第六章
真空中的静电场
一、基本要求
1．掌握静电场的电场强度和电势的概念以及电场强度的叠加原理和电势的叠加原理。掌握电势与电场强度的积分关系。能计算一些简单问题中的电场强度和电势。
2．理解静电场的规律：高斯定理和环路定理。理解用高斯定理计算电场强度的条件和方法。
3．了解电偶极矩的概念。能计算电偶极子在均匀电场中所受的力和力矩。
二、基本内容
1．点电荷
当带电体的形状和大小与它们之间的距离相比可以忽略时，可以把带电体看作点电荷。
对点电荷模型应注意：
（1）点电荷概念和大小具有相对意义，即它本身不一定是很小的带电体。只要两个带电体的线度与它们之间距离相比可忽略，就可把它们简化为点电荷，另外，当场点到带电体的距离比带电体的线度大得多时也可以把带电体简化为点电荷。
（2）点电荷是由具体带电体（其形状没有限制）抽象出来的理想化模型，所以不能把点电荷当作带电小球。
（3）点电荷不同于微小带电体。因带电体再小也有一定的形状和电荷分布，还可以绕通过自身的任意轴转动，点电荷则不同。
（4）一个带电体在一些问题中可简化为点电荷，在另一些问题中则不可以。如讨论带电体表面附近的电性质时就不能把带电体简化为点电荷。
2．库仑定律
其中，由施力电荷指向受力电荷的单位矢量。
适用条件：真空中点电荷之间（相对观察者静止的电荷）的相互作用。
当空间有两个以上的点电荷同时存在时，作用在某一点电荷上的总静电力等于其它各点电荷单独存在时对该电荷所施静电力的矢量和——电场力的叠加原理。
3．电场强度矢量，电场中某点的电场强度等于单位电荷在该点所受的电场力。为正时，和电场力同方向，为负时，的方向和方向相反。
（1）反映电场的客观性质，与试验电荷的大小，电荷正负无关，也与的存在与否无关。
（2）是一个矢量，一般地说，电场空间不同点处的场强不同，即。如点电荷的场的场强分布函数为
（3）因为静电场可叠加，所以矢量服从叠加原理。空间任一点处场强
（4）电荷在静电场中受电场力作用，为所在处的总场强，即除以外所有其它电荷在所在处产生的合场强。
（5）电场强度的计算
由叠加原理和点电荷场强公式原则上可以求出任意带电系统产生的电场的场强分布。
对点电荷系
任意一点的场强
对电荷连续分布的带电体，任一点的场强
当电荷为线分布，为线电荷密度，积分应遍及整个带电导线。
当电荷为面分布，为面电荷密度，积分应遍及整个带电曲面。
当电荷为体分布，为体电荷密度，积分应遍及整个带电体。
由叠加原理求场强的一般步骤为（对电荷连续分布的带电体）：第一步，把带电体看作由无数个电荷元组成，利用点电荷场强公式，写出任意电荷元在场点产生的场强：
第二步，选取适当的坐标系，把投影在坐标轴上，分别得其分量、、。
第三步，应用叠加原理分别求出场强在各个方向的分量如：
。总场强。
也可由和、、分别求出的大小和方向。
对于一些具有特殊形状的带电体，当其电场分布具有一定对称性时，如球对称，面对称，轴对称，可用高斯定理，通过选择适当的高斯面求出场强分布。
4．电场的高斯定理
式中，表示通过场中任意闭合曲面的电通量。表示闭合曲面内电荷代数和，这些电荷可以是自由电荷，也可以是束缚电荷。
对于高斯定理应注意：
（1）通过高斯面的电通量只与高斯面内电荷代数和有关，与高斯面内电荷具体分布无关，与高斯面的形状，大小无关，与高斯面外电荷无关。，有电力线从内穿出；，表示有电力线穿入面内。说明静电场为有源场，正电荷是静电场的源头，负电荷是静电场的尾闾。
（2）中表示高斯面上，面元处的场强。因为空间任意点的场是由空间各点处的电荷共同激发的，所以面上任意点处的不仅与面内的电荷以及电荷分布有关，也与面外各点处的电荷以及电荷分布有关。
（3）对于具有一定对称性分布的电场，只要选取适当的高斯面，可使在高斯面上或高斯面上某一部分电场强度为恒量。所以有
可以应用高斯定理求场强。
（4）高斯定理应用
①
分析场分布的对称性，常见的有球对称、轴对称、面对称。
②
选取适当的高斯面（此处高斯面不能任取），原则为：过场点，使高斯面上各点的大小相等，方向与高斯面上各面元垂直，或有恒定的夹角；或者高斯面上一部分满足上述条件，其余部分或与各面元平行。
