高二数学 数列教案15 苏教版

第一篇：高二数学 数列教案15 苏教版

第十五教时

教材：等差、等比数列的综合练习

目的：通过复习要求学生对等差、等比数列有更深刻的理解，逐渐形成熟练技巧。过程：

一、小结：等差、等比数列的定义、通项公式、中项公式、性质、求和公式。

二、处理《教学与测试》P81第39课习题课（1）

1．基础训练题

2．例一 由Sn求an 用定义法判定an成AP 例二 关键是首先要判定d0或d0

三、处理《教学与测试》P89第43课 等差数列与等比数列

1．例一 “设”— 利用中项公式 — 求解 2．例二 “设”的技巧，然后依题意列式，再求解

3．例三 已知数列an中，Sn是它的前n项和，并且Sn14an2，a11 1 设bnan12an，求证数列bn是等比数列； 2 设cnan，求证数列cn是等差数列。2n证：1 ∵a11 ∴a1a2S24a11a25，b1a22a1

3∵Sn14an2 Sn24an12 两式相减得：an24an1an

即：an22an12(an12an)∵bnan12an

∴bn12bn 即bn是公比为2的等比数列 bn32n1 2 ∵cnanan1anan12anbncc ∴ n1nnn1nn1n122222n1 将bn32代入：cn1cn3 ∴cn成AP

4四、1、P90“思考题”在△ABC中，三边a,b,c成等差数列，a,b,c也成等差数列，求证△ABC为正三角形。

证：由题设，2bac且2bac ∴4bac2ac

∴ac2ac 即(ac)20 从而ac ∴bac（获证）

2、“备用题” 三数成等比数列，若将第三个数减去32，则成等差数列，若再将这等差数列的第二个数减去4，则又成等比数列，求原来三个数。

解：设原来三个数为a,aq,aq2 则必有 2aqa(aq232)①(aq4)2a(aq232)②

4a25代入②得：a2或a 从而q5或13 a9226338, ∴原来三个数为2,10,50或, 999 由①： q

五、作业：《教学与测试》P81-82 练习题 3、4、5、6、7

P90 5、6、7、8

第二篇：高二数学数列教学反思

高二数学数列教学反思

身为一名优秀的人民教师，我们的工作之一就是教学，对学到的教学新方法，我们可以记录在教学反思中，教学反思应该怎么写呢？以下是小编整理的高二数学数列教学反思，希望能够帮助到大家。

一、教学内容以贴近学生生活实际的具体情境为载体，学习生活中的数学。

如在棋盘中用数对表示棋子的位置、从学生非常熟悉的五子棋对弈情境引入;利用座位这一真实的情境学习排和列;应用知识解决实际问题时，拓展延伸，要求学生利用数对的相关知识解决，体现了数学来源于生活，又用于生活的教学理念，从而使学生体会到我们生活的周围存在着大量的数学知识与问题，激发学生的学习兴趣、促进教学活动的生成。

二、有效设计教学进程，引导学生经历数学化的过程。

本节课中，注重了向学生充分展现知识形成的过程，无论是通过将“小红坐在从左数第4列从前数第3行”简化成用数对来表示，还是把人物图简化成点子图再到方格图，都力图让学生经历数学知识、数学思想的形成过程，从而加深学生对所学数学知识的理解;而且在这个充满探索和自主体验的过程中，使学生逐步学会数学的思想方法和如何用数学方法去解决问题，获得自我成功的体验，增强学好数学的信心。

三、创设了良好的课堂学习氛围，活动形式多样有趣。

课标中指出，数学学习的内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，游戏的设置，向学生提供了充分的从事数学活动的机会，让学生感受学习的兴趣，树立学好数学的信心，大大调动了学生学习的积极性，达到了从玩中学的教学设想。

高二复习课以其庞大的容量让奋战在一线的老师们吃尽苦头，每位老师都有课时拮据的感叹!而资料中涉及的知识和原有内容冲突时，学生无所适从，参与探究获得知识的机会偏少，老师传授总显得相当匆忙，课堂更多成了教师的`表演与独白，每当我反省学生究竟学会了那些东西时，总会汗颜;课程是按时完成了，但其有效性有多少?

