关于CAPM模型的总结

第一篇：关于CAPM模型的总结

关于CAPM模型的总结

资产定价理论是关于金融资产的价格决定理论，这些金融资产包括股票、债券、期货、期权等有价证券。价格决定理论在金融理论中占有重要的地位，定价理论也比较多，以股票定价为例，主要有：1.内在价值决定理论。这一理论认为，股票有其内在价值，也就是具有投资价值。分析股票的内在价值，可以采用静态分析法，从某一时点上分析股票的内在价值。一般可以用市盈率和净资产两个指标来衡量；也可以采取动态分析法。常用的是贴现模型。贴现模型认为股票的投资价值或者价格是股票在未来所产生的所有收益的现值的总和。2.证券组合理论。现代证券组合理论最先由美国经济学者Markowitz教授创立，他于1954年在美国的《金融》杂志上发表了一篇文章《投资组合选择》，提出了分散投资的思想，并用数学方法进行了论证，从而决定了现代投资理论的基础。3.资本资产定价理论（Capital Assets Pricing Model，CAPM模型）。证券组合理论虽然从理论上解决了如何构造投资组合的问题，但是这一过程相当繁杂，需要大量的计算，和一系列严格的假设条件。这样就使得这一理论在实际操作上具有一定的困难。投资者需要一种更为简单的方式来进行处理投资事宜。于是资本资产定价模型就产生了。1964年是由美国学者Sharpe提出的。这个模型仍然以证券组合理论为基础，在分析风险和收益的关系时，提出资产定价的方法和理论。目前已经为投资者广泛应用。4.套利定价模型（Arbitrage Pricing Theory，APT）。1976年由Ross提出，与CAPM模型类似，APT也讨论了证券的期望收益与风险之间的关系，但所用的假设与方法与CAPM不同。CAPM可看作是APT在某些更严格假设下的特例。APT在形式上是把CAPM的单因子模型变为一个多因子模型。

本文主要就CAPM理论进行一些探讨，从几个方面对这个重要的资产定价模型进行剖析。

一． CAPM模型介绍

Sharpe在一般经济均衡的框架下，假定所有投资者都以自变量为收益和风险的效用函数来决策，导出全市场的证券组合的收益率是有效的以及资本资产定价模型（CAPM）。

CAPM的基本假定：

①投资者根据与其收益和收益的方差来选择投资组合； ②投资者为风险回避者； ③投资期为单期；

④证券市场存在着均衡状态； ⑤投资是无限可分的，投资规模不管多少都是可行的；

⑥存在着无风险资产，投资者可以按无风险利率借入或借出无风险资产； ⑦没有交易成本和交易税；

⑧所有投资者对证券收益和风险的预期都相同； ⑨市场组合包括全部证券种类。

在上述假设条件下，可以推导出CAPM模型的具体形式：

2。E(ri)rfi(E(rm)rf)，iCov(ri,rm)/Var(rm)im/m其中E(ri)表示证券i的期望收益，E(rm)为市场组合的期望收益，rf为无风险资产的2收益，imCov(ri,rm)为证券i收益率和市场组合收益率的协方差，mVar(rm)为市场组合收益率的方差。

CAPM模型认为，在均衡条件下，投资者所期望的收益和他所面临的风险的关系可以通过资本市场线（Capital Market Line，CML）、证券市场线（Security Market Line，SML）和证券特征线（characteristic line）等公式来说明。

1、资本市场线（Capital Market Line，CML）: E(rp)rfp/m(E(rm)rf)

证券有效组合p的风险p与该组合的预期收益率E(rp)关系的表达式。

虽然资本市场线表示的是风险和收益之间的关系，但是这种关系也决定了证券的价格。因为资本市场线是证券有效组合条件下的风险与收益的均衡，如果脱离了这一均衡，则就会在资本市场线之外，形成另一种风险与收益的对应关系。这时，要么风险的报酬偏高，这类证券就会成为市场上的抢手货，造成该证券的价格上涨，投资于该证券的报酬最终会降低下来。要么会造成风险的报酬偏低，这类证券在市场上就会成为市场上投资者大量抛售的目标，造成该证券的价格下跌，投资于该证券的报酬最终会提高。经过一段时间后，所有证券的风险和收益最终会落到资本市场线上来，达到均衡状态。

资本市场线是把有效组合作为一个整体来加以研究的。那么单个证券的风险和收益水平是怎样的？证券市场线对此做出了说明。

2、证券市场线（Security Market Line，SML）：

E(ri)rfi(E(rm)rf)证券i与市场组合m的协方差风险i与该证券的预期收益率E(rm)关系的表达式。证券市场线也可以用另一种方式来说明。对证券市场线的公式进行变换后，就会用一个指标来表示证券的风险。实际上，这个系数是表示了某只证券相对于市场组合的风险度量。对这个特别作如下的说明：

（1）由于无风险资产与有效组合的协方差一定为零，则任何无风险资产的值也一定为零。同时任何值为零的资产的期望回报率也一定为零。

（2）如果某种风险证券的协方差与有效组合的方差相等，值为1，则该资产的期望回报率一定等于市场有效组合的期望回报率，即这种风险资产可以获得有效组合的平均回报率。

（3）值高时，投资于该证券所获得的预期收益率就越高；值低时，投资于该证券所获得的预期收益率就越低。

实际上，证券市场线表明了这样一个事实，即投资者的回报与投资者面临的风险成正比关系。正说明了：世上没有免费的午餐。

3、证券特征线（characteristic line）

E(ri)rfi(E(rm)rf)

证券的超额预期收益率与市场超额预期收益率之间关系的表达式。

CAPM模型给出了单个资产的价格与其总风险各个组成部分之间的关系，单个资产的总风险可以分为两部分，一部分是因为市场组合m收益变动而使资产i收益发生的变动，即i值，这是系统风险；另一部分，即剩余风险被称为非系统风险。单个资产的价格只与该资产的系统风险大小有关，而与其非系统风险的大小无关。

