第十章
变化电磁场的基本规律
一、基本要求
1．掌握法拉第电磁感应定律。
2．理解动生电动势及感生电动势的概念，本质及计算方法。
3．理解自感系数，互感系数的定义和物理意义，并能计算一些简单问题。
4．了解磁能密度的概念
5．了解涡旋电场、位移电流的概念，以及麦克斯韦方程组（积分形式）的物理意义，了解电磁场的物质性。
二、基本内容
1.电源的电动势
在电源内部，把单位正电荷由负极移到正极时，非静电力所做的功
为作用于单位正电荷上的非静电力，电动势方向为电源内部电势升高的方向。
2．法拉第电磁感应定律
当闭合回路面积中的磁通量随时间变化时，回路中即产生感应电动势：
i
方向由式中负号或楞次定律确定。该定律是电磁感应的基本规律，无论是闭合回路还是通过作辅助线形成闭合回路，只要能够求出该回路所围面积的磁通量，就可以应用定律得到该回路中的感应电动势。自感、互感电动势也是该定律的直接结果。
3．.动生电动势
动生电动势是导体在稳恒磁场中运动而产生的感应电动势，它的起源是非静电场力——洛伦兹力，其数学表达式为
i
或
ab
式中，动生电动势方向沿（）方向。
如ab>0，则Va (b点点势高)；如ab<0，则Va>Vb (a点势高)； 4．感生电动势和涡旋电场 感生电动势是由变化的磁场而产生的感应电动势，它的起源是涡旋电场，其数学表达式为 涡旋电场：变化的磁场在其周围产生的电场，其电场线是闭合的，因而叫涡旋电场。是麦克斯韦的第一条假设。注意涡旋电场与静电场的起源机制和性质二者的区别。如果已知涡旋电场分布，可以通过积分求出一段导线两端的感应电动势,对于特殊的涡旋电场分布，可以通过作辅助线的方法，利用法拉第电磁感应定律求出一段导线两端的感应电动势。 5.自感系数和自感电动势 式中比例系数为回路的自感系数，简称自感。如果回路周围不存在铁磁质，自感系数仅取决于线圈自身的大小、几何形状、匝数以及线圈内磁介质的磁导率，与回路电流无关。 由于线圈自身电流的变化，而在线圈中产生的感生电动势叫做自感电动势。根据法拉第电磁感应定律，自感电动势为 L 若回路的自感不随时间变化，则 L 6.互感系数和互感电动势 互感系数满足的规律是 称为线圈Ⅱ对线圈Ⅰ的互感系数，简称互感。 同理线圈Ⅱ的电流强度的磁场，穿过线圈Ⅰ的磁通链与成正比，即 则称为线圈Ⅰ对线圈Ⅱ的互感系数，也称为互感。理论和实验均可证明 == 称为互感系数，由两个线圈自身的几何结构、形状、大小，相对位置以及周围磁介质决定，对于非铁磁质，互感系数为常量，与两线圈中的电流无关。 当一线圈中的电流发生变化时，在邻近的另一线圈中产生的感生电动势叫做互感电动势。根据法拉第电磁感应定律，互感电动势为 若不随时间变化，则 同理 7.磁场能量 磁场的能量密度 wm= 总磁场能量 自感磁能： 8.位移电流 位移电流 位移电流密度 位移电流的概念是在将稳恒电流情况下所满足的安培环路定律应用于非稳恒电路时出现矛盾而因入的，由于传导电流在电容器的两极板间中断，为了使安培环路定律具有更普遍意义，麦克斯韦提出，如果把变化电场看作一种等效电流，则整个回路的电流就连续了，所以位移电流的大小，在数值上等于极板间电位移通量的时间变化率。变化的电场产生磁场是麦克斯韦的第二条假设，位移电流不产生焦耳热，尽管位移电流与传导电流产生的机理不同，但它们都产生磁场，而且产生磁场的规律是相同的。 9.麦克斯韦方程组 麦克斯韦方程组是电磁场理论的高度概况，用它可以预言电磁波。 10.电磁场的物质性 近代物理表明，电磁场具有能量、动量和质量，它具有波粒二象性。 三、习题选解 10-1如图所示，在通以电流的长直导线近旁有一导线段，长，离长直导线距离。当它沿平行于长直导线的方向以速度平移时，导线段中的感应电动势有多大? 哪端的电势高？ 