第一篇：一次函数课题学习、_选择方案__教案
19.3 课题学习选择方案
（第1课时）
一、教学目标
（1）进一步了解一次函数的解析式和图象在解决简单实际中的应用．（2）尝试解决最佳方案设计问题．建立函数模型解决实际问题.二、教学重点、难点: 重点：建立函数模型选择最佳方案． 难点:建立函数模型选择最佳方案．
三、教学过程：
活动一.方案设计: 问题1 怎样选取上网收费方式？ 如下表给出A，B，C三种上宽带网的收费方式。
选取哪种方式能节省上网费？
分析：1.哪种方式上网费是会变化的？哪种不变？ 答：A、B会变化，C不变
2.在A、B两种方式中，上网费由哪些部分组成？ 答：上网费=月使用费+超时费 3.影响超时费的变量是什么？ 答：上网时间
4.这三种方式中有一定最优惠的方式吗？ 答：没有一定最优惠的方式，与上网的时间有关。设月上网时间为x，则方式A、B的上网费y1、y2都是x的函数，要比较它们，需在 x > 0 时，考虑何时
（1）y1 = y2；（2）y1 < y2；（3）y1 > y2.上网费=月使用费+超时费
5．在方式A中，超时费一定会产生吗？什么情况下才会有超时费？ 答：超时费不是一定有的，只有在上网时间超过25h时才会产生． 当0≤x≤25时，y1=30；
当x＞25时，y1=30+0.05×60（x-25）=3x-45.合起来可写为：
30, 45.3x25)y1x(0(x＞25)6.你能自己写出方式B的上网费y2关于上网时间 x之间的函数关系式吗? 50, 100.3x50)y2x(0(x＞50)7．方式C的上网费y3关于上网时间x之间的函数关系式呢? 当x≥0时，y3=120.8.你能在同一直角坐标系中画出它们的图象吗? 解：略。
活动二.方案设计:问题2 怎样租车？
某学校计划在总费用2300元的限额内，租用汽车送234名学生和6名教师集体外出活动，每辆汽车上至少要有1名教师.现在有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如下表:(1)共需租多少辆汽车？(2)给出最节省费用的租车方案.分析:（1）从乘车人数的角度考虑租多少辆汽车条件 ①要保证240名师生有车坐，则汽车总数不能小于6辆 ②要使每辆汽车至少要有1名教师.则汽车总数不能大于6辆 ∴ 汽车总数只有6辆
（2）如果设租用 x 辆甲种客车，则租用乙种客车是（6-x）辆 根据租车费用（单位:元）是x的函数，可得y=400x+280（6-x）即 y=120x+1680 讨论:x的取值范围
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①保证240名师生有车坐则4≤x≤6 ②租车费不超2300元则0≤x＜6 ∴ x的取值范围是4 ≤x ≤5即x=4或5两种可能.为节省应选甲车4辆，乙车2辆方案.四、课堂小结：
归纳：解决含有多个变量的问题时,可以分析这些变量之间的关系,从中选取有代表性的变量作为自变量,然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数,以此作为解决问题的数学模型。
五、布置作业：
1.课堂：复习题19 第12、15题 2.家庭： 数学作业本。
——冯小龙
第二篇：一次函数课题学习、,选择方案, 教学反思
一次函数课题学习---选择方案 教学反思
各位领导老师下午好，我今天讲的这节课是人教版八年级下册第十九章一次函数的课题学习---选择方案
一、教材分析：
《怎样选择较优方案》是人教版《数学》八年级下册第19章一次函数课题学习的内容，通过分段定义函数及利用函数图象解决简单的实际问题的课题研究。本节内容是学生已经学过的一系列知识的延续与提高，比如由列代数式发展为确定一次函数解析式再发展为求分段函数；由列方程或不等次解决选优问题发展到利用一次函数及图像解决选优问题再发展到利用分段函数解决选优问题。
二、学情分析：
在本节课前学生已学习一次函数性质及其图像并经历过综合运用一次函数解决简单实际问题．特别是上一课时学生经历过两种不同方案的选择问题。这类问题解决大致有两种办法：一是建立各种方案的一次函数的解析式，直接将各个解析式作比较，化归为解一元一次不等式或方程来解。二是画各种函数的图像，求出它们的交点坐标，然后把自变量划分几个较小范围来比较各种方案的优劣，这为本节课提供了很好的知识、能力储备。
三、教学目标及重难点分析：
根据教材的内容及其在教材体系中的作用和地位，确定本节课的教学目标如下： 知识目标：进一步了解一次函数的解析式和图像在解决实际问题中的应用。能力目标：尝试用图解法解决简单实际问题。培养学生合作能力。