以上简单介绍了CAPM模型，下面将从几个方面详细的推导CAPM模型，并且探讨模型背后的含义，最后给出一些CAPM模型的检验及实证结果。

二． CAPM模型的推导

CAPM模型的导出有多种方法，下面简要的介绍几种常见的推导方法： 1． 由Markowitz证券组合选择理论推出CAPM模型：

Markowitz证券组合选择理论研究的是这样一个问题：一个投资者同时在许多种证券上投资，如何选择各种证券的投资比例，使得投资收益最大，风险最小。在这个问题上，Markowitz的巨大贡献在于他将收益和风险这两个模糊的经济学概念明确的表示为具体的数学概念。将证券的收益率看做一个随机变量，收益就定义为这个随机变量的数学期望，风险定义为这个随机变量的标准差。那么证券组合选择问题就归结为一个数学问题：选择什么样的证券投资比例使得随机变量的期望最大，标准差最小。

这样，Markowitz的问题（均值-方差证券组合选择问题）就表示为：

minwVw2pTi,j1Vwwijinjs.twTew1w2wn1 pwTw11w22wnn这里，V(Vij)i,j1,2,n(Cov(ri,rj))i,j1,2,Tn，V表示ri与rj之间的协方差矩阵，V是正定的，即对任何w0，有wVw0，这就排除了这n种证券中存在无风险证券的情况。

Markowitz证券组合选择理论的基本结论就是：在证券允许卖空的情况下，组合前沿是一条双曲线的一支；在证券不允许卖空的情况下，组合前沿是若干段双曲线段的拼接。组合前沿的上半部称为有效前沿，对于有效前沿来说，不存在收益和风险两方面都由于它的证券组合。

若证券组合中包含无风险证券，那么，假设除上述n种证券外，另外还有第0种证券为无风险证券，并且它的无风险利率为常随机变量rf。于是组合将定义为满足：w0w1w2从而： w1的w0，w1，w2n记pwrwn，wnn，0fw11w22prfw1(1rf)w2(2rf)2Twn(nrf)wT(rf)

组合的方差显然仍为pwVw。那么，在含有无风险证券的情况下的Markowitz问题变为

minwVwVijwiwj 2pTi,j1ns.tprfwT(rf)w1(1rf)w2(2rf)wn(nrf)

形式上比不含有无风险证券的Markowitz问题少了一个约束条件，这是个二次规划问题，用Lagrange乘子法求得其解： L(w,)wTVw(wT(rf)(prf))

L(w,)2Vw(rf)wTL(w,)(prf)w(rf)

其解ww 满足的充要条件为：由此可解得：w(prf(rf)TV1(rf)T)V1(rf)；

wVw2(prf)2(rf)V(rf)T1

这就是说，与(prf)之间在(,)平面上的双曲线关系在这种情形下退化为两条直线：

p(prf)((rf)V(rf))T11/2

由于必须为正，所以这两条直线只有右边的半条射线，相交于p轴上的rf点。上半条射线是有效前沿，下半条射线是无效前沿。并且，从经济意义上看，无风险利率rf与总体最小风险组合的期望收益率相比应该要小，否则投资者不会投资于风险证券而只投资于无风险证券。如上所述，含有无风险证券的投资组合的有效前沿是一条射线，称为资本市场线：prf((rf)TV1(rf))1/2p(prf)，这意味着如下关系：p((rf)TV1(rf))1/2。左端的比值称为Sharpe比，用来衡量风险效益，即因承担风险而可能带来的收益。含有无风险证券的投资组合的有效前沿的特点就在于其上的Sharpe比是常数((rf)V(rf))T11/2，它完全由各风险证券的期望收益率和它们之间的协方差矩阵V决定。同时，有效前沿射线与余下的风险证券组合的有效前沿相切于一点(m,m)。因此，在这条射线上的每一点所对应的期望收益有：(prf)p((rf)V(rf))T11/2(mrf)m整理可得： prfp(mrf)，其中，pp/m。这说明对应各种有正的证券组合总存在有同样收益的有效前沿上的组合，上式也可以理解为p与p之间的关系，它的图像也是一条直线，称为证券市场线。这个等式具有CAPM的形式，但并不是CAPM，下面我们通过二基金分离定理来推导出CAPM模型。

因为Markowitz问题的解是对于线性方程组的求解。所以解的集合满足“叠加原理”，即极小风险组合的仿射组合仍然是极小风险组合，写成数学形式就是下面的二基金分离定理：

设组合wp和wq分别是均值-方差组合选择问题的对于期望收益率分别为p和q的解，并且pq。同时，上述推导的假设成立，那么w是极小风险组合的充分必要条件为存在实数，使得w(1)wpwq。如果wp和wq都是有效组合，而在0和1之间，那么，w(1)wpwq也是有效组合。

上述定理的经济学意义在于：如果投资者的证券投资决策就是要根据他本人的财力和风险承受能力在均值-方差问题的最优解中选取一点，那么他考虑全体证券组合与考虑证券的两种组合的组合是一样的。这两种组合在现实证券市场中可能就是两种业绩良好的共同基金。因此，也就是说，投资者不必考虑全体证券如何组合，只需考虑如何搭配这两种基金的组合即可。

有了二基金分离定理，我们就可以由两个极小风险组合的组合生成n种证券的整个组合前沿，如果这两种组合看成两种证券，也可以推出同样的组合前沿。

定理：设p和q是两种证券，并且它们的期望收益率pq，那么任何证券i不改变p和q所生成的组合前沿的充分必要条件为：存在实数R，使得①i(1)pq；②Cov(ri,rp)(1)Var(rp)Cov(rp,rq)o,q；③C(iv)rprqCqo有上述定理的推论就得到CAPM模型:

推论：设证券p和q满足上面定理的假设，并且Cov(rp,rq)0。那么任何证券i不改变p和q所生成的组合前沿的充分必要条件为其收益率ri满足下列“一般资本资产定价模

pp型”：E(ri)E(rp)i(E(rq)E(rp))，iCov(ri,rq)/Var(rq)；特别是当证券p为“市场组合”m时，并把q记做x，上式就变为零资本资产定价模型E(ri)E(rx)i(E(rm)E(rx))，iCov(ri,rm)/Var(rm)；当证券x是无风险证券时，就变为通常的资本资产定价模型E(ri)rfi(E(rm)rf)，iCov(ri,rm)/Var(rm)。

现在还有最后一个问题就是：市场组合是否时有效的？如果市场组合有效，那么上述定理推论中的m就适用于这一市场组合。对此，Sharpe认为：如果假设所有投资者都是“理性投资者”，并且他们的投资决策都是按照“均值-方差”的原则来进行的，那么每个投资者的证券选择都形成一个有效组合。而两个有效组合的证券合在一起，一定也形成一个有效组合。这是因为它刚好形成这两个有效组合的凸组合。由此也可以导得有限个投资者的所有证券合在一起形成的证券组合也是有效的；尤其当市场组合式有效的时候。

