9双曲线及其标准方教学设计1

第一篇：9双曲线及其标准方教学设计1

双曲线及其标准方程

湖北省大冶市第一中学

江猛

435100

课

型：新 课 课

时：第一节 教学目标：

知识目标：理解双曲线的概念及其标准方程。

能力目标：培养学生动手能力、自主探究能力、抽象概括能力、知识迁移能力、类比椭圆来分析问题、解决问题的能力。

情感目标：通过学生之间的讨论和交流，培养学生的团结协作精神。让学生在问究中感悟数学的魅力，享受探究的乐趣，体验成功的欢悦，收获情感的升华。引发学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是，理论与实践相结合的科学态度，增强学生的应用意识。激发学生爱国热情。

教学重点：双曲线的定义及标准方程。

教学难点：双曲线定义的准确理解及标准方程的建立。学法指导：动手实践、自主探究、合作交流、类比猜想。教学方法：探究体验式教学法。

教学手段：探究体验、小组合作、借助多媒体演示和幻灯机实物投影。

课堂构思：课堂结构分为三部分，其一，动手实验，折出双曲线，并从折纸过程中探究其内涵，这是主体总分；其二，方程指导；其三，实际应用。以巧设情境，妙立问题，以问促究，问究结合，师导生演的方式演绎课堂。教学过程：

折纸实验导入：

1.1 T：大家经常做物理实验、化学实验、生物实验，可是你们做过数学实验吗？ S：没有。T：那么，我们今天一起来做一个数学实验。请拿出刚发下来的印有定⊙F1白纸，按如下步骤操作：第一步：在⊙F1外取一定点F2；第二步：在⊙F1上任取一点P1；第三步：将白纸对折，使P1和F2重合，并留下一条折痕；第四步：连接P1和F1，并延长交折痕于点M1；第五步：再在圆周上任取其他点，将上述步骤2～4步重复4～6次，便可得到一个点列M1、M2、M3„等，这个点列能连成一个很美的图形，大家想欣赏它吗？请迅速动手折纸，看谁折得又快又好；（5分钟后）第六步：请大家将所得点列,用平滑的曲线连接起来。1.2 学生活动：学生动手操作，高效参与。1.3 预期成果：（5分钟后用幻灯机展示学生成果）第一位同学将点列连成的图形是开口向左的一支曲线(如图1)、第二位同学将点列连成的图形是开口向右的一支曲线(如图2)，噫，怎么不同呢？T：第三位同学怎么又连成了两支曲线(如图3)？第四位同学怎么也连成了两支曲线(如图4)

图1

图2

图3

图4 1.4 探究“问题1”：除此之外，还有没有同学连成了其它图形？（全都拿上来。）这些不同的图形到底哪个更准确呢？ 预案1：学生沉默，T：“是不是拿不准？”预案2：学生都说自己连的图形才是正确的；对预案1或预案2老师可引导如下：我们知道对于知式作图问题，取点越多，所作的图形就越精确。要能知道正确答案，我们就只有遍取圆周上所有的点，但这非人力所能及，我们还是请电脑帮忙检验结果。（出示动画如图5）看来S3、S4同学连成的两支曲线更全面。那么，以第一、第二位同学为代表的其他作图结果，为什么不够全面

图5 呢？我们对比这四位同学的作图痕迹，S1、S2在⊙F1上取点时，把所取的点都密集在⊙F1的一段弧上，不象S3、S4同学那样在圆的四周都取了点。

预案3：学生都说第三、第四位同学连成的图形正确。则老师可设问诱思如下：那么，以第一、第二位同学为代表的其他作图结果，为什么不够全面呢？我们对比这四位同学的作图痕迹，S1、S2在⊙F1上取点时，把所取的点都密集在⊙F1的一段弧上，不象S3、S4同学那样在圆的四周都取了点。那么，S3、S4同学的结果是否就不具有片面性？我们知道对于知式作图问题，取点越多，所作的图形就越精确。要能知道正确答案，我们就只有遍取圆周上所有的点，但这非人力所能及，我们还是请电脑帮忙检验结果。（出示动画如图5）2

定义：

由课件显示的图形看，连成两支曲线是对的，引导学生对比两支曲线的特征，并给它们取个名称。

2.1 探究“问题2”：类比椭圆定义，用一个数量关系来刻画双曲线上动点M的属性。

2.2 探究方式：自主探究与合作交流相结合，让学生广泛参与；教师主导，营建探究氛围，引导学生思维方向，调控探究过程。

2.3 学生活动：小组合作交流，奇数排同学向后，偶数排同学不动，4～6人一组，回顾折纸全过程，从中挖掘出动点M所满足的数量关系。并展示探究成果，小组间相互补充，充分进行生生交流和师生交流。

预案1：若学生回答：设双曲线上动点为M，则|MF2|=|MF1|+r。则老师可分步问究如下：

第一问：好！说说你们是怎么得到这个结论的。

第二问：大家还有没有不同的意见？（预案：面对全班提示：差是有顺序的，是不是双曲线上所有的点到定点F2的距离比到定点F1的距离都大r?稍停：当动点M位于双曲线左支时呢？）

第三问：数学讲究简洁、和谐、统一，能将以上两位同学的结果统一成一个等量关系式吗？ 第四问：请回顾折纸全过程，在折纸活动中，还有什么位置限制吗？（预案：面对个别提示：我们已经分析了折纸第2、3、4，甚至第5步，得到了（1）式，还有哪步没分析？S：第一步。T：由第一步可知点F2的位置有什么限制呢？）

预案2：若学生答不出或直接答出定义，又答不出原由，则T：你提前预习的习惯很好，但数学定义光靠死记不行，要了解它的形成过程，理解定义的本质，让我们一起来解决这个问题。则可分步问究如下：

第一问：回顾折纸过程，由折纸第三步可得到动点M满足怎样的数量关系？ 第二问：回顾折纸过程，由折纸第四步可得到动点M满足怎样的数量关系？ 第三问：综合以上两步，可得到动点M满足怎样的数量关系？

