b，以看出，双曲线 的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近．

下面，我们来证明这个事实．

双曲线在第一象限内的方程可写成

设M(x，y)是它上面的点，N(x，Y)是直线

上与M有相同横坐标的点，则

设|MQ|是点M到直线 的距离，则|MQ|＜|MN|．当x逐渐增大时，|MN|逐渐减小，x无限增大，|MN|接近于零，|MQ|也接近于零，就是说，双曲线在第一象限的部分从射线ON的下方逐渐接近于射线ON．

在其他象限内也可以证明类似的情况．我们把两条直线

叫做双曲线的渐近线．

现在来看看实轴在y轴上的双曲线的渐近线方程是怎样的？由于实轴在y轴上的双曲线方程是由实轴在x轴上的双曲线方程，将x、y字母对调所得到，自然，前者

这样，我们就完满地解决了画双曲线远处趋向的问题，从而可比较精确地画出双

手画出比较精确的双曲线．

[提出问题，解决问题，善始善终．]

三、初步练习

(根据由双曲线求出它的渐近线方程与由渐近线求出相应的双曲线方程这两要求，出四个小题让学生练习．)

1．求下列双曲线的渐近线方程(写成直线方程的一般式)，并画出双曲线：

(1)4x2－y2＝4；(2)4x2－y2＝－4．

2．已知双曲线的渐近线方程为x±2y＝0，且双曲线过点：

求双曲线方程并画出双曲线．

(练习毕，由学生回答，教师总结．)

解题的主要步骤：

第1题：(1)把双曲线方程化为标准方程；(2)求得a、b；(3)根据定义写出渐近线方程．

第2题：(1)判断何种双曲线，设出相应的标准方程；(2)写出渐近线方程，从而得到关于a、b的一个关系式；(3)将点M代入标准方程，得到关于a、b的另一个关系式；(4)解a、b的方程组，求得a、b，写出双曲线方程．

师：这是两个关于双曲线渐近线的最基本的练习．一个是由双曲线求渐近线，比较简单；一个是由渐近线求双曲线，却比较复杂．这是因为，一个是正向思考和运算，另一个是逆向思考和运算，有一定的难度．同时，因为一条双曲线有两条确定的渐近线，而两条渐近线对应有许多双曲线，因此，求双曲线方程还必须具有另一个条件，两个条件的综合显然比较困难．我们要特别注意对逆向问题的分析，提高解决逆向问题的能力．

[问题虽然简单，但确是基础，不仅掌握基本知识，同时有利于正、逆两方面思考问题的训练．]

四、建立法则

师：仔细分析一下上述练习的结果：

双曲线方程：4x－y＝4；渐近线方程：2x±y＝0．

双曲线方程：4x－y＝－4；渐近线方程：2x±y＝0．

双曲线方程：x2－4y2＝4；渐近线方程：x±2y＝0．

双曲线方程：x2－4y2＝－4；渐近线方程：x±2y＝0．

可以发现，双曲线与其渐近线的方程之间似乎存在某种规律．

(启发学生讨论、归纳．)

生甲：每项开平方，中间用正负号连结起来，常数项改为零，就得到渐近线方程．

生乙：以各项系数绝对值的算术平方根为x、y的系数，且用正负号连结起来等于零，就是渐近线方程．

生丙：如果两个双曲线方程的二次项相同，那么渐近线方程就相同，与常数项无关．

生丁：反过来，渐近线的方程相同，双曲线方程的二次项就相同，常数可以不同．

生戊：应该说二次项系数成比例．

师：大家揭示了其中的规律．但是，大家的回答，还不够严格，也不够简洁，是否可以归纳出一种方法，把双曲线方程处理一下，就得到渐近线方程？

把双曲线方程中常数项改成零，会怎样呢？

点适合这个方程，适合这个方程的点在渐近线上．

就是两渐近线的方程．实际上，两条渐近线也可看作二次曲线，是特殊的双曲线．同样，b2x2－a2y2＝0，即 bx±ay＝0；

b2y2－a2x2＝0，即 by±ax＝0．

所以把双曲线方程的常数项改为零，就得到其渐近线方程．这具有一般性吗？也就是说对任意双曲线

A2x2－B2y2＝C(C≠0)

