2.3双曲线 教学设计 教案

第一篇：2.3双曲线 教学设计 教案

教学准备

1.教学目标 知识与技能

[1] 理解双曲线的概念，掌握双曲线的定义、会用双曲线的定义解决实际问题。[2] 能根据已知条件利用定义或待定发系数法求双曲线的标准方程.理解双曲线标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法。

[3] 进一步感受曲线方程的概念，了解建立曲线方程的基本方法.了解借助信息技术探究动点轨迹的《几何画板》的制作或操作方法。

2过程与方法

[1]提高运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力。

[2]通过定义及标准方程的挖掘与探究，使学生进一步体验类比及数形结合等思想方法的运用.[3]培养学生的类比推理能力、观察能力、归纳能力、探索发现能力。3 情感态度与价值观

[1]亲身经历双曲线及其标准方程的获得过程，感受数学美的熏陶。

[2]通过主动探索，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的理性和严谨。

[3]养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神.通过自主学习、主动参与、积极探究的学习过程，激发学生学习数学的自信心和积极性，培养学生良好的思维习惯，培养学生分析、解决问题的能力。

2.教学重点/难点

重点：通过类比、提出猜想进而操作确认，获得双曲线的定义并推导双曲线的标准方程。

难点：[1]双曲线的标准方程的推导。

[2]综合应用双曲线的标准方程解决生产生活中的实际问题。

3.教学用具

多媒体、木板、拉链等 4.标签

教学过程

教学过程设计 旧知回顾、引入新课

【师】同学们好。从今天我们开始进入新一节内容的学习：双曲线及其标准方程。

【板书】2.3.1.双曲线及其标准方程 【师】请同学们回忆一下前几节课的知识？ 【板书】

椭圆的定义？

椭圆的标准方程？

椭圆的简单几何性质？

椭圆知识的考查方式？

【生】椭圆的定义是：平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数（大于ⅠF1F2Ⅰ）的点的轨迹叫做椭圆（ellipse）．其中这两个定点叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦距．即当动点设为m时，椭圆即为点集。

【生】椭圆的标准方程有两个（分焦点在x轴和焦点在y轴两种情况）：

【生】椭圆的简单几何性质有范围、对称性、顶点、焦点坐标、离心率等内容。【生】椭圆知识的考查方式有两种方式：给方程题和求方程题。常见延伸问题有焦点弦、焦点半径、焦点三角形、直线与曲线的交点、直线与圆锥曲线相交的弦长公式、圆锥曲线的最值、定值及过定点等难点问题。

给方程题：较大分母是a2,较小分母是b2,焦点所在轴与含a2项所在的分子所含字母相同，可求出半焦距c,继而依次写出顶点、焦点坐标、离心率等。求方程题：根据待定系数法就是确定a2与b2和焦点所在轴。

【师】下面我们研究一种我们初中曾经学过的“新”的曲线。（反比例函数的图像就是双曲线，但是坐标系建立方式不同，方程形式也不同）【师】考虑以下问题，思考后作答：

问题：如果把椭圆定义中的“距离之和”改为“距离之差”，那么点的轨迹是怎样的曲线？即“平面内与两个定点F1，F2的距离的差等于非零常数的点的轨迹”是什么？

阅读教材P52～55，回答下列问题：双曲线的定义、图形、标准方程、应用。【生】小组合作，思考、交流，得出结论。（1）小组合作

[1]取一条拉链；[2]如图把它固定在板上的两点F1、F2；[3] 拉动拉链（M）。思考：拉链运动的轨迹是什么？

观察AB两图探究双曲线的定义 ①如图(A)，|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a ②如图(B)，|MF2|-|MF1|=|F1F|=2a 由①②可得：| |MF1|-|MF2| | = 2a

上面两条曲线合起来叫做双曲线。

【师】根据以上分析，试给双曲线下一个完整的定义？ 【生】 文字描述：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值 等于非零常数（小于︱F1F2︱）的点的轨迹叫做双曲线。两个定点F1、F2叫做双曲线的焦点。两个定点间的距离|F1F2|=2c 叫做焦距。符号描述：| |MF1|-|MF2| | = 2a（2a<2c）。图形：

【师】请同学们利用搜集的知识说一说双曲线的历史起源和现实应用。【生】我说双曲线的历史起源：

2000多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并获得了大量的成果。古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；用平行圆锥的轴的平面截取,可得到双曲线的一边;以圆锥顶点做对称圆锥,则可得到双曲线[1]。阿波罗尼曾把椭圆叫“亏曲线”，把双曲线叫做“超曲线”，把抛物线叫做“齐曲线”。事实上，阿波罗尼在其著作中使用纯几何方法已经取得了今天高中数学中关于圆锥曲线的全部性质和结果。【生】我说双曲线的现实应用：

双曲线在实际中的应用有通风塔，冷却塔，埃菲尔铁塔，广州塔等。

【师】初中学过的反比例函数的图像就是一种特殊的双曲线，叫做等轴双曲线，以其渐近线为坐标系建立方程，得到的函数解析式就是在教师的启发下，师生共同完成几种特殊情形的探究。