③
求出高斯面内所包围的净电荷。根据高斯定理求的大小。
④
根据场分布的对称性确定场强方向。
5．静电场的环流定律
与静电场力做功与路径无关的结论是等价的，说明静电场是保守场，静电力是保守力，可以引入电势能和电势的概念。
6．电势能
电场力为保守力，可以引进相关势能，若以和分别表示试探电荷在场中点和点的电势能，则
注意：①电势能是与场源电荷所激发的电场之间的相互作用能量，属和电场系统。
②电势能为一相对量。选定电势能零点后，才能确定电荷在场中任一点的电势能的大小。例如，对带电体电荷分布为有限时，取无限远处为电势能零点，则所在处点的电势能为
电势能差与零点选择无关。
由，电场力做功等于电势能增量的负值。
7．电势
电势中某点电势定义为
即静电场中某点的电势在数值上等于单位正电荷放在该点处时的电势能，也等于单位正电荷从该点经过任意路径到无限远处时电场力所做的功。
电势为标量，相对于电势的零点，场中任一点的电势可正、可负。
对电势概念：
（1）反映电场本身的性质，与的大小以及存在与否无关，只要产生场的电荷分布一定，电场分布就确定，电势也就有确定的分布。
（2）电势为一相对量，只有选定了电势零点，场中任一点电势才有确定大小。所以中处即电势零点。
电势零点的选择应注意，在理论上合理，实用上方便（原则上可任选）。如对场源电荷分布在有限区域内时，通常选距场源电荷为无限远处为电势零点；对于无限带电体（如无限大带电平面，无限长带电直线）则选场中有限远处某点为电势零点。在一些实际问题中通常选地球（接地）或仪器外壳为电势零点。
场中任意两点间电势差与电势零点选择无关，即总是恒定的。
（3）电势服从叠加原理。
（4）电势与电势能的区别。
（5）电场力做功与电势差的关系为
当电势分布已知，则在电场中移动电荷，电场力所做的功可由上式方便求得，从而避免了积分。
（6）电势的计算
计算电势的方法有两种：
①利用叠加原理求电势。根据点电荷的计算公式和叠加原理可求任意带电体产生电场的电势。
点电荷场中电势分布
或
点电荷系场中电势分布
连续带电体产生场中任一点电势
②
由电势的定义直接求电势。此方法中应先求得场强分布，再由电势的定义求出的分布。
8．电场强度和电势的微分关系
或，也可利用电场强度和电势的微分关系求电场
9．电偶极矩
电偶极子：等量异号的两个点电荷（），当它们之间的距离比场点到二者的距离小得多时，这一带电系统称为电偶极子。
电偶极矩简称电矩，用表示，则
为连接和的直线称为电偶极子的轴线，的方向为从负电荷指向正电荷的方向，此方向也是矢量的方向。
电偶极矩是表征电偶极子的电性质的物理量。在研究电介质的极化，电磁波的发射和吸收及中性分子间的相互作用时用到电偶极子模型。
10．电偶极子在均匀外电场中所受的作用
为与的夹角
在作用下将转向外电场的方向。当与方向一致（），电偶极子处于稳定平衡，当与反向（），电偶极子处于不稳定平衡。当与垂直时，（），电偶极子受最大力矩作用。
在非均匀电场中电偶极子除受作用外，还受到一合力作用，促使电偶极子向电场较强的方向移动。
一般情况下，因电偶极子所在处范围很小，可近似地认为电偶极子所在处电场为均匀，所以电偶极子受电场作用。
三、习题选解
6-1
三个电量为的点电荷各放在边
长为的等边三角形的三个顶点上，电荷放在三角形的重心上。为使每个负电荷受力为零，之值应为多大？
解：以三角形上顶点所置的电荷()为例，其余两个负电荷对其作用力的合力为，方向如图所示，其大小为
-q
-q
-q
Q
题6-1图
中心处对上顶点电荷的作用力为，方向与相反，如图所示，其大小为
由，得。
6-2
在某一时刻，从的放射性衰变中跑出来的粒子的中心离残核的中心为。试问：（1）作用在粒子上的力为多大？（2）粒子的加速度为多大？
解：（1）由反应，可知粒子带两个单位正电荷，即
离子带90个单位正电荷，即
它们距离为
由库仑定律可得它们之间的相互作用力为：
（2）粒子的质量为：
由牛顿第二定律得：
6-3