它的渐近线方程是不是A2x2－B2y2＝0？回答是肯定的．

分情况证明一下：

C＞0，A2x2－B2y2＝C，故渐近线方程为

也可以化成 Ax±By＝0，即 Ax－By＝0．

其他情况，同学们可以自己去证明．反之，渐近线方程为

Ax±By＝0 的双曲线方程是什么？可以证明是：A2x2－B2y2＝C(C≠0)．C＞0，实轴在x轴上；C＜0，实轴在y轴上．因此，我们得到下列法则：

(1)双曲线 A2x2－B2y2＝C(C≠0)的渐近线方程是

A2x2－B2y2＝0；

(2)渐近线方程是Ax±By＝0的双曲线方程是

A2x2－B2y2＝C

(C≠0的待定常数)．

现在谁能把上面的练习第2题再解答一下？

生：因为渐近线方程是x±2y＝0，所以双曲线方程为

x2－4y2＝C． 22

∴ 双曲线方程为x2－4y2＝4．

∴ 双曲线方程为x2－4y2＝－4．

[建立解题法则，既使解题比较方便，又使学生得到解题能力的培养．]

五、巩固应用

师：前面我们讲述了双曲线渐近线的定义和法则，下面大家使用定义或者法则再做两个练习．

2．证明：双曲线上任一点到两渐近线的距离之积是个常数．

(练习毕，由学生回答，教师总结解题步骤．)

师：解练习1的方法有两种．一是直接运用定义．

由双曲线求渐近线：

由渐近线求双曲线：

二是直接运用法则．

练习2的解法如下：

六、布置作业

课本练习；略．

教案说明

(1)本课教材内容不难接受，但教学中如何引出渐近线以致不感到突然，我采取了进一步缩小双曲线所在范围的方法，引出了渐近线．至于课题的引出，也是顺应认识的需要，为了对双曲线作深入的研究．我认为这些做法都是比较自然的．

(2)本课的基础内容，一是定义和法则，二是双曲线与其渐近线的互求的方法．

本教案既注意狠抓基础，也注意综合提高．

(3)本教案建立了一个法则，作为定义的补充，也是为了解题的方便，建立法则的过程，也是学生提高观察能力、归纳总结能力的一种训练．

第五篇：2.3双曲线 教学设计 教案

教学准备

1.教学目标 知识与技能

[1] 理解双曲线的概念，掌握双曲线的定义、会用双曲线的定义解决实际问题。[2] 能根据已知条件利用定义或待定发系数法求双曲线的标准方程.理解双曲线标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法。

[3] 进一步感受曲线方程的概念，了解建立曲线方程的基本方法.了解借助信息技术探究动点轨迹的《几何画板》的制作或操作方法。

2过程与方法

[1]提高运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力。

[2]通过定义及标准方程的挖掘与探究，使学生进一步体验类比及数形结合等思想方法的运用.[3]培养学生的类比推理能力、观察能力、归纳能力、探索发现能力。3 情感态度与价值观

[1]亲身经历双曲线及其标准方程的获得过程，感受数学美的熏陶。

[2]通过主动探索，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的理性和严谨。

[3]养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神.通过自主学习、主动参与、积极探究的学习过程，激发学生学习数学的自信心和积极性，培养学生良好的思维习惯，培养学生分析、解决问题的能力。

