上教版高二数学教案——7.7数列的极限1

第一篇：上教版高二数学教案——7.7数列的极限1

数列的极限

教学目的：1．理解数列极限的概念；

2．会根据数列极限的定义，由数列的通项公式考察数列的极限。教学重点：会判断一些简单数列的极限 教学难点：数列极限概念的理解 授课类型：新授课 教学过程：

一、复习引入：

1.战国时代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，也就是说一根长为一尺的木棒，每天截去一半，这样的过程可以无限地进行下去。可以求出第n天剩余的木棒长度an

二、讲解新课： 数列极限的定义：

一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列an的项an无限趋近于某个常数A（即．．．．．，那么A叫做数列an的极限，或叫做数列an收敛于A。记作anA无限趋近于0）(尺)；分析变化趋势（从数和形两个角度分析）2nlimanA，读作“当n趋向于无穷大时，an的极限等于A”。

n“n”表示“n趋向于无穷大”，即n无限增大的意思。

理解：数列的极限是直观描述方式的定义，只是对数列变化趋势的定性说明，而不是定量化的定义。“随着项数n的无限增大，数列的项an无限地趋近于某个常数A”的意义有两个方面：一方面，数列的项an趋近于A是在无限过程中进行的，即随着n的增大an越来越趋近于A（即极限与数列前面的有限项无关）；另一方面，an不是一般地接近于A，而是“无限”地趋近于A，即anA随n的增大而无限地趋近于0。注：（1）limanA等价为limanA0

nn

（2）“无限趋近于”不能用“越来越接近”代替。

三、讲解范例：

例1：判断下列数列是否有极限，若有，写出极限；若没有，说明理由。

111，；

23n1111，()n,（2），39273（1）1，,（3）2,4,6,（4）； ,2n,；

3927，,2483,()n,2；（5）2,2,2,（6）a,a,a，2,；（变化：4,16，4100,2,2,2,）,a

分析：判断是否有极限的方法可通过直观判断，画图像，列表等方法。

10 nn1n（2）当n趋向于无穷大时，数列的项无限的趋近于0，即lim()0

n3解：（1）当n趋向于无穷大时，数列的项无限的趋近于0，所以lim（3）当n趋向于无穷大时，2n的值越来越大，不可能无限趋近于一个常数，所以an2n极限不存在。

（4）当n趋向于无穷大时，()的绝对值越来越大，不可能无限趋近于一个常数，所以无极限。

（5）∵2(2)0，∴lim(2)0

n32n（6）无极限，因为有限项。注：几个重要极限：（1）lim10；（2）limCC（C是常数）

nnnnn（3）limq0(q1)

2n1有没有极限，并说明理由。n2n11112，得an2，又lim0，所以liman20 解：由annnnnnn例2：判断an即liman2

n注：此类题目前可以通过转化为考察anA是否无限趋近于零来解决，学习了极限四则运算后过程将更简便。

四、课堂练习：

书P38/1，2，P39/1，2

1、请写出若干个符合下列条件的数列：（1）极限为零且数列的每一项都大于零；（2）极限为零且数列的每一项都小于零；

（3）极限为零且数列的项在正数和负数之间交替变化。

11n111n1(1)n(1)n},{n}等。解：（1）{},{n},{2}等；（2）{},{n},{2}等；（3）{

n3nn3nn22、判断下列命题的真假：

（1）若无穷数列an有极限为A，那么有anA；

（2）若无穷数列an的极限为A，bn的极限为B，且对任意nN，都有anbn，那

么AB；

（3）若无穷数列an的极限为A，bn的极限为B，且AB，那么必定有anbn。

五、小结 ：本节学习了数列的极限的定义，是直观定义(描述性定义)，它是培养了我们直觉思维能力、观察分析问题的能力，要着重注意“无限趋近于”的含义，同时要能够判断简单的无穷数列的极限是否存在的问题。

六、课后作业：练习册7.7（A）/1，2，3，4，5，6，7

七、课后反思：

第二篇：数列、极限、数学归纳法(上)

【考点梳理】

一、考试内容

1.数列，等差数列及其通项公式，等差数列前n项和公式。

2.等比数列及其通项公式，等比数列前n项和公式。

3.数列的极限及其四则运算。

4.数学归纳法及其应用。

二、考试要求

1.理解数列的有关概念，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前n项和。

2.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能够应用这些知识解决一些问题。

3.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能够运用这些知识解决一些问题。

4.了解数列极限的定义，掌握极限的四则运算法则，会求公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n项和的极限。

