2020年高三年级第一次诊断性测试
文科数学
（卷面分值：150分
考试时间：120分钟）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的第Ⅰ卷（选择题
共60分）
1.设集合，则
2.若复数满足（其中为虚数单位），则
3.已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是
若，则
若，则
若，且，则
若，且，则
4.设，，则有
5.已知向量，且，则
6.已知双曲线（）的左、右焦点分别为，为虚轴的一个端点，且，则双曲线的离心率为
7.执行如右图所示的程序框图，则输出的8.从1，2，3，4，5这五个数字中随机选择两个不同的数字，则它们之和为偶数的概率为
9.等比数列的前n项和为，且成等差数列，若，则
10.将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则下列关于说法正确的是
最大值为1，图象关于直线对称
在上单调递减，为奇函数
在上单调递增，为偶函数
周期是，图象关于点对称
11.已知抛物线C：的焦点F到准线的距离为2，点P在抛物线上，且，延长PF交C于点Q，则△OPQ的面积为
12.已知函数，若对任意，都有，则实数的取值范围是
第Ⅱ卷（非选择题
共90分）
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分
13.若实数满足约束条件，则的最大值为_______
14.已知，为锐角，则_______
15.已知数列满足：（），若，则____
16.如图，已知正方体的棱长为2，E、F、G分别为AB、AD、的中点，给出下列命题：
①异面直线EF与AG所成的角的余弦值为；
②过点E、F、G作正方体的截面，所得的截面的面积是；
③平面
④三棱锥的体积为1
其中正确的命题是_____________（填写所有正确的序号）
三、解答题：第17~21题每题12分，解答应写出文字说明、证明过计算步骤
17.△ABC的内角的对边分别是，且
（Ⅰ）求∠C的值
（Ⅱ）若，求△ABC面积的最大值；
18.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD//BC，∠BAD=90°，AD=2BC，M为PD的中点
（Ⅰ）证明：CM//平面PAB
（Ⅱ）若△PBD是边长为2的等边三角形，求点C到平面PBD的距离
19.“团购”已经渗透到我们每个人的生活，这离不开快递行业的发展，下表是2013-2017年全国快递业务量（亿件：精确到0.1）及其增长速度（%）的数据
（Ⅰ）试计算2012年的快递业务量；
（Ⅱ）分别将2013年，2014年，…，2017年记成年的序号t：1，2，3，4，5；现已知与t具有线性相关关系，试建立关于t的回归直线方程；
（Ⅲ）根据（Ⅱ）问中所建立的回归直线方程，估算2019年的快递业务量
附：回归直线的斜率和截距地最小二乘法估计公式分别为：，20.已知椭圆C：过点，左焦点F
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）分别为椭圆C的左、右顶点，过点F作直线与椭圆C交于PQ两点（P点在轴上方），若△的面积与△的面积之比为2：3，求直线的方程
21.已知函数
（Ⅰ）若时，讨论的单调性；
（Ⅱ）设，若有两个零点，求的取值范围
选考题：共10分，二选一
22.在平面直角坐标系中，曲线C：，直线的参数方程为（t为参数），其中，以坐标原点O为极点，轴非负半轴为极轴，建立极坐标系。
（Ⅰ）求曲线的极坐标方程和直线的普通方程；
（Ⅱ）设，的极坐标方程，A，B分别为直线与曲线异于原点的公共点，当时，求直线的斜率；
23.函数
（Ⅰ）求不等式的解集；
（Ⅱ）若的最小值为，且实数满足，求证：
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