2.教学重点/难点

重点：通过类比、提出猜想进而操作确认，获得双曲线的定义并推导双曲线的标准方程。

难点：[1]双曲线的标准方程的推导。

[2]综合应用双曲线的标准方程解决生产生活中的实际问题。

3.教学用具

多媒体、木板、拉链等 4.标签

教学过程

教学过程设计 旧知回顾、引入新课

【师】同学们好。从今天我们开始进入新一节内容的学习：双曲线及其标准方程。

【板书】2.3.1.双曲线及其标准方程 【师】请同学们回忆一下前几节课的知识？ 【板书】

椭圆的定义？

椭圆的标准方程？

椭圆的简单几何性质？

椭圆知识的考查方式？

【生】椭圆的定义是：平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数（大于ⅠF1F2Ⅰ）的点的轨迹叫做椭圆（ellipse）．其中这两个定点叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦距．即当动点设为m时，椭圆即为点集。

【生】椭圆的标准方程有两个（分焦点在x轴和焦点在y轴两种情况）：

【生】椭圆的简单几何性质有范围、对称性、顶点、焦点坐标、离心率等内容。【生】椭圆知识的考查方式有两种方式：给方程题和求方程题。常见延伸问题有焦点弦、焦点半径、焦点三角形、直线与曲线的交点、直线与圆锥曲线相交的弦长公式、圆锥曲线的最值、定值及过定点等难点问题。

给方程题：较大分母是a2,较小分母是b2,焦点所在轴与含a2项所在的分子所含字母相同，可求出半焦距c,继而依次写出顶点、焦点坐标、离心率等。求方程题：根据待定系数法就是确定a2与b2和焦点所在轴。

【师】下面我们研究一种我们初中曾经学过的“新”的曲线。（反比例函数的图像就是双曲线，但是坐标系建立方式不同，方程形式也不同）【师】考虑以下问题，思考后作答：

问题：如果把椭圆定义中的“距离之和”改为“距离之差”，那么点的轨迹是怎样的曲线？即“平面内与两个定点F1，F2的距离的差等于非零常数的点的轨迹”是什么？

阅读教材P52～55，回答下列问题：双曲线的定义、图形、标准方程、应用。【生】小组合作，思考、交流，得出结论。（1）小组合作

[1]取一条拉链；[2]如图把它固定在板上的两点F1、F2；[3] 拉动拉链（M）。思考：拉链运动的轨迹是什么？

观察AB两图探究双曲线的定义 ①如图(A)，|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a ②如图(B)，|MF2|-|MF1|=|F1F|=2a 由①②可得：| |MF1|-|MF2| | = 2a

上面两条曲线合起来叫做双曲线。

【师】根据以上分析，试给双曲线下一个完整的定义？ 【生】 文字描述：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值 等于非零常数（小于︱F1F2︱）的点的轨迹叫做双曲线。两个定点F1、F2叫做双曲线的焦点。两个定点间的距离|F1F2|=2c 叫做焦距。符号描述：| |MF1|-|MF2| | = 2a（2a<2c）。图形：

【师】请同学们利用搜集的知识说一说双曲线的历史起源和现实应用。【生】我说双曲线的历史起源：

2000多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并获得了大量的成果。古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；用平行圆锥的轴的平面截取,可得到双曲线的一边;以圆锥顶点做对称圆锥,则可得到双曲线[1]。阿波罗尼曾把椭圆叫“亏曲线”，把双曲线叫做“超曲线”，把抛物线叫做“齐曲线”。事实上，阿波罗尼在其著作中使用纯几何方法已经取得了今天高中数学中关于圆锥曲线的全部性质和结果。【生】我说双曲线的现实应用：

双曲线在实际中的应用有通风塔，冷却塔，埃菲尔铁塔，广州塔等。

【师】初中学过的反比例函数的图像就是一种特殊的双曲线，叫做等轴双曲线，以其渐近线为坐标系建立方程，得到的函数解析式就是在教师的启发下，师生共同完成几种特殊情形的探究。

