2020届市高三第一次诊断性检测数学（文）试题
一、单选题
1．若复数与（为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，则（）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】直接利用复平面的对称得到答案.【详解】
数与（为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，则
故选：
【点睛】
本题考查了复平面的对称问题，属于简单题.2．已知集合，若，则实数的值为（）
A．或
B．或
C．或
D．或
【答案】D
【解析】根据集合并集的定义即可得到答案.【详解】
集合，且，所以或.故选：D
【点睛】
本题主要考查集合并集的基本运算，属于基础题．
3．若，则（）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据得到，再利用二倍角公式得到答案.【详解】，故选：
【点睛】
本题考查了二倍角公式，意在考查学生的计算能力.4．已知命题：，则为（）
A．，B．，C．，D．，【答案】D
【解析】直接利用全称命题的否定定义得到答案.【详解】
命题：，则为：，故选：
【点睛】
本题考查了全称命题的否定，意在考查学生的推断能力.5．某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类“的问卷测试，测试结果发现这100名同学的得分都在[50，100]内，按得分分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图，则这100名同学的得分的中位数为（）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据频率分布直方图求得中位数即可.【详解】
在频率分步直方图中，小正方形的面积表示这组数据的频率，中位数为：.故选：A
【点评】
本题考查频率分布直方图的相关知识，直方图中的各个矩形的面积代表了频率，所有各个矩形面积之和为1，也考查了中位数，属于基础题．
6．设等差数列的前项和为，且，则（）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】将S9，S5转化为用a5，a3表达的算式即可得到结论.【详解】
由等差数列的前项和为，＝＝，且，∴＝×3＝.故选：D．
【点睛】
本题考查了等差数列的前n项和，等差中项的性质，考查计算能力，属于基础题．
7．已知是空间中两个不同的平面，是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是（）
A．若，且，则
B．若，且，则
C．若，且，则
D．若，且，则
【答案】C
【解析】由空间中直线与直线、直线与平面及平面与平面位置关系逐一核对四个选项得答案．
【详解】
由m∥α，n∥β，且α∥β，得m∥n或m与n异面，故A错误；
由m∥α，n∥β，且α⊥β，得m∥n或m与n相交或m与n异面，故B错误；
由m⊥α，α∥β，得m⊥β，又n∥β，则m⊥n，故C正确；
由m⊥α，n∥β且α⊥β，得m∥n或m与n相交或m与n异面，故D错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查命题的真假判断与应用，考查空间中直线与直线、直线与平面及平面与平面位置关系的判定与应用，考查空间想象能力与思维能力，属于中档题．
8．将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再把所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的解析式为（）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】利用函数的图象平移变换和伸缩变换的应用求出结果即可.【详解】
函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，再把所得图象向左平移个单位长度，得到函数f（x）＝的图象.故选：A．
【点睛】
本题考查了函数图象的平移和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
9．已知抛物线的焦点为，是抛物线上两个不同的点若，则线段的中点到轴的距离为（）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】抛物线到焦点的距离转化为到准线的距离，可求出横坐标之和，进而求出中点的横坐标，求出结果即可.【详解】
由抛物线方程，得其准线方程为：，设，由抛物线的性质得，中点的横坐标为，线段的中点到轴的距离为：.故选：B．
【点睛】
本题考查了抛物线定义的应用，属于基础题．
10．已知，，则（）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】利用根式的运算性质、幂函数的单调性可得a，b的大小关系，利用对数函数的单调性即可得出c＜1．
【详解】
∵＝，且=＝，∴，．∴．
故选：C．
【点睛】
本题考查了根式的运算性质、幂函数的单调性、对数函数的单调性，属于基础题．
11．已知直线与双曲线：相交于不同的两点，为双曲线的左焦点，且满足，（为坐标原点），则双曲线的离心率为（）
A．
B．
C．2
D．
【答案】B
