提公因式分解因式教案

第一篇：提公因式分解因式教案

因式分解教案

(提公因式一)

执教 许小明

二零一二年三月三日

●课

题

§2.2.1 提公因式法

（一）●教学目标

（一）教学知识点

让学生了解多项式公因式的意义，初步会用提公因式法分解因式.（二）能力训练要求

通过找公因式，培养学生的观察能力.（三）情感与价值观要求

在用提公因式法分解因式时，先让学生自己找公因式，然后大家讨论结果的正确性，让学生养成独立思考的习惯，同时培养学生的合作交流意识，还能使学生初步感到因式分解在简化计算中将会起到很大的作用.●教学重点

能观察出多项式的公因式，并根据分配律把公因式提出来.●教学难点

让学生识别多项式的公因式.●教学过程

公因式：多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。怎样确定多项式的公因式？公因式与多项式的各项有什么关系？

怎样正确多项式各项的公因式？系数：

1、公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；字母：

2、字母取多项式各项中都含有的相同的字母；指数：

3、相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂；注：多项式各项的公因式可以是单项式，也可以是多项式。例: 找3x2y2–6xy3的公因式。因为系数：最大公约数3字母：相同字母xy2指数：最低次幂所以，3x2-6x 的公因式是3x 提公因式法-分解因式如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。例1 把9x2–6xy+3xz 分解因式.解：9x2–6 x y + 3x z3x-3x·2y + 3x·z =3x·=3x(3x-2y+z)方法步骤：①找出—公因式；②提出—公因式，（用多项式中每一项除以公因式得提取后的另一个因式）

例2小颖解的有误吗？把8 a 3b2 –12ab 3 c+ ab分解因式.解：8 a3b2 –12ab3c+ ab= ab·8a2b-ab·12b2c +ab·1= ab(8a2b-12b2c)当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是1。错误例3 把-24x3–12x2+28x 分解因式.解：-24x3–12x2+28x=-(24x3+12x2-28x)=-(4x.6x2+4x.3x-4x.7)2 +3x-7)-4x(6x=当多项式第一项系数是负数，通常先提出“-”号，使括号内第一项系数变为正数，注意括号内各项都要变号。提公因式法分解因式正确的找出多项式各项的公因式。注意：1 多项式是几项，提公因式后也剩几项。2 当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后该项剩余1（不能漏写1)。3 当多项式第一项系数是负数，通常先提出“-”号，使括号内第一项系数变为正数，注意括号内各项都要变号。练习把下列各式分解因式：25x-53 x3-3x2 –9x 8a 2c+ 2b c -4a 3b3+ 6 a2b-2ab-2x2 –12xy2 +8xy3

想一想：法分解因式乘多项式有什么关系？提公因式法与单项式乘多项是互为逆运算关系.思考题

1、分解因式计算(-2)101+(-2)1002、利用简便方法计算：4.3x199.8+0.76x1998-1.9x199.83、已知a+b=3, ab=2,求代数式a2b + 2 a2b2 +a b2 的值。

4、把9am+1–21 am+7a m-1分解因式.小结

1、确定公因式的方法：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数。（2）字母取多项式各项中都含有的相同的字母。（3）相同字母的指数取各项中最小的一个，即最低次幂

2、提公因式法分解因式：两步：第一步，找出公因式；第二步，提公因式,即用多项式除以公因式.1.2.3.

第二篇：提公因式法分解因式的教学设计

提公因式法分解因式的教学设计

教学目标

（一）知识认知要求

进一步让学生掌握用提公因式法分解因式的方法.（二）能力训练要求

进一步培养学生的观察能力和类比推理能力.（三）情感与价值观要求

通过观察能合理地进行分解因式的推导，并能清晰地阐述自己的观点.教学重点

能观察出公因式是多项式的情况，并能合理地进行分解因式.教学难点

准确找出公因式，并能正确进行分解因式.教学过程

一、创设问题情境,引入新课

上节课我们学习了用提公因式法分解因式，知道了一个多项式可以分解为一个单项式与一个多项式的积的形式，那么是不是所有的多项式分解以后都是同样的结果呢？本节课我们就来揭开这个谜.二、新课讲解

［例2］把a（x－3）+2b（x－3）分解因式.分析：这个多项式整体而言可分为两大项，即a（x－3）与2b（x－3），每项中都含有（x－3）,因此可以把（x－3）作为公因式提出来.解：a（x－3）+2b（x－3）=（x－3）（a+2b）

