第一篇：椭圆与双曲线的离心率教案
北师大版选修2-1第三章 椭圆与双曲线的离心率
一、教材分析
本节课是北师大版高中数学选修2-1第三章小专题 椭圆与双曲线的离心率。椭圆与双曲线的离心率是本章的重点内容，在学习本节知识前，学生已经了解椭圆与双曲线的概念、方程、基本性质。求解椭圆、双曲线的离心率是重点内容。灵活运用求解椭圆、双曲线的离心率得几种常用方法是本节的难点。
二、学情分析
本节是圆锥曲线与方程这一章的一个小专题，在之前学生学习了椭圆与双曲线这两个内容，其中的第二节圆锥曲线的性质为学习本节课打下了一定的理论基础，因此理论上学生应该不难理解本节课。本节课宜采用先从基础知识切入再根据实际问题探索解决问题的方法的教学方法，要让学生通过自己的思考总结求圆锥曲线离心率的方法，这样既能激发学生学习数学的兴趣，又能提升学生的思维能力和学习能力。空间思维能力对本节学习至关重要，为方便对问题的分析，针对离心率的专题我专门自制了课件，通过对以往知识的复习和具体问题的应用总结常用的求离心率的方法，本节重难点还在于在分析时要能将实际的问题与以前的知识相联系。要使学生能够掌握求离心率的方法，因此针对这一问题我做了一定的巩固训练。
三、教学目标
（一）知识与技能 1.理解椭圆与双曲线的离心率概念
2.掌握求椭圆与双曲线的离心率得几种常用方法
（二）过程与方法
1.通过教师讲解、分析、归纳、总结出求离心率的方法。2.培养学生的分析能力、理解能力、知识迁移能力，解决问题的能力
（三）情感、态度与价值观
1.通过自主思考、参与推导，让学生真正做到融入课堂，有助于培养学生形成多动手、多动脑、多总结的好习惯。
2.通过分析一般情况下求离心率的方法，使学生形成认识事物规律要抓住一般性的科学方法。
（四）教学重点
重点：椭圆、双曲线离心率的求法
（五）教学难点
难点：椭圆、双曲线离心率的方法的灵活应用
（六）教学方法
启发法、谈论法、讲解法、讨论法、练习法
（七）课前准备
1．学生的准备：认真预习课本及学案内容
2．教师的准备：多媒体课件制作，课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案 四．教学过程
（一）复习引入
之前我们学习了椭圆与双曲线的定义，方程与基本性质。本节课我们主要针对高考中关于离心率的选择题，设置了一个关于求椭圆与双曲线离心率的专题。
（二）推进新课
x2y21ab0）例1已知椭圆22（的焦距为22，其短轴上的两个顶点ab0),且CADA0，则该椭圆的离心率为分别为C,D，已知A(1，____________
x2y2例2已知F1,F2是双曲线E:2-21的左右焦点，点M在E上，MF1与
ab1x轴垂直sinMF2F1，则E的离心率为 ___________
x2y21ab0）练习：已知F1,F2是椭圆C:22（的左右焦点，点M是Cab上一点，且MF2垂直于x轴，直线MF1与C的另一个交点为N.若直线MN的斜率为，求C的离心率； 34
小结：涉及两焦点及双曲线上点的问题考虑利用定义导出a与c的关系，求出离心率e
例3已知A,B为双曲线E的左右顶点，点M在E上，ABM为等腰三角形，且顶角为120则E的离心率为 ___________
x2y21ab0）练习:如图F是椭圆C:22（的ab左焦点，直线y=与椭圆交于B，C两点，BFC90，则该椭圆的离心率为b2____________ 小结：已知曲线上的点满足某种条件利用曲线方程结合已知条件求解。
x2y21ab0）例4已知O为坐标原点，F是椭圆C:22（的左焦点，abA,B分别为C的左右顶点。P为C上一点，且PFx轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E，若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为____________
（三）课堂小结
求椭圆与双曲线离心率的常用方法
（四）作业 新学案练习。
（五）板书设计
椭圆与双曲线离心率
x2y21ab0）例1已知椭圆22（的焦距为22，其短轴上的两个顶点ab0),且CADA0，则该椭圆的离心率为分别为C,D，已知A(1，____________
x2y2例2已知F1,F2是双曲线E:2-21的左右焦点，点M在E上，MF1与
ab1x轴垂直sinMF2F1，则E的离心率为 ___________
例3已知A,B为双曲线E的左右顶点，点M在E上，ABM为等腰三角形，且顶角为120则E的离心率为 ___________
（六）教学反思
1．把握教材内容，制定好教学策略
本节内容由问题引发让学生思考和讨论，再通过鼓励学生自己思考完成，让学生能够真正融入课堂，最终利用鼓掌的方式对学生进行鼓励，我认为这种方式有助于激发学生今后的学习动力。
由此我感悟到提高学生兴趣是提高课堂效率的重要前提，今后应该多在这方面锻炼。
让学生自己上黑板推导分析，不但锻炼了主动上黑板的学生，也让其他学生更积极的思考，把学生的思维完全融入课堂。
以小组为单元对问题进行思考和讨论，使学生懂得合作学习，共同进步的道理。
2.优点与缺点
①优点：学生参与课堂、自主推导、思考讨论问题的气氛很好，并且大胆地出正确的结果。认真学习了本节课程；
