13.4 课题学习 最短路径问题 教学设计 教案

第一篇：13.4 课题学习 最短路径问题 教学设计 教案

教学准备

1.教学目标

1.理解并掌握平面内一条直线同侧两个点到直线上的某一点距离之和为最小值时点的位置的确定；

2.能利用轴对称平移解决实际问题中路径最短的问题；

3.通过独立思考，合作探究，培养学生运用数学知识解决实际问题的基本能力，感受学习成功的快乐。

2.教学重点/难点

教学重点

将实际问题转化成数学问题，运用轴对称平移解决生活中路 径最短的问题，确定出最短路径的方法。教学难点

探索发现“最短路径”的方案，确定最短路径的作图及说理。

3.教学用具 4.标签

教学过程

一、创设情景，引入新知。

同学们：我们已经学习过“两点的所有连线中。”和“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，”等问题，我们称他们为最短路径问题。

二、自主学习，探究新知。

1、探究问题：如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？

（I）两点在一条直线异侧：

活动1: 已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得这个点到点AB的距离和最短，即PA+PB最小。

思考：为什么这样做就能得到最短距离呢？你如何验证PA+PB最短呢？(Ⅱ)两点在一条直线同侧

活动2：如图，牧马人从地出发到一条笔直的河边L饮马，然后到地，牧马人到B河边的什么地方饮马，可是所走的路径最短？这个问题可以转化为;当点L在的什么位置时。AC与BC的和最小。

2、探究问题：造桥选址问题中的最短路径问题

活动3：如图，A和B连地在一条河的两岸，要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）

①怎样将实际问题转化为实际问题？ ②若直线重合，最短路径是什么？ ③若将直线平移开，怎样思考该问题？ ④怎样解决造桥选址问题？

作法：如图，1.将点A沿与和垂直的方向平移MN的距离到A2.连接AB交河岸与点N，在此处造桥MN，所的路程AMNB就是最短路程。

三、合作交流，感悟新知 问题：如图，点A是总局，想在公路L1上建一分局D，在公路L2上建一分局E，怎样AD+DE+EA使最小？

四、反思构造，融汇新知

五、检测展示，反馈新知

如图：C为马厩，D为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。

六、拓展延伸，深化新知

1、在一条河的同一岸上有AB两个油库，要在河边建一个码头C，怎样作图使：①AB两油库到码头C的距离相等.②AC+BC最短.2、如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返回P 处，请画出旅游船的最短路径．

七、学后反思，升华新知

第二篇：13．4 课题学习最短路径问题

13．4

课题学习

最短路径问题

能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．

利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题．

探索发现“最短路径”的方案，确定最短路径的作图及说理．

一师一优课　一课一名师(设计者：)

一、创设情景，明确目标

如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，走哪条路最近？你的理由是什么？

前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”．

二、自主学习，指向目标

自学教材第85

页至87

页，思考下列问题：

1．求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求，其依据是两点的所有连线中，线段最短．

2．求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．

3．在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择．

三、合作探究，达成目标

探索最短路径问题

活动一：相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：

从图中的A地出发，到一条笔直的河边l

饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？

精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．你能将这个问题抽象为数学问题吗？

追问1　这是一个实际问题，你打算首先做什么？答：将A，B

两地抽象为两个点，将河l

抽象为一条直线．

追问2　你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？

答：(1)从A

地出发，到河边l

饮马，然后到B

地；

(2)在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B

连接起来的两条线段的长度之和，就是从A

地到饮马地，再回到B

地的路程之和；(3)现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C

为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C

在l的什么位置时，AC

与CB的和最小(如图)．问题2：如图，点A，B

在直线l的同侧，点C

是直线上的一个动点，当点C

在l的什么位置时，AC与CB的和最小？

追问1：对于问题2，如何将点B“移”到l的另一侧B′处，满足直线l

上的任意一点C，都保持CB

与CB′的长度相等？

追问2：你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′吗？

展示点评：作法：

(1)作点B

关于直线l的对称点B′；

(2)连接AB′，与直线l

交于点C.则点C

即为所求．

问题3　你能用所学的知识证明AC

＋BC最短吗？

证明：如图，在直线l上任取一点C′(与点C

不重合)，连接AC′，BC′，B′C′.由轴对称的性质知，BC

＝B′C，BC′＝B′C′.∴

AC

＋BC＝

AC

＋B′C

＝

AB′，AC′＋BC′＝

AC′＋B′C′.在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，∴

AC

＋BC＜AC′＋BC′.即

AC

＋BC

最短.小组讨论：证明AC

＋BC

最短时，为什么要在直线l

上任取一点C′(与点C

不重合)，证明AC

＋BC

＜AC′＋BC′？这里的“C′”的作用是什么？

反思小结：运用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，然后用“两点之间线段最短”解决问题．利用三角形的三边关系，若直线l上任意一点(与点C

