钉子板上的多边形教案（共五篇）

第一篇：钉子板上的多边形教案

钉子板上的多边形

教学目标：

1.经历画图、填表、分析数据、探索规律的过程，发现皮克公式。

2.初步感悟通过固定某些变量的值来探求其余变量的变化规律的科学思维方法。

3.获取由简单到复杂的探究问题的方法和经验。

4.能类比迁移探求问题的方法，尝试拓展研究同类新问题。教学重点：

发现、得出多边形的面积与边上钉子数和多边形中间钉子数之间的规律 教学难点：

类比推导出一般规律 教学准备：

作业纸，多媒体课件 教学过程：

一、激趣生疑，直观感知

1、呈现一个钉子板上的多边形

说明：每相邻的四个钉子构成一个正方形，边长是1，面积是1个面积单位。提问：这个图形有几个面积单位？你是怎么知道的？ 组织交流：（1）、面积公式计算；（2）、分割数方格

2、启发：你能再围一个面积和刚才不一样的多边形吗？在围过程中想一想多边形的面积可能跟什么有关呢？

学生动手围一围，同桌相互说一说怎样求出面积的。

3、追问：跟哪里的钉子数有关？

4、揭题：面积与钉子数之间是否存在一定的规律呢？我们这节课就来研究钉子板上的多边形面积与钉子数之间的关系。提问：想一想，我们可以怎样来研究？ 提出猜想——验证猜想——概括结论

二、简单入手，探究多边形内有一枚钉子的情况

1、个例发现，形成猜想

出示：一组钉子板上的多边形。提问：每个多边形各有多少个面积单位？边上的钉子数各有多少枚？先数一数、算一算，把结果填入表中，再和同桌说说你的发现。

生独立计数，完成表格 出示资源： 提问：（1）校对结果

（2）你有什么发现？

全班交流：（1）多边形边上的钉子数越多，面积越大

（2）多边形的面积等于多边形边上钉子数的一半

如果用S表示面积单位的个数，n表示多边形边上的钉子数，你能用字母表达式表示这一发现吗？动手写一写。

2、举例验证，明确前提

引导：由刚才这四个图形，有了这样的发现，这一发现是否也适用于钉子板上的其他图形呢？我们还要举例验证。

要求：在钉子板上画一些多边形，验证刚才的发现。并列呈现学生资源，引导观察。

（1）符合规律（2）不符合规律

提问：看来刚才的发现并不适合钉子板上的所有图形，到底怎样的图形才具有这样的规律呢？，它们有什么共同的特点？仔细观察，把你的发现说给同桌听听。

指名交流：多边形中间只有一枚钉子

3、归纳概括，形成结论

总结：看来要使这一发现成立，还要加个前提，谁能把这个规律完整的说一说？

同桌互相说一说，再指名交流。

当多边形里面只有1枚钉子时，多边形的面积等于多边形边上钉子数的一半。

如果把多边形里面的钉子数用a来表示，完善字母表达式。总结：看来钉子板上的多边形的面积不仅跟多边形边上的钉子数有关，还跟多边形里面的钉子数有关。

正因为面积和两个量都有关系，所以我们研究是时候先确定一个量（里面的钉子数）

三、运用结构，探究多边形内有多枚钉子的情况

1、探究形内有2枚钉子的情况

形内只有1枚钉子的情况已经研究了，往下我们应该研究？

当形内有2枚钉子时会有怎样的规律呢？同学们也像刚才那样画一些形内只有2枚钉子的多边形，老师这里也提供一些，算一算，数一数，多边形有几个面积单位？多边形边上的钉子数有几枚？把结果填入表中，再与同桌说说你的发现。

过程指导：也像刚才那样，把钉子数除以2，再跟面积进行比较。看看有什么规律。

如果用字母表达式来表示这一规律应该怎么写？ 学生独立探究，发现规律 个别交流：当多边形内有2枚钉子时，多边形的面积等于多边形边上的钉子数÷2＋1 同桌互说规律 学生独立完成

板书：当a=2时，S= n÷2＋1

2、推想形内有2枚以上钉子的情况

提问：比较这两个规律，你觉得a=3、4时会有怎样的规律? 如果你能直接推想出规律，那就写出你的猜想，然后举例验证，如果不能，那也像刚才那样先画出图形内有3枚钉子的多边形，再数一数、算一算，看看有什么规律。左边同学研究a=3的情况，右边同学研究a=4的情况。

