双曲线及其标准方程的教学设计及教学反思

第一篇：双曲线及其标准方程的教学设计及教学反思

双曲线及其标准方程

（二）的教学设计及教学反思

教学设计： 教学目标

1.进一步掌握双曲线的定义及其标准方程的求法，特别是用定义法和待定系数法； 2.了解双曲线定义及其标准方程知识在实际中的应用.教学重点

双曲线的定义及其标准方程

教学难点

双曲线定义及其标准方程知识在实际中的应用

教学过程

1、复习回顾（1）双曲线定义

（2）两种形式的标准方程

⑶根据下列条件，求双曲线的标准方程

①过点P(3,15/4),Q(－16/3,5)，且焦点在坐标轴上；

②c6,经过点(－5,2)，且焦点在x轴上；

22③与双曲线x/16－y/4＝1有相同的焦点，且经过点(32,2)。分析：①设双曲线方程为mx＋ny＝1(mn＜0)，则

9m225n1m1/16解得∴所求方程为－x2/16＋y2/9＝1 256m25n1n1/9

22小结：“巧设”方程为“为mx＋ny＝1(mn＜0)”避免分两种情况进行讨论。②∵c6,且焦点在x轴上，∴设标准方程为x/m－y/(6－m)＝1（0＜m＜6）

22∵双曲线经过(－5,2)，∴25/m－4/(m－6)＝1，解得m＝5或m＝30（舍去）∴所求方程为x2/5－y2＝1 22③∵与双曲线x/16－y/4＝1有相同的焦点，∴设所求双曲线的标准方程为

x2161816y24441(016)

∵双曲线经过点(32,2)，1，解得λ＝4或λ＝－1(舍去)∴所求方程为x2/12－y2/8＝1

22小结：注意到了与双曲线 x/16－y/4＝1共焦点的双曲线系方程为x216y241(016)后，便有了上述巧妙的设法。

⑷已知双曲线x2/a2－y2/b2＝1（a>0,b>0）, 求过它的焦点且垂直于x 轴的弦长 分析：设双曲线的一个焦点为F（c,0），过F且垂直于x轴的弦为AB，要求AB的长，只需确定弦的一个端点A或B的纵坐标即可 |AB|＝2a2/c 变：双曲线x2/4－y2/12＝1上的点P到左焦点的距离为6，这样的点有＿个。⑸①一动圆P过定点M（－4，0），且与已知圆N：(x－4)2＋y2＝16相切，求动圆圆心P的轨迹。分析：由题意，列出动圆圆心满足的几何条件，若能由此条判断出动点的轨迹是哪种曲线，则可直接求出其轨迹方程来

内切时，定圆N在动圆P的内部，有|PC|＝|PM|－4，外切时，有|PC|＝|PM|＋4，故点P的轨迹是双曲线x2/4－y2/12＝1。

②已知动圆P与定圆C1：(x＋5)2＋y2＝49,C2：(x－5)2＋y2＝1 都相切，求动圆圆心的轨迹的方程

分析：外切有|PC1|＝7＋r, |PC2|＝1＋r，∴|PC1|－|PC2|＝6，内切有|PC1|＝r－7, |PC2|＝r －1，∴|PC2|－|PC1|＝6 故点P的轨迹是双曲线x2/9－y2/16＝1

2、探索研究：

例（课本）一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2 s.（1）爆炸点应在什么样的曲线上？

（2）已知A、B两地相距800 m，并且此时声速为340 m/s，求曲线的方程.解（1）由声速及A、B两处听到爆炸声的时间差，可知A、B两处与爆炸点的距离的差，因此爆炸点应位于以A、B为焦点的双曲线上.因为爆炸点离A处比离B处更远，所以爆炸点应在靠近B处的一支上.（2）如图8—14，建立直角坐标系xOy，使A、B两点在x轴上，并且点O与线段AB的中点重合.设爆炸点P的坐标为（x,y），则

PAPB3402680,即2a=680,a=340.又AB800,∴2c=800,c=400, b2=c2－a2=44400.∵PAPB6800,∴x>0.所求双曲线的方程为：

x2115600y244400(x>0).说明：该例表明，利用两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间差，可以确定爆炸点所在的双曲线的方程，但不能确定爆炸点的准确位置.而现实生活中为了安全，我们最关心的则是爆炸点的准确位置，那么我们如何解决这个问题呢？

如果再增设一个观测点C，利用B、C（或A、C）两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置.这是双曲线的一个重要应用.如果A、B两点同时听到爆炸声，说明爆炸点到A、B的距离相等，那么爆炸点应在怎样的曲线上？

AB的中垂线。

4、归纳总结

数学思想方法：数形结合，待定系数法，分类讨论

掌握双曲线的定义及其标准方程的推导，并利用焦点、焦距与方程关系确定双曲线方程.5、课后作业

习题8.3 4,5,6.教学反思：

一、教学过程回顾

依据“一个为本，四个调整”（以学生发展为本，新型的师生关系、新型的教学目标、新型的教学方式、新型的呈现方式）的新的教学理念和教学目标设计教学过程。

1、导入新课：以在双曲线发展史中穿插对双曲线的定义及其标准方程的复习导入，双曲线的定义及其标准方程的内容，由两名学生分别发言给出的。预热用待定系数法求“双曲线”标准方程的“最近发展区”的两个引例，由三名学生先后补充完成。然后在老师引导下，全班学生经过讨论后，共同总结出待定系数法求方程的一般步骤：先定位后定量。此时师生共同消除了因随堂录象和优质课评选造成的紧张心理。课堂教学气氛也相当活跃，渐入佳境，非常轻松地进入了新课。

2、进入新课：教师投影106页例2，并引导学生分析已知条件设出方程组后，鼓励学生动手解答方程组，全班学生都非常积极地思考、讨论，当教师问学生：想到解决办法没有？有十多名学生回答：想到解法了。于是我就采用这几年来在课堂上经常采用的办法，让学生上讲台亲自为班上同学讲解，学生选出的代表上讲台后边讲边写出：由于所求解的是关于待定系数a,b的一个分式方程组，并且分母的次数是2，用换元法可将它化为二元一次方程组，我对该生给予充分的鼓励和表扬，此时学生们思维活跃，情感和态度都进入佳境，之后另一名学生又非常大方地上黑板板书出二元一次方程组的解，进而写出双曲线的标准方程。学生们充分讨论、交流后，自己总结出待定系数法求双曲线标准方程和换元法解分母是2次的分式方程组的一般方法。学生们创新的火花不断闪现，先是自己对该例变式，解答后进行交流。老师适机给出一道练习题，帮助学生自己查找学习中的漏洞，接着学生又自己巩固、升华，归纳出一般式解法。进而探讨课本106页例3，在按照课本思路学习完该例后，再围绕本节重点知识双曲线定义对课本例3探究，开展研究性学习。探讨如下：若A、B两地相距680m，其余条件不变，曲线方程是什么？这个问题提出后，学生发现若爆炸点位于双曲线上，则方程中分母为0，一石激起前层浪，学生马上展开了激烈的讨论，教师引导学生再次回到双曲线的定义上，并用几何画板帮助学生加深对该定义的理解，最后学生观察、实验、计算、交流、归纳后指出双曲线定义中若将常数改为等于|F1F2|，则轨迹是以F1,F2为端点的两条射线，进而质疑课本上第一问答案，提出答案应为：爆炸点位于靠近B处的一支双曲线上或线段AB的延长线上的猜想．教师给予肯定。

