七上数学绝对值常考4类专项练习题型

七上数学绝对值常考4类专项练习题型

第一类：考察对绝对值代数意义的理解和分类讨论思想的运用

1、在数轴上表示a、b两个数的点如图所示，并且已知表示c的点在原点左侧，请化简下列式子：

（1）|a－b|－|c－b|

解：∵a＜0，b＞0 ∴a－b＜0

c＜0，b＞0 ∴c－b＜0

故，原式＝（b－a）－(b－c)＝c－a

（2）|a－c|－|a＋c|

解：∵a＜0，c＜0 ∴a－c要分类讨论，a＋c＜0

当a－c≥0时，a≥c，原式＝（a－c）＋(a＋c)＝2a

当a－c＜0时，a＜c，原式＝（c－a）＋(a＋c)＝2c2、设x＜－1，化简2－|2－|x－2||

解：∵x＜－1 ∴x－2＜0

原式＝2－|2－（2－x）|＝2－|x|＝2＋x3、设3＜a＜4，化简|a－3|＋|a－6|。

解：∵3＜a＜4 ∴a－3＞0，a－6＜0

原式＝（a－3）－(a－6)＝34、已知|a－b|＝a＋b，则以下说法：（1）a一定不是负数；（2）b可能是负数；哪个是正确的？

答：当a－b≥0时，a≥b，|a－b|＝a－b，由已知|a－b|＝a＋b，得a－b＝a＋b，解得b＝0，这时a≥0；

当a－b＜0时，a＜b，|a－b|＝b－a，由已知|a－b|＝a＋b，得b－a＝a＋b，解得a＝0，这时b＞0；

综上所述，（1）是正确的。

第二类：考察对绝对值基本性质的运用

5、已知2011|x－1|＋2012|y＋1|＝0，求x＋y＋2012的值？

解：∵|x－1|≥0，|y＋1|≥0 ∴2011|x－1|＋2012|y＋1|≥0

又∵已知2011|x－1|＋2012|y＋1|＝0，∴|x－1|＝0, |y＋1|＝0

∴x＝1，y＝－1，原式＝1－1＋2012＝20126、设a、b同时满足：

(1)|a－2b|＋|b－1|＝b－1

(2)|a－4|＝0

那么ab等于多少？

解：∵|a－2b|≥0，|b－1|≥0 ∴|a－2b|＋|b－1|＝b－1≥0

∴（1）式＝|a－2b|＋b－1＝b－1，得|a－2b|＝0，即a＝2b

∵ |a－4|＝0 ∴a－4＝0，a＝4

∵ a＝2b ∴ b＝2，ab＝4×2＝87、设a、b、c为非零有理数，且|a|＋a＝0，|ab|＝ab，|c|－c＝0,请化简：|b|－|a＋b|－|c－b|＋|a－c|。