②缺点：本节内容较多，学生思考时间太长，设计了练习题，但没有足够的时间去完成，感觉不是特别满意。3.对自己的反思
对这次的公开课存在的不足，我很是遗憾，但是从教学结果来看，教学目的已经达到，本节课利用创新教学的思路充分体现新课程的理念和特点，让学生通过各个环节的参与能够很好地掌握本节内容，在今后的教学中我会继续努力。
第二篇：双曲线教案
2.2.1 双曲线及其标准方程
一、教学目标
1.通过试验体会双曲线图形，从中抽象出双曲线定义，通过讨论能正确说出双曲线定义.2.会画双曲线简图.3.能由椭圆标准方程的推导过程类比推导双曲线标准方程，熟记双曲线标准方程.4.能根据条件确定双曲线的标准方程及简单应用.二、教学重点（难点）
1.教学重点：双曲线的定义和双曲线的标准方程.2.教学难点：双曲线的标准方程的推导.三、教学过程
第一环节 双曲线的定义
1.椭圆的定义是什么？(学生回答，教师板书)平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.教师要强调条件：(1)平面内；(2)到两定点F1、F2的距离的和等于常数；(3)常数2a＞|F1F2|.2.提出问题
椭圆是平面内一个动点到两个定点距离之和等于定长的点的轨迹,当然这个定长要大于这两个定点之间的距离.那么,平面上到两定点距离差等于定长的点的轨迹是什么? 3.简单实验(边演示、边说明)做拉链试验
取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在点M处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖所经过的点就画出一条曲线.（1）演示图形
4.应该如何描述出动点M所满足的几何条件？ 5.还有其他约束条件吗? 发现问题：（1）当2a2c时，（2）当2a2c时，（3）当2a2c时，（4）当2a =0时，6.定义
在上述基础上，引导学生概括双曲线的定义：
平面内与两定点F1 ,F2的距离的差的绝对值是常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点F1 ,F2叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距.指出：双曲线的定义可以与椭圆相对照来记忆，不要死记.第二环节
画出双曲线简图 第三环节
双曲线的标准方程
现在来研究双曲线的方程.我们可以类似求椭圆的方程的方法来求双曲线的方程.这时设问：求椭圆的方程的一般步骤方法是什么？不要求学生回答，主要引起学生思考，随即引导学生给出双曲线的方程的推导.标准方程的推导：(1)建系设点
取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴(如图2-24)
建立直角坐标系.设M(x，y)为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c(c＞0)，那么F1、F2的坐标分别是(-c，0)、(c，0)．又设点M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数.(2)点的集合
由定义可知，双曲线就是集合：
P={M||M F1|-|M F2||=2a}={M|M F1|-|M F2|=±2a}．(3)代数方程
(4)化简方程(由学生演板)将这个方程移项，两边平方得：
化简得：
两边再平方，整理得：(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2).(以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导.)由双曲线定义，2c＞2a 即c＞a，所以c2-a2＞0． 设c2-a2=b2(b＞0)，代入上式得： b2x2-a2y2=a2b2.这就是双曲线的标准方程.两种标准方程的比较(引导学生归纳)：
x2y2（1）221（a>0 ,b>0）表示焦点在x轴上的双曲线，焦点是
abF1（-c，0）、F2（c，0），这里c2a2b2;y2x2(2）221（a>0 ,b>0）表示焦点在x轴上的双曲线，焦点是
abF1（0，-c）、F2（0，c），这里cy互换即可得到）
教师指出：
2a2b2；（只须将（1）方程的x、(1)如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上.注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上.(2)双曲线标准方程中a、b、c的关系是c2a2b2不同于椭圆方程中c2a2b2.第四环节
应用反馈
例1：已知双曲线上一点P到两焦点F1(5,0)、F2(5,0)的距离的差的绝对值为6，求双曲线的方程.x2y2简解：双曲线有标准方程221（a0,b0）.abc5，2a 6，又c2a2b2 a3，b4.x2y21 ∴916
变式：
1.若P F1P F2=6?
x2y21(x0)9162.若PF1PF210?
