流体力学总结

第一篇：流体力学总结

1，迹线------某一流体质点在空间运动时，不同时刻流经的点组成的连线。

2，切应力-------由于液体质点的相对运动，产生一种内摩擦力抵抗这种运动，而此力与作用面平行，称切应力。3，理想流体------把流体看作绝对不可压缩、不能膨胀、无粘滞性、无表面张力的连续介质，称为理想流体。4，流线------某一瞬时在流场中绘出的一条曲线，该曲线上的所有各点的速度向量都与曲线相切。5，流函数------二维流动中，由连续性方程导出、其值沿流线保持不变的标量函数。

6，势函数------某函数对相应坐标的偏导数，等于单位质量力在相应坐标轴上的投影，该函数称为势函数。7，连续介质------认为真实流体所占有的空间可以近似的看做由“流体质点”连续地、无空隙地充满着的，称为连续介质。

8，粘性流体------实际流体都是粘性流体。粘性指流体质点间由于相对运动而产生的阻碍相对运动的性质。9，有势流------液体流动时每个液体质点都存在速度势函数的流动称为势流，不存在绕自身轴的旋转运动。, 10，涡旋强度------指微小涡束的涡旋通量（wd）。d：横断面积；w：旋转角速度。

11，流管------指流面中所包含的流体。流面：在流场中作一空间曲线（非流线），过曲线上各点作流线所形成的面。, 12，激波------在气体、液体和固体介质中，应力、密度和温度等物理量在波阵面上发生突跃变化的压缩波。二，问答

1，速度势函数具有什么性质？ 答：速度势函数具有下列性质：

（1）速度势函数可允许相差一任意常数，而不影响流体的运动；

（2）φ（x，y）=常数时是等势线，它的法线方向和速度矢量的方向重合；（3）沿曲线M0M的速度环量等于M点上φ值和M0点上φ值之差；MM0udxvdy(M)(M0)

（4）若考虑的是单连通区域，则由于封闭回线的速度环量 vdr0

因此速度势函数将是单值函数；若考虑的是双连通区域，则速度环量Γ可以不等于零，因此φ可以是多值函数，它们的关系是

（M）(M0)k1其中，k1是封闭回线的圈数。2，水流运动的流函数具有什么性质？ 答：流函数ψ具有下列性质：

（1）ψ可以差一任意常数，而不影响流体的运动；

（2）ψ（x,y）=常数时是流线，亦即它的切线方向与速度矢量的方向重合；

（3）通过曲线M0M的流量等于M点和M0点上流函数之差，即Q（M）(M)

(4)在单连通区域内若不存在源汇，则由Qvnds0推出流函数ψ是单值函数；若单连通区域内有源汇或在双连通区域内，则一般Qvnds0由此，流函数ψ一般说来是多值函数，且各值之间的关系为

（M）（M0）k1Q其中，k1是封闭回线的圈数。3，什么是单连通区域？什么是多联通区域？

答：（1）如果区域内任一封闭曲线可以不出边界地连续的收缩到一点，则此连通区域成为单连通区域。（2）能做多个分隔面而不破坏区域连通性的称之为多连通区域。

（3）分隔面：是这样的曲面，它整个位于区域内部，而且它和区域边界的交线是一条封闭曲线。4，动力粘滞系数μ和运动粘滞系数ν的区别和联系是什么？ 答：联系：都可以用来表示液体粘滞性的大小；ν由μ推导而来：

区别：μ是动力量（Pas），ν是运动量(m/s);后者不包括力的量纲而仅仅具有运动量纲。5，描述液体运动的两种方法？区别？ 答：拉格朗日法，欧拉法

区别：拉格朗日法着眼于每个流体质点自始至终的运动过程，描述它们的位置随时间变化的规律；而欧拉法是着眼于空间点，设法在空间中的每一个点上描述出流体运动随时间的变化状况。6，在什么条件下流线和迹线重合？

答：流线是同一时刻不同质点所组成的线，与拉格朗日观点联系；迹线是流体质点在空间运动时所描绘出来的曲线，与欧拉观点联系。在定常运动时，二者必然是重合的。

定常运动：流场内函数不依赖时间t的运动称为定常运动。

7，“均匀流一定是恒定流，急变流一定是非恒定流”，这种说法是否正确？为什么？ 答：不正确。

均匀流是相对于空间分布而言，恒定是相对于时间而言，是判断流体运动的两个不同标准。如：当流量不变，通过一变直径管道时，虽然是恒定流，但它不是均匀流。

8，对于简单剪切流动，因其流线平行，流体质点作直线运动，所以该运动是无涡流。这种判断是否正确？为什么？ 答：不正确。

无涡流指液体流动时各质点不存在绕自身轴的旋转运动。对于剪切流动，尽管流体流线平行，但（rotv）z-a（a为常数），处处有旋。

9，流体力学中的系统是什么意思？有哪些特点？ 答：系统也称体系，是指某一确定流体的点集合的总体。

系统随流体运动而运动，其边界把系统和外界分开；系统边界的形状和所包围的空间大小随运动而变化。

在系统的边界上，没有流体流入或留出，即系统与外界没有质量交换，始终由同一些流体质点组成，但可以通过边界与边界发生力的作用和能量交换。210，简述流体膨胀性的意义及其影响因素。

答：膨胀性：流体温度升高时，流体体积也增加的特性。又定义为在压强不变的条件下，温度升高一个单位时流体体积的相对增加量。

影响因素：温度，液体本身的性质。

11，微分形式和积分形式的基本方程各有什么特点？ 答：微分形式是了解流动过程各参数的变化规律。

积分形式是流动过程在某处参数发生不连续变化时采用的形式。

12，什么是涡旋不生不灭定理？

答：即拉格朗日定理：若流体理想、正压，且外力有势。如果初始时刻在某部分流体内无旋，则以前或以后任一时刻中这部分流体皆无旋。反之，若初始时刻该部分流体有旋，则以前或以后的任何时刻中这一部分流体皆有旋。

13.试分析图中三种情况下水体A受哪些表面力和质量力？（1）静止水池；（2）顺直渠道水流；（3）平面弯道水流。

答：（1）压应力；重力。

（2）压应力，切应力；重力。

（3）压应力，切应力；重力，惯性力。

14，（1）写出以下两个方程的名称：

方程一：ui0 xi方程二：uiui1pujFiv2ui txjxi（2）从单位重量流体能量观点简要说明两方程中各项的物理意义，以及两方程的物理意义。

（3）这两个方程在应用条件上有何相同和差异之处？

三，计算

1，已知恒定流场中的流速分布如下，求此流场中的流线和迹线。

u1ax

2u2ax1（a≠0）

u30

2，3，已知定常流场中的流速分布为 dVV(V)V（），写出该式在直角坐标系及下标记号的表达式。dttx1x2x3u1ax2x1x222,u2ax1x1x222,u30

x10,x20,aconst(0)

求其线变形率，角变形率和旋转角速度。试判断其是否为有势流。

4，已知不可压平面无旋流动的流函数x1x1x2x2，求其速度势函数。

5，潜艇水平运动时，前舱皮托管水银U形管上读数为h=17cm，海水比重为1.026，皮托管流速系数为c0=0.98。试求潜艇航速。

6，已知二元流场的速度势为x2y2。

（1）试求ux，uy，并检验是否满足连续条件和无旋条件。（2）求流函数，并求通过（1,0），（1,1）两点的两条流线之间的流量。

7，有一旋转粘度计，同心轴和筒中间注入牛顿流体，筒与轴的间隙很小，筒以等角速度转动，且保持流体温度不变。假定间隙中的流体作圆周方向流动，且为线性速度分布，又L很长，所以底部摩擦影响不计。如测得轴上的扭矩为M，求流体的粘性系数。

pijdvi8，，写出该式在直角坐标系下及矢量形式的表达式。Fidtxj

9，图示为重力作用下的两无限宽斜面上具有等深自由面的二维恒定不可压缩流体的层流运动。深度H为常量，斜面倾角为α，流体密度为ρ，动力粘度为μ，液面压强pa为常量，且不计液面与空气之间的粘性切应力。试分析此流体运动现象的求解思路和步骤（不需要求解出方程）。

10，图示为重力作用下的两无限宽水平平板间的二维恒定不可压缩流体的层流运动。平板间距为a，流体密度为ρ，动力粘度为μ，上板沿x方向移动的速度U为常量。试求平板间流体的速度分布。

课本

P138：一，7、9、10、14；二，1（2、3、7）、4；三，1、3 P199：2、3、6、8 P239：1（1、3）；2（1）；8 P166：1、3、5、7

第二篇：流体力学总结

1、质点：是指大小同所有流动空间相比微不足道，又含有大量分子，具有一定质量的流体微元。含义：宏观尺寸非常小，微观尺寸足够大，具有一定的宏观物理量，形状可以任意划定质点间无空隙。

2、连续介质假设：把流体当做是由密集质点构成的、内部无空隙的连续体。

3、相对密度：物体质量与同体积4摄氏度蒸馏水质量比

4、体胀系数：压强不变时每增加单位温度时，流体体积的相对变化率（α），温度越高越大。

5、压缩率：当流体温度不变时每增加单位压强时，流体体积的相对变化率，压强越大压缩率越小压缩越难（kt）。

6、体积模量：温度不变，每单位体积变化所需压强变化量，（K），越大越难压缩。

7、不可压缩流体：体胀系数与压缩率均零的流体。

8、粘性：流体运动时内部产生切应力的性质，是流体的内摩擦特性，或者是流体阻抗剪切变形速度的特性，动力黏度μ：单位速度梯度下的切应力，运动黏度:流体的动力黏度与密度的比值。