如图所示，有四个电量均为的点电荷，分别放置在如图所示的1，2，3，4点上，点1与点4距离等于点1与点2的距离，长，第3个电荷位于2、4两电荷连线中点。求作用在第3个点电荷上的力。
解：由图可知，第3个电荷与其它各电荷等距，均为。各电荷之间均为斥力，且第2、4两电荷对第三电荷的作用力大小相等，方向相反，两力平衡。由库仑定律，作用于电荷3的力为
题6-3
图
题6-3
图
力的方向沿第1电荷指向第3电荷，与轴成角。
6-4
在直角三角形的点放置点电荷，点放置点电荷，已知，试求直角顶点处的场强。
解：点电荷在点产生的场强为，方向向下
点电荷在点产生的场强为，方向向右
题6-4图
根据场强叠加原理，点场强
设与夹角为，6-5
如图所示的电荷分布为电四极子，它由两个相同的电偶极子组成。证明在电四极子轴线的延长线上，离中心为（）的点处的电场强度为，式中，称为这种电荷分布的电四极矩。
题6-5图
解：由于各电荷在点产生的电场方向都在轴上，根据场强叠加原理
由于，式中可略去
又电四极矩
故
题6-5图
6-6
如图所示，一根很长的绝缘棒，均匀
带电，单位长度上的电荷量为，试求距棒的一端垂直距离为的点处的电场强度。
解：建立如图所示坐标，在棒上任取一线
元在点产生的场强为
题6-6图
场强可分解成沿轴、轴的分量
题6-6图
点场强
方向与轴夹角为
6-7
一根带电细棒长为，沿轴放置，其一端在原点，电荷线密度（为正的常数）。求轴上，处的电场强度。
解：在坐标为处取线元，带电量为，该线元在点的场强为，方向沿轴正方向
整个带电细棒在点产生的电场为
题6-7图
场强方向沿轴正方向
6-8
如图所示，一根绝缘细胶棒弯成半径
为的半圆形。其上一半均匀带电荷，另一
半均匀带电荷。求圆心处的场强。
解：以圆心为原点建立如图所示坐标，题6-8图
在胶棒带正电部分任取一线元，与夹角为，线元带电荷量，在点产生电场强度
把场强分解成沿轴和轴的分量
题6-8图
同理，胶棒带负电部分在点的场强沿轴方向的分量与大小相等，方向相同；沿轴方向的分量与大小相等，方向相反，互相抵消，故点场强为
方向沿轴正向。
6-9
一无限大均匀带电平面，电荷面密度为，在平面上开一个半径为的圆洞，求在这个圆洞轴线上距洞心处一点的场强。
解：开了一个圆洞的无限大均匀带电
平面，相当于一个无限大均匀带电平面又
加了一块带异号电荷，面密度相同的圆
盘。距洞心处点的场强
式中为无限大均匀带电平面在点产生的场强
题6-9图
方向垂直于平面向外
为半径为的均匀带负电圆盘在其轴线上距中心为处的产生的场强。在圆盘上取半径为，宽为的细圆环，在点产生场强
方向垂直圆盘向里
故
方向垂直平面向外
6-10
如图所示，一条长为的均匀带电
直线，所带电量为，求带电直线延长线上任一点的场强。
解：在坐标为处取线元，带电量
该线元在带电直线延长线上距原点为的点产生的场强为
题6-10图
题6-10图
整个带电直线在点的场强
6-11
用场强叠加原理，求证无限大均匀带平面外任一点的场强大小为（提示：把无限大平面分成一个个圆环或一条条细长线，然后进行积分）。
解：（1）建如图坐标，以板上任一点为圆心，取半径为，宽度为的环形面积元，带电量为：。
由圆环电荷在其轴线上任一点的场强公式
方向沿轴正方向。
点总场强
题6-11图
（，的方向沿轴正方向）
（2）建如图所示的三维坐标，在与轴相距为处取一细长线元，沿轴方向单位长度带电荷为，由长直带电直线场强公式，线元在轴距原点为的点的场强
题6-11图
由于对称性，的轴分量总和为零
所以
因为，所以的方向沿轴正方向。
6-12
如图所示，半径为的带电细圆环，线电荷密度，为常数，为半径与轴夹角，求圆环中心处的电场强度。
解：在带电圆环上任取一线元，带电量为，线元与原点的连线与轴夹角为，在点的场强大小为
题6-12图
沿轴和轴的分量
整个带电圆环在点的场强沿轴和轴的分量
故的方向沿轴负方向。
6-13
如图所示，两条平行的无限长均匀带电直线，相距为，线电荷密度分别为和，求：
（1）两线构成的平面的中垂面上的场强分布；
（2）两直线单位长度的相互作用力。
解：（1）在两线构成平面的中垂直面上任取一点距两线构成平面为，到两线距离为。两带电直线在点的场强为