。【师】再考虑以下问题，思考后作答:（1）|MF1|-|MF2|=2a表示双曲线的哪一支？ 【生】右支。

【师】（2）|MF2|-|MF1|=2a表示双曲线的哪一支？ 【生】左支。

【师】（3）若2a=2c,则轨迹是什么？

【生】分别以F1、F2为端点方向向外的两条射线F1P、F2Q。【师】（4）若2a>2c,则轨迹是什么？ 【生】无轨迹。

【师】（5）若2a=0,则轨迹是什么？

【生】此时|MF1|=|MF2|，轨迹是线段F1F2的垂直平分线。【师】仿照椭圆建立坐标系的方法，请建立双曲线的方程。【生】建系设点。设M（x , y）,双曲线的焦距为2c（c>0）,F1(-c,0),F2(c,0)，常数=2a 双曲线就是集合： P={M |||MF1|-|MF2|| = 2a }。

叫做双曲线的标准方程。它所表示的双曲线的焦点在x 轴上，焦点是F1(-c,0),F2(c,0)，这里c2=a2+b2。

【师】请同学们尝试将焦点所在轴设为y轴，过焦点连线的垂直平分线为x轴，方程会变成怎样？ 【生】和椭圆的方程焦点在y轴的变化一样，方程中的x、y位置互换！方程变为。

【师】好，谁来总结一下？ 【生】双曲线有两个标准方程： 分别是焦点在x轴上时。

【师】讨论一下a、b有没有必然的大小关系？

【生】双曲线中的a、b没有必然的大小关系，方程右边为1时，左边被减数的分母是a2。2 新知介绍

[1]双曲线及其标准方程

【师】于是，我们可以得到双曲线及其标准方程。

文字描述：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数（小于︱F1F2︱）的点的轨迹叫做双曲线。符号描述和图形：（如右图）

和焦点在y轴上时

助记：(椭圆到双曲线)“和”变“差”，一字之差，天地大变，从有限变无限，从看整个到看不全，a、c大小互换，还好焦点坐标没变、三对称没变。【师】请将双曲线与椭圆对比记忆。

[2]双曲线非标准方程的标准化 【师】下面我们做一些练习！

求出下列双曲线的a2、b2，并写出焦点坐标。

【生】（1）a2＝16

b2＝9，焦点F（±5，0）

（2）a2＝9 b2＝16，焦点F（±5，0）【师】以上答案有问题么? 【生】第二个方程有问题，方程右边不是1，而是－1.【师】有什么办法么？

【生】方程两边同时乘以－1就可以了。【师】（2）的正确答案变了么？

【生】正确答案是（2）a2＝16 b2＝9，焦点F（0，±5）【师】对于非标准方程，首先要标准化才可以提取相关信息。

非标准方程的陷阱及对应措施：（注意到就不会出错）

1、方程右边不为1：两边同除以该数使右边为1（如练习1、3、5）

2、方程左边不标准。

（1）位置不标准：被减数与减数位置互换，（M—N型写为－N+M型）

（2）系数不标准：没有分母（分母为1）或分母为分数形式不恰当整理 【生】（3）、（4）、（5）都是非标准方程，先标准化再提取信息。

（3）两边同时除以－225，得到标准方程焦点F（0，±），a2＝25，b2＝9，（4）左边分母标准化，0）

（5）两边同时除以5,得，a2＝1 b2＝，焦点F（±，位置和系数标准化，得

[3]双曲线及其标准方程应用

问题：双曲线及其标准方程能解决什么问题？

【生】由双曲线绕其虚轴旋转，可以得到单叶双曲面，它又是一种直纹曲面，由两组母直线族组成，各组内母直线互不相交，而与另一组母直线却相交。应用于通风塔，冷却塔、地标建筑等建筑设计。造型优美，功效显著！既轻巧又坚固。生活中和军事上可以用于定位。[4]例题处理

【师】下面我们来处理书上的例题。【生】练习并讨论。【例1】已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程。

解：因为双曲线的焦点在 x 轴上，所以设它的标准方程为：，∵ 2a = 6,2c=10，∴ a = 3, c = 5.∴ b2 = 52-32 =16.所以所求双曲线的标准方程为：

【拓展探究】已知两定点F1(-5,0),F2(5,0)，动点P满足|PF1|-|PF2|＝6.求动点P的轨迹方程.解：∵|F1F2|＝10，|PF1|-|PF2|＝6，∴由双曲线的定义可知，点P的轨迹是双曲线的右支.∵两焦点为F1(-5,0),F2(5,0)，∴设它的标准方程为：

∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.∴b2 =52-32 =16.∴动点P的轨迹方程为

【师】请大家总结求双曲线方程的基本步骤。

【生】1.求双曲线的标准方程就是确定三项内容：焦点所在轴（方程二选一）、a2、b2.2.现实应用中双曲线有可能变为单曲线（一支）,通过限制方程中的x的取值范围实现.【师】补充一点，还有一种可能，焦点所在轴不确定时可能两种情况都成立，需分情况讨论。

【例2】已知A,B两地相距800 m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2 s,且声速为340 m/s, 求炮弹爆炸点的轨迹方程.【分析】首先根据题意,判断轨迹的形状.由声速及A，B两处听到爆炸声的时间差,可知A，B两处与爆炸点的距离的差为定值.这样，爆炸点在以A，B为焦点的双曲线上.因为爆炸点离A处比离B处远，所以爆炸点应在靠近B处的双曲线的一支上.解: 如图所示，建立直角坐标系xOy,使A，B两点在x轴上，并且坐标原点O与线段AB的中点重合.∴设它的标准方程为：