两条射线
3.若PF1PF212? 轨迹不存在
第三篇：双曲线的教案
《双曲线的简单几何性质》说课稿
一、教材分析
1.教材中的地位及作用
本节课是学生在已掌握双曲线的定义及标准方程之后，在此基础上，反过来利用双曲线的标准方程研究其几何性质。它是教学大纲要求学生必须掌握的内容，也是高考的一个考点，是深入研究双曲线，灵活运用双曲线的定义、方程、性质解题的基础，更能使学生理解、体会解析几何这门学科的研究方法，培养学生的解析几何观念，提高学生的数学素质。
2.教学目标的确定及依据
平面解析几何研究的主要问题之一就是：通过方程，研究平面曲线的性质。教学参考书中明确要求：学生要掌握圆锥曲线的性质，初步掌握根据曲线的方程，研究曲线的几何性质的方法和步骤。根据这些教学原则和要求，以及学生的学习现状，我制定了本节课的教学目标。
（1）知识目标：①使学生能运用双曲线的标准方程讨论双曲线的范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等几何性质；
②掌握双曲线标准方程中的几何意义，理解双曲线的渐近线的概念及证明；
③能运用双曲线的几何性质解决双曲线的一些基本问题。
（2）能力目标：①在与椭圆的性质的类比中获得双曲线的性质，培养学生的观察能力，想象能力，数形结合能力，分析、归纳能力和逻辑推理能力，以及类比的学习方法；
②使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的概念的理解。
（3）德育目标：培养学生对待知识的科学态度和探索精神，而且能够运用运动的，变化的观点分析理解事物。
3.重点、难点的确定及依据
对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质，而学生对渐近线的发现与证明方法接受、理解和掌握有一定的困难。因此，在教学过程中我把渐近线的发现作为重点，充分暴露思维过程，培养学生的创造性思维，通过诱导、分析，巧妙地应用极限思想导出了双曲线的渐近线方程。这样处理将数学思想渗透于其中，学生也易接受。因此，我把渐近线的证明作为本节课的难点，根据本节的教学内容和教学大纲以及高考的要求，结合学生现有的实际水平和认知能力，我把渐近线和离心率这两个性质作为本节课的重点。
4.教学方法
这节课内容是通过双曲线方程推导、研究双曲线的性质，本节内容类似于“椭圆的简单的几何性质”，教学中可以与其类比讲解，让学生自己进行探究，得到类似的结论。在教学中，学生自己能得到的结论应该让学生自己得到，凡是难度不大，经过学习学生自己能解决的问题，应该让学生自己解决，这样有利于调动学生学习的积极性，激发他们的学习积极性，同时也有利于学习建立信心，使他们的主动性得到充分发挥，从中提高学生的思维能力和解决问题的能力。
渐近线是双曲线特有的性质，我们常利用它作出双曲线的草图，而学生对渐近线的发现与证明方法接受、理解和掌握有一定的困难。因此，在教学过程中着重培养学生的创造性思维，通过诱导、分析，从已有知识出发，层层设（释）疑，激活已知，启迪思维，调动学生自身探索的内驱力，进一步清晰概念（或图形）特征，培养思维的深刻性。
例题的选备，可将此题作一题多变（变条件，变结论），训练学生一题多解，开拓其解题思路，使他们在做题中总结规律、发展思维、提高知识的应用能力和发现问题、解决问题能力。
二、教学程序
（一）.设计思路
（二）.教学流程
1.复习引入
我们已经学习过椭圆的标准方程和双曲线的标准方程，以及椭圆的简单的几何性质，请同学们来回顾这些知识点，对学习的旧知识加以复习巩固，同时为新知识的学习做准备，利用多媒体工具的先进性，结合图像来演示。
2．观察、类比
这节课内容是通过双曲线方程推导、研究双曲线的性质，本节内容类似于“椭圆的简单的几何性质”，教学中可以与其类比讲解，让学生自己进行探究，首先观察双曲线的形状，试着按照椭圆的几何性质，归纳总结出双曲线的几何性质。一般学生能用类似于推导椭圆的几何性质的方法得出双曲线的范围、对称性、顶点、离心率，对知识的理解不能浮于表面只会看图，也要会从方程的角度来解释，抓住方程的本质。用多媒体演示，加强学生对双曲线的简单几何性质范围、对称性、顶点（实轴、虚轴）、离心率（不深入的讲解）的巩固。之后，比较双曲线的这四个性质和椭圆的性质有何联系及区别，这样可以加强新旧知识的联系，借助于类比方法，引起学生学习的兴趣，激发求知欲。
3.双曲线的渐近线的发现、证明
（1）发现
由椭圆的几何性质，我们能较准确地画出椭圆的图形。那么，由双曲线的几何性质，能否较准确地画出双曲线的图形为引例，让学生动笔实践，通过列表描点，就能把双曲线的顶点及附近的点较准确地画出来，但双曲线向远处如何伸展就不是很清楚。从而说明想要准确的画出双曲线的图形只有那四个性质是不行的。
从学生曾经学习过的反比例函数入手，而且可以比较精确的画出反比例函数的图像，它的图像是双曲线，当双曲线伸向远处时，它与x、y轴无限接近，此时x、y轴是的渐近线，为后面引出渐近线的概念埋下伏笔。从而让学生猜想双曲线
有何特征？有没有渐近线？由于双曲线的对称性，我们只须研究它的图形在第一象限的情况即可。在研究双曲线的范围时，由双曲线的标准方程，可解出，当x无限增大时，y也随之增大，不容易发现它们之间的微妙关系。但是如果将式子变形为，我们就会发现：当x无限增大，逐渐减小、无限接近于0，而
就逐渐增大、无限接近于1（）；若将