教师作为热烈讨论的平等氛围中的引导者，鼓励学生大胆探究、勇于创新，积极谈论和参与体验，留给学生更多的思考和探索，转变学习方式。验证学生的结果。

终结阶段：教师引导学生一起总结本节课，作业分为三种形式，体现作业的巩固性和发展性原则，弹性作业不作统一要求。

二、成功之处：

1、教学方法上：参考巴班斯基的“教学过程最优化”理论：“突出教学内容中主要的、本质的东西；将每堂课具体任务与整个教学任务合理地结合起来；选择最合理的教学方法和手段。”结合本节课的具体内容，确立启发探究式教学、互动式教学法进行教学这两种教学方法，体现了认知心理学的基本理论。

2.学习的主体上：课堂不再成为“一言堂”，学生也不再是教师注入知识的“容器瓶”，课堂上为学生的主动参与提供充分的时间和空间，让不同程度的学生勇于发表自己的各种观点（无论对错），选出代表上讲台讲解等做法，真正做到了“六让”：凡是学生能够自己学习的、观察的、讲的（口头表达）、思考探究的、合作交流的、动手操作的，尽量都放手让给学生去做、去活动、去完成，这样可以调动学生学习积极性，拉近师生距离，提高知识的可接受度，让学生体会到他们是学习的主体。进而完成知识的转化，变书本的知识、老师的知识成为自己的知识。

3、学生参与度上：课堂教学真正面向全体学生，让每个学生都享受到发展的权利。在我的启发鼓励下：全班40多个学生都争先恐后地举手回答，毫不掩饰地互相讨论，积极主动地上讲台表演讲解，练习巩固时，每个学生都经过独立思考后在前后左右的同学形成小组中进行了交流讨论，共同进步。

4、学生参与的“质量”上：课堂气氛不但很活跃，而且真正激发学生深层次的思维和情感的投入。捕捉住了学生发言中的闪光点和思维的火花，不只满足学生此起彼伏的热烈场面。

5、“三维”课程目标的实现上：既关注掌握知识技能的过程与方法，又关注在这过程中学生情感态度价值观形成的情况。以双曲线发展史导入，让学生感受数学文化，呈现方式具有新异性，激发学习兴趣，通过对课本例

2、例3的学习及变式探究，激发了学生将所学知识应用于实际的求知欲，体会数学的科学价值、应用价值、人文价值，开阔视野，体会数学的系统性、严密性，了解数学真理的相对性；崇尚数学的理性精神。

6、课程资源开发上：介绍数学史，培养浓厚的学习兴趣。寻求数学进步的历史轨迹，激发对于数学创新原动力的认识，接受优秀文化的熏陶，领会数学的美学价值，从而提高自身的文化素养和创新意识。备课时，对课本106页例3第一问进行认真研究，再次研读了大学《空间解析几何》中《双曲面》的有关知识，向有关专家请教，最后独立解决了这个问题。保证了知识的科学性。

7、媒体运用上：利用多媒体形象动态的演示功能提高教学的直观性和趣味性，以提高课堂效益。老师学生在黑板上板书，向学生呈现出可操作性强的思维和解题过程。教材中对双曲线定义尽管很严密，但不够直观，所以用了几何画板辅助作图，声音、动画、影像等多种形式强化对学生感观的刺激，可以极大提高学习兴趣，变抽象为直观，加大一堂课的信息容量。

8、学生评价上：从操作能力、概括能力、学习兴趣、交流合作、情绪情感方面对学习效果进行过程评价。对出现问题的学生，教师指出其可取之处并耐心引导，这样有助于培养他们勇于面对挫折，持之以恒地科学探索精神；当学生做得精彩有创新，教师给予学生充分的鼓励，使得本节课学生在学习过程中兴趣浓厚,学得积极主动，课堂气氛活跃！从而进一步激发学生创造的潜能，提高他们的创新能力。

9、学法指导上：采用激发兴趣、主动参与、积极体验、自主探究的讲解讨论相结合，交流练习互穿插的活动课形式，学生始终处于问题探索研究状态之中，激情引趣。教师创设和谐、愉悦的环境及辅以适当的引导。促进学生说、想、做，注重“引、思、探、练”的结合，鼓励学生发现问题，大胆分析问题和解决问题.进行主动探究学习，形成师生互动的教学氛围。

10.教学实效上：既让学生在第一课时的基础上巩固、深化、应用双曲线的定义并掌握待定系数法求标准方程，又可加强对代数运算能力的培养，在此体验方程、化归、数形结合、分类整合等数学思想，为下一节《双曲线的几何性质》的学习即“由数到形”作了坚实铺垫和准备。解方程（方程组）直接影响圆锥曲线乃至解析几何的学习。通过创设情景、启发诱导、动手操作、练习巩固、总结归纳，应用提升等探究性活动，培养学生的数学创新精神和实践能力，使学生掌握待定系数法求解方程的规律，掌握换元法或整体代入的方法进行消元降次解分母是二次的分式方程组。本节课加强这方面的训练，起到承上启下的重要作用，保证下一阶段解析几何学习的顺利进行。

三、不足之处：

1．本节课的知识量比较大，而且是建立在上一课时双曲线定义和标准方程基础之上。这些知识学生都已经学过了，在课堂上只做了一个简单的复习(利用多媒体幻灯片演示，老师渗透数学史和学生一起回忆一遍)。但是在接下来的课堂上发现一部分学生由于课前预习的工作不够落实，导致课堂上简单的复习效果不好，从而影响到学生在第二个过程的例题讲解中反映出的思维比较的缓慢及无法进行有效的思考的问题，因此在以后的较学中要加强对学生学习习惯的培养，特别是课前预习的好的学习习惯，加强对上节课程的复习。

2．本节课课堂容量(安排的知识容量)偏大，在思维上也有比较特殊的地方，从而导致学生在课堂上的思考的时间不够，课堂时间比较紧张。因此今后在课时上应该合理地安排每一节课的课堂容量，给学生更多的思考时间和空间，提高课堂的效果。同时还要重视探究题的作用，因为班上有一部分同学体现出基础比较扎实，而且对数学也比较有兴趣，出一些比较难的思考题，能够让这部分学有余力的同学能有所提高。

3．从课堂的效果来看学生对运算的熟练还不够，他们总是担心会出问题，特别是解方程题缺乏化简的能力，教学上我的处理是在教学的过程中如果出现了这类问题，就具体跟学生讲解，然后让学生练习总结。今后还要加强对学生这方面能力的培养。

4、教学结束时对课本上例3第一问处理上还值得研究。

5、个别关注做得不够。

四、教学机智与学生创新

在课堂教学过程中，学生是学习的主体，学生总会有“创新的火花”在闪烁，这节课当讲完课本上例2学生练习时，我发现：学生将所求双曲线方程设为一般式mx2ny21(mn0)，于是我马上问他是如何想到的，学生提出换元法的本质就是将所求双曲线方程设为mx2ny21(mn0)，既避免了讨论又降低了方程组中未知数的次数，大大减少所需的运算。备课时原计划是讲完课本解法后，再把一般式作为单独解法

1,1作

a2b2为整体求解即可。这样，学生帮助我既节约了原本较紧的课堂用时，也提高了教学水平。更令人满意的是，学生们对课本例3第1问可以准确给出答案，弥补了不足，并能准确地说出理由，这是我没有想到的。故教师应当充分重视课堂上学生提出的一些独特见解，这样不仅使学生的好方法、好思路得以推广，而且对学生也是一种赞赏和和激励。还有这些难能可贵的见解也是对课堂教学的补充与完善，可以拓宽教师的教学思路。