该让学生更主动积极地参与课堂教学，在探究中体验知识的联系，那怕一节课只学会一两种题型的解决策略，也比满堂灌，最终什么都没学到强多了。而资料中涉及的知识和原有内容冲突时，学生更是无所适从，如何把资料和课本更好结合，则是我们每一位教师必须重视的。

在《数列求和》的内容中我最初设计了两课时，讲分组求和法、倒序相加法、裂项相消法，并引申出求通项公式的迭加(乘)法，乘比错位相减法，并补充求通项公式的待定系数法。

当我重新审视教学设计和资料时，发现资料中的裂项法和拆项法与我前面所讲的有冲突，如何能减小冲突，且多留时间给学生思考，取得更好的效果，于是决定改变资料教学内容，裂项法是重要的求和方法，不仅渗透了化归的重要思想，而且也是高考的热点问题，从最简单的题目入手，循序渐进，或者会有不可估计的收获吧。

数列整个中学数学内容中，处于一个知识汇合点的地位，很多知识都与数列有着密切联系，过去学过的数、式、方程、函数、简易逻辑等知识在这一章均得到了较为充分的应用，尤其是加深了学生对函数概念的认识，并从函数的观点出发来研究数列问题，使对数列的认识更深入一步;而学习数列又为后面学习数学归纳法等内容作了铺垫。同时数列还有着非常广泛的实际应用，是反映自然规律的基本数学模型。有助于培养学生的建模能力，发展应用意识。数列还是培养学生数学思维能力的好题材，自始至终贯穿着观察、分析、归纳、类比、递推、运算、概括、猜想应用等能力的培养，不仅如此，数列还是对学生进行计算、推理等基本训练、综合训练的重要题材。因此学好数列有助于学生数学素养的提高。

本堂课的教学，在提出问题与解决问题、独立思考与合作交流等的有机结合中，有序和谐、民主平等地展开。在教学设计中通过丰富的实例引入概念，鼓励学生动脑、动手、动口，经历观察归纳、探索交流、分析问题解决问题的过程，收获新知和方法，提高数学素养。教学过程中通过环环相扣、设置得当的问题链，激活学生的思维、唤起学生的热情、完善学生的知识结构，使学生整堂课始终处在一种积极的学习状态中：看得专心、听得认真、做得投入、说得流畅、合作得愉快。

另外，本节课在指导学生进行反思上也做了一定工作，反思可以说是学生认知水平从低级到高级发展的一个主要环节，所谓反思也是解决问题后自问几个为什么，为下次解决问题获得有用的经验和教训，从而引导学生不断总结经验教训，真正领悟到数学思想方法，以达到优化学生认知结构，促使学生思维升华，由此达到提高学生学习数学能力之目的。

本节课设计在实施过程中要避免用问题牵着学生走，而是设置情境，让问题呼之欲出，让学生自己发现问题，提出问题进而解决问题。这一点在采用“问题导引，自主探究”这一方式的教学中都应注意。

第三篇：数学竞赛教案讲义——数列

第五章 数列

一、基础知识

定义1 数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，n，….数列分有穷数列和无穷数列两种，数列{an}的一般形式通常记作a1, a2, a3,…，an或a1, a2, a3,…，an…。其中a1叫做数列的首项，an是关于n的具体表达式，称为数列的通项。

定理1 若Sn表示{an}的前n项和，则S1=a1, 当n>1时，an=Sn-Sn-1.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 定义2 等差数列，如果对任意的正整数n，都有an+1-an=d（常数），则{an}称为等差数列，d叫做公差。若三个数a, b, c成等差数列，即2b=a+c，则称b为a和c的等差中项，若公差为d, 则a=b-d, c=b+d.定理2 等差数列的性质：1）通项公式an=a1+(n-1)d；2）前n项和公式：Sn=n(a1an)n(n1)na1d；3）an-am=(n-m)d，其中n, m为正整数；4）若n+m=p+q，22则an+am=ap+aq；5）对任意正整数p, q，恒有ap-aq=(p-q)(a2-a1)；6）若A，B至少有一个不为零，则{an}是等差数列的充要条件是Sn=An2+Bn.定义3 等比数列，若对任意的正整数n，都有

an1q，则{an}称为等比数列，q叫做公比。ana1(1qn)定理3 等比数列的性质：1）an=a1q；2）前n项和Sn，当q1时，Sn=；当

1qn-1q=1时，Sn=na1；3）如果a, b, c成等比数列，即b2=ac(b0)，则b叫做a, c的等比中项；4）若m+n=p+q，则aman=apaq。