解：在线段上任取一线元，如图，其与垂直且与反向，故 i 所端电势高。 题10-1图 10-2 如图所示，长直导线中通有5A的电流，共面矩形线圈共1×103匝，，以的速度向右平移，求：当时线圈中的感应电动势。 解：取顺时针方向为回路绕行正方向，则在回路所围平面中平面法线方向与平面中 磁感应强度方向相同，均为垂直至面向内，无限长直导线在空间产生的磁感应强度的大小为 B= 设在某一时刻t，回路左边竖框距导线为x，题10-2图 取任一小面元，则通过此小面元的元磁通为 通过整个回路的磁通量为 当回路运动时，回路中的感应电动势 i 当运动至处时 i i,说明回路中感应电动势方向与选定的绕行回路方向相同，为顺时针方向。此题中要注意，以匀速运动的线圈中感应电动势并非常量，而是线圈与导线间距离的函数。 题10-3图 10-3 如图所示，法拉第圆盘发电机 是一个在磁场中转动的导体圆盘，若圆盘 半径为，它的转轴与均匀外磁场的磁感应 强度平行，圆盘的转动角速度为。求： （1）盘的边与盘心之间的电势差 （2）当，转速为，（3）盘边与盘心哪处电势高？若将盘反转，电势高低可否反过来？ 解：（1）在连接盘心与盘边的任一半径上取一线元与圆心距离为，该线元切割磁力线所产生的动生电动势大小为 则盘心与盘边之间的电势差 i = （2）若 （3）根据右手定则，动生电动势的方向指向盘边，盘边电势高，若将盘反转，则盘心电势高。 10-4 如图所示，两个同轴的圆周导线，两导线平面间相距为，并知＞＞，当圆周导线内有恒定电流流动时，圆周导线因较小，在内磁感 应强度可以认为是均匀的。若以变化。（1）求：穿过小圆周线的磁通量与的关系？（2）当时刻（为正数回路产生感应电动势的大小？ （3）若＞0，确定回路感应电流的方向？ 题10-4图 解：（1） 圆周导线在通有电流时，小圆周导线所在处的磁感应强度 穿过小圆周回路的磁通量 （2）小圆周回路的感应电动势 i 把，代入 i （3）若>0，由楞次定律i>0，回路感应电流的方向为顺时针方向（俯视）。 10-5 如图所示，一个半径为，电阻为的刚性线圈在匀强磁场中绕轴 以转动，若忽略自感，当线圈平 题10-5图 面转至与平行时，求：（1）AB、AC各等于多少？（注意）（2）确定两点哪点电势高？两点哪点电势高？ 解：（1）在圆弧CA某点上取一线元，方向如图，与的夹角为，线元因切割磁力线而产生的动生电动势i 又 所以 I- 间任一段由~的圆弧的动 生电动势 题10-5图 i 故 BA CA （2） 由（1）知CA<0、BA <0，所以A、C两点比较，C点电势高；A、B两点比较，B点电势高。 10-6 如图所示，矩形回路在磁场中运动，磁感应强度。当时，回路的一边与轴重合，求下列情况回路 题10-6图 中感应电动势：（1）回路沿轴正向运动，速度为；（2）回路沿轴正向运动，从静止开始有加速度为； （3）回路绕轴以匀速转动。 解：，（1）选逆时针为回路正绕向。在矩形回路中取面积元，与轴相距为，通过面积元的磁通量 整个矩形回路在时刻的磁通量 回路沿轴正向运动。 题10-6（a）图 时，时，i i>0，则i方向为ADCBA顺时针绕向。 （2）回路沿轴正向运动，时，时，矩形回路在时刻的磁通量 = = i i方向为ADCBA （3）回路绕轴以匀速转动。设回路平面与轴夹角为，在回路中取面积元，与轴相距为，通过面积元的磁通量 题10-6（b）图 矩形回路的磁通量 感应电动势 i = 方向为ABCDA 10-7 如图所示，一长直导线通有电流，其附近有正方形线圈，线圈绕轴以匀角速旋转，转轴与导线平行，二者 题10-7图 相距为，且在线圈平面内与其一边平行并过中心，求任意时刻线圈中的感应电动势。 解：设时，线圈与直导线在同一平面。