第四问：折纸前，我们任取了一定点F2，它的位置特征能用一个怎样的数量关系来刻画？ 2.4 预期结论：|MF1|－|MF2|=r„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（1）r<|F1F2|„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（2）

2.5 “问题2”延伸：我们已经揭示了双曲线的内涵，下一步该轮到我们给双曲线下个定义了，谁来试一试？

（预案：学生的回答若不妥，则由全班学生评判、补充，用学生来教育学生！）

预期结论：平面内与两定点F1、F2距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线.2.6 教师讲解：板书定义，这两个定点叫——双曲线的焦点，记作F1、F2，两焦点的距离叫——双曲线的焦距，记作：2c，这个常数记作2a。

2.7 定义延伸1：请同学们对比双曲线定义与椭圆定义的差异。2.8 定义延伸2：课后思考：在折纸“实验”中，我们若将定点F2取在圆周上，则动点M的轨迹是什么图形？若将定点F2取在圆内，则动点M的轨迹又是什么图形呢？科学既要异想天开又要细致入微，当我们将定点F2取在圆外时，虽然，第三第四位同学连成的都是两支曲线，但在我看来，它们仍然有细微的差别，你们能看得出来吗？（老师辅以手势，提示开口大小）S：开口程度不一样。T：我发给大家的是同样大小的白纸，在相同位置印有一个相同的圆，即具有相同的圆心和相同的半径。可是用它折出来的曲线，为什么开口程度却不一样呢（摊开双手）？作为一个思考题，留给同学们课后去研讨。3

方程推导： 3.1 探究“问题3”：求双曲线的方程。

3.2 探究方式：自主探究，充分进行师生交流和生生交流。3.3 学生活动：自行推导双曲线的方程。3.4 分层问究：

第一层问究：求双曲线方程，你准备如何建系？是怎么想到这样建系的？ 学生活动：独立思考，举手枪答。

第二层问究：请同学们自行推导双曲线方程。学生活动：独立推导双曲线方程。

第三层问究：用幻灯机展示学生推导过程，并追问其思维过程。第一问：你对„„（3）式是怎么化简的？

第二问：为什么要平方？为什么要移项后再平方？

第三问：移项平方得：(c2－a2)x2－a2y2=(c2－a2)a2，这就是双曲线的方程，却不够简洁，有谁能帮忙作一个技术处理？ 预期结论：可令c2－a2=b2。

第四问：你是怎样想到的？为什么可以这样令？

预期结论：由双曲线的定义可知,2c>2a>0，∴c2－a2>0,可令c2－a2=b2，其中b>0。

第五问：为什么不令c2－a2=b，其中b>0呢？这是因为同椭圆一样令c2－a2=b2不但结构优美，而且还有其优美的几何意义。预期结论：求得双曲线的两个标准方程：

（a>0,b>0）„„„„„„„„„„„„„„（4）（a>0,b>0）„„„„„„„„„„„„„„（5）3.5 方程延伸1：双曲线标准方程的特征。它们都是两个完全平方项的差等于1的结构形式，如此简洁的形式正源于我们依据对称美来建系。

3.6 方程延伸2：同学们课后还可以比较椭圆与双曲线标准方程的异同。4

应用

4.1 探究“问题4”：生活中哪些地方应用了双曲线？这些地方应用双曲线有什么优点？ 4.2 探究方式：作为一个研究性课题，有兴趣的同学可以查阅资料，比如利用互联网、电子图书等，体会这些地方应用双曲线有什么优点？

4.3 学生活动：课后分组合作，利用互联网、电子图书等查阅资料，并分析整理。4.4 应用举例(多媒体显示)：

4.4.1工业生产中：这是双曲线型冷却塔；将物理的流体力学与数学完美结合。4.4.2城市交通中：这是北京为缓解城市交通拥堵，正准备修建双曲线形通道。

4.4.3建筑艺术中：这是法国标志性的建筑，埃菲尔铁塔，每个面都是双曲线形线条，简洁而又壮阔的气势征服了全世界。

4.4.4军事战争中：据资料记载，在抗美援朝早期，我志愿军某炮兵团冒着生命危险，侦察出美军阵地，我方当机立断，火速炮击，可不久美军就会将炮弹比较准确地打到我军阵地，美军为何能这样准确呢？

原来他们在阵地旁建有如多媒体显示的A、B、C三个固定的观测站，根据听到我方阵地位置D处打炮声的时间差及声速就能确定我方位置，而不需要冒任何生命危险，大家能用已学的知识解释其中的原因吗？请分组讨论，保持上次分组的组员不变。

4.4.4.1 学生活动：请同学们分组讨论，保持上次分组的组员不变。合作交流3分钟后，展示学生探研成果，小组间相互补充，师生相互交流。

4.4.4.2 预期结论：我军阵地应在以A、B为焦点的双曲线的一支上，同理又在以B、C或以A、C为焦点的双曲线的一支上。所以这两支双曲线的交点就是我方的准确位置。4.4.4.3 探究延伸：（爱国教育）要是有大家在场，我志愿军就不致如此被动，因为当时我志愿军战士都是工农子弟兵，没有美军士兵的文化程度高。这充分印证了 “落后就要挨打”这句名言。试想，若我国的综合国力和军事技术都是世界第一，你看美国还敢不敢来干涉我国的台湾问题！小泉还敢不敢不顾我们中国人民的感情，屡次去参拜靖国神社！同学们，为中华民族之崛起而努力读书吧！

第二篇：双曲线及其标准方程教学设计

双曲线及其标准方程

一、学习目标：

【知识与技能】:

1、通过教学,使学生熟记双曲线的定义及其标准方程,并理解这一定义及其标准方程的探索推导过程.2、理解并熟记双曲线的焦点位置与两类标准方程之间的对应关系.【过程与方法】: 通过“实验观察”、“思考探究”与“合作交流”等一系列数学活动,培养学生观察、类比、分析、概括的能力以及逻辑思维的能力,使学生学会数学思考与推理,学会反思与感悟,形成良好的数学观.【情感、态度与价值观】: 通过实例的引入和剖析,让学生再一次感受到数学来源于实践又反作用于实践;生活中处处有数学.二、学情分析：

1、在学生已学习椭圆的定义及其标准方程和掌握“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念之后,学习双曲线定义及其标准方程,符合学生的认知规律,学生有能力学好本节内容;

2、由于学生数学运算能力不强,分析问题、解决问题的能力,逻辑推理能力,思维能力都比较弱,所以在设计的时候往往要多作铺垫,扫清他们学习上的障碍,保护他们学习的积极性,增强学习的主动性.三、重点难点 ：

教学重点:双曲线的定义、标准方程

教学难点:双曲线定义中关于绝对值,2a<2c的理解

三、教学过程：

【导入】

1、以平面截圆锥为模型，让学生认识双曲线，认识圆锥曲线；

2、观察生活中的双曲线；

【设计意图:让学生对圆锥曲线整体有所把握,体会数学来源于生活.】 探究一

活动1：类比椭圆的学习，思考：

研究双曲线，应该研究什么？ 怎么研究？

从而掌握本节课的主线：实验、双曲线的定义、建系、求双曲线的标准方程； 活动二：数学实验：

(1)取一条拉链，拉开它的一部分，(2)在拉链拉开的两边上各取一点，分别固定在 点F1，F2 上，(3)把笔尖放在拉头点M处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖所经过的点 就画出一条曲线。

(4)若拉链上被固定的两点互换，则出现什么情况？

学生活动:六人一组，进行实验，展示实验成果：

【设计意图:学生亲手操作，加深对双曲线的了解，培养小组合作精神.】

学生实验可能出现的情况: 画出双曲线的居多，但还是有画出中垂线，或者两条射线的可能，学生展示，小组同学解释，为什么会出现这种情况？

【设计意图:让学生在“实验”、“思考”等活动中,自己发现问题、提出问题】 活动三：几何画板演示，得到双曲线的定义： 老师演示，学生思考：

引导学生结合实验分析，得出双曲线上的点满足的条件，给出双曲线的定义

双曲线：

平面内到两定点的距离的距离的差的绝对值等于定长2a（小于两定点F1F2的距离）的点的轨迹叫做双曲线。

两定点F1F2叫做双曲线的焦点

两点间F1F2的距离叫做焦距

在双曲线定义中,请同学们思考下面问题: 1:联想到椭圆的定义,你是否感到双曲线中的常数2a也需要某种限制?为什么? 2:若2a=2c,则M点的轨迹又会是什么呢?又2a>2c呢? 强调：2a大于|F1F2｜时轨迹不存在 2a等于|F1F2｜时，时两条射线。

所以,轨迹为双曲线,必需限制2a<2c,且2a≠0.学生第一次修改定义.(2a<2c,非零常数)【设计意图:,让学生体会双曲线上的点的运动规律,积累感性经验,通过实践思考,为进一步上升到理论做准备.】 探究二

活动四：探究双曲线标准方程：

1、类比:类比椭圆标准方程的建立过程(用屏幕显示图形),让学生认真捉摸坐标系的位置特点(力求使其方程形式最简单).2、合作:师生合作共同推导双曲线的标准方程.(学生推导,然后教师归纳)按下列四步骤进行:建系、设点、列式、化简从而得出了双曲线的标准方程.双曲线标准方程:焦点在x轴上(a>0,b>0)

3、探究:在建立椭圆的标准方程时,选取不同的坐标系我们得到了不同形式的标准方程.那么双曲线的标准方程还有哪些形式?

222 在y轴上(a>0,b>0)其中:c=a+b活动五：归纳、总结

活动六：典例分析

例1：已知双曲线的两个焦点分别为F1(-5,0),F2(5,0),双曲线上的点P到F1、F2 距离差的绝对值等于6,求双曲线标准方程.变式(1):已知双曲线的两个焦点分别为F1(-5,0),F2(5,0),双曲线上的点P到F1、F2 距离差等于6,求双曲线标准方程.变式(2):若两定点为|F1F2|=10则轨迹方程如何? 感悟: ①求给定双曲线的标准方程的基本方法是:待定系数法.(若焦点不定,则要注意分类讨论的思想.)【设计意图:教学过程是师生互相交流、共同参与的过程.数学通过交流,才能得以深入发展,数学思想才能变得更加清晰】 活动七：小结

1.本节课学习的主要知识是什么? 2.本节课涉及到了哪些数学思想方法? 课后作业：

必做题: 课本55 页练习2,3

选做题： 课本61页习题A 组2

第三篇：双曲线教学设计

双曲线及其标准方程教学

沾化一中

郭梅芳

一、教材分析：

《双曲线及其标准方程》是全日制普通高级中学教科书（人教A版）选修2-1第二章第三节内容，双曲线是平面解析几何的又一重要曲线，本节课既是对解析几何学习方法的巩固，又是对运动，变化和对立统一的进一步认识，从整体上进一步认识解析几何，建立解析几何的数学思想。双曲线是三种圆锥曲线中最复杂的一种，传统的处理方法是先学习椭圆，再学习双曲线，通过对比椭圆知识来学习，降低难度，便于学生学习掌握。教材为《双曲线及其标准方程》安排两课时内容，本文是第一课时，本课的主要内容是：（1）探求轨迹（双曲线）；（2）学习双曲线定义；（3）推导双曲线标准方程；