定义4 极限，给定数列{an}和实数A，若对任意的>0，存在M，对任意的n>M(n∈N),都有|an-A|<，则称A为n→+∞时数列{an}的极限，记作limanA.n定义5 无穷递缩等比数列，若等比数列{an}的公比q满足|q|<1，则称之为无穷递增等比数列，其前n项和Sn的极限（即其所有项的和）为

a1（由极限的定义可得）。1q定理3 第一数学归纳法：给定命题p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）当p(n)时n=k成立时能推出p(n)对n=k+1成立，则由（1），（2）可得命题p(n)对一切自然数n≥n0成立。

竞赛常用定理 定理4 第二数学归纳法：给定命题p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）当p(n)对一切n≤k的自然数n都成立时（k≥n0）可推出p(k+1)成立，则由（1），（2）可得命题p(n)对一切自然数n≥n0成立。

定理5 对于齐次二阶线性递归数列xn=axn-1+bxn-2，设它的特征方程x2=ax+b的两个根为α,β:(1)若αβ，则xn=c1an-1+c2βxn=(c1n+c2)αn-

1n-1，其中c1, c2由初始条件x1, x2的值确定；(2)若α=β，则，其中c1, c2的值由x1, x2的值确定。

二、方法与例题 1．不完全归纳法。

这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律，当然结论未必都是正确的，但却是人类探索未知世界的普遍方式。通常解题方式为：特殊→猜想→数学归纳法证明。

例1 试给出以下几个数列的通项（不要求证明）；1）0，3，8，15，24，35，…；2）1，5，19，65，…；3）-1，0，3，8，15，…。

例2 已知数列{an}满足a1=

例3 设0

2迭代法。

数列的通项an或前n项和Sn中的n通常是对任意n∈N成立，因此可将其中的n换成n+

11,a1+a2+…+an=n2an, n≥1，求通项an.21，求证：对任意n∈N+,有an>1.an或n-1等，这种办法通常称迭代或递推。

例4 数列{an}满足an+pan-1+qan-2=0, n≥3，q0，求证：存在常数c，使得22nan1pan1·an+qancq0.2例5 已知a1=0, an+1=5an+24an1，求证：an都是整数，n∈N+.3．数列求和法。

数列求和法主要有倒写相加、裂项求和法、错项相消法等。例6 已知an=

例7 求和：Sn

例8 已知数列{an}满足a1=a2=1，an+2=an+1+an, Sn为数列

4．特征方程法。

例9 已知数列{an}满足a1=3, a2=6, an+2=4n+1-4an，求an.1(n=1, 2, …)，求S99=a1+a2+…+a99.4n2100111+…+.n(n1)(n2)123234an的前n项和，求证：Sn<2。n2

例10 已知数列{an}满足a1=3, a2=6, an+2=2an+1+3an，求通项an.5．构造等差或等比数列。

例11 正数列a0,a1,…,an,…满足anan2

2xn2例12

已知数列{xn}满足x1=2, xn+1=,n∈N+, 求通项。

2xnan1an2=2an-1(n≥2)且a0=a1=1，求通项。

三、基础训练题

1． 数列{xn}满足x1=2, xn+1=Sn+(n+1)，其中Sn为{xn}前n项和，当n≥2时，xn=_________.2.数列{xn}满足x1=

2xn1，xn+1=,则{xn}的通项xn=_________.3xn223.数列{xn}满足x1=1，xn=

1xn1+2n-1(n≥2)，则{xn}的通项xn=_________.24.等差数列{an}满足3a8=5a13，且a1>0, Sn为前n项之和，则当Sn最大时，n=_________.5.等比数列{an}前n项之和记为Sn,若S10=10，S30=70，则S40=_________.6.数列{xn}满足xn+1=xn-xn-1(n≥2)，x1=a, x2=b, Sn=x1+x2+…+ xn，则S100=_________.7.数列{an}中，Sn=a1+a2+…+an=n2-4n+1则|a1|+|a2|+…+|a10|=_________.8.若

