第一篇：定义新运算教案
四年级奥数教案
第一讲
第一课时 教学时间：
教学内容：认识定义新运算。定义新运算的基本题型。教学目标：
1、让学生了解定义新运算的基本模式。
2、让学生学会解决简单定义新运算的基本题型。教学重点：使学生学会运用定义新运算解决基本题型。教学难点：掌握定义新运算的解题方法。教学过程：
一、导入
我们学过的常用运算有：+、－、×、÷等，在这一讲中，我们将定义一些新的运算。对这些新的运算符号同学们可能会感到陌生，但是解题时只在抓住新运算的运算法则，问题就迎刃而解了。
二、新授
1、教学例1。
【例1】定义一种运算△： a△b=3×a－2×b,(1)求3△2，2△3；
（2）这个运算“△”有交换律吗？
（3）求（17△6）△2，17△（6△2）；
（4）这个运算“△”有结合律吗？
【分析】解这类题的关键是抓住新运算的本质，本题的本质是：用运算符前面的3倍减去运算符号后面数的2倍。【解】（1）3△2＝3×3－2×2＝9－4＝5 2△3＝3×2－2×3＝6－6＝0（2）由（1）的运算结果可知“△”没有交换律。
（3）要计算（17△6）△2，先计算括号内的数，有：
17△6＝3×17－2×6＝39 再计算第二步：39△2＝3×39－2×2＝113 所以（17△6）△2＝113 对于17△（6△2）可同样计算: 6△2=3×6－2×2=14 17△14=3×17－2×14=23 所以17△（6△2）=23(4)由(3)的运算结果可知“△”也没有结合律。
2、学习例2。
【例2】定义新的运算a◎b=a×b＋a＋b（1）求6◎2，2◎6；
（2）求（1◎2）◎3，1◎（2◎3）；（3）这个运算有交换律和结合律吗？
1、同桌之间互相交流，找出运算法则。
2、学生在练习本上尝试练习。
3、集体订正。【分析与解】
（1）6◎2＝6×2＋6＋2＝20 2◎6＝2×6＋2＋6＝20（2）（1◎2）◎3＝（1×2＋1＋2）◎3 ＝5◎3 ＝5×3＋5＋3
＝23 1◎（2◎3）＝1◎（1×2＋1＋2）
＝1◎11 ＝1×11＋1＋11 ＝23（3）由（1）的运算结果6◎2＝2◎6＝20，可知◎满足交换律。
由（2）的运算结果（1◎2）◎3＝1◎（2◎3）＝23，可知◎满足结合律。
三、巩固练习。
1、对于数a、b定义运算“※”为a※b＝（a＋3）×(b－5)，求5※（6※7）的值。
2、对于数x、y定义两种运算“＃”及“□”如下： x＃y＝6×x＋5×y，x□y=3×x×y，求（2＃3）□4的值。
四、课堂小结：通过这节课的学习，你有什么新的收获，和你的同学交流一下。
五、作业《思维训练》第10页的1—3题。教学后记： 第二课时 教学时间：
教学内容：定义新运算
（二）教学目标：在上一节课的基础上进一步学习了解有关定义新运算，使学生明白一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法。
重、难点：
重 点：使学生明白对应法则不同就是不同的运算。
难点：通过法则让学生理解每个法则都有一个惟一确定的数与它们对应 教学过程：
一、复习
设a,b都表示数，规定a△b=3×a-2×b。（1）求4△3，3△4。这个运算“△”有交换律吗？
（2）求（17△6）△2，17△（6△2）。这个运算“△”有结合律吗？
二、新授
1、学习例3 【例3】对于任意的两个整数a、b，定义两种运算“※”，“◎”： a※b=a＋b－1,a◎b=a×b－1，计算4◎［（6※8）※（3※5）］的值。（1）引导学生审题。分析题意。
（2）同桌之间互相交流，在练习本上尝试练习。（3）师详细讲解。
【解】4◎［（6※8）※（3※5）］
＝4◎［（6＋8－1）※（3+5－1）］
＝4◎[13※7] ＝4◎[13+7-1] ＝4◎19 ＝4×19－1 ＝75 【例4】定义x*y=a×x＋2×y,并且已知5*6＝6*5，求a是几？
1、让学生读题，理解题意。
2、让学生根据定义新运算的基本模式和解题方法试着解答。
3、详细讲解
【解】根据题意，5*6＝5×a＋2×6=5a＋12 6*5=6×a＋2×5=6a＋10 且5a＋12=6a＋10 可以解出a=2
四、巩固练习。
定义运算“*”为a*b=a×b－(a＋b)求：（1）5*7，7*5（2）12*（3*），（12*3）*4（3）这个运算“*”有交换律、结合律吗？
五、课堂小结：这节课你有什么收获？
六、作业：《思维训练》的第10页5～7题。教学后记：
第三、四课时
教学时间： 教学内容：巩固练习
教学目的：使学生正确熟练地解决新运算定义问题，培养学生理解能力的多样化和解题的灵活性。
教学过程：
一、专项练习。
一、专项练习。
1、对于数a、b定义运算“※”为a※b＝6×a－2×b，求4※（5※6）的值。
2、对于数x、y定义两种运算“＃”及“□”如下： x＃y＝8×x－4×y，x□y=6×x×y，求（5＃7）□8的值。
3、定义运算“*”为a*b=a×b－(a＋b)求：（1）5*7，7*5
（2）12*（3*），（12*3）*4
（3）这个运算“*”有交换律、结合律吗？
4、设a,b都表示数，规定a△b=3×a-2×b。
（1）求4△3，3△4。这个运算“△”有交换律吗？
（2）求（17△6）△2，17△（6△2）。这个运算“△”有结合律吗？
（3）如果已知5△b=5，求b。
5、设a▽b=a×b+a-b,求5▽8。
第二篇：定义新运算教案
定义新运算
知识要点
基本概念：定义一种新的运算符号（“﹡”“＃”“△”等），新的运算符号包含有多种基
本（混合）运算。
基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按
照基本运算过程、规律进行运算。关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。
注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。算式中有括号的，要先算括号里面的。但它在没有转化前，是不适合各种运算定律的。
典题解析
例1：设a、b都表示数，规定：a△b表示a的3倍减去b的2倍，即：a△b = a×3－b×2。试计算：（1）5△6；（2）6△5；（3）5△（5△6）
