《钉子板上多边形的面积》
教学目标：
1.使学生探索并初步发现钉子板上围成的多边形的面积与围成的多边形边上的钉子数、多边形内部钉子数之间的关系,并尝试用字母式子表示关系。
2.使学生经历探索钉子板上围成的多边形面积与相关钉子数之间的关系的过程,体会规律的复杂性和全面性,体会归纳思维,体会用字母表示关系的简洁性,发展观察、比较、推理、综合和抽象、概括等思维能力。
3.使学生获得探索规律成功的体验,树立学习数学的自信心,感受数学规律的奇妙,对数学产生好奇心,提高学习数学的兴趣和积极性。
教学重点：
探索钉子板上多边形的面积与多边形边上钉子数、内部钉子数之间的关系。
教学难点：
综合、归纳多边形的面积与多边形边上钉子数、内部钉子数之间的关系
教学过程：
一、激趣生疑，直观感知
出示钉子板，钉子板上围多边形大家一定还记得。老师用橡皮筋围了一个梯形，为了方便观察把它放到了点子图上，它的面积是多少？你有什么办法知道？
如果不用面积公式，也不用数方格的方法，能不能知道面积呢？
我们来做一个小游戏。请你在钉子板上任意围出一个多边形，放到大屏幕上，我背对屏幕，你只要准确回答我两个问题就行。游戏开始
想知道方法吗？请思考，钉子板上多边形的面积会和什么有关呢？
生汇报想法。
数学学习不能只停留在猜想上，到底面积和钉子数有关系吗？有怎样的关系，我们要进一步进行探究，这正是我们今天探究的课题,钉子板上多边形的面积。
二、分层探索，发现规律
1.从“a=1”开始
昨天大家已经完成了《预习单》，观察表中的数据，你有什么发现？
预设一：面积越大钉子越多。
预设二：多边形边上的钉子数是面积的2倍。
预设三：面积是多边形边上钉子数的一半。（提出用更简洁的方式来表示）
图形的面积，我们一般用什么字母表示？（S）
在这里，我们用字母n表示多边形边上的钉子数，请你用字母表示多边形边上的钉子数与面积之间的关系。（根据学生回答，板书：S=n÷2）
引导得出字母表示数的优点。
2.在“a=2”中发现
刚才我们得出预习单中多边形的面积与边上点子数的关系
S=n÷2，你有疑问吗？（引导生质疑）
生质疑:这个结论对所有钉子板上的多边形都适用吗？这位同学提的好。那到底是否适用呢？我们需要进一步进行探究，验证结论。
出示4—8图，大家一起来数出图形边上的钉子数和面积数。
结果带入原来的发现，怎么样？对，否定了原来的结论。怎么回事呢？
我们再来仔细地观察和比较变化前后的多边形，你有什么发现？
生汇报。（观察时，引导学生找到两组的不同点，还要找到相同点）
这说明多边形的面积不仅和多边形边上的钉子数有关，还与多边形内部的钉子数也有关系。刚才我们只是研究了内部钉子数为1的情况。如果用字母a表示多边形内的钉子数，那么，当a=？的情况下，S=n÷2成立？（各位小侦探这么快就找出了这个规律，真棒！掌声送给自己）
要想将面积与钉子数之间的关系查过水落石出，我们还得继续侦查，你想研究什么？（大于1的情况，很好，我们一个一个来）
当a=2时，s与n之间有怎样的关系呢？出示研究单（一）
读研究单（一）中的要求后，各小组合作学习。
小组汇报。根据汇报板书,板演不同表达的转化。
小结:尽管表达不一样，但是意思是相同的。
追问：对照检查你围的多边形，如有不符合的，把你的例子在全班交流。
指出：现在没有学生提出反例，从大家的图形和数据可以发现，当多边形内部有2个钉子时，也就是a=2时，S=n÷2+1。
3.在“a=3、a=4、a=0”中的发现
观察刚才的两个结论，有什么联系？（对，和中间的钉子数有关，加上的数比中间钉子数少1）
很多同学可能有大胆的猜想，当a=3，s=,当a=4时，s=
生齐说。
师，当多边形里一枚钉子也没有，也就是a=0时呢？（引导生猜想）
这些都是猜想，需要我们验证，让我们进入探究2，亲自验证这3个伟大的猜想吧。
展示探究单2，读要求，各小组合作学习。
小组汇报（将发现板书到黑板上）。
同意这些发现的同学请举手。掌声送给这三位同学也送给自己，其实他们写的是大家的共同发现。谢谢，请回。
三、引导猜想，概括规律
那我来考考大家a=5、6、25、100时，同学真棒，会由a=1，想到a=2、a=3、……以及a=0，会由“一点”想到“许多点”。那么当多边形内有a枚钉子呢？现在大家又把“许多点”变到“一点”得出s=n÷2+a-1的结论，它适用于哪些钉子板上的多边形？（掌声送给自己）生齐读
老师真诚的为大家喝彩，因为大家发现了有史以来最重要的100个定理之一。（播放录音：奥地利数学家皮克在1899年发现了这个规律，并进行理论证明，这个规律被称为“皮克定理”，这个定理被誉为有史以来最重要的100个定理之一）。
四、拓展应用
出示《智力冲浪A》
出示四角星和皇冠图形，从图中你知道哪些信息？哪个面积大？你是怎么知道的？生汇报（引导用不同方法汇报）。
《智力冲浪B》
出示智力冲浪B，从图中你知道哪些信息？谁说得对？你有什么想法？
五、回顾过程，交流体会。
小结：今天我们一起探究了钉子板上多边形面积与钉子数之间的关系。在研究的过程中，我们通过围一围、数一数、算一算等方法，经历观察、比较、猜想、验证等活动，发现了规律。回顾刚才探索和发现规律的过程，你有什么体会和收获？
老师寄语：从探究的过程中我们发现，1、要善于从不同的多边形中发现多边形的共同点。2、在探索规律时，一定要注意认真观察、反复比较，举例验证。3、表示数学规律一般用含有字母的式子，它具有简洁、明了、易记的特点。
六、布置作业
探究无止境
七、板书设计
钉子板上多边形的面积
当a=0时，s=n÷2-1
皮克定理
当a=1时，S=n÷2
S=n÷2+a-1
当a=2时，S=n÷2＋1
当a=3时，S=n÷2＋2
当a=4时，S=n÷2＋3
……
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