情感目标：体验数形结合数学思想和方法。让学生了解数学来源于生活又服务生活。为了实现以上教学目标，确定本节课的教学重点是：用图解法解决简单实际问题．本节范例涉及到分段定义函数，在这种情况下画函数的图象，并形成图解法思路有一定的难度，是本节教学难点。
四、教法选择与学法指导
我认为在教学过程中，要善于调动学生的学习积极性，让学生有很多的数学活动机会，关注学生的学习过程，结合本节课的特点，我选择了“启发式教学法、合作式教学法”。
根据教材的特点，为了更有效地突出重点，突破难点，我设计了以学生自主探究、小组合作交流为主的学习方式，启发学生进行观察、分析，让学生积极主动的参与到数学模型的建立，同时给学生充分思考与讨论时间及机会。再利用多媒体展示图片、表格等，生动直观分析问题，创设良好学习氛围，引导学生积极参与。
五．教学过程设计
上课开始直接出示问题1上网交费问题，本例题解决需要学生一定的生活经验。通过这三个
问题让学生对这三种方案有了一定感性认识。同时为本节课突破难点做好准备。为了引导学生用函数思想解决本例题我呈现如下二个问题：
1、每种方案每月付费与什么有关？
2、能否用一次函数表示每月网费与上网时间的关系？ 学生的探索可能有较大的盲目性，精心设计的“问题串”可以给学生的探索提供适当的帮助，激发学生的求知欲．
因为是学生第一次接触分段定义函数教师做好示范。A方案有教师示范，引导学生比较本题与上一节课求一次函数有什么区别。B，C方案由学生独立完成。给学生积极参与机会。
同样教师在坐标系中画出A方案图，做好示范。学生在同一直角坐标系中画出B方案图象。给学生参与例题解决机会。
师生共同完成图像后，为了引导学生利用图像分析选优问题，让学生会看图我设计如下问题。师问：
1、图中出现交点坐标代表什么意义？
2、如何求出这个交点坐标？
3、交点坐标前面部分图象表示什么意义，后面部分图象表示什么意义？ 最后师生总结：用图解法解题过程：
1、审题求出解析式。
2、画图
3、求出交点
4、根据局部图像做出较优方案结论。接着出示问题2（租车问题）
首先引导学生：租车方案就是问：租用甲种客车多少辆？乙种客车多少辆？
并请学生思考：影响费用的变量是什么？它与费用之间有什么关系？
从而让学生通过合作交流能够：明确研究的是租车费用和租用甲种客车数量之间的关系，并找到两个变量之间的函数关系式，突出教学重点（1），也渗透了建模的数学思想。
具体操作：
求范围即找到x的上限和下限，它们分别体现在题目中什么地方？（下限：240名师生都有车坐，则六辆车的座位总数大于等于240。上限：费用不超过2300元）。
然后引导学生根据分析列式求解，最终确定自变量的取值范围。
在以上环节的基础上，学生基本具备了分析确定函数最值的能力，所以直接由各小组合作完成，并展示成果，我再加以评价。
小组展示后，师生共合作。
最后总结本节课解决此类问题的方法
在本节课的教学中，一定存在着很多不足之处，恳请各位领导老师指正
第三篇：课题学习——选择方案⑴教学反思
本学期非常荣幸地被挑选参加区里青年教师讲课比赛，刚接到任务时，其实心里还是感到很大压力，除了来至比赛的压力，更是要教别人的学生，而对于他们真的是一无所知，我们之间能有默契吗？在比赛前一天我终于接到比赛的内容了，居然是一次函数最后一节的内容：课题学习——选择方案，课题学习——选择方案⑴教学反思。
走进新课堂，我不断反思自己的教学实践，做到在实践中反思，在反思后实践，新课程理念如何转化为教学行为始终让我在思考，在尝试，究竟怎样教会学生，使复杂的数学问题简单化呢？尤其是上好“课题学习”。
“数学课题学习” 我想是在老师的指导下，通过学生自主活动，以获得直接经验和培养实践能力的课程。它可以弥补数学学科实践能力的不足，加强实践环节，重视数学思维的训练，促进学生兴趣、个性、特长等自主和谐的发展，从而全面提高学生的数学素质。它提倡的是参与探索、思考、实践的学习方式，真正体现了新课程理念所倡导的自主、探究、合作交流的学习方式。
在备课组老师的热心指导和帮助下，整节课我个人感觉还是比较满意的，学生各有所获。下面就谈谈本人这堂公开课的教学反思：
一、反思本课教学过程的成功之处：
（1）本节课指导思想正确，达到了以下目的：
①巩固一次函数知识，会运用函数关系解决相关实际问题．
②会把选择方案的实际问题转化为数学模型，再通过函数统一起来使用，利用函数的解析式与图象，并结合方程，不等式来解决实际问题。
精心设计教学程序，让学生自己经历“问题情境——分析研究——建立模型——解释应用”的过程，体验数学与现实生活的联系。
（2）新课开始先利用了丰富的实际情景