练习：
1，设a、b都表示数，规定：a○b=6×a－2×b。试计算3○4。
2，设a、b都表示数，规定：a*b=3×a＋2×b。试计算：（1）（5*6）*7（2）5*（6*7）
3，如果a※b=6×a+7×b，那么7※8=？ 10※5=？
例2：对于两个数a与b，规定a⊕b=a×b＋a＋b，试计算6⊕2。
练习：1，对于两个数a与b，规定：a⊕b=a×b－（a＋b）。计算3⊕5。
2，对于两个数A与B，规定：A☆B=A×B÷2。试算6☆4。
3，规定：a＃b=2×a＋a×b，那么1＃2＃3=？
例3：如果2△3=2＋3＋4，5△4=5＋6＋7＋8，按此规律计算3△5。
练习：1，如果5▽2=5×6，2▽3=2×3×4，计算：3▽4。
2，如果2▽4=24÷（2＋4），3▽6=36÷（3＋6），计算8▽4。
3、规定：1 △ 5=1×2×3×4×5 ； 6 △ 4=6×7×8×9 ；求4 △ 6=？
例
4、如果 1※2＝1＋11；2※3＝2＋22＋222；3※4＝3＋33＋333＋333＋3333 计算（3※2）×5。
练习：1，如果1！=1，2！=1×2=2，3！=1×2×3=6，按此规律计算5！。
2，规定:6※2=6+66=72；2※3=2+22+222=246；1※4=1+11+111+1111=1234.7※5=
例5： 2▽4=8，5▽3=13，3▽5=11，9▽7=25。按此规律计算：7▽3。
练习：1，有一个数学运算符号“▽”，使下列算式成立：6▽2=12，4▽3=13，3▽4=15，5▽1=8。按此规律计算：8▽4。
2、有一种数学符号◎，使下列算式成立：,8◎4=28 ； 7◎6=27 ；10◎8=38 ；求：12◎8=？
3，如果：4※5=18，9※10=38，11※22=66，20※20=80，那么199※200=？
综合练习
1、设m、n是两个数，规定m※n=4×n－（m+n）÷2，这里加减乘除是通常的四则运算符号，括号的作用也是通常的含义。※是新的运算符号。计算：3※（4※6）＝（）
2、有一种数学运算符号◎，是下列算式成立：2◎4=8 5◎3=13 9◎7=25，那么6◎4=（育苗杯小学数学通讯赛预赛）
3、□表示一种新的数学运算符号，已知2□3=2+3+4，7□2=7+8 3□5=3+4+5+6+7，按此规则n□8=68，那么n的值是多少？（第九届“祖冲之杯”数学邀请赛）
4、如果：4＃5=13, 5＃5=15，12＃10=34那么2007＃2008＝（）。
5、x、y表示两个数，规定新运算·※及◎如下：x※y=4×x+3×y x◎y=2×x×y。求（3※4）◎5的值。
6、※是一种新运算符号，规定a※b=a×c+b×d，（其中c、d为常数），如5※7=5×c+7×d，如果1※2=5，1※3=7；那么：6※1000的计算结果是多少？（第四届小学“希望杯”全国数学邀请赛题）
第三篇：四年级定义新运算测试题
四年级定义新运算测试题
姓名:
分数:
1、找规律，求得数 2★10=6 4★6=5 1★17=9 2★4=？
2、、对于两个数A与B，规定：A☆B=A×B×2。试算5☆8。
3、设a、b都表示数，规定： a⊙b = a×3+b×2。试计算：5△6，6△7
4、设a、b都表示数，规定：a*b=3×a＋2×b。试计算：4*（5*6）
5、有一个数学运算符号“□”，使下列算式成立：6□2=6×7，4□3=4×5×6，计算：4□3。
第1讲
第四篇：小学奥数1-3-1 定义新运算．教师版
定义新运算
教学目标
定义新运算这类题目是在考验我们的适应能力，我们大家都习惯四则运算，定义新运算就打破了运算规则，要求我们要严格按照题目的规定做题．新定义的运算符号，常见的如△、◎、※等等，这些特殊的运算符号，表示特定的意义，是人为设定的．解答这类题目的关键是理解新定义，严格按照新定义的式子代入数值，把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。
知识点拨
一
定义新运算
基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。
基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。
关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。
注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等.如：2＋3＝5
2×3＝6
都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.二
定义新运算分类
1.直接运算型
2.反解未知数型
3.观察规律型
4.其他类型综合例题精讲
模块一、直接运算型
【例
1】
若表示，求的值。
【考点】定义新运算之直接运算
【难度】2星
【题型】计算
【解析】
A*B是这样结果这样计算出来：先计算A＋3B的结果，再计算A＋B的结果，最后两个结果求乘积。
由
A*B＝（A＋3B）×（A＋B）
可知：
5*7＝（5＋3×7）×（5＋7）
＝（5＋21）×12
＝
26×12
＝
312
【答案】
【巩固】
定义新运算为a△b＝（a＋1）÷b，求的值。6△（3△4）
【考点】定义新运算之直接运算
【难度】2星
【题型】计算
【解析】
所求算式是两重运算，先计算括号，所得结果再计算。由a△b＝（a＋1）÷b得，3△4＝（3＋1）÷4＝4÷4＝1；6△（3△4）＝6△1＝（6＋1）÷1＝7
【答案】
【巩固】
设△，那么，5△______，(5△2)
△_____.【考点】定义新运算之直接运算
【难度】2星
【题型】计算
【解析】,【答案】
【巩固】、表示数，表示，求3(68)
【考点】定义新运算之直接运算
【难度】2星
【题型】计算
【解析】
【答案】
【巩固】
已知a,b是任意自然数,我们规定:
a⊕b=
a+b-1，那么
.【考点】定义新运算之直接运算
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
原式
【答案】
【巩固】
表示
【考点】定义新运算之直接运算
【难度】2星
【题型】计算