综上所述，我们就由Markowitz证券组合选择理论推出二级分离定理并最终得到了CAPM模型的结果。

2． Sharpe证明的CAPM模型: Sharpe的证明基于这样的思想：对于任何市场中的证券（或证券组合）i，它与市场组合m的组合所形成的风险-收益双曲线必定与资本市场线相切于市场组合所对应的点(m,m)上。

考虑一个证券组合p，若某种风险资产i被选择，投资于i上的比例为xi，投资于其他资产也就是市场组合的比例为1xi，这样的证券组合的期望收益和标准差为：

rpxiri(1xi)rm

2p(xi2i2(1xi)2m2xi(1xi)im)1/2

所有这样的投资组合p都位于连接i和m的直线上：

drpdxirirm

dp22xii2mximim2xiim； 22221/2dxi(xii(1xi)m2xi(1xi)im)得到连接im的直线的斜率就是：

drpdpdrp/dxidp/dxi；

2(rirm)(xi2i2(1xi)2m2xi(1xi)im)1/2所以有：； 222dpxiimximim2xiimdrp在im直线的端点处，xi0，代入于是有：

drpdp(rirm)m； 2imm又因为m点在CML直线上的斜率与im的直线的斜率应相等，于是有：(rirm)mrmrf； 2immm整理可得：rirfrmrf2mimrfi(rmrf)，iim； 2m于是得到了CAPM模型的结果。

3.线性定价法则推出的的CAPM模型: 线性定价法则是无套利假设的一个层次，而在一定的假设下，线性定价法则就意味着随机折现因子的存在，随机折现因子理论假设所有的资产定价都表现为一个随机折现因子，即任何未来价值不确定的金融资产的当前价值等于其（随机）未来价值与随机折现因子乘积的期望值。由随机折现因子可导出线性定价法则与CAPM模型是等价的。

资产定价问题要解决的是这样一个问题：已经知道一种金融资产在未来各种可能的价值，要问它当前的价值是多少，就是说未来的不确定的钱在当前究竟值多少钱。这个问题的一个解决办法就是以某种定价函数的办法来表示资产的价格，而这样的定价过程又必须符合一定的规范——那就是无套利假设（可以设想，在一个有效的市场上，如果有套利机会，理性的投资者都会看到并利用它，从而使套利机会消失），而线性定价法则是无套利的一个层次。下面，就从无套利假设定价法则入手，得到随机折现因子存在定理的结果，并进一步得到一些资产定价的基本性质，从而导出CAPM模型。

1）无套利假设定价法则

确定性情况下无套利假设定价法则的五个层次： ①未来价值一样的组合，当前应该有一样的定价；

②组合的若干倍的当前价值应该等于该组合的当前价值的同样倍数； ③组合的买价于卖价应该一致；

④组合的当前价值应该等于其组成成分的当前价值之和； ⑤未来值钱（价值为正）的组合，当前也值钱。数学形式表示就是：

①（可定价法则）存在定价函数；p:RR

②（正齐次定价法则）p是正齐次函数，即对于任何正实数0和实数y，有p(y)p(y)；

③（齐次定价法则）p是齐次函数，即对于任何实数和实数y，有p(y)p(y)； ④（线性定价法则）p是线性函数，即对于任何实数，和任何实数y，z有p(yz)p(y)p(z)，这样的定价函数一定有这样的形式：p(y)ay，其中a是实数；

⑤（正线性定价法则）p是正线性函数，即p是线性函数，并且当y0时，p(y)0。这样的定价函数一定有这样的形式：p(y)ay，其中a0。

不确定情况下，证券未来价格不确定，用随机向量来表示这时一个组合的未来价值x1x12x2KxK也是随机变量，市场中的组合的未来随机价值所形成的随机变量全体M，称为可交易的未定权益，定义为My,yx。未定权益是指其未来价值不确定，可交易指这一未定权益可以与市场中的某个组合相对应。如果所涉及的未定权益都是可交易的，这种市场就是完全市场。

在不确定情况下，无套利假设定价法则的五个层次与确定性条件只有一处不同，即：①（可定价法则）存在定价函数；p:MR。定价函数p的定义域从实数域R变为可交易的未定权益全体M。M具有向量空间的结构。

2）随机折现因子存在定理：

基本假设：①未定权益空间M是一些方差有限的随机变量形成的向量空间；②如果对于任何y,zM，定义(yz)为它们的内积，那么M是Hilbert空间；③定价函数；

p:MR为线性连续函数。

在这样的假定下，可以得到随机折现因子存在定理：在上述基本假设下，存在唯一的mM，有p(y)(my)。

这条定理意味着：在一个合理的金融经济学的资产定价理论的框架中，任何定价法则，只要它是线性定价法则，那么它就一定对应着一个随机折现因子。

3）由随机折现因子得到的资产定价的基本性质：

有了随机折现因子后，我们能得到以下关于资产定价的一些基本性质： 由协方差定义：Cov(y,m)E(my)E(m)E(y)可得：p(y)E(my)E(m)E(y)Cov(y,m)若有无风险证券，则：rfE(y)11，于是：p(y)Cov(y,m)，p(1)E(m)rfE(y)式rf这个表达式就把一个证券或一个未定权益的当前价值分解为两部分，前一部分它的时间价值，即它的未来期望价值对无风险利率的折现；后一部分Cov(y,m)则是它的风险价值，它是由于未来价值可能有的随机波动引起的，可以用来解释为什么股票的当前价值会与债券的当前价值有所不同，这一价值是未来价值y与随机折现因子m的协方差。

若没有无风险证券，则由Riesz表示定理可知：存在唯一的元素1MM，使得对于任何yM，有E(y)E(1My)，这个1M称为无风险证券的模仿组合，它的含义是当市场由若干基本证券生成时，这是个模仿无风险证券功能的证券组合。当无风险证券1M时，这个无风险证券的模仿组合1M在许多地方都可以起无风险证券的作用。

4）导出CAPM模型：

设未定权益空间M为方差有限的随机变量所构成的Hilbert空间,p:MR为M上的连续正齐次线性函数，即对于任何xM和任何0，有p(x)p(x)。同时假定p(1M)0，这里1MM是无风险证券1（如果1M）或无风险证券的模仿组合（如果1M），定义R1rMp(r)1，那么下列两个命题等价：