（如圣诞大餐准备炸鸡翅，是直接去麦当劳6块/对，还是选择自己加工；寒假的旅行路线多家旅行社各自采取不同的打折优惠，又如何选择），引起学生的兴趣，使学生更积极地参与到教学中来，因为情境熟悉，也能快速地与学生产生共鸣，教学反思《课题学习——选择方案⑴教学反思》。创设了轻松和谐的教学环境与氛围，师生互动较好，使学生主动开动思维，利用已有的知识顺利的解决这这些选择方案的问题。
（3）而对于教学中的重点例题，注意到利用问题串的形式，将难点分散，层层递进，逐步让学生掌握选择方案的一般方法。
在讲解例题的同时，试着让学生利用图象解决问题，培养学生数形结合的思想，并提示学生注意自变量在实际情境中的取值范围问题。教学中还注意到尊重学生的个体差异，使每个学生都学有所获。
（4）最后通过巩固练习，训练了学生灵活应用函数的知识解决问题的能力。
小结中让学生体会到利用一次函数解决实际问题，关键在于建立数学函数模型。从总体看整个教学环节也比较完整。
教学时，能够达到三维目标的要求，突出重点把握难点。能够让学生经历数学知识的应用过程，关注对问题的分析过程，让学生自己利用已经具备的知识分析实例。用函数的观点处理实际问题的关键在于分析实际情境，建立函数模型，并进一步提出明确的数学问题，注意分析的过程，即将实际问题置于已有的知识背景之中，用数学知识重新理解（这是什么？可以看成什么？），让学生逐步学会用数学的眼光考察实际问题。同时，在解决问题的过程中，要充分利用函数的图象，渗透数形结合的思想。
二、反思本课教学过程的不足之处：
1．给学生自己思考的时间少了一些。
没有留有足够的时间让他们在思考后进行合作交流，若能变“知识课堂”为“生活课堂”，让他们“边参与、边应用、边体验、边评价”贯穿于整个过程之中，应该更能激发学生探究的积极性。
2．回答问题对象选择的盲目性。
在讲解例题、练习时，让学生回答，我没有课前选好对象。什么时候差生答，什么时候中等生，什么时候尖子生，应该有所选择。进而发现为什么学生这样思考，也就是发现问题的真正所在。
三、反思本课教学过给以后教学的启示：
1.“课题学习”应该强调学生的自主探索、合作交流和动手实践。
这也是数学课题学习课的精髓，因而真正让学生“动”起来是上好数学课题学习课的核心要素。因此，课前准备十分重要。它包括必要的资料查找、必要的实情调查及体验、必要的教具学具的准备、必要的相关知识准备。
2.应突出数学教学在活动中进行，即“数学+活动”。
活动中既包括操作性活动（动手），也包括观念性活动（动脑）。学生通过“做一做、议一议、读一读”等形式，在“做中学”，“学中做”，导、学、做三合一，让学生在活动中感受到学习的快乐。
3.应突出注意根据学生的个性差别，允许学生在活动中兴趣转移，以满足学生多种兴趣爱好的需求，适应每个学生不同发展的需要，让每一个学生都能“动”有所得。
4．在评析问题时,留给学生反思的时间。教给学生掌握方法，积极引导学生整理思维过程，确定解题关键，回顾解题思路，概括解题方法，使解题的过程清晰、思维条理化、精确化和概括化。鼓励学生在获取知识后反思学习过程，分析具体解答中包含的数学基本方法，从中提炼出应用范围的数学思想；在分析解题方法中引导学生分析解题方法的优劣，优化解题过程，努力寻找解决问题的最佳方案。
以上仅是我课后的一些反思，而数学“课题学习”课，是近年来我国数学新课程标准中增设的一个崭新的课题。所以我们不仅要积极钻研教材，发掘教材中的研究性课题，而且善于引导从多个方面选择研究的学习，激发并唤起学生的学习兴趣，点燃学生智慧的火花，使学生的探究能力和创新能力得到充分发展。
第四篇：《14.4课题学习选择方案》教学设计
《14．4 课题学习选择方案》教学设计
城关中学
赵新成
教学目标：
（一）教学知识点
１．巩固一次函数知识，灵活运用变量关系解决相关实际问题．
２．熟练掌握一次函数与方程，不等式关系，有机地把各种数学模型通过函数统一起来使用，提高解决实际问题的能力．
（二）能力训练要求
经历活动过程，让学生认识数学在现实生活中的意义，发展学生运用数学知识解决实际问题的能力．
（三）情感与价值观要求
１．体会数学与生活的联系，了解数学的价值，增强对数学的理解和学好数学的信心．
２．认识数学是解决实际问题的重要工具，了解数学对促进人类理性精神的作用．
教学重点
1.建立函数模型。２.灵活运用数学模型解决实际问题。
教学难点：
运用一次函数知识解决实际问题．
教学方法：
自主─合作，思考─交流．
教具准备：
多媒体演示．
教学过程：
（一）复习检查
1一次函数一般形式如何表示? 图象是什么？K和b有什么意义？你知道它的哪些性质？
2一次函数和正比例函数的联系和区别是什么?