变形为，即说明此时双曲线在第一象限，当x无限增大时，其上的点与坐标原点之间连线的斜率比1小，但与斜率为1的直线无限接近，且此点永远在直线 的下方。其它象限向远处无限伸展的变化趋势就可以利用对称性得到，从而可知双曲线的图形在远处与直线
无限接近，此时我们就称直线
叫做双曲线的渐近线。这样从已有知识出发，层层设（释）疑，激活已知，启迪思维，调动学生自身探索的内驱力，进一步清晰概念（或图形）特征，培养思维的深刻性。
利用由特殊到一般的规律，就可以引导学生探寻双曲线
(a>0，b>0)的渐近线，让学生同样利用类比的方法，将其变形为
，由于双曲线的对称性，我们可以只研究第一象限向远处的变化趋势，继续变形为
，可发现当x无限增大时，逐渐减小、无限接近于0，逐渐增大、无限接近于，即说明对于双曲线在第一象限远处的点与坐标原点之间连线的斜率比
小，与斜率为的直线无限接近，且此点永远在直线
下方。其它象限向远处无限伸展的变化趋势可以利用对称性得到，从而可知双曲线
(a>0，b>0)的图形在远处与直线
无限接近，直线
叫做双曲线
(a>0，b>0)的渐近线。我就是这样将渐近线的发现作为重点，充分暴露思维过程，培养学生的创造性思维，通过诱导、分析，巧妙地应用极限思想导出了双曲线的渐近线方程。这样处理将数学思想渗透于其中，学生也易接受。
（2）证明 如何证明直线
是双曲线
(a>0，b>0)的渐近线呢？
启发思考①：首先，逐步接近，转换成什么样的数学语言？（x→∞,d→0）
启发思考②：显然有四处逐步接近，是否每一处都进行证明？
启发思考③：锁定第一象限后，具体地怎样利用x表示d
（工具是什么：点到直线的距离公式）
启发思考④：让学生设点，而d的表达式较复杂，能否将问题进行转化？
分析：要证明直线
是双曲线
(a>0，b>0)的渐近线，即要证明随着x的增大，直线和曲线越来越靠拢。也即要证曲线上的点到直线的距离
｜MQ｜越来越短，因此把问题转化为计算｜MQ｜。但因｜MQ｜不好直接求得，因此又可以把问题转化为求｜MN｜。
启发思考⑤：这样证明后，还须交代什么？
（在其他象限，同理可证，或由对称性可知有相似情况）
引导学生层层深入的进行探究，从而更深刻的理解双曲线的渐近线的发现及证明过程。
（3）深化
再来研究实轴在y轴上的双曲线
(a>0，b>0)的渐近线方程就会变得容易很多，此时可利用类比的方法或者利用对称性得到焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程即为。
这样，我们就完满地解决了画双曲线远处趋向问题，从而可比较精确的画出双曲线。但是如果仔细观察渐近线实质就是双曲线过实轴端点、虚轴端点，作平行与坐标轴的直线
所成的矩形的两条对角线，数形结合，来加强对双曲线的渐近线的理解。
4.离心率的几何意义
椭圆的离心率反映椭圆的扁平程度，双曲线离心率有何几何意义呢？不难得到：，这是刚刚学生在类比椭圆的几何性质时就可以得到的简单结论。通过对离心率的研究，同样也可以使学生进一步加深对渐近线的理解。
由等式，可得：，不难发现：e越小（越接近于1），就越接近于0，双曲线开口越小；e越大，就越大，双曲线开口越大。所以，双曲线的离心率反映的是双曲线的开口大小。通过对这些性质的探究，就可以更好的理解双曲线图形与这些基本量之间的关系，更加准确的作出双曲线的图形。
5.例题分析
为突出本节内容，使学生尽快掌握刚才所学的知识。我选配了这样的例题：
例1.求双曲线9x2－16y2=144的实半轴长和虚半轴长、顶点和焦点坐标、渐近线方程、离心率。选题目的在于拿到一个双曲线的方程之后若不是标准式，要先将所给的双曲线方程化为标准方程，后根据标准方程分别求出有关量。本题求渐近线的方程的方法：（1）直接根据渐近线方程写出；（2）利用双曲线的图形中的矩形框架的对角线得到。加强对于双曲线的渐近线的应用和理解。
变1：求双曲线9y2－16x2=144的实半轴长和虚半轴长、顶点和焦点坐标、渐近线方程、离心率。选题目的：和上题相同先将所给的双曲线方程化为标准方程，后根据标准方程分别求出有关量；但求渐近线时可直接求出，也可以利用对称性来求解。
关键在于对比：双曲线的形状不变，但在坐标系中的位置改变，它的那些性质改变，那些性质不变？试归纳双曲线的几何性质。（小结列表）变2：已知双曲线的渐近线方程是，且经过点(
第四篇：“椭圆世界”教案
第二章第二节“椭圆世界”教案
讲课人：杨 薇 授课班级：三年级 上课时间：2007.11.30 课 型：新授课 运用教具：计算机
计划课时：１课时 教学方法：讲解法、演示法、练习法、任务驱动法
教学目的：１.通过学习学生可以熟练掌握椭圆工具的使用方法；
２.初步了解多边形工具的使用方法； ３.能够与其他工具配合进行创作；
教学重点：画图软件部分工具的应用和操作。如：涂色工具、刷子、直线工具。教学难点：多边形工具的具体操作。教学过程：
一、回顾旧知(5分钟)1.正常开关机的顺序（先开显示器，再开主机）
学生共分为四组，每两组之间相互观察开机的顺序是否有错，错的及时纠正。2.在开机的过程中提问：谁记得如何打开画图？
生思考，并举手回答，老师作出评价。（开始——程序——附件——画图）3.观察到大多数的计算机已经打开，要求学生演示打开画图的过程，加深影象。4.复习上一节课的内容，引入本节主题。
二、导入（2分钟）
展示“图1”，要求学生观察，并回答问题： 1.图上画的是什么？（生回答：小鸡）
2.大家仔细看看这只小鸡是由那些图形组成的呢？（生回答：圆形，三角形，直线）