5.了解数学归纳法的原理，并能用数学归纳法证明一些简单的问题。

三、考点简析

1.数列及相关知识关系表

2.作用地位

（1）数列是函数概念的继续和延伸，是定义在自然集或它的子集{1,2,„,n}上的函数。对于等差数列而言，可以把它看作自然数n的“一次函数”，前n项和是自然数n的“二次函数”。等比数列可看作自然数n的“指数函数”。因此，学过数列后，一方面对函数概念加深了了解，拓宽了学生的知识范围；另一方面也为今后学习高等数学中的有关级数的知识和解决现实生活中的一些实际问题打下了基础。

（2）数列的极限这部分知识的学习，教给了学生“求极限”这一数学思路，为学习高等数学作好准备。另一方面，从数学方法来看，它是一种与以前学习的数学方法有所不同的全新方法，它有着现代数学思想，它把辩证唯物主义的思想引进了数学领域，因而，学习这部分知识不仅能接受一种新的数学思想方法，同时对培养学生唯物主义的世界观也起了一定的作用。

（3）数学归纳法是一种数学论证方法，学生学习了这部分知识后，又掌握了一种新的数学论证方法，开拓了知识领域，学会了新的技能；同时通过这部分知识的学习又学到一种数学思想。学好这部分知识，对培养学生逻辑思维的能力，计算能力，熟悉归纳、演绎的论证方法，提高分析、综合、抽象、概括等思维能力，都有很好的效果。

（4）数列、极限、数学归纳法这部分知识，在高考中占有相当的比重。这部分知识是必考的内容，而且几乎每年有一道综合题，其中1999年高考有两道综合题。

3.等差数列

（1）定义：an+1－an=d(常数d为公差)

（2）通项公式：an=a1+(n－1)d

（3）前n项和公式：Sn=n(a1an)n(n1)=na1+d 2

2（4）通项公式推广：an=am+(n－m)d

4.等差数列{an}的一些性质

（1）对于任意正整数n，都有an+1－an=a2－a

1（2）{an}的通项公式：an=（a2－a1）n+(2a1－a2)

（3）对于任意正整数p,q,r,s,如果p+q=r+s，则有ap+aq=ar+as

（4）对于任意正整数p,q,r,如果p+r=2q,则有ap+ar=2aq

（5）对于任意正整数n>1，有2an=an－1+an+1

（6）对于任意非零实数b，若数列{ban}是等差数列，则数列{an}也是等差数列

（7）已知数列{bn}是等差数列，则{an±bn}也是等差数列

（8）{a2n}，{a2n－1}，{a3n}，{a3n－1}，{a3n－2}等都是等差数列

（9）S3m=3（S2m－Sm）

（10）若Sn=Sm(m≠n)，则Sm+n=0

（11）若Sp=q,Sq=p，则Sp+q=－(p+q)(p≠q)

（12）Sn=an2+bn，反之亦成立

5.等比数列

（1）定义：an1=q(常数q为公比)an

－（2）通项公式：an=a1qn1

（3）前n项和公式

na1Sn=a1(1qn)1qq1 q1

特别注意q=1时，Sn=na1这一特殊情况。

－（4）通项公式推广：an=am²qnm

6.等比数列{an}的一些性质

（1）对于任意正整数n，均有an1a2= ana1

（2）对于任意正整数p、q、r、s，只要满足p+q=r+s，则ap²aq=ar²as

（3）对于任意正整数p、q、r，如果p+r=2q，则ap²ar=aq

2（4）对任意正整数n>1，有an2=an－1²an+

1（5）对于任意非零实数b,{ban}也是等比数列

（6）已知{an}、{bn}是等比数列，则{anbn}也是等比数列

（7）如果an>0，则{logaan}是等差数列

（8）数列{logaan}成等差数列，则an成等比数列

（9）{a2n}，{a2n－1}，{a3n－1}，{a3n－2}，{a3n}等都是等比数列

7.数列极限

（1）极限的定义“ε—N”

（2）极限的四则运算

若liman=A，lim bn=B，则 nn

lim(an±bn)= liman±limbn=A±B nnn

lim（an²bn）=liman²limbn=A²B nnn

lim（an/bn）=liman/limbn=nnnA(B≠0)B

（3）两个重要极限

c001①limc=1c0 nn不存在c0

|r|10②limrn=1r1 n不存在|r|1或r1

中学数学中数列求极限最终都化成这两类的极限问题。由①我们可以得到多项式除多项式的极限。

a0bpq

0a0npa1np1aplim=0pq nbnqbnq1a01q不存在pq

其中p,q∈N,a0≠0，b0≠0。

（4）无穷递缩等比数列各项和公式

S=limSn=na1（|q|<1）1q

应用：化循环小数为分数。

8.递归数列

数列的连续若干项满足的等量关系an+k=f(an+k－1,an+k－2,„,an)称为数列的递归关系。由递归关系及k个初始值可以确定的一个数列叫做递归数列。如由an+1=2an+1，及a1=1，确定的数列{21}即为递归数列。n