x3xnx1x2，并且x1+x2+…+ xn=8，则x1=_________.x11x23x35xn2n1Sna2n，则limn=_________.nb3n1Tnn9.等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若

2007n2n110.若n!=n(n-1)…2·1, 则(1)=_________.n!n1n11．若{an}是无穷等比数列，an为正整数，且满足a5+a6=48, log2a2·log2a3+ log2a2·log2a5+ log2a2·log2a6+ log2a5·log2a6=36，求1的通项。ann12．已知数列{an}是公差不为零的等差数列，数列{ab}是公比为q的等比数列，且b1=1, b2=5, b3=17, 求：（1）q的值；（2）数列{bn}的前n项和Sn。

四、高考水平训练题

1x21．已知函数f(x)=2x1x1则a2006=_____________.1x271+

x1，若数列{an}满足a1=，an+1=f(an)(n∈N)，32(x1)2．已知数列{an}满足a1=1, an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1(n≥2)，则{an}的通项an=1(n1)(n2).3.若an=n2+n, 且{an}是递增数列，则实数的取值范围是__________.4.设正项等比数列{an}的首项a1=an=_____________.1, 前n项和为Sn, 且210S30-（210+1）S20+S10=0，则23n15.已知limn1，则a的取值范围是______________.n3(a1)n36．数列{an}满足an+1=3an+n(n ∈N+)，存在_________个a1值，使{an}成等差数列；存在________个a1值，使{an}成等比数列。7．已知ann401n402(n ∈N+)，则在数列{an}的前50项中，最大项与最小项分别是____________.8．有4个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和中16，第二个数与第三个数的和是12，则这四个数分别为____________.9.设{an}是由正数组成的数列，对于所有自然数n, an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项，则an=____________.10.在公比大于1的等比数列中，最多连续有__________项是在100与1000之间的整数.11．已知数列{an}中，an0，求证：数列{an}成等差数列的充要条件是

11111（n≥2）①恒成立。a1a2a2a3a3a4anan1a1an112．已知数列{an}和{bn}中有an=an-1bn, bn=

bn1(n≥2), 当a1=p, b1=q(p>0, q>0)且p+q=1时，21an1an；（3）求数列limbn.nan1（1）求证：an>0, bn>0且an+bn=1（n∈N）；（2）求证：an+1=13．是否存在常数a, b, c，使题设等式 1·22+2·32+…+n·(n+1)2=

n(n1)

2(an+bn+c)12对于一切自然数n都成立？证明你的结论。

五、联赛一试水平训练题

1．设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项和为972，这样的数列共有_________个。2．设数列{xn}满足x1=1, xn=

4xn12，则通项xn=__________.2xn17253.设数列{an}满足a1=3, an>0，且3anan1，则通项an=__________.4.已知数列a0, a1, a2, …, an, …满足关系式(3-an+1)·(6+an)=18，且a0=3，则ai0n1i=__________.5.等比数列a+log23, a+log43, a+log83的公比为=__________.6.各项均为实数的等差数列的公差为4，其首项的平方与其余各项之和不超过100，这样的数列至多有__________项.7.数列{an}满足a1=2, a2=6, 且

an2an=2，则

an11lima1a2ann2n________.8.数列{an} 称为等差比数列，当且仅当此数列满足a0=0, {an+1-qan}构成公比为q的等比数列，q称为此等差比数列的差比。那么，由100以内的自然数构成等差比数列而差比大于1时，项数最多有__________项.an9．设h∈N+，数列{an}定义为：a0=1, an+1=2ahn在大于0的整数n，使得an=1？

an为偶数an为奇数。问：对于怎样的h，存10．设{ak}k≥1为一非负整数列，且对任意k≥1，满足ak≥a2k+a2k+1，（1）求证：对任意正整数n，数列中存在n个连续项为0；（2）求出一个满足以上条件，且其存在无限个非零项的数列。