二、教学目标：

1、认知目标：掌握双曲线的定义、标准方程，了解双曲线及相关概念；

2、能力目标：通过学生的操作和协作探讨，培养学生的实践能力和分析问题、解决问题的能力，通过知识的再现培养学生的创新能力和创新意识。

3、情感目标：让学生体会知识产生的全过程，体会解析法的思想。通过画双曲线的几何图形让学生感知几何图形曲线美、简洁美、对称美，培养学生学习数学的兴趣．

三、教学重难点

重点：双曲线中a,b,c之间的关系。

难点：双曲线的标准方程，双曲线及其标准方程的探求；领悟解析法思想．

四、教学方式：

多媒体演示，小组讨论。

五、教学准备：

多媒体课件，六、教学设想： 通过师生的相互“协作”，以提问的形式完成本堂课

七、教学过程：

环节 内容 教学双边活动 设计意图 复习问题

问题1：椭圆的定义是什么？（哪几个关键点）问题2：椭圆的标准方程是怎样的？ 问题3：如何作椭圆？

问题4：性质： 学生回顾，教师补充纠正 回顾椭圆学习过程，本身具有复习提高价值．此处侧重于类比研究椭圆的思想和方法，期望在双曲线学习中有一种方法引领。

引入新课:到两个定点的距离差为定值的动点轨迹？ 过渡

探求轨迹问题：我们用什么方法来探求（画出）轨迹图形？用几何画板演示拉链的轨迹： 同样的，也有设问：①定点与动点 不在同一平面内，能否得到双曲线？请学生回答：不能．指出必须“在平面内”．② 动点M到定点A 与B 两点的距离的差有什么关系？请学生回答，M 到 A与B 的距离的差的绝对值相等，否则只表示双曲线的一支，即 是一个常数．③这个常是否会大于或者等｜AB｜ ？请学生回答，应小于｜AB｜且大于零．当常数2a=｜AB｜ 时，轨迹是以A、B 为端点的两条射线；当常数2a> ｜AB｜时，无轨迹． 小组讨论实验演示提问 通过提出问题，让学生讨论问题，并尝试解决问题。让学生了解双曲线的前提条件，并培养学生的全面思考的能力。

感受曲线，解读定义:

演示得到的图形是双曲线（一部分）；归纳双曲线的定义：平面内，到两个定点的距离的差的绝对值为常数（小于两定点距离）的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。数学简记： 学生读课本并分析其中的关键点 通过阅读和关键点分析，让学生学会读书，学会分析书，从而理解书。

推导方程，认识特性 :（1）建系以两定点所在直线为x轴，其中点为原点，建立直角坐标系xOy 设 为双曲线上任意一点，双曲线的焦距为，则设点M 与A、B 的距离的差的绝对值等于常数。

（2）点的集合由定义可知，双曲线上点的集合满足｜｜MA｜-｜MB｜｜=2a（3）利用坐标关系化代数方程

（4）化简方程

（5）双曲线的标准方程：方程形式：焦点在x轴上： 焦点在y轴上： 焦点的中点在原点（中心在原点）

（6）数量特征：（2a）——（实轴长）,(2c)——（焦距）指出:a,b,c的含义.注:（1）双曲线方程中，a 不一定大于 b；

（2）如果x 的系数是正的，那么焦点在 x轴上，如果y 的系数是正的，那么焦点在 y轴上，有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点的位置.（3）双曲线标准方程中a,b,c 的关系不同于椭圆方程．

交流：建系的任意性与合理性由一位学生上黑板演示，教师巡视，通过对双曲线方程的化简，提高学生的演算能力。可注意大部分学生写得是否正确。类比椭圆，认识共同点，辨别不同。

应用方程，体验思想 :

例1 ： 说明：椭圆 与双曲线 的焦点相同．

例2：求到两定点 A、B 的距离的差的绝对值为6的点的轨迹方程？如果把上面的6改为10，其他条件不变，会出现什么情况？如果改为12呢？ 教师分析，由学生分析，教师板书及补充。可以进一步巩固理解双曲线的定义。

回顾过程，归纳小结 双曲线定义的要点，标准方程的形式

课后练习书本习题

八、自我教学评价

在教学过程中注重知识，能力的融合，努力挖掘内容的本质和联系，以学生 3 为主体，沿着学生的思维方向一步步引入新知识，顺利完成知识的吸纳，利用多媒体演示过程，能给学生一种形象上的吸收，寓思想于教学中。

九、教学反思和回顾

在整个教学中，利用类比椭圆方程定义的形成过程自然进入双曲线定义的教学状态中，并采取多提问的形式，让每个学生思考问题，回答问题，给他们思考的空间，培养他们思索的习惯，让学生与老师互动，交流探讨学习过程中的问题，可以充分提高学生的学习主动性与他们的自信心，在今后的教学中，我要更多的让学生来演示，充分发挥学生的主体作用,让学生真正体会知识的形成过程。

第四篇：双曲线教学设计

双曲线及其标准方程教学设计

一.教学目标: 1.知识目标:掌握双曲线的定义并会推导其方程.2.能力目标:能根据已知条件,选择恰当的形式的双曲线方程解题;加深对类比,化简,分类讨论的思想的理解与运用.3.情感目标:利用教学内容促进学生对量变,质变规律的理解和对学生进行爱国主义教育.二.教学重点与难点分析: 本节的教学重点是准确理解双曲线的定义.本节的教学难点是选择恰当的双曲线方程解题.三.教学方法和学习方法的设计: 教法:1.在教学目标的指导下,采用”信息环境下情境性问题解决”教学模式实施教学.这种方法是以问题为中心,以学生主动探索数学知识和强化创新意识为主要特征的探究型教学方式.在探索过程中经历”提出问题———分析问题———分组讨论———提炼总结———深化反思”五个不同的教学环节.在整个教学过程中,教师利用问题引路,学生独立思考和分组讨论,从而自己解决问题.2.通过课件和动画展示数学知识的发生﹑发展过程;帮助学生理解抽象的数学概念;借助信息技术实现数学思维的“再现”.学法:在教师的组织,点拨,引导作用下,通过学生积极思考,大胆想象,总结规律,自己不能解决的问题通过小组讨论解决,充分发挥他们的主体作用,让学生置身于提出问题﹑思考问题﹑解决问题的动态过程中.四.媒体选择:多媒体课件.39