（一）激趣导学
在前面我们学习了有关一次函数的一些知识，认识了变量间的变化情况，利用函数观点把方程（组）、不等式有机地统一起来，使我们解决实际相关问题时更方便了。通过今天的几个专题的学习，同学们可以体会到如何运用一次函数选择最佳方案，体会到数学与生活的联系非常紧密。我也想信同学们个个都是解决问题的能手，祝同学们学习快乐。
（三）所得展示
专题一
哪种灯省钱中的一次函数
小刚家盖起了一座三层楼房，现正在装修，准备安装照明灯，他和他父亲一起去灯具店买灯具，灯具店老板介绍说：一种节能灯的功率是10瓦(即0.01千瓦)的,售价60元．一种白炽灯的功率是60瓦(即0.06千瓦)的,售价为3元．两种灯的照明效果是一样的．使用寿命也相同（3000小时）。父亲说：“买白炽灯可以省钱。”而小刚正好读八年级，他在心里默算了一下说：“还是买节能灯吧”．父子二人争执不下，如果当地电费为0.5元／千瓦.时。请聪明的你帮助他们选择哪种灯可以节省费用呢？
1.设照明时间是X小时，请用含X的代数式分别表示用一盏节能灯的费用Y1（元）和一盏白炽灯的费用Y2（元）？［灯的费用=灯的售价+电费，电费=0.5×灯的功率（千瓦）×照明时间（小时）］
2.小刚想在这两种灯中选购一盏
（1）
当照明时间是多少时，使用两种灯的费用一样多？（Y1——Y2-）
（2）
当照明时间在什么范围内，选用白炽灯费用低？
（Y1——Y2-）
（3）
当照明时间在什么范围内，选用节能灯费用低？
（Y1——Y2-）
3.在同一坐标系画出两个函数图象，根据图象讨论（2）的结果。
4.小刚想在这两种灯中选购两盏
假定照明时间是3500小时，使用寿命是3000小时，请你帮他设计一种费用最低的选灯方案，并说明理由。
【变式训练】
旅游中的一次函数
学校准备去白云山春游，甲、乙两家旅行社原价都是每人60元，且都表示要优惠。甲旅行社表示全部8折收费，乙旅行社表示，全部9折收费，但同时免去2个老师的费用。
（1）请分别写出选择甲、乙两家旅行社的费用Y（元）与人数X（人）间的函数关系式，并在同一坐标系中画出两函数的图象。
（2）根据图象判断组织多少人春游选择甲旅行社合算？ 专题二 租车中的一次函数
某学校计划在总费用2300元的限额内，利用汽车送234名学生和6名教师集体外出活动，每辆汽车上至少有1名教师。现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表：
甲种客车
乙种客车
载客量（单位：人/辆）
租金
（单位：元/辆）
400
280
（1）共需租多少辆汽车？
（2）给出最节省费用的租车方案。
分析填空:题目要求（1）要保证240名师生有车坐（2）要使每辆汽车上至少要有1名教师
1.根据（1）可知，汽车总数不能小于＿＿＿＿；根据（2）可知，汽车总数不能大于＿＿＿。综合起来可知汽车总数为
＿＿＿＿＿。
2.设租用x辆甲种客车，则租车费用y（单位：元）是 x 的函数，即
y=___________________化简为： y=___________________
讨论填表:根据问题中的条件，自变量x和y 的取值应有几种可能？
甲车45/辆
乙车/30辆
总人数(240)
总费用(y≤2300)
0
为使240名师生有车坐，x不能 小于＿＿＿＿；为使租车费用不超过2300元，X不能超过＿＿＿＿。综合起来可知x 的取值为＿＿或＿＿。
在考虑问题的基础上，你能得出几种不同的租车方案？为节省费用应选择其中的哪种方案？试说明理由。
【变式训练】
环保中的一次函数
为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备，现有A、B两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量如下表：经预算,该企业购买设备资金不高于105万元。
A型
B型
价格（万元/台）
12×___台
10×___台
处理污水量（吨/月）
240
200
（1）求购买设备的资金Y万元与A型X台的函数关系，并设计该企业有几种购买方案？
（2）若企业每月的污水量为2040吨，应选择哪种购买方案既能处理完污水又能节省费用？
（四）点拨小结
方法总结
1、建立数学模型——列出两个函数关系式（设出变量，有时需要列表格）