①存在唯一的非零mM，且E(rm)E(m)/E(m)E(r1M)/E(m)，使得1M)E(对于任何xM，有p(x)E(mx)；

②（零-资本资产定价模型，zero--CAPM）存在ruR1，E(ru)0，使得对于任

2何rR1，有E(r)E(rv)Cov(r,ru)(E(ru)E(rv))，其中rvR1，满足E(rv)0，Var(ru)Cov(ru,rv)0，E(ru)E(rv)。特别是，如果市场中存在无风险证券，即1M，那么也有（资本资产定价模型，CAPM）E(r)rf为无风险利率。

此外，当①或②成立时，可取uamb1M，其中a0和b为任意实数，并且任何由上述形式的u的收益率ruR1都满足②，其中尤其是rurmm/p(m)时，②成立。

4.资产定价基本定理导出的CAPM模型：

Ross（1976）提出了套利定价的一般原理，被称为“资产定价基本定理”。它指出完整的无套利假设等价于正线性定价法则。这条定理可以表述为：无套利假设等价于存在对未来不确定状态的某种等价概率测度，使得每一种金融资产对该等价测度的期望收益率都等于无风险证券的收益率。

下面简要的介绍如何由资产定价基本定理推出CAPM模型的结论：

s设向量pR，psCov(r,ru)11其中rf(E(ru)rf)，p(1)E(m)Var(ru)0，并且对于任何xRs有E(x)p1x1p2x2psxs。对于任意x,R，用x表示(x11,x22，xss)。D为支付矩阵，D(x1,x2,xK)T，xi(xi1,xi2，xis)Rs，xis表示第i种证券在第s种状态时的证券价格，q是1S阶矩阵（行向量），代表证券价格。

引理：设F:RR是线性的，那么存在唯一的R，使得对于所有的xR，有sssF(x)E(x)，并且，当且仅当0时，F是严格增函数。

s推论：支付矩阵-价格对(D,q)满足无套利要求，当且仅当存在R，0，使得qE(D)。

对于任何的x,ysR，协方差Co(v,x)y(E)xy(E)，x方E差yVar(y)Cov(y,y)0。我们可以用xy的线性形式来表示x，Cov(x,y)/Var(y)，并且Cov(y,)E()0。这个y对x的线性回归是唯一确定的，系数称为联合回归系数。

若(D,q)满足无套利，对于任何证券组合有q0，的收益是R上的向量R，表示为Rs(DT)s/q。固定，对于任意这样的，我们有E(R)1，假设存在无

s

风险证券。这意味着存在具有确定收益R，称为无风险收益。

0Cov(R,)我们有：E(R)R

E()0x和y的相关系数定义为corr(x,y)cov(x,y)

var(x)var(y)corr(DT,)

于是一定存在一个证券组合*满足：sup*如果这样*的收益R具有非零方差，那么它可以被表示为：

Cov(R*,R)E(R)RE(R)R，其中var(R*)。0*0如果市场是完全的，R当然也可以和完全相关。

上式就是状态价格模型，表示证券收益率是最大化了和相关系数的证券组合的收益率的一部分。

进一步的，假设投资者是期望均匀性的（homogeneity of investor expectations）,那么市场组合m就是有效组合，满足sup0*

corr(DT,)的要求。

令Rri,Rrf,R*rm,i 则有CAPM模型：E(ri)rfiE(rm)rf 于是得到了CAPM模型的结果。

5.一般均衡推出的CAPM模型：

一般经济均衡是指将经济体中的个体分为消费者和生产者两个部分，消费者追求消费的最大效用，生产者追求生产的最大利润。他们的经济活动分别形成市场的需求和供给，市场的价格体系会对需求和供给进行调节，最终使市场达到一个理想的一般均衡价格体系。在这个体系下，需求与供给达到均衡，而每个消费者和每个生产者也在各自的约束条件下达到了他们的最大化要求。Arrow-Debreu已经证明了在一些假设条件下一般均衡的存在性。

达到一般经济均衡的金融市场一定满足无套利假设，也即是不存在套利机会。在完全的金融市场中，金融市场均衡与纯交换经济的一般均衡在原理上是一样的，存在一般均衡。对于不完全市场的情况，Radner（1972）证明了在卖空有上界（不能无限制的卖空）的条件下均衡是存在的。而一般的情况下均衡是有可能不存在的。Duffie和Schafer（1985）证明了极大多数不完全市场的均衡是存在的。下面，我们就在均衡存在的前提下讨论资产定价问题。

考虑一个二期问题，投资者i选择合适的投资组合最大化自身效用v，效用函数与0期消费和1期消费的均值和方差，假定线性定价法则成立，那么要满足

1z0w0iko(k0ik)p(xk)，0期消费应等于原有资金w0i加上原有证券组合k0i与1ni1期手中的证券组合k的差值，消费的均值和方差则由其定义以期望效用函数的形式给出。

所以单个投资者面临的是下面的证券选择问题：

maxvi(z0,z1,z21)s.t1z0w0iko(k0ik)p(xk),nzkoE(xk),1n1ki1,2,I

1z2j,k11jkCov(xj,xk).1n同时，要满足市场均衡条件，就是说在个人达到最优选择时，市场上的I个投资者满足：

1ii1I0ikk0ii1I0,k0,1,n，若均衡存在，则有如下结论：

定理：在上述模型中，如果对于定价P(x0),P(x1),市场均衡，那么有以下结果：

①

P(xn)来说，,,形成11121Ii1wi0i1zi0（即所有投资者的最优当前消费之和等于他们手头有的资金之1III和，即，总体来说，当前消费并未动用证券市场中的资金。）；

②k0;k1,2，n;i1,2，I;（每个投资者的最优证券投资不需要卖空，并且每种证券都要买；以下甚至还证明了每个投资者的对收益率来说的风险投资组合都是一样的）； ③设r1i为第i个投资者的最优组合1I(0,11i,21i，n1i)的收益率，那么：