五、再教设计

1、新课导入：首先，仍然用原来的方式，但要删掉引例中第1题，为后面多留点时间。以对双曲线定义和方程形式的复习来引导学生，指明双曲线两种不同形式的标准方程的统一介绍给学生，我马顿时受到启发，不必单独讲解一般式，现在只需回到课本上，把形式mx2ny21(mn0)是待定系数法解题的基础。

这样的引入方式，既保证本节课以数学文化为背景，又抓住了双曲线两种不同形式的标准方程的实质，确保学生解题的速度和准确性。此外，明白新知识来源于旧知识，促使学生运用模块思想和基本员的方法学习双曲线的标准方程，为顺利完成教学作好思维上的准备。

2、新课讲授：对课本例2的教法学法不变，让学生上黑板练习，更充分地暴露运算上的不足，给出练习答案后，仍然由学生交流算理，小结方法。但对课本例3应加大分析力度，让学生讨论得更清楚一点，知其然更知其所以然，对第1问答案的探讨要比原来教学淡化一点。这样设计的好处是：更能符合学生的认识水平，突出重点（巩固双曲线概念、掌握待定系数法求双曲线标准方程），突破难点（分母是2次的分式方程组的解法），达到教学目的。

3、终结阶段：作业布置不变，仍然分为三种形式，通过作业反馈学生掌握知识的效果，以利课后解决学生不掌握的地方。体现作业的巩固性和发展性原则。弹性作业不作统一要求，目的是帮助学生进一步深化对双曲线定义的理解，达到本堂课的教学目标。

第二篇：双曲线及其标准方程教学设计

双曲线及其标准方程

一、学习目标：

【知识与技能】:

1、通过教学,使学生熟记双曲线的定义及其标准方程,并理解这一定义及其标准方程的探索推导过程.2、理解并熟记双曲线的焦点位置与两类标准方程之间的对应关系.【过程与方法】: 通过“实验观察”、“思考探究”与“合作交流”等一系列数学活动,培养学生观察、类比、分析、概括的能力以及逻辑思维的能力,使学生学会数学思考与推理,学会反思与感悟,形成良好的数学观.【情感、态度与价值观】: 通过实例的引入和剖析,让学生再一次感受到数学来源于实践又反作用于实践;生活中处处有数学.二、学情分析：

1、在学生已学习椭圆的定义及其标准方程和掌握“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念之后,学习双曲线定义及其标准方程,符合学生的认知规律,学生有能力学好本节内容;

2、由于学生数学运算能力不强,分析问题、解决问题的能力,逻辑推理能力,思维能力都比较弱,所以在设计的时候往往要多作铺垫,扫清他们学习上的障碍,保护他们学习的积极性,增强学习的主动性.三、重点难点 ：

教学重点:双曲线的定义、标准方程

教学难点:双曲线定义中关于绝对值,2a<2c的理解

三、教学过程：

【导入】

1、以平面截圆锥为模型，让学生认识双曲线，认识圆锥曲线；

2、观察生活中的双曲线；

【设计意图:让学生对圆锥曲线整体有所把握,体会数学来源于生活.】 探究一

活动1：类比椭圆的学习，思考：

研究双曲线，应该研究什么？ 怎么研究？

从而掌握本节课的主线：实验、双曲线的定义、建系、求双曲线的标准方程； 活动二：数学实验：

(1)取一条拉链，拉开它的一部分，(2)在拉链拉开的两边上各取一点，分别固定在 点F1，F2 上，(3)把笔尖放在拉头点M处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖所经过的点 就画出一条曲线。

(4)若拉链上被固定的两点互换，则出现什么情况？

学生活动:六人一组，进行实验，展示实验成果：

【设计意图:学生亲手操作，加深对双曲线的了解，培养小组合作精神.】

学生实验可能出现的情况: 画出双曲线的居多，但还是有画出中垂线，或者两条射线的可能，学生展示，小组同学解释，为什么会出现这种情况？

【设计意图:让学生在“实验”、“思考”等活动中,自己发现问题、提出问题】 活动三：几何画板演示，得到双曲线的定义： 老师演示，学生思考：

引导学生结合实验分析，得出双曲线上的点满足的条件，给出双曲线的定义

双曲线：

平面内到两定点的距离的距离的差的绝对值等于定长2a（小于两定点F1F2的距离）的点的轨迹叫做双曲线。

两定点F1F2叫做双曲线的焦点

两点间F1F2的距离叫做焦距

在双曲线定义中,请同学们思考下面问题: 1:联想到椭圆的定义,你是否感到双曲线中的常数2a也需要某种限制?为什么? 2:若2a=2c,则M点的轨迹又会是什么呢?又2a>2c呢? 强调：2a大于|F1F2｜时轨迹不存在 2a等于|F1F2｜时，时两条射线。

所以,轨迹为双曲线,必需限制2a<2c,且2a≠0.学生第一次修改定义.(2a<2c,非零常数)【设计意图:,让学生体会双曲线上的点的运动规律,积累感性经验,通过实践思考,为进一步上升到理论做准备.】 探究二

活动四：探究双曲线标准方程：

1、类比:类比椭圆标准方程的建立过程(用屏幕显示图形),让学生认真捉摸坐标系的位置特点(力求使其方程形式最简单).2、合作:师生合作共同推导双曲线的标准方程.(学生推导,然后教师归纳)按下列四步骤进行:建系、设点、列式、化简从而得出了双曲线的标准方程.双曲线标准方程:焦点在x轴上(a>0,b>0)

3、探究:在建立椭圆的标准方程时,选取不同的坐标系我们得到了不同形式的标准方程.那么双曲线的标准方程还有哪些形式?

222 在y轴上(a>0,b>0)其中:c=a+b活动五：归纳、总结

活动六：典例分析

例1：已知双曲线的两个焦点分别为F1(-5,0),F2(5,0),双曲线上的点P到F1、F2 距离差的绝对值等于6,求双曲线标准方程.变式(1):已知双曲线的两个焦点分别为F1(-5,0),F2(5,0),双曲线上的点P到F1、F2 距离差等于6,求双曲线标准方程.变式(2):若两定点为|F1F2|=10则轨迹方程如何? 感悟: ①求给定双曲线的标准方程的基本方法是:待定系数法.(若焦点不定,则要注意分类讨论的思想.)【设计意图:教学过程是师生互相交流、共同参与的过程.数学通过交流,才能得以深入发展,数学思想才能变得更加清晰】 活动七：小结

1.本节课学习的主要知识是什么? 2.本节课涉及到了哪些数学思想方法? 课后作业：

必做题: 课本55 页练习2,3

选做题： 课本61页习题A 组2

第三篇：《双曲线及其标准方程》说课稿

《双曲线及其标准方程》说课稿

《双曲线及其标准方程》说课稿1

一、教材分析

1、教材地位

本节课是新课程人教A版选修2-1第2章第三节第一课时。它是在学生学习了直线、圆和椭圆的基础上进一步研究学习的，也为后面的抛物线及其标准方程做铺垫。

2、教材作用（重要模型，数形结合）

圆锥曲线是一个重要的几何模型，有许多几何性质，这些性质在日常生活、生产和科学技术中有着广泛的应用。同时，圆锥曲线也是体现数形结合思想的重要素材。

3、设计理念：体现素质教育的要求和新课程理念，融合“知识与技能”、“过程与方法”、“情感态度与价值观”三维教学目标，注重学生学习过程的体验，体现自主、合作、探究的学习方式；注重数学基本能力的培养和基础知识的掌握，又注重数学思想与方法的教育，同时反映数学学科前沿以及与科学、技术、社会的联系；教学过程中体现过程性评价对学生发展的作用，体现教师的有效指导作用。