不重合)与A，B

两点的距离和都大于AC

＋BC，就说明AC

＋BC

最小.C′的代表的是除点C以外直线l上的任意一点．

针对训练：

1．如图，A、B是河流

同侧的两个村庄，现要在河边修一个抽水站向两村供水，问抽水站修在什么地方才能使所需的管道最短？请在图中表示出来．

答：如下图，作点B关于l的对称点B′，连接AB′交l于点P，点P即为所求．

2．如图，一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客，然后将游客送往河岸BC

上，再返回P处，请画出旅游船的最短路径．

答：作Q关于直线BC的对称点Q′，连接PQ′交BC于R，∴旅游船线路：P—Q—R—P.选址造桥问题

活动二：(造桥选址问题)如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直．)

展示点评：从A到B要走的路线是A→M→N→B，如图所示，而MN是定值，于是要使路程最短，只要AM＋BN最短即可．

第三篇：最短路径教案

13.4最短路径问题

一、教学内容：本节课的主要内容是利用轴对称研究某些最短路径问题，最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段，主要以“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有连线中，垂线段最短”为知识基础，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究。

本节课以数学史中的一个经典故事----“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间、线段最短”的问题。

二、教学目标

1、能利用轴对称解决简单的最短路径问题

2、再谈岁最短路径的过程中，体会“轴对称”的桥梁作用，感悟转化的数学思想。

三、教学重难点

重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间、线段最短”问题。难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题。

四、教学问题诊断

最短路径问题从本质上说是最值问题，作为初中学生，在此前很少涉及最值问题，解决这方面问题的数学经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的最值问题，更会感到陌生，无从下手。

解答“当点AB在直线l的同侧时，如何在l上找到点C，使AC与BC的和最小”，需要将其转化为“直线l异侧的两点，与直线l上的点的线段的和最小”的问题，为什么需要这样转化，怎样通过轴对称实现转化，一些学生会存在理解上和操作上的困难。

在证明“最短”时，需要在直线上任取一点（与所求做的点不重合），证明所连线段和大于所求作的线段和，这种思路和方法，一些学生想不到。

教学时，教师可以让学生首先思考“直线l异侧的两点，与直线l上的点的和最小”为学生搭建“脚手架”，在证明最短时，教师要适时点拨学生，让学生体会任意的作用。

五、教学过程

教师引语：现实生活中经常会有这样的生活经历，比如学校虽然为我们铺设了一些石板甬路，方便同学们的行走，但是很多时候我们却并不在这些小路上行走，这样做的目的是什么呢？（学生一起回答）如果用数学知识来解释这种行为，那就是我们曾经学习的“两点之间、线段最短”或“垂线段最短”，我们称这样的问题为最短路径问题（板书课题）现实生活中经常涉及到最短路径问题，这节课我们学习的主要任务就是最短路径问题，并用所学知识探究数学史上著名的“将军饮马问题”。

1、情境引入

相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦，有一天，有一位将军专门拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到B地，到河边什么地方饮马，可使他所走的路线全程最短？精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题。这个问题后来被称为“将军饮马问题”。

2、探究解决问题的方法

问题一：这是一个实际问题，我们首先把它抽象为数学问题，请同学们用自己的语言说明这个问题的意思。

师生活动：学生独立思考后小组交换意见，然后尝试回答，相互补充，最后达成共识，教师根据学生的回答写出问题的板书：如图，已知点A和点B在直线L的同侧，在直线L上找一点C，使AC与BC的和最小。

设计意图：让学生将实际问题抽象为数学问题，即将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”。

问题二：由上面的问题我们可以联想到下面的问题：A、B分别是直线L异侧的两点，如何在直线L上找到一点C，使AC与BC的和最小？

师生活动：学生独立思考，画图分析并尝试回答，教师补充。

问题三：对于第一个问题，如何将点B移到L的另一侧，B′处，满足直线L上的任一点C，都保持CB与CB′的长度相等？ 问题四：你能利用轴对称的知识找到符合条件的点B′吗？