分工合作，推想规律 个别交流规律

当a=3时，S=n÷2＋2 当a=4时，S=n÷2＋3

3、归纳推理，形成一般公式

像这样推想下去，当a=m时，s=？ 学生独立完成 个别交流：

当a=m时，s=n÷2＋m－1 同学们：今天我们通过对形内有1枚、2枚、3枚、4枚钉子数的的多边形的研究，发现多边形的面积单位个数与钉子数之间的关系，并归纳推理出一般公式，当a=m时，s=n÷2＋m－1，这一公式对于形内有5、6…甚至更多钉子时是否成立，我们还需举例验证，下节课我们就来验证这一规律。板书设计：

钉子板上的多边形

当多边形内只有1枚钉子时，多边形面积单位的个数等于多边形边上的钉子数÷2 当a=1时，S=n÷2

当a=2时，S=n÷2＋1 当a=3时，S=n÷2＋2 当a=m时，s=n÷2＋m－1

第二篇：钉子板上的多边形教案

基地数学学科《钉子板上的多边形》教学设计

溧阳市平桥小学

潘红星

教学目标：

1.经历画图、填表、分析数据、探索规律的过程，让学生自主发现钉子板上的钉子数与面积之间的关系。

2.初步感悟通过固定某些变量的值来探求其余变量的变化规律的科学思维方法。3.培养学生获取由简单到复杂的探究问题的方法和经验。教学过程：

一、认识钉子板

同学们，大屏幕上的是什么？今天我们要学习与钉子板有关的数学知识，老师没有带钉子板，怎么办，有没有替代品。

讲述：钉子板上的多边形是用橡皮筋围的，今天我们就用画的形式表示好吗？

二、揭题

1.今天我们学习的数学内容是什么？ 生：钉子板上的多边形 师板书：钉子板上的多边形

师：你觉得我们今天会研究多边形的什么数学问题呢？ 生：面积、周长……

2.师：今天我们就学习多边形的面积，想一想，今天学习的多边形面积还可能和什么有关系？ 生：钉子板

师补充：钉子板上的钉子，你觉得会有什么样的关系呢？ 生：钉子越多，面积越大

师：这只是你的猜想，要想得到证明，我们还要进行操作是吗？ 师：我们从简单的图形学起 师：说一说上面图形的面积各是多少 说一说你是用什么方法的呢？

根据学生的回答板书：算 说一说你是用什么方法的 根据学生的回答板书：数

3.师提问：刚才我们说多边形的面积可能和什么有关系啊？ 生：钉子数

4.多媒体出示：多边形边上的钉子数 一起读一读，我们要数什么 5.一起和老师数，师点生数 6.你发现了什么？

生：钉子数÷2＝面积

…… 让3－4名学生说一说。

师：很难说，如果我们用字母表示就简单多了。

用s表示多边形的面积，用n表示多边形边上的钉子数你会表示吗？ 学生根据自己的理解得到S＝N÷2

三、引发矛盾

师：刚才我们的图上是不是还有4幅图形啊，我们一起来验证一下好吗？ 师：你有什么想要说的

师：现在我们从不同中找相同，回头再看看前面4幅图，你有什么发现？ 生：中间只有一枚钉子 师：点一点

师：你觉得刚才我们的这句话应该怎么说才更合适呢？ 生：当中间只有一枚钉子时，师：如果中间钉子数用字母ａ表示，这个公式应该怎么表示。

四、反思与小结

师：刚才我们研究了什么，你能不能用一句话说一说。生：多边形的面积等于多边形边上的钉子数除以2。

五、迁移研究

师：接下来，我们应该研究什么了，生：A＝2 师出示：两幅图，你还记得刚才的数据吗？说一说

师：现在拿出你的钉子板纸，在上面画一个中间有两枚钉子的多边形，并写出他的面积与边上的钉子数。生演示并汇报，师填写

师：你有什么发现，在小组里和大家说一说。指名说一说你的发现

师：刚才我们又研究了什么，你能不能用一句话说给大家听一听。研究A＝3 师：你觉得接下来我们要研究什么了。在你的钉子板上画一画，小组里完成表格。迁移知识：如果A＝4、5…..当A＝0的时候呢？