从分解因式的结果来看，是不是一个单项式与一个多项式的乘积呢？ ［例3］把下列各式分解因式:（1）a（x－y）+b（y－x）;（2）6（m－n）3－12（n－m）2.分析：虽然a（x－y）与b（y－x）看上去没有公因式，但仔细观察可以看出（x－y）与（y－x）是互为相反数，如果把其中一个提取一个“－”号，则可以出现公因式，如y－x=－（x－y）.（m－n）3与（n－m）2也是如此.解：（1）a（x－y）+b（y－x）=a（x－y）－b（x－y）=（x－y）（a－b）

（2）6（m－n）3－12（n－m）2 =6（m－n）3－12［－（m－n）］2 =6（m－n）3－12（m－n）2 =6（m－n）2（m－n－2）.二、做一做

请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“－”号，使等式成立（1）2－a=__________（a－2）;（2）y－x=__________（x－y）;（3）b+a=__________（a+b）;（4）（b－a）2=__________（a－b）2;（5）－m－n=__________－（m+n）;（6）－s2+t2=__________（s2－t2）.解：（1）2－a=－（a－2）;（2）y－x=－（x－y）;（3）b+a=+（a+b）;（4）（b－a）2=+（a－b）2;

:（5）－m－n=－（m+n）;

三、课堂练习

1.把下列各式分解因式：（1）x（a+b）+y（a+b）（2）3a（x－y）－（x－y）（3）6（p+q）2－12（q+p）（4）a（m－2）+b（2－m）（5）2（y－x）+3（x－y）（6）mn（m－n）－m（n－m）2.补充练习：把下列各式分解因式（1）5（x－y）3+10（y－x）2（2）m（a－b）－n（b－a）

（3）m（m－n）（p－q）－n（n－m）（p－q）（4）（b－a）2+a（a－b）+b（b－a）

四.课时小结

本节课进一步学习了用提公因式法分解因式，公因式可以是单项式，也可以是多项式，要认真观察多项式的结构特点，从而能准确熟练地进行多项式的分解因式.五、课后作业（略）六.活动与探究

把（a+b－c）（a－b+c）+（b－a+c）·（b－a－c）分解因式.解：原式=（a+b－c）（a－b+c）－（b－a+c）（a－b+c）=（a－b+c）［（a+b－c）－（b－a+c）］ =（a－b+c）（a+b－c－b+a－c）=（a－b+c）（2a－2c）=2（a－b+c）（a－c）

教学反思：

《数学课程标准》提出学生是学习数学的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者，本节课以开放式的课堂形式组织教学，让学生进行合作学习，共同操作与探索，共同探究、解决问题．在教学中能注意充分调动学生的学习积极性、主动性，坚持做到以人为本，以学生为先，立足于让学生先看、先想、先说、先练，根据自己的体验，用自己的思维方式，通过实验、思考、合作、交流学好知识．

第三篇：提公因式教案

提公因式法教学设计

——李芸领

教学目标：

1、使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念及其与整式乘法的区别和联系。

2、使学生理解提公因式法并能熟练地运用提公因式法分解因式。

3、通过学生自行探求解题途径，培养学生观察、分析和创新能力，深化学生逆向思维能力。

教学重点：

因式分解的概念及提公因式法。

教学难点：

正确找出多项式各项的公因式及分解因式与整式乘法的区别和联系。

教学过程设计：

一、复习提问

乘法对加法的分配律。

二、新课

1．新课引入：用类比的方法引入课题。

在学习分数时，我们常常要进行约分与通分，因此常常要把一个数分解因数(即分解约数)。例如，把15分解成3×5，把42分解成2×3×7。

前面，我们学习的整式除法，除式都是单项式，如果除式是多项式该如何进行运算呢？这就要求我们能将除式和被除式进行分解，然后进行约分，就象分数约分一样。这样就引出了“怎样将一个多项式写成几个单项式或多项式的积的形式”这样一个问题，这就是我们今天将要学习的“因式分解”。所以，因式分解是继续学生整式运算的需要，是一个工具，我们一定要把这个工具先准备好，将来才能更好地学习后续知识。那么，到底要怎样进行因式分解呢？在前面我们学习了整式的乘法，几个整式相乘的结果可能是一个多项式，那么一个多项式如何化成几个整式乘积的形式呢？下面我们就开始这一章知识的学习。

2．因式分解的概念：

请学生每人写出一个单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘的例子，并计算出其结果。(老师按学生所说在黑板写出几个。)如：m(a+b+c)＝ma+mb+mc 2xy(x-2xy+1)=2x2y-4x2y2+2xy(a+b)(a-b)＝a2-b2(a+b)(m+n)＝am+an+bm+bn(x-5)(2-x)＝-x2+7x-10 等等。