递归数列的通项的求法一般说来有以下几种：

（1）归纳、猜想、数学归纳法证明。

（2）迭代法。

（3）代换法。包括代数代换，对数代数，三角代数。

（4）作新数列法。最常见的是作成等差数列或等比数列来解决问题。

9.数列求通项与和

（1）数列前n项和Sn与通项an的关系式：

an=snsn1n2n1s

1（2）求通项常用方法

①作新数列法。作等差数列与等比数列。

②累差叠加法。最基本的形式是：an=(an－an－1)+(an－1+an－2)+„+(a2－a1)+a1

③归纳、猜想法。

（3）数列前n项和

①重要公式

1n(n+1)

2112+22+„+n2=n(n+1)(2n+1)6

113+23+„+n3=(1+2+„+n)2=n2(n+1)2 41+2+„+n=

②等差数列中，Sm+n=Sm+Sn+mnd

③等比数列中，Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn

④裂项求和

将数列的通项分成两个式子的代数和，即an=f(n+1)－f(n)，然后累加抵消掉中间的许多项，这种先裂后消的求和法叫裂项求和法。用裂项法求和，需要掌握一些常见的裂项，如：

111=－ n(n1)nn

1n²n！=(n+1)!－n!

1=cotα－cot2α sin2α

Cn－1r1=Cnr－Cn－1r －

1n1=－等。n!(n1)!(n1)!

⑤错项相消法

对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前n项和，常用错项相消法。⑥并项求和

把数列的某些项放在一起先求和，然后再求Sn。

数列求通项及和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

10.数学归纳法

（1）数学归纳法的基本形式

设P(n)是关于自然数n的命题，若

1°p(n0)成立（奠基）；

2°假设P(k)成立(k≥n0)，若可以推出P（k+1）成立（归纳），则P(n)对一切大于等于n0的自然数n都成立。

（2）数学归纳法的应用

数学归纳法适用于有关自然数n的命题。具体来讲，数学归纳法常用来证明恒等式，不等式，数的整除性，几可中计数问题，数列的通项与和等。

四、思想方法

数列、极限、数学归纳法中，主要注意如下的基本思想方法：

1.分类讨论思想。如等比数列的求和分公比等于1和不等于1两种情形；已知数列前n项和求通项分n=1和n≥2两种情形；求极限时对两个参数进行大小比较的讨论等。

2.函数思想。将数列视为定义域为自然数或其子集的函数。

3.数形结合思想。如等差数列的通项公式和前n项和公式分别视为直线、二次曲线的方程。

4.转化思想。如将非等差数列、非等比数列转化为等差数列、等比数列。

5.基本量思想。如把首项及公差、公比视为等差数列、等比数列的基本量。

6.构造思想。如由旧数列构造新数列。

7.特殊化思想。为研究一般问题可先退化到特殊问题的研究。在这部分内容中，处处充满了由具体到抽象，由特殊到一般，由有限到无限的辩证法，这就要求我们在思考问题时要用辩证的观点，由具体认识抽象，由特殊窥见一般，由有限逼近无限。其中，我们常用的“归纳——猜想——证明”法就体现了这一点。

8.一般化思想。为研究一个特殊问题，我们先研究一般的情形。我们采用的数学归纳法，就主要体现一般化思想，先证命题对一般值成立，然后再证对每一个特殊的n值也成立。

第三篇：习题课1—数列极限2009

《数学分析I》第1次习题课教案

第一次习题课（数列极限）

一、内容提要

2n2121.数列极限定义，验证limn3n22n13.2.极限性质（唯一性、有界性、保号性、保不等式）.3.极限四则运算.求limn1nn

2n(n)，limn(1nn2)