五.教学过程设计: 探索问题一: 定圆圆O1内含于定圆圆O2,当圆M与圆O2内切而与圆O1外切时, 圆M的圆心M的轨迹是什么曲线? 学生: 是椭圆.教师: 面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆.若将“距离之和”改为“距离之———差”.那将会出现什么情况呢? 探索问题二: 设圆O1,圆O2外离,其半径分别为r1,r2.动圆圆M与圆O1内切而与圆O2外切,求动圆M的圆心M的轨迹又是什么曲线? 分析: 设动圆M半径为r,有O2MO1Mr2rrr1r1r2 教师: 谁能画出点M的轨迹?(没反应)困难在哪里呢? 学生: 动圆M有无数个,画起来困难.所以点M的轨迹画不出来!(课件演示)教师:原来点M的轨迹是一条开口向左的,向外伸展的不封闭的一条曲线,这是单曲线吗?:是否还有其他情况? 学生:如果圆M与圆O1外切而与圆O2内切情况会怎样? 此时, O1MO2Mr1rrr2r1r2.大概是开口向右的一条曲线吧.课件演示.教师:我们把上述两条曲线称为双曲线(演示课件).请给出双曲线的定义.学生:平面内与两个定点的距离的差的绝对值是常数的点的轨迹.教师:好.请看——(课件演示)当圆O1与圆O2外切时,虽然MO1MO2r1r2O1O2,但点在线段O1O2的两侧,是两条射线.动点M必定满足一个什么样的特定条件? 40

学生:应在前面的叙述中,在”常数”后加上附加条件”小于O1O2”.教师:如果这个常数为0呢?这时点的轨迹是什么? 学生:平面内与两个定点O1,O2的距离的差的绝对值是0的点的轨迹是线段O1O2的垂直平分线.所以这个常数不能为0.教师:这就完整了.称O1,O2为双曲线的焦点.它与椭圆定义比较又有和联系呢? 学生:在椭圆定义中,由三角形两边之和大于第三边的要求,而双曲线的定义中应满足三角形的两边之差的绝对值小于第三边的要求.教师:如此复杂的曲线和平面几何中最简单的结论紧密联系,这充分反映了事物间的和谐的本质属性.问题延伸: 教师:利用平面直角坐标系,我们可以求出该曲线方程,这就是数形结合的思想.问题是如何建立平面直角坐标系? 学生:以O1,O2所在的直线为x轴,线段O1O2的中垂线为y轴,建立直角坐标系.教师:为什么不以O1或O2为原点建立直角坐标系呢? 学生:那样的话, O1与O2就不能关于y轴对称,从前面我们学习的椭圆方程的推导过程中知道,所得的方程较繁.教师:对.请同学们自行推导双曲线方程.(学生推演,教师归纳).教师:同学们都能得出方程c2a2x2a2y2c2a2a2.仿照推导椭圆方程的方法.可

x2y2令cab.则得焦点在x轴上的双曲线方程: 221.类似地,当焦点在y轴上

ab222时,(或者说以O1O2所在的直线为y轴.线段O1O2的中垂线为x轴建立直角坐标系).双曲线的方程是———

y2x2 学生: 221

ab 41

教师:它们都是双曲线的标准方程.焦点在二次项系数为正的字母所表示的轴上.思考问题一: 例1.(1)已知双曲线两个焦点的坐标为F15,0,F25,0,双曲线上一点P到F1,F2的距离的差的绝对值等于6,求双曲线的标准方程.(2)已知双曲线的中心是坐标原点,焦点在y轴上,焦距为12,且经过点P2,5,求双曲线的方程.(3).求过点A2,43和B2,4的双曲线标准方程.(第(1),(2)小题为课本的例习题.)(请三位同学板演,再请三位同学讲评.第(1),(2)小题略.第3小题不少学生仍分焦点在x,y轴的情况求解.过程较繁.)学生:第(3)题他解对了,但比较繁.我认为只要设mx2ny21.然后把两点坐标分别代入,1得到两个二元一次方程组成的方程组,解得m1, n,表明它是双曲线,同时表示不

6存在过这两点的椭圆.教师:对!讲得有道理.求中心在原点的椭圆.双曲线标准方程,只需两个独立变量.这是它们的本质属性.理解这一点,解题运算量就小多了.教师:上述图形的变化过程反映了事物在一定范围内由量的积累引起质的变化情况.它包括了目前我们所学的几种曲线.现在让我们来了解双曲线在军事上的一些应用.思考问题二:一炮弹在某处爆炸,在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2s.(1)爆炸点应在什么样的曲线上?(2)已知A,B两地相距800m,并且此时声速为340ms,求曲线的方程.(3)要想确定爆炸点的准确位置.应采取什么措施?(学生分组讨论.教师巡视指导.把学生解答用投影仪展示.)学生(1)由声速及A,B两处听到爆炸声的时间差为2s,可知A,B两处与爆炸点的距离的

差为PAPB680800,因此爆炸点应该位于以A,B为焦点的双曲线上.因为爆炸点离A处比离B处更远,所以爆炸点应在靠近B处的一支上.(2)如图,建立直角坐标系xoy,使A,B两点在x轴上,并且点O与线段AB中点重合.设爆炸点P的坐标为x,y.则PAPB3402680 AB 即2a680,a340.又AB800 所以2c800,c400

b2c2a244400

因为PAPB6800 所以x0.x2y2所求双曲线方程为1(x0)