设爆炸点P的坐标为(x,y)，则|PA|-|PB|＝340x2=680，即 2a=680，a=340.又|AB|＝800，即 2c=800,c=400,b2 = c2-a2 =160000－115600＝44400.∴炮弹爆炸点的轨迹(双曲线的一支)方程为(注：课本上只是x>0,本设计更精确)【应用提升】1.若在A,B两地同时听到炮弹爆炸声,则炮弹爆炸点的轨迹是什么? 解: 爆炸点的轨迹是线段AB的垂直平分线.2.根据两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间差，可以确定爆炸点在某条曲线上，但不能确定爆炸点的准确位置.而现实生活中为了安全，我们最关心的是炮弹爆炸点的准确位置，怎样才能确定爆炸点的准确位置呢? 解:再增设一个观测点C，利用B，C（或A，C）两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置.这是双曲线的一个重要应用.【例3】如果方程解：由

表示双曲线，求m的取值范围.【应用提升】如果方程值范围.表示焦点在y轴上的双曲线，求m的取由例题，从m的取值中选取适合的范围即有 【拓展探究】已知圆C1：(x+3)2+y2=1和圆C2：(x-3)2+y2=9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程．

解：

【师】引导学生分析条件与结论，认识到解题关键是确认已知条件中的隐藏信息。再次强调：

1、求双曲线的标准方程就是确定三项内容：焦点所在轴（方程二选一）、a2、b2.2、焦点所在轴不确定时可能两种情况都成立，需分情况讨论。

3、现实应用题中双曲线有可能变为单曲线（一支）注意相应自变量x的取值会发生变化。【强化练习】

已知B（-5，0），C（5，0）是三角形ABC的两个顶点，且，求顶点A的轨迹方程。解：在△ABC中，|BC|=10，故顶点A的轨迹是以B、C为焦点的双曲线的左支，又因c=5，a=3，则b2=16，则顶点A的轨迹方程为[5]小结：双曲线及其标准方程

【师】现在我们来总结一下，双曲线及其标准方程。【板书/PPT】

【双曲线的定义】平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数（小于︱F1F2︱）的点的轨迹叫做双曲线。（1）当|MF1|-|MF2|=2a表示双曲线的右支。（2）|MF2|-|MF1|=2a表示双曲线的左支。

（3）若2a=2c,则轨迹是分别以F1、F2为端点方向向外的两条射线F1P、F2Q。（4）若2a>2c,则无轨迹。

（5）若2a=0,则轨迹是线段F1F2的垂直平分线。【双曲线的标准方程】有两个： 分别是焦点在x轴上时。

【考查方式】给方程题与求方程题 给方程题一般涉及方程的标准化：

对于非标准方程，首先要标准化才可以提取相关信息。非标准方程的陷阱及对应措施：（注意到就不会出错）

1.方程右边不为1：两边同除以该数使右边为1（如练习1、3、5）2.方程左边不标准。

和焦点在y轴上时。

（1）位置不标准：被减数与减数位置互换，（M—N型写为－N+M型）

（2）系数不标准：没有分母（分母为1）或分母为分数形式不恰当整理 求方程题：一般用待定系数法：

3.求双曲线的标准方程就是确定三项内容：焦点所在轴（方程二选一）、a2、b2.4.焦点所在轴不确定时可能两种情况都成立，需分情况讨论。

5.现实应用题中双曲线有可能变为单曲线（一支）注意相应自变量x的取值会发生变化。【易错点点拨】

1.与椭圆相关知识混淆，误认为一定有a>b或仍然用a2=b2+c2来求相关值。2.忽略非标准方程的存在，错误提取相关数据。3.该分情况讨论的没有分情况讨论。答案不完整。

4、忽略问题的实际意义将双曲线的一支确定为两支。课堂小结（投影，给出知识脉络图）

1.双曲线的定义

2.双曲线的标准方程

3.利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题 3 复习总结和作业布置 [1]课堂练习

一、填空题

1.a=4，b=3 ,焦点在x轴上的双曲线的标准方程是

.2.焦点为（0,-6）,（0，6）,经过点（2，-5）的双曲线的标准方程是

.3.设双曲线上的点P到(5,0)的距离是15,则P到(-5,0)的距离是

..4.如果方程

表示双曲线，则m的取值范围是

.二、选择题． 5．设F1，F2是双曲线的焦点，点P在双曲线上，且，则点P到x轴的距离（）A．1

B．

C．2

D．

6．P为双曲线径的圆与圆

为上一点，若F是一个焦点，以PF为直的位置关系是（）A．内切

B．外切

C．内切或外切

D．无公共点或相交 7．已知两定点F1(－5,0)，F2(5,0)，动点 P 满足|PF1|－|PF2|＝2a，则当a＝3和5时，P点的轨迹为（）A．双曲线和一直线 B．双曲线和一条射线 C．双曲线的一支和一条射线 D．双曲线的一支和一条直线

三、解答题

8．若方程(k2+k-2)x2+(k+1)y2=1的曲线是焦点在y轴上的双曲线，求k的取值范围。

【解答】

一、填空题

二、选择题．5.B 6.C 7.C

三、解答题

8.解：由双曲线的标准方程可知(k+1)>0且(k2+k-2)<0，9.解：因为双曲线的焦点位置不确定，所以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，因P1，P2在双曲线上，所以有

所以所求双曲线方程为[2]作业布置

1、自学完成课本P58练习。.2、课本P61习题2．3（A组）第1、2题

课本P62习题2．3（B组）第2题

3、选做题：

1.设P为双曲线上的一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|∶|PF2|＝3∶2，则△PF1F2的面积为_______.2.已知△ABC的两个顶点A,B的坐标为A(-5,0),B(5,0)，且AC,BC的斜率之积等于m(m≠0)，若顶点C的轨迹是双曲线（去掉两个顶点），求m的取值范围.(附答案：)1.由已知得2a＝2，又由双曲线的定义得，|PF1|－|PF2|＝2，又|PF1|∶|PF2|＝3∶2，∴|PF1|＝6，|PF2|＝4.又|F1F2|＝2c＝