师生活动：学生独立考，尝试画图，然后小组交流，学生代表汇报交流成果，师生共同补充：只要作出点B关于直线L的对称点B′，就可以满足CB=CB′,再利用问题二中的方法，连接AB′,则AB′与直线L的交点即为所求。

学生叙述，教师板书并画图，同时学生在练习本上画图。

设计意图：通过搭建台阶，为学生探究问题提供“脚手架”将同侧难以解决的问题提转化为异侧容易解决的问题，渗透转化思想。

3、推理证明“最短”

问题五：你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？

师生活动：师生共同分析，然后学生说证明过程，教师板书。

证明：在直线L上任取一点C′（与点C不重合），连接AC′,BC′,B′C′.由轴对称的性质可知，BC=B′C,BC′=B′C′.∴AC+BC=AC+ B′C=AB′, AC′+ BC′= AC′+ B′C′

在△AB′C′中，AB′＜AC′+ B′C′

∴AC+BC＜ AC′+ BC′ 即AC+BC最短。

问题六：这里任取一点C′的作用是什么？

师生活动：学生相互交流，教师适时点拨，最后达成共识：若直线L上任取一点C′与A、B两点的距离之和都大于AC+BC，则说明AC+BC最短。

设计意图：让学生进一步体会做法的正确性，提高逻辑思维能力。

问题七：回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？

师生共同总结：首先作其中一点关于直线的对称点，然后连接另一点与对称点之间的线段，通过轴对称将两条线段和转化到同一条线段上去，这条线段与直线的交点即为所求，整个过程利用了“轴对称”和“两点之间、线段最短“的知识。

设计意图：让学生在反思的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想，丰富数学活动经验。

4、巩固练习

（1）如图，一艘旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客，然后将游客送往河岸BC上，再回到P处，请画出旅游船的最短路径。

师生活动：学生分析解题思路，并相互补充，然后独立完成画图，学生代表上台讲解。基本思路分析：此题中轮船的行走路线共有三段，其中PQ是必经路段，由“两点之间，线段最短”需首先连接PQ，再将河岸BC看成一条直线，这样问题就转化为“点P、Q在直线BC同侧，如何在BC上找一点R，使PR+QR最小”。

设计意图：让学生进一步巩固解决最短路径问题的基本策略和基本方法。

（2）如图，∠XOY内有一点P，在射线OX上找出一点M，在射线OY上找出一点N，使PM+MN+NP最短．

分析：此题的出题背景就是角。本题主要利用了两点之间线段最短的性质通过轴对称图形的性质确定三角形的另两点．

分别以直线OX、OY为对称轴，作点P的对应点P1与P2，连接P1P2交OX于M，交OY于N，则PM+MN+NP最短．

5、课堂小结：教师与学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答：（1）本节课研究问题的基本过程是什么？（2）轴对称在所研究的问题中起到什么作用？

6、布置作业：《课时练》第49页1、2、3、4、5、7、8、9

第四篇：最短路径问题（将军饮马问题）教学设计

最短路径问题

——将军饮马问题及延伸

最短路径问题

教学内容解析：

本节课的主要内容是利用轴对称研究某些最短路径问题，最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段，主要以“两点之间，线段最短”“三角形两边之和大于第三边”为知识基础，有时还要借助轴对称、平移变换进行研究。

本节课以数学史中的一个经典故事----“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间、线段最短”的问题。

教学目标设置：

1、能利用轴对称解决最短路径问题。

2、在解题过程能总结出解题方法，能进行一定的延伸。

3、体会“轴对称”的桥梁作用，感悟转化的数学思想。

教学重点难点：

重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间、线段最短”问题。

难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题。

学情分析：

1、八年级学生的观察、操作、猜想能力较强，但演绎推理、归纳和运用数学意识的思想比较薄弱，自主探究和合作学习能力也需要在课堂教学中进一步引导。此年龄段的学生具有一定的探究精神和合作意识，能在一定的亲身经历和体验中获取一定的数学新知识，但在数学的说理上还不规范，集合演绎推理能力有待加强。

2、学生已经学习过

“两点之间，线段最短。”以及“垂线段最短”。以及刚刚学习的轴对称和垂直平分线的性质作为本节知识的基础。

教学条件分析:

在初次解决问题时，学生出现了多种方法，通过测量，发现利用轴对称将同侧两点转化为异侧两点求得的线段和比较短；进而利用PPT动画演示，实验验证了结论的一般性；最后通过逻辑推理证明。