【关键词】走美杯，3年级，初赛
【解析】
原式
【答案】
【巩固】
规定运算“☆”为：若a>b，则a☆b=a＋b；若a=b，则a☆b=a－b＋1；若a 【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】希望杯，四年级，二试 【解析】 【答案】 【例 2】 “△”是一种新运算，规定：a△b＝a×c＋b×d(其中c，d为常数)，如5△7＝5×c＋7×d。如果1△2＝5，2△3＝8，那么6△1OOO的计算结果是________。 【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】希望杯，六年级，二试 【解析】 1△2＝1×c＋2×d=5，2△3＝2×c＋3×d=8，可得c=1,d=2 6△1000＝6×c＋1000×d=2006 【答案】 【巩固】 对于非零自然数a和b，规定符号的含义是：ab＝（m是一个确定的整数）。如果14＝23，那么34等于________。 【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】希望杯，六年级，二试 【解析】 根据14=23，得到，解出m=6。所以。 【答案】 【例 3】 对于任意的整数x与y定义新运算“△”：,求2△9。 【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】北京市，迎春杯 【解析】 根据定义 于是有 【答案】 【巩固】 “*”表示一种运算符号，它的含义是：，已知，求。 【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 根据题意得，所以 【答案】 【例 4】 [A]表示自然数A的约数的个数.例如4有1,2,4三个约数,可以表示成[4]=3.计算: = .【考点】定义新运算之直接运算 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 因为有个约数,所以[18]=6,同样可知[22]=4,[7]=2.原式.【答案】 【巩固】 x为正数, .【考点】定义新运算之直接运算 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 <19>为不超过19的质数,有2,3,5,7,11,13,17,19共8个.<93>为不超过的质数,共24个,易知<1>=0,所以，原式=<<19>+<93>>=<8+24>=<32>=11.【答案】 【巩固】 定义运算“△”如下:对于两个自然数a和b,它们的最大公约数与最小公倍数的和记为a△b.例如:4△6=(4,6)+[4,6]=2+12=14.根据上面定义的运算,18△12= .【考点】定义新运算之直接运算 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 18△12=(18,12)+[18,12]=6+36=42.【答案】 【例 5】 我们规定：符号表示选择两数中较大数的运算，例如：53=35=5，符号△表示选择两数中较小数的运算，例如：5△3=3△5=3，计算：的结果是多少？ 【考点】定义新运算之直接运算 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 【答案】 【巩固】 规定：符号“&”为选择两数中较大数的运算，“◎”为选择两数中较小数的运算。计算下式：[（7◎3）& 5]×[ 5◎（3 & 7）] 【考点】定义新运算之直接运算 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 新定义运算进行计算时如果遇到有括号的，要先计算小括号里的，再计算中括号里的。 [（7◎6）& 5]×[ 5◎（3 & 9）]＝[ & 5] ×[ 5◎9 ]＝6×5＝30 【答案】 【巩固】 我们规定：AB表示A、B中较大的数，A△B表示A、B中较小的数。则 【考点】定义新运算之直接运算 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】走美杯，3年级，决赛 【解析】 根据题目要求计算如下： 【答案】 【例 6】 如果规定a※b =13×a-b ÷8，那么17※24的最后结果是______。 【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】希望杯，4年级，1试 【解析】 17※24=13×17-24÷8=221-3=218 【答案】 【巩固】 若用G（a）表示自然数a的约数的个数，如：自然数6的约数有1、2、3、6，共4个，记作G（6）=4，则G(36)+G(42)=。 【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】希望杯，4年级，1试 【解析】 36的约数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36。42的约数有：1、2、3、6、7、14、21、42。所以有。 【答案】 【巩固】 如果,那么。 【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】希望杯，4年级，1试 【解析】 2&5=2+5÷10=2.5 【答案】 【例 7】 “华”、“杯”、“赛”三个字的四角号码分别是“2440”、“4199”和“3088”，将“华杯赛”的编码取为244041993088，如果这个编码从左起的奇数位的数码不变，偶数位的数码改变为关于9的补码，例如：0变9，1变8等，那么“华杯赛”新的编码是________.【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】华杯赛，六年级，决赛 【解析】 偶数位自左至右依次为4、0、1、9、0、8，它们关于9的补码自左至右依次为5、9、8、0、9、1，所以“华杯赛”新的编码是：254948903981 【答案】 【例 8】 羊和狼在一起时，狼要吃掉羊.