由余弦定理得∴△PF1F2为直角三角形．

2.设C点的坐标为C（x,y)，则AC的斜率为，BC的斜率为依题意有原方程可化为,化简得mx2-y2=25m(y≠0).因为m≠0，所以①

由题知方程①表示的轨迹是焦点在x轴上的双曲线（去掉两个顶点）,所以m＞0.所以所求m的取值范围是(0,+∞)．

4、预习提纲：

前面学习了椭圆的简单几何性质，类比学习下一节双曲线的简单几何性质．

第二篇：2．2 双曲线 教学设计 教案

教学准备

1.教学目标

知识与技能

掌握双曲线的定义，掌握双曲线的四种标准方程形式及其对应的焦点、准线． 过程与方法

掌握对双曲线标准方程的推导，进一步理解求曲线方程的方法——坐标法．通过本节课的学习，提高学生观察、类比、分析和概括的能力．

情感、态度与价值观

通过本节的学习，体验研究解析几何的基本思想，感受圆锥曲线在刻画现实和解决实际问题中的作用，进一步体会数形结合的思想．

2.教学重点/难点

教学重点

双曲线的定义及焦点及双曲线标准方程． 教学难点

在推导双曲线标准方程的过程中，如何选择适当的坐标系．

3.教学用具

多媒体

4.标签

教学过程

教学过程设计

新知探究

探究点一

双曲线的定义 【问题导思】 1．取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2处，把笔尖放于点M，拉开闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，思考曲线满足什么条件？

【提示】 如图，曲线上的点满足条件：|MF1|－|MF2|＝常数；如果改变一下位置，使|MF2|－|MF1|＝常数，可得到另一条曲线．

2．双曲线定义中强调平面内动点到两定点的距离差的绝对值为常数，若没有绝对值，则动点的轨迹是什么？ 【提示】 双曲线的一支．

3．双曲线定义中，为什么要限制常数2a＜|F1F2|? 【提示】 只有当2a＜|F1F2|时，动点的轨迹才是双曲线；若2a＝|F1F2|，轨迹是两条射线；若2a＞|F1F2|，满足条件的点不存在．.已知点P(x，y)的坐标满足下列条件，试判断下列各条件下点P的轨迹是什么图形？

【提示】(1)∵表示点P(x，y)到两定点F1(－5,0)、F2(5,0)的距离之差的绝对值，|F1F2|＝10，∴||PF1|－|PF2||＝6<|F1F2|，故点P的轨迹是双曲线．(2)∵

表示点P(x，y)到两定点F1(－4,0)、F2(4,0)的距离之差，|F1F2|＝8，∴|PF1|－|PF2|＝6<|F1F2|，故点P的轨迹是双曲线的右支．

探究点二

双曲线的标准方程 【问题导思】

1．能否用推导椭圆标准方程的方法推出双曲线的方程？怎样推导？ 【提示】 能．

(1)建系：以直线F1F2为x轴，F1F2的中点为原点建立平面直角坐标系．(2)设点：设M(x，y)是双曲线上任一点，且双曲线的焦点坐标为F1(－c,0)，F2(c,0)．

(3)列式：由|MF1|－|MF2|＝±2a，可得(4)化简：移项，平方后可得(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)． 令c2－a2＝b2，得双曲线的标准方程为

2．双曲线的标准形式有两种，如何区别焦点所在的坐标轴？

【提示】 双曲线标准方程中x2与y2的系数的符号决定了焦点所在的坐标轴：当x2系数为正时，焦点在x轴上；当y2的系数为正时，焦点在y轴上，而与分母的大小无关． 双曲线的标准方程

【典例精讲】

命题方向一

双曲线标准方程的理解

例1.方程表示的曲线为C，给出下列四个命题

①曲线C不可能是圆；

②若1＜k＜4，则曲线C为椭圆； ③若曲线C为双曲线，则k＜1或k＞4； ④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则其中正确命题的序号是________． 【解析】 当4－k＝k－1＝0时，即题．对于②，当1＜k＜4且

时，曲线C是圆，∴命题①是假命

时，曲线C是椭圆，则②是假命题．

根据双曲线和椭圆定义及其标准方程，③④是真命题． 【答案】 ③④ 【小结】

1．双曲线焦点在x轴上⇔标准方程中x2项的系数为正；双曲线焦点在y轴上⇔标准方程中y2项的系数为正． 2．在曲线方程中，若m＝n＞0，则曲线表示一个圆；若m＞0，n＞0，且m≠n，则曲线表示一个椭圆；若mn＜0，则曲线表示双曲线． 【变式训练】若k∈R，则“k＞3”是“方程()A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

表示双曲线”的

【解析】方程表示双曲线的充要条件是(k－3)(k＋3)＞0，即k＜－3或k＞3；当k＞3时，一定有(k－3)(k＋3)＞0，但反之不成立．∴k＞3是方程表示双曲线的充分不必要条件． 【答案】A 命题方向二

求双曲线的标准方程 例2.(1)已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线过点线的标准方程；(2)求与双曲线解析：