二、目标分析

1、知识与技能目标

①理解双曲线的定义

②能根据已知条件求双曲线的标准方程。

③进一步感受曲线方程的概念，了解建立曲线方程的基本方法。

2、过程与方法目标

①提高运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力。

②培养学生利用数形结合这一思想方法研究问题。

③培养学生的类比推理能力、观察能力、归纳能力、探索发现能力。

3、情感、态度与价值观目标

①亲身经历双曲线及其标准方程的获得过程，感受数学美的熏陶。

②通过主动探索，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的理性和严谨。

③养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神，形成学习数学知识的积极态度。

4、重点难点

基于以上分析，我将本课的教学重点、难点确定为：

①重点：感受建立曲线方程的基本过程，掌握双曲线的标准方程及其推导方法。

②难点：双曲线的标准方程的推导。

三、学情分析：

1、知识方面：学生已经学习直线、圆和椭圆，基本掌握了求曲线方程的一般方法，能对含有两个根式的方程进行化简，对数形结合、类比推理的思想方法有一定的体会。

2、能力方面：学生对基本的计算机操作较为熟练、有一定的学习基础和分析问题、解决问题的能力，且有一定的群体性小组交流能力与协同讨论学习能力。

四、教法学法分析

在教法上，主要采用探究性教学法和启发式教学法。探究性学习就是充分利用了青少年学生富有创造性和好奇心，敢想敢为，对新事物具有浓厚的兴趣的特点。让学生根据教学目标的要求和题目中的已知条件，自觉主动地创造性地去分析问题、讨论问题、解决问题。

启发式教学法就是以启发、引导为主，采用设疑的形式，逐步让学生进行探究性的学习。通过创设情境，充分调动学生已有的学习经验，让学生经历“观察——猜想——证明——应用”的过程，发现新的知识，把学生的潜意识状态的好奇心变为自觉求知的创新意识。又通过实际操作，使刚产生的数学知识得到完善，提高了学生动手动脑的能力和增强了研究探索的综合素质。

新课程倡导“自主、合作、探究”学习，引导学生自主探索、发现知识；通过设计问题，以支撑学生积极的学习活动，帮助他们成为学习活动的主体；创设真实的问题情境，诱发他们进行探索与解决问题。并注意培养学生的动手实践能力。

五、说教学过程

教学环节教学过程设计意图

复习引入

这一环节既可以使学生温故而知新，也为后面的学习做好铺垫。

双曲线的定义通过课本的实验探究（以动画形式展示），引入双曲线的定义：平面内与两定点的距离的差的绝对值等于常数（小于）的点的集合。

符号表示：xx

其中：焦点——；焦距——（设为）；

设常数

思考：

1、去掉“绝对值”后，点M的轨迹为什么？（用动画展示）

2、若常数，则点M的轨迹是什么？（用动画展示）

1、让学生在具体的问题情境中经历知识的形成和发展，将实际问题抽象为数学模型，并进行解释与运用的过程。课堂教学的关键是要激发学生的求知欲，让学生主动参与，发现学习。

2、通过设问，把学生逐步引入问题情景中，通过师生互动等形式，让学生在问题中学会思考，学会学习，最终使问题得以解决。同时，问题具有一定的梯度，对学生的思考有一定的引导和启发作用。

双曲线的标准方程1、复习求曲线方程的一般步骤：建系、设点——列式——化简——检验

2、推导焦点在x轴和y轴上的双曲线的标准方程

学生分成两大组，一组推导焦点在x轴上的双曲线的标准方程，另一组推导焦点在y轴上的双曲线的标准方程，最后交换结论。

3、比较两种标准方程。

两点说明：

①关系：

②如何判断焦点的位置：看前的系数的正负，哪一项为正，则在相应的轴上。（口诀：焦点看正负！）

1、在比较如何化简方程简单后，我选择放手让学生化简，让学生体验化简方程的艰辛，经受锻炼，尝试成功，提高学生参与教学过程的积极性。

2、在得到双曲线的标准方程之后，我和学生共同总结推导双曲线标准方程的步骤，其目的是进一步强化求曲线方程的一般步骤，同时也让学生享受成功的喜悦。

3、体现类比推理的思想．培养学生归纳总结和类比推理的能力．

4、在推导过程中我令，一是为了美化方程，使方程具有对称性，二是为后面几何性质的学习做铺垫。

例题解析

例1的教学是为了让学生清楚：求双曲线的焦点坐标（或者是方程当中的），必须要把方程化为标准方程。

通过例2让学生明白，求双曲线的标准方程主要是确定两个要素：一是双曲线的位置，由焦点来决定；二是双曲线的形状，由来决定。

例3是双曲线的实际应用，关键是利用双曲线的定义来解题，要注意焦点的位置。

课堂小结

为了让学生建构自己的知识体系，我让学生自己概括所学的内容。我认为这样既能培养了学生的概括能力，又能营造民主和谐的师生关系。

作业布置上交：人教版高中数学选修2--1

P61习题2、3A组第2，5题

进一步巩固本节课所学内容

六、板书设计：

一、双曲线的定义

二、双曲线的标准方程

1、焦点在x轴上

2、焦点在y轴上

三、例题解析

例1

例2

例3

我选择这样的板书设计，其目的是让学生清楚的认识到本节课的重要内容。

《双曲线及其标准方程》说课稿2

一、教材分析与处理

（一）教材的地位与作用

学生初步认识圆锥曲线是从椭圆开始的，双曲线的学习是对其研究内容的进一步深化和提高。如果双曲线研究的透彻、清楚，那么抛物线的学习就会顺理成章。所以说本节课的作用就是纵向承接椭圆定义和标准方程的研究，横向为双曲线的简单性质的学习打下基础。

（二）学生状况分析

学生在学习本节课之前，已掌握了椭圆的定义和标准方程，也曾经尝试过探究式的学习方式，所以说从知识和学习方式上来说学生已具备了自行探索和推导方程的基础。另外，高二学生思维活跃，敢于表现自己，不喜欢被动地接受别人现成的观点，但同时也缺乏发现问题和提出问题的意识。

根据以上对教材和学生的分析，考虑到学生已有的认知规律，我希望学生能达到以下三个教学目标。

（三）教学目标

1、知识与技能：理解双曲线的定义并能独立推导标准方程；

2、过程与方法：通过定义及标准方程的挖掘与探究 ，使学生进一步体验类比、数形结合等思想方法的运用，提高学生的观察与探究能力；

3、情感态度与价值观：通过教师指导下的学生交流探索活动，激发学生的学习兴趣，培养学生用联系的观点认识问题。

（四）教学重点、难点依据教学目标，根据学生的认知规律，确定本节课的重点为理解和掌握双曲线的定义及其标准方程。

难点为双曲线标准方程的推导。

（五）教材处理

我对教学内容作了一点调整：教材中是借用细绳画出的双曲线图形，而我改用几何画板画出双曲线图形。因为相比之下，几何画板更为形象直观。通过几何画板，学生不仅可看到双曲线形成的过程，而且较易看出椭圆与双曲线的联系和区别。