所以关于羊及狼，我们规定一种运算，用符号△表示：羊△羊=羊；羊△狼=狼；狼△羊=狼；狼△狼=狼，以上运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但是狼与羊在一起便只剩下狼了。小朋友总是希望羊能战胜狼.所以我们规定另一种运算，用符号☆表示：羊☆羊=羊；羊☆狼=羊；狼☆羊=羊；狼☆狼=狼，这个运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但由于羊能战胜狼，当狼与羊在一起时，它便被羊赶走而只剩下羊了。对羊或狼，可以用上面规定的运算作混合运算，混合运算的法规是从左到右，括号内先算.运算的结果或是羊，或是狼．求下式的结果：羊△(狼☆羊)☆羊△(狼△狼) 【考点】定义新运算之直接运算 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】华杯赛，复赛 【解析】 因为狼△狼=狼，所以原式=羊△(狼☆羊)☆羊△狼无论前面结果如何，最后一步羊△狼或者狼△狼总等于狼，所以 原式=狼 【答案】狼 【例 9】 一般我们都认为手枪指向谁，谁好像是有危险的，下面的规则同学们能看懂吗 规定：警察小偷警察，警察小偷小偷． 那么：（猎人小兔）（山羊白菜） ． 【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】学而思杯，4年级 【解析】 谁握着枪就留下谁，结果应该是 白菜 【答案】白菜 模块二、反解未知数型 【例 10】 如果a△b表示,例如3△4,那么,当a△5=30时,a= .【考点】定义新运算之反解未知数 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 依题意,得,解得.【答案】 【巩固】 规定新运算※:a※b=3a-2b.若x※(4※1)=7,则x= .【考点】定义新运算之反解未知数 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 因为4※1=,所以x※(4※1)= x※10=3x-20.故3x-20=7,解得x=9.【答案】 【巩固】 如果a⊙b表示,例如4⊙5=3×4-2×5=2,那么,当x⊙5比5⊙x大5时,x= 【考点】定义新运算之反解未知数 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 根据题意x⊙5-5⊙x=(3x-2×5)-(3×5-2x)=5x-25,由5x-25=5,解得x=6.【答案】 【巩固】 对于数a、b、c、d，规定，< a、b、c、d >＝2ab－c＋d，已知<1、3、5、x >＝7，求x的值。 【考点】定义新运算之反解未知数 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 根据新定义的算式，列出关于x的等式，解出x即可。 将1、3、5、x代入新定义的运算得：2×1×3－5＋x＝1＋x，又根据已知<1、3、5、x >＝7，故1＋x＝7，x＝6。 【答案】 【例 11】 定义新运算为，⑴求的值；⑵若则x的值为多少？ 【考点】定义新运算之反解未知数 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 ⑴因为，所以 ⑵，所以x的值为4.4.【答案】⑴ ⑵ 【巩固】 对于任意的两个自然数和，规定新运算：，其中、表示自然数.如果，那么等于几？ 【考点】定义新运算之反解未知数 【难度】4星 【题型】计算 【解析】 方法一：由题中所给定义可知，为多少，则就有多少个乘数．，即：602，则；，即33,所以． 方法二：可以先将（x3）看作一个整体，那么就是2，2,所以，那么也就有x3，即33，所以． 【答案】 【例 12】 定义为与之间（包含、）所有与奇偶性相同的自然数的平均数，例如：，．在算术的方格中填入恰当的自然数后可使等式成立，那么所填的数是多少？ 【考点】定义新运算之反解未知数 【难度】4星 【题型】计算 【解析】，所以方格中填的数一定大于80．如果填的是个奇数，那么只能是；如果填的是个偶数，那么这个数与60的平均数应该是80，所以只能是．因此所填的数可能是100和101． 【答案】和 【巩固】 如有#新运算，#表示、中较大的数除以较小数后的余数.例如；2#7=1，8#3=2，9#16=7，21#2=1.如（21#（21#））=5，则可以是________（小于50） 【考点】定义新运算之反解未知数 【难度】4星 【题型】计算 【关键词】101中学，入学测试 【解析】 这是一道把数论、定义新运算、倒推法、解方程等知识结合在一起的综合题.可采用枚举与筛选的方法.第一步先把（21#）看成一个整体.对于21#5，这个式子，一方面可把21作被除数，则等 于（21-5）16的大于5的约数，有两个解8与16；另一方面可把21作除数，这样满足要求的数为26，47…，即形如21N+5这样的数有无数个.但必须得考虑，这些解都是由所 代表的式子（21#）运算得来，而这个运算的结果是必须小于其中的每一个数的，也就是余数必须 比被除数与除数都要小才行，因此大于21的那些的值都得舍去.现在只剩下8，与16.第二步求：（21#）8与（21#）16.对于（21#）8可分别解得，把21作被除数时：13，把21作除数时为：29，50，…形如21N+8的整数（N是正整数）.对于（21#）16，把21作被除数无解，21作除数时同理可得：37，58……所有形如21N+16 这样的整数.（N是正整数）.所以符合条件的答案是13,29,37． 【答案】13,29,37． 【例 13】 已知、满足，；其中表示不大于的最大整数，表示的小数部分，即，那么。 【考点】定义新运算之反解未知数 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】学而思杯，6年级，第3题 【解析】 根据题意，是整数，所以也是整数，那么，由此可得，所以。 【答案】 【例 14】 规定：A○B表示A、B中较大的数，A△B表示A、B中较小的数．若（A○5＋B△3）×（B○5+ A△3）＝96，且A、B均为大于0的自然数，A×B的所有取值为 ．