高三数学查漏补缺试题

高三数学查漏补缺试题一、三角

1．已知函数f

(x)=sinxcosx－2cos2x

+1.(Ⅰ)

求f

()；

(Ⅱ)

求函数f

(x)图象的对称轴方程.解：

(Ⅰ)因为f

(x)

＝sin2x－cos2x

＝

2sin(2x－),所以f

()

＝

2sin＝.……………………(7分)

(Ⅱ)

令2x－=

k＋(k∈Z),得

x=,所以函数f

(x)图象的对称轴方程是x=(k∈Z).……………(14分)

2．已知函数

(Ⅰ)求的值;

(Ⅱ)求使

成立的x的取值集合解:

(1)

.(2)由(1)知,3．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.设，.（Ⅰ）若，求的值；

（Ⅱ）求的值.（Ⅰ）解：因为，由正弦定理，得

.………………3分

由余弦定理

及，………………5分

得，所以，解得

.………………7分

（Ⅱ）解：由，得.所以

.………………8分

即，………………11分

所以，所以.………………13分

4．已知函数.(1)求的定义域；

(2)设是第二象限的角，且tan=，求的值.二、数列

1.在等比数列中，已知，.（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设是等差数列，且，求数列的公差，并计算的值.解：（Ⅰ）设等比数列的公比为，由已知，…………………2分

两式相除，得.…………………4分

所以，…………………6分

所以数列的通项公式.…………………7分

（Ⅱ）设等差数列的公差为，则，…………………9分

解得，…………………11分

………………12分

.…………………13分

2．数列对任意，满足，.（Ⅰ）求数列通项公式；

（Ⅱ）若，求的通项公式及前项和．

解：（Ⅰ）由已知得　　数列是等差数列，且公差

又，得，所以---------------------------6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，所以

--------------------14分

三、概率统计

1．育新中学的高二、一班男同学有名，女同学有名，老师按照分层抽样的方法组建了一个人的课外兴趣小组．

（Ⅰ）求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数；

（Ⅱ）经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出名同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；

（Ⅲ）试验结束后，第一次做试验的同学得到的试验数据为，第二次做试验的同学得到的试验数据为，请问哪位同学的实验更稳定？并说明理由.解：（Ⅰ）某同学被抽到的概率为………………2分

设有名男同学，则，男、女同学的人数分别为…………4分

（Ⅱ）把名男同学和名女同学记为，则选取两名同学的基本事件有共种，其中有一名女同学的有种

选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为………………………8分

（Ⅲ），第二同学的实验更稳定………………………12分

2．一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．

(1)设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列．

(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？

(3)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．

解：(1)X可能的取值为10，20，100，－200.根据题意，有

P(X＝10)＝C××＝，P(X＝20)＝C××＝，P(X＝100)＝C××＝，P(X＝－200)＝C××＝.所以X的分布列为：

X

－200

P

(2)设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai(i＝1，2，3)，则

P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(X＝－200)＝.所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为1－P(A1A2A3)＝1－＝1－＝.因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是.(3)由(1)知，X的数学期望为EX＝10×＋20×＋100×－200×＝－.这表明，获得分数X的均值为负．

因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大．

四、立体几何

1．如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，点是对角线与的交点，，是的中点．

(Ⅰ)求证：

∥平面；

(Ⅱ)平面平面；

(Ⅲ)当三棱锥的体积等于时，求的长．

证明：（Ⅰ）因为在△中，分别是，的中点，所以∥．

又平面，平面，所以∥平面．

……………………5分

(Ⅱ)因为底面是菱形，所以．

因为平面，平面，所以．又，所以平面．

又平面，所以平面平面．

……………………10分

（Ⅲ）因为底面是菱形，且，所以．

又，三棱锥的高为，所以，解得．

……………………14分

2.已知在△ABC中，∠B=90o，D，E分别为边BC，AC的中点，将△CDE沿DE翻折后，使之成为四棱锥（如图）.（Ⅰ）求证：DE⊥平面；

（Ⅱ）设平面平面，求证：AB∥l；[来源:学科网ZXXK]