11．求证：存在唯一的正整数数列a1,a2,…,使得 a1=1, a2>1, an+1(an+1-1)=

anan23anan2111.六、联赛二试水平训练题

1．设an为下述自然数N的个数：N的各位数字之和为n且每位数字只能取1，3或4，求证：a2n是完全平方数，这里n=1, 2,….2．设a1, a2,…, an表示整数1，2，…，n的任一排列，f(n)是这些排列中满足如下性质的排列数目：①a1=1;②|ai-ai+1|≤2, i=1,2,…,n-1。试问f(2007)能否被3整除？

3．设数列{an}和{bn}满足a0=1,b0=0，且

an17an6bn3, bn18an7bn4,n0,1,2,.求证：an(n=0,1,2,…)是完全平方数。

4．无穷正实数数列{xn}具有以下性质：x0=1，xi+1

x1x2xn均成立；

22x0xnx121<4对任一n均成立。（2）寻求这样的一个数列使不等式

x1x2xn5．设x1,x2,…,xn是各项都不大于M的正整数序列且满足xk=|xk-1-xk-2|(k=3,4,…,n)①.试问这样的序列最多有多少项？

2(12an2)an116．设a1=a2=，且当n=3,4,5,…时，an=, 222an14an2an1an23(ⅰ)求数列{an}的通项公式；(ⅱ)求证：

12是整数的平方。an7．整数列u0,u1,u2,u3,…满足u0=1，且对每个正整数n, un+1un-1=kuu，这里k是某个固定的正整数。如果u2000=2000，求k的所有可能的值。

8．求证：存在无穷有界数列{xn}，使得对任何不同的m, k，有|xm-xk|≥

1.mk9.已知n个正整数a0,a1,…，an和实数q，其中0

第四篇：数学竞赛教案讲义——数列

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第五章 数列

一、基础知识

定义1 数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，n，….数列分有穷数列和无穷数列两种，数列{an}的一般形式通常记作a1, a2, a3,…，an或a1, a2, a3,…，an…。其中a1叫做数列的首项，an是关于n的具体表达式，称为数列的通项。

定理1 若Sn表示{an}的前n项和，则S1=a1, 当n>1时，an=Sn-Sn-1.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 定义2 等差数列，如果对任意的正整数n，都有an+1-an=d（常数），则{an}称为等差数列，d叫做公差。若三个数a, b, c成等差数列，即2b=a+c，则称b为a和c的等差中项，若公差为d, 则a=b-d, c=b+d.定理2 等差数列的性质：1）通项公式an=a1+(n-1)d；2）前n项和公式：Sn=n(a1an)n(n1)na1d；3）an-am=(n-m)d，其中n, m为正整数；4）若n+m=p+q，22则an+am=ap+aq；5）对任意正整数p, q，恒有ap-aq=(p-q)(a2-a1)；6）若A，B至少有一个不为零，则{an}是等差数列的充要条件是Sn=An2+Bn.定义3 等比数列，若对任意的正整数n，都有

an1 q，则{an}称为等比数列，q叫做公比。

ana1(1qn)定理3 等比数列的性质：1）an=a1q；2）前n项和Sn，当q1时，Sn=；当

1qn-1q=1时，Sn=na1；3）如果a, b, c成等比数列，即b2=ac(b0)，则b叫做a, c的等比中项；4）若m+n=p+q，则aman=apaq。

定义4 极限，给定数列{an}和实数A，若对任意的>0，存在M，对任意的n>M(n∈N),都有|an-A|<，则称A为n→+∞时数列{an}的极限，记作limanA.n定义5 无穷递缩等比数列，若等比数列{an}的公比q满足|q|<1，则称之为无穷递增等比数列，其前n项和Sn的极限（即其所有项的和）为

a1（由极限的定义可得）。1q定理3 第一数学归纳法：给定命题p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）当p(n)时n=k成立时能推出p(n)对n=k+1成立，则由（1），（2）可得命题p(n)对一切自然数n≥n0成立。