再请学生观察它们有什么共同的特点？ 特点：左边：整式×整式；右边：是多项式。可见，整式乘以整式，只要有一个因式是多项式，其结果就是多项式。下面，我们把上面的式子反过来写： ma+mb+mc＝ m(a+b+c)2x2y-4x2y2+2xy ＝2xy(x-2xy+1)a2-b2 ＝(a+b)(a-b)am+an+bm+bn ＝(a+b)(m+n)-x2+7x-10＝(x-5)(2-x)上面这些式子，从形式上看，就是把多项式变形为了一些整式的乘积的形式，我们就把这种多项式的变形叫做因式分解。

定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。

从以上情况，我们发现，因式分解与整式是一个互逆的过程： 如：因式分解：ma+mb+mc＝m(a+b+c)。整式乘法：m(a+b+c)＝ma+mb+mc。

让学生说出因式分解与整式乘法的联系与区别。联系：同样是由几个相同的整式组成的等式。

区别：这几个相同的整式所在的位置不同，上式是因式分解；下式是整式乘法．两者是方向相反的恒等变形，二者是一个式子的不同表现形式，一个是多项式的表现形式，一个是两个或几个因式积的表现形式．

例

1、下列各式从左到右哪些是因式分解？(1)x2-x＝x(x-1)(√)(2)a(a-b)＝a2-ab(×)(3)(a+3)(a-3)＝a2-9(×)(4)a2-2a+1＝a(a-2)+1(×)(5)x2-4x+4＝(x-2)2(√)

因式分解的方法有很多，下面我们学习一种常见的，也是最基本的因式分解方法。

3．提公因式法：

我们看多项式：ma+mb+mc 请学生指出它的特点：各项都含有一个公共的因式m，这时我们把因式m叫做这个多项式各项的公因式．

注意：公因式是各项都含有的公共的因式． 又如：a是多项式a2-a各项的公因式． ab是多项式5a2b-ab2各项的公因式．

2mn是多项式4m2np-2mn2q各项的公因式． 根据乘法的分配律，可得 m(a+b+c)＝ma+mb+mc，逆变形，便得到多项式ma+mb+mc的因式分解形式 ma+mb+mc＝m(a+b+c)．

这说明，多项式ma+mb+mc各项都含有的公因式可以提到括号外面，将多项式ma+mb+mc写成m(a+b+c)的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

定义：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

显然，由定义可知，提公因式法的关键是如何正确地寻找公因式。让学生观察上面的公因式的特点，找出确定公因式的万法：

(1)公因式的系数应取各项系数的最大公约数：

(2)字母取各项的相同字母，而且各字母的指数取小次数。例

2、指出下列各多项式中各项的公因式：(1)ax+ay+a

(a)(2)3mx-6mx(3mx)(3)4a2+10ah

(2a)(4)x2y+xy2

(xy)(5)12xyz-9x2y2

(3xy)

例

3、把8a3b2-12ab3c分解因式。

分析：分两步：第一步，找出公因式；第二步，提公因式。先引导学生按确定公因式的方法找出多项式的公因式4ab2。解：8a3b2-12ab3c=4ab2·2a2-4ab2·3bc=4ab2(2a2-3bc)． 说明：

(1)应特别强调确定公因式的两个条件以免漏取。

(2)开始讲提公因式法时，最好把公因式单独写出。①以显提醒；②强调提公因式；③强调因式分解。

例

4、把3x2-6xy+x 分解因式．

分析：先引导学生找出公因式x，强调多项式中x=x·1． 解：3x2-6xy+x =x·3x-x·6y+x·1 ＝x(3x-6y+1)说明：当多项式的某一项恰好是公因式时，这项应看成它与1的乘积，提公因式后剩下的应是1，1作为项的系数通常可以省略，但如果单独成一项时，它在因式分解时不能漏掉，这类题常常有些学生犯下面的错误，3x2-6xy+x=x(3x-6y)，这一点可让学生利用恒等变形分析错误原因．还应提醒学生注意：提公因式后的因式的项数应与原多项式的项数一样，这样可以检查是否漏项。课堂练习一：

把下列各式分解因式：(l)2πR+2πr；(2)3x3+6x2；(3)21a2+7a；(4)15a2+25ab2；(5)x2y+xy2-xy．

例

5、把-4m3+16m2-26m分解因式．

分析：此多项式第一项的系数是负数，与前面两例不同，应先把它转化为前面的情形便可以因式分解了，所以应先提负号转化，然后再提公因式，提“－”号时，注意添括号法则。解：-4m3+16m2-26m ＝-(4m3-16m2+26m)＝-2m(2m2-8m+13)． 说明：通过此例可以看出应用提公因式法分解因式时，应先观察第一项系数的正负，负号时，运用添括号法则提出负号，此时一定要把每一项都变号；然后再提公因式。课堂练习二：