2、通过解不等式或利用图象来确定自变量的取值范围。
3、选择出最佳方案。
课堂小结本节课你有哪些收获？
（五）基础练习
某单位要印刷一批北京奥运会宣传资料，在需要支付制版费600元和每份资料0.3元印刷费的前提下，甲、乙两个印刷厂分别提出了不同的优惠条件，甲印刷厂提出：凡印刷数量超过2000份的，超过部分的印刷费可按9折收费，乙印刷厂提出：凡印刷数量超过3000份的，超过部分印刷费可按8折收费。根据印刷数量大小，请讨论该单位到哪家印刷厂印刷资料可获得更大优惠？
（六）拓展延伸
专题三
调水中的一次函数 从A,B两水库向甲乙两地调水，其中甲地需水15万吨，乙地需水13万吨，A,B两水库各可调水14万吨，从A地到甲地50千米，到乙地30千米，从B地到甲地60千米，到乙地45千米。设计一个调运方案，使得水的调运量（单位：万吨×千米）最小
甲
乙
总计
A
x
14-x
B
15-x
x-1
C
【变式训练】
调运中的一次函数
A城有肥料200吨，B城有肥料300吨，现要把这些肥料全部运往C、D两乡。从A城往C、D两乡运肥料的费用分别为每吨20元和25元；从B城往C、D两乡运肥料的费用分别为每吨15元和24元，现C乡需要肥料240吨，D乡需要肥料260吨，怎样调运总运费最少
（七）课后反思
第五篇：一次函数教案
一、要点解读
1,知识总揽
一次函数是函数大家族中的主要成员之一,是研究两个变量和学习其它函数的基础,它的表达式简单,性质也不复杂,但在我们的日常生活中的应用却十分广泛,与其它函数的联系也十分密切,许多实际问题只要我们注意细心观察,认真分析,及时将问题转化为一次函数模型,再得用一次函数的性质即可求解.2,疑点、易错点
(1)若两个变量x、y间的关系式可以表示成y=kx+b(k≠0),则称y是x的一次函数.特别地,当b=0时,称y是x的正比例函数,就是说,正比例函数是一次函数的特例,而一次函数包含正比例函数,是正比例函数一定是一次函数,但一次函数不一定是正比例函数.如y=-x是正比例函数,也是一次函数,而y=-2x-3是一次函数,但并不是正比例函数.因此,同学们在复习时一定要注意正确理解正比例函数和一次函数的概念,注意掌握它们之间的区别和联系.(2)一次函数的图象是一条直线,它所经过的象限是由k与b决定的,所以在复习巩固一次函数的性质时可以通过函数图象来巩固,从而可以避免因k与b的符号的干扰.如,在如图中,表示一次函数y=mx+n与正比例函数y=mnx(m、n是常数且mn≠0)图象是()对于两不同函数图象共存同一坐标系问题,常假设某一图象正确而后根据字母系数所表示的实际意义来判定另一图象是否正确来解决问题.例如,假设选项B中的直线y=mx+n正确则m<0,n>0,mn<0则正比例函数y=mnx则应过第二、四象限,而实际图象则过第一、三象限,所以选项B错误.同理可得A正确.故应选A.(3)虽然一次函数的表达式简单,性质也并不复杂,且一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线,它的位置由k、b的符号确定.但是,涉及实际问题的一次函数图象与自变量的取值范围,画出来的图象不一定是直线,可能是线段或其他图形,这一点既是学习一次函数的疑点,也是难点,更是解题量的易错点.如,拖拉机开始工作时,油箱中有油40L,如果每小时耗油5L,那么工作时,油箱中的余油量Q(L)与工作时间t(h)的函数关系用图象可表示为()依题意可以得到油箱中的余油量Q(L)与工作时间t(h)的函数关系为Q=40-5t,就这个一次函数的解析式而言,它的图象是一条直线,所以不少同学就会选择A,而事实上,自变量t有一个取值范围,即0≤t≤8,所以正确的答案应该选择C.二、思想方法
复习一次函数这一章的知识一定注意数学思想方法的巩固.具体地说,一次函数的知识涉及常见的思想方法有:(1)函数思想
所谓的函数思想就是用一个表达式将两个变量表示出来其两个变量之间是一个对应的关系.确定两个变量之间的关系和列一元一次方程解应用题基本相似,即弄清题意和题目中的数量关系,找到能够表示应用题全部含义的一个相等的关系,根据这个相等的数量关系式,列出所需的代数式,从而列出两个变量之间的关系式.例1 长方形的长是20,宽是x,周长是y.写出x和y之间的关系式.简析(1)由长方形的周长公式,得y=2(x+20)=2x+40;说明 在依据题意写出两个变量之间的关系式时,会经常用到以前学到的各种公式,所以对以前常用的公式我们要熟练掌握,分析每一个公式的结构特征,做到运用自如,方可避免常见错误.(2)数形结合思想