竞赛常用定理

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定理4 第二数学归纳法：给定命题p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）当p(n)对一切n≤k的自然数n都成立时（k≥n0）可推出p(k+1)成立，则由（1），（2）可得命题p(n)对一切自然数n≥n0成立。

定理5 对于齐次二阶线性递归数列xn=axn-1+bxn-2，设它的特征方程x2=ax+b的两个根为α,β:(1)若αβ，则xn=c1an-1+c2βxn=(c1n+c2)αn-

1n-1，其中c1, c2由初始条件x1, x2的值确定；(2)若α=β，则，其中c1, c2的值由x1, x2的值确定。

二、方法与例题 1．不完全归纳法。

这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律，当然结论未必都是正确的，但却是人类探索未知世界的普遍方式。通常解题方式为：特殊→猜想→数学归纳法证明。

例1 试给出以下几个数列的通项（不要求证明）；1）0，3，8，15，24，35，…；2）1，5，19，65，…；3）-1，0，3，8，15，…。

例2 已知数列{an}满足a1=

例3 设0

2迭代法。

数列的通项an或前n项和Sn中的n通常是对任意n∈N成立，因此可将其中的n换成n+1或欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。www.xiexiebang.com 1,a1+a2+…+an=n2an, n≥1，求通项an.21，求证：对任意n∈N+,有an>1.an高考资源网（www.xiexiebang.com），您身边的高考专家

n-1等，这种办法通常称迭代或递推。

例4 数列{an}满足an+pan-1+qan-2=0, n≥3，q0，求证：存在常数c，使得2n2an1pan1·an+qancq0.例5 已知a1=0, an+1=5an+24an1，求证：an都是整数，n∈N+.3．数列求和法。

数列求和法主要有倒写相加、裂项求和法、错项相消法等。例6 已知an=

例7 求和：Sn

例8 已知数列{an}满足a1=a2=1，an+2=an+1+an, Sn为数列

4．特征方程法。

例9 已知数列{an}满足a1=3, a2=6, an+2=4n+1-4an，求an.欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。www.xiexiebang.com 21(n=1, 2, …)，求S99=a1+a2+…+a99.4n2100111.+…+123234n(n1)(n2)an的前n项和，求证：Sn<2。n2高考资源网（www.xiexiebang.com），您身边的高考专家

例10 已知数列{an}满足a1=3, a2=6, an+2=2an+1+3an，求通项an.5．构造等差或等比数列。

例11 正数列a0,a1,…,an,…满足anan2an1an2=2an-1(n≥2)且a0=a1=1，求通项。

2xn2例12

已知数列{xn}满足x1=2, xn+1=,n∈N+, 求通项。

2xn

三、基础训练题

1． 数列{xn}满足x1=2, xn+1=Sn+(n+1)，其中Sn为{xn}前n项和，当n≥2时，xn=_________.2.数列{xn}满足x1=

2xn1，xn+1=,则{xn}的通项xn=_________.23xn21xn1+2n-1(n≥2)，则{xn}的通项xn=_________.23.数列{xn}满足x1=1，xn=4.等差数列{an}满足3a8=5a13，且a1>0, Sn为前n项之和，则当Sn最大时，n=_________.5.等比数列{an}前n项之和记为Sn,若S10=10，S30=70，则S40=_________.6.数列{xn}满足xn+1=xn-xn-1(n≥2)，x1=a, x2=b, Sn=x1+x2+…+ xn，则S100=_________.7.数列{an}中，Sn=a1+a2+…+an=n2-4n+1则|a1|+|a2|+…+|a10|=_________.欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。www.xiexiebang.com 高考资源网（www.xiexiebang.com），您身边的高考专家

8.若

x3xnx1x2，并且x1+x2+…+ xn=8，则x1=_________.x11x23x35xn2n1Sna2n，则limn=_________.nb3n1Tnn9.等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若