学生利用学习研究单分别研究出A＝2、3、4、5等多边形的面积与边上钉子数的关系。

师：象这样的研究我们还可以继续，如果你有兴趣的话，老师推荐你一本书有两个人。

出示两个关于这一数学现象研究的数学家。六：全课小结

这节课，我们一起研究了什么？能不能把你的发现和大家说一说。

第三篇：钉子板上的多边形 教学设计

钉子板上的多边形

教学内容：五年级上册p108-109探索规律“钉子板上的多边形” 教学目标：

1、使学生探索并发现钉子板上围城的多边形的面积，与围城的多边形边上的钉子 数、多边形内部钉子数之间的关系，并尝试用字母式子表示关系。

2、使学生经历探索钉子板上围城的多边形面积与相关钉子数间的关系的过程，体 会规律的复杂性和全面性，体会归纳思维，体会用字母表示关系的简洁性，发展 观察、比较、推理、综合和抽象、概括等思维能力。

3、使学生获得探索规律成功的体验，树立学习数学的自信心，感受数学规律的奇 妙，对数学产生好奇心，提高学习数学的兴趣和积极性。

教学重点：探索钉子板上多边形的面积与多边形边上钉子数、内部钉子数之间的关系 教学难点：综合、归纳多边形的面积与多边形边上钉子数、内部钉子数之间的关系 教学过程：

课前活动:每个小组里发一个钉子板实物。并激发他们在钉子板上围多边形。玩出精彩！有一位数学家就在小小的钉子板上玩出了精彩。皮克定理是世界上的最重要的100个数学定理之一。今天我们也走进钉子板的世界去看一看。

一：创设情境，引出问题

今天我们研究————钉子板上的多边形（出示课题）

师：为了研究的方便，我们通常用这样的点阵图代替钉子板。每相邻两个钉子之间的距离都是1cm，相邻4个点围成一个面积是1cm²。你们看现在点阵图上的点子可以怎么分分类？