题6-13图
由于对称性，两线在点的场强沿轴方向的分量，方向相反，大小相等，相互抵消
题6-13图
方向沿轴正方向
（2）两直线相距为，带正电直线在带负电直线处的场强为。由，带负电直线单位长度的电荷受电场力，方向指向带正电直线。
同理，带正电直线单位长度受电场力，方向指向带负电直线。
故有，两带电直线相互吸引。
6-14
如图所示，长为、线电荷密度为的两根相同的均匀带电细塑料棒，沿同一直线放置，两棒近端相距为，求两棒间的静电相互作用力。
题6-14图
解：（1）建立如图所示坐标，在左棒中坐标为处取线元，带电量，线元在坐标处的场强
左棒在坐标处点的场强
题6-14图
（2）在右棒中坐标为处取线元，带电量，该线元受电场力
右棒受总电场力为的方向沿轴正方向。两棒间的静电力大小相等，方向相反，互为斥力。
6-15
用细的不导电的塑料棒弯成半径为的圆弧，棒两端点间的空隙为，棒上均匀分布着的正电荷，求圆心处场强的大小和方向。
解：有微小间隙的带正电圆弧棒，等效于一个相同半径的带正电圆环加个弧长等于间隙的带负电小圆弧棒。由场强叠加原理，圆心场强
对于均匀带正电的圆环，由于对称性在圆心的电场强度为零。
上一带负电小圆弧棒相对于圆心可近似
题6-15图
看成一个点电荷，电量为：
圆心处场强，方向指向空隙。
6-16
如图所示，一点电荷处于边长为的正方形平面中垂线上，与平面中心点相距，求通过正方形平面的电场强度通量。
解：以点电荷所在处为中心，以图中正方形为一面作一边长为的正方体，由高斯定理知：通过正方体表面的电通量为
o．
．q
题6-16图
则通过该正方形平面的电通量为。
6-17
设匀强电场的场强为，与半径为的半球面的轴线平行。试计算通过此半球面的电场强度通量。
解：方法一：在半球面上取宽为的环状面积元，通过面元的电场强度通量
通过整个半球面的电场强度通量
题6-17图
方法二：通过半球面的电场强度通量与垂直通过大圆面的电场强度通量相等。通过面的电场强度通量：
故通过半球面的电场强度通量亦为。
6-18
在量子模型中，中性氢原子具有如下的电荷分布：一个大小为的电荷被密度为的负电荷所包围，是“玻尔半径”，是为了使电荷总量等于所需要的常量。试问在半径为的球内净电荷是多少？距核远处的电场强度多大？
解：由，可得
由
原式成为
所以
要求半径为的球内的静电荷。应先求半径的球内的负电荷
球内净电荷为
由高斯定律
6-19
在半径分别为,的两个同心球面上，分别均匀带电为和，求空间的场强分布，并作出关系曲线。
解：电荷在球面上对称分布，两球面电荷产生的电场也是球对称分布，场强方向沿径向向外。
（1）以球心为圆心，为半径（）作一同心球面，由高斯定理，球面包围电荷量为零，即
因而
（2）以为圆心，半径为（）作一同心球面，由高斯定理
题6-19图
（3）以为圆心，半径为（）作一同心的球面，由高斯定理
所以
曲线如图6-19所示。
6-20
设均匀带电球壳内、外半径分别为和，带电量为。分别利用高斯定理与用均匀带电球面的电场叠加求场强分布，并画出图。
解：由于电荷分布具有球对称性，空间电场分布也具有球对称性。
（1）在的区域，电量为零。
由高斯定理，因而各点场强为零。
（2）在区域，以为半径作同心球面。
由高斯定理
由
因此
（3）在区域，以为半径作同心球面，由高斯定理
曲线如图6-20所示。
题6-20图
6-21
无限长共轴圆柱面，半径分别为和()，均匀带电，单位长度上的电量分别为和。求距轴为处的场强(1)；(2)；(3)。
解：（1）在半径为的圆柱面内作半径为，高为的同轴圆柱面，作为高斯面。通过此高斯面的通量
各点垂直于轴线，上下底面电通量为零
因而
（（2）在半径为、的两圆柱面间作半径为，高为的同轴圆柱面作为高斯面，由高斯定理
可见
（3）同理在的区域
6-22
一半径为的无限长带电圆柱，其体电荷密度为()，为常数。
求场强分布。
解：（1）在圆柱体内处（），取一
点，过以底面半径为，高为作闭合同
轴圆柱面。圆柱面包围的电荷量
题6-22图