（8级） 【考点】定义新运算之反解未知数 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】走美杯，6年级，决赛 【解析】 分类讨论，由于题目中所要求的定义新运算的符号是较大的数与较大的数，则对于A或者B有3类不同的范围，A小于3，A大于等于3，小于5，A大于等于5。对于B也有类似，两者合起来共有3×3=9种不同的组合，我们分别讨论。 1) 当A＜3，B＜3，则（5+B）×（5+A）=96=6×16=8×12，无解； 2) 当3≤A＜5，B＜3时，则有（5+B）×（5+3）=96，显然无解； 3) 当A≥5，B＜3时，则有（A+B）×（5+3）=96，则A+B=12.所以有A=10，B=2，此时乘积为20或者A=11,B=1,此时乘积为11。 4) 当A＜3，3≤B＜5，有（5+3）×（5+A）=96，无解； 5) 当3≤A＜5，3≤B＜5，有（5+3）×（5+3）=96，无解； 6) 当A≥5，3≤B＜5，有（A+3）×（5+3）=27，则A=9.此时B=3后者B=4。则他们乘积有27与36两种； 7) 当A＜3，B≥5时，有（5+3）×（B+A）=96。此时A+B=12。A与B的乘积有11与20两种； 8) 当3≤A＜5，B≥5，有（5+3）×（B+3）=96。此时有B=9.不符； 9) 当A≥5，B≥5，有（A+3）×（B+3）=96=8×12。则A=5,B=9，乘积为45。 所以A与B的乘积有11,20,27，36,45共五种 【答案】11,20,27,36,45 模块三、观察规律型 【例 15】 如果 1※2＝1＋11 2※3＝2＋22＋222 3※4＝3＋33＋333＋333＋3333 计算 （3※2）×5。 【考点】定义新运算之找规律 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 通过观察发现：a※b中的b表示加数的个数，每个加数数位上的数字都由a组成，都由一个数位，依次增加到b个数位。（5※3）×5 ＝（5＋55＋555）×5＝3075 【答案】 【巩固】 规定:6※2=6+66=72 2※3=2+22+222=246,1※4=1+11+111+1111=1234.7※5= 【考点】定义新运算之找规律 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 7※5=7+77+777+7777+77777=86415.【答案】 【例 16】 有一个数学运算符号，使下列算式成立：，，求 【考点】定义新运算之找规律 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 通过对，，这几个算式的观察，找到规律：，因此 【答案】 【巩固】 规定△,计算：（2△1）（11△10）______.【考点】定义新运算之找规律 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 这个题目直接套用定义给的公式非常麻烦，需要套用10次，然后再求和．但是我们注意到要求的10项值有一个共同的特点就是在要我们求得这个式子中b＝a－1，所以，我们不妨把b＝a－1代入原定义． a△b就变成了a△b．所以2△1，3△2，……，3△2，则原式＋＋＋…＋． 这里需要补充一个公式：． 【答案】 【例 17】 一个数n的数字中为奇数的那些数字的和记为，为偶数的那些数字的和记为，例如，． ；＝ ． 【考点】定义新运算之找规律 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】走美杯，5年级，决赛 【解析】 可以换个方向考虑。数字1在个位出现10次，在十位出现10次，在百位出现1次，共21次。数字2到9中的每一个在个位出现10次，在十位也出现10次，共20次。 所以，1到100中所有奇数数字的和等于(1+3+5+7+9)×20+1=501； 所有偶数数字的和等于(2+4+6+8)×20=400。 【答案】 模块四、综合型题目 【例 18】 已知：10△3=14，8△7=2，△，根据这几个算式找规律，如果 △=1，那么= .【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】华杯赛，五年级，决赛 【解析】 规律是 a△b=(a－b)×2,所以 △x=，即 【答案】 【例 19】 如果、、是3个整数，则它们满足加法交换律和结合律，即 ⑴；⑵。 现在规定一种运算“*“，它对于整数 a、b、c、d 满足：。 例： 请你举例说明，“*“运算是否满足交换律、结合律。 【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】希望杯，四年级，二试 【解析】 (2,1)*(4,3)=(2×4+1×3,2×4－1×3)=(11,5) (4,3)*(2,1)=(4×3+2×1,4×3－2×1)=(11,5) 所以“*”满足交换律 [(2,1)* (6,5)]*(4,3)=(17,7)=(11,5)* (4,3)= (89,47) (2,1)*[ (6,5)*(4,3)]=(2,1) * (39,9)= (87,69) 所以“*”不满足结合律 【答案】 “*”满足交换律 “*”不满足结合律 【例 20】 用表示的小数部分，表示不超过的最大整数。例如：记，请计算的值。 【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】希望杯，四年级，二试 【解析】 代入计算结果分别为：0.4，1，0，1 【答案】0.4，1，0，1 【例 21】 在计算机中，对于图中的数据(或运算)的读法规则是：先读第一分支圆圈中的，再读与它相连的第二分支左边的圆圈中的，最后读与它相连的第二分支右边的圆圈中的，也就是说，对于每一个圆圈中的数据(或运算)都是按“中→左→右“的顺序。如：图A表示：2+3，B表示2+3×2－1。图C中表示的式子的运算结果是________。 【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】希望杯，四年级，二试 【解析】 “教研龙”认为第2个图最上面的圆圈应该有个2，原题却没有。