有公共焦点，且过点的双曲线方程．

求双曲(1)由已知可设所求双曲线方程为解得∴双曲线的方程为(2)方法一 设双曲线方程为

由题意易求得

又双曲线过点

又∵

故所求双曲线的方程为

方法二 设双曲线方程为k＝4，∴所求双曲线方程为【小结】

(－4

代入得1．求双曲线标准方程一般有两种方法：一是定义法，二是待定系数法． 2．用待定系数法求双曲线标准方程的步骤：

(1)定位：确定双曲线的焦点位置，如果题目没有建立坐标系，一般把焦点放在x轴上；

(2)设方程：根据焦点的位置设相应的双曲线标准方程(当焦点在两个坐标轴上都有可能时，一般设为Ax2＋By2＝1(AB＜0))；

(3)定值：根据题目的条件确定相关的系数的方程，解出系数，代入所设方程． 【变式训练】

(1)与椭圆共焦点且过点Q(2,1)的双曲线方程为________．

(2)设双曲线的焦点为－|PF2|＝4，则双曲线的方程为________．

双曲线上的一点P满足|PF1|【解析】

(1)由题意知双曲线的焦点为

设其方程为双曲线的方程为，又过Q(2,1)，则

解得a2＝2，则所求(2)由双曲线的定义可知2a＝4，即a＝2，又为双曲线的焦点在y轴上，故其方程为

∴b2＝c2－a2＝3，又因【答案】命题方向三

双曲线定义的应用

例3.已知A，B两地相距2 000 m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚4 s，且声速为330 m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程． 解析：如图

建立直角坐标系xOy，使A，B两点在x轴上，并且坐标原点O与线段AB的中点重合．

设爆炸点P的坐标为(x，y)，则|PA|－|PB|＝330×4＝1 320，即2a＝1 320，a＝660.又|AB|＝2 000，所以2c＝2 000，c＝1 000，b2＝c2－a2＝564 400.因为|PA|－|PB|＝330×4＝1 320>0，所以x>0.因此炮弹爆炸点的轨迹(双曲线)的方程为

小结

(1)解答与双曲线有关的应用问题时，不但要准确把握题意，了解一些实际问题的相关概念，同时还要注意双曲线的定义及性质的灵活应用．

(2)实际应用问题要注意其实际意义以及在该意义下隐藏着的变量范围． 【变式训练】已知圆C1：

和圆C2：

动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程．

【解】如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B，根据两圆外切的条件，得

|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|.∵|MA|＝|MB|，∴|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，∴|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝3－1＝2.这表明动点M与两定点C2，C1的距离的差是常数2.根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支，则2a＝2，a＝1，c＝3，∴b2＝c2－a2＝8 因此所求动点M的轨迹方程为当堂检测 1．设P是双曲线

上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝()A．1

B．17 C．1或17

D．以上答案均不对 【解析】由双曲线定义||PF1|－|PF2||＝8，又|PF1|＝9，∴|PF2|＝1或17，但应注意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c－a＝6－4＝2＞1，∴|PF2|＝17.【答案】B 2．若k>1，则关于x，y的方程A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在y轴上的椭圆 C．焦点在y轴上的双曲线 D．焦点在x轴上的双曲线

【解析】将已知方程化为标准形式，根据项的系数符号进行判断．原方程可化为∵k>1，∴k2－1>0,1＋k>0.∴已知方程表示的曲线为焦点在所表示的曲线是（）

y轴上的双曲线．

3．双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为()

【解析】将双曲线方程化为标准形式

所以a2＝1，∴右焦点坐标为【答案】C

4．双曲线的一个焦点为(0，－6)，且经过点(－5,6)，求此双曲线的标准方程． 【解】由题意知c＝6，且焦点在y轴上，另一焦点为(0,6)，所以由双曲线的定义有

∴a＝4，∴b2＝62－42＝20，∴双曲线的标准方程为

课堂小结

1．理解双曲线的定义应特别注意以下两点：(1)距离的差要加绝对值，否则表示双曲线的一支．(2)距离差的绝对值必须小于焦距，否则不是双曲线

2．求双曲线的标准方程包括“定位”和“定量”两个过程．“定位”指确定焦点在哪个坐标轴上，“定量”是指确定a2，b2的大小.板书

第三篇：双曲线教学设计

双曲线及其标准方程教学

沾化一中

郭梅芳

一、教材分析：

《双曲线及其标准方程》是全日制普通高级中学教科书（人教A版）选修2-1第二章第三节内容，双曲线是平面解析几何的又一重要曲线，本节课既是对解析几何学习方法的巩固，又是对运动，变化和对立统一的进一步认识，从整体上进一步认识解析几何，建立解析几何的数学思想。双曲线是三种圆锥曲线中最复杂的一种，传统的处理方法是先学习椭圆，再学习双曲线，通过对比椭圆知识来学习，降低难度，便于学生学习掌握。教材为《双曲线及其标准方程》安排两课时内容，本文是第一课时，本课的主要内容是：（1）探求轨迹（双曲线）；（2）学习双曲线定义；（3）推导双曲线标准方程；