教具准备：直尺、ppt

教学过程：

环

节

教师活动

学生活动

设计意图

一

复

习

引

入

1.【问题】：看到图片，回忆如何用学过的数学知识解释这个问题？

2.这样的问题，我们称为“最短路径”问题。

1、两点之间，线段最短。

2、两边之和大于第三边。

从学生已经学过的知识入手，为进一步丰富、完善知识结构做铺垫。

二

探

究

新

知

1.探究一：

【故事引入】：唐朝诗人李颀在《古从军行》中写道：“白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河．”诗中就隐含着一个有趣的数学问题，古时候有位将军，每天从军营回家，都要经过一条笔直的小河。而将军的马每天要到河边喝水，那么问题来了，问题：怎样走才能使总路程最短呢？

认真读题，仔细思考。

将实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的“点”“线”，把实际问题抽象线段和最小问题。

从异侧问题入手，由简到难，逐步深入。

二

探

究

新

知

2.探究二：

【变换情境】：后来将军把家搬到了河的对面，若还是要带马先到河边喝水，然后再回家，应该怎样走，才能使总路程最短呢？

（1）【转化】：你能将实际问题抽象为数学问题吗？

（2）【展示】：

让学生猜想，并画出图形。

巡视发现学生不同的作法（尽可能多），分别展示各小组的作法。

给予学生一定的提示。

（3）【度量】：如何才能判断哪种猜想是正确的呢？（测量一下）在几何画板中分别度量出AC,BC的长度，并计算AC+BC。让学生观察数值如何变化。并反思各自的作法是否正确。

【回答】：学生思考并回答，如何将实际问题转化为数学问题。

已知：直线L和同侧两点A、B

求作：直线L上一点C，使C满足AC+BC的值最小。

【学生展示】：

作法1：

作法2：：

作法3：

【学生反思】：第1种作法是利用“垂线段最短”，得到AC最短，利用“两点之间线段最短”，得到BC最短，但不能确定AC+BC是最短的。

第2种作法只能说明在河l上取一点，到A、B两地的距离相等，也就是AC＝BC。不能说明AC+BC最短

第3种作法应该是正确的。

学生主动探索，充分发挥学生的主动性。

展示多种方法，产生思维冲突，引发学生进一步探究的学习欲望。

二

探

究

新

知

3.解决问题

【追问】用第3种作法的同学，你们是怎样想到作点B关于直线L的对称点的？为什么要作对称点？

如果做点B关于直线L的对称点，就是把点B移到了另一侧，而且满足了BC＝BC’。其实直线L上所有点到B和B’的距离都相等。

也可是根据垂直平分线的性质，L就是线段BB’的垂直平分线，而垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。

利用轴对称将同侧线段和最短转化为异侧线段和最短问题。借助轴对称，把折线转化为线段的长来求解。

让学生进一步体会做法的正确性，提高逻辑思维能力。

让学生在反思的过程中，体会轴对称的作用，感悟转化思想，丰富数学活动经验。

（4）【推理论证】：如何证明AC+BC最短呢？

【提示】：没有比较就不会产生大小。通常我们要在直线上任另取一点C＇（与点C不重合），只要证明AC＇+BC＇〉AC+BC即可。

老师动手操作，验证结论的正确性。

（1）学生自主证明，教师纠错。

（2）师生共同分析，学生说明证明过程，教师版书。

（3）共同完成证明过程。

认真观察，思考，要想确认AC+BC最短，可以在直线l上任取一点C’（不与点C重合）

1.独立纠错

2.兵教兵

让学生进一步体会作法的正确性，提高逻辑思维能力。

通过动画演示，从特殊到一般地验证了前面的结论。

三

发

散

思

维

除了作点B关于直线l的对称点以外，还有没有别的作法？

还可以作点A关于直线l的对称点。

发散思维，培养学生一题多解的能力。

四

得

出

结

论

【问题】：我们是如何解决将军饮马问题的？

先将实际问题转化为数学问题。然后作其中一个点关于直线l的对称点，连接对称点和另一点与直线的交点就是满足最短距离的点的位置。

让学生反思刚才的探究过程。培养数学思维，和及时总结所学的知识的好习惯。

五

变式巩固

【问题】：如图，已知：P、Q是△ABC的边AB、AC上的点，你能在BC上确定一点R，使△PQR的周长最短吗？

在具体问题中实践已有模型，固化已有模型。为进一步丰富、完善知识结构做铺垫。

六

拓展提升

【问题】：如图,一位将军骑马从驻地A出发，先牵马去草地

OM吃草，再牵马去河边ON喝水，最后回到驻地A问：这位将军怎样走路程最短？

【问题】：如图，A为马厩，B为帐篷，将军某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮助确定这一天的最短路线。