第3个图从上到下第3行第3个圈为2，第四个圈为42+[(3+5)÷2]-4=2 【答案】 【例 22】 表示成;表示成.试求下列的值: (1) (2) (3); (4)如果x,y分别表示若干个2的数的乘积,试证明:.【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 (1); (2); (3)因为,所以; (4)略 【答案】(1) (2)81 (3) (4) 令则..【例 23】 对于任意有理数x,y,定义一种运算“※”，规定:x※y=,其中的表示已知数,等式右边是通常的加、减、乘运算.又知道1※2=3,2※3=4,x※m=x(m≠0),则m的数值是 _________。 【考点】定义新运算之综合题 【难度】4星 【题型】计算 【解析】 由题设的等式x※y=及x※m=x(m≠0),得,所以bm=0,又m≠0,故b=0.因此x※y=ax-cxy.由1※2=3,2※3=4,得 解得a=5,c=1.所以x※y=5x-xy,令x=1,y=m得5-m=1,故m=4.【答案】 【巩固】 x、y表示两个数，规定新运算“*”及“△”如下：x*y=mx+ny，x△y=kxy，其中 m、n、k均为自然数，已知 1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值.【考点】定义新运算之综合题 【难度】4星 【题型】计算 【解析】 x、y表示两个数，规定新运算“*”及“△”如下：x*y=mx+ny，x△y=kxy，其中 m、n、k均为自然数，已知 1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值.分析 我们采用分析法，从要求的问题入手，题目要求（1△2）*3的值，首先我们要计算1△2，根 据“△”的定义：1△2=k×1×2=2k，由于k的值不知道，所以首先要计算出k的值.k值求出后，l△2的值也就计算出来了，我们设1△2=a.(1△2）*3=a*3，按“*”的定义： a*3=ma+3n，在只有求出m、n时，我们才能计算a*3的值.因此 要计算（1△2）* 3的值，我们就要先求出 k、m、n的值.通过1*2 =5可以求出m、n的值，通过（2*3）△4=64求出 k的值.因为1**2=m×1+n×2=m+2n，所以有m+2n=5.又因为m、n均为自然数，所以解出：，（舍去） ①当m=1，n=2时： （2*3）△4=（1×2+2×3）△4=8△4=k×8×4=32k 有32k=64，解出k=2.②当m=3，n=1时： （2*3）△4=（3×2+1×3）△4=9△4=k×9×4=36k 有36k=64，解出，这与k 是自然数矛盾，因此m=3，n=1，这组值应舍去。 所以m=l，n=2，k=2.（1△2）*3=（2×1×2）*3=4*3 =1×4+2×3=10.【答案】 【例 24】 对于任意的两个自然数和，规定新运算：，其中、表示自然数.⑴求1100的值；⑵已知1075，求为多少？⑶如果（3）2121，那么等于几？ 【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 ⑴1100 ⑵x1075,解得x3 ⑶方法一：由题中所给定义可知，b为多少，则就有多少个加数．，即：602121，则x360；，即19360,所以x19． 方法二：可以先将（x3）看作一个整体y，那么就是y2121，y2,所以y60，那么也就有x360，即19360，所以x19． 【答案】 【巩固】 两个不等的自然数a和b,较大的数除以较小的数,余数记为a☉b,比如5☉2=1,7☉25=4,6☉8=2.（8级） (1)求1991☉2000,(5☉19)☉19,(19☉5)☉5; (2)已知11☉x=2,而x小于20,求x; (3)已知(19☉x)☉19=5,而x小于50,求x.【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 (1)1991☉2000=9; 由5☉19=4,得(5☉19)☉19=4☉19=3; 由19☉5=4,得(19☉5)☉5=4☉5=1.(2)我们不知道11和x哪个大(注意,x≠11),即哪个作除数,哪个作被除数,这样就要分两种情况讨论.1) x<11,这时x除11余2,x整除11-2=9.又x≥3(因为x应大于余数2),所以x=3或9.2) x>11,这时11除x余2,这说明x是11的倍数加2,但x<20,所以x=11+2=13.因此(2)的解为x=3,9,13.(3)这个方程比(2)又要复杂一些,但我们可以用同样的方法来解.用y表示19☉x,不管19作除数还是被除数,19☉x都比19小,所以y应小于19.方程y☉19=5,说明y除19余5,所以y整除19-5=14,由于y≥6,所以y=7,14.当y=7时,分两种情况解19☉x=7.1) x<19,此时x除19余7,x整除19-7=12.由于x≥8,所以x=12.2) x>19,此时19除x余7,x是19的倍数加7,由于x<50,所以x=19+7=26=45.当y=14时,分两种情况解19☉x=14.1) x<19,这时x除19余14,x整除19-14=5,但x大于14,这是不可能的.2)x>19,此时19除x余14,这就表明x是19的倍数加14,因为x<50,所以x=19+14=33.总之,方程(19☉x)☉19=5有四个解,x=12,26,33,45.【答案】(1)；； (2) x=3,9,13.(3) x=12,26,33,45.【例 25】 设a,b是两个非零的数,定义a※b.(1)计算(2※3)※4与2※(3※4).(2)如果已知a是一个自然数,且a※3=2,试求出a的值.【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 (1)按照定义有2※3,3※4.于是(2※3)※4※4=.2※(3※4)=2※.(2)由已知得① 若a≥6,则≥2,从而与①矛盾.因此a≤5,对a=1,2,3,4,5这5个可能的值,一一代入①式中检查知,只有a=3符合要求.【答案】(1) (2※3)※4；2※(3※4).