11560044400(3).利用两个不同的观测点侧得同一炮弹爆炸声的时间差,可以确定爆炸点所在的双曲线的方程但不能确定爆炸点的准确位置.如果再增设一个观测点C,利用B, C(或A, C)两处侧得的爆炸声的时间差,可以求出另一个双曲线的方程.解这两个方程组成的方程组,就可以确定爆炸点的准确位置.变式一:若将“在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2s”改为“在A处听到爆炸声的时间比在B处晚40s”那么爆炸点P应在什么样的曲线上? 17变式二:若将“A,B两地相距800m”改为“A,B两地相距600m” 那么爆炸点P应在什么样的曲线上? 变式三:假若在A,B两处同时听到爆炸声, 那么爆炸点P又在怎样的曲线上呢? 六.小结: 1.双曲线的定义,关键词是绝对值的差小于F1F2.43

2.求双曲线方程要注意选择方程的形式,以简化计算.3.主要思想方法有类比思想及特殊与一般量变与质变的辨证关系.七.教学效果: 这节课充分发挥了多媒体教学的优势,教学设计充分体现”主导----主体”现代教学思想,彻底地改变了传统教学过程汇总学生被动接受知识的状态,学生能够自主探索获取知识,愿意学习也学会学习;学生主动参与的意识提高了.通过多媒体教学,教师把学生引上探索问题之路,调动了每一个学生学习的主动性和创造性,体现了学生的主体地位,有利于学生潜能的开发和创造性思维的培养.44

第五篇：双曲线及其标准方程的教学设计及教学反思

双曲线及其标准方程

（二）的教学设计及教学反思

教学设计： 教学目标

1.进一步掌握双曲线的定义及其标准方程的求法，特别是用定义法和待定系数法； 2.了解双曲线定义及其标准方程知识在实际中的应用.教学重点

双曲线的定义及其标准方程

教学难点

双曲线定义及其标准方程知识在实际中的应用

教学过程

1、复习回顾（1）双曲线定义

（2）两种形式的标准方程

⑶根据下列条件，求双曲线的标准方程

①过点P(3,15/4),Q(－16/3,5)，且焦点在坐标轴上；

②c6,经过点(－5,2)，且焦点在x轴上；

22③与双曲线x/16－y/4＝1有相同的焦点，且经过点(32,2)。分析：①设双曲线方程为mx＋ny＝1(mn＜0)，则

9m225n1m1/16解得∴所求方程为－x2/16＋y2/9＝1 256m25n1n1/9

22小结：“巧设”方程为“为mx＋ny＝1(mn＜0)”避免分两种情况进行讨论。②∵c6,且焦点在x轴上，∴设标准方程为x/m－y/(6－m)＝1（0＜m＜6）

22∵双曲线经过(－5,2)，∴25/m－4/(m－6)＝1，解得m＝5或m＝30（舍去）∴所求方程为x2/5－y2＝1 22③∵与双曲线x/16－y/4＝1有相同的焦点，∴设所求双曲线的标准方程为

x2161816y24441(016)

∵双曲线经过点(32,2)，1，解得λ＝4或λ＝－1(舍去)∴所求方程为x2/12－y2/8＝1

22小结：注意到了与双曲线 x/16－y/4＝1共焦点的双曲线系方程为x216y241(016)后，便有了上述巧妙的设法。

⑷已知双曲线x2/a2－y2/b2＝1（a>0,b>0）, 求过它的焦点且垂直于x 轴的弦长 分析：设双曲线的一个焦点为F（c,0），过F且垂直于x轴的弦为AB，要求AB的长，只需确定弦的一个端点A或B的纵坐标即可 |AB|＝2a2/c 变：双曲线x2/4－y2/12＝1上的点P到左焦点的距离为6，这样的点有＿个。⑸①一动圆P过定点M（－4，0），且与已知圆N：(x－4)2＋y2＝16相切，求动圆圆心P的轨迹。分析：由题意，列出动圆圆心满足的几何条件，若能由此条判断出动点的轨迹是哪种曲线，则可直接求出其轨迹方程来

内切时，定圆N在动圆P的内部，有|PC|＝|PM|－4，外切时，有|PC|＝|PM|＋4，故点P的轨迹是双曲线x2/4－y2/12＝1。

②已知动圆P与定圆C1：(x＋5)2＋y2＝49,C2：(x－5)2＋y2＝1 都相切，求动圆圆心的轨迹的方程

分析：外切有|PC1|＝7＋r, |PC2|＝1＋r，∴|PC1|－|PC2|＝6，内切有|PC1|＝r－7, |PC2|＝r －1，∴|PC2|－|PC1|＝6 故点P的轨迹是双曲线x2/9－y2/16＝1

2、探索研究：

例（课本）一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2 s.（1）爆炸点应在什么样的曲线上？

（2）已知A、B两地相距800 m，并且此时声速为340 m/s，求曲线的方程.解（1）由声速及A、B两处听到爆炸声的时间差，可知A、B两处与爆炸点的距离的差，因此爆炸点应位于以A、B为焦点的双曲线上.因为爆炸点离A处比离B处更远，所以爆炸点应在靠近B处的一支上.（2）如图8—14，建立直角坐标系xOy，使A、B两点在x轴上，并且点O与线段AB的中点重合.设爆炸点P的坐标为（x,y），则

PAPB3402680,即2a=680,a=340.又AB800,∴2c=800,c=400, b2=c2－a2=44400.∵PAPB6800,∴x>0.所求双曲线的方程为：

x2115600y244400(x>0).说明：该例表明，利用两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间差，可以确定爆炸点所在的双曲线的方程，但不能确定爆炸点的准确位置.而现实生活中为了安全，我们最关心的则是爆炸点的准确位置，那么我们如何解决这个问题呢？

如果再增设一个观测点C，利用B、C（或A、C）两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置.这是双曲线的一个重要应用.如果A、B两点同时听到爆炸声，说明爆炸点到A、B的距离相等，那么爆炸点应在怎样的曲线上？