二、教学目标：

1、认知目标：掌握双曲线的定义、标准方程，了解双曲线及相关概念；

2、能力目标：通过学生的操作和协作探讨，培养学生的实践能力和分析问题、解决问题的能力，通过知识的再现培养学生的创新能力和创新意识。

3、情感目标：让学生体会知识产生的全过程，体会解析法的思想。通过画双曲线的几何图形让学生感知几何图形曲线美、简洁美、对称美，培养学生学习数学的兴趣．

三、教学重难点

重点：双曲线中a,b,c之间的关系。

难点：双曲线的标准方程，双曲线及其标准方程的探求；领悟解析法思想．

四、教学方式：

多媒体演示，小组讨论。

五、教学准备：

多媒体课件，六、教学设想： 通过师生的相互“协作”，以提问的形式完成本堂课

七、教学过程：

环节 内容 教学双边活动 设计意图 复习问题

问题1：椭圆的定义是什么？（哪几个关键点）问题2：椭圆的标准方程是怎样的？ 问题3：如何作椭圆？

问题4：性质： 学生回顾，教师补充纠正 回顾椭圆学习过程，本身具有复习提高价值．此处侧重于类比研究椭圆的思想和方法，期望在双曲线学习中有一种方法引领。

引入新课:到两个定点的距离差为定值的动点轨迹？ 过渡

探求轨迹问题：我们用什么方法来探求（画出）轨迹图形？用几何画板演示拉链的轨迹： 同样的，也有设问：①定点与动点 不在同一平面内，能否得到双曲线？请学生回答：不能．指出必须“在平面内”．② 动点M到定点A 与B 两点的距离的差有什么关系？请学生回答，M 到 A与B 的距离的差的绝对值相等，否则只表示双曲线的一支，即 是一个常数．③这个常是否会大于或者等｜AB｜ ？请学生回答，应小于｜AB｜且大于零．当常数2a=｜AB｜ 时，轨迹是以A、B 为端点的两条射线；当常数2a> ｜AB｜时，无轨迹． 小组讨论实验演示提问 通过提出问题，让学生讨论问题，并尝试解决问题。让学生了解双曲线的前提条件，并培养学生的全面思考的能力。

感受曲线，解读定义:

演示得到的图形是双曲线（一部分）；归纳双曲线的定义：平面内，到两个定点的距离的差的绝对值为常数（小于两定点距离）的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。数学简记： 学生读课本并分析其中的关键点 通过阅读和关键点分析，让学生学会读书，学会分析书，从而理解书。

推导方程，认识特性 :（1）建系以两定点所在直线为x轴，其中点为原点，建立直角坐标系xOy 设 为双曲线上任意一点，双曲线的焦距为，则设点M 与A、B 的距离的差的绝对值等于常数。

（2）点的集合由定义可知，双曲线上点的集合满足｜｜MA｜-｜MB｜｜=2a（3）利用坐标关系化代数方程

（4）化简方程

（5）双曲线的标准方程：方程形式：焦点在x轴上： 焦点在y轴上： 焦点的中点在原点（中心在原点）

（6）数量特征：（2a）——（实轴长）,(2c)——（焦距）指出:a,b,c的含义.注:（1）双曲线方程中，a 不一定大于 b；

（2）如果x 的系数是正的，那么焦点在 x轴上，如果y 的系数是正的，那么焦点在 y轴上，有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点的位置.（3）双曲线标准方程中a,b,c 的关系不同于椭圆方程．

交流：建系的任意性与合理性由一位学生上黑板演示，教师巡视，通过对双曲线方程的化简，提高学生的演算能力。可注意大部分学生写得是否正确。类比椭圆，认识共同点，辨别不同。

应用方程，体验思想 :

例1 ： 说明：椭圆 与双曲线 的焦点相同．

例2：求到两定点 A、B 的距离的差的绝对值为6的点的轨迹方程？如果把上面的6改为10，其他条件不变，会出现什么情况？如果改为12呢？ 教师分析，由学生分析，教师板书及补充。可以进一步巩固理解双曲线的定义。

回顾过程，归纳小结 双曲线定义的要点，标准方程的形式

课后练习书本习题

八、自我教学评价

在教学过程中注重知识，能力的融合，努力挖掘内容的本质和联系，以学生 3 为主体，沿着学生的思维方向一步步引入新知识，顺利完成知识的吸纳，利用多媒体演示过程，能给学生一种形象上的吸收，寓思想于教学中。

九、教学反思和回顾

在整个教学中，利用类比椭圆方程定义的形成过程自然进入双曲线定义的教学状态中，并采取多提问的形式，让每个学生思考问题，回答问题，给他们思考的空间，培养他们思索的习惯，让学生与老师互动，交流探讨学习过程中的问题，可以充分提高学生的学习主动性与他们的自信心，在今后的教学中，我要更多的让学生来演示，充分发挥学生的主体作用,让学生真正体会知识的形成过程。

第四篇：双曲线教学设计

双曲线及其标准方程教学设计

一.教学目标: 1.知识目标:掌握双曲线的定义并会推导其方程.2.能力目标:能根据已知条件,选择恰当的形式的双曲线方程解题;加深对类比,化简,分类讨论的思想的理解与运用.3.情感目标:利用教学内容促进学生对量变,质变规律的理解和对学生进行爱国主义教育.二.教学重点与难点分析: 本节的教学重点是准确理解双曲线的定义.本节的教学难点是选择恰当的双曲线方程解题.三.教学方法和学习方法的设计: 教法:1.在教学目标的指导下,采用”信息环境下情境性问题解决”教学模式实施教学.这种方法是以问题为中心,以学生主动探索数学知识和强化创新意识为主要特征的探究型教学方式.在探索过程中经历”提出问题———分析问题———分组讨论———提炼总结———深化反思”五个不同的教学环节.在整个教学过程中,教师利用问题引路,学生独立思考和分组讨论,从而自己解决问题.2.通过课件和动画展示数学知识的发生﹑发展过程;帮助学生理解抽象的数学概念;借助信息技术实现数学思维的“再现”.学法:在教师的组织,点拨,引导作用下,通过学生积极思考,大胆想象,总结规律,自己不能解决的问题通过小组讨论解决,充分发挥他们的主体作用,让学生置身于提出问题﹑思考问题﹑解决问题的动态过程中.四.媒体选择:多媒体课件.39