9、速度梯度:速度沿垂直于速度方向y的变化率。

10、牛顿内摩擦定律：切应力与速度梯度成正比。符合牛顿内摩擦定律的流体；不符合牛顿内摩擦定律的流体。

11、三大模型：连续介质模型、不可压缩模型、理想流体模型。连续介质假设是流体力学中第一个带根本性的假设。连续介质模型：认为液体中充满一定体积时不留任何空隙，其中没有真空，也没有分子间隙，认为液体是连续介质，由此抽象出来的便是连续介质模型。不可压缩流体模型：在忽略液体或气体压缩性和热胀性时，认为其体积保持不变以简化分析，流体密度随压强变化很小，可视为常数的流体。

理想流体模型：连续介质模型和不可压缩模型的总和。

12、质量力与表面力之间的区别：

①作用点不同质量力是作用在流体的每一个质点上表面力是作用在流体表面上； ②质量力与流体的质量成正比（如为均质体与体积成正比）表面力与所取的流体的表面积成正比

③质量力是非接触产生的力,是力场的作用表面力是接触产生的力

13、简述气体和液体粘度随压强和温度的变化趋势及不同的原因。

答：气体的粘度不受压强影响，液体的粘度受压强影响也很小；液体的粘度随温度升高而减小，气体的粘度却随温度升高而增大，其原因是：分子间的引力是液体粘性的主要因素，而分子热运动引起的动量交换是气体粘性的主要因素。

1、质量力与表面力：与流体微团质量相关且集中作用在微团质量中心上的力；大小与表面面积有关且分布作用在流体表面的力（平衡流体无表面切向摩擦力，有流体静压力即内法线压力—静压强是当流体处于绝对静止或相对静止状态时流体中的压强）。

2、流体静压力是流体作用在受压面上的总作用力矢量，大小方向与受压面有关，流体静压强是一点上流体静压力的强度，是无方向标量，各向同性。

3、欧拉平衡方程：质量力与表面力任意方向上平衡（相等相反）；受那方向上质量分力，静压强沿该方向必然变化。

4、有势质量力：质量力所做的功只与起点和终点的位置有关。力的势函数：某函数对相应坐标的偏导数，等于单位质量力在相应坐标轴上的投影。

5、等压面：流体中压强相等的各点所组成的平面或曲面。也是等势面、与单位质量力矢量垂直、两不混合平衡液体交界面必是等压面。

6、静压强基本公式：平衡流体各点位置势能与压强势能一定。

7、绝对压强pabs：以没有气体分子存在的完全真空为基准起算的压强。

相对压强p：以当地大气压pa为基准起算的压强，各种压力表测得的压强为相对压强，相对压强又称为表压强或计示压强。

真空度pv：绝对压强小于当地大气压的数值。

测量压强做常用的仪器有：液柱式测压计和金属测压表。

液柱式测压计包括测压管、U形管测压计、倾斜式微圧计和压差计。

8、阿基米德原理：液体作用于潜体或浮体上的总压力，只有铅垂向上的浮力，大小等于所排开的液体重量，作用线通过潜体的几何中心。

9、流体平衡微分：在静止流体中，各点单位质量流体所受质量力与表面力相平衡。

10、静压强计量单位：应力单位，液柱高单位，大气压单位。

11、静止流体中应力的特性。

（1）方向沿作用面的内法线方向；（2）静压强的大小与作用面的方位无关各向同性。

12、由液体静力学基本方程得到的结论（推论）：（1）静压强的大小与液体的体积无关；

（2）两点的压强差等于两点之间单位面积垂直液柱的重量；

（3）在平衡状态下，液体内任一点压强的变化等值地传递到其他各点。

1、描述流体运动的两种方法：拉格朗日法和欧拉法。除个别质点的运动问题外，都应用欧拉法。

拉格朗日法：是以个别质点为研究对象，观察该质点在空间的运动，然后将每个质点的运动情况汇总，得到整个流体的运动。质点的运动参数是起始坐标和时间变量t的连续函数。欧拉法：是以整个流动空间为研究对象，观察不同时刻各空间点上流体质点的运动，然后将每个时刻的情况汇总起来，描述整个运动。空间点的物理量是空间坐标）和时间变量t的连续函数。

2、定常流动=恒定流：如果流场中物理量的分布与时间变化无关，则称为定常场或定常流动，当地导数为零（与空间坐标无关，则称为均匀场或均匀流动，流线平行迁移导数为零）。

3、控制体：是空间的一个固定不变的区域，是根据问题的需要所选择的固定的空间体积。它的边界面称为控制面。

4、迹线：流体质点运动的轨迹，拉格朗日法。

5、流线：流场中的瞬时光滑曲线，曲线上各点的切线方向与该点瞬时速度方向一致（定常中流线形状不随时间变化且与迹线重合，除了奇点驻点不相交不突然转折），欧拉法。流线构成一管状曲面，称为流管。流线：表示某一瞬时流体各质点运动趋势的曲线，曲线上任一点的切线方向与该点的流速方向重合。（对的描绘）

6、流管流束总流：在垂直于流动方向的平面上，过流场中任意封闭的微小曲线上的点作流线所形成的管状面称为流管。流束：流管以内的流体，称之为流束。总流：由无数多个元流组成的，在一定边界内具有一定大小尺寸的实际流动的流体

7、流量、体积流量、质量流量：单位时间内通过某一过流断面的流体的量；单位时间内通过断面的流体体积；单位时间内通过断面的流体质量。

8、一（二、三）元流：除时间坐标外，流动参数随一（二、三）个空间坐标变化的流动。

9、理想伯努利方程：理想流体总机械能守恒。重力流体的位能、压能、动能叫做位置、压强、速度水头。

10、皮托管：将流体动能转化为压能从而通过测压计测量流体速度的仪器。

11、节流式流量计：通过节流元件前后压差测定流量的仪器。

12、流线迹线相关 流线性质：（1）在恒定流中，流线的形状和位置不随时间变化；（2）在同一时刻，一般情况下流线不能相交或转折。在恒定流中流线与迹线重合，非恒定流中一般情况下两者不重合，但当速度方向不随时间变化只是速度大小随时间变化时，两者仍重合。

差别：迹线是同一流体质点在不同时刻的位移曲线，与拉格朗日观点对应，而流线是同一时刻、不同流体质点速度方向与之相切的曲线，与欧拉观点相对应。

13、流动分类：（1）根据运动参数是否随时间变化，分为恒定流和非恒定流；（2）根据运动参数与空间坐标的关系，分为一元流、二元流和三元流；（3）根据流线是否平行，分为均匀流和非均匀流。

1、力学相似：实物流动与模型流动在对应点上对应物理量有一定的比例关系，包括几何相似（实物流动与模型流动有相似的边界形状，一切对应的线性尺寸成比例）、运动相似（实物流动与模型流动的流线几何相似，对应点速度成比例）、动力相似（实物流动与模型流动受同种外力作用，对应点上对应力成比例）。

2、相似准则：使两个流动动力相似，各项力符合的一定约束关系，包括雷诺准则（相似流动的雷诺数相等，粘滞力相似；雷诺数为惯性力与粘滞力之比）、弗劳德准则（相似流动的弗劳德数相等，重力相似；弗劳德数为惯性力与重力之比）、欧拉准则（相似流动的欧拉数相等，压力相似；欧拉数为压力与惯性力之比）。

3、相似条件：满足几何相似、运动相似、动力相似，以及两个流动的边界条件和起始条件相似。

4、相似关系：几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据;动力相似是决定两个流动相似的主导因素;运动相似是几何相似和动力相似的表现。

4、量纲和谐原理：凡正确反映客观规律的物理方程，其各项的量纲必须是一致的。

6、量纲分析：方法是瑞利法和π定理，依据是量纲和谐原理。

7、为什么每个相似准则都是和惯性力做比较？

作用在流体上的力除惯性力是企图维持流体原来运动状态的力外，其他力都是企图改变运动状态的力。如果把作用在流体上的各力组成一个力多边形的话，那么惯性力则是这个力多边形的合力，即牛顿定律F=ma。流动的变化就是惯性力与其他上述各种力相互作用的结果。因此各种力之间的比例关系应以惯性力为一方来相互比较。

1、层流：流速较小时，水沿轴向流动，流体质点没有横向运动，不互相混杂的流动状态。

2、湍流（紊流）：流速较大时，流体质点有剧烈混杂，质点速度在横纵向上均有不规则脉动现象的流动状态。

3、临界：管径与运动粘度一定，从湍流变层流时，平均速度为下临界速度，无量纲数为下临界雷诺数（2320）。

4、水力半径:总流过流断面面积与湿周之比。

5、圆管中层流：只有轴向运动，定常、不可压缩，速度分布的轴对称性，等径管路压强变化的均匀性，管道中质量力不影响流动性能。

6、哈根伯肃叶定律：圆管层流的K型分布得到速度分布，推求流量、粘度。

7、沿程损失：等径管路中由于流体与管壁及流体本身的内部摩擦（沿程阻力），使流体能量沿流动方向逐渐降低，可以用压强损失、水头损失（压强水头差—达西公式）、功率损失（水头损失乘流量pg）表示。