二、教学方法与教学手段

（一）教学方法

著名数学家波利亚认为：“学习任何东西最好的途径是自己去发现。”双曲线的定义和标准方程与椭圆很类似，学生已经有了一些学习椭圆的经验，所以本节课我采用了“启发探究”式的教学方式。

重点突出以下两点：

1、以类比思维作为教学的主线

2、以自主探究作为学生的学习方式

（二）教学手段

采用多媒体辅助教学，体现在用几何画板画双曲线。但不是单纯用动画给学生看，而是通过动画启发引导学生进行思考，调动学生学习的积极性。

三、教学过程与设计

为达到本节课的`教学目标，更好地突出重点，分散难点，我将教学过程分为四个阶段。

（一） 知识引入---- 知识回顾、观察动画、概括定义在课的开始我设置了这样几个问题，以帮助学生进行知识回顾：

1、椭圆的第一定义是什么？定义中哪些字非常关键？

2、椭圆的标准方程是什么？

3、如何判断焦点位置？a、b、c是何种关系？

通过回顾，既检测了学生对前面知识的掌握情况，同时又为下面双曲线的学习做好铺垫。之后，告诉学生：今天要学习一种新的曲线。打开几何画板，首先通过动画让学生再一次回顾椭圆的生成过程，然后改变图中的条件，将F1,F2距离变大，动画生成一种新的曲线，学生易看出该曲线为双曲线。双曲线的定义其实就是动点所满足的关系，那么双曲线的定义是什么？也就是动点所满足的关系是什么？这个问题可让学生进行探究。解决这个问题有两个难点：一是距离的运算关系的得出；二是运算关系的简化。在探究中，学生类比椭圆会想到动点到两定点的距离差为定值，会认为这个定值必是正值，而会忽视距离差为负值的情况，其实这只能得到双曲线的一支。对于这种情况，我会采取启发引导，把P从一支移到另一支，然后让学生再次思考自己得到的关系是否正确。在引导下，学生会想到动点到两定点的距离差为正值或正值的相反数。但这个关系能不能加以简化？学生这个时候会联想到可利用绝对值进行简化。这样就得到了动点所满足的较为精炼的关系，也就是得到了双曲线的定义。这一设计让学生先形象直观地看到椭圆与双曲线的形成过程，在此基础上，再通过教师的引导，生就可在观察思考中一步一步地由感性认识上升到理性认识，最终得到双曲线定义，从而培养了学生的观察能力及概括能力。另外，这一设计也在形的方面实现了椭圆与双曲线的比较，也为下面双曲线定义的挖掘及两种曲线的对比打下基础。随着双曲线定义的得出，教学进入第二阶段---知识探索

（二） 知识探索---- 定义的挖掘、标准方程的推导、方程的对比

1、定义的挖掘

在这一环节中，我们要认识到定义中的绝对值和两点间距离与常数的大小关系二者对曲线的影响。

首先，我设置了这样两个问题：

（1）类比椭圆寻找双曲线定义中的关键字；

（2）若分别去掉这几个关键字曲线会发生怎样变化？

《双曲线及其标准方程》说课稿3

一、教材分析与处理

1、教材的地位与作用

学生初步认识圆锥曲线是从椭圆开始的，双曲线的学习是对其研究内容的进一步深化和提高。如果双曲线研究的透彻、清楚，那么抛物线的学习就会顺理成章。所以说本节课的作用就是纵向承接椭圆定义和标准方程的研究，横向为双曲线的简单性质的学习打下基础。

2、学生状况分析：

学生在学习这节课之前，已掌握了椭圆的定义和标准方程，也曾经尝试过探究式的学习方式，所以说从知识和学习方式上来说学生已具备了自行探索和推导方程的基础。另外，高二学生思维活跃，敢于表现自己，不喜欢被动地接受别人现成的观点，但同时也缺乏发现问题和提出问题的意识。

根据以上对教材和学生的分析，考虑到学生已有的认知规律我希望学生能达到以下三个教学目标。

3、教学目标

（1）知识与技能：理解双曲线的定义并能独立推导标准方程；

（2）过程与方法：通过定义及标准方程的挖掘与探究 ，使学生进一步体验类比及数形结合等思想方法的运用，提高学生的观察与探究能力；

（3）情感态度与价值观：通过教师指导下的学生交流探索活动，激发学生的学习兴趣，培养学生用联系的观点认识问题。

4．教学重点、难点

依据教学目标，根据学生的认知规律，确定本节课的重点是理解和掌握双曲线的定义及其标准方程。难点是双曲线标准方程的推导。

5、教材处理：

我对教学内容作了一点调整：教材中是借用细绳画出的双曲线图形，而我改用几何画板画出双曲线图形。因为相比之下，几何画板更为形象直观。通过几何画板，学生不仅可看到双曲线形成的过程，而且较易看出椭圆与双曲线形成的联系和区别。

二、教学方法与教学手段

1、教学方法

著名数学家波利亚认为：“学习任何东西最好的途径是自己去发现。”

双曲线的定义和标准方程与椭圆很类似，学生已经有了一些学习椭圆的经验， 所以本节课我

采用了“启发探究”式的教学方法，重点突出以下两点：

（1）以类比思维作为教学的主线

（2）以自主探究作为学生的学习方法

2、教学手段

采用多媒体辅助教学。体现在用几何画板画双曲线。但不是单纯用动画演示给学生看，而是用动画启发引导学生思考，调动学生学习的积极性。

三、教学过程与设计

为达到本节课的教学目标，更好地突出重点，分散难点，我把教学过程分为四个阶段。

（一）知识引入---- 知识回顾、观察动画、概括定义

在课的开始我设置了这样几个问题，以帮助学生进行知识回顾：

（1）椭圆的第一定义是什么？定义中哪些字非常关键？

（2）椭圆的标准方程是什么？

第四篇：双曲线及其标准方程教案

双曲线及其标准方程（第一课时）

教学目标：

1．掌握双曲线的定义，能说出其焦点、焦距的意义；

2．能根据定义，按照求曲线方程的步骤推导出双曲线的标准方程，熟练掌握两类标

准方程；

3．能解决较简单的求双曲线标准方程的问题； 4．培养学生观察、分析、归纳和逻辑推理能力。

教学重点：双曲线的定义和标准方程。

教学难点：双曲线标准方程的推导过程。

教学过程：

一、创设情景，引入新课： 师：我们先来思考这样一个问题：（打开几何画板）已知定点F1(1,0)和F2(1,0)，定圆C1的圆心为F1，且半径为r，动圆C2过定点F2，且与定圆相切。

（1）若r4，试求动圆圆心的轨迹；（2）若r1，试求动圆圆心的轨迹。（教师结合几何画板演示分析）：

师：当r4时，我们得到的轨迹是什么？

生：是椭圆。

是：为什么？

生：因为当r4时动圆C2内切于定圆C1，所以两个圆的圆心距MF1满足

MF14MF2，移项后可以得到：MF1MF24满足椭圆的定义，所以得到的轨迹是一个以F1、F2为定点，4为定长的椭圆。

师：很好。那么，当r1呢，此时动圆C2与定圆C1相切有几种情况？

生：有两种情况：内切和外切。

师：我们先来考察两圆外切时的情况（演示），我们得到的轨迹满足什么条件？

生（同时教师板书）：由于两圆外切，所以两个圆的圆心距MF1满足 MF11MF2，移项后可以得到：MF1MF21。(教师演示轨迹)师：我们再来考察两圆内切时的情况（演示），我们得到的轨迹又满足什么条件？