时，线圈转过角度（如图）此时通过线圈的磁通量等于通过宽为高为与直导线共面的线圈的磁通量，设点点到直导线距离分别为 = i = 题10-7（a）图 题10-7（b）图 10-8 如图所示，质量为、长度约为的金属棒由静止开始沿倾斜的绝 缘框架下滑，设磁场竖直向上，求棒内的动生电动势与时间的函数关系，不计棒与 题10-8图 框架的摩擦。如果棒（金属）是沿光滑的金属斜框架下滑，结果有何不同？提示： （回路中将产生感应电流，并设回路电阻为常量考虑）。 解：（1）金属棒所受重力加速度沿斜面方向的分量为 棒的速度 磁场沿垂直于棒运动方向（垂直于斜面）的分量为 故棒的动生电动势 i = （2）若框架为光滑金属，电阻恒为，当棒以速度沿斜面下滑时，回路感生电动势 i 感生电流 I=i /R 题10-8图 金属棒受安培力沿斜面的分量 由牛顿定律 即 分离变量 由初始条件。两边积分 题10-9图 10-9 如图所示，在长直导线中通以交变电流，其中为瞬时电流，为其最大值。在与此导线相距为远处 有一边长为和的矩形线圈。求：（1）在任意时刻穿过线圈的磁通量；（2）在任意时刻线圈中的感应电动势。（线圈平面直导线共面。 解：（1）导线通有交变电流，在周围空间 产生交变磁场，在距导线为处磁感应强度为 取顺时针方向为回路绕向，在距导线为处 题10-9图的矩形线圈内取面积元，通过该面积元的磁通量为 在时刻通过线圈的磁通量为 （2）由i 得，线圈中的感应电动势 i 10-10 如图所示，边长为的正方形导体回路，置于虚线内的均匀磁场中为，且以的变化率减小，图中点为圆心，沿直径，求：（1）各点感应电场的方向；（2）和的电动势； 题10-10图 题10-10图 解：（1）参考P335例10-5知： 点的感应电场的方向都垂直于该点半径，沿顺时针方向。 （2）在段取线元与圆心距离为，管内磁场均匀分布，由于边界为圆，分布具有轴对称性，取半径为的同轴圆环作为积分回路，以顺时针方向作绕行方向。 线元处的电场为 由，得，即回路各点方向同绕行方向。 沿方向的分量为 ce = = 同理 eg 10-11 如图所示，有一圆筒，半径为，其中有方向与轴平行的磁场，以的速率减少着。三点 离轴线的距离均为。问电子在各点处可获得多大的加速度？其方向如何？ 题10-11图 如果电子处于轴线上其加速度的大小又如何？ 题10-11图 解：圆筒中变化的磁场产生涡旋电场。在筒内距轴线cm处取一闭合圆形回路，沿回路电场强度的积分 由于对称性 各点的方向沿顺时针的切线方向、、处电子获加速度 点方向向左，点向右，点向上。 若电子处于轴线上，由于轴线处涡旋电场强度为零，则该点电子受电场力为零，加速度为零。 10-12 如图所示，设有一金属丝绕成螺绕环，没有铁芯。其匝数密度为，截面积。金属丝的两端和电源及可变电阻器联成闭合回路。若在环上再绕一线圈，匝数为，电阻，两端与检流计G接成一闭合回路。当调节可变电阻使通过螺绕环的电流强度I每秒降低20A。求：（1）A线圈中产生的感应电动势和感应电流； （2）两秒内通过线圈的感应电量。 解：（1）通过线圈的磁通量与大螺绕环内的磁通量相同。大螺绕环内磁感应强度 线圈的磁通链数 题10-12图 线圈中的感应电动势 i 感应电流 （2）经过两秒。线圈的感应电量 = 10-13 如图所示，一内外半径分别为、的带电平面圆环，电荷面密度为，其中心有一半径为的导体小环(、＞＞)，二者同心共面，设带电圆环以变角速度 绕垂直于环面的中心轴旋转，导体小环中的感应 电流等于多少？方向如何（已知小环的电阻 为）？ 题10-13图 解：在大圆环上距圆心为处取一环形面积元 面积元带电量为 当圆环以旋转时，面积元相当一圆电流 在圆心处的磁感应强度 大圆环在圆心的磁感应强度 取逆时针方向为小环绕行正向，导体小环中的感应电动势 i 当＞0时，方向为顺时针。当＜0时，为逆时针。 