【解析】如图所示：为双曲线右焦点，连接，计算得到，再利用余弦定理得到，化简得到答案.【详解】
如图所示：为双曲线右焦点，连接，根据对称性知，在和中，分别利用余弦定理得到：，两式相加得到
故选：
【点睛】
本题考查了双曲线的离心率，根据条件计算出是解题的关键.12．已知定义在上的函数满足，当时，．若关于的方程有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据函数的单调性和对称性画出函数图像，过定点，计算直线和曲线相切的情况计算斜率得到答案.【详解】
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，且，函数关于对称，过定点
如图所示，画出函数图像：
当与相切时，设切点为
则
根据对称性考虑左边图像，根据图像验证知是方程唯一解，此时
故答案为
故选：
【点睛】
本题考查了零点问题，对称问题，函数的单调性，画出函数图像是解题的关键.二、填空题
13．已知实数满足约束条件，则的最大值为_______.【答案】6
【解析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．
【详解】
作出实数x，y满足约束条件对应的平面区域如图：（阴影部分）
由得y＝﹣x+z，平移直线y＝﹣x+z，由图象可知当直线y＝﹣x+z经过点A时，直线y＝﹣x+z的截距最大，此时z最大．
由，解得A（2，2），代入目标函数z＝x+2y得z＝2×2+2＝6.故答案为：6．
【点睛】
本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法，属于基础题．
14．设正项等比数列满足，则_______.【答案】
【解析】将已知条件转化为基本量a1，q的方程组，解方程组得到a1，q，进而可以得到an．
【详解】
在正项等比数列中，，得，解得，∴an＝＝3•3n﹣1＝3n.故答案为：3n
【点睛】
本题考查了等比数列的通项公式，主要考查计算能力，属于基础题．
15．已知平面向量，满足，且，则向量与的夹角的大小为______.【答案】
【解析】根据得到，计算得到答案.【详解】
设向量与的夹角为，故答案为：
【点睛】
本题考查了向量的夹角，意在考查学生的计算能力.16．如图，在边长为2的正方形中，边，的中点分别为，现将，分别沿，折起使点，重合，重合后记为点，得到三棱锥．则三棱锥的外接球体积为____________
【答案】
【解析】根据两两垂直得到，代入体积公式计算得到答案.【详解】
易知两两垂直，将三棱锥放入对应的长方体内得到
故答案为：
【点睛】
本题考查了三棱锥的外接球问题，将三棱锥放入对应的长方体是解题的关键.三、解答题
17．在中，角的对边分别为，且.（1）求的值；
（2）若的面积为，且，求的周长.【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由已知条件结合余弦定理可求cosA的值，进而根据同角三角函数基本关系式可求sinA的值．
（2）利用三角形的面积公式可求bc的值，由正弦定理化简已知等式可得b＝3c，解得b，c的值，根据余弦定理可求a的值，即可求解三角形的周长．
【详解】
（1）∵，∴由余弦定理可得2bccosA＝bc，∴cosA＝，∴在△ABC中，sinA＝＝．
（2）∵△ABC的面积为，即bcsinA＝bc＝，∴bc＝6，又∵sinB＝3sinC，由正弦定理可得b＝3c，∴b＝3，c＝2，则a2＝b2+c2﹣2bccosA＝6，所以周长为.【点睛】
本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
18．某公司有l000名员工，其中男性员工400名，采用分层抽样的方法随机抽取100名员工进行5G手机购买意向的调查，将计划在今年购买5G手机的员工称为“追光族”，计划在明年及明年以后才购买5G手机的员工称为“观望者”调查结果发现抽取的这100名员工中属于“追光族”的女性员工和男性员工各有20人.（Ⅰ）完成下列列联表，并判断是否有的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关；
属于“追光族”
属于“观望者”
合计
女性员工
男性员工
合计
（Ⅱ）已知被抽取的这l00名员工中有6名是人事部的员工，这6名中有3名属于“追光族”现从这6名中随机抽取3名，求抽取到的3名中恰有1名属于“追光族”的概率．
附：，其中.0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【答案】（Ⅰ）表见解析，没有的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性別”有关.（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）完善列联表，计算得到结论.（Ⅱ）设人事部的这6名中的3名“追光族”分别为“，”，3名“观望者”分别为“，，列出所有情况计算得到答案.【详解】
（Ⅰ）由题，列联表如下：
属于“追光族”
属于“观望者”
合计
女性员工
男性员工
合计
∵，∴没有的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性別”有关.（Ⅱ）设人事部的这6名中的3名“追光族”分别为“，”，3名“观望者”分别为“，”.则从人事部的这6名中随机抽取3名的所有可能情况有“；；；；；；；；；；；；；；；；；；；”共20种.其中，抽取到的3名中恰有1名属于“追光族”的所有可能情况有“；；；；；；；；”共9种.∴抽取到的3名中恰有1名属于“追光族”的概率.【点睛】