。【师】再考虑以下问题，思考后作答:（1）|MF1|-|MF2|=2a表示双曲线的哪一支？ 【生】右支。

【师】（2）|MF2|-|MF1|=2a表示双曲线的哪一支？ 【生】左支。

【师】（3）若2a=2c,则轨迹是什么？

【生】分别以F1、F2为端点方向向外的两条射线F1P、F2Q。【师】（4）若2a>2c,则轨迹是什么？ 【生】无轨迹。

【师】（5）若2a=0,则轨迹是什么？

【生】此时|MF1|=|MF2|，轨迹是线段F1F2的垂直平分线。【师】仿照椭圆建立坐标系的方法，请建立双曲线的方程。【生】建系设点。设M（x , y）,双曲线的焦距为2c（c>0）,F1(-c,0),F2(c,0)，常数=2a 双曲线就是集合： P={M |||MF1|-|MF2|| = 2a }。

叫做双曲线的标准方程。它所表示的双曲线的焦点在x 轴上，焦点是F1(-c,0),F2(c,0)，这里c2=a2+b2。

【师】请同学们尝试将焦点所在轴设为y轴，过焦点连线的垂直平分线为x轴，方程会变成怎样？ 【生】和椭圆的方程焦点在y轴的变化一样，方程中的x、y位置互换！方程变为。

【师】好，谁来总结一下？ 【生】双曲线有两个标准方程： 分别是焦点在x轴上时。

【师】讨论一下a、b有没有必然的大小关系？

【生】双曲线中的a、b没有必然的大小关系，方程右边为1时，左边被减数的分母是a2。2 新知介绍

[1]双曲线及其标准方程

【师】于是，我们可以得到双曲线及其标准方程。

文字描述：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数（小于︱F1F2︱）的点的轨迹叫做双曲线。符号描述和图形：（如右图）

和焦点在y轴上时

助记：(椭圆到双曲线)“和”变“差”，一字之差，天地大变，从有限变无限，从看整个到看不全，a、c大小互换，还好焦点坐标没变、三对称没变。【师】请将双曲线与椭圆对比记忆。

[2]双曲线非标准方程的标准化 【师】下面我们做一些练习！

求出下列双曲线的a2、b2，并写出焦点坐标。

【生】（1）a2＝16

b2＝9，焦点F（±5，0）

（2）a2＝9 b2＝16，焦点F（±5，0）【师】以上答案有问题么? 【生】第二个方程有问题，方程右边不是1，而是－1.【师】有什么办法么？

【生】方程两边同时乘以－1就可以了。【师】（2）的正确答案变了么？

【生】正确答案是（2）a2＝16 b2＝9，焦点F（0，±5）【师】对于非标准方程，首先要标准化才可以提取相关信息。

非标准方程的陷阱及对应措施：（注意到就不会出错）

1、方程右边不为1：两边同除以该数使右边为1（如练习1、3、5）

2、方程左边不标准。

（1）位置不标准：被减数与减数位置互换，（M—N型写为－N+M型）

（2）系数不标准：没有分母（分母为1）或分母为分数形式不恰当整理 【生】（3）、（4）、（5）都是非标准方程，先标准化再提取信息。

（3）两边同时除以－225，得到标准方程焦点F（0，±），a2＝25，b2＝9，（4）左边分母标准化，0）

（5）两边同时除以5,得，a2＝1 b2＝，焦点F（±，位置和系数标准化，得

[3]双曲线及其标准方程应用

问题：双曲线及其标准方程能解决什么问题？

【生】由双曲线绕其虚轴旋转，可以得到单叶双曲面，它又是一种直纹曲面，由两组母直线族组成，各组内母直线互不相交，而与另一组母直线却相交。应用于通风塔，冷却塔、地标建筑等建筑设计。造型优美，功效显著！既轻巧又坚固。生活中和军事上可以用于定位。[4]例题处理

【师】下面我们来处理书上的例题。【生】练习并讨论。【例1】已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程。

解：因为双曲线的焦点在 x 轴上，所以设它的标准方程为：，∵ 2a = 6,2c=10，∴ a = 3, c = 5.∴ b2 = 52-32 =16.所以所求双曲线的标准方程为：