8、尼古拉兹实验：对圆管有压流进行了系统的沿程阻力系数和断面流速分布的测定。层流区（2320），临界区（4000，扎依钦科），光滑管湍流区（布拉休斯100000尼古拉兹），过渡区（柯列布茹克=阿里特苏里用于三个阻力区），粗糙管湍流区（尼古拉兹=希夫林松）

9、局部损失：经过管路附件时产生的压强、水头、能量损失（涡旋区和速度重新分布）。

10、长管短管：水头损失绝大部分为沿程损失，局部损失可忽略的管路；水头损失中沿程损失、局部损失各占一定比例的管路。

11、管路特性：水头与流量的函数关系。

12、串联管路流量等，总水头损失等各段水头损失和；并联管路各段损失等，总流量为和。

13、管中水击（液压冲击）：在有压管道中，由于某种原因，使水流速度突然发生变化，同时引起压强大幅度波动的现象。用间接水击、过载保护、减小管路长度和增加管道弹性防止。

14、雷诺数与粘度、流速、管径（大小）有关。

15、圆管层流流动时,其断面的切应力直线分布、流速抛物面分布。

1、薄壁厚壁孔口区别：厚壁孔口只有内收缩，阻力系数分入口、断面收缩、后半段沿程当量苏力系数三部分。

2、厚壁孔口流速系数小，速度小；流量系数大，流量大。

3、管嘴正常工作条件：长度不能太短，p不能太大。

4、管道：简单管道（沿程直径和流量都不变化的管道）、串联管道（由直径不同的管段顺序连接起来的管道）、并联管道（在两节点之间并联两根或两根以上的管道）。

5、孔口、管嘴出流和有压管流各自的水力特点是：（1）孔口、管嘴出流只有局部水头损失，不计沿程水头损失，；（2）短管的局部水头损失和沿程水头损失都要计入，；（3）长管的局部水头损失和流速水头的总和同沿程水头损失相比很小，按沿程水头损失的某一百分数估算过忽略不计。

7、相同的作用水头下，同样开口面积，管嘴的过流能力是孔口过流能力的1.32倍。

第三篇：流体力学知识点总结

流体力学知识点总结

第一章

绪论

液体和气体统称为流体，流体的基本特性是具有流动性，只要剪应力存在流动就持续进行，流体在静止时不能承受剪应力。

流体连续介质假设：把流体当做是由密集质点构成的，内部无空隙的连续体来研究。

流体力学的研究方法：理论、数值、实验。

作用于流体上面的力

（1）表面力：通过直接接触，作用于所取流体表面的力。

ΔF

ΔP

ΔT

A

ΔA

V

τ

法向应力pA

周围流体作用的表面力

切向应力

作用于A上的平均压应力

作用于A上的平均剪应力

应力

为A点压应力，即A点的压强

法向应力

为A点的剪应力

切向应力

应力的单位是帕斯卡（pa），1pa=1N/㎡，表面力具有传递性。

（2）

质量力：作用在所取流体体积内每个质点上的力，力的大小与流体的质量成比例。（常见的质量力：重力、惯性力、非惯性力、离心力）

单位为

流体的主要物理性质

（1）

惯性：物体保持原有运动状态的性质。质量越大，惯性越大，运动状态越难改变。

常见的密度（在一个标准大气压下）：

4℃时的水

20℃时的空气

（2）

粘性

h

u

u+du

U

z

y

dy

x

牛顿内摩擦定律：

流体运动时，相邻流层间所产生的切应力与剪切变形的速率成正比。即

以应力表示

τ—粘性切应力，是单位面积上的内摩擦力。由图可知

——

速度梯度，剪切应变率（剪切变形速度）

粘度

μ是比例系数，称为动力黏度，单位“pa·s”。动力黏度是流体黏性大小的度量，μ值越大，流体越粘，流动性越差。

运动粘度

单位：m2/s

同加速度的单位

说明：

1）气体的粘度不受压强影响，液体的粘度受压强影响也很小。

2）液体　　T↑　μ↓

气体　　T↑　μ↑

无黏性流体

无粘性流体，是指无粘性即μ=0的液体。无粘性液体实际上是不存在的，它只是一种对物性简化的力学模型。

（3）

压缩性和膨胀性

压缩性：流体受压，体积缩小，密度增大，除去外力后能恢复原状的性质。

T一定，dp增大，dv减小

膨胀性：流体受热，体积膨胀，密度减小，温度下降后能恢复原状的性质。

P一定，dT增大，dV增大

A

液体的压缩性和膨胀性

液体的压缩性用压缩系数表示

压缩系数：在一定的温度下，压强增加单位P，液体体积的相对减小值。

由于液体受压体积减小，dP与dV异号，加负号，以使к为正值；其值愈大，愈容易压缩。к的单位是“1/Pa”。（平方米每牛）

体积弹性模量K是压缩系数的倒数，用K表示，单位是“Pa”

液体的热膨胀系数：它表示在一定的压强下，温度增加1度，体积的相对增加率。

单位为“1/K”或“1/℃”

在一定压强下，体积的变化速度与温度成正比。水的压缩系数和热膨胀系数都很小。

P

增大

水的压缩系数K减小

T升高

水的膨胀系数增大

B

气体的压缩性和膨胀性

气体具有显著的可压缩性，一般情况下，常用气体（如空气、氮、氧、CO2等）的密度、压强和温度三者之间符合完全气体状态方程，即

理想气体状态方程

P

——

气体的绝对压强（Pa）；

ρ

——

气体的密度（Kg/cm3）；

T

——

气体的热力学温度（K）；

R

——

气体常数；在标准状态下，M为气体的分子量，空气的气体常数R=287J/Kg．K。

适用范围：当气体在很高的压强，很低温度下，或接近于液态时，其不再适用。

第二章

流体静力学

静止流体具有的特性

（1）

应力方向沿作用面的内发现方向。

（2）

静压强的大小与作用面的方位无关。

流体平衡微分方程

欧拉

在静止流体中，各点单位质量流体所受表面力

和质量力相平衡。

欧拉方程全微分形式：

等压面：压强相等的空间点构成的面（平面或曲面）。

等压面的性质：平衡流体等压面上任一点的质量力恒正交于等压面。

由等压面的这一性质，便可根据质量力的方向来判断等压面的形状。质量力只有重力时，因重力的方向铅垂向下，可知等压面是水平面。若重力之外还有其它质量力作用时，等压面是与质量力的合力正交的非水平面。

液体静力学基本方程

P0

P1

P2

Z1

Z2

P—静止液体内部某点的压强

h—该点到液面的距离，称淹没深度

Z—该点在坐标平面以上的高度

P0—液体表面压强，对于液面通大气的开口容器，视为

大气

压强并以Pa表示

推论

（1）静压强的大小与液体的体积无关

（2)两点的的压强差

等于两点之间单位面积垂

直液柱的重量

（3）平衡状态下，液体内任意压强的变化，等值的传递到其他各点。

液体静力学方程三大意义

⑴.位置水头z：任一点在基准面以上的位置高度，表示单位重量流体从某一基准面算起所具有的位置势能，简称比位能，或单位位能或位置水头。

⑵.压强水头：

表示单位重量流体从压强为大气压算起所具有的压强势能，简称比压能或单位压能或压强水头。

⑶.测压管水头（）：单位重量流体的比势能，或单位势能或测压管水头。

压强的度量

绝对压强：以没有气体分子存在的完全真空为基准起算的压强，以符号pabs表示。（大于0）

相对压强：以当地大气压为基准起算的压强，以符号p表示。

（可正可负可为0）

真空：当流体中某点的绝对压强小于大气压时，则该点为真空，其相对压强必为负值。真

空值与相对压强大小相等，正负号相反（必小于0）

相对压强和绝对压强的关系

绝对压强、相对压强、真空度之间的关系

压强单位

压强单位

Pa

N/m2

kPa

kN/m2

mH2O

mmHg

at

换算关系

98000

736

说明：计算时无特殊说明时液体均采用相对压强计算，气体一般选用绝对压强。

测量压强的仪器（金属测压表和液柱式测压计）。

（1）

金属测压计测量的是相对压强

（弹簧式压力表、真空表）

（2）

液柱式测压计是根据流体静力学基本原理、利用液柱高度来测量压强（差）的仪器。

测压管

A点相对压强

真空度

U形管测压计

上式的图形

倾斜微压计

压差计

例8：在管道M上装一复式U形水银测压计，已知测压计上各液面及A点的标高为：1=1.8m

=0.6m，Ñ=2.0m，Ñ=1.0m，=Ñ=1.5m。试确定管中A点压强。

作用在平面上的静水总压力

图算法

（1）

压强分布图

根据基本方程式：

绘制静水压强大小；

（2）

静水压强垂直于作用面且为压应力。

图算法的步骤是：先绘出压强分布图，总压力的大小等于压强分布图的面积S，乘以受压面的宽度b，即

P=bS

总压力的作用线通过压强分布图的形心，作用线与受压面的交点，就是总压力的作用点

适用范围：规则平面上的静水总压力及其作用点的求解。

原理：静水总压力大小等于压强分布图的体积，其作用线通过压

强分布图的形心，该作用线与受压面的交点便是压心P。

经典例题

一铅直矩形闸门，已知h1=1m，h2=2m，宽b=1.5m，求总压力及其作用点。

梯形形心坐标:

a上底，b下底

解：

总压力为压强分布图的体积：

作用线通过压强分布图的重心：

解析法

总压力

=

受压平面形心点的压强×受压平面面积

合力矩定理：合力对

任一轴的力矩等于各分力对同一轴力矩之和

平行移轴定理

解：

经典例题

一铅直矩形闸门，已知h1=1m，h2=2m，宽b=1.5m，求总压力及其作用点。

作用在曲面上的静水压力

二向曲面——具有平行母线的柱面

水平分力

作用在曲

面上的水平分力等于受压面形心处的相对压强PC与其在垂

直坐标面oyz的投影面积Ax的乘积。

铅垂分力

合力的大小

合力的方向

PX

=

受压平面形心点的压强

p

c×

受压曲面在yoz

轴上的投影

AZ

PZ

=

液体的容重γ×压力体的体积

V

注明：P的作用线必然通过Px和Pz的交点，但这个交点不一定在曲面上，该作用线与曲面的交点即为总压力的作用点

压力体

压力体分类：因Pz的方向（压力体

——压力体和液面在曲面AB的同侧，Pz方向向下

虚压力体

——压力体和液面在曲面AB的异侧，Pz方向向上）

压力体叠加

——对于水平投影重叠的曲面，分开界定压力体，然后相叠加，虚、实压力体重叠的部分相抵消。

潜体——全部浸入液体中的物体称为潜体，潜体表面是封闭曲曲。

浮体——部分浸入液体中的物体称为浮体。

第三章

流体动力学基础

基本概念：

（1）

流体质点(particle)：体积很小的流体微团，流体就是由这种流体微团连续组成的。

（2）

空间点:

空间点仅仅是表示空间位置的几何点，并非实际的流体微团。

（3）

流场：充满运动的连续流体的空间。在流场中，每个流体质点均有确定的运动要素。

（4）

当地加速度（时变加速度）：在某一空间位置上，流体质点的速度随时间的变化率。

迁移加速度（位变加速度）：某一瞬时由于流体质点所在的空间位置的变化而引起的速度变化率。

（5）

恒定流与非恒定流：一时间为标准，各空间点上的运动参数都不随时间变化的流动是恒定流。否则是非恒定流。

（6）

一元流动：运动参数只是一个空间坐标和时间变量的函数。

二元流动：运动参数只是两个空间坐标和时间变量的函数。

三元流动：以空间为标准，各空间点上的运动参数是三个空间坐标和时间的函数。

（7）流线：某时刻流动方向的曲线，曲线上各质点的速度矢量都与该曲线相切。

流线性质

（1）流线上各点的切线方向所表示的是在同一时刻流场中这些点上的速度方向，因而流线形状一般都随时间而变。

（2）流线一般不相交（特殊情况下亦相交：V=0、速度=）

（3）流线不转折，为光滑曲线。

（8）迹线：流体质点在一段时间内的运动轨迹。

迹线与流线

（1）恒定流中，流线与迹线几何一致。

异同

（2）非恒定流中，二者一般重合，个别情况（V=C）二者仍可重合。

（9）流管：某时刻，在流场内任意做一封闭曲线，过曲线上各点做流线，所构成的管状曲面。

流束：充满流体的流管。

（10）过流断面：在流束上作出的与所有的流线正交的横断面。过流断面有平面也有曲面。

（11）元流：过流断面无限小的流束，几何特征与流线相同。

总流：过流断面有限大的流束，有无数的元流构成，断面上各点的运动参数不相同。

（12）体积流量：单位时间通过流束某一过流断面的流量以体积计量。

重量流量：单位时间通过流束某一过流断面的流量以重量计量。

质量流量：单位时间通过流束某一过流断面的流量以质量计量。

（13）断面平均流速：流经有效截面的体积流量除以有效截面积而得到的商。

（14）均匀流与非均匀流：流线是平行直线的流动是均匀流，否则是非均匀流。

均匀流的性质

1>

流体的迁移加速度为零；

2>

流线是平行的直线；

3>

各过流断面上流速分布沿程不变。

4>

动压强分布规律=静压强分布规律。

（15）非均匀渐变流和急变流：非均匀流中，流线曲率很小，流线近似与平行之线的流动是非均匀渐变流，否则是急变流。均匀流的各项性质对渐变流均适用。

欧拉法（Euler

method）

速度场

压力场

加速度

全加速度

＝

当地加速度

＋

迁移加速度

A

B

如图所示：（1）水从水箱流出，若水箱无来水

补充，水位H逐渐降低，管轴线上A质点速度随时间减小，当地加速

度为负值，同时管道收缩，指点速度随迁移增大，迁移加速度为正值，故二者加速度都有。

（2）若水箱有来水补充，水位H保持不变，A质点出的时间不随时间变化，当地加速度=0，此时只有迁移加速度。

3流量、断面平均流速

4流体连续性方程

物理意义：单位时间内，流体流经单位体积的流出与流入之差与其内部质量变化的代数和为零。

对恒定流

对不可压缩流体

【例】

假设有一不可压缩流体三维流动，其速度分布规律为：U=3（x+y3)，V=4y+z2，W=x+y+2z。试分析该流动是否存在。

【解】

故此流动不连续。不满足连续性方程的流动是不存在的。

5恒定总流连续性方程

或

物理意义：对于不可压缩流体，断面平均流速与过水断面面积成反比，即流线密集的地方流速大，而流线疏展的地方流速小。

适用范围：固定边界内的不可压缩流体，包括恒定流、非恒定流、理想流体、实际流体。

6流体的运动微分方程

无粘性流体运动微分方程

或

粘性流体运动微分方程

N—S方程

拉普拉斯算子

7元流的伯努利方程

伯努利方程

公式说明：

（1）适用条件

①理想流体

②恒定流动

③质量力只受重力

④不可压流体

⑤沿流线或微小流束。

（2）此公式就是无粘性流体的伯努利方程

各项意义

（1）

物理意义

Ｚ——比位能

——比压能

——比动能

（2）

几何意义

Ｚ——位置水头

——压强水头

——流速水头

物理三项之和：单位重量流体的机械能守恒。几何三项之和：总水头相等，为水平线

粘性流体元流的伯努利方程

公式说明：（1）实际液体具有粘滞性，由于内摩擦阻力的影响，液体流动时，其能量将沿程不断消耗，总水头线因此沿程下降，固有H1＞H

（2）上式即恒定流、不可压缩实际液体动能量方程，又称实际液体元流伯努利方程。

粘性流体总流的伯努利方程

（1）势能积分：

z

——

比位能（位置水头）

——

比压能（压强水头，测压管高度）

（2）动能积分：

——

比势能（测压管水头）

——

总比能（总水头）

——

比动能（流速水头）

（3）损失积分：

——

平均比能损失

（水头损失）,单位重流体克服

流动阻力所做的功。

气流的伯努利方程

动能修正系数

动量修正系数

沿程有能量输入或输出的伯努利方程

+Hm——单位重量流体通过流体机械获得的机械能（水泵的扬程）

-Hm——单位重量流体给予流体机械的机械能（水轮机的作用水头）

沿程有汇流或分流的伯努利方程

8水头线：总流沿程能量变化的几何表示。

水力坡降：单位长度上的水头损失

9总流的动量方程

第四章

流动阻力和水头损失

基本概念

（1）

水头损失：总流单位重量流体平均的机械能损失。

（2）

沿程水头损失：有沿程阻力做功而引起的水头损失。

（3）

局部水头损失：有局部阻力引起的水头损失。

总水头损失：

（气体）压强损失：

水头损失的一般表达式：

1.沿程阻力——沿程损失(长度损失、摩擦损失)

——达西公式

λ

——

沿程摩阻系数（沿程阻力系数）

d

——

管径

v

——

断面平均流速

g

——

重力加速度

2.局部阻力——局部损失

ζ——

局部阻力系数

v

——

ζ对应的断面平均速度

（3）

层流：流体质点作规则运动，各层质点间相互不掺混。

紊流：流体质点的运动轨迹极不规则，质点间相互掺混。

层流与紊流的判别：

上临界流速

——由层流转化为紊流时的流速称为上临界流速。

下临界流速

——由紊流转化为层流时的流速称为下临界流速。

紊流

层流

紊流

层流

把下临界流速

做为流态转变的临界流速

层流

紊流

临界流

（4）

雷诺数

圆管流雷诺数

层流

临界雷诺数

——雷诺数

临界流

紊流

非圆管道雷诺数：

R—水力半径

A—过流断面面积

—湿周，过流断面上流体与固体接触的周界（周长）

圆管满流

以水力半径R为特征长度，相应的临界雷诺

数

层流

紊流

（5）

沿程水头损失与剪应力的关系

圆管均匀流水头损失与剪应力的关系（均匀流动方程式）

R——水力半径

J——水力坡度

适用条件：明渠均匀流，相同结果。注意（平均剪应力）层流和紊流都适用。

圆管过流断面上剪应力分布

圆管均匀流过流断面上剪应力

呈直线分布，管轴处，;