(2) a=3 【巩固】 定义运算“⊙”如下: 对于两个自然数a和b,它们的最大公约数与最小公倍数的差记为a⊙b.比如:10和14,最小公倍数为70,最大公约数为2,则10⊙14=70-2=68.(1)求12⊙21,5⊙15; (2)说明,如果c整除a和b,则c也整除a⊙b;如果c整除a和a⊙b,则c也整除b; (3)已知6⊙x=27,求x的值.【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 (1)为求12⊙21,先求出12与21的最小公倍数和最大公约数分别为84,3,因此12⊙21=84-3=81,同样道理5⊙15=15-5=10.(2)略 (3)由于运算“⊙”没有直接的表达式,解这个方程有一些困难,我们设法逐步缩小探索范围.因为 6与x的最小公倍数不小于27+1=28,不大于27+6=33,而28到33之间,只有30是6的倍数,可见 6和x的最小公倍数是30,因此它们的最大公约数是30-27=3.由“两个数的最小公倍数与最大公约数的积=这两个数的积”,得到.所以.【答案】(1)； (2) 如果c整除a和b,那么c是a和b的公约数,则c整除a,b的最大公约数,显然c也整除a,b最小 公倍数,所以c整除最小公倍数与最大公约的差,即c整除a⊙b.如果c整除a和a⊙b,由c整除a推知c整除a,b的最小公倍数,再由c整除a⊙b推知,整除a,b的最大公约数,而这个最大公约数整除b,所以 c整除b.(3) 【巩固】 “⊙”表示一种新的运算符号，已知：2⊙3；7⊙2：3⊙5，……按此规则，如果n⊙868，那么，n ____.【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 因为从已知条件可归纳出的运算规则：⊙表示几个连续自然数之和，⊙前面的数表示第一个加数，⊙后面的数表示加数的个数，于是，即 .【答案】 【例 26】 喜羊羊喜欢研究数学，它用计算器求个正整数的值。当它依次按了得到数字。而当它依次按时，惊讶地发现得到的数值却是。这时喜羊羊才明白计算器先做除法再做加法。于是，她依次按，得到了正确的结果为 。（填出所有可能情况） 【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】走美杯，3年级，初赛，第14题 【解析】，则，则，则，或，或 【答案】或 【例 27】 国际统一书号ISBN由10个数字组成，前面9个数字分成3组，分别用来表示区域、出版社和书名，最后一个数字则作为核检之用。核检码可以根据前9个数字按照一定的顺序算得。如：某书的书号是ISBN 7-107-17543-2，它的核检码的计算顺序是： ①7×10＋1×9＋0×8＋7×7＋1×6＋7×5＋5×4＋4×3＋3×2＝207； ②207÷11＝18……9； ③11－9＝2。这里的2就是该书号的核检码。 依照上面的顺序，求书号ISBN-7-303-07618-□的核检码。 【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】希望杯，六年级，二试 【解析】 7×10＋3×9＋0× 8＋3×7＋0×6＋7×5＋6×4＋1×3＋8×2＝196； 。 所以该书号的核检码是2.【答案】 【例 28】 如图2一只甲虫从画有方格的木板上的A点出发，沿着一段一段的横线、竖线爬行到B，图1中的路线对应下面的算式：.请在图2中用粗线画出对应于算式：的路线． 【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】2003年，希望杯 【解析】 如图3所示，通过图1分析知道向上前进一格要加上1，向下前进一格要减1，向左前进一格要减去2，向右前进一格要加上2.【答案】 第1讲 定义新运算 （一）我们已经学习过加、减、乘、除运算，这些运算，即四则运算是数学中最基本的运算，它们的意义、符号及运算律已被同学们熟知。除此之外，还会有什么别的运算吗？这两讲我们就来研究这个问题。这些新的运算及其符号，在中、小学课本中没有统一的定义及运算符号，但学习讨论这些新运算，对于开拓思路及今后的学习都大有益处。 例1 对于任意数a，b，定义运算“*”：a*b=a×b-a-b。求12*4的值。 分析与解：根据题目定义的运算要求，直接代入后用四则运算即可。 12*4=12×4-12-4=48-12-4=32。 根据以上的规定，求10△6的值。 3，x>=2，求x的值。 分析与解：按照定义的运算，<1，2，3，x>=2，x=6。 由上面三例看出，定义新运算通常是用某些特殊符号表示特定的运算意义。新运算使用的符号应避免使用课本上明确定义或已经约定俗成的符号，如+，-，×，÷，＜，＞等，以防止发生混淆，而表示新运算的运算意义部分，应使用通常的四则运算符号。如例1中，a*b=a×b-a-b，新运算符号使用“*”，而等号右边新运算的意义则用四则运算来表示。 分析与解：按新运算的定义，符号“⊙”表示求两个数的平均数。 四则运算中的意义相同，即先进行小括号中的运算，再进行小括号外面的运算。 按通常的规则从左至右进行运算。 分析与解：从已知的三式来看，运算“”表示几个数相加，每个加数各数位上的数都是符号前面的那个数，而符号后面的数是几，就表示几个数之和，其中第1个数是1位数，第2个数是2位数，第3个数是3位数„„按此规定，得 35=3+33+333+3333+33333=37035。 从例5知，有时新运算的规定不是很明显，需要先找规律，然后才能进行运算。 例6 对于任意自然数，定义：n！=1×2ׄ ×n。 例如 4！=1×2×3×4。那么1！+2！+3！+„+100！的个位数字是几？ 分析与解：1！=1，2！=1×2=2，3！=1×2×3=6，4！=1×2×3×4=24，5！=1×2×3×4×5=120，6！=1×2×3×4×5×6=720，„„ 由此可推知，从5！开始，以后6！，7！，8！，„，100！的末位数字都是0。 所以，要求1！+2！+3！+„+100！的个位数字，只要把1！至4！的个位数字相加便可求得：1+2+6+4=13。所求的个位数字是3。 例7 如果m，n表示两个数，那么规定：m¤n=4n-（m+n）÷2。 求3¤（4¤6）¤12的值。 