把下列各式分解因式：(1)-15ax-20a；(2)-25x8+125x16；(3)-a3b2+a2b3；(4)-x3y3-x2y2-xy；(5)-3ma3+6ma2-12ma；

三、小结

1．因式分解的意义及其概念

2．因式分解与整式乘法的联系与区别 3．公因式及提公因式法

4．提公因式法因式分解中应注意的问题

四、作业

教材 P．167中 1；P．170中习题15.4中的第1题。

五、板书设计 标题

1、因式分解定义

4、例题

2、公因式定义

5、小结

3、提公因式法

6、作业

第四篇：提公因式教案

因式分解教案

(提公因式二)

执教 许小明

二零一二年三月三日

●课

题

§2.2.2 提公因式法

（二）●教学目标

（一）教学知识点

进一步让学生掌握用提公因式法分解因式的方法.（二）能力训练要求

进一步培养学生的观察能力和类比推理能力.（三）情感与价值观要求

通过观察能合理地进行分解因式的推导，并能清晰地阐述自己的观点.●教学重点

能观察出公因式是多项式的情况，并能合理地进行分解因式.●教学难点

准确找出公因式，并能正确进行分解因式.●教学过程

提公因式法

（二）公因式是多项式形式，怎样运用提公因式法分解因式？

在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“－”号，使等式成立：2 =___(b-a)2;(1)(a-b)=___(b-a);(2)(a-b)+－3;(4)(a-b)4 =___(b-a)4;－(3)(a-b)3 =___(b-a)+5;(6)(a+b)6 =___(b+a)6.(5)(a+b)5 =___(b+a)++•••••••2.(8)(a+b)2 =___(-a-b)+(7)(a+b)=___(-b-a);-做一做p50 填空

由此可知规律：(1)a-b 与-a+b互为相反数.(a-b)n=(b-a)n(n是偶数）(a-b)n=-(b-a)n(n是奇数）a+b与-a-b 互为相反数.(-a-b)n=(a+b)n(n是偶数）(-a-b)n=-(a+b)n(n是奇数）(2)a+b与b+a(a+b)n=(b+a)n互为相同数,(n是整数）

练习一1.在下列各式右边括号前添上适当的符号,使左边与右边相等.(1)a+2 = ___(2+a)+(2)-x+2y = ___(2y-x)+2(3)(m-a)2 = ___(a-m)+3-(4)(a-b)3 = ___(-a+b)(5)(x+y)(x-2y)= ___(y+x)(2y-x)-2.判断下列各式是否正确?(1)(y-x)2 =-(x-y)2否(2)(3+2x)3 =-(2x+3)3否(3)a-2b =-(-2b+a)(4)-a+b=-(a+b)否否(5)(a-b)(x-2y)=(b-a)(2y-x)对

例1.把a(x-3)+2b(x-3)分解因式.分析：多项式可看成a(x-3)与2b(x-3)两项。公因式为x-3解：a(x-3)+2b(x-3)＝（ｘ－３）（ａ＋２ｂ）例2.把a(x-y)+b(y-x)分解因式.分析：多项式可看成a(x-y)与+b(y-x)两项。其中X-y与y-x互为相反数，可将+b(y-x)变为-b(x-y)，则a(x-y)与-b(x-y)公因式为x-y解：a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)＝（ｘ－y）（ａ-ｂ）例3.把6(m-n)3-12(n-m)2分解因式.分析：其中(m-n)与(n-m)互为相反数.可将-12(n-m)2变为-12(m-n)2，则6(m-n)3与-12(m-n)2公因式为6(m-n)2解：6(m-n)3-12(n-m)2= 6(m-n)3-12(m-n)2＝6(m-n)2(m-n-2)例4.把6(x+y)(y-x)2-9(x-y)3分解因式.解：6(x+y)(y-x)2-9(x-y)3= 6(x+y)(x-y)2-9(x-y)3= 3(x-y)2[2(x+y)-3(x-y)]= 3(x-y)2(2x+2y-3x+3y)= 3(x-y)2(-x+5y)=3(x-y)2(5y-x)

练习二分解因式：(1)a(xy)b(yx)(2)5x(a-b)2+10y(b-a)2(3)6(mn)12(nm)32(4)a(a+b)(a-b)-a(a+b)2(5)mn(m+n)-m(n+m)2(6)2(a-3)2-a+3(7)a(x-a)+b(a-x)-c(x-a)小结两个只有符号不同的多项式是否有关系,有如下判断方法:(1)当相同字母前的符号相同时,则两个多项式相等.如: a-b 和-b+a即a-b =-b+a(2)当相同字母前的符号均相反时,则两个多项式互为相反数.如: a-b 和b-a 即a-b =-（a-b）