2007n2n110.若n!=n(n-1)…2·1, 则(1)=_________.n!n1n11．若{an}是无穷等比数列，an为正整数，且满足a5+a6=48, log2a2·log2a3+ log2a2·log2a5+ log2a2·log2a6+ log2a5·log2a6=36，求1的通项。ann12．已知数列{an}是公差不为零的等差数列，数列{ab}是公比为q的等比数列，且b1=1, b2=5, b3=17, 求：（1）q的值；（2）数列{bn}的前n项和Sn。

四、高考水平训练题

1x21．已知函数f(x)=2x1x1a2006=_____________.1x271x1，若数列{a}满足a=，an+1=f(an)(n∈N+)，则n

132(x1)2．已知数列{an}满足a1=1, an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1(n≥2)，则{an}的通项an=1(n1).(n2)3.若an=n2+n, 且{an}是递增数列，则实数的取值范围是__________.4.设正项等比数列{an}的首项a1=an=_____________.1, 前n项和为Sn, 且210S30-（210+1）S20+S10=0，则23n15.已知limn1，则a的取值范围是______________.nn33(a1)6．数列{an}满足an+1=3an+n(n ∈N+)，存在_________个a1值，使{an}成等差数列；存在________个a1值，使{an}成等比数列。

欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。www.xiexiebang.com 高考资源网（www.xiexiebang.com），您身边的高考专家

7．已知ann401n402(n ∈N+)，则在数列{an}的前50项中，最大项与最小项分别是____________.8．有4个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和中16，第二个数与第三个数的和是12，则这四个数分别为____________.9.设{an}是由正数组成的数列，对于所有自然数n, an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项，则an=____________.10.在公比大于1的等比数列中，最多连续有__________项是在100与1000之间的整数.11．已知数列{an}中，an0，求证：数列{an}成等差数列的充要条件是

11111（n≥2）①恒成立。a1a2a2a3a3a4anan1a1an112．已知数列{an}和{bn}中有an=an-1bn, bn=

bn1(n≥2), 当a1=p, b1=q(p>0, q>0)且p+q=1时，21an1an；（3）求数列limbn.nan1（1）求证：an>0, bn>0且an+bn=1（n∈N）；（2）求证：an+1=13．是否存在常数a, b, c，使题设等式 1·22+2·32+…+n·(n+1)2=

n(n1)

2(an+bn+c)12对于一切自然数n都成立？证明你的结论。

五、联赛一试水平训练题

1．设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项和为972，这样的数列共有_________个。2．设数列{xn}满足x1=1, xn=

4xn12，则通项xn=__________.2xn17253.设数列{an}满足a1=3, an>0，且3anan1，则通项an=__________.4.已知数列a0, a1, a2, …, an, …满足关系式(3-an+1)·(6+an)=18，且a0=3，则1=__________.i0ai5.等比数列a+log23, a+log43, a+log83的公比为=__________.6.各项均为实数的等差数列的公差为4，其首项的平方与其余各项之和不超过100，这样的欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。www.xiexiebang.com n高考资源网（www.xiexiebang.com），您身边的高考专家

数列至多有__________项.7.数列{an}满足a1=2, a2=6, 且

an2an=2，则

an11limna1a2ann2________.8.数列{an} 称为等差比数列，当且仅当此数列满足a0=0, {an+1-qan}构成公比为q的等比数列，q称为此等差比数列的差比。那么，由100以内的自然数构成等差比数列而差比大于1时，项数最多有__________项.an9．设h∈N+，数列{an}定义为：a0=1, an+1=2ahn大于0的整数n，使得an=1？

an为偶数an为奇数。问：对于怎样的h，存在10．设{ak}k≥1为一非负整数列，且对任意k≥1，满足ak≥a2k+a2k+1，（1）求证：对任意正整数n，数列中存在n个连续项为0；（2）求出一个满足以上条件，且其存在无限个非零项的数列。