3.那其中最多的图形是什么？（生回答：圆形）
4.在我们的日常生活中还有什么是圆形的？（生回答：碗、盘子、水杯、太阳、车轮、饼干„„）
大家说的都很好，那么你们想学用计算机画小鸡吗？（生：想）
三、新授（15分钟）
好，现在我们就一起来学习利用椭圆工具画出小鸡。
1.老师语言描述，学生跟随动手，老师从旁指导个别基础较差的学生（1）打开画图程序，看谁作的又快又好；（2）在工具栏中选取“椭圆工具”选项；（3）按住鼠标左键，画一个圆。
好了，我看到大家都已经画出一个很好的圆了，下面就请大家自己先动手画一 画小鸡。
（4）时间到了，大家的小鸡画的怎么样啊？（生：不好）我看到有些同学已经画出来了，但是有些同学还没有，别急，现在仔细听老师教你们，到时候你们也一定会画的很好的。2.实例讲解，边讲解边画范图
（1）画鸡身和鸡头（椭圆的画法）
讲解演示：单击椭圆工具，移动十字光标到绘图区，按住鼠标左键拖动，图形就会朝鼠标器移动方向延伸，放开鼠标左键则完成鸡身的绘画。按此方法，可再画出小鸡头。
（2）画鸡脚和鸡嘴（直线的画法）
讲解演示：单击直线工具，移动十字形光标到小鸡身子的下面，按住鼠标左键拖动，直线就会朝鼠标的移动方向改变长度和位置，放开鼠标左键则完成直线绘制。按此方法，可画出小鸡的脚和嘴。（3）画鸡翅（曲线的画法）
讲解演示：单击曲线工具，移动十字形光标到小鸡身子的里面，先大概确定一下要画的曲线的位置，在曲线的一个端点单击一下左键，然后继续按住鼠标左键移动到另一个端点，放开鼠标左键，则在两个端点之间出现一直线。再移动光标到所绘线条的中间位置，按下鼠标左键慢慢向下拖动，这时曲线弧度就会随鼠标的移动方向而改变，满意时放开鼠标左键，并再次单击鼠标左键，完成曲线绘制。
（4）画鸡点“睛”（刷子的用法）
讲解演示：单击刷子工具，移动十字形光标到鸡头的里面，选择适当位置单击一个鼠标左键即可。按此方法，可画出小鸡的眼睛。（5）给鸡嘴上色（着色滚筒的用法）
讲解演示：着色滚筒主要是在一个封闭的区域内着色。单击色滚筒工具，移动光标到鸡嘴的位置，单击鼠标左键既可。3.现在大家应该都可以画出来了吧？那么接下来大家就继续动手画吧，已经画好的同学可以参照老师的这副画画出一副完整的图画来（展示“图2”）。4.观察和指导学生练习。（10分钟）5.解决学生在练习中反馈的问题（3分钟）（1）画图窗口的最大化（点击最大化按钮）；（2）颜色的填充（没有形成一个封闭的图形）。6.与学生一起鉴赏好的作品。（10）
四、版书设计
第二章第二节画小鸡的操作步骤： A、画鸡身和鸡头（椭圆）B、画鸡脚和鸡嘴（直线）C、画鸡翅（曲线）D、画鸡点“睛”（刷子）E、给鸡嘴着色（着色滚筒）
椭圆世界
第五篇：教辅：高考数学二轮复习考点-直线与圆﹑椭圆﹑双曲线﹑抛物线
考点十五 直线与圆﹑椭圆﹑双曲线﹑抛物线
一、选择题
1．若直线x＋(1＋m)y－2＝0与直线mx＋2y＋4＝0平行，则m的值是()
A．1
B．－2
C．1或－2
D．－
答案 A
解析 ①当m＝－1时，两直线分别为x－2＝0和x－2y－4＝0，此时两直线相交，不符合题意．②当m≠－1时，两直线的斜率都存在，由两直线平行可得解得m＝1，故选A.2．(2020·广州综合测试)若直线kx－y＋1＝0与圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0有公共点，则实数k的取值范围是()
A．[－3，＋∞)
B．(－∞，－3]
C．(0，＋∞)
D．(－∞，＋∞)
答案 D
解析 圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心为(－1,2)，半径为2，由题意可知圆心到直线kx－y＋1＝0的距离d＝≤2，化简，得32＋≥0，故k∈(－∞，＋∞)．故选D.3．(2020·山东菏泽高三联考)已知双曲线－＝1的一条渐近线上存在一点到x轴的距离与到原点O的距离之比为，则实数a的值为()
A．2
B．4
C．6
D．8
答案 B
解析 由题意，得该双曲线的一条渐近线的斜率为＝，则＝，解得a＝4.故选B.4．(2020·山东泰安四模)已知抛物线E：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，O为坐标原点，OF为菱形OBFC的一条对角线，另一条对角线BC的长为2，且点B，C在抛物线E上，则p＝()
A．1
B．
C．2
D．2
答案 B
解析 由题意，得在抛物线上，代入抛物线的方程可得1＝，∵p>0，∴p＝，故选B.5．(2020·衡中高三质量检测一)已知椭圆C1：＋y2＝1(m>1)与双曲线C2：－y2＝1(n>0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则()
A．m>n且e1e2>1
B．m>n且e1e2<1
C．m