数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系,既分析其代数含义,又揭示其几何意义,使问题的数量关系巧妙、和谐地结合起来,通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想.例2 某博物馆每周都吸引大量中外游客前来参观.如果游客过多,对馆中的珍贵文物会产生不利影响.但同时考虑到文物的修缮和保存等费用问题,还要保证一定的门票收入.因此,博物馆采取了涨浮门票价格的方法来控制参观人数.在该方法实施过程中发现:每周参观人数与票价之间存在着如图2所示的一次函数关系.在这样的情况下,如果确保每周4万元的门票收入,那么每周应限定参观人数是多少?门票价格应是多少元? 解 设每周参观人数与票价之间的一次函数关系式为y=kx+b.由题意,得 解得
所以y=-500x+12 000.而根据题意,得xy=40 000,即x(-500x+12 000)=40 000,x2-24x+80=0, 所以方程变形为(x-12)2=64,两边开平方求得x1=20,x2=4.把x1=20,x2=4分别代入y=-500x+12 000中得y1=2 000,y2=10 000.因为控制参观人数,所以取x=20,y=2 000.即每周应限制参观人数是2 000人,门票价格应是20元.说明 本题中得到方程x2-24x+80=0,虽然没有学过不会解,但通过适当变形还是可以求解的.(3)待定系数法
待定系数法是确定代数式中某项系数的数学方法.它是方程思想的具体运用.例3 为了学生的身体健康,学校课桌、凳的高度都是按一定的关系科学设计的.小明对学校所添置的一批课桌、凳进行观察研究,发现它们可以根据人的身长调节高度.于是,他测量了一套课桌、凳上相对应的四档高度,得到如下数据: 第一档 第二档 第三档 第四档
凳高x(cm)37.0 40.0 42.0 45.0 桌高y(cm)70.0 74.8 78.0 82.8(1)小明经过对数据探究,发现:桌高y是凳高x的一次函数,请你求出这个一次函数的关系式(不要求写出x的取值范围);(2)小明回家后,测量了家里的写字台和凳子,写字台的高度为77cm,凳子的高度为43.5cm,请你判断它们是否配套,说明理由.解(1)设y=kx+b(k≠0),依题意得 解得
所以这个一次函数的关系式y=1.6x+10.8;(2)当小明家写字台的高度y=77cm时,由(1)中的一次函数的关系式y=1.6x+10.8得77=1.6x+10.8,解得x=41.375<凳子的高度43.5cm,所以小明家的写字台和凳子的高度是不配套的.说明 对于(2)中的问题也可以利用凳子的高度x,求出写字台的高度y,再与77cm比较.由此,用待定系数法求一次函数的解析式的方法可归纳为:“一设二列三解四还原”.就是说,一设:设出一次函数解析式的一般形式y=kx+b(k≠0);二列:根据已知两点或已知图象上的两个点坐标列出关于k、b的二元一次方程组;三解:解这个方程组,求出k、b的值;四还原:将已求得
(4)方程思想
方程思想即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决.方程思想是最重要的一种数学思想,在数学解题中所占比重较大,综合知识强、题型广、应用技巧灵活.从例
1、例2和例3中,我们都可以看出用到了方程思想求解.三、考点解密
(所选例题均出自2006年全国部分省市中考试卷)考点1 确定自变量的取值范围
确定函数解析式中的自变量的取值范围,只需保证其函数有意义即可.例1(盐城市)函数y= 中,自变量x的取值范围是.分析 由于函数的表达式是分式型的,因此必需保证分母不等于0即可.解 要使函数y= 有意义,只需分母x-1≠0,即x≠1.说明 确定一个函数的自变量的取值范围,对于函数是整式型的可以取任何数,若是分数型,只需使分母不为0,对于从实际问题中求出的解析式必须保证使实际问题有意义.考点2 函数图象