11．求证：存在唯一的正整数数列a1,a2,…,使得 a1=1, a2>1, an+1(an+1-1)=

anan23anan2111.六、联赛二试水平训练题

1．设an为下述自然数N的个数：N的各位数字之和为n且每位数字只能取1，3或4，求证：a2n是完全平方数，这里n=1, 2,….2．设a1, a2,…, an表示整数1，2，…，n的任一排列，f(n)是这些排列中满足如下性质的排列数目：①a1=1;②|ai-ai+1|≤2, i=1,2,…,n-1。试问f(2007)能否被3整除？

3．设数列{an}和{bn}满足a0=1,b0=0，且

an17an6bn3, bn18an7bn4,n0,1,2,.求证：an(n=0,1,2,…)是完全平方数。

4．无穷正实数数列{xn}具有以下性质：x0=1，xi+1

22x0xnx12（1）求证：对具有上述性质的任一数列，总能找到一个n≥1，使1≥3.999

x1x2xn均成立；

22x0xnx12（2）寻求这样的一个数列使不等式1<4对任一n均成立。

x1x2xn5．设x1,x2,…,xn是各项都不大于M的正整数序列且满足xk=|xk-1-xk-2|(k=3,4,…,n)①.试问这样的序列最多有多少项？

2(12an2)an116．设a1=a2=，且当n=3,4,5,…时，an=, 2232an14an2an1an2(ⅰ)求数列{an}的通项公式；(ⅱ)求证：

12是整数的平方。an7．整数列u0,u1,u2,u3,…满足u0=1，且对每个正整数n, un+1un-1=kuu，这里k是某个固定的正整数。如果u2000=2000，求k的所有可能的值。

8．求证：存在无穷有界数列{xn}，使得对任何不同的m, k，有|xm-xk|≥

1.mk9.已知n个正整数a0,a1,…，an和实数q，其中0

第五篇：高一数学 数列求和教案

湖南师范大学附属中学高一数学教案：数列求和

教材：数列求和

目的：小结数列求和的常用方法，尤其是要求学生初步掌握用拆项法、裂项法和错位法求一些特殊的数列。

过程：

一、提出课题：数列求和——特殊数列求和

常用数列的前n项和：123nn(n1)2135(2n1)n2

n(n1)(2n1)

6n(n1)2132333n3[]

2122232n2

二、拆项法：

例

一、（《教学与测试》P91 例二）

11114,27,310,,n1(3n2),的前n项和。aaaa1 解：设数列的通项为an，前n项和为Sn，则 ann1(3n2)

a111Sn(12n1)[147(3n2)]

aaa求数列11,(13n2)n3n2n当a1时，Snn

221n(13n2)nan1(3n1)na

当a1时，Sn nn1122aa1a1

三、裂项法：

例

二、求数列6666，,，前n项和 122334n(n1)116()

n(n1)nn1解：设数列的通项为bn，则bn

11111Snb1b2bn6[(1)()()]223nn16(116n)n1n1 例

三、求数列111，，前n项和 1212312(n1)12112()

12(n1)(n1)(n2)n1n211111111n)()()]2() 2334n1n22n2n2 解：an Sn2[（四、错位法：

1}前n项和 n21111 解：Sn123nn ①

2482111111Sn123(n1)nnn1 ② 248162211(1n)1111112n 两式相减：Snnnn1212248222n1121n1nSn2(1nn1)2n1n

2222例

四、求数列{n例

五、设等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sn(求数列{an}的前n项和

解：取n =1，则a1(an12)(nN*)，2a112)a11 2又： Snn(a1an)n(a1an)a12(n)

可得：222an1(nN*)an2n1

Sn135(2n1)n2

五、作业：《教学与测试》P91—92 第44课 练习3，4，5，6，7 补充：1.求数列1,4,7,10,,(1)(3n2),前n项和

n3n1n为奇数2(Sn)

3nn为偶数22n32n1 2.求数列{n3}前n项和(8n3)3.求和：(1002992)(982972)(2212)(5050)4.求和：1×4 + 2×5 + 3×6 + ……+ n×(n + 1)(5.求数列1，(1+a)，(1+a+a)，……，(1+a+a+……+a

22n(n1)(n5))

3n

1)，……前n项和

a0时，Snn a1时，Snn(n1)2

n(n1)aan1a1、0时，Sn(1a)2