【拓展探究】已知两定点F1(-5,0),F2(5,0)，动点P满足|PF1|-|PF2|＝6.求动点P的轨迹方程.解：∵|F1F2|＝10，|PF1|-|PF2|＝6，∴由双曲线的定义可知，点P的轨迹是双曲线的右支.∵两焦点为F1(-5,0),F2(5,0)，∴设它的标准方程为：

∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.∴b2 =52-32 =16.∴动点P的轨迹方程为

【师】请大家总结求双曲线方程的基本步骤。

【生】1.求双曲线的标准方程就是确定三项内容：焦点所在轴（方程二选一）、a2、b2.2.现实应用中双曲线有可能变为单曲线（一支）,通过限制方程中的x的取值范围实现.【师】补充一点，还有一种可能，焦点所在轴不确定时可能两种情况都成立，需分情况讨论。

【例2】已知A,B两地相距800 m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2 s,且声速为340 m/s, 求炮弹爆炸点的轨迹方程.【分析】首先根据题意,判断轨迹的形状.由声速及A，B两处听到爆炸声的时间差,可知A，B两处与爆炸点的距离的差为定值.这样，爆炸点在以A，B为焦点的双曲线上.因为爆炸点离A处比离B处远，所以爆炸点应在靠近B处的双曲线的一支上.解: 如图所示，建立直角坐标系xOy,使A，B两点在x轴上，并且坐标原点O与线段AB的中点重合.∴设它的标准方程为：

设爆炸点P的坐标为(x,y)，则|PA|-|PB|＝340x2=680，即 2a=680，a=340.又|AB|＝800，即 2c=800,c=400,b2 = c2-a2 =160000－115600＝44400.∴炮弹爆炸点的轨迹(双曲线的一支)方程为(注：课本上只是x>0,本设计更精确)【应用提升】1.若在A,B两地同时听到炮弹爆炸声,则炮弹爆炸点的轨迹是什么? 解: 爆炸点的轨迹是线段AB的垂直平分线.2.根据两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间差，可以确定爆炸点在某条曲线上，但不能确定爆炸点的准确位置.而现实生活中为了安全，我们最关心的是炮弹爆炸点的准确位置，怎样才能确定爆炸点的准确位置呢? 解:再增设一个观测点C，利用B，C（或A，C）两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置.这是双曲线的一个重要应用.【例3】如果方程解：由

表示双曲线，求m的取值范围.【应用提升】如果方程值范围.表示焦点在y轴上的双曲线，求m的取由例题，从m的取值中选取适合的范围即有 【拓展探究】已知圆C1：(x+3)2+y2=1和圆C2：(x-3)2+y2=9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程．

解：

【师】引导学生分析条件与结论，认识到解题关键是确认已知条件中的隐藏信息。再次强调：

1、求双曲线的标准方程就是确定三项内容：焦点所在轴（方程二选一）、a2、b2.2、焦点所在轴不确定时可能两种情况都成立，需分情况讨论。

3、现实应用题中双曲线有可能变为单曲线（一支）注意相应自变量x的取值会发生变化。【强化练习】

已知B（-5，0），C（5，0）是三角形ABC的两个顶点，且，求顶点A的轨迹方程。解：在△ABC中，|BC|=10，故顶点A的轨迹是以B、C为焦点的双曲线的左支，又因c=5，a=3，则b2=16，则顶点A的轨迹方程为[5]小结：双曲线及其标准方程

【师】现在我们来总结一下，双曲线及其标准方程。【板书/PPT】

【双曲线的定义】平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数（小于︱F1F2︱）的点的轨迹叫做双曲线。（1）当|MF1|-|MF2|=2a表示双曲线的右支。（2）|MF2|-|MF1|=2a表示双曲线的左支。