五.教学过程设计: 探索问题一: 定圆圆O1内含于定圆圆O2,当圆M与圆O2内切而与圆O1外切时, 圆M的圆心M的轨迹是什么曲线? 学生: 是椭圆.教师: 面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆.若将“距离之和”改为“距离之———差”.那将会出现什么情况呢? 探索问题二: 设圆O1,圆O2外离,其半径分别为r1,r2.动圆圆M与圆O1内切而与圆O2外切,求动圆M的圆心M的轨迹又是什么曲线? 分析: 设动圆M半径为r,有O2MO1Mr2rrr1r1r2 教师: 谁能画出点M的轨迹?(没反应)困难在哪里呢? 学生: 动圆M有无数个,画起来困难.所以点M的轨迹画不出来!(课件演示)教师:原来点M的轨迹是一条开口向左的,向外伸展的不封闭的一条曲线,这是单曲线吗?:是否还有其他情况? 学生:如果圆M与圆O1外切而与圆O2内切情况会怎样? 此时, O1MO2Mr1rrr2r1r2.大概是开口向右的一条曲线吧.课件演示.教师:我们把上述两条曲线称为双曲线(演示课件).请给出双曲线的定义.学生:平面内与两个定点的距离的差的绝对值是常数的点的轨迹.教师:好.请看——(课件演示)当圆O1与圆O2外切时,虽然MO1MO2r1r2O1O2,但点在线段O1O2的两侧,是两条射线.动点M必定满足一个什么样的特定条件? 40

学生:应在前面的叙述中,在”常数”后加上附加条件”小于O1O2”.教师:如果这个常数为0呢?这时点的轨迹是什么? 学生:平面内与两个定点O1,O2的距离的差的绝对值是0的点的轨迹是线段O1O2的垂直平分线.所以这个常数不能为0.教师:这就完整了.称O1,O2为双曲线的焦点.它与椭圆定义比较又有和联系呢? 学生:在椭圆定义中,由三角形两边之和大于第三边的要求,而双曲线的定义中应满足三角形的两边之差的绝对值小于第三边的要求.教师:如此复杂的曲线和平面几何中最简单的结论紧密联系,这充分反映了事物间的和谐的本质属性.问题延伸: 教师:利用平面直角坐标系,我们可以求出该曲线方程,这就是数形结合的思想.问题是如何建立平面直角坐标系? 学生:以O1,O2所在的直线为x轴,线段O1O2的中垂线为y轴,建立直角坐标系.教师:为什么不以O1或O2为原点建立直角坐标系呢? 学生:那样的话, O1与O2就不能关于y轴对称,从前面我们学习的椭圆方程的推导过程中知道,所得的方程较繁.教师:对.请同学们自行推导双曲线方程.(学生推演,教师归纳).教师:同学们都能得出方程c2a2x2a2y2c2a2a2.仿照推导椭圆方程的方法.可

x2y2令cab.则得焦点在x轴上的双曲线方程: 221.类似地,当焦点在y轴上

ab222时,(或者说以O1O2所在的直线为y轴.线段O1O2的中垂线为x轴建立直角坐标系).双曲线的方程是———

y2x2 学生: 221

ab 41

教师:它们都是双曲线的标准方程.焦点在二次项系数为正的字母所表示的轴上.思考问题一: 例1.(1)已知双曲线两个焦点的坐标为F15,0,F25,0,双曲线上一点P到F1,F2的距离的差的绝对值等于6,求双曲线的标准方程.(2)已知双曲线的中心是坐标原点,焦点在y轴上,焦距为12,且经过点P2,5,求双曲线的方程.(3).求过点A2,43和B2,4的双曲线标准方程.(第(1),(2)小题为课本的例习题.)(请三位同学板演,再请三位同学讲评.第(1),(2)小题略.第3小题不少学生仍分焦点在x,y轴的情况求解.过程较繁.)学生:第(3)题他解对了,但比较繁.我认为只要设mx2ny21.然后把两点坐标分别代入,1得到两个二元一次方程组成的方程组,解得m1, n,表明它是双曲线,同时表示不

6存在过这两点的椭圆.教师:对!讲得有道理.求中心在原点的椭圆.双曲线标准方程,只需两个独立变量.这是它们的本质属性.理解这一点,解题运算量就小多了.教师:上述图形的变化过程反映了事物在一定范围内由量的积累引起质的变化情况.它包括了目前我们所学的几种曲线.现在让我们来了解双曲线在军事上的一些应用.思考问题二:一炮弹在某处爆炸,在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2s.(1)爆炸点应在什么样的曲线上?(2)已知A,B两地相距800m,并且此时声速为340ms,求曲线的方程.(3)要想确定爆炸点的准确位置.应采取什么措施?(学生分组讨论.教师巡视指导.把学生解答用投影仪展示.)学生(1)由声速及A,B两处听到爆炸声的时间差为2s,可知A,B两处与爆炸点的距离的