本题考查了列联表，概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.19．如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，且，分别为，的中点．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）点在棱上，且，证明：平面．
【答案】（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）证明见解析
【解析】（Ⅰ）证明和得到平面.（Ⅱ）根据相似得到证明平面.【详解】
（Ⅰ）如图，连接.∵底面为菱形，且，∴三角形为正三角形.∵为的中点，∴.又∵平面，平面，∴.∵，平面，∴平面.（Ⅱ）连接交于点，连接.∵为的中点，∴在底面中，∴.∴，∴在三角形中，.又∵平面，平面，∴平面.【点睛】
本题考查了线面垂直和线面平行，意在考查学生的空间想象能力和推断能力.20．已知函数，为函数的导函数.（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）当时，证明对任意的都成立.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）证明见解析
【解析】（Ⅰ）求导得到讨论，和四种情况得到答案.（Ⅱ）要证明即，求导得到函数
得到证明.【详解】
（Ⅰ）.∵，∴当时，函数在内单调递减，在内单调递增；
当时，函数在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增；
当时，函数在内单调递增；
当时，函数在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增.（Ⅱ）当时，，.∴.令，则.令，∵函数在内单调递增，，∴存在唯一的，使得.∵当时，；当时，；
∴函数在内单调递减，在内单调递增.又∵，∴，即对任意的都成立.【点睛】
本题考查了函数的单调性，恒成立问题，将恒成立问题转化为函数的最值是解题的关键
21．已知椭圆：的右焦点为，过点的直线（不与轴重合）与椭圆相交于，两点，直线：与轴相交于点，为线段的中点，直线与直线的交点为.（Ⅰ）求四边形（为坐标原点）面积的取值范围；
（Ⅱ）证明直线与轴平行.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）证明见解析
【解析】（Ⅰ）令直线：，联立方程利用韦达定理得到，，换元带入化简得到答案.（Ⅱ）直线的方程为，令得，.代入（Ⅰ）中式子化简得到答案.【详解】
（Ⅰ）由题，令直线：，.联立消去，得.∵，，∴.∴四边形的面积.令，∴，∴.∵（当且仅当即时取等号），∴.∴四边形面积的取值范围为.（Ⅱ）∵，∴.∴直线的斜率，直线的方程为.令得，.……①
由（Ⅰ），.∴，.化简①，得.∴直线与轴平行.【点睛】
本题考查了面积的范围，直线的平行问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.22．在平面直角坐标系中，已知是曲线：上的动点，将绕点顺时针旋转得到，设点的轨迹为曲线.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线，的极坐标方程；
（2）在极坐标系中，点，射线与曲线，分别相交于异于极点的两点，求的面积.【答案】（1）曲线：，曲线：；（2）
【解析】（1）由题意，点Q的轨迹是以（2，0）为圆心，以2为半径的圆，写出其普通方程，再结合ρ2＝x2+y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，可得曲线C1，C2的极坐标方程；
（2）在极坐标系中，设A，B的极径分别为ρ1，ρ2，求得|AB|＝|ρ1﹣ρ2|，再求出M（3，）到射线的距离h＝，即可求得△MAB的面积．
【详解】
（1）由题意，点Q的轨迹是以（2，0）为圆心，以2为半径的圆，则曲线C2：，∵ρ2＝x2+y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ；
（2）在极坐标系中，设A，B的极径分别为ρ1，ρ2，又点到射线的距离为的面积
【点睛】
本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查计算能力，属于中档题．
23．已知函数
（1）解不等式；
（2）若，求证：
【答案】（1）；（2）见解析.【解析】（1）原不等式可化为：|x﹣3|≥4﹣|2x+1|，即|2x+1|+|x﹣3|≥4，分段讨论求出即可；
（2）由基本不等式得的最小值，转化为|x+|﹣f（x）≤恒成立即可．
【详解】
（1）原不等式化为，即
①时，不等式化为，解得；
②时，不等式化为，解得，；
③时，不等式化为，解得，.综上可得：原不等式解集为.（2），当且仅当且时取等号.又，当且仅当时取等号.【点睛】
考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式的性质，利用分类讨论的思想结合绝对值的性质和基本不等式的应用，属于中档题．
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