（3）若2a=2c,则轨迹是分别以F1、F2为端点方向向外的两条射线F1P、F2Q。（4）若2a>2c,则无轨迹。

（5）若2a=0,则轨迹是线段F1F2的垂直平分线。【双曲线的标准方程】有两个： 分别是焦点在x轴上时。

【考查方式】给方程题与求方程题 给方程题一般涉及方程的标准化：

对于非标准方程，首先要标准化才可以提取相关信息。非标准方程的陷阱及对应措施：（注意到就不会出错）

1.方程右边不为1：两边同除以该数使右边为1（如练习1、3、5）2.方程左边不标准。

和焦点在y轴上时。

（1）位置不标准：被减数与减数位置互换，（M—N型写为－N+M型）

（2）系数不标准：没有分母（分母为1）或分母为分数形式不恰当整理 求方程题：一般用待定系数法：

3.求双曲线的标准方程就是确定三项内容：焦点所在轴（方程二选一）、a2、b2.4.焦点所在轴不确定时可能两种情况都成立，需分情况讨论。

5.现实应用题中双曲线有可能变为单曲线（一支）注意相应自变量x的取值会发生变化。【易错点点拨】

1.与椭圆相关知识混淆，误认为一定有a>b或仍然用a2=b2+c2来求相关值。2.忽略非标准方程的存在，错误提取相关数据。3.该分情况讨论的没有分情况讨论。答案不完整。

4、忽略问题的实际意义将双曲线的一支确定为两支。课堂小结（投影，给出知识脉络图）

1.双曲线的定义

2.双曲线的标准方程

3.利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题 3 复习总结和作业布置 [1]课堂练习

一、填空题

1.a=4，b=3 ,焦点在x轴上的双曲线的标准方程是

.2.焦点为（0,-6）,（0，6）,经过点（2，-5）的双曲线的标准方程是

.3.设双曲线上的点P到(5,0)的距离是15,则P到(-5,0)的距离是

..4.如果方程

表示双曲线，则m的取值范围是

.二、选择题． 5．设F1，F2是双曲线的焦点，点P在双曲线上，且，则点P到x轴的距离（）A．1

B．

C．2

D．

6．P为双曲线径的圆与圆

为上一点，若F是一个焦点，以PF为直的位置关系是（）A．内切

B．外切

C．内切或外切

D．无公共点或相交 7．已知两定点F1(－5,0)，F2(5,0)，动点 P 满足|PF1|－|PF2|＝2a，则当a＝3和5时，P点的轨迹为（）A．双曲线和一直线 B．双曲线和一条射线 C．双曲线的一支和一条射线 D．双曲线的一支和一条直线

三、解答题

8．若方程(k2+k-2)x2+(k+1)y2=1的曲线是焦点在y轴上的双曲线，求k的取值范围。

【解答】

一、填空题

二、选择题．5.B 6.C 7.C

三、解答题

8.解：由双曲线的标准方程可知(k+1)>0且(k2+k-2)<0，9.解：因为双曲线的焦点位置不确定，所以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，因P1，P2在双曲线上，所以有

所以所求双曲线方程为[2]作业布置

1、自学完成课本P58练习。.2、课本P61习题2．3（A组）第1、2题

课本P62习题2．3（B组）第2题

3、选做题：

1.设P为双曲线上的一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|∶|PF2|＝3∶2，则△PF1F2的面积为_______.2.已知△ABC的两个顶点A,B的坐标为A(-5,0),B(5,0)，且AC,BC的斜率之积等于m(m≠0)，若顶点C的轨迹是双曲线（去掉两个顶点），求m的取值范围.(附答案：)1.由已知得2a＝2，又由双曲线的定义得，|PF1|－|PF2|＝2，又|PF1|∶|PF2|＝3∶2，∴|PF1|＝6，|PF2|＝4.又|F1F2|＝2c＝

由余弦定理得∴△PF1F2为直角三角形．

2.设C点的坐标为C（x,y)，则AC的斜率为，BC的斜率为依题意有原方程可化为,化简得mx2-y2=25m(y≠0).因为m≠0，所以①

由题知方程①表示的轨迹是焦点在x轴上的双曲线（去掉两个顶点）,所以m＞0.所以所求m的取值范围是(0,+∞)．

4、预习提纲：

前面学习了椭圆的简单几何性质，类比学习下一节双曲线的简单几何性质．