生（同时教师板书）：由于两圆内切，所以两个圆的圆心距MF1满足 MF1MF21，移项后可以得到：MF1MF21。(教师演示轨迹)师（同时演示两种情况下的轨迹）：我们可以得到与定圆相切且过定点的动圆的圆心满足MF1MF21即MF1MF21，圆心的轨迹我们称之为双曲线。

二、新课讲解：

1、定义给出

师：今天我们来学习双曲线。同学们能否结合刚才的问题给双曲线下个一般定义？

生：双曲线是到平面上两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数的点的轨迹。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。

师：由椭圆的定义，一般情况下，我们设该常数为2a。那么什么情况下表示的是双曲线的右支，什么情况下表示的是双曲线的左支？

生：当MF1MF22a时，表示的是双曲线的右支，当MF1MF22a时，表示的是双曲线的左支。

2、定义探究

（教师引导学生分情况讨论）： 师：这个常数2a有没有限制条件？

生：有。这个常数2a要比焦距F1F2小。师：很好。为什么要有这个限制条件呢？其他情况会是怎样的呢？我们一起来分析一下：

（1）若a=0，则有MF1MF20即MF1MF2，此时轨迹为线段F1F2的中垂线；

（2）若2a=F1F2,则有MF1MF2F1F2，此时轨迹为直线F1F2上除去线段F1F2中间部分，以F1、F2为端点的两条射线；

（3）若2a>F1F2,则根据三角形的性质，轨迹不存在。

3、双曲线标准方程的推导过程：

师：我们学过求曲线的方程的一般步骤，现在我们一起根据定义求双曲线的标准方程。（师生互动，共同推导之）

第一步：建立直角坐标系；

第二步：设点：设M(x，y)，焦点分别为F1(c,0)和F2(c,0)，M到焦点的距离差的绝对值等于2a；

第三步：启发学生根据定义写出M点的轨迹构成的点集： PMMF1MF22a；

第四步：建立方程：(xc)2y2(xc)2y22a；

ab教师强调：我们得到了焦点在x轴上，且焦点是F1(c,0)和F2(c,0)的双曲线标准方程为x2a2b2 师：那么如果焦点在y轴上呢？（学生练习）

y2x2 生（练习后）：此时的标准方程应该是221(a0,b0)。

ab 4．双曲线标准方程的探讨：

师：刚才我们共同推导了双曲线的标准方程。请同学想一下，双曲线标准方程中字母a、b、c的关系如何？是不是ab？ y21(a0,b0)，这里c2a2b2  第五步：化简，得到

x22y221(a0,b0)

生：a、b、c满足等式c2a2b2，所以有a2c2b2，可以得到a,bc，但不能判断ab。师：很好。我们在求双曲线标准方程过程中还发现，确定焦点对求双曲线方程很重要。那么如何根据方程判定焦点在哪个坐标轴上呢？

y2x2x2y2 生：由于焦点在x轴和y轴上标准方程分别为221和221，我们发现焦点所在轴相

abab关的未知数的分母总是a，所以可以由a来判定。

x2y21，那么你如何寻找a？

师：很好。如果我们知道的方程是32 生：因为a所在的这一项未知数的系数是正的，所以只要找正的系数就可以了。

x2y21呢？

师：如果方程是32 生：先化成标准方程。

师：请同学总结一下。生：化标准，找正号。5．运用新知：

y2x21表示双曲线，则m的取值范围是__________，此时

【练习】已知方程9m1双曲线的焦点坐标是________________，焦距是________________；

【变式】若将9改成2m，则m的取值范围是________________________。

【例1】已知双曲线两个焦点的坐标为F1(5,0)、F2(5,0)，双曲线上一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程。

解：因为双曲线的焦点再x轴上，所以设它的标准方程为 x22ab 因为2a=6，2c=10，所以a=3，c=5。y221(a0,b0)，所以b2523216，x2y21。

所以所求双曲线的标准方程为916 【变式】已知两个定点的坐标为F1(5,0)、F2(5,0)，动点P到F1、F2的距离的差

等于6，求P点的轨迹方程。

解：因为PF1PF26，所以P的轨迹是双曲线的右支，设双曲线标准方程为1(a0,b0)，a2b2 因为2a=6，2c=10，所以a=3，c=5。x2y2 所以b2523216，x2y21(x3)。

所以所求P点的轨迹方程为916【例2】已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线上两点P1、P2的坐标分别为

9(3,42)、(,5)，求双曲线的标准方程。

4解：因为双曲线的焦点在y轴上，所以设所求双曲线的标准方程为

y2x2 221(a0,b0)，ab 因为点P1、P2在双曲线上，所以点P1、P2的坐标适合方程，代入得： (42)232212ab2a162 可解得：。92b9425212bay2x21。

所以所求双曲线得标准方程为：169【变式】已知双曲线的焦点在坐标轴上，并且双曲线上两点P1、P2的坐标分别为

9（分情况讨论）(3,42)、(,5)，求双曲线的标准方程。4 【练习】（1）ABC一边两个端点是B(0,6)和C(0,6)，顶点A满足ABAC8，求A的轨迹方程。

（2）ABC一边的两个端点是B(0,6)和C(0,6)，另两边所在直线的斜率之积是

4，求顶点9A的轨迹。

三、本课小结：

师：我们总结一下本节课我们学了什么？

生：

1、双曲线的定义；

2、双曲线标准方程推导过程；

3、运用已有知识解决一些

简单的问题。

四、作业：

课本P108：2、3、4 问题：一炮弹在M处爆炸，在F1、F2处听到爆炸声。已知两地听到爆炸声的时间差为2s，又知两地相距800m，并且此时的声速为340m/s，那么M点一定在哪条曲线上？

第五篇：优秀教案双曲线及其标准方程

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高中青年数学教师优秀课教案:双曲线及其标准方程(一)高中青年数学教师优秀课教案：双曲线及其标准方程

（一）教学目标：

（1）知识与技能：与椭圆定义类比，深刻理解双曲线的定义并能独立推导出双曲线标准方程；

（2）过程与方法：通过定义及标准方程的深刻开采与探究，使学生进一步体验认识类比发现及数形结合等思想方法的运用，提高学生的不雅察与探究能力；

（3）情感态度与价值不雅：通过教师指导下的学生交流探索勾当，发学生的学习兴趣，培养学生用联系的不雅点认识问题。

教学重点：双曲线的定义、标准方程及其简单应用 教学难点：双曲线定义中关于绝对值，2a<2c的理解 授课类型：新授课 课时安排：1课时

教具：多电视台，一根拉链，小夹子 教学过程：

一、复习提问

师：椭圆定义是什么？

生：最简单的面内与两个定点的间隔之和等于常数（大于）的点的轨迹叫作椭圆。（幻灯片展示椭圆图形及其定义）

二、新课引入

1、设问 师：最简单的面内与两个定点的间隔之差等于常数的点的轨迹是什么？学生思虑（老师在黑板上画出两个点 ,使F1在左侧,F2在右侧.记 =2c,2c>0）。

师：在椭圆里到两个定点的间隔的和这个常数是正数，那么，最简单的面内到两定点的差这个常数还一定是正数吗 生：不一定。

师：多是什么数呢？（学生甲回答：是正数，负数或零）师：当常数是零时动点的轨迹是什么？

生：是线段F1F2的中垂线。老师做出的中垂线。师：当常数是正数时的点的位置在什么地方？ 生：在线段F1F2的中垂线的右侧。

师：当常数是负数时的点的位置在什么地方？生：在线段F1F2的中垂线的左侧。师：最简单的面内与两个定点的间隔之差等于非零常数的点的轨迹究竟是是什么呢？我们一路做一个实验来探索。