解：3¤（4¤6）¤12 =3¤[4×6-（4+6）÷2]¤12 =3¤19¤12 =[4×19-（3+19）÷2]¤12 =65¤12 =4×12-（65+12）÷2 =9.5。 练习1 1.对于任意的两个数a和b，规定a*b=3×a-b÷3。求8*9的值。 2.已知a3.已知a b表示a除以3的余数再乘以b，求13b表示（a-b）÷（a+b），试计算：（54的值。3） （10 6）。 4.规定a◎b表示a与b的积与a除以b所得的商的和，求8◎2的值。5.假定m◇n表示m的3倍减去n的2倍，即 m◇n=3m-2n。 （2）已知x◇（4◇1）=7，求x的值。 7.对于任意的两个数P，Q，规定 P☆Q=（P×Q）÷4。例如：2☆8=（2×8）÷4。已知x☆（8☆5）=10，求x的值。 8.定义： a△b=ab-3b，ab=4a-b/a。计算：（4△3）△（2b）。 9.已知： 23=2×3×4，45=4×5×6×7×8，„„ 求（44）÷（33）的值。 第2讲 定义新运算 （二）例1 已知a※b=（a+b）-（a-b），求9※2的值。 分析与解：这是一道很简单的题，把a=9，b=2代入新运算式，即可算出结果。但是，根据四则运算的法则，我们可以先把新运算“※”化简，再求结果。 a※b=（a+b）-（a-b） =a+b-a+b=2b。 所以，9※2=2×2=4。 由例1可知，如果定义的新运算是用四则混合运算表示，那么在符合四则混合运算的性质、法则的前提下，不妨先化简表示式。这样，可以既减少运算量，又提高运算的准确度。 例2 定义运算：a⊙b=3a+5ab+kb，其中a，b为任意两个数，k为常数。比如：2⊙7=3×2+5×2×7+7k。 （1）已知5⊙2=73。问：8⊙5与5⊙8的值相等吗？ （2）当k取什么值时，对于任何不同的数a，b，都有a⊙b=b⊙a，即新运算“⊙”符合交换律？ 分析与解：（1）首先应当确定新运算中的常数k。因为5⊙2=3×5+5×5×2+k×2 =65+2k，所以由已知 5⊙2=73，得65+2k=73，求得k=（73-65）÷2=4。定义的新运算是：a⊙b=3a+5ab+4b。 8⊙5=3×8+5×8×5+4×5=244，5⊙8=3×5+5×5×8+4×8=247。 因为244≠247，所以8⊙5≠5⊙8。 （2）要使a⊙b=b⊙a，由新运算的定义，有 3a+5ab+kb=3b+5ab+ka，3a+kb-3b-ka=0，3×(a-b)-k(a-b)=0，(3-k)(a-b)=0。 对于两个任意数a，b，要使上式成立，必有3-k=0，即k=3。 当新运算是a⊙b=3a+5ab+3b时，具有交换律，即 a⊙b=b⊙a。 例3 对两个自然数a和b，它们的最小公倍数与最大公约数的差，定义为a☆b，即a☆b=[a，b]-（a，b）。 比如，10和14的最小公倍数是70，最大公约数是2，那么10☆14=70-2=68。 （1）求12☆21的值； （2）已知6☆x=27，求x的值。 分析与解：（1）12☆21=[12，21]-（12，21）=84-3=81； （2）因为定义的新运算“☆”没有四则运算表达式，所以不能直接把数代入表达式求x，只能用推理的方法。 因为6☆x=[6，x]-（6，x）=27，而6与x的最大公约数（6，x）只能是1，2，3，6。所以6与x的最小公倍数[6，x]只能是28，29，30，33。这四个数中只有 30是 6的倍数，所以 6与x的最小公倍数和最大公约数分别是30和3。因为a×b=[a，b]×（a，b），所以6×x=30×3，由此求得x=15。 例4 a表示顺时针旋转90°，b表示顺时针旋转180°，c表示逆时针旋转90°，d表示不转。定义运算“◎”表示“接着做”。求：a◎b；b◎c；c◎a。 分析与解： a◎b表示先顺时针转90°，再顺时针转180°，等于顺时针转270°，也等于逆时针转90°，所以a◎b=c。 b◎c表示先顺时针转180°，再逆时针转90°，等于顺时针转90°，所以b◎c=a。 c◎a表示先逆时针转90°，再顺时针转90°，等于没转动，所以c◎a=d。 对于a，b，c，d四种运动，可以做一个关于“◎”的运算表（见下表）。比如c◎b，由c所在的行和b所在的列，交叉处a就是c◎b的结果。因为运算◎符合交换律，所以由c所在的列和b所在的行也可得到相同的结果。 例5 对任意的数a，b，定义：f（a）=2a+1，g（b）=b×b。 （1）求f（5）-g（3）的值； （2）求f（g（2））+g（f（2））的值； （3）已知f（x+1）=21，求x的值。 解：（1）f（5）-g（3）=（2×5+1）-（3×3）=2； （2）f（g（2））+g（f（2）） =f（2×2）+g（2×2+1） =f（4）+g（5）=（2×4+1）+（5×5）=34； （3）f（x+1）=2×（x+1）+1=2x+3，由f（x+1）=21，知2x+3=21，解得x=9。 练习2 2.定义两种运算“※”和“△”如下： a※b表示a，b两数中较小的数的3倍，a△b表示a，b两数中较大的数的2.5倍。 比如：4※5=4×3=12，4△5=5×2.5=12.5。 计算：[(0.6※0.5)+(0.3△0.8)]÷[(1.2※0.7)-(0.64△0.2)]。 4.设m，n是任意的自然数，A是常数，定义运算m⊙n=（A×m-n）÷4，并且2⊙3=0.75。试确定常数A，并计算：（5⊙7）×（2⊙2）÷（3⊙2）。5.用a，b，c表示一个等边三角形围绕它的中心在同一平面内所作的旋转运动： a表示顺时针旋转240°，b表示顺时针旋转120°，c表示不旋转。 运算“∨”表示“接着做”。试以a，b，c为运算对象做运算表。 6.对任意两个不同的自然数a和b，较大的数除以较小的数，余数记为a73=1，529=4，4 20=0。 b。比如 （1）计算：19982000，（519）19，5（195）； （2）已知11x=4，x小于20，求x的值。 7.对于任意的自然数a，b，定义：f（a）=a×a-1，g（b）=b÷2+1。 （1）求f（g（6））-g（f（3））的值； （2）已知f（g（x））=8，求x的值。第五篇：5第1讲 定义新运算教师用
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