边上的钉子，图形内的钉子、图形外的钉子

出示课件：钉子板上的多边形，共3个不同的多边形。问题1：你想研究钉子板上的多边形的哪些项目呢？

生：多边形的面积、面积的大小和什么有关？······

问题2：你猜想下，钉子板上的多边形的面积会有什么因素有关？

生：钉子数、多边形边上的钉子数、多边形内的钉子数······

师小结：这些多边形的面积是否和以上的各个因素有关呢？下面我们就来研究下这些图形。

二：自主研究，得出猜想

问题1：你想怎样研究？

生：画图、计算、数······

师：很好，下面我们就来研究影响多边形面积的因素，我们从最简单的一组图形开始。

研究1：独立完成“钉子板上的多边形”研究单1

1、学生通过算一算、数一数，完成研究单1；

2、师展示学生的研究单，说一说你的研究过程；——学生自己介绍表格中数据的由来。

3、观察分析表格中的数据，你有什么发现？

——同桌互相说一说

——个别的汇报

4、通常我们用S表示面积，n表示多边形边上的钉子数，你能用一个式子表示上面得到的关系吗？

——S=n÷2

小结：根据学生的研究和汇报，初步得出多边形的面积等于多边形边上的钉子数除以2.三、质疑验证，归纳结论

S=n÷2这个规律是否对钉子板上所有的多边形都成立呢？应该怎么办？————验证

1、完成研究单1上面的第二题的①②两个，并填表。

2、出示课件上⑦⑧两个图形，再次验证。

3、通过两次的验证，你有什么发现？——发现S=n÷2在其它的多边形中不成立。

4、思考：为什么呢？

引导学生再次观察①②③④四个图形，你有什么发现？同桌互相说一说，再个 别发表看法。————得出：①②③④四个多边形内部都只有一个点。

5、再次验证：每位学生再提供的备用点子图上画一个内部只有一个点的多边形，计算并观察多边形的面积和边上的钉子数是否符合S=n÷2？

6、谁能完整的把刚才的规律说一说？

小结：多边形的面积不仅仅和边上的钉子数有关，还和多边形内的钉子数有关。多边形内的钉子数用a表示，上面的规律可以归纳为：

当a=1时，S=n÷2 数学中的一些美丽定理具有这样的特性：它们极易从事实中归纳出来，但证明却隐藏的极深。----高斯

四、合作探究，得出规律

引入：多边形内有一枚钉子的情况，同学们已经研究过了，而且找出了一般规律，那下面你们想研究什么呢？——————多边形内有2枚钉子的时候，面积和钉子数的关系。

合作交流,完成研究单1的第二题。

1、首先独立画一个内部两个点的多边形，得出S和n；

2、同桌交流，完善表格。

3、观察表格中的S与n的 值，再互相说一说，你有什么发现？

4、个别同学汇报发现，其他同学根据自己的图形验证发现是否正确。

小结：多边形的面积不仅仅和边上的钉子数有关，还和多边形内的钉子数有关。多边形内的钉子数用a表示，上面的规律可以归纳为：

当a=2时，S=n÷2+1

五、推想、验证，得出规律

引入：当a=1时，S=n÷2 当a=2时，S=n÷2+1 猜想：当a=3、4、5······时，S与n之间有什么关系呢？

学生猜想：当a=3时，S=n÷2+2 当a=4时，S=n÷2+3 学生验证：分组研究，分成4人小组

1、组内确定研究主题：a=3或者a=4.2、三人每人分别画一个，并且得出S与n的值，第四个人汇总并汇报小组的研究成果。

3、观察比较分析，研究的结果和猜想的结论是否一致？

小 结： 根据刚才同学们的研究，我们得到了这些规律

当a=1时，S=n÷2 当a=2时，S=n÷2+1 当a=3时，S=n÷2+2 当a=4时，S=n÷2+3

请你说一说

当a=5时，S=

······

当a=10时，S=

·······

问题：你能用一个含有S、n、a的式子概括出以上所有的规律吗？

——————

S=n÷2+a-1

六：拓展研究，形成体系

出示：钉子板上的多边形实物图形，观察这些多边形有什么特点？

——内部的钉子数为0.即a=0

问题：当a=0时，上面的规律还成立吗？你是怎么想的？说一说你的想法和结论。

七：总结收获，形成方法。

说明：我们今天研究的规律，就是数学上著名的皮克定理（适当介绍）。有兴趣的同学，可以在网络上或书籍里了解皮克定理。如果有进一步认识的要求，那记住这本书：闵酮鹤的著作《格点和面积》，以后有兴趣、有条件了，可以去阅读。

回顾过程，交流体会。

提问：回顾刚才探索和发现规律的过程，你有什么体会和收获？ 追问：还有什么疑问吗？

小结：今天我们一起研究了钉子板上多边形面积与钉子数之间的关系。在研究的过程中，我们从简单情形入手，通过画一画、数一数、算一算等方法，经历观察、比较、猜想、验证等活动，发现了规律。从上面的过程中我们发现，要从各种不同情况的多边形中研究，要善于发现不同多边形中的共同点，比如形状、大小不同的多边形中都有几个钉；发现的不同关系式中的共同规律等。在探索规律时，一定要注意认真观察、反复比较，举例验证。表示数学规律一般用含有字母的式子，它具有简洁、明了、易记的特点。

第四篇：钉子板上的多边形面积说课稿

《钉子板上的多边形》说课稿 横板桥镇中心小学 廖为火

一、说教学内容：

苏教版（新版）五年级上册第8单元108-109探索规律“钉子板上的多边形”

二、说教学目标：

1、使学生探索并发现钉子板上围城的多边形的面积，与围城的多边形边上的钉子数、多边形内部钉子数之间的关系，并尝试用字母式子表示关系。

2、使学生经历探索钉子板上围城的多边形面积与相关钉子数间的关系的过程，体会规律的复杂性和全面性，体会归纳思维，体会用字母表示关系的简洁性，发展观察、比较、推理、综合和抽象、概括等思维能力。