AB的中垂线。

4、归纳总结

数学思想方法：数形结合，待定系数法，分类讨论

掌握双曲线的定义及其标准方程的推导，并利用焦点、焦距与方程关系确定双曲线方程.5、课后作业

习题8.3 4,5,6.教学反思：

一、教学过程回顾

依据“一个为本，四个调整”（以学生发展为本，新型的师生关系、新型的教学目标、新型的教学方式、新型的呈现方式）的新的教学理念和教学目标设计教学过程。

1、导入新课：以在双曲线发展史中穿插对双曲线的定义及其标准方程的复习导入，双曲线的定义及其标准方程的内容，由两名学生分别发言给出的。预热用待定系数法求“双曲线”标准方程的“最近发展区”的两个引例，由三名学生先后补充完成。然后在老师引导下，全班学生经过讨论后，共同总结出待定系数法求方程的一般步骤：先定位后定量。此时师生共同消除了因随堂录象和优质课评选造成的紧张心理。课堂教学气氛也相当活跃，渐入佳境，非常轻松地进入了新课。

2、进入新课：教师投影106页例2，并引导学生分析已知条件设出方程组后，鼓励学生动手解答方程组，全班学生都非常积极地思考、讨论，当教师问学生：想到解决办法没有？有十多名学生回答：想到解法了。于是我就采用这几年来在课堂上经常采用的办法，让学生上讲台亲自为班上同学讲解，学生选出的代表上讲台后边讲边写出：由于所求解的是关于待定系数a,b的一个分式方程组，并且分母的次数是2，用换元法可将它化为二元一次方程组，我对该生给予充分的鼓励和表扬，此时学生们思维活跃，情感和态度都进入佳境，之后另一名学生又非常大方地上黑板板书出二元一次方程组的解，进而写出双曲线的标准方程。学生们充分讨论、交流后，自己总结出待定系数法求双曲线标准方程和换元法解分母是2次的分式方程组的一般方法。学生们创新的火花不断闪现，先是自己对该例变式，解答后进行交流。老师适机给出一道练习题，帮助学生自己查找学习中的漏洞，接着学生又自己巩固、升华，归纳出一般式解法。进而探讨课本106页例3，在按照课本思路学习完该例后，再围绕本节重点知识双曲线定义对课本例3探究，开展研究性学习。探讨如下：若A、B两地相距680m，其余条件不变，曲线方程是什么？这个问题提出后，学生发现若爆炸点位于双曲线上，则方程中分母为0，一石激起前层浪，学生马上展开了激烈的讨论，教师引导学生再次回到双曲线的定义上，并用几何画板帮助学生加深对该定义的理解，最后学生观察、实验、计算、交流、归纳后指出双曲线定义中若将常数改为等于|F1F2|，则轨迹是以F1,F2为端点的两条射线，进而质疑课本上第一问答案，提出答案应为：爆炸点位于靠近B处的一支双曲线上或线段AB的延长线上的猜想．教师给予肯定。

教师作为热烈讨论的平等氛围中的引导者，鼓励学生大胆探究、勇于创新，积极谈论和参与体验，留给学生更多的思考和探索，转变学习方式。验证学生的结果。

终结阶段：教师引导学生一起总结本节课，作业分为三种形式，体现作业的巩固性和发展性原则，弹性作业不作统一要求。

二、成功之处：

1、教学方法上：参考巴班斯基的“教学过程最优化”理论：“突出教学内容中主要的、本质的东西；将每堂课具体任务与整个教学任务合理地结合起来；选择最合理的教学方法和手段。”结合本节课的具体内容，确立启发探究式教学、互动式教学法进行教学这两种教学方法，体现了认知心理学的基本理论。

2.学习的主体上：课堂不再成为“一言堂”，学生也不再是教师注入知识的“容器瓶”，课堂上为学生的主动参与提供充分的时间和空间，让不同程度的学生勇于发表自己的各种观点（无论对错），选出代表上讲台讲解等做法，真正做到了“六让”：凡是学生能够自己学习的、观察的、讲的（口头表达）、思考探究的、合作交流的、动手操作的，尽量都放手让给学生去做、去活动、去完成，这样可以调动学生学习积极性，拉近师生距离，提高知识的可接受度，让学生体会到他们是学习的主体。进而完成知识的转化，变书本的知识、老师的知识成为自己的知识。

3、学生参与度上：课堂教学真正面向全体学生，让每个学生都享受到发展的权利。在我的启发鼓励下：全班40多个学生都争先恐后地举手回答，毫不掩饰地互相讨论，积极主动地上讲台表演讲解，练习巩固时，每个学生都经过独立思考后在前后左右的同学形成小组中进行了交流讨论，共同进步。

4、学生参与的“质量”上：课堂气氛不但很活跃，而且真正激发学生深层次的思维和情感的投入。捕捉住了学生发言中的闪光点和思维的火花，不只满足学生此起彼伏的热烈场面。

5、“三维”课程目标的实现上：既关注掌握知识技能的过程与方法，又关注在这过程中学生情感态度价值观形成的情况。以双曲线发展史导入，让学生感受数学文化，呈现方式具有新异性，激发学习兴趣，通过对课本例

2、例3的学习及变式探究，激发了学生将所学知识应用于实际的求知欲，体会数学的科学价值、应用价值、人文价值，开阔视野，体会数学的系统性、严密性，了解数学真理的相对性；崇尚数学的理性精神。

6、课程资源开发上：介绍数学史，培养浓厚的学习兴趣。寻求数学进步的历史轨迹，激发对于数学创新原动力的认识，接受优秀文化的熏陶，领会数学的美学价值，从而提高自身的文化素养和创新意识。备课时，对课本106页例3第一问进行认真研究，再次研读了大学《空间解析几何》中《双曲面》的有关知识，向有关专家请教，最后独立解决了这个问题。保证了知识的科学性。

7、媒体运用上：利用多媒体形象动态的演示功能提高教学的直观性和趣味性，以提高课堂效益。老师学生在黑板上板书，向学生呈现出可操作性强的思维和解题过程。教材中对双曲线定义尽管很严密，但不够直观，所以用了几何画板辅助作图，声音、动画、影像等多种形式强化对学生感观的刺激，可以极大提高学习兴趣，变抽象为直观，加大一堂课的信息容量。