E(rj)r0Cov(rj,r1i)Var(r1i)(E(r1i)r0),j1,2，n.；

④（CAPM）设rm为风险证券的市场组合m(0,率，那么：E(rj)r0⑤设z1i110i,i120i，n.；

II,i1n0i,)的收益

ICov(rj,rm)Var(rm)(E(rm)r0),j1,2,1iz为未来的总消费，rz1为其相应的收益率，那么：i1IE(rj)r0Cov(rj,rz1)Var(rz1)(E(rz1)r0),j1,2，n.；

（以上是三种资本资产定价模型的表示，其形式完全一样。）⑥（共同基金定理）

k1n1ikkx(wk0ip(xk)z0i)rm,i1,2,0ik1n,I.（最优风险证券组合可通过市场组合来实现，即市场组合可看做一种共同基金。）综上所述，我们就由一般均衡得到了CAPM模型。

6．Black给出的更一般的CAPM模型：

CAPM模型的标准形式要求市场中必须有无风险证券rf，如果市场中没有rf，情况又会怎样呢？Black（1972）在没有风险资产的条件下给出了更一般形式的CAPM模型，称为零资本资产定价模型。在这一模型中，任意资产i的期望超额收益可以通过它的系数表示为市场组合收益和关于市场组合的零资产组合（与市场组合不相关的资产组合）收益的线性函数，即：E(Ri)E(Rom)im(E(Rm)E(Rom))

其中Rom为关于市场组合的零资产组合的收益，这个组合通常定义为与市场组合不相关的所有组合中方差最小的组合。

其实，在前面的各种推导CAPM模型的方法中，有的也附带推出了零资本资产定价模型的结果。在这里把它作为CAPM模型的推广单独提出。

7．总结：

上面给出了5种推导CAPM模型的方法，分别从Markowitz证券组合选择理论、单个证券被选择的最优条件（Sharpe的证明）、线性定价法则、资产定价基本定理、一般均衡的角度得到CAPM模型的结果。上述方法从不同层面，不同角度得到了同样的结果。

Markowitz证券组合选择理论从个人优化的角度出发，个人追求效用最大化，选择投资组合；Sharpe从证券被选择要满足的条件出发；线性定价法则则是从无套利这个基本的假设来推导；资产定价基本定理从一个更一般的角度看待资产定价问题，一般均衡则直接从均衡市场出发讨论均衡市场上的资产定价的特性。

不同的角度和方法，却得到了相同的结论，下面我们就探讨这些理论间的异同点，考察理论背后更深层次的联系，并总结几种主要的定价理论的等价性。

三．CAPM模型的背后： 1．三种基本定价理论： ① 随机折现因子理论：

xM,p(x)E(mx)E(m)E(x)Cov(m,x)

② 资本资产定价模型：

rR1rMp(r)1,E(r)E(rv)③ Markowitz证券组合选择理论：

Cov(r,ru)(E(ru)E(rv))

Var(ru)rR1rMp(r)1,r(1w)rpwrq,Cov(rp,)Cov(rq,)E()0

2．三种理论的相互等价：

①随机折现因子理论和资本资产定价模型的等价性： 随机折现因子理论资本资产定价模型：

，其中M2为m和1M张成的二维空间。取ru,rvM2R1，并要求MM2M2Cov(ru,rv)0，则：rR1,r(1w)rpwrq,E()E(ru)E(rv)0；

资本资产定价模型随机折现因子理论： 由ru和rv所张成的二维空间中，可求得m满足：rR1,E(mr)1 ②组合选择理论和资本资产定价模型的等价性： 组合选择理论资本资产定价模型：

r(1w)rpwrq的充要条件为： E(r)(1w)E(rp)wE(rq)

Cov(r,rp)(1w)Var(rp)wCov(r,rq)Cov(r,rq)(1w)Cov(rp,rq)wVar(rq)，而在rp和rq张成的平面上，总能找到满足Cov(ru,rv)0的ru（可取rurp）和rv。资本资产定价模型组合选择理论： 取rpru，rqrv即可。

对于上述等价性的证明，在推导CAPM模型时已有涉及，这里就不再详细证明了。

3． 总结：

这些理论背后的经济含义和联系是很深刻的，它体现了经济学基本思想在一个完美的经典经济学框架中时一个具体问题的深入细致全面的剖析。

经典经济学的框架建立在两个简单的基本假设上：①理性人假设；②均衡假设（也就是无套理假设）。在一定的条件下，均衡的结果可以从理性人假设的前提推出来。从某种意义上来讲，它们是一致的，个人最优化就能导致均衡存在，而均衡存在也意味着个人已经达到了最优。

经济学就是研究理性的经济人如何在即定的外在约束下达到自身的最优化，并且如何从个人最优结果推广，达到局部均衡最终实现一般均衡。也就是说均衡是我们期望看到的结果，是最完美的结果。均衡这个基本观点体现在经济学的各个方面，当让也包括金融学中资产定价这个具体问题。

Markowitz证券组合理论和资本资产定价模型都是与线性定价法则等价的，即在一个金融资产市场上，如果有一条为金融资产定价的线性定价法则，那么它等价于市场上存在某条组合前沿，或者存在对某个无风险证券和某个“市场组合”资本资产定价模型成立，反过来也一样，组合前沿的存在或者资本资产定价模型成立，也等价于某条线性定价法则成立。

Markowitz证券组合选择理论从个人最优化角度出发得到了最优的投资组合，进而得到CAPM模型，为具体的资产定价；线性定价法则是直接从无套利假设出发得到了CAPM模型；一般均衡理论直接从市场均衡出发。这几种理论出发点不同，但是得到了相同的结果，体现了它们背后经济学理论框架的一致性。因为个人最优和均衡以及无套利在某种情况下是等价的，那么由它们导出的具体结果一定是一样的，否则就会产生悖论。

以上是从理论角度对CAPM模型进行了研究。理论需要在实践中检验，下面就从实践角度对CAPM模型的检验及实证结果进行分析。

四． CAPM模型的检验与应用： 1．CAPM模型的检验

CAPM模型有许多用途：可以用来对证券的预期收益进行度量，对资金成本进行估计，进行组合管理的业绩评价，风险分析和在事件研究中用来作为正常收益的度量。

但是CAPM模型的验证涉及对市场组合是否有效的验证，这在实证上是不可行的。于是，很多人从别的角度去验证CAPM模型，一般对Sharpe和Lintner 的CAPM模型进行检验可以从三个不同方面进行：