3、使学生获得探索规律成功的体验，树立学习数学的自信心，感受数学规律的奇妙，对数学产生好奇心，提高学习数学的兴趣和积极性。

三、说教学重点难点：

探索钉子板上多边形的面积与多边形边上钉子数、内部钉子数之间的关系

综合、归纳多边形的面积与多边形边上钉子数、内部钉子数之间的关系

四、说教学过程：

一、问题引入，揭示课题

1.设疑激趣。

PPT出示点子板上围成的多边形，提出问题：不准分割你能迅速计算出下列方格图中每个多边形的面积吗（说明：这里的每个格子面积1cm²的正方形）？

在学生学习了常见多边形面积计算后，咋一看以为用常规方法能解答以上问题，但仔细一看题目要求，这些图形的面积计算就比较困难，这样就激发起学生强烈的求知欲。此时教师提出：用数格点的方法可以解决。此时学生脑里想的是：格点是什么？怎么数？与图形面积有什么关系？带着这一系列疑问，我出示第二组图形（图1-图3）

2.引入课题。

谈话：钉子板上多边形的面积与哪里的钉子数有关，有怎样的关系呢？我们这节课就来研究这个问题，看看到底有怎样的关系。

二、分层探索，发现规律

（一）引导尝试，初步感知。

1.引导学生观察 图1-图3。

引导：请大家观察PPT上面的多边形，按上面要求数一数，在教材第108页的表格里填一填。

（1）数一数或算一算每个多边形的面积各是多少平方厘米；

（2）数一数每个多边形上的钉子各有多少枚；

（3）想一想多边形的面积和边上的钉子数有怎样的关系。

2.学生交流，完成第108页的表格。

3.观察数据，比较发现。

引导：你能看出这些多边形的面积和边上钉子数的关系吗？同桌先说一说。

交流：你发现这里的多边形面积和边上的钉子数有什么关系？（板书：多边形的面积=多边形上的钉子数÷2）

说明：为了更简洁、方便地表示出这个规律，我们可以用字母来表示。如果用n表示多边形上的钉子数，用S表示多边形的面积，那上面发现的这个规律可以怎样表示？

教师确认、说明字母表示的关系式，PPT出示：

S=n÷2 4.观察比较，反思质疑。

（二）继续研究，拓展认识。

1.提出问题，引发思考。PPT出示图4-图6：

引导：如果多边形内部都有2枚钉子，多边形面积与它边上的钉子数又有什么关系呢？现在请大家自己在方格纸中画图，数一数、比一比，看看有没有规律。

2.小组合作，探究规律。

引导：现在请你们四人小组合作，按照下面的办法研究多边形的面积。

出示活动要求：

（1）每人在方格纸中画一个内部有2枚钉子的多边形，数出边上的钉子数，算出它的面积；

（2）每人把获得的数据在小组内交流，并记录在课本第109页的表格里；

（3）观察表格中的数据，小组讨论交流：你有什么发现？

学生操作、填表、比较、思考，教师巡视。

3.交流引导，发现规律。

PPT 出示图4-图6及表格，指名学生交流结果，在表格里呈现。

引导：我们刚才已经知道，这里的面积不等于n÷2，但和n÷2 有点什么关系吗？同桌互相讨论，看看有什么发现。

提问：通过数据比较，你有什么发现？

小结：通过这里的多边形的比较，可以发现，当多边形内部钉子数a=2时，面积S=n÷2+1。（板书：a=2 S=n÷2+1）

追问：检查你画的内部有2个钉子的多边形，面积符合这个规律吗？如果不符合，把你的例子在全班交流。

指出：现在没有学生提出反例，所以的都符合这里的规律。从大家的图形和数据可以发现，当多边形内部有2个钉子时，也就是a=2时，S=n÷2+1。

（三）引导猜想，概括规律。

1.引发学生猜想。

提问：上面发现图形内部钉子数a=1时，S=n÷2；a=2时，S=n÷2+1。你能联系这里的规律，猜一猜，如果多边形内部有3枚钉子，它的面积与边上钉子数又有怎样的关系呢？先想一想，再告诉大家你的猜想。