管壁处，剪应力达最大值。

壁剪切速度

（壁剪切速度）

（沿程摩阻系数与壁面剪应力的关系）

（6）

圆管中的层流

流速分布

过流断面上流速分布解析式（抛物线方程）

当r=0时

——

管轴处的最大流速

流量

平均流速

最大流速与平均流速的关系

动能修正系数

动量修正系数

沿程水头损失的计算

圆管层流摩阻系数

（通用公式）

说明：在圆管层流中，λ只与Re有关。

（7）紊流运动

流体由层流转变为紊流的两个必备条件：

A

流体中形成涡体

B

涡体脱离原流层进入临层（Re达到一定值）。

紊流的剪应力

粘性剪应力

二者之和即为剪应力

紊流附加剪应力

半经验理论

混和长度

k—卡门常数。k=0.36～0.435

壁剪切速度

壁面附近紊流流速分布公式

粘性底层

粘性底层：圆管作紊流运动时，靠近管壁处存在着一薄层，该层内流速梯度较大，粘性影响不可忽略，紊流附加切应力可以忽略，速度近似呈线性分布，这一薄层就称为粘性底层。

粘性底层流速分布

粘性底层中，流速按线性分布，在壁面上流速

为0.粘性底层厚度

紊流核心：粘性底层之外的液流统称为紊流核心。

（8）

紊流沿程水头损失

尼古拉磁实验

Ⅰ区，层流区

Ⅱ区，层流转变为紊流的过渡区

Ⅲ区，紊流光滑区

Ⅳ区，紊流过渡区

Ⅴ区，紊流粗糙区

流速分布

紊流光滑区

紊流粗糙区

紊流流速分布指数形式

（管轴处的最大流量

圆管半径

n

指数，随雷诺数的变化而变化）

λ的半经验公式

光滑区沿程摩阻系数

尼古拉兹光滑管公式

粗糙区沿程摩阻系数

尼古拉兹粗糙管公式

沿程摩阻系数的经验公式

谢才公式：

其中

曼宁公式

v断面平均流速

R水力半径

J水力坡度

C谢才系数

非圆管沿程损失

当量直径de：把水力半径相等的圆管直径。当量直径是水力半径的4倍de=4R圆。同理

当量相对粗糙ks/de

＼

R——水力半径

A——过流断面面积

适用范围：长狭缝，狭环形不适用。层流不适用

（9）

局部水头损失

公式：

局部水头损失系数

v-对应的断面平均流速

突然扩大管

动量方程

将上式的中的全部等于0

则可得包达公式：

V1A1=v2A2

自由出流

淹没出流

突然缩小管

管道入口损失系数

（10）

边界层概念与绕流阻力

边界层：全部摩擦损失都发生在紧靠固体边界的薄层内，这一薄层就是边界层。

绕流阻力：流体作用于绕流物体上，平行于来流方向的力。

绕流阻力包括摩擦阻力和压差阻力两部分。绕流阻力系数CD主要取决于

雷诺数，并和物体的形状、表面的粗糙情况，以及来流的紊动强度有关。

卡门涡街：Re≈90，旋涡交替脱落，形成卡门涡街

压差阻力：物体绕流，除了沿物体表面的摩擦阻力耗能，还有尾流旋涡耗能，使得尾

流区物体表面的压强低于来流的压强，而迎流面的压强大于来流的压强，这两部分的压强差，造成作用于物体上的压差阻力。

第5章

孔口、管嘴出流和有压管流

1孔口出流：容器壁上开孔，水经孔口流出的水力现象。孔口出流只有局部水头损失。

小孔口出流

大孔口出流

自由出流：水由孔口流入大气中。

收缩断面流速

孔口流量（大小孔口均适用）

收缩系数

其中：

作用水头，若，则

=H

孔口的局部水头损失系数

孔口流量系数

薄壁小孔口的各项系数

收缩系数

损失系数

流速系数

流量系数

0.64

0.06

0.97

0.62

淹没出流：谁由孔口直接流入另一部分水体中。

收缩断面流速

孔口流量

H0作用水头，若则H0=H1-H2

注意：自由出流的水头H使水面至孔口形心的深度，而

淹没出流的水头H是上下游水头的高差。淹没出流孔口断面的各点水头相等，所以淹没出流无大小孔口之分。

孔口的变水头出流（非恒定流）：孔口出流时，容器内水位随时间变化，导致孔口的流量随

时间变化的流动。

H1降至H2所需时间

若将水放空H2=0则

V容器放空的体积

出流时的最大流量

注：容器放空，放空时间是水位不下降时放空所需时间的两倍

管嘴出流：在孔口处对接一个3—4倍孔径长度的短管，水体通过短管并在出口断面满管

流出的水力现象。

管嘴出口流速

管嘴流量

H0作用水头

若V0=0，则H0=H

流量系数Un=1.32U,可见在相同的作用水头下，同

样面积的管嘴出流能力是孔口过流能力的1.32倍。

收缩断面的真空度

流体经圆柱形管嘴或扩张管嘴时，由于

惯性作用，在管中某处形成收缩断面，产生环

行真空，从而增加了水流的抽吸力，使其出流量比孔口有所增加。

圆柱形外管嘴的正常工作条件

①作用水头

工作条件

②管度嘴长

有压管流：流体沿管道满管流动的水力现象。

短管：水头损失中，沿程水头损失和局部水头损失都占相当比重，二者都不可忽略的管道。

流速

流量

虹吸管正常工作条件最大真空度

最大安装高度

长管：水头损失以沿程水头损失为主，局部水头损失和流速水头的总和同沿程水头损失相比

很小，忽略不计仍能满足工程要求的管道。（全部作用水头都消耗在沿程水头损失）

简单管道：沿程直径和流量都不变的管道。

比阻

（单位：s2/m6

阻抗

（单位：s2/m5）

串连管道：由直径不同的管段顺序连接起来的管道。串联管道的水头线是一条折线。

（）

并联管道：在两节点之间，并联两根以上管段的管道。

（并联管路）

（总管路）

有压管道中的水击

水击：再有压管道中，由于某种原因使水流速度突然发生变化，同时引起压强大幅度波动的现象。

水击条件：管道内水流速度突然变化。

水击发生的内在原因：水本身具有惯性和压缩性.直接水击

间接水击

水击波的传播速度

相长：在一个周期内，水击波由阀门传到进口，再由进口传至阀门，共往返两次往返一次

所需要的时间称为相或相长。

水击波传播过呈

第一阶段：增压波从阀门向管道进口传播，处于增压状态。

第二阶段：减压波从管道进口向阀门处传播，恢复原来状态。

第三阶段：减压波从阀门向管道进口传播，处于减压状态。

第四阶段：增压波从管道进口向阀门传播，重复上述四个阶段。

防止水击危害的措施

（1）限制流速

（2）控制阀门关闭或开启时间

（3）缩短管道长度、采用弹性模量较小材质的管道

（4）设置安全阀，进行水击过载保护

第6章

明渠流动

1明渠流动：水流的部分周界与大气接触，具有自由表面的流动。无压流.明渠流动特点：

1）

明渠流有自由面,随时空变化,呈现各种水面形态。而有压管流无自由液面

2）

明渠底坡的改变对断面的流速和水深有直接影响

3）

明渠局部的边界的变化，会造成水深在很长的流程上发生变化

2底坡：底线沿流程单位长度的降低值，用i表示。

3棱柱形渠道与非棱柱形渠道

棱柱形渠道：

断面形状尺寸沿程不变的长直渠道。

明渠均匀流：流线为平行直线的明渠水流。

条件1）自由表面

2）等深

3）等速

特征：

1）.明渠均匀流为匀速流、等深流，只可能发生在棱柱形渠道中

2）.明渠均匀流只可能发生在顺坡的棱柱形渠道中

3）.明确均匀流只可能发生在坡度、粗糙系数不变的顺坡的棱柱形渠道中

4）.明渠均匀流具有渠道底坡线//水面线（测压管水头线）//总水头线

α

b

B

h

过流断面的几何要素

b——底宽；

h——水深；

m——边坡系数

m=cotα。m越大，边坡越

缓；m越小，边坡越陡；

m=0时是

矩形断面。m根据边坡岩土性质及设计范围来选定。

导出量

：

B——水面宽，B=b+2mh

A——过水断面面积，A=(b+mh)h

χ——过水断面湿周R——水力半径

明渠均匀流基本公式

流速：

流量：

C

——

谢才系数，按曼宁公式计算

n

——

粗糙系数，见表4-3。

K——流量模数

明渠均匀流水力计算

水力计算任务则是：

给定Q、b、h、i

中三个，求解另一个

1）

验算渠道的输水能力

2）决定渠道底坡

3）

设计渠道断面（宽深比为2）

水力最优断面和设计流速

（1）

水力最优断面：设计的过水断面形式能使渠道通过的流量为最大。

当

Q

=

一定，要求：A

→

Amin

当

A

=

一定，要求：Q

→

Qmax

要在给定的过水断面积上使通过的流量为最大，过水断面的湿周就必须为最小。

最佳断面形状：半圆形

工程中接近圆形断面形状的为梯形断面

梯形断面的湿周χ=b+2h

例子：

χ=

边坡系数m已知，由于面积A给

定，b和h相互关联，b=A/h

–

mh，所以

在水力最优条件下应有：

得到水力最优的梯形断面的宽深比条件

4无压圆管均匀流

无压圆管：圆形断面不满管流的长管道。

无压圆管均匀流的特征

J=Jp=i；

Q=AC（Ri）½

无压圆管均匀流，流速和流量分别在水流为满管流之前，达到其最大值

过流断面的几何要素

d-直径

h-水深

α-充满度

水深为h水深与直径的比值α=h/d

θ-充满角

充满度与充满的关系角

导出量：

过水面积：

湿周：

水力半径：无压圆管的水力计算

无压圆管的水力计算

1）验算无压管道的输水能力，即已知d、α、i、n求Q

2)