解：∵|a|＋a＝0，a≠0 ∴a＜0

∵|ab|＝ab≥0，b≠0，a＜0 ∴b＜0，a＋b＜0

∵|c|－c＝0，c≠0 ∴c＞0，c－b＞0，a－c＜0

∴原式＝b＋（a＋b）－（c－b）＋c－a＝b8、满足|a－b|＋ab＝1的非负整数（a，b）共有几对？

解：∵a，b都是非负整数 ∴|a－b|也是非负整数，ab也是非负整数

∴要满足|a－b|＋ab＝1，必须|a－b|＝1，ab＝0 或者|a－b|＝0，ab＝1

分类讨论：

当|a－b|＝1，ab＝0时，a＝0，b＝1 或者 a＝1，b＝0 有两对（a，b）的取值；

当|a－b|＝0，ab＝1时，a＝1，b＝1有一对（a，b）的取值；

综上所述，（a，b）共有3对取值满足题意。

9、已知a、b、c、d是有理数，|a－b|≤9，|c－d|≤16，且|a－b－c＋d|＝25，求|b－a|－|d－c|的值？

分析：此题咋一看无从下手，但是如果把a－b和c－d分别看作一个整体，并且运用绝对值基本性质：|x－y|≤|x|＋|y|即可快速解出。

解：设x＝a－b，y＝c－d，则|a－b－c＋d|＝|x-y|≤|x|＋|y|

∵|x|≤9，|y|≤16 ∴|x|＋|y|≤25 ,|x-y|≤|x|＋|y|≤25

∵已知|x-y|＝25 ∴|x|＝9，|y|＝16

∴|b－a|－|d－c|＝|－x|－|－y|＝|x|－|y|＝9－16＝－7

第三类：多个绝对值化简，运用零点分段法，分类讨论

10、若2x＋|4－5x|＋|1－3x|＋4的值恒为常数，则此常数的值为多少？

解：我们知道，互为相反数的两个数，它们的绝对值相等，利用这条性质，可以把绝对值内带x的项的符号由负号都变成正号，以便于区段内判断正负关系。

即原式＝2x＋|5x－4|＋|3x－1|＋4

令5x－4＝0，3x－1＝0，分别求得零点值：x＝4/5 , x＝1/3，分区段讨论：

当x≤1/3时，原式＝2x－（5x－4）－（3x－1）＋4＝－6x＋9，此时不是恒值；

当1/3＜x≤4/5时，原式＝2x－（5x－4）＋（3x－1）＋4＝7，此时恒为常数7；

当x＞4/5时，原式＝2x＋（5x－4）＋（3x－1）＋4＝10x－1，此时也不是恒值。

综上所述，若原式恒为常数，则此常数等于7。

11、若|a|＝a＋1，|x|＝2ax，且|x＋1|＋|x－5|＋2|x－m|的最小值是7，则m等于多少？

解：∵当a≥0时，|a|＝a＝a＋1,得到0＝1矛盾

∴a＜0，|a|＝－a＝a＋1，解得a＝－1/2。

∵|x|＝2ax＝－x，即x的绝对值等于它的相反数 ∴x≤0

令x＋1＝0，x－5＝0，x－m＝0，分别求得零点值：x＝－1，x＝5，x＝m

∵x≤0

∴要对m进行分类讨论，以确定分段区间：

（1）若m≥0，则x取值范围分成x≤－1和－1＜x≤0

当x≤－1，原式＝－（x＋1）－（x－5）－2（x－m）＝－4x＋4＋2m，x＝－1时取到最小值8＋2m

当－1＜x≤0，原式＝（x＋1）－（x－5）－ 2（x－m）＝－2x＋6＋2m，x＝0时取到最小值6＋2m

所以当m≥0时，最小值是6＋2m，令6＋2m＝7，得m＝0.5，符合题意

（2）若－1≤m＜0，则x取值范围分成x≤－1和－1＜x≤m和m＜x≤0

当x≤－1，原式＝－（x＋1）－（x－5）－2（x－m）＝－4x＋4＋2m，x＝－1时取到最小值8＋2m, 因为－1≤m＜0，所以最小值≥6

当－1＜x≤m，原式＝（x＋1）－（x－5）－2（x－m）＝－2x＋6＋2m，x＝m时取到最小值6

所以当－1≤m＜0时，最小值是6，和题意不符。

（3）若m＜－1，则x取值范围分成x≤m和m＜x≤－1和－1＜x≤0

当x≤m，原式＝－（x＋1）－（x－5）－2（x－m）＝－4x＋4＋2m，x＝m时取到最小值4－2m

当m＜x≤－1，原式＝－（x＋1）－（x－5）＋2（x－m）＝4－2m，这时为恒值4－2m

当－1＜x≤0，原式＝（x＋1）－（x－5）＋2（x－m）＝2x－2m＋6，无最小值

所以当m＜－1时，最小值是4－2m，令4－2m ＝7，得m＝－1.5，符合题意

综上所述，m＝0.5或－1.5。

第四类：运用绝对值的几何意义解题

12、x的绝对值的几何意义是在数轴上表示 x的点到原点的距离，即|x|=|x－0|

|x－1|的几何意义是在数轴上表示 x的点到表示1的点的距离，|x＋2|的几何意义是在数轴上表示 x的点到表示－2的点的距离，|a－b|的几何意义是在数轴上表示 a的点到表示b的点的距离。

13、设A和B是数轴上的两个点，X是数轴上一个动点，我们研究下，当X在什么位置时，X到A点和B点的距离之和最小？

很显然，当X点在A点和B点之间时，X点到两个点的距离之和最小，最小值即为A点到B点的距离。当再增加一个C点时，如何求动点X到三个点的距离之和的最小值呢。

经过研究发现，当X点在中间的点即C点时，它到三个点的距离之和最小，最小值也是A点到B点的距离。

继续研究下去，我们可以得到结论：如果有奇数个点，当动点处在最中间那个点的位置时，它到所有点的距离之和最小；如果有偶数个点，当动点处在最中间的两个点之间时，它到所有点的距离之和最小。

用一句话来记忆，就是奇中偶范。即奇数个点时，取最小值是在最中间的点。偶数个点时，取最小值是在最中间的两个点之间的范围内都可以。