交流：你猜想的规律是怎样的？（板书：a=3 S=n÷2+2 ？）怎样想的？

2.画图举例，验证猜想。

让学生在点子图上画出图形，验证上面的猜想。

交流：你画出的是怎样的图形，验证的结果有什么结论？（指名学生呈现图形验证结论）

PPT出示图7-图9，引导学生完成表格。

确认：当多边形内钉子数是3时，面积S就等于n÷2+2。

追问：现在我们又有什么发现？

3.拓展延伸，揭示规律。

引导学生观察关系式：a=1 S=n÷2

a=2 S=n÷2+1

a=3 S=n÷2+2

引导：你觉得如果a=4，会有什么规律？a=5呢？

那你能任选一个a等于几，画一画、算一算来验证吗？自己画图验证。指名学生交流，呈现不同例子的图形用数据验证，并板书关系式。

提问：你现在能发现钉子板上多边形面积的规律了吗？

指出：如果用a表示多边形内部的钉子数，n表示多边形边上的钉子数，那么，多边形的面积S就等于边上的钉子数n除以2，再加上内部的钉子数a，然后减1。（板书：S=n÷2+a-1）

验证：请大家用这个规律解决本课开始的问题。PPT返回到本课 最早的三个多边形图，用上面的公式迅速计算，体验成功的快乐。

(四).适当介绍，拓展视野。PPT

说明：我们今天研究的规律，就是数学上著名的皮克定理（一个计算点阵中顶点在格点上的多边形面积公式：S=a+b÷2-1，其中a表示多边形内部的点数，b表示多边形边界上的点数，s表示多边形的面积）。有兴趣的同学，可以在网络上或书籍里了解皮克定理。如果有进一步认识的要求，那记住这本书：闵酮鹤的著作《格点和面积》，以后有兴趣、有条件了，可以去阅读。

第五篇：“钉子板上的多边形”教学设计与评析

“钉子板上的多边形”教学设计与评析

【教学内容】

苏教版义务教育数学教科书五年级上册第108-109页及相应习题 一、谈话引入，产生问题

1．出示钉子板。

同学们，知道我们今天要学习什么吗？（出示钉子板）钉子板大家都见过吗？看，这就是一个钉子板。在钉子板上可以围出各种各样的多边形。谁来试着围一个？（指名上台操作）

为了研究方便，我们可以把钉子板简化一下，用这样点子图来代替钉子板（出示点子图），而且规定两个点子之间的距离是1厘米，这样一个小方格的面积就是——1平方厘米。在这个点子图上，老师任意地围了几个多边形，大家一起来看一看。

2．引出问题。

观察这些多边形，你觉得我们可以研究什么呢？

预设：

①可以研究钉子板上多边形的面积（板书：多边形的面积）；

②可以研究钉子板上多边形的周长。

今天我们主要研究钉子板上多边形的面积。再来看一看这些多边形，它们的面积一样吗？（不一样）。你觉得钉子板上多边形的面积可能和什么有关系？

引导学生发现多边形的面积可能和图形内部的钉子数有关，也可能和图形边上的钉子数有关。（板书：内部钉子数，边上钉子数）

二、尝试研究，形成思路

看来大家都认为，钉子板上多边形的面积可能跟它内部的钉子数有关系，也可能跟边上的钉子数有关系。那它们之间存在怎样的关系？这个问题有点复杂。遇到复杂的问题，我们不妨从简单的情况开始研究。

（1）出示：

这个多边形的面积是多少？（4平方厘米）内部的钉子数呢？（1个）边上的钉子数呢？（8个）我们一起数一数（演示数边上钉子数）。

如果把这个多边形改变一下，就能得了一个新的多边形。

（2）出示：

现在多边形的面积是多少？（3平方厘米）内部的钉子数呢？（0个）边上的钉子数呢？（还是8个）如果再改变一下图形呢？

（3）出示：

这个多边形的面积是多少？（4平方厘米）给大家指一指你是怎么算的？内部的钉子数呢？（2个）边上的钉子数呢？（6个）

引导：观察上面的数据，能看出多边形的面积与边上的钉子数和内部钉子数之间的关系吗？同时要考虑三个数量的变化比较复杂，有没有什么好办法？

预设：

①可以让其中的一个数量不变，另外两个数量变化一下，看看有没有规律。

②可以先把内部钉子数固定不变，改变多边形面积，看边上钉子数有没有变。

三、自主合作，探索交流

1．探索“内部钉子数为1”的情况。

讲述：是啊！三个数量都变化，关系太复杂了，我们可以先把其中一个数量控制住。这样，我们先研究内部钉子数是1的情况，可以吗？也就是，我们要研究当多边形的内部钉子数是1时，多边形的面积和多边形边上的钉子数之间的关系。这个问题你会研究吗？你准备怎样研究呢？谁来给大家读一读研究提示。