差为PAPB680800,因此爆炸点应该位于以A,B为焦点的双曲线上.因为爆炸点离A处比离B处更远,所以爆炸点应在靠近B处的一支上.(2)如图,建立直角坐标系xoy,使A,B两点在x轴上,并且点O与线段AB中点重合.设爆炸点P的坐标为x,y.则PAPB3402680 AB 即2a680,a340.又AB800 所以2c800,c400

b2c2a244400

因为PAPB6800 所以x0.x2y2所求双曲线方程为1(x0)

11560044400(3).利用两个不同的观测点侧得同一炮弹爆炸声的时间差,可以确定爆炸点所在的双曲线的方程但不能确定爆炸点的准确位置.如果再增设一个观测点C,利用B, C(或A, C)两处侧得的爆炸声的时间差,可以求出另一个双曲线的方程.解这两个方程组成的方程组,就可以确定爆炸点的准确位置.变式一:若将“在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2s”改为“在A处听到爆炸声的时间比在B处晚40s”那么爆炸点P应在什么样的曲线上? 17变式二:若将“A,B两地相距800m”改为“A,B两地相距600m” 那么爆炸点P应在什么样的曲线上? 变式三:假若在A,B两处同时听到爆炸声, 那么爆炸点P又在怎样的曲线上呢? 六.小结: 1.双曲线的定义,关键词是绝对值的差小于F1F2.43

2.求双曲线方程要注意选择方程的形式,以简化计算.3.主要思想方法有类比思想及特殊与一般量变与质变的辨证关系.七.教学效果: 这节课充分发挥了多媒体教学的优势,教学设计充分体现”主导----主体”现代教学思想,彻底地改变了传统教学过程汇总学生被动接受知识的状态,学生能够自主探索获取知识,愿意学习也学会学习;学生主动参与的意识提高了.通过多媒体教学,教师把学生引上探索问题之路,调动了每一个学生学习的主动性和创造性,体现了学生的主体地位,有利于学生潜能的开发和创造性思维的培养.44

第五篇：双曲线教案

2.2.1 双曲线及其标准方程

一、教学目标

1.通过试验体会双曲线图形，从中抽象出双曲线定义，通过讨论能正确说出双曲线定义.2.会画双曲线简图.3.能由椭圆标准方程的推导过程类比推导双曲线标准方程，熟记双曲线标准方程.4.能根据条件确定双曲线的标准方程及简单应用.二、教学重点（难点）

1.教学重点：双曲线的定义和双曲线的标准方程.2.教学难点：双曲线的标准方程的推导.三、教学过程

第一环节 双曲线的定义

1.椭圆的定义是什么？(学生回答，教师板书)平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.教师要强调条件：(1)平面内；(2)到两定点F1、F2的距离的和等于常数；(3)常数2a＞|F1F2|.2.提出问题

椭圆是平面内一个动点到两个定点距离之和等于定长的点的轨迹,当然这个定长要大于这两个定点之间的距离.那么,平面上到两定点距离差等于定长的点的轨迹是什么? 3.简单实验(边演示、边说明)做拉链试验

取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在点M处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖所经过的点就画出一条曲线.（1）演示图形

4.应该如何描述出动点M所满足的几何条件？ 5.还有其他约束条件吗? 发现问题：（1）当2a2c时，（2）当2a2c时，（3）当2a2c时，（4）当2a =0时，6.定义

在上述基础上，引导学生概括双曲线的定义：

平面内与两定点F1 ,F2的距离的差的绝对值是常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点F1 ,F2叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距.指出：双曲线的定义可以与椭圆相对照来记忆，不要死记.第二环节

画出双曲线简图 第三环节

双曲线的标准方程

现在来研究双曲线的方程.我们可以类似求椭圆的方程的方法来求双曲线的方程.这时设问：求椭圆的方程的一般步骤方法是什么？不要求学生回答，主要引起学生思考，随即引导学生给出双曲线的方程的推导.标准方程的推导：(1)建系设点

取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴(如图2-24)

建立直角坐标系.设M(x，y)为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c(c＞0)，那么F1、F2的坐标分别是(-c，0)、(c，0)．又设点M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数.(2)点的集合

由定义可知，双曲线就是集合：

P={M||M F1|-|M F2||=2a}={M|M F1|-|M F2|=±2a}．(3)代数方程

(4)化简方程(由学生演板)将这个方程移项，两边平方得：

化简得：

两边再平方，整理得：(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2).(以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导.)由双曲线定义，2c＞2a 即c＞a，所以c2-a2＞0． 设c2-a2=b2(b＞0)，代入上式得： b2x2-a2y2=a2b2.这就是双曲线的标准方程.两种标准方程的比较(引导学生归纳)：

x2y2（1）221（a>0 ,b>0）表示焦点在x轴上的双曲线，焦点是

abF1（-c，0）、F2（c，0），这里c2a2b2;y2x2(2）221（a>0 ,b>0）表示焦点在x轴上的双曲线，焦点是

abF1（0，-c）、F2（0，c），这里cy互换即可得到）

教师指出：

2a2b2；（只须将（1）方程的x、(1)如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上.注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上.(2)双曲线标准方程中a、b、c的关系是c2a2b2不同于椭圆方程中c2a2b2.第四环节

应用反馈

例1：已知双曲线上一点P到两焦点F1(5,0)、F2(5,0)的距离的差的绝对值为6，求双曲线的方程.x2y2简解：双曲线有标准方程221（a0,b0）.abc5，2a 6，又c2a2b2 a3，b4.x2y21 ∴916

变式：

1.若P F1P F2=6?

x2y21(x0)9162.若PF1PF210?

两条射线

3.若PF1PF212? 轨迹不存在