D．m 答案 A 解析 由于椭圆C1与双曲线C2的焦点重合，则m2－1＝n2＋1，则m2－n2＝2>0，∵m>1，n>0，∴m>n.∵e1＝＝，e2＝＝，∴e1e2＝＝＝＝>1，故选A.6．(2020·北京高考)设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l.P是抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥l于Q，则线段FQ的垂直平分线() A．经过点O B．经过点P C．平行于直线OP D．垂直于直线OP 答案 B 解析 如图所示，因为线段FQ的垂直平分线上的点到F，Q的距离相等，又点P在抛物线上，根据抛物线的定义可知|PQ|＝|PF|，所以线段FQ的垂直平分线经过点P.故选B.7．(多选)(2020·新高考卷Ⅰ)已知曲线C：mx2＋ny2＝1，() A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上 B．若m＝n>0，则C是圆，其半径为 C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝± x D．若m＝0，n>0，则C是两条直线 答案 ACD 解析 对于A，若m>n>0，则mx2＋ny2＝1可化为＋＝1，因为m>n>0，所以<，即曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；对于B，若m＝n>0，则mx2＋ny2＝1可化为x2＋y2＝，此时曲线C表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确；对于C，若mn<0，则mx2＋ny2＝1可化为＋＝1，此时曲线C表示双曲线，由mx2＋ny2＝0可得y＝± x，故C正确；对于D，若m＝0，n>0，则mx2＋ny2＝1可化为y2＝，y＝±，此时曲线C表示平行于x轴的两条直线，故D正确．故选ACD.8．(多选)(2020·山东潍坊6月模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝2，点P(1,1)在椭圆的内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是() A．|QF1|＋|QP|的最小值为2－1 B．椭圆C的短轴长可能为2 C．椭圆C的离心率的取值范围为 D．若＝，则椭圆C的长轴长为＋ 答案 ACD 解析 因为|F1F2|＝2，所以F2(1,0)，|PF2|＝1，所以|QF1|＋|QP|＝2－|QF2|＋|QP|≥2－|PF2|＝2－1，当Q，F2，P三点共线时，取等号，故A正确；若椭圆C的短轴长为2，则b＝1，a＝2，所以椭圆C的方程为＋＝1，又＋>1，则点P在椭圆外，故B错误；因为点P(1，1)在椭圆内部，所以＋<1，又a－b＝1，所以b＝a－1，所以＋<1，即a2－3a＋1>0，解得a>＝＝，所以>，所以e＝<，所以椭圆C的离心率的取值范围为，故C正确；若＝，则F1为线段PQ的中点，所以Q(－3，－1)，所以＋＝1，又a－b＝1，所以＋＝1(a>1)，即a2－11a＋9＝0(a>1)，解得a＝＝＝，所以＝，所以椭圆C的长轴长为＋，故D正确．故选ACD.二、填空题 9．(2020·山东省实验中学高三6月模拟)以抛物线y2＝2x的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为________． 答案 2＋y2＝1 解析 抛物线y2＝2x的焦点为，准线方程为x＝－，焦点到准线的距离为1，所以圆的圆心为，半径为1，故圆的标准方程为2＋y2＝1.10．(2020·北京高考)已知双曲线C：－＝1，则C的右焦点的坐标为________；C的焦点到其渐近线的距离是________． 答案(3,0) 解析 在双曲线C中，a＝，b＝，则c＝＝3，则双曲线C的右焦点的坐标为(3,0)．双曲线C的渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0，所以双曲线C的焦点到其渐近线的距离为＝.11．(2020·河南开封高三3月模拟)已知F1，F2是椭圆E：＋＝1的左、右焦点，点M在E上，且∠F1MF2＝，则△F1MF2的面积为________． 答案 3 解析 由题意，设|MF1|＝m，|MF2|＝n，则m＋n＝2a，由余弦定理可得，4c2＝m2＋n2－2mncos＝(m＋n)2－mn＝4a2－mn，又c2＝a2－3，∴mn＝12，∴△F1MF2的面积S＝mnsin＝3.12.(2020·株洲第二中学4月模拟)如图，点F是抛物线C：x2＝4y的焦点，点A，B分别在抛物线C和圆x2＋(y－1)2＝4的实线部分上运动，且AB总是平行于y轴，则△AFB周长的取值范围是________． 答案(4,6) 解析 ∵抛物线C：x2＝4y的焦点为F(0,1)，准线方程为y＝－1，圆x2＋(y－1)2＝4的圆心F(0,1)，半径R＝2，∴|FB|＝2，|AF|＝yA＋1，|AB|＝yB－yA，∴△AFB的周长为|FB|＋|AF|＋|AB|＝2＋yA＋1＋yB－yA＝3＋yB，∵1 三、解答题 13．过原点O作圆x2＋y2－8x＝0的弦OA.(1)求弦OA的中点M的轨迹方程； (2)延长OA到N，使|OA|＝|AN|，求点N的轨迹方程． 解(1)设M的坐标为(x，y)，则A(2x,2y)，因为点A在圆x2＋y2－8x＝0上，所以(2x)2＋(2y)2－16x＝0，即x2＋y2－4x＝0.又点O与A不重合，所以x≠0.因此，点M的轨迹方程为x2＋y2－4x＝0(x≠0)． (2)设N(x，y)，∵|OA|＝|AN|，∴A为线段ON的中点，∴A，又A在圆x2＋y2－8x＝0上，∴2＋2－4x＝0，即x2＋y2－16x＝0.又点O与A不重合，所以x≠0.