出示研究步骤：

为了方便研究，老师为每个小组准备了一张研究单。下面大家开始研究吧！

学生分组进行合作探究，教师巡视指导后交流。

预设：

①我们小组画了3个不同多边形，内部钉子数都是1，我们发现多边形的面积是边长钉子数的一半。

②我们发现多边形边上的钉子数是面积的2倍。边上的钉子数除以2就是多边形的面积。

提问：怎样用算式表示多边形的面积与边上钉子数之间的关系？（用字母式表示是S=n÷2。）

总结：通过研究，我们发现多边形的面积与边上钉子数之间的关系。这个关系用表示就是S=n÷2。这里S代表什么？n呢？S=n÷2是什么意思？

2．探索“内部钉子数为2”的情况。

讲述：通过刚才的研究我们发现，这里S=n÷2是有一个前提的，那就是当内部钉子数就是1的时候。如果内部钉子数是2呢？又会是什么情况呢？下面请大家拿出探究学习单，我们2人一组再来探索一下。

学生同桌合作探究，教师巡视指导后交流。

预设：

①小组画了3个多边形。我们发现，多边形的面积是边上的钉子数除以2再加1，用字母表示就是S=

n÷2+1。

②我们发现：多边形边上钉子数加2的和再除以2等于多边形的面积。用字母表示是S=(n+2)÷2。

比较指出：其实第2个式子只要简化一下，与第一个式子是一样的。

3．举例验证。

刚刚我们画出的多边形各不相同，不管是内部钉子数为1或者2，为什么每次都是同一个关系式表示呢？经过了刚才我们初步的探索和实验，初步得出了关系式，也就是初步形成了猜想。那么，有了猜想，我们还需要干什么？（验证）我们可以怎样来验证呢？（可以再画几个图形，看是不是符合上面的规律）。

学生分别选择一种情况，再任意画一个图形，验证一下，看是否符合如下两个规律：①当内部钉子数是1时，多边形的面积就是S=n÷2；②当内部钉子数是2时，面积就是S=n÷2+1。

学生独立进行举例验证，教师巡视反馈。

总结：通过全班同学的举例验证，我们发现大家画的多边形都符合上面的规律，看来这里规律是正确的。在数学研究就是这样的一方面要进行大胆的假设，同时，也需要小心的验证。

四、归纳总结，揭示规律

刚刚我们研究了钉子板上的多边形面积与钉子数之间的内在规律，已经知道内部钉子数为1和2这两个情况，如果内部钉子数为3呢？你认为多边形的面积可以怎么计算呢？（S=n÷2+2）内部钉子数是4呢？(S=n÷2+3)如果图形内部没有钉子呢？（S=n÷2-1）

同学都进行了大胆地猜想，当然我们也可以举例验证。还记得老师之前任意画的几个多边形，其中就有一个图形中间没有钉子，我们一起来看看。我们一起来验证一下它符号我们猜想的规律吗？

出示：

指出：12÷2-1=5。看来，这个图形也是符合规律。

提问：刚刚通过研究，我们发现了钉子板上多边形存在好多的规律。你能把这些规律概括一下，变成一条规律吗？（我们用字母S表示多边形面积，n表示图形边上的钉子数，ａ表示图形内部的钉子数。）

总结：看来大家都认为，可以用S=n÷2+a-1表示，这个公式是什么意思呢？其实，这个公式早在1899年就被奥地利数学家皮克发现了。一起来了解一下。

出示：

五、回顾总结、应用提升

1．解决问题。

你能用上面的公式计算出刚刚老师任意画的几个多边形的面积吗？

出示：

用一个公式计算简单吗？有了这个公式，计算钉子板上多边形的面积就容易多了！课后感兴趣的同学还可以钉子板多画几个多边形，去考考你的同学或家长。

2．回顾小结。

今天，我们一起探索了钉子板上多边形。回顾探索与发现规律的过程，你有什么体会？

“钉子板上的多边形”一课是苏教版数学义务教育教科书五年级上册“探索规律”内容。这是一次研究平面图形面积的活动，安排在形成了面积概念、掌握了常用面积单位、能计算简单图形面积的基础上进行的。这也是一次既有趣又有挑战性的活动，在钉子板上围图形、数钉子的枚数、算图形的面积，这些都是学生喜欢做、能够做的事情，他们会乐意参与这次活动。然而，钉子板上围出来的图形大多数不是规则图形，也不是简单图形，求它们的面积没有现成的方法可以使用，得出图形的面积比较难。而且，这次活动要探索围成的图形面积与图形边上的钉子数、内部钉子数之间的关系，还要用含有字母的式子表达这种关系，有相当的难度。但也正是这些“趣”与“难”，有助于体现活动的教育价值，培养学生探索精神和数学思维能力。