第五篇：提公因式法教案

15.4

15.4.1因式分解提公因式法

教学目标：

1、了解因式分解的意义，了解因式分解和整式乘法是整式的两种相反方向的变形。

2、会确定多项式中各项的公因式，会用提取公因式法分解

多项式的因式。

3、会利用因式分解进行简便计算。

4、通过与质因数分解的类比，让学生感悟数学中数与式的共同点，体验数学的类比思想；通过对公因式是多项式时的因式分解的学习，培养换元的意识。

教学重难点

教学重点：因式分解的概念及提取公因式法。

教学难点：多项式中公因式的确定和当公因式是多项式时的因式分解。

教学准备：多媒体课件。

教学设计：

（一）新课引入：

1、问题：把15和18分解质因数。

2、回忆：运用所学知识填空

(3)2ab(a2

反之：(1)x2(2)x2-1=

(3)2a³b+2ab²

观察以下式子的特点：

（1）15=3×5

（2）18=2×3²

（3）X²+X=X(X+1)

（4）X²-1=(X+1)(X-1)

（5）2a³b+2ab²+2ab=2ab(a²+b+1)

由分解质因数类比到分解因式。

（二）新知学习：

1、分解因式的概念，与整式乘法的关系。

巩固概念：判断下列各式从左到右哪些是因式分解？

(1)m(a+b)=ma+mb

（2）2a+4=2(a+2)

（3）4a2-6ab2+2a=2a(2a-3b2+1)

（4）a2-2a+1=a(a-2)+1

（5）yyy10(10)100xxx22、确定公因式。

问题：ma+mb+mc 这个多项式有什么特征？ 引入公因式

概念。

例1:找出6x³y5-3x²y4的公因式

归纳找公因式的办法。

课堂练习一：找出下列各多项式中的公因式填在后面括号内。

（1）3mx-6nx2（）

（2）x4y3+x3y4（）

（3）12x2yz-9x2y2（）

（4）5a2-15a3+25a（）

3、用提公因式法分解因式。

m(a+b+c)＝ma+mb+mc 可得ma+mb+mc＝m(a+b+c)，观察构成乘积的两个因式分别是怎样形成的？

m是这个多项式的公因式，而另一个因式是原多项式除以公因式所得的商式。像这种分解因式的方法叫做提公因式法。

想一想：提公因式法的理论依据是什么?

4、知识运用：

例2：把8a3b2+12ab3c分解因式

解：（略）.例3：把－24x³－12x²＋28x分解因式。

解：（略）

判断下列各式分解因式是否正确？如果不对，请加以改正。

（1）2a2+4a+2=2(a2+2a)

(2)3x2y3－6xy2z=3xy(xy2－2yz)

课堂练习二：把下列各式分解因式。

(1)x2+x6(2)12xyz-9x2y2

(3)-6x2-18xy+3x(4)2an+2-4an+1-6an-

1例4：把3a(b+c)-3(b+c)分解因式

判断正误：我班一位同学在昨天预习了提公因式法分解因式后做了两道练习题，请你帮他检查一下他的解题过程是否正确。如不正确，应怎样改正。

(1)2x(x+y)2-(x+y)3

解：原式=(x+y)2[2x-(x+y)]

=(x+y)2(2x-x-y)

(2)（y+2)(y+1)-3(y+2)

解：原式=(y+2)(y+1-3)

=(y+2)(y-2)

=y2-4

课堂练习三：将下列各式分解因式。

(1)p(a2+b2)-q(a2+b2)

(2)2a²(y-z)2-4a(z-y)2

例5：先分解因式，再求值。

4a2（x+7）-3（x+7），其中a=-5,x=3.解（略）

5、拓展与提高：

（1）、20112+2011能被2012整除吗？

（2）、已知2x-y=8,xy=2,求多项式2x4y3-x3y4的值。

（3）、利用因式分解进行计算：23.1×24-46.2×7

（4）、将2a(a+b-c)-3b(a+b-c)+5c(c-a-b)分解因式。

9796229998

（5）、计算：

课堂小结：

⑴什么叫因式分解？

⑵确定公因式的方法：

⑶提公因式法分解因式的步骤： ⑷提公因式法分解因式的步骤： 课后作业：课本P170习题15.4 : 题

课后反思：

第1题;第4题的(1);第6