把一个函数的自变量x与对应因变量y的值分别作为点的横坐标和纵坐标,在直角坐标系内描出它的对应点,所有这些点组成的图形叫做函数函数图象.例2(泉州市)小明所在学校离家距离为2千米,某天他放学后骑自行车回家,行驶了5分钟后,因故停留10分钟,继续骑了5分钟到家.如图1中,哪一个图象能大致描述他回家过程中离家的距离s(千米)与所用时间t(分)之间的关系()分析 依据题意,并观察分析每一个图象的特点,即可作出判断.解 依题意小明所在学校离家距离为2千米,先行驶了5分钟后,因故停留10分钟,继续骑了5分钟到家,即能大致描述他回家过程中离家的距离s(千米)与所用时间t(分)之间的关系只有D图符合,故应选D.说明 求解时要充分发挥数形结合的作用,及时从图象中捕捉求解有用的信息,并依据函数图象的概念对图象作出正确判断.考点3 判断图象经过的象限
对于一次函数y=kx+b:①当k>0,b>0时,图象在第一、二、三象限内;②当k>0,b<0时,图象在第一、三、四象限内;③当k<0,b>0时,图象在第一、二、四象限内;④当k<0,b<0时,图象在第二、三、四象限内.特别地,b=0即正比例函数y=kx有:①当k>0时,图象在第一、三象限内;②当k<0时,图象在第二、四象限内.例3(十堰市)已知直线l经过第一、二、四象限,则其解析式可以为___(写出一个即可).分析 由题意直线l经过第一、二、四象限,此时满足条件的解析式有无数个.解 经过第一、二、四象限的直线有无数条,所以本题是一道开放型问题,答案不唯一.如:y=-x+2,y=-3x+1.等等.说明 处理这种开放型的问题,只要选择一个方便而又简单的答案即可.考点4 求一次函数的表达式,确定函数值
要确定一次函数的解析式,只需找到满足k、b的两个条件即可.一般地,根据条件列出关于k、b的二元一次方程组,解出k与b的值,从而就确定了一次函数的解析式.另外,对于实际问题可妨照列方程解应用题那样,但应注意自变量的取值范围应受实际条件的制约.例4(衡阳市)为了鼓励市民节约用水,自来水公司特制定了新的用水收费标准,每月用水量,x(吨)与应付水费(元)的函数关系如图2.(1)求出当月用水量不超过5吨时,y与x之间的函数关系式;(2)某居民某月用水量为8吨,求应付的水费是多少?
分析 观察函数图象我们可以发现是一条分段图象,因此只要分0≤x≤5和x≥5求解.解(1)由图象可知:当0≤x≤5时是一段正比例函数,设y=kx,由x=5时,y=5,得5=5k,即k=1.所以0≤x≤5时,y=x.(2)当x≥5时可以看成是一条直线,设y=k1x+ b由图象可知 解得 所以当x≥5时,y=1.5x-2.5;当x=8时,y=1.5×8-2.5=9.5(元).说明 确定正比例函数的表达式需要一个独立的条件;确定一次函数的表达式需要两个独立的条件.对于在某个变化过程中,有两个变量x和y,如果给定一个x值,相应地就确定了一个y值.在处理本题的问题时,只需利用待定系数法,构造出相应的二元一次方程组求解.另外,在处理这类问题时,一定要从图形中获取信息,并把所得到的信息进行联系处理.考点5 比较大小 利用一次函数的性质可以比较函数值的大小,具体地应由k的符号决定.例5(青岛市)点P1(x1,y1),点P2(x2,y2)是一次函数y=-4x+3 图象上的两个点,且 x1
对于一次函数y=kx+b与坐标轴的两个交点坐标分别是(0,b)和(-,0),由此与坐标轴围成的三角形的面积为 =.例6(日照市)已知直线y=mx-1上有一点B(1,n),它到原点的距离是 ,则此直线与两坐标轴围成的三角形的面积为()A.B.或 C.或 D.或
分析 若能利用直线y=mx-1上有一点B(1,n),它到原点的距离是 求出n,则可以进一步求出了m,从而可以求出直线与两坐标轴围成的三角形的面积.解 因为点B(1,n)到原点的距离是 ,所以有12+ n2=10,即n=±3,则点B的坐标为(1,3)或(1,-3).分别代入y=mx-1,得m=4,或m=-2.所以直线的表达式为y=4x-1或y=-2x-1,即易求得直线与坐标轴围成的三角形的面积为 或.故应选C.说明 要求直线与两坐标轴围成的三角形的面积,只要能求出直线与坐标轴的交点坐标即可,这里的分类讨论是正确求解的关键.考点7 利用一次函数解决实际问题