赵兆兵老师设计执教的这节课，很好地处理了“趣”与“难”之间的关系，体现了其本源性教学的特色追求。本课主要有以下三个方面的教学特色：

01从简单出发，向本质迈进。

“钉子板上的多边形”是修订后的苏教版教材新增加的内容，属于探索给定情境中隐含的规律和变化趋势。在钉子板上用线围图形，围成的平面图形一定是多边形，顶点一定是钉子板的钉子。每个小正方形都表示1平方厘米，围成图形的面积是几平方厘米能够数出来或者算出来。围成的多边形边上有几枚钉子，与图形的面积是否有关，如果有关，是什么关系，这些都是要探索的规律。

赵老师在教学过程中，从简单的规则图形出发，进而逐步演变为不规则图形，从不规则图形再转变为规则图形；从内部钉子数1出发，到内部钉子数是2的，再到内部钉子数3、4、0的……，由浅入深；从简单的列举开始，到规律猜想和规律表达，进而抽象为字母表达规律。这样的教学设计，层层递进，丝丝入扣，从规律直观感知到规律抽象表达，从初步规律寻找到规律原因探寻，逐步走向规律本质，有效地培养了学生的探索意识。

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TITLE02从直观出发，用模型表达。

大数学家华罗庚曾经说过：“数无形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事非。”本课虽然探寻的是图形规律，但是图形面积需要测算，图形面积与钉子数量之间的关系需要表达，因此形离不开数，数蕴涵于形，通过数形结合可以帮助学生完成从动作思维到形象思维的过渡，再从形象思维到抽象思维的发展。

由于“皮克定理”的基础是S=n÷2-1，赵老师采取“特殊化”的教学策略，让学生从内部有1个钉子的图形开始研究，符合学生的认知规律和数学自身发展的规律。赵老师设计的教学过程中，并没有始终停留在直观图形的钉子个数或者面积测算上，而是先让学生操作与观察，初步寻找图形面积与内部钉子个数之间的联系，进而提出假设与猜想，再举例验证。在这一探究过程中，巧妙运用数形结合的思想，以数助形，以形辅数，充分利用图形理解用边上的钉子数计算出图形的面积的算理，从而巧妙化解了教学的“难点”。尤其是在分别探索了内部钉子数不同的情况规律之后，引导学生把几个不同的计算公式进行简化，从而建立了更为一般性的数学模型。同时，适度的数学文化介绍，既深化了学生对数学知识的理解，又丰富学生的数学感受，增加了数学学习的情趣。

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TITLE03从猜想出发，以实验求证。

猜想和验证是探索规律需要着力培养与经历的重要目标与过程，而由此积累的数学活动经验又是提高学生数学素养的重要标志。数学活动经验需要在“做”的过程和“思考”的过程中积淀，是在数学学习活动过程中逐步积累的。

赵老师在教学过程中没有一味地深陷于形象的图形测算或抽象的字母公式，而是结合学生的探索与表达，抓住“猜想”和“求证”两个环节，让学生合理猜想，小心求证，并及时组织学生回顾探索发现规律的过程，交流活动的体会，分享探索的经验。这是激发数学学习兴趣和积累数学活动经验的重要环节，也是数学课程改革以来十分重视的教学方式。赵老师主要设计了三次猜想与求证的环节：首先是在课始，让学生观察钉子板上的多边形，猜测面积与钉子数的关系，然后初步验证；其次是分别动手实验，探索内部钉子数为1、2的规律，归纳后形成猜想，并分别再次验证；而在初步发现规律后进一步猜想钉子数与面积之间的一般关系式，并继续实验求证。

让我们重温中国现代思想家胡适谈治学方法时说过一句简单扼要的话：“大胆假设，小心求证”。