2、实验：（师生共同完成）道具：一根拉链

详细作法：老师在拉开的拉链双侧各取一点打结（实验前已经丈量好，使两结之间的间隔小于两定点间的间隔），请两位同学协助将两点别离固定在定点F1，F2处，使拉链头在的上方。将拉链头看作动点M,使M到F1的间隔比M到F2的间隔远。师：|MF1|比|MF2|长多少？

请同学不雅察，将此中一侧拉链拉过来比较，学生可以很清楚的看到长出的部分。在|MF1|比|MF2|长出的地方用颜色鲜艳的小夹子做记号，在三次演示可以清楚的看到，在拉链的拉合中拉链头M到F1的间隔与到F2的间隔差始末是夹子到F1的间隔，间隔差记为2a（2a>0），当拉链头在的下方时，两次演示在拉链的拉合中，动点拉链头M到F1的间隔与到F2的间隔差始末是夹子到F1的间隔，即M到两定点的差始末是夹子到F1的间隔2a。同学们通过演示不雅察得出,拉链头M到F1的间隔与它到F2的间隔的差始末是正常数.将粉笔放在拉链头处,随着拉链的开合做出一条曲线(在作图过程中要保持将拉链拉直),老师在图的下方板书：|MF1|-|MF2|=2a(a>0);

调换两拉链的固定点，仍然请两位同学协助将两点别离固定在定点F1，F2处，这时候拉链头M到F1的间隔比M到F2的间隔短，使拉链头在的上方。同样在两次演示过程中提问：|MF1|比|MF2|短多少？让同学们不雅察，在拉链的拉合中,|MF1|始末比|MF2|短夹子到F2的间隔，记为2a（2a>0），当拉链头在的下方时结果相同.同学们很容易不雅察到在拉链的拉合过程中，拉链头到F1的间隔与它到F2的间隔的差始末是负常数,这个常数是2a的相反数，记为-2a。将粉笔放在拉链头处,随着拉链的合开做出一条曲线(在作图过程中要保持将拉链拉直),画出中垂线的左侧的一条曲线。

在图的下方板书：|MF1|-|MF2|=-2a(a>0)。师：我们将这两条曲线叫双曲线,此中的一条叫双曲线的一支.在黑板上板书课题： 8.3双曲线的定义及其标准方程。

师：比较每一条曲线满足的条件，这两支曲线，即双曲线上的动点M 满足的条件是什么？生：。

老师板书（2a>0）。

3、研究2a和2c的关系.师:最简单的面内到两定点的间隔的差的绝对值为常数的动点的轨迹一定是双曲线吗?(原以为双曲线定义已经得到的同学们又开始思虑)

师:与椭圆类比,在椭圆里,到两个定点的间隔之和等于常数2a,只有这个常数2a大于两定点的间隔时,动点的轨迹才是椭圆,当两个定点的间隔之和等于两定点的间隔时,动点的轨迹是之间的线段。在双曲线里,到两个定点的间隔差2a与两定点的间隔2c之间是否也有巨细关系呢?(同学们的视线又回到适才作出的双曲线图形上)

师:在适才所做的双曲线上任取一点M,它与构成为了三角学形, |MF1|与|MF2|的差也就是三角学形两边的差,同学们欣喜的喊到:三角学形两边的差小于第三边，2a<2c.(若点刚好是双曲线与所在直线的核心,没有构成三角学形，同学们仍然很容易得到2a<2c.)师:当2a=2c时，动点的轨迹是什么？还是双曲线吗?(同学们不雅察思虑)师:动点可能在所在的直线以外吗? 生:不可能

师:那么它一定在所在的直线上,它的轨迹是什么呢?同学们细心肠不雅察,兴奋地回答:以为端点的两条向外射线。

师:当2a>2c时，动点有轨迹吗？(若动点在之间,到F1与F2的间隔的差在变化,不是定值,并且的总长为2c,动点到F1与F2的间隔的差的绝对值2a不可能大于2c.生:当2a>2c时，动点没有轨迹.师:现在请同学们给出双曲线的准确定义.生(自信地):最简单的面内到两定点的间隔的差的绝对值为常数（小于）的动点的轨迹叫双曲线用投影仪展示双曲线图形及其定义,核心,焦距概念。

三、新课讲解

1、双曲线定义：最简单的面内到两定点的间隔的差的绝对值为常数（小于）的动点的轨迹叫双曲线即，（2a〈2c）叫双曲线的核心，=2c(2c>0)叫做焦距。强调：“最简单的面内”、“间隔的差的绝对值”、“常数2a小于”

2、双曲线的标准方程：

师：与求椭圆的标准方程类似，我们根据双曲线的定义推导双曲线的标准方程。求曲线方程的基本步骤是什么？ 生：（1）建系；（2）设点；（3）列式;（4）化简 老师在投影仪上演示求双曲线标准方程的过程中，同学们在练习本上书写求双曲线标准方程的过程。提醒同学们需要注意（1）紧紧抓住双曲线定义列式；（2）在化简

到，结合双曲线定义中2a<2c，则c2-a2是正数，与椭圆的标准方程的化简中令b2=a2-c2对比，可以令b2=c2-a2，使化简后的标准方程美不雅简洁，最后得到，当核心在轴上，核心是的双曲线标准方程是，若坐标系的选取不同，核心在轴上，则核心是，由双曲线定义得： 师：与核心在轴的双曲线方程 比较，它们结构有什么异同点？

生：结构相同，只是字母x，y交换了位置。

师：求核心在轴上的双曲线方程，只需把核心在轴上的双曲线标准方中ｘ，ｙ互换即可。得

3、双曲线的标准方程的独特的地方：

（1）双曲线的标准方程有核心在x轴上和核心y轴上两种： 核心在轴上时双曲线的标准方程为：(,)； 核心在轴上时双曲线的标准方程为：(,)

(2)有关系式成立，且此中a与b的巨细关系:可以为

4、怎样根据双曲线的标准方程判断核心的位置:

从椭圆的标准方程不难看出,椭圆的核心位置可由方程中含字母、项的分母的巨细来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是核心所在的轴而双曲线是根据项的正负来判断核心所在的位置，即项的系数是正的，那么核心在轴上；项的系数是正的，那么核心在轴上

四、例题讲解

例1 判断下列方程是否表示双曲线.①方程 ②方程

例2 已知双曲线的核心为F1(-5 , 0),F2(5 , 0)，双曲线上一点P到F1、F2的间隔的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.五、课堂练习

1、a=4,b=3,核心在x轴上;

2、双曲线上一点P到F1的间隔为15,求点P到F2的间隔?