①． 检验组合的截距是否为零，即组合是否有异常收益存在；

②． 检验资产预期超额收益在横截面上的变化是否完全可以用其系数来刻划； ③． 检验市场的风险回报是否为正。

2． CAPM模型检验的实证结果：

自从1964年提出CAPM模型起，就不断有研究者对这一模型进行实证检验。早期的研究结果大部分都是支持CAPM模型，只有少数结果给出的零组合的期望收益估计超出了无风险收益，因而与Sharpe-Lintner的模型不太相符，但对Black模型没有什么冲突。在70年代末期开始出现一些对CAPM模型有不同意见的实证结果，主要结论在于：用公司的某些特征入价格-红利比、市盈率、公司规模等来把公司进行分类，这些分类的指标对证券的期望收益有一定的解释能力；这一现象与CAPM模型在横截面上对证券的期望收益可以用系数来解释有矛盾。比起用市场组合是有效组合的CAPM模型给出的收益来说，低市盈率的公司构成的组合有较高的样本收益，而相反高市盈率的公司构成的组合有较低的样本收益；小公司构成的组合有较高的样本收益，而相反大公司构成的组合有较低的样本收益。注意到市盈率和公司规模这两个指标之间有有一定的关联性。

近年来又有一些更进一步的发现，1992年Fama和French发现不同市场价值与账面价值比（即市盈率）的公司构成的组合其它收益也与用系数给出的期望收益有差异。1985年Debondt等和1993年Jegadeesh等用过去一段时间上涨和下跌来分类也发现了不同于CAPM模型的结果。

尽管上述这些结果与CAPM模型有明显的经济效果上的重要差异，但对这些公司特征从理论上的研究没有什么结论。这就使得这些对CAPM模型不利证据可以用其它的原因来解释，这些结果可能是由于（Data-snooping）和选样的偏差等而造成的。（Data-snooping）就是在数据分析中使用了一些有交叉或关联的数据作为依据来指导研究造成的统计推断偏差；这种偏差由于经济现象的不可重复试验性而很难避免。1990年Lo等对（Data-snooping）在Sharpe-Lintner模型检验中的影响进行了一些探讨得出的结论是（Data-snooping）对结果的影响相当大；他们认为上述分类的指标自身来源于期望收益数据。虽然在实际中很难对其影响进行相当的调整，但这一偏差影响的信息对模型的偏离应该是一个考虑因素。选样偏差带来的影响也是不可忽视的，由于在选取样本是没有考虑到由此而剔除的公司对结果的影响，例如使用市盈率时对比较大的市盈率和收益为负值的公司没有考虑而造成对结果的影响。

参考书目：

金融经济学十讲 史树中 Dynamic Asset Pricing Theory Darrell Duffie Foundation for Financial Economics

Chi-fu Huang and Robert H.Litzenberger Investments

William F.Sharpe , Gorden J.Alexander and Jeffery V.Bailey

第二篇：模型总结

动态吸附处理模型

1、Thomas模型

Thomas模型是由Thomas于1944年提出的研究柱状吸附床的吸附动力学模型, 它是在Langmui:动力学方程的基础，假设没有轴向扩散的基础上得出的理想化模型，用它可估计吸附质的平衡吸附量和吸附速率常数,式(1)是其指数表达式,式(2)是其对数表达式。

式中,Ct是时间t时流出液的质量浓度(mg/L);C0是进口液质量浓度(mg/L);KTh是速率常数(10-3L/(min·mg));q0是平衡吸附量(mg/g);x是填料柱中吸附剂质量(g);v是流速(mL/min);t是填料柱运行时间(min)。参考文献：《海藻酸纤维对重金属离子的吸附性能研究》

2、BDST模型

填料柱中吸附剂的高度是影响处理效率、运行成本的一个主要因素,填料柱的运行周期与吸附剂的高度密切相关,这种关系可以用BDST模型表示, 可以提供简单快速的吸附柱穿透曲线的预测和吸附柱的参数设计与优化。其优点是可以根据不同柱长的吸附实验数据，在不需要附加实验的基础上，预测不同流速，不同起始浓度的柱吸附的穿透时间和吸附量

它的线性形式如式(3)。

式中,F为流速(cm/min);N0为填料柱的吸附容量(mg/L);Ka为速率常数(L/(min·mg));t为运行 时间(min);Z为填料柱中吸附剂的高度(cm);Ct、C0同上。其简化表达式为:

式中

根据a、b可以很方便地求出当流速或初始质量浓度发生变化时新的流速或初始质量浓度。

3、数值预测模型《液固体系固定床吸附器流出曲线预测模型_活性炭吸附水中酚的研究》 在建立模型时假设:(1)反应器中的流体呈平推流;(2)不考虑轴向返混和导热，在整个吸附过程中床层温度保持恒定;(3)在微元内各传质系数(液膜扩散系数、孔内液相扩散系数和表面迁移系数)可视为常数。

4、Yoon-Nelson模型的应用

Yoon一Nelson模型比其他动态吸附模型简单，对吸附剂的特征、种类和吸附床的物理特征没有限制。Yoon–Nelson模型表达式为：

式中，kYN是速率常数(min)，τ是吸附50%吸附质所需时间(min)。根据τ值，依式(3)可以求得平衡吸附量：

–

1若以lnCt/(C0–Ct)对t进行线性回归，从直线的截距和斜率可计算kYN和τ的数值。

5、吸附带长的计算

以Cu(Ⅱ)出口浓度c和进口浓度c0之比c/c0为纵坐标,吸附时间t为横坐标,将吸附穿透曲线改型,如图3.以c/c0=0·1为穿透点,所经历的时间为穿透时间tB,c/c0=0·9时认为吸附基本达到平衡,所经历的时间为平衡时间tE,根据床层高度Z,可用式(2)计算吸附带长度Za.式中:f为常数,取f=0·5].tB可根据实验数据利用内插法计算。参考文献：《壳聚糖衍生物固定床中Cu(Ⅱ)的吸附性能研究》

6、传质参数计算模型

《谷氨酸离子交换过程动态穿透曲线的分析》

7、博哈特(Bohart)和亚当斯(Adams)方程式

在吸附柱参数设计公式中博哈特(Bohart)和亚当斯(Adams)方程式应用得比较广泛。Bohart和Adams方程式以表面反应速率为理论基础,用以评述连续式动态吸附柱的性能。此方程式可以表述如下：

由于指数eKN0h/V比1大得多,所以(1)式中右边括号内的1可忽略不计。(1)式可以简化为:

上式(2)可以变形为关于运行时间(t)的方程式:

式中:c0—进水时Cu2+初始质量浓度,mg/L;cB—允许出水时Cu2的质量浓度,mg/L;V—空柱线速度,cm/h;t—工作时间,min;K—速率常数,L/(mg·h);N0—吸附容量,mg/L;h—吸附柱填料高度, cm。当c0与V为一定值时,K和N0也为一定值,即(3)式可变为t=ah+b,其中a、b为常数,那么时间与h呈线性相关。其中斜率a=N0/(c0V),截距b=-ln(c0/cB-1)/(c0K)。参考文献：《稻壳吸附柱处理Cu2+废水的动态试验》

8、传质区高度的计算： 《大孔吸附树脂对茶多酚和咖啡碱吸附及洗脱性能的研究》

第三篇：模型总结 多因子

多因子模型选股

1.筛选有效因子 1.1 因子选取

1.估值因子：

PB、PE、PEG(市盈率相对盈利增长比)、EPS等。2.盈利因子：

ROE、ROA、毛利率等。3.成长因子：

每股净资产增长、ROE增长率、主营业务收入增长率、每股收益(EPS)增长率等。

4.资本结构因子（杠杆因子）：

资产负债率、固定资产比率、流通市值。5.流动性因子：

总资产周转率、换手率(算术平均)、流动比率、速动比率、存货周转率、总资产周转率

6.技术面因子：

换手率, 总资产周转率、换手率(算术平均)、流动比率、速动比率、存货周转率、总资产周转率(同比)。

1.2 数据预处理

数据的预处理主要包含两部分，即去极值化以及标准化。

1.去极值化：采用“中位数去极植法”进行去极值化，公式如下：

Di，upper=Dm+n×DMAD, if Di≥Dm+n×DMAD Di, lower =Dm-n×DMAD, if Di≤Dm+n×DMAD

2.标准化：由于各个描述性因子所衡量的单位不同，导致因子数值范围差异较大，因此在进行因子分析之前，必须对其进行标准化，本研究采用最常见N(0,1)正态标准化处理之，公式如下：

标准化后向量=(原向量-均值)/标准差 1.3 单个因子有效性分析

1)市场环境及股票池划分

1.按市场环境对因子有效性进行分析

统计和分析不同市场阶段（牛市、熊市和震荡市三种）的因子有效性。

2.按照市值大小对股票池进行划分

经典的Fama-French 三因素模型早已表明市值对股票的收益率有显著的

影响，各种主动型投资基金也常常按照投资标的的市值进行风格划分，而大、小市值股票的估值等指标存在整体性的水平差异，不具备可比性。3.按行业属性对股票池进行划分

不同行业的某些财务指标的整体差异性大，可比性不高，因此按行业属 性进一步划分股票池也是有必要的。一般来说，周期类行业与非周期行 业在很多财务指标上具有显著差异，因此我们按周期与非周期对股票池 进行进一步划分。之所以没有把每个行业作为一个股票池是因为如果划 分的过细，一方面可操作性会降低，另一方面容易造成样本数量急剧下 降，统计结果可靠性会降低。

2)检验因子有效性方法

方法一：（国泰君安-蒋瑛琨）

首先，看TOP 20%组合与BOTTOM 20%组合的月平均收益率差是否有 显著差异，如果有显著差异，说明该因子具有一定的区分度。同时，有 效性比较高，才能说明该因子效果的稳健性比较好，才能确保依据该因 子选取的组合胜率比较高。

其次，看TOP 40%组合与BOTTOM 40%组合的月平均收益率差是否显 著且有效性是否较高。

最后，观察五档组合的因子排名与其下期收益率排名的相关性是否显 著，越显著说明因子对收益的影响越确定。

这样从三个方面分析因子的有效性和稳健性，很大程度上确保了分析结 果不受数据的偶然巧合所影响。

方法二：（广发证券-罗军）

一个有效的Alpha 因子应该能够带来长期且稳定的Alpha 收益，同时因子在各期的表现应该具备较好的持续性，即具备较低的波动性，另外，根据因子挑选出来的超低配组合是否具备较高的胜率也是我们考察的标准之一。

多个指标相结合的方式来考察各个因子的有效性，指标可分为两类：有效性指标和单调性指标。

有效性指标：通过跟踪超低配组合的表现来考察因子的有效性，包含IC，IR，组 合胜率、组合月收益率、组合滚动1 年收益率以及组合收益t 检验概率。

(1)因子IC(信息系数)：即每个时点因子在各个股票的暴露值与各股票下个期回报的 相关系数，本文认为如果一个因子的IC 值高于2%(或低于-2%)，则认为该因子在优选 个股alpha 收益上有较好的效果，IC 为正表示该因子与股票的未来收益有正相关关系，应该超配因子暴露值高的股票，反之若IC 为负则超配因子暴露值低的股票。

(2)因子IR(信息比)：即因子在样本期间的平均年化收益与年化平均标准差的比值，IR 的绝对值越高，表面该因子在优选个股alpha 收益上效果越好，另外，经统计发现，IR 的绝对值高于0.7 时，Alpha 因子的选股效果通常比较明显，另外，若IR 为正，则代 表应该超配因子暴露值高的股票，反之若IR 为负，则应该超配因子暴露值低的股票。(3)组合胜率：用于衡量Alpha 因子是否在多数时间内有效。

(4)组合收益：包括因子月平均收益和因子滚动12 个月累计收益，用于衡量因子 Alpha 是否具有稳定且可持续收益。

(5)t 检验概率：用于衡量Alpha 因子是否具有显著的因子回报，因子的t 检验概率

越小，说明该因子的选股效果越好，经统计发现，t 检验的概率小于0.2 时，相应的Alpha 因子具有较好的选股效果！

单调性指标：通过分析各档股票组合的表现是否具备显著的单调性，从而考察因子 的有效性，包含各档累积收益率、各档相对基准累积收益率、各档平均年收益率以及各 档相对基准平均年收益率。一般来说，IC 和IR 较高且为正时，各档组合的收益表现呈 现单调递增的规律，IC 和IR 较高且为负时，各档组合的收益表现呈现单调递减的规律。