8、学生评价上：从操作能力、概括能力、学习兴趣、交流合作、情绪情感方面对学习效果进行过程评价。对出现问题的学生，教师指出其可取之处并耐心引导，这样有助于培养他们勇于面对挫折，持之以恒地科学探索精神；当学生做得精彩有创新，教师给予学生充分的鼓励，使得本节课学生在学习过程中兴趣浓厚,学得积极主动，课堂气氛活跃！从而进一步激发学生创造的潜能，提高他们的创新能力。

9、学法指导上：采用激发兴趣、主动参与、积极体验、自主探究的讲解讨论相结合，交流练习互穿插的活动课形式，学生始终处于问题探索研究状态之中，激情引趣。教师创设和谐、愉悦的环境及辅以适当的引导。促进学生说、想、做，注重“引、思、探、练”的结合，鼓励学生发现问题，大胆分析问题和解决问题.进行主动探究学习，形成师生互动的教学氛围。

10.教学实效上：既让学生在第一课时的基础上巩固、深化、应用双曲线的定义并掌握待定系数法求标准方程，又可加强对代数运算能力的培养，在此体验方程、化归、数形结合、分类整合等数学思想，为下一节《双曲线的几何性质》的学习即“由数到形”作了坚实铺垫和准备。解方程（方程组）直接影响圆锥曲线乃至解析几何的学习。通过创设情景、启发诱导、动手操作、练习巩固、总结归纳，应用提升等探究性活动，培养学生的数学创新精神和实践能力，使学生掌握待定系数法求解方程的规律，掌握换元法或整体代入的方法进行消元降次解分母是二次的分式方程组。本节课加强这方面的训练，起到承上启下的重要作用，保证下一阶段解析几何学习的顺利进行。

三、不足之处：

1．本节课的知识量比较大，而且是建立在上一课时双曲线定义和标准方程基础之上。这些知识学生都已经学过了，在课堂上只做了一个简单的复习(利用多媒体幻灯片演示，老师渗透数学史和学生一起回忆一遍)。但是在接下来的课堂上发现一部分学生由于课前预习的工作不够落实，导致课堂上简单的复习效果不好，从而影响到学生在第二个过程的例题讲解中反映出的思维比较的缓慢及无法进行有效的思考的问题，因此在以后的较学中要加强对学生学习习惯的培养，特别是课前预习的好的学习习惯，加强对上节课程的复习。

2．本节课课堂容量(安排的知识容量)偏大，在思维上也有比较特殊的地方，从而导致学生在课堂上的思考的时间不够，课堂时间比较紧张。因此今后在课时上应该合理地安排每一节课的课堂容量，给学生更多的思考时间和空间，提高课堂的效果。同时还要重视探究题的作用，因为班上有一部分同学体现出基础比较扎实，而且对数学也比较有兴趣，出一些比较难的思考题，能够让这部分学有余力的同学能有所提高。

3．从课堂的效果来看学生对运算的熟练还不够，他们总是担心会出问题，特别是解方程题缺乏化简的能力，教学上我的处理是在教学的过程中如果出现了这类问题，就具体跟学生讲解，然后让学生练习总结。今后还要加强对学生这方面能力的培养。

4、教学结束时对课本上例3第一问处理上还值得研究。

5、个别关注做得不够。

四、教学机智与学生创新

在课堂教学过程中，学生是学习的主体，学生总会有“创新的火花”在闪烁，这节课当讲完课本上例2学生练习时，我发现：学生将所求双曲线方程设为一般式mx2ny21(mn0)，于是我马上问他是如何想到的，学生提出换元法的本质就是将所求双曲线方程设为mx2ny21(mn0)，既避免了讨论又降低了方程组中未知数的次数，大大减少所需的运算。备课时原计划是讲完课本解法后，再把一般式作为单独解法

1,1作

a2b2为整体求解即可。这样，学生帮助我既节约了原本较紧的课堂用时，也提高了教学水平。更令人满意的是，学生们对课本例3第1问可以准确给出答案，弥补了不足，并能准确地说出理由，这是我没有想到的。故教师应当充分重视课堂上学生提出的一些独特见解，这样不仅使学生的好方法、好思路得以推广，而且对学生也是一种赞赏和和激励。还有这些难能可贵的见解也是对课堂教学的补充与完善，可以拓宽教师的教学思路。

五、再教设计

1、新课导入：首先，仍然用原来的方式，但要删掉引例中第1题，为后面多留点时间。以对双曲线定义和方程形式的复习来引导学生，指明双曲线两种不同形式的标准方程的统一介绍给学生，我马顿时受到启发，不必单独讲解一般式，现在只需回到课本上，把形式mx2ny21(mn0)是待定系数法解题的基础。

这样的引入方式，既保证本节课以数学文化为背景，又抓住了双曲线两种不同形式的标准方程的实质，确保学生解题的速度和准确性。此外，明白新知识来源于旧知识，促使学生运用模块思想和基本员的方法学习双曲线的标准方程，为顺利完成教学作好思维上的准备。

2、新课讲授：对课本例2的教法学法不变，让学生上黑板练习，更充分地暴露运算上的不足，给出练习答案后，仍然由学生交流算理，小结方法。但对课本例3应加大分析力度，让学生讨论得更清楚一点，知其然更知其所以然，对第1问答案的探讨要比原来教学淡化一点。这样设计的好处是：更能符合学生的认识水平，突出重点（巩固双曲线概念、掌握待定系数法求双曲线标准方程），突破难点（分母是2次的分式方程组的解法），达到教学目的。

3、终结阶段：作业布置不变，仍然分为三种形式，通过作业反馈学生掌握知识的效果，以利课后解决学生不掌握的地方。体现作业的巩固性和发展性原则。弹性作业不作统一要求，目的是帮助学生进一步深化对双曲线定义的理解，达到本堂课的教学目标。