6、小结

1、双曲线的定义及其两类标准方程.是核心在轴上，核心在轴上有关系式成立

2、将双曲线的定义及其两类标准方程与椭圆的定义及其两类标准方程列表对比

七、课后作业

八、板书设计

8．3双曲线及其标准方程

（一）例题２：（解答过程）=2c(2c > 0)(2a>0)2a < 2c 教案说明

一、授课内容数学本质和教学目标定位

通过老师创设情景、启发诱导，师生共同动手实验，使学生经历直不雅感知，不雅察发现，归纳类比，抽象概括，符号表示，运算求解数据处理，反思建构等思维过程，进一步体验认识类比发现法及数形结合等思想方法的运用，提高学生的实践，不雅察，思虑，探究能力,特别是提高类比发现能力；通过教师指导下的师生交流探索勾当，激发学生的学习兴趣，培养学生用联系的不雅点认识问题，体会数学的科学价值、应用价值、人类社会文化价值，体会数学的系统性、严密性，崇尚数学的理性精神。对本节课的教学目标从以下几个方面进行定位：（1）知识与技能：与椭圆定义类比，深刻理解双曲线的定义并能独立推导标准方程；（2）过程与方法：通过定义及标准方程的深刻开采与探究，使学生进一步体验认识类比及数形结合等思想方法的运用，提高学生的不雅察与探究能力；（3）情感态度与价值不雅：通过教师指导下的学生交流探索勾当，激发学生的学习兴趣，培养学生用联系的不雅点认识问题，促进学生的数学交流能力，发展学生的创造力，培养学生提出问题的习惯和能力，培养独立思虑，积极探索的习惯。依据教学目标和学生的认知规律，把理解和掌握双曲线的定义及其标准方程确定为本节课的重点，把对双曲线的定义的理解和掌握确定为本节课的难点。

二、学习本内容的基础及今后作用本节教材所处的地位作用 双曲线的定义及其标准方程内容可分为二个课时，第一课时内容主要是双曲线的定义和标准方程，以及课本中的例1；第二课时主要是课本中的例

2、例3及几个变式例题。双曲线在社会出产、日常生活和科学技术上有着广泛的应用，大纲明确要求学生必须熟练掌握学生初步认识圆锥曲线是从椭圆开始的，双曲线的学习是对圆锥曲线研究内容的进一步深化和提高。通过对椭圆的学习，学生已经对“由已知条件求曲线的方程，再从所得方程来研究曲线的几何性质”的解析法有了进一步的认识，为双曲线的学习在数学思想、方法等方面打好了基础，做好了铺垫。而在双曲线的学习中，如果把双曲线的定义及其标准方程研究透彻、清楚了，不仅很容易解决双曲线的定义及其标准方程（2）中的例

2、例3及几个变式例题，而且对双曲线的简单性质的学习打下了坚实基础。通过对双曲线的定义及其标准方程的学习，对已经学过的椭圆及其标准方程会有更深的理解，对抛物线的学习就会顺理成章,对圆锥曲线部分的解题的有很大帮助，以是这节课在本章中起着承前启后的作用。双曲线的定义与椭圆的定义相比困难程度增大，以是这节课在本章中的地位很是重要。

三、教学诊断分析

学生在学习了椭圆后，利用类比发现法，学习本节教材中的下列知识点是比较容易的：

1、用求曲线方程的一般方法确定求双曲线的标准方程的基本步骤；

2、应用双曲线定义求双曲线的标准方程；

3、双曲线方程的化简。

在本节教材中，较难理解的地方主要集中在双曲线的定义部分：

1、为何在拉链的拉合过程中拉链头到两个定点的间隔之差的绝对值为定值。

2、为何在定义中对差这个常数要加绝对值；

3、为何2a<2c ；

4、当2a=2c时的图像还是双曲线吗？

5、当2a>2c呢?

四、教学独特的地方和预期效果分析

1、通过实验，让学生主动参与、积极体验认识。教材中虽然有拉链，有双曲线的图像, 但那是静态的，为何在拉链的拉合过程中拉链头到两个定点的间隔之差的绝对值为定值,学生对本质并没有一个直不雅的理解;本人用几何画板或动画去做双曲线，不如直接实验得心应手，经过多次考虑决定用拉链画出双曲线的图像，变抽象为直不雅。（1）通过实验中的多次演示，以小夹子作为参照物，让学生清楚的看到在拉链的拉合中拉链头M到F1的间隔与到F2的间隔差始末是定值，并且这个定值随着拉链固定点的调换，可正可负，互为相反数。（2）把拉链头看作动点M,先使M到F1的间隔比M到F2的间隔远，即|MF1|-|MF2|=2a(a>0);将粉笔放在拉链头处,随着拉链的开合做出中垂线右侧一条曲线。调换两拉链的固定点，这时候拉链头M到F1的间隔比M到F2的间隔短，即|MF1|-|MF2|=-2a(a>0)，将粉笔放在拉链头处,随着拉链的合开画出中垂线的左侧的一条曲线。这两条曲线叫双曲线,此中的一条叫双曲线的一支.这两支曲线，即双曲线上的动点M 满足的条件是（2a>0）。对定义中绝对值的理解就很是直不雅了。

（3）研究2a和2c的关系.在实验的过程中，能用拉链画出双曲线，现实上是需要条件的。在绘图之前，我已经将两定点的间隔以及差的绝对值的巨细关系定好了，即2a<2c，以保证不仅能画出双曲线，而且使画出的双曲线比较美不雅。结合图形，与椭圆类比设问：在椭圆里，在双曲线里,到两个定点的间隔差2a与两定点的间隔之间是否也有巨细关系呢? 在双曲线上任取一点M,它与构成为了三角学形, |MF1|与|MF2|的差也就是三角学形两边的差,三角学形两边的差小于第三边，2a<2c.(若点刚好是双曲线与所在直线的核心,同学们仍然很容易得到2a<2c)然后设问：到两个定点的间隔差为定值的点的轨迹一定是双曲线吗?又对2a=2c的情况做讨论，同学们经过老师的引导和细心肠不雅察,得到这时候的图像是以为端点的两条向外射线。当2a>2c时，动点没有轨迹.2、以类比发现思维作为教学的主线(1)双曲线的定义与椭圆定义类比,(2)双曲线的标准方程与椭圆的标准方程类比⑶双曲线和椭圆中,2a与2c的意义及巨细关系的类比(4)核心在x轴上的方程与核心在y轴上的方程类比。

3、结合投影仪等形式，加大一堂课的信息容量，提高教学的直不雅性和意见意义性，提高课堂效益。

4、教师创设和谐、愉悦的环境进行引导，用激发兴趣、自主探究的讲解讨论相结合，使学生始末处于问题探索研究状态之中，促进学生说、想、做，鼓励学生发现问题，大胆分析问题和解决问题.进行主动探究学习，形成师生相互作用的教学氛围。老师捕捉住学生发言中的闪光点和思维的火花，对学生的积极体现给予鼓励和肯定。预期教学实效：

1、学生对双曲线的定义中的要害词：差，绝对值，2a<2c有很是清晰的理解，对双曲线的标准方程及其标准方程中a，b，c的关系有了深刻的认识，对例1和例2的解决水到渠成。

2、对椭圆的定义和双曲线的定义的区别和联系有深刻的理解；对椭圆的两个标准方程与双曲线的两个标准方程的形式有了清晰的认识。能结合各自定义说出各自标准方程中的a，b，c的关系。

3、加强了学生的代数运算能力的培养，使学生更深层次到体验认识了类比发现法、化归、数形结合、分类讨论及分析与综合等数学思想方法，为双曲线的定义及其标准方程（2）的学习打下了坚实的基础，为下一节《双曲线的几何性质》的学习即“由数到形”作了坚实铺垫和准备。