PS.多因子选股模型之因子分析与筛选II：财务质量、价量和一致预期类指标P3：

P3：由于只做单因子分析，暂时不做因子间的比较和综合分析，不需考虑因子的同质性或共线性等

还分析了不同质量的财报（一认为年报质量高于半年报，高于季报）公布后财务因子有效性的差异。

2.有效因子综合打分选股 2.1 分不同股票池选股

2.2 按有效性分层赋权

1）因子打分

2）挑选得分前10%的股票

根据多因子综合打分的情况，选取得分前10%的股票为我们所选取的股票。2.3 等比例配置模拟组合，以等权指数为比较标准

第四篇：水文模型大总结

水文模型

来源：科学网博客 作者：陈昌春

水文模型在气候变化与水资源问题日益引起关注的当代具有丰富的应用前景。现对水文模型作一些介绍。

目前堪称水文模型龙头老大的开放兼开源软件是SWAT（行业老大的SHE水文模型集群是商业软件，与ARCGIS在地理信息领域的地位相似），它在水文模拟、环境模拟、气候模拟领域已经大显身手，国内最近出版了SWAT模型从使用方法到理论文件的译作三大册。《中国气象报》甚至用《ＳＷＡＴ模型：让水资源评估“技高一筹”》进行了专题报道。

现提供一位国内网友http://swatmodel.blog.sohu.com/关于SWAT从安装到使用的服务一条龙的综合页面。

在当今的水文模型搜索与介绍网站中，堪称水文模型、地表模型（地貌过程等）、海岸模型等地学模型世界第一门户的http://csdms.colorado.edu/wiki/Model_download_portal网站中的模型总数已达166个，提供源程序下载链接或者内容介绍，堪称地学模型超级仓库。就国内而言，尽管研发的水文模型数量已不在少数，但多羞羞答答、不愿公开程序，总体而言未成气候。寒旱所建设的冰雪冻土环境本底与可持续发展专题数据库提供了部分国外水文模型的下载，可称水文模型小型展览馆http:///modelList.jsp

下面介绍一些常见的水文模型：

BASINS流域模型系统——水文模型大套餐

官方下载网址http://water.epa.gov/scitech/datait/models/basins/index.cfm 美国环保署的BASINS流域模型整合了HSPF、SWAT、PLOAD、AGWA等水文模型，在非点源污染等领域有广泛的应用。国内已出版《流域水文水质模拟软件HSPF应用指南》。

SWIM水文模型（德国）官方

下

载

网

址

：http://www.xiexiebang.com)SIRMODII

Soil-Plant-Air-Water System(SPAW)

Hydrograph Simulation Model(SYN-HYD)Utah Energy Balance Snowmelt Model(UEB)

Hydrological Model and Forecasting System(WATFLOOD)Watershed Bounded Network Simulation Model(WBNM)

Mathematical Model for Rainfall-Runoff Transformation(WISTOO)

Environmental Models

Agricultural Non-Point Source Pollution Models(AGNPS 98)

Areal Nonpoint Source Watershed Environmental Simulation(ANSWERS)Continuous Annual Simulation Model(CALSIM)

Erosion Productivity-Impact Calculator/ Environmental Policy Integrated Climate(EPIC)

Hydrologic Simulation Program-Fortran(HSPF)LOAD ESTimator(LOADEST)

One-dimensional Transport with EQuilibrium chemistry(OTEQ)Illinois Least-Cost Sewer System Design Model(ILSD)Illinois Urban Storm Runoff Model(IUSR)Water Quality/Solute Transport(OTIS)Soil Water Assessment Tool(SWAT)

Large Scale Catchment Model, formerly CALSIM(WRIMS)

Monthly Water Balance Models

Two-Parameter Water Balance Model(TPWBM)TruckeeInformation about the availability of electronic and(or)print versions of USGS reports and documentation not included with the software distributions.

第五篇：2013模型大赛总结

潍坊学院第十三届科技文化艺术节 第八届建筑设计及模型大赛总结

为丰富我校大学生的课余文化生活，同时提高同学们的建筑设计能力、实践动手能力和空间想象力，培养学生创新意识和发散思维，营造浓厚的学习氛围和科技探索热情，我院举办了建筑设计及模型大赛。

建筑模型大赛部分： 在建筑设计及模型大赛中，同学们积极努力，精彩表现，赢得了老师们的赞誉、更赢得了同学们的掌声。在建筑模型大赛中展出参评的建筑模型全部是由参赛选手自行制作的，它们或小巧别致，或大气雄壮，或清新脱俗，或复杂机巧。

老师方面：

学校领导老师对本次大赛十分重视，院长王守伦、副院长王清明，团委副书记徐加金；美术学院副院长周晓光；建筑工程学院党总支书记王健及美术学院、建筑工程学院的师生参加活动。

参与方面：

今年同学们的参赛热情更是比以往都要高涨：本次大赛我院上交的参赛模型作品有77个，参赛成员包含2012-2010三个年级，模型数量创历年新高；我校其他院系也十分积极，其中美术学院上交35份报名表，参赛模型数量也创下历年新高。

组织创新方面：

由于今年模型数量之多，风格各异，评审组老师们经过讨论决定，将参赛作品按照设计和制作的风格，分为实体建筑模型和概念设计模型，最终确定了包括建筑系作品在内的42个模型为实体建筑模型组，确定了包括美术系作品在内的35个模型为概念建筑模型组。另外比赛时还加入了评委总结点评这一环节，由建筑系评委和美术系评委老师对作品进行总结点评。力求比赛的公平公正，让评委老师对模型的创意有更具体的了解，比赛之前特别安排专人对模型进行了解，现场为评委老师逐个进行讲解。这在之前的模型大赛中都是从未有过的。

宣传公示：

活动结束后，我门将本次大赛的成绩表加盖团总支公章后在辅导员办公室门口专栏和六号教学楼的宣传看板上都有张贴公示，让所有参赛选手可以对自己的成绩进程核实，力求比赛的公平公正。

最终，我院在5月30日下午举行了建筑模型大赛暨快题，测量，结构大赛颁奖典礼，对决赛模型现场打分评奖、颁奖，至此，我们的建筑设计及模型大赛到此也圆满结束。建筑模型大赛评奖结果：

一等奖：建筑工程学院2个

美术学院2个

二等奖：建筑工程学院5个

美术学院3个

三等奖：建筑工程学院7个

美术学院5个

优秀组织单位：美术学院1个

体育学院1个

建筑工程学院团总支学生会

2013年6月2日