10-14 如图所示，一电荷线密度为的长 直带电线，以变速率沿着其长度 方向运动，正方形线圈中总电阻为，求 时刻线圈中感应电流大小（不计线圈 题10-14 自感）。 解：变速率运动的直带电线相当于变化电流，在空间距直线为 处的磁场 在线圈中取面积元与直线相距为，取顺时针方向为回路绕行正向。通过面积元的磁通量 整个线圈通过的磁通量 题10-14 线圈回路产生的感生电动势 i 感应电流 10-15 如图所示，均匀磁场与导体回路法线n的夹角为，磁感应强随时间线性增加，(＞0),以线速度向右滑动，求任意时刻感应电动势的大小和方向。 解：由。在任一时刻 由法拉第电磁感应定律 i 题10-15图 = i的方向由指向。 10-16 如图所示，真空中一长直导线通以电流，有一带滑动边的矩形导线框与长直导线平行共面，二者相距，矩形线框的滑动边与长直导线垂直，其长度为b，以匀速滑动。忽略线框中的自感电动势，并设开始时滑动边与对边重合，试求任意时刻t在矩形线框内的感应电动势i并讨论i的方向。 解：设任意时刻t，滑动边运动到如图所示位置且与对边的距离为x，仍选顺时针方向为回路绕行方向，仿照题10-2中的处理，可得回路中的磁通量为 由题中所给初始条件，可得，代入上式后 回路中的感应电动势 i 可见，回路中感应电动势的方向由的符号来决定，开始时，t很小，回路中感应电动势为逆时针方向。而当时，回路中感应电动势为零。t再增大时，回路中感应电动势为顺时针方向。 题10-16图 10-17 一长直螺线管的导线中通有10.0A的电流，通过每匝线圈的磁通量是20µWB，当电流以4.0的速率变化时，产生的自感电动势为3.2mV。求此螺线管的自感系数与总匝数。 解：由题意，螺线管内 则通过每匝线圈的磁通量 代入 可得 再由 得 但对长直螺线管，有 所以 故总匝数 10-18 有一个长，截面直径为，并绕有匝线圈的圆纸筒螺旋管导线线圈。（1）求该线圈的自感；（2）如果在这线圈纸筒内充满的铁芯，这时线圈的的自感有何变化。 解：（1）螺线管，由自感定义得 = 对于纸筒内的介质为空气，（2）纸筒内充满铁芯 10-19 一个圆形线圈由匝绝缘漆包导线绕成，其面积，将其放在另一个半径为的同样导线绕成的大线圈的中心，并让两者同轴，大线圈为匝。求：（1）两线圈的互感系数；（2）当大线圈中有的电流变化率减小着，求小线圈中的感应电动势？提示：，在的中心范围内可视为恒量处理。 解：（1）由于，大线圈中的小线圈范围内近似为常量 通过小线圈的磁通匝链数，由互感的定义 （2）大线圈的电流变化率 小线圈中的感应电动势 i 互感电动势的方向与线圈中电流方向相同 10-20 如图所示，已知两线圈的自感分别为和，它们之间的互感为。 （1）将导线顺着串联，如图中所示，求1和4之间的自感。 （2）将两导线圈反串联，如图中所示，求1和3之间的自感。 题10-20图（a） （b） 解：（1）将导线顺着串联，设通有电流，线圈内的磁通量为，总磁通链数为，其中由两线圈自感产生的磁通链数为 由两线圈之间互感产生的磁通链数为 故 由，则 （2）将两导线圈反串联，设通有电流，线圈总的磁通链数为。其中由两线圈自感和它们之间互感产生的磁通链数分别为，，由，则 10-21 如图所示，截面为矩形的环形螺线管内外半径为和，高为，绕有匝线圈，电流为，在其轴上放置一长直导线，求此长直导线上感应电动势的大小？（提示：先求二者互感系数） 解：设长直导线通有电流，距直导线为处的磁场 题10-21（a） 在螺线管截面内取一面积元，通过该面积元的磁通量 通过整个螺线管截面的磁通量 由，直导线与螺线管的互感系数 当螺线管通有电流时，直导线中的感应 电动势 i 题10-21（b）图 10-22有一平绕于圆筒上的螺旋线圈，用号漆包线平绕，圆筒长为，直径为，共匝，漆包线的电阻是，求该线圈的自感系数和电阻。