七

巩

固

练

习

1.【题目】：如图，已知：

MON内两点A、B.求作：点C和点D,使得点C在OM上，点D在ON上，且AC+CD+BD+AB最短。

2.【题目】：如图，如图，OMCN是矩形的台球桌面，有黑、白两球分别位于B、A两点的位置上，试问怎样撞击白球，使白球A依次碰撞球台边OM、ON后，反弹击中黑球？

习题难度，由易到难，逐步深入。让学生进一步巩固解决最短路径问题的基本策略和基本方法。

八

课

堂

小

结

1.【问题】：本节课研究问题的基本过程是什么？

当我们遇到一个实际问题，首先，我们要将实际问题变成一个数学问题（群答），也就是抽象成一个数学模型，这样可以帮助我们进行实验观察，进而运用合情推理得到一个猜想，然后我们可以通过严谨的逻辑证明，验证猜想，从而得出结论，最后再将结论运用到实际问题里。

2.【问题】：今天我们学习了最短路径的相关问题，我们应该怎么样找到它们的最短路径呢？

先确定对称轴，找出定点的对称点。然后连接对称点与另一点确定所求位置点（连接各对称点确定所求位置点）。

我们要先将实际问题变成一个数学问题，然后观察实验，提出猜想，之后通过证明，验证猜想，从而得出结论，最后再将结论运用到实际问题里。

如何求解

培养学生总结在课题学习的基本思路。

九

课

后

拓

展

【问题】：在矩形ABCD中，在边和对角线AD、BD上有两个动点M、N,当M、N运动到何处时，BM+MN最短？

根据解题方法进行深度拓展（难度大）

第五篇：最短路径教学设计(上交)（推荐）

13．4《课题学习——最短路径问题》教学设计

玉泉二中 王卫杰

一.内容和内容解析

最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段主要以“两点之间，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为基础知识，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究.本节课利用“河边饮马地点的选择”问题，开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题.二.目标和目标解析

1.教学目标

基于以上分析，本节课我确定的教学目标是：能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变换在解决最值问题中的作用，感悟转化思想，进一步获得数学活动的经验，增强应用意识.本节课我确定的的教学重点是：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题，培养学生解决实际问题的能力.2.教学目标解析

要求学生能将实际问题中的“地点”、“河流”抽象为数学中的“点”、“线”，把实际问题抽象为数学问题；能利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题；能通过逻辑推理证明所求距离最短；在探索最短路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想.三.教学问题诊断分析

最短路径问题从本质上说是极值问题，作为八年级的学生，在此之前很少接触，解决这方面问题的经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的极值问题，更会感到陌生，无从下手.对于直线异侧的两点，如何在直线上找到一点，使这一点到这两点的距离之和最小，学生很容易想到连接这两点，所连线段与直线的交点就是所求的点.但对于直线同侧的两点，如何在直线上找到一点，使这一点到这两点的距离之和最小，一些学生会感到茫然，找不到解决问题的思路.在证明“最短”时，需要在直线上任取一点（与所求作的点不重合），证明所连线段和大于所求作的线段和，学生可能想不到，不会用.所以，本节课我确定的教学难点是：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题.教学时，教师可从“直线异侧的两点”过渡到“直线同侧的两点”，为学生搭建“脚手架”.在证明“最短”时，教师可以告诉学生，证明“最大”、“最小”这类问题，常常要另选一个量，通过与求证的那个“最大”、“最小”的量进行比较来证明.由于另取的点具有任意性，所以结论对于直线上的每一点（所求作的点除外）都成立.四.教学过程设计

1．创设问题情境

引入：（课件展示行人践踏茵茵绿草穿越草坪）师：（1）同学们，生活中你见到过这样的现象吗？（2）他为什么选择走红色路线？（3）理由是什么？ 生：集体回答.师：生活中的实际问题，都可以抽象出数学图形，并能用数学知识来解决.比如，请大家思考问题一：

（课件展示）问题1：

如图，从A地到B地有三条路可供选择，你会选择哪条路距离最短？说说你的理由.师生活动：学生回答问题，说出理由：两点之间，线段最短.【设计意图】让学生回顾“两点之间，线段最短”，同时让学生感知从实际问题抽象出数学图形，并用数学知识来解决，为引入新课作准备.师：同学们，随着生活条件的改善，暖气的使用已经在城市普及.目前，市政府决定向农村集中供暖，在施工过程中，技术人员遇到了这样一个问题，请大家思考问题二：