4.收敛准则（迫敛准则、单调有界准则、柯西收敛准则）.二、客观题

1.设f(x)1,x

1x1，则ff(x)___________.0,2.若数列{xx

n}与{yn}发散，问数列{xnyn}，{xnyn}，{n

y}是否一定发散？

n

3.若数列xn收敛，列yn发散，则数列xnyn是否存在？

4、若单调数列{an}含有一个收敛的子数列，则数列{an}必收敛（）.5、若数列{an}发散，则{an}必为无界数列（）.6.当（）时，有lim(k

n1n)ne.三、计算题

1.一些重要结论：

lim(n1n

nn)e，limn(n1n)ne1，limnqn0,(|q|1)，limna1,(a0)，limnn21.2.计算下列极限

（1）limsinn

nn0（M）.（2）lim

1n(2n1n2n2n2)2（求和法）.（3）lim(1

nn21

2n2n

2n2n)（夹逼）.（4）limn(113n1nn2)，（4）limn(1n2).（5）.设f(x)axa0,a1，求lim1

nn2lnf(1)f(2)f(n).1limnn1，《数学分析I》第1次习题课教案 xn1ann!（6）设xn，求极限.limnnnxn

四、证明题

1.已知limana，证明极限limn[nan]a.nn1

cos1cos2cosn2n,（n1,2,，）是收敛数列.2222..应用柯西收敛准则，证明an

3.设x1a0，xn112(xn)，证明：数列{xn}收敛并求其极限（单调有界原理）.2xn

n4.按数列极限的N定义证明limn22n210.anbnn1,2,,试证明数列{an}，bn1anbn，25.给定两个正数a1与b1(a1b1)，我们令an1

与{bn}的极限皆存在，并且limanlimbn.nn

6.设an0,limana0，证明limn1.nn

第四篇：2013白蒲中学高二数学教案：极限与导数：数列极限的运算法则(苏教版)

数列极限的运算法则（5月3日）

教学目标：掌握数列极限的运算法则，并会求简单的数列极限的极限。教学重点：运用数列极限的运算法则求极限 教学难点：数列极限法则的运用

教学过程：

一、复习引入：

函数极限的运算法则：如果limf(x)A,limg(x)B,则lim

xx0

xx0



xx0

f(x)g(x)

＿＿＿

xx0

lim



f(x).g(x)

＿＿＿＿，lim

f(x)g(x)

＿＿＿＿（B0）

xx0

二、新授课：

数列极限的运算法则与函数极限的运算法则类似： 如果limanA,limbnB,那么

n

n

lim(anbn)ABlim(anbn)AB

n

n

lim(an.bn)A.Blim

n

anbn



AB

n

(B0)

推广：上面法则可以推广到有限多个数列的情况。例如，若an

．．

则：lim(anbncn)limanlimbnlimcn

n

n

n

n

，bn，cn有极限，特别地，如果C是常数，那么lim(C.an)limC.liman

n

n

n

二.例题：

例1.已知liman5,limbn3，求lim(3an4bn).n

n

n

例2.求下列极限：（1）lim(5

n

4n)；（2）lim（n

1n

1)

2例3.求下列有限：（1）lim

2n13n

1n

（2）lim

nn1

2n

分析：（1）（2）当n无限增大时，分式的分子、分母都无限增大，分子、分母都没有极限，上面的极限运算法则不能直接运用。

例4.求下列极限：（1）lim（n

3n

1

5n1



7n1



2n1n1)

（2）lim（n

1242139

3n1n1)

说明：1.数列极限的运算法则成立的前提的条件是：数列的极限都是存在，在进行极限运算时，要特别注意这一点。当n无限增大时，分式的分子、分母都无限增大，分子、分母都没有极限，上面的极限运算法则不能直接运用。

2.有限个数列的和（积）的极限等于这些数列的极限的和（积）。3.两个（或几个）函数（或数列）的极限至少有一个不存在，但它们的和、差、积、商的极限不一定不存在。

小结：在数列的极限都是存在的前提下，才能运用数列极限的运算法则进行计算；数列极限的运算法则是对有限的数列是成立的。练习与作业：

1.已知liman2,limbn

n

n

13，求下列极限

anbn

an

（1）lim(2an3bn)；（2）lim

n

n

2.求下列极限：（1）lim(4

1)；（2）lim

2。

n

n

3.求下列极限（1）limn1；n

n

（3）lim3n21n

；n

4.求下列极限

已知limn

an3,limn

bn5,求下列极限：（1）.lim(3an4bn).n

5.求下列极限:（1）.lim(7

2n

n);