通过圆柱侧面的电通量为，通过两底面的电通量为零，由高斯定理
可得的方向沿矢径的方向
（2）在圆柱体外处（）取一点，过点以底面半径为，高为作闭合同轴圆柱面。圆柱面包围电荷量
由高斯定理
得的方向沿矢径的方向
6-23
如图所示，一电量为的电荷从坐标原点运动到点。设电场强度为。
（1）试计算经下述路径时，电场力做的功
（2）点相对坐标原点的电势差。
解：（1）电荷在电场中运动时，电场力做功
（a）路径为
（b）路径为
题6-23图
（c）路径为
（2）点相对于坐标原点的电势，即它们之间的电势差，等于单位正电荷从点移到时，电场力所做的功。
6-24
如图所示，半径为的均匀带电球面，带电量为，沿半径方向有一均
匀带电细线，线电荷密度为，长度为，细线近端离球心的距离为。设球和细线上的电荷分布固定。求细线在电场中的电势能。
题6-24图
解：以带电球面圆心为原点，通过带电直线作坐标如图。带电球面在轴线处场强为
方向沿轴正方向
该点的电势为
在带电细线上处取线元，带电量为，线元的电势能为
细线在电场中的电势能
6-25
如图所示，试计算线性电四极子
在很远处（）的电势。
解：在距电四极子很远处取一点，距为，夹角为，由点电荷电场的电势
题6-25图
由于
故
故
题6-25图
6-26
如图所示，点电荷，与它在同一直线上的三点分别距
为，若选为电势零点，求两点的电势。
题6-26图
解：以点电荷为原点，沿的连线建坐标，在坐标轴上，各点场强方向都沿轴正方向。
题6-26图
对于、两点，电势差
由，故
对于、两点，电势差为：
由，故
6-27
真空中一均匀带电细圆环，线电荷密度为，求其圆心处电势。
解：在细圆环上取长为的线元，带电量为
在圆心处产生的电势
整个带电圆环在圆心的电势
题6-27图
6-28
半径为的球形水滴具有电势。求：（1）水滴上所带的电荷量。（2）如果两个相同的上述水滴结合成一个较大的水滴，其电势值为多少（假定结合时电荷没有漏失）？
解：（1）设水滴所带电荷均匀分布在水滴表面。水滴内任一点场强为零，电势与水滴表面电势相等。对于水滴外任一点，电场强度
水滴的电势
题6-28图
故
（2）两水滴合成一较大水滴，电量，半径，水滴外任一点（）的电场强度
大水滴的电势
6-29
两个同心的均匀带电球面，半径分别为，已知内球面的电势为，外球面的电势。（1）求内、外球面上所带电量；（2）在两个球面之间何处的电势为零？
解：（1）设内球面带电量为，外球面带电量为，由电势叠加原理
①
②
由①-②
得：
将的数值代入①式可得：
（2）在两球面之间，电势表达式为
令，得
6-30
如图所示，已知长为，均匀带电，电量为的细棒，求轴上一点的电势及场强的轴分量（要求用来求场强）。
解：在细棒某点取线元，带电量
线元在点的电势
细棒在点的电势
题6-30图
由电场强度与电势梯度的关系
轴上任一点（）的电势为
故
在点，6-31
两无限长带异号电荷的同轴圆柱面，单位长度上的电量为，内半径为，外半径为，一电子在两圆柱面间沿半径为的圆周路径匀速转动。问此电子的动能为多少？
解：设圆柱面单位长度的电量为，两同轴圆柱间的场强
电子作匀速圆周运动的向心力由电场力提供
题6-31图
所以电子的动能
6-32
一电偶极子放在均匀电场中，其电偶极矩与场强成角，场强的大小为，作用在电偶极子上的力偶矩为，试计算其电偶极矩和电势能。
解：电矩与电场夹角为电偶极子受力偶矩的方向由负电荷指向正电荷，与成角。
设电偶极子所在点的电势为。在两点的电势能，电偶极子的电势能
题6-32图
6-33
一带电粒子经过加速电压加速后其速度增大，已知电子的质量为，电荷量绝对值为。
（1）假设电子质量与速度无关，把静止电子加速到光速需要多高的电压？
（2）若考虑电子质量随速度而变化，那么静止电子经过上述电压加速后，其速度是多少？它是光速的百分之几？
解：（1）依题意，设电子质量与速度无关
（2）若考虑电子质量随速度而变化，电子运动质量
当静止电子经电压加速后，电子动能为
可见
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