因此，点N的轨迹方程为x2＋y2－16x＝0(x≠0)． 14．(2020·全国卷Ⅱ)已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|＝|AB|.(1)求C1的离心率； (2)若C1的四个顶点到C2的准线距离之和为12，求C1与C2的标准方程． 解(1)因为椭圆C1的右焦点为F(c,0)，所以抛物线C2的方程为y2＝4cx，其中c＝.不妨设A，C在第一象限，因为椭圆C1的方程为＋＝1，所以当x＝c时，有＋＝1⇒y＝±，因此A，B的纵坐标分别为，－.又因为抛物线C2的方程为y2＝4cx，所以当x＝c时，有y2＝4c·c⇒y＝±2c，所以C，D的纵坐标分别为2c，－2c，故|AB|＝，|CD|＝4c.由|CD|＝|AB|，得4c＝，即3·＝2－22，解得＝－2(舍去)，＝.所以C1的离心率为.(2)由(1)知a＝2c，b＝c，故椭圆C1：＋＝1，所以C1的四个顶点坐标分别为(2c,0)，(－2c,0)，(0，c)，(0，－c)，C2的准线方程为x＝－c.由已知，得3c＋c＋c＋c＝12，解得c＝2.所以a＝4，b＝2，所以C1的标准方程为＋＝1，C2的标准方程为y2＝8x.一、选择题 1．(2020·山东济南二模)已知抛物线x2＝4y的焦点为F，点P在抛物线上且横坐标为4，则|PF|＝() A．2 B．3 C．5 D．6 答案 C 解析 将x＝4代入抛物线方程得P(4,4)，根据抛物线定义得|PF|＝4＋＝4＋1＝5.故选C.2．(2020·湖北荆州高三阶段训练)某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为e，设地球半径为R，该卫星近地点离地面的距离为r，则该卫星远地点离地面的距离为() A.r＋R B．r＋R C.r＋R D．r＋R 答案 A 解析 椭圆的离心率e＝∈(0,1)(c为半焦距，a为长半轴长)，设该卫星远地点离地面的距离为n，如图： 则n＝a＋c－R，r＝a－c－R，所以a＝，c＝，所以n＝a＋c－R＝＋－R＝r＋R.故选A.3．(2020·北京高考)已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为() A．4 B．5 C．6 D．7 答案 A 解析 设圆心为C(x，y)，则＝1，化简得(x－3)2＋(y－4)2＝1，所以圆心C的轨迹是以M(3，4)为圆心，1为半径的圆，如图．所以|OC|＋1≥|OM|＝＝5，所以|OC|≥5－1＝4，当且仅当C在线段OM上时取得等号，故选A.4．(2020·山东潍坊高密二模)已知双曲线－＝1的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为() A.B． C． D．2 答案 A 解析 双曲线－＝1的一条渐近线的倾斜角为，tan＝，所以该条渐近线方程为y＝x，所以＝，解得a＝，所以c＝＝＝2，所以双曲线的离心率为e＝＝＝.故选A.5．(2020·山西太原五中3月模拟)若过椭圆＋＝1内一点P(2,1)的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程为() A．8x＋9y－25＝0 B．3x－4y－5＝0 C．4x＋3y－15＝0 D．4x－3y－9＝0 答案 A 解析 设弦的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2，P为AB的中点，因为A，B在椭圆上，所以＋＝1，＋＝1，两式相减，得＋＝0，因为x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，可得＝－，则所求直线的斜率k＝－，因为该直线过点P(2,1)，所以所求直线的方程为y－1＝－(x－2)，整理，得8x＋9y－25＝0.故选A.6．(2020·山东淄博二模)当α∈时，方程x2cosα＋y2sinα＝1表示的轨迹不可能是() A．两条直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 答案 B 解析 当α∈时，0 A．C的离心率为2 B．C的渐近线方程为y＝±x C．动点P到两条渐近线的距离之积为定值 D．当动点P在双曲线C的左支上时，的最大值为 答案 AC 解析 对于双曲线C：x2－＝1，a＝1，b＝，c＝2，所以双曲线C的离心率为e＝＝2，渐近线方程为y＝±x，A正确，B错误；设点P的坐标为(x0，y0)，则x－＝1，双曲线C的两条渐近线方程分别为x－y＝0和x＋y＝0，则点P到两条渐近线的距离之积为·＝＝，C正确；当动点P在双曲线C的左支上时，|PF1|≥c－a＝1，|PF2|＝2a＋|PF1|＝|PF1|＋2，＝＝＝≤＝，当且仅当|PF1|＝2时，等号成立，所以的最大值为，D错误．故选AC.8．(多选)(2020·山东威海三模)已知抛物线y2＝2px(p>0)上三点A(x1，y1)，B(1,2)，C(x2，y2)，F为抛物线的焦点，则() A．抛物线的准线方程为x＝－1 B.＋＋＝0，则||，||，||成等差数列 C．若A，F，C三点共线，则y1y2＝－1 D．