利用一次函数解决实际问题可妨照列方程解应用题那样,但应注意自变量的取值范围应受实际条件的制约.例7(长沙市)我市某乡A、B两村盛产柑桔,A村有柑桔200吨,B村有柑桔300吨.现将这些柑桔运到C、D两个冷藏仓库,已知C仓库可储存240吨,D仓库可储存260吨;从A村运往C、D两处的费用分别为每吨20元和25元,从B村运往C、D两处的费用分别为每吨15元和18元.设从A村运往C仓库的柑桔重量为x吨,A,B两村运往两仓库的柑桔运输费用分别为yA元和yB元.(1)请填写下表,并求出yA、yB与x之间的函数关系式;C D 总计
A x吨 200吨
B 300吨
总计 240吨 260吨 500吨
(2)试讨论A,B两村中,哪个村的运费较少;(3)考虑到B村的经济承受能力,B村的柑桔运费不得超过4830元.在这种情况下,请问怎样调运,才能使两村运费之和最小?求出这个最小值.分析 依题意可以知道从A村运往C仓库的柑桔重量、从A村运往D仓库的柑桔重量、从B村运往C仓库的柑桔重量和从B村运往D仓库的柑桔重量,这样就可以求得yA、yB与x之间的函数关系式,进而利用不等式和一次函数的性质求解.解(1)依题意,从A村运往C仓库的柑桔重量为x吨,则从A村运往D仓库的柑桔重量应为(200-x)吨,同样从B村运往C仓库的柑桔重量为(240-x)吨,从B村运往D仓库的柑桔重量应为(300-240+x)吨,即(60+x)吨.所以表中C栏中填上(240-x)吨,D栏中人上到下依次填(200-x)吨、(60+x)吨.从而可以分别求得yA=-5x+5000(0≤x≤200),yB=3x+4680(0≤x≤200).(2)当yA=yB时,-5x+5000=3x+4680,即x=40;当yA>yB时,-5x+5000>3x+4680,即x<40;当yA 1,(衡阳市)函数y= 中自变量劣的取值范围是___.2,(攀枝花市)如图,直线y=-x+4与y轴交于点A,与直线y= x+ 交于点B,且直线y= x+ 与x轴交于点C,则△ABC的面积为___.3,(海淀区)打开某洗衣机开关,在洗涤衣服时(洗衣机内无水),洗衣机经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程,其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y(升)与时间x(分钟)之间满足某种函数关系,其函数图象大致为()4,(江西省)如图,已知直线l1经过点A(-1,0)与点B(2,3),另一条直线l2经过点B,且与x轴交于点P(m,0).(1)求直线l1的解析式;(2)若△APB的面积为3,求m的值.5,(南安市)近两年某地外向型经济发展迅速,一些着名跨国公司纷纷落户该地新区,对各类人才需求不断增加,现一公司面向社会招聘人员,其信息如下: [信息一]招聘对象:机械制造类和规划设计类人员共150名.[信息二]工资待遇:机械类人员工资为600元/月,规划设计类人员为1000元/月.设该公司招聘机械制造类和规划设计类人员分别为x人、y人.(1)用含x的代数式表示y;(2)若公司每月付给所招聘人员的工资为p元,要使本次招聘规划设计人员不少于机械制造人员的2倍,求p的取值范围.参考答案: 1,≥1;2,4;3,D; 4,(1)设直线l1的解析式为 y=kx + b,由题意,得 解得 所以,直线l1的解析式为 y=x +1.(2)当点P在点A的右侧时,AP=m-(-1)=m +1,有.解得 m=1,此时,点P的坐标为(1,0);当点P在点A的左侧时,AP=-1-m,有.解得 m =-3,此时,点P的坐标为(-3,0).综上所述,m的值为1或-3;5,(1)y=150-x.(2)根据题意,得:y≥2x,所以150-x≥2x,解得:x≤50,又x≥0,150-x≥0,即0≤x≤50,所以p=600x+1000(150-x)=-400x+150000;又因为p随x的增大而减小,并且0≤x≤50,所 以 -400×50+150000≤p≤-400×0+150000,即130000≤p≤150000
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