（课件展示）问题2：

如图，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两村供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？

教师提出要求：

（1）在导学练上先抽象出数学图形，一生上台扮演.（2）学生独立思考，怎样找到泵站的位置？

师：现在的问题就是，怎样在直线上找一点，使它到两点的距离值和最小？

师生活动：学生回答，连接AB，线段AB与l的交点即为泵站修建的位置.师生小结：对于直线异侧的两点，怎样在直线上找一点，使它到两点的距离值和最小，就是要连接这两点，所连线段与直线的交点就是所要求做的点.师：如何证明所找的点能满足距离值和最短呢？

生：在直线上任意找一点（求作的点除外），与已知两点连接，就得到一条新的路径，只需要与前一条路径进行比较即可.师：很明显，利用两点之间，线段最短，或者利用三角形中，两边之和大于第三边，均可得证.师：如果两点在直线同侧呢？怎样在直线上找一点，使它到两点的距离值和最小？

请大家思考问题三：

【设计意图】让学生进一步感受“两点之间，线段最短”，为把“同侧的两点”转化为“异侧的两点”做铺垫.2．将实际问题抽象为数学问题

（课件展示）问题3：

牧马人从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马，可使他所走的路径最短？

你能将这个问题抽象为数学问题吗？

教师提出要求：

（1）在导学练上先抽象出数学图形，一生上台扮演.（2）学生独立思考，怎样找到饮马的位置？

师：现在的问题就是，怎样在直线上找一点，使它到两点的距离值和最小？

师生活动：学生尝试回答，并相互补充，最后达成共识:（1）将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线；（2）在直线l上找到一点C，使AC与BC的和最小？

【设计意图】学生通过动手操作，在具体感知轴对称图形特征的基础上，抽象出轴对称图形的概念.3．解决数学问题

问题4：

如图，点A，B 在直线l 的同侧，怎样在直线l上找到一点C，使AC 与BC的和最小？

师生活动：学生独立思考，尝试画图，相互交流.如果学生有困难，教师可作如下提示：

（1）如果点B在点A的异侧，如何在直线l上找到一点C，使AC 与BC的和最小

（2）现在点B与点A在同侧，能否将点B移到l 的另一侧点 处，且满足直线l上的任意一点C，都能保持 ?（3）你能根据轴对称的知识，找到（2）中符合条件的点 吗？ 师生共同完成作图，如下图.作法：（1）作点B 关于直线l 的对称点B′；

（2）连接AB′，与直线l 相交于点C．则点C 即为所求.【设计意图】教师一步一步引导学生，如何将同侧的两点转化为异侧的两点，为问题的解决提供思路，渗透转化思想.4．证明AC +BC “最短”

问题5： 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？

师生活动：学生独立思考，相互交流，师生共同完成证明过程.证明：如图，在直线l 上任取一点AC′，BC′，∴ 在△∴

即AC +BC 最短．

追问1：

证明AC +BC最短时，为什么要在直线l上任取一点（与点C但不重合）？

师生活动：学生相互交流，教师适时点拨，最后达成共识：若直中，． ．，． ．，（与点C 不重合），连接由轴对称的性质知，线l上任意一点（与点C不重合）与A，B两点的距离和都大于AC +BC，就说明AC +BC最小.【设计意图】让学生体会作法的正确性，提高逻辑思维能力.追问2：

回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？

师生活动：学生回答，相互补充.【设计意图】学生在反思中，体会轴对称的桥梁作用，感悟转化思想，丰富数学活动经验.5．巩固练习

如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返回P 处，请画出旅游船的最短路径.师生活动:学生分析解题思路，独立完成画图，教师适时点拨.【设计意图】让学生进一步巩固解决最短路径问题的基本策略和基本方法.6．归纳小结

教师和学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题.（1）本节课研究问题的基本过程是什么？（2）轴对称在所研究问题中起什么作用？ 师生活动：教师引导，学生小结.【设计意图】：引导学生把握研究问题的基本策略和方法，体会轴对称在解决最短路径问题中的作用，感悟转化思想的重要价值.7．布置作业：

教科书复习题13第15题.8、课堂寄语：

（1）、你有梦想吗？（2）、你的梦想是什么？

（3）、实现你的梦想的最短路径是什么？

五、目标检测设计

某实验中学八(1)班举行文艺晚会，桌子摆成如图a所示两直排(图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？

【设计意图】考查学生解决“最短路径问题”的能力.