（Ⅲ）若，，F为棱上一点，设，当为何值时，三棱锥的体积是1？

证明：（Ⅰ）∵∠B=90o，D，E分别为BC，AC的中点

∴DE∥AB

……………1分

∴，……………3分

又∵

……………4分

∴DE⊥平面

……………5分

（Ⅱ）∵DE∥AB，面，面，∴AB∥面，……………7分

又∵AB面，面面

……………9分

∴

AB∥

……………10分

（Ⅲ）∵，，∴⊥平面BDE．

∵∴

……………11分

又因为BD=3，AB=2，[来源:学科网]

∴

……………13分

解得．

……………14分

3．如图，三角形和梯形所在的平面互相垂直，，是线段上一点，.（Ⅰ）当时，求证：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）是否存在点满足平面？并说明理由.解：（Ⅰ）取中点，连接，又，所以.因为，所以,四边形是平行四边形，所以

因为平面，平面

所以平面.（Ⅱ）因为平面平面，平面平面=，且，所以平面，所以，因为，所以平面.如图，以为原点，建立空间直角坐标系.则，是平面的一个法向量.设平面的法向量，则，即

令，则，所以,所以，由题知二面角为钝角，所以二面角的余弦值为.（Ⅲ）因为，所以与不垂直,所以不存在点满足平面.4．正△ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A—DC—B（如图（2））

在图形（2）中：

（Ⅰ）试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；

（Ⅱ）求二面角E—DF—C的余弦值；

（Ⅲ）在线段BC上是否存在一点P，使AP⊥DE？证明你的结论.解：

法一：（I）如图：在△ABC中，由E、F分别是AC、BC中点，得EF//AB，又AB平面DEF，EF平面DEF.∴AB∥平面DEF.……………………………………………………………………3分

（II）

∵AD⊥CD，BD⊥CD

∴∠ADB是二面角A—CD—B的平面角……………………4分

∴AD⊥BD

∴AD⊥平面BCD

取CD的中点M，这时EM∥AD

∴EM⊥平面BCD

过M作MN⊥DF于点N，连结EN，则EN⊥DF

∴∠MNE是二面角E—DF—C的平面角……………………6分

在Rt△EMN中，EM=1，MN=

∴tan∠MNE=，cos∠MNE=………………………………8分

（Ⅲ）在线段BC上存在点P，使AP⊥DE……………………………………9分

证明如下：

在线段BC上取点P。使，过P作PQ⊥CD与点Q，∴PQ⊥平面ACD………………………………………………………………10分

∵在等边△ADE中，∠DAQ=30°

∴AQ⊥DE∴AP⊥DE…………………………………………………………12分

法二：（Ⅱ）以点D为坐标原点，直线DB、DC为x轴、y轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，2）B（2，0，0）C（0，…………………………4分

平面CDF的法向量为

设平面EDF的法向量为

则

即……………………6分

所以二面角E—DF—C的余弦值为………………………………8分

（Ⅲ）在平面坐标系xDy中，直线BC的方程为

设

………………10分[来源:Zxxk.Com]

所以在线段BC上存在点P，使AP⊥DE…………………………………12分

另解：设

又

把

所以在线段BC上存在点P使AP⊥DE…………………………12分

五、导数

1.已知曲线.（Ⅰ）求函数在处的切线；

（Ⅱ）当时，求曲线与直线的交点个数；

（Ⅲ）若，求证：函数在上单调递增.解：（Ⅰ），因为，所以，所以函数在处的切线为.（Ⅱ）当时，曲线与直线的交点个数与方程的解的个数相同，显然是该方程的一个解.令，则