（3）.lim1(34)nnn

n

5

3n

（2）lim

nn

3n2；

（4）lim

5n2n。

n

3n2

1

（2）.lim

anbnn

anbn

（2）.lim（15)n

n

1

(4).lim

n

n1n

1

(5).lim(7).lim123n

2n

n

(6).lim

75n6n11

n

n1（8）lim（2

14n2)

n

n2

9

1

（9）lim

2142nn

1

1113





n

n

n

1n

10）.已知limnana2,求limnn

nnan

（

第五篇：上教版高二数学教案——共轭复数运算

共轭复数及其四则运算

教学目标：1．掌握共轭复数概念及其性质；

2．通过对共轭复数加法，乘法运算的证明进一步体会复数问题转化为实数问题的思想方法。

3．会运用四则运算及性质证明复数为实数。

教学重点：共轭复数的四则运算及性质 教学难点：合理利用共轭复数性质解决问题 教学过程：

一、复习引入

复习共轭复数的概念：实部相等，虚部互为相反数的两个复数称为共轭复数。即zabi.zabi(a,bR)

二、新课讲授

引例：z132i,z243i，计算z1z2和z1z2（学生计算）（提问学生）发现：z1z2z1z2

（教师提出问题）对任意的两个复数，是否具有上述性质？更一般的，对任意两个复数，上述性质对减法，乘法，除法是否也成立？（引出课题）共轭复数的四则运算：

z1z1(z20)（1）z1z2z1z

2（2）z1z2z1z2

（3）zz22（先验证（1），得出加法运算法则，类比让学生写出剑法，乘法，除法运算法则，再证明乘法法则）

验证（1）设z1a1bi1,z2a2b2i(a1,b1,a2,b2R)，z1z2a1bi1a2b2i(a1a2)(b1b2)i(a1a2)(b1b2)i z1z2a1bi1a2b2ia1bi1a2b2i(a1a2)(b1b2)i

即z1z2z1z2

同样可得到其他性质的证明。

注：1.可把求复数的共轭复数作为一种运算，那么复数的四则运算法则实际上实现了四则运算与求共轭复数运算的交换。

2．共轭复数加法，乘法运算可推广到n个，如：

z1z2znz1z2zn

z1z2znz1z2zn

3．特别：①zn(z)n,nN，②kzkz(kR)

三、例题

例1：判断正误（1）zz是实数。（性质：zz2aR）（2）如果z1z2是实数，那么z1,z2互为共轭复数；（3）z为实数，则zz（即实数的共轭复数是它本身）（4）z为纯虚数，则zz；

（5）zz为纯虚数；

解：（1）正确。设zabi,(a,bR)，则zzabiabi2aR（2）错误。因为只要z1,z2的虚部互为相反数即可。反例z12i,z23i（3）正确。设za，则za

（4）正确。设zbi,(b0)，则zbiz

（5）错误。设zabi,(a,bR)，当b0时为纯虚数，当b0时，zz2bi，zz0 共轭复数的一些重要性质：

（1）zzR

（2）zz为纯虚数或零

由例1中（3）（4）分别可得z为实数和纯虚数时z,z的关系，那么反过来z,z满足上述条件，能否得到z为实数和纯虚数。推导出两个重要性质：

（3）zRzz0

（4）z为纯虚数z0且zz0 例2：已知复数z满足z1，求证：z解：

法一：求出z1是实数。z1的虚部，利用复数是实数充要条件是虚部为零解决。z设zabi,(a,bR)，11abi22(abi)(abi)2，∵z1ab

12zabiab1所以z2a为实数。

zz法二：提示学生zzz，让学生思考如何利用？ 设zabi,(a,bR)，zzz1

22所以z1zzzz2zz2a为实数。zzzz法三：利用复数为实数的另一个充要条件zz 只要证z11z zz1111zzzzzzzzzzzz0

zzzzzz所以z1是实数。z2比较：法一是复数问题的常规解法，把复数问题转化成实数运算来解决。

法二法三均灵活运用了zzz这一重要性质，法三同时还运用了复数为实数的充要条件，较注重技巧，起到简化运算的效果。变化：题目改为已知虚数z满足z法一：设zabi,(a,bR)，1是实数，求证z1，可以怎么解决？ z11abiab(abi)(abi)2(a)(b)i 22222zabiabababb1b0010即 为实数，∴b2，∵为虚数，∴z222ababza2b21，即z1

法二：z111为实数，则zz0 zzz11zz11zzzz(zz)(1)(zz)(12)0

zzzzzzzz为虚数，∴zz0，即11z20z1

z1为纯虚数。z1课后练习：若z为虚数，且z1，求证：

四、小结：

本节课学习了共轭复数四则运算以及有关共轭复数的一些性质，要知道判断一个复数是实数还是纯虚数我们可以有的一些手段，同时能利用性质和运算法则解决一些证明复数为实数的问题。

五、反思：