若将此线圈接于电动势的蓄电池上，问： （1）线圈在通电的暂态过程中的电流与时间的函数关系式是怎样的？开始时的电流增长率是多少？ （2）线圈中电流达到稳定后的电流是多少？这时线圈中所储存的磁能是多少？磁能密度是多少？ （3）这个回路的时间常数是多少？即：电流方程：中，的系数。在什么时刻电流正好为稳定时的一半？ 解：由 自感 电阻 （1） 通电的暂态过程 分离变量 题10-22（a）图 由，两边积分 电流增长率 题10-22（b）图 开始时 （2）电流稳定时 线圈储存的磁能 磁能密度 （3）电流达到所需的时间为时间常数 电流为稳定值的一半时 则 10-23 两根足够长的平行导线间的距离，在导线中保持而反向的恒定电流。 （1）若导线半径为，求两导线间每单位长度的自感系数； （2）若将导线分开到距离，磁场对导线单位长度所作的功； （3）若将导线分开到距离时，单位长度的磁能改变了多少？是增加还是减少？说明能量的来源。 解：（1）在两导线间距其中一导线 为处取一长为的面积元，面 积元处的磁感应强度 题10-23图 通过面积元的磁通量 由两导线间单位长度的自感 （2）两载流长直导线单位长度上所受的磁场力 为两导线间距离，其中。 当两导线距离由分开到，磁场对导线单位长度所做的功 （3）单位长度磁场能量 位移时，单位长度磁能改变量 距离增加，自感增加，磁能增加，能量来源于维持电流不变的电源。 10-24 一个电感为，电阻为的线圈，将其与内阻可忽略的电动势的电源相连。求： （1）电流达到最大值时，电感中所储存的能量； （2）从接通时起算，经多少时间线圈中所储存的能量为前问的一半？ 解：（1）电流达到最大时，电感储存的能量 （2）存储能量为最大值一半时，设电流为 由闭合电路欧姆定律 分离变量 初始条件 积分 10-25 实验室中一般可获得的强磁场为2.0T，强电场约为1×106。相应的磁场能量密度和电场能量密度是多大？ 解：在真空中计算能量密度 可见，相应的磁能密度远大于电场能量密度，磁场更有利于储存能量。 10-26 一个半径为的两金属圆片做成的电容器，在充电时某个时刻的电场的时变率，若不计边缘效应。 （1）求两极板间的位移电流； （2）求磁感应强度的极大值，和极大值的的位置。 解：（1）因是空气电容器，忽略边缘效应，两极板间为均匀电场。圆板面积为，穿过该面积的通量为 两极板间位移电流大小为 充电时＞0，方向与的方向相同。 题10-26图 （2）忽略边缘效应，极板间位移电流轴对称分布。它所产生的磁场，对于两极板中心连线也具有轴对称性。磁力线在垂直于中心连线的平面上，是一些同心圆。取半径为的一条磁力线作为积分回路，两极间传导电流为零，根据安培环路定律 当时 由,① 当时 由 ② 由①②两式可知，当时，磁感应强度有极大值 当时，取 得时磁感应强度为最大值的一半 当时，取 = 得时，磁感应强度为最大值的一半 10-27 有一平行板电容器，两极均为半径等于的圆板，将它连接到一个交变电源上，使每极板上的电荷按规律随时间变化，在略去边缘效应的条件下，试求两极板间任一点的磁场强度。 解：忽略边缘效应，两极板间电场为均匀电场，又 两极板间位移电流轴对称分布，产生磁场的磁力线是垂直于两极板中心连线的同心圆，取以轴线为圆心，半径为的圆作为安培环路 10-28 一点电荷作半径为的匀速圆周运动，设角速度为，求圆心处位移电流密度的大小？ 解：设某时刻，点电荷在圆心的电位移矢量为 在时刻，电荷移动了一个微小 角位移。此时点的电位移矢量为。其中 题10-28图 位移电流密度的方向与相同，与点电荷运动速度的方向相反。
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