由得

因为时，时

所以在上单调递减，在上单调递增

所以最小值为，因为，所以，因为，所以的零点一个是0，一个大于，所以两曲线有两个交点.（Ⅲ）

因为，所以当时，所以

所以

所以函数在上单调递增.2．设函数，.（Ⅰ）当(为自然对数的底数)时，求的极小值；

（Ⅱ）讨论函数零点的个数；

（Ⅲ）若对任意，恒成立，求的取值范围．

解：（Ⅰ）的定义域为，当a＝e时，f(x)＝ln

x＋，则f′(x)＝，∴当x∈(0，e)时，f′(x)<0，f(x)在(0，e)上单调递减；

当x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(e，＋∞)上单调递增．

∴x＝e时，f(x)取得极小值f(e)＝ln

e＋＝2，∴f(x)的极小值为2.----------------------------------------5分

（Ⅱ）由题设g(x)＝f′(x)－＝－－(x>0)，令g(x)＝0，得a＝－x3＋x(x>0)，设φ(x)＝－x3＋x(x≥0)，则φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)，当x∈(0，1)时，φ′(x)>0，φ(x)在(0，1)上单调递增；

当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)<0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减．

∴x＝1是φ(x)的唯一极值点，且是极大值点，因此x＝1也是φ(x)的最大值点，∴φ(x)的最大值为φ(1)＝.又φ(0)＝0，结合y＝φ(x)的图像(如图所示)，可知

①当a

>时，函数g(x)无零点；

②当a＝时，函数g(x)有且只有一个零点；

③当0

④当a≤0时，函数g(x)有且只有一个零点（x>0）．

综上所述，当a>时，函数g(x)无零点；

当a＝或a≤0时，函数g(x)有且只有一个零点；

当0

（Ⅲ）对任意的，恒成立，等价于恒成立．(*)

设h(x)＝f(x)－x＝ln

x＋－x(x>0)，∴(*)等价于h(x)在(0，＋∞)上单调递减．

由h′(x)＝－－1≤0在(0，＋∞)上恒成立，得a≥－x2＋x＝－＋(x>0)恒成立，∴a≥

（对，h′(x)=0仅在时成立），-------------------------14分

∴a的取值范围是.3．已知函数。直线经过点且与曲线相切。

（1）求切线的方程。

（2）若关于的不等式恒成立，求实数的最大值。

（3）设，若函数有唯一的零点，求证。

4．知函数,其中是实数.设,为该函数

图象上的两点,且.(Ⅰ)指出函数的单调区间;

(Ⅱ)若函数的图象在点处的切线互相垂直,且,证明:;

(Ⅲ)若函数的图象在点处的切线重合,求的取值范围.解:(Ⅰ)函数的单调减区间为,单调增区间为,(Ⅱ)由导数的几何意义知,点A处的切线斜率为,点B处的切线斜率为,故当点处的切线互相垂直时,有,当x<0时,因为,所以,所以，因此,(当且仅当,即且时等号成立)

所以函数的图象在点处的切线互相垂直时有.(Ⅲ)当或时，故.当时,的图象在点处的切线方程为

即

.当时,的图象在点处的切线方程为

即

.两切线重合的充要条件是,由①及知，由①、②得,令,则,且

设,则

所以为减函数,则,所以,而当且t趋向于0时,无限增大,所以的取值范围是.故当函数的图象在点处的切线重合时,的取值范围是.六、解析几何

1．已知椭圆的焦距为4,且过点.(Ⅰ)求椭圆C的方程;

(Ⅱ)设为椭圆上一点,过点作轴的垂线,垂足为.取点,连接,过点作的垂线交轴于点.点是点关于轴的对称点,作直线,问这样作出的直线是否与椭圆C一定有唯一的公共点?并说明理由

解:

(1)因为椭圆过点

且

椭圆C的方程是

(2)

由题意,各点的坐标如上图所示,则的直线方程:

化简得

又,所以带入

求得最后

所以直线与椭圆只有一个公共点.2．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好在抛物线x2=8y的准线上．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）点P（2，），Q（2，﹣）在椭圆上，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点．当A，B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．

解：（1）设椭圆C的标准方程为（a＞b＞0），∵椭圆的一个顶点恰好在抛物线x2=8y的准线y=﹣2上，∴﹣b=﹣2，解得b=2．

又，a2=b2+c2，∴a=4，可得椭圆C的标准方程为．

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），∵∠APQ=∠BPQ，则PA，PB的斜率互为相互数，可设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为﹣k，直线PA的方程为：

=k（x﹣2），联立，化为+4﹣16=0，∴x1+2=，同理可得：x2+2==，∴x1+x2=，x1﹣x2=，kAB===．

∴直线AB的斜率为定值．

3.已知椭圆，直线不过原点O且不平行于坐标轴，与C有两个交点、，线段的中点为．

(Ⅰ)证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；

(Ⅱ)若过点，延长线段与椭圆交于点，四边形能否为平行四边形?

若能，求此时的斜率；若不能，说明理由．

解：(Ⅰ)设直线

将

于是直线OM的斜率-9

所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值.(Ⅱ)四边形OAPB能为平行四边形.因为直线过点,所以不过原点且与C有两个交点的充要条件是.由(Ⅰ)得OM的方程为.设点P的横坐标为,与联立解得

即

将点的坐标代入的方程得,因此………8分

四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分,即xP=2xM.于是

解得因为,所以当的斜率为或时,四边形OAPB为平行四边形.4．已知椭圆C：+（a＞b＞0）的离心率为，以坐标原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x﹣y+=0相切．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过椭圆C的右顶点B作两条互相垂直的直线l1，l2，且分别交椭圆C于M，N两点，探究直线MN是否过定点？若过定点求出定点坐标，否则说明理由．

解：（I）∵，∴a2=2c2=b2+c2，∴a2=2b2，∵以坐标原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x﹣y+=0相切，∴=b，∴b=1．∴a2=2．

∴椭圆C的方程为：．

（II）由题意可知：直线l1，l2的斜率都存在，设直线l1：y=k（x﹣1），直线l2：，设M（x1，y1），N（x2，y2），联立，化为（x﹣1）[（2+k2）x﹣（k2﹣2）]=0，解得x1=，y1=，把k换成﹣，可得x2=，∴kMN==，直线MN的方程为：，化为，∴直线MN过定点．

当k=±1时，M，N，此时直线MN也过定点．

综上可得：直线MN必过定点．

5．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．

(1)求椭圆C的标准方程．

(2)设F为椭圆C的左焦点，T为直线x＝－3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.①证明：OT平分线段PQ(其中O为坐标原点)；

②当最小时，求点T的坐标．

解：(1)由已知可得

解得a2＝6，b2＝2，所以椭圆C的标准方程是＋＝1.(2)①证明：由(1)可得，F的坐标是(－2，0)，设T点的坐标为(－3，m)，则直线TF的斜率kTF＝＝－m.当m≠0时，直线PQ的斜率kPQ＝.直线PQ的方程是x＝my－2.当m＝0时，直线PQ的方程是x＝－2，也符合x＝my－2的形式．

设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得

消去x，得(m2＋3)y2－4my－2＝0，其判别式Δ＝16m2＋8(m2＋3)>0.所以y1＋y2＝，y1y2＝，x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝.设M为PQ的中点，则M点的坐标为.所以直线OM的斜率kOM＝－，又直线OT的斜率kOT＝－，所以点M在直线OT上，因此OT平分线段PQ.②由①可得，|TF|＝，|PQ|＝

＝

＝[来源:Zxxk.Com]

＝.[来源:Z|xx|k.Com]

所以＝＝

≥＝.当且仅当m2＋1＝，即m＝±1时，等号成立，此时取得最小值．

故当最小时，T点的坐标是(－3，1)或(－3，－1)．