若|AC|＝6，则AC的中点到y轴距离的最小值为2 答案 ABD 解析 把点B(1,2)代入抛物线y2＝2px，得p＝2，所以抛物线的准线方程为x＝－1，故A正确；因为A(x1，y1)，B(1,2)，C(x2，y2)，F(1,0)，所以＝(x1－1，y1)，＝(0,2)，＝(x2－1，y2)，又由＋＋＝0，得x1＋x2＝2，所以||＋||＝x1＋1＋x2＋1＝4＝2||，即||，||，||成等差数列，故B正确；因为A，F，C三点共线，所以直线斜率kAF＝kCF，即＝，所以＝，化简得y1y2＝－4，故C不正确；设AC的中点为M(x0，y0)，因为|AF|＋|CF|≥|AC|，|AF|＋|CF|＝x1＋1＋x2＋1＝2x0＋2，所以2x0＋2≥6，得x0≥2，即AC的中点到y轴距离的最小值为2，故D正确．故选ABD.二、填空题 9．(2020·深圳调研二)已知椭圆C：＋＝1的右焦点为F，O为坐标原点，C上有且只有一个点P满足|OF|＝|FP|，则C的方程为________． 答案 ＋＝1 解析 根据对称性知P在x轴上，因为|OF|＝|FP|，故a＝2c，又a2＝3＋c2，所以a＝2，c＝1，故椭圆C的方程为＋＝1.10．(2020·浙江高考)设直线l：y＝kx＋b(k＞0)，圆C1：x2＋y2＝1，C2：(x－4)2＋y2＝1，若直线l与C1，C2都相切，则k＝________，b＝________.答案 － 解析 由题意，两圆圆心C1(0,0)，C2(4,0)到直线l的距离等于半径，即＝1，＝1，所以|b|＝|4k＋b|，所以k＝0(舍去)或b＝－2k，解得k＝，b＝－.11.如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a 解析 由题意可知D是抛物线y2＝2ax(a>0)的焦点，且D，又正方形DEFG的边长为b，所以F，因为F在抛物线上，所以b2＝2a，即b2－2ab－a2＝0，所以2－－1＝0，解得＝1＋或1－，因为0 解析 如图所示，设PnFn1，PnFn2与圆Gn分别切于点Bn，Cn.根据内切圆的性质可得，|PnBn|＝|PnCn|，|BnFn1|＝|AnFn1|，|AnFn2|＝|CnFn2|，又点Pn是双曲线En右支上一动点，∴|PnFn1|－|Fn2Pn|＝＝，∴|AnFn1|－|AnFn2|＝.∴an＋cn－(cn－an)＝.∴an＝.∴a1＋a2＋…＋a2020＝＝.三、解答题 13．(2020·山东济南二模)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点和下顶点分别为A，B，|AB|＝2，过椭圆焦点且与长轴垂直的弦的长为2.(1)求椭圆C的方程； (2)已知M为椭圆C上一动点(M不与A，B重合)，直线AM与y轴交于点P，直线BM与x轴交于点Q，证明：|AQ|·|BP|为定值． 解(1)由题意可知解得所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)证明：A(－4,0)，B(0，－2)，设M(x0，y0)，P(0，yP)，Q(xQ,0)，因为M(x0，y0)在椭圆C上，所以x＋4y＝16，由A，P，M三点共线，得＝，即yP＝，同理可得xQ＝.所以|AQ|·|BP|＝|xQ＋4|·|yP＋2| ＝|·| ＝||＝16.所以|AQ|·|BP|为定值16.14．(2020·福建高三毕业班质量检测)已知定点F(0,1)，P为x轴上方的动点，线段PF的中点为M，点P，M在x轴上的射影分别为A，B，PB是∠APF的平分线，动点P的轨迹为E.(1)求E的方程； (2)设E上点Q满足PQ⊥PB，Q在x轴上的射影为C，求|AC|的最小值． 解 解法一：(1)设坐标原点为O，因为PA∥BM，所以∠APB＝∠PBM，因为PB是∠APF的平分线，所以∠APB＝∠MPB，所以∠MPB＝∠PBM，所以|BM|＝|PM|，因为M为线段PF的中点，|BM|＝，所以2|BM|＝|PA|＋1，因为|PF|＝2|PM|＝2|BM|，所以|PF|＝|PA|＋1，因为P为x轴上方的动点，所以点P到点F的距离等于点P到直线y＝－1的距离，所以动点P的轨迹E是顶点在原点，焦点为F(0,1)的抛物线(原点除外)，设E的方程为x2＝2py(p>0，x≠0)，则＝1，所以p＝2，所以E的方程为x2＝4y(x≠0)． (2)设点P，Q，所以点B，＝，＝，所以·＝－(x2－x1)－＝－·(x2－x1)[8＋x1(x2＋x1)]＝0，因为x2≠x1，且x1≠0，所以8＋x1(x2＋x1)＝0，所以x2＝－－x1，所以|AC|＝|x1－x2|＝|2x1＋|＝|2x1|＋|| ≥2＝8，当且仅当x1＝±2时，等号成立，所以|AC|的最小值为8.解法二：(1)设点P(x0，y0)，y0>0，x0≠0，所以点B，所以|AB|＝，因为PB是∠APF的平分线，所以点B到直线PF的距离d＝|AB|，因为直线PF的方程为y－1＝x，整理，得(y0－1)x－x0y＋x0＝0，所以d＝，所以＝，整理，得x＝4y0(x0≠0)，所以动点P的轨迹E的方程为x2＝4y(x≠0)． (2)设点P，Q，所以点B，所以kPB＝＝，因为PQ⊥PB，所以直线PQ的方程为y－＝－(x－x1)，即y＝－x＋2＋，代入E的方程得x2＋x－8－x＝0，所以x1x2＝－8－x，即x2＝－－x1，所以|AC|＝|x1－x2|＝|2x1＋|＝|2x1|＋|| ≥2 ＝8，当且仅当x1＝±2时，等号成立，所以|AC|的最小值为8.
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