确定无压管道坡度i，即已知d、α、Q、n求i。这类计算在工程上有应用价值，如排水管或下水道为避免沉积淤塞，要求有一定的“自清”速度，就必须要求有一定的坡度。

3)

求水深，已知d、Q、i、n求α(即求h)

4)

求管直径，已知Q、α、i、n求d；

运用公式：

输水性能最优充满度

水力最优充满度：无压圆管，在漫流前（h＜d），输水能力达到最大值，相应的充满度。

明渠流动状态

特征：v、h

沿程改变，水面线一般为曲线

J

≠

Jp≠

i

明渠非均匀流的两种流动型态

缓流：——若障碍物对水流的干扰可向上游传播，则为缓流。

急流：——若障碍物对水流的干扰只能向下游传播，不能向上游传播，则为急流。

断面单位能量：——基准面选在过流断面最低处时，流体所具有的机械能。

临界水深

hc——对应断面单位能量最小的水深。

hc的求解方法：对矩形断面

临界底坡

ic

——正常水深恰好等于临界水深时的渠底坡度。

判别流动型态的标准

缓流：Fr<

1；

h

>h

c；

i

ic；

v

v

c；

v

c；

急流：Fr>

1；

h

c；

i

ic；

v

v

c；

v

c；

临界流：Fr=

1；

h

=h

c；

i

=

ic；

v

=

v

c；

v

=

c；

6水跃和水跌

水跃：明渠流从急流状态过度到缓流状态时，水面突然跃起的局部水力现象。

水跌：——

在渠道中，水流由缓流向急流过渡时水面突然跌落的水力现象。

第7章

堰流

堰流及其特性

堰：在明渠缓流中设置障壁，它即能壅高渠中的水位，又能自然溢流，一种既可蓄又可泄的溢流设施。

堰流：水经过堰顶溢流的水力现象。

堰的分类

宽顶堰溢流

水力现象分析：

（1）当

时，堰顶水面只有一次跌落，堰坎末端偏上游处的水深为临界

水深

h

c。

（2当

时，堰顶水面出现两次跌落，在最大跌落处形成收缩断面，其

水深为：h

c≈（0.8～0.92）h

c

基本公式

：

自由式无侧收缩宽顶堰流量公式：取1-1，2-2断面写能量方程

堰上水头

收缩水深

流速

流量

其中

m——堰流量系数。一般m值在0.32-0.38之间

流量系数的计算：

直角进口

圆弧进口

淹没影响

淹没溢流的充分条件：堰上水流由急流变为缓流

淹没系数随淹没程度hs/H0的增大而减小。

侧收缩的影响

有侧收缩非淹没式宽顶堰

有侧收缩淹没式宽顶堰

侧收缩系数

3薄壁堰和实用堰溢流

薄壁堰

m0是计入行近流速水头影响的流量系数，由试验测得，巴赞经验公式：

公式适用范围：b=0.2~2.0m，P=0.24~0.75m，H=0.05~1.24m，式中H、P均以m计。

有侧收缩、自由式、水舌下通风的矩形正堰：巴赞修正公式：

三角形薄壁堰

三角堰的流量计算公式

梯形堰的流量计算公式

实用溢流堰

主要用于蓄水或挡水，其剖面可设计成曲线型，折线型。

分类：

计算式

自由式无侧收缩：

有侧收缩：

淹没式：

2>

ε——为侧收缩系数，初步估算时常取ε

=0.85-0.95。

第8章

渗流

1概述

（1）渗流——流体在多孔介质中的流动。

（2）多孔介质——由固体骨架分隔成大量密集成群的微小空隙所构成的物质。

（3）地下水流动——水在土壤或岩石的空隙中流动,称地下水流动。

渗流模型

渗流模型是渗流区域(流体和孔隙所占据的空间)的边界条件保持不变,略去全部土颗粒,认为渗流区连续充满流体,而流量与实际渗流相同,压强和渗流阻力也与实际渗流相同的替代流场.渗流模型应遵循的原则：

渗流速度

n

——土壤孔隙率；

实际速度

渗流的分类

不计流速水头

渗流的阻力定律

水头损失

水力坡度

基本关系式

达西定律

k—渗透系数。表示土壤在透水方面的物理性质

对均质土壤，均匀渗流，点流速

非均匀、非恒定渗流

（1）

对于恒定、均匀流

：

（2）恒定渐变流一般式：

渗流速度与水力坡度的一次方成正比，故地下水遵循层流运动。

达西定律的适用范围

对于渗流运动，由实验知道，层流与紊流的判别标准是：

Recr=1～10

达西定律一般认为只适用于层流；也有人认为适用于平均粒径在0.01～3mm的土壤。

渗透系数

k的确定

k

是达西定律中的重要参数，反映了孔隙介质的透水性能，也称导水率。

裘皮依公式

dH——相邻两断面1—1，2—2间的水头差

dS

——相邻两断面1—1，2—2之间的间距

同一过流断面上各点渗流流速：点流速：

断面平均流速：裘皮依公式：

对恒定渐变渗流，裘皮幼公式

v

=

u

=

k

J

中，J表示：1.断面上的水力

坡度；2.浸润曲线坡度；3.流程中测压管水头线坡度；4.流程中总水头线坡度。

井和井群

普通井（潜水井）:在地表下面潜水含水层中开凿的井。

自流井（承压井）：含水层位于两个不透水层之间，顶面的压强大与大气压强，这样的含水层是承压含水层，汲取承压地下水的井。

完全井（完整井）：井管贯穿整个含水层，井底直达不透水层的井。

不完全井（不完整井）：井底未达不透水层的井。

完全普通井

井的渗流量：

完全自流井

井群：在工程中中为了大量地汲取地下水，或更有效地降低地下水位，在一定的范围内开凿的多口井。

第九章

量纲分析和相似原理

1基本概念

量纲：物理量的属性类别。

说明：量纲有有量纲数（量纲和单位组成）和无量纲数。

基本量纲：不能用其它量纲导出的、互相独立的量纲。长度量纲：

[L]

质量量纲：

[M]

时间量纲：

[T]

温度量纲：

[Θ]。

导出量纲：可由基本量纲导出的量纲。速度量纲：[

L

T

–1]

流量量纲：[

L3

T

–1]。

注：不可压缩流体运动，则选取M、L、T三个基本量纲，其他物理量量纲均为导出量纲。

速度

dimv=LT-1

加速度

dima=LT-2

力

dimF=MLT-2

动力粘度

dimμ=ML-1T-1

导出量纲公式：dimq=[M

a

L

b

Tc

]

1>

当

a

=

0，b

≠

0，c

=

0

时：为几何学量纲。

2>

当

a

=

0，b

≠

0，c

≠

0

时：为运动学量纲。

3>

当

a

≠

0，b

≠

0，c

≠

0

时：为动力学量纲。

无量纲量：量纲公式中各量纲指数均为零，即a=b=c=0时,则dimq=1，这个物理量即无量纲量。

①可以由两个具有相同量纲的物理量相比得到；

②也可以由几个有量纲物理量乘积组合，使组合量的量纲指数为零得到

特点：①客观性。

②不受运动规模的限制。

③除能进行简单的代数运算外，也可进行超越函数运算。

量纲和谐原理：凡正确反映客观规律的物理方程，其各项的量纲必须是一致的。

量纲分析法：

瑞利法：某一物理过程同几个物理量有关

其中的某一

个物理量

q

可表示为其他物理量的指数乘积,写出量纲式

量纲式中各物理量按

表示为基本量纲的指数乘

积形式，根据量纲和谐原理，确定指数a、b、∙∙∙∙∙∙、p就可得出表

达该物理过程的方程式。

举例：已知影响水泵输入功率的物理量有：水的重度γ，流量Q，扬程

H

。求水泵输入功率N的表达式。

3>

据量纲的和谐原理有：

故得：

N

=

k

γ

Q

H

π定理：某一物理过程包含n个物理量，即

其中有m个基本量（量纲独立，不能相互导出的物理量），则该物理过程可由n个物理量构成的（n－m）个无量纲项所表达的关系式来描述。即

π定理的应用步骤

（1）找出物理过程中的有关物理量，即

（2）从n个物理量中选取m个物理量，一般取m＝3；对于不可压缩流体运动，通常选取速度

q1、密度

q2、特征长度

q3为基本量

（3）基本量依次与其余物理量组成π项

(4）满足π为无量纲项，定出各π项基本量的指数a、b、c

（5）整理方程式

例3：液体在水平等直径的管内流动，设两点压强差△p与下列变量有关：管径d,ρ,υ,l,μ,管壁粗糙度△，试求△p的表达式。

解：（1）找出有关物理量

F（d,ρ,υ,l,μ,△,△p）=0

（2）

选基本量，组成π项。基本量d,ρ,υ,n=7,m=3,π数n-m=4个

（3）

决定各π项基本量指数

对π1：

对π2：

同理得

：

（4）

整理方程式

模型实验：从模型上得到的现象可用来推断原型上可能发生的情况。

原型：天然水流和实际建筑物称为原型

模型：指与原型（工程实物）有同样的运动规律，各运动参数存在固定比例关系的缩小物。

几何相似:

两个流动（原型、模型）流场的几何形状相似。

条件：1>

对应线性尺寸成比例；

2>

对应角相等；

运动相似:

两个流场对应点上同名的运动学量成比例。

条件：1>

几何相似：

2>

对应点上速度(加速度)的方向相对应，大小成比例

动力相似:

两个流动对应点上受到同名力的作用，力的方向相同、大小成比例。

条件：1>

几何相似；

2>

对应点上同物理性质的力方向相对应，大小成比例。

初始条件和边界条件相似:

两个流动相应边界性质相同，如原型中的固体壁面，模型中相应部分也是固体壁面；原型中的自由液面，模型相应部分也是自由液面。

粘滞力相似准则——雷诺准则

（作用在流体上的力主要是粘滞力）。

（Re）p

=（Re）m

粘滞力相似，适用于粘滞力起主要作用的流动，如全封闭边界中的流动，有压管流，潜体（飞机、潜艇等）情况。

重力相似准则——弗劳德准则（作用在流体上的力主要是重力）

(Fr)p

=

(Fr)m

适用于主要靠重力流动的流体。如明渠流、闸孔出流、堰顶溢流、消力池、桥墩等。

压力相似——欧拉准则

（作用在流体上的力主要是压力）。

(Eu)p

=

(Eu)m

适用于压力起主要作用的流动。如全封闭流体、压力体等。

说明：只要粘滞力，重力相似，压力将自行相似。雷诺准则，弗劳德准则成立，欧拉准则可以自行成立，所以将前者称为定性准则，后者称为导出准则。

模型试验：依据相似原理，制成与原型相似的小尺度模型进行实验研究，并以实验的结果预测出原型将会发生的流动现象。

第四篇：流体力学知识点总结

流体力学知识点总结

第一章

绪论

液体和气体统称为流体，流体的基本特性是具有流动性，只要剪应力存在流动就持续进行，流体在静止时不能承受剪应力。

流体连续介质假设：把流体当做是由密集质点构成的，内部无空隙的连续体来研究。

流体力学的研究方法：理论、数值、实验。

作用于流体上面的力

（1）表面力：通过直接接触，作用于所取流体表面的力。

ΔF

ΔP

ΔT

A

ΔA

V

τ

法向应力pA

周围流体作用的表面力

切向应力

作用于A上的平均压应力

作用于A上的平均剪应力

应力

为A点压应力，即A点的压强

法向应力

为A点的剪应力

切向应力

应力的单位是帕斯卡（pa），1pa=1N/㎡，表面力具有传递性。

（2）

质量力：作用在所取流体体积内每个质点上的力，力的大小与流体的质量成比例。（常见的质量力：重力、惯性力、非惯性力、离心力）

单位为

流体的主要物理性质

（1）

惯性：物体保持原有运动状态的性质。质量越大，惯性越大，运动状态越难改变。

常见的密度（在一个标准大气压下）：

4℃时的水

20℃时的空气

（2）

粘性

h

u

u+du

U

z

y

dy

x

牛顿内摩擦定律：

流体运动时，相邻流层间所产生的切应力与剪切变形的速率成正比。即

以应力表示

τ—粘性切应力，是单位面积上的内摩擦力。由图可知

——

速度梯度，剪切应变率（剪切变形速度）

粘度

μ是比例系数，称为动力黏度，单位“pa·s”。动力黏度是流体黏性大小的度量，μ值越大，流体越粘，流动性越差。

运动粘度

单位：m2/s

同加速度的单位

说明：

1）气体的粘度不受压强影响，液体的粘度受压强影响也很小。

2）液体　　T↑　μ↓

气体　　T↑　μ↑

无黏性流体

无粘性流体，是指无粘性即μ=0的液体。无粘性液体实际上是不存在的，它只是一种对物性简化的力学模型。

（3）

压缩性和膨胀性

压缩性：流体受压，体积缩小，密度增大，除去外力后能恢复原状的性质。

T一定，dp增大，dv减小

膨胀性：流体受热，体积膨胀，密度减小，温度下降后能恢复原状的性质。

P一定，dT增大，dV增大

A

液体的压缩性和膨胀性

液体的压缩性用压缩系数表示

压缩系数：在一定的温度下，压强增加单位P，液体体积的相对减小值。

由于液体受压体积减小，dP与dV异号，加负号，以使к为正值；其值愈大，愈容易压缩。к的单位是“1/Pa”。（平方米每牛）

体积弹性模量K是压缩系数的倒数，用K表示，单位是“Pa”

液体的热膨胀系数：它表示在一定的压强下，温度增加1度，体积的相对增加率。

单位为“1/K”或“1/℃”

在一定压强下，体积的变化速度与温度成正比。水的压缩系数和热膨胀系数都很小。

P

增大

水的压缩系数K减小

T升高

水的膨胀系数增大

B

气体的压缩性和膨胀性

气体具有显著的可压缩性，一般情况下，常用气体（如空气、氮、氧、CO2等）的密度、压强和温度三者之间符合完全气体状态方程，即

理想气体状态方程

P

——

气体的绝对压强（Pa）；

ρ

——

气体的密度（Kg/cm3）；

T

——

气体的热力学温度（K）；

R

——

气体常数；在标准状态下，M为气体的分子量，空气的气体常数R=287J/Kg．K。

适用范围：当气体在很高的压强，很低温度下，或接近于液态时，其不再适用。

第二章

流体静力学

静止流体具有的特性

（1）

应力方向沿作用面的内发现方向。

（2）

静压强的大小与作用面的方位无关。

流体平衡微分方程

欧拉

在静止流体中，各点单位质量流体所受表面力

和质量力相平衡。

欧拉方程全微分形式：

等压面：压强相等的空间点构成的面（平面或曲面）。

等压面的性质：平衡流体等压面上任一点的质量力恒正交于等压面。

由等压面的这一性质，便可根据质量力的方向来判断等压面的形状。质量力只有重力时，因重力的方向铅垂向下，可知等压面是水平面。若重力之外还有其它质量力作用时，等压面是与质量力的合力正交的非水平面。

液体静力学基本方程

P0

P1

P2

Z1

Z2

P—静止液体内部某点的压强

h—该点到液面的距离，称淹没深度

Z—该点在坐标平面以上的高度

P0—液体表面压强，对于液面通大气的开口容器，视为

大气

压强并以Pa表示

推论

（1）静压强的大小与液体的体积无关

（2)两点的的压强差

等于两点之间单位面积垂

直液柱的重量

（3）平衡状态下，液体内任意压强的变化，等值的传递到其他各点。

液体静力学方程三大意义

⑴.位置水头z：任一点在基准面以上的位置高度，表示单位重量流体从某一基准面算起所具有的位置势能，简称比位能，或单位位能或位置水头。

⑵.压强水头：

表示单位重量流体从压强为大气压算起所具有的压强势能，简称比压能或单位压能或压强水头。

⑶.测压管水头（）：单位重量流体的比势能，或单位势能或测压管水头。

压强的度量

绝对压强：以没有气体分子存在的完全真空为基准起算的压强，以符号pabs表示。（大于0）

相对压强：以当地大气压为基准起算的压强，以符号p表示。

（可正可负可为0）

真空：当流体中某点的绝对压强小于大气压时，则该点为真空，其相对压强必为负值。真

空值与相对压强大小相等，正负号相反（必小于0）

相对压强和绝对压强的关系

绝对压强、相对压强、真空度之间的关系

压强单位

压强单位

Pa

N/m2

kPa

kN/m2

mH2O

mmHg

at

换算关系

98000

736

说明：计算时无特殊说明时液体均采用相对压强计算，气体一般选用绝对压强。

测量压强的仪器（金属测压表和液柱式测压计）。

（1）

金属测压计测量的是相对压强

（弹簧式压力表、真空表）

（2）

液柱式测压计是根据流体静力学基本原理、利用液柱高度来测量压强（差）的仪器。

测压管

A点相对压强

真空度

U形管测压计

上式的图形

倾斜微压计

压差计

例8：在管道M上装一复式U形水银测压计，已知测压计上各液面及A点的标高为：1=1.8m

=0.6m，Ñ=2.0m，Ñ=1.0m，=Ñ=1.5m。试确定管中A点压强。

作用在平面上的静水总压力

图算法

（1）

压强分布图

根据基本方程式：

绘制静水压强大小；

（2）

静水压强垂直于作用面且为压应力。

图算法的步骤是：先绘出压强分布图，总压力的大小等于压强分布图的面积S，乘以受压面的宽度b，即

P=bS

总压力的作用线通过压强分布图的形心，作用线与受压面的交点，就是总压力的作用点

适用范围：规则平面上的静水总压力及其作用点的求解。

原理：静水总压力大小等于压强分布图的体积，其作用线通过压

强分布图的形心，该作用线与受压面的交点便是压心P。

经典例题

一铅直矩形闸门，已知h1=1m，h2=2m，宽b=1.5m，求总压力及其作用点。

梯形形心坐标:

a上底，b下底

解：

总压力为压强分布图的体积：

作用线通过压强分布图的重心：

解析法

总压力

=

受压平面形心点的压强×受压平面面积

合力矩定理：合力对

任一轴的力矩等于各分力对同一轴力矩之和

平行移轴定理

解：

经典例题

一铅直矩形闸门，已知h1=1m，h2=2m，宽b=1.5m，求总压力及其作用点。

作用在曲面上的静水压力

二向曲面——具有平行母线的柱面

水平分力

作用在曲

面上的水平分力等于受压面形心处的相对压强PC与其在垂

直坐标面oyz的投影面积Ax的乘积。

铅垂分力

合力的大小

合力的方向

PX

=

受压平面形心点的压强

p

c×

受压曲面在yoz

轴上的投影

AZ

PZ

=

液体的容重γ×压力体的体积

V

注明：P的作用线必然通过Px和Pz的交点，但这个交点不一定在曲面上，该作用线与曲面的交点即为总压力的作用点

压力体

压力体分类：因Pz的方向（压力体

——压力体和液面在曲面AB的同侧，Pz方向向下

虚压力体

——压力体和液面在曲面AB的异侧，Pz方向向上）

压力体叠加

——对于水平投影重叠的曲面，分开界定压力体，然后相叠加，虚、实压力体重叠的部分相抵消。

潜体——全部浸入液体中的物体称为潜体，潜体表面是封闭曲曲。

浮体——部分浸入液体中的物体称为浮体。

第三章

流体动力学基础

基本概念：

（1）

流体质点(particle)：体积很小的流体微团，流体就是由这种流体微团连续组成的。

（2）

空间点:

空间点仅仅是表示空间位置的几何点，并非实际的流体微团。

（3）

流场：充满运动的连续流体的空间。在流场中，每个流体质点均有确定的运动要素。

（4）

当地加速度（时变加速度）：在某一空间位置上，流体质点的速度随时间的变化率。

迁移加速度（位变加速度）：某一瞬时由于流体质点所在的空间位置的变化而引起的速度变化率。

（5）

恒定流与非恒定流：一时间为标准，各空间点上的运动参数都不随时间变化的流动是恒定流。否则是非恒定流。

（6）

一元流动：运动参数只是一个空间坐标和时间变量的函数。

二元流动：运动参数只是两个空间坐标和时间变量的函数。

三元流动：以空间为标准，各空间点上的运动参数是三个空间坐标和时间的函数。

（7）流线：某时刻流动方向的曲线，曲线上各质点的速度矢量都与该曲线相切。

流线性质

（1）流线上各点的切线方向所表示的是在同一时刻流场中这些点上的速度方向，因而流线形状一般都随时间而变。

（2）流线一般不相交（特殊情况下亦相交：V=0、速度=）

（3）流线不转折，为光滑曲线。

（8）迹线：流体质点在一段时间内的运动轨迹。

迹线与流线

（1）恒定流中，流线与迹线几何一致。

异同

（2）非恒定流中，二者一般重合，个别情况（V=C）二者仍可重合。

（9）流管：某时刻，在流场内任意做一封闭曲线，过曲线上各点做流线，所构成的管状曲面。

流束：充满流体的流管。

（10）过流断面：在流束上作出的与所有的流线正交的横断面。过流断面有平面也有曲面。

（11）元流：过流断面无限小的流束，几何特征与流线相同。

总流：过流断面有限大的流束，有无数的元流构成，断面上各点的运动参数不相同。

（12）体积流量：单位时间通过流束某一过流断面的流量以体积计量。

重量流量：单位时间通过流束某一过流断面的流量以重量计量。

质量流量：单位时间通过流束某一过流断面的流量以质量计量。

（13）断面平均流速：流经有效截面的体积流量除以有效截面积而得到的商。

（14）均匀流与非均匀流：流线是平行直线的流动是均匀流，否则是非均匀流。

均匀流的性质

1>

流体的迁移加速度为零；

2>

流线是平行的直线；

3>

各过流断面上流速分布沿程不变。

4>

动压强分布规律=静压强分布规律。

（15）非均匀渐变流和急变流：非均匀流中，流线曲率很小，流线近似与平行之线的流动是非均匀渐变流，否则是急变流。均匀流的各项性质对渐变流均适用。

欧拉法（Euler

method）

速度场

压力场

加速度

全加速度

＝

当地加速度

＋

迁移加速度

A

B

如图所示：（1）水从水箱流出，若水箱无来水

补充，水位H逐渐降低，管轴线上A质点速度随时间减小，当地加速

度为负值，同时管道收缩，指点速度随迁移增大，迁移加速度为正值，故二者加速度都有。

（2）若水箱有来水补充，水位H保持不变，A质点出的时间不随时间变化，当地加速度=0，此时只有迁移加速度。

3流量、断面平均流速

4流体连续性方程

物理意义：单位时间内，流体流经单位体积的流出与流入之差与其内部质量变化的代数和为零。

对恒定流

对不可压缩流体

【例】

假设有一不可压缩流体三维流动，其速度分布规律为：U=3（x+y3)，V=4y+z2，W=x+y+2z。试分析该流动是否存在。

【解】

故此流动不连续。不满足连续性方程的流动是不存在的。

5恒定总流连续性方程

或

物理意义：对于不可压缩流体，断面平均流速与过水断面面积成反比，即流线密集的地方流速大，而流线疏展的地方流速小。

适用范围：固定边界内的不可压缩流体，包括恒定流、非恒定流、理想流体、实际流体。

6流体的运动微分方程

无粘性流体运动微分方程

或

粘性流体运动微分方程

N—S方程

拉普拉斯算子

7元流的伯努利方程

伯努利方程

公式说明：

（1）适用条件

①理想流体

②恒定流动

③质量力只受重力

④不可压流体

⑤沿流线或微小流束。

（2）此公式就是无粘性流体的伯努利方程

各项意义

（1）

物理意义

Ｚ——比位能

——比压能

——比动能

（2）

几何意义

Ｚ——位置水头

——压强水头

——流速水头

物理三项之和：单位重量流体的机械能守恒。几何三项之和：总水头相等，为水平线

粘性流体元流的伯努利方程

公式说明：（1）实际液体具有粘滞性，由于内摩擦阻力的影响，液体流动时，其能量将沿程不断消耗，总水头线因此沿程下降，固有H1＞H

（2）上式即恒定流、不可压缩实际液体动能量方程，又称实际液体元流伯努利方程。

粘性流体总流的伯努利方程

（1）势能积分：

z

——

比位能（位置水头）

——

比压能（压强水头，测压管高度）

（2）动能积分：

——

比势能（测压管水头）

——

总比能（总水头）

——

比动能（流速水头）

（3）损失积分：

——

平均比能损失

（水头损失）,单位重流体克服

流动阻力所做的功。

气流的伯努利方程

动能修正系数

动量修正系数

沿程有能量输入或输出的伯努利方程

+Hm——单位重量流体通过流体机械获得的机械能（水泵的扬程）

-Hm——单位重量流体给予流体机械的机械能（水轮机的作用水头）

沿程有汇流或分流的伯努利方程

8水头线：总流沿程能量变化的几何表示。

水力坡降：单位长度上的水头损失

9总流的动量方程

第五篇：流体力学知识点总结

流体力学

11.1

流体的基本性质 1)压缩性

流体是液体与气体的总称。从宏观上看，流体也可看成一种连续媒质。与弹性

体相似，流体也可发生形状的改变，所不同的是静止流体内部不存在剪切应力，这是因为如果流体内部有剪应力的话流体必定会流动，而对静止的流体来说流动是不存在的。如前所述，作用在静止流体表面的压应力的变化会引起流体的体积应变，其大小可由胡克定律

vpkv

描述。大量的实验表明，无论气体还是液体都是可以压缩的，但液体的可压缩量通常很小。例如在500个大气压下，每增加一个大气压，水的体积减少量不到原体积的两万分之一。同样的条件下，水银的体积减少量不到原体积的百万分之四。因为液体的压缩量很小，通常可以不计液体的压缩性。气体的可压缩性表现的十分明显，例如用不大的力推动活塞就可使气缸内的气体明显压缩。但在可流动的情况下，有时也把气体视为不可压缩的，这是因为气体密度小在受压时体积还未来得及改变就已快速地流动并迅速达到密度均匀。物理上常用 马赫数M来判定可流动气体的压缩性，其定义为M=流速/声速，若M2<<1，可视气体为不可压缩的。由此看出，当气流速度比声速小许多时可将空气视为不可压缩的，而当气流速度接近或超过声速时气体应视为可压缩的。总之在实际问题中若不考虑流体的可压缩性时，可将流体抽象成不可压缩流体这一理想模型。

2)粘滞性

为了解流动时流体内部的力学性质，设想如图10.1.1所示的实验。在两个靠得很近的大平板之间放入流体，下板固定，在上板面施加一个沿流体表面切向的力F。此时上板面下 的流体将受到一个平均剪应力F/A的作用，式中A是上板的面积。

实验表明，无论力F多么小都能引起两板间的流体以某个速度流动，这正是流体的特征，当受到剪应力时会发生连续形变并开始流动。通过观察可以发现，在流体与板面直接接触处的流体与板有相同的速度。若图10.1.1中的上板以速度u沿x方向运动下板静止，那么中间各层流体的速度是从0（下板）到u（上板）的一种分布，流体内各层之间形成流速差或速度梯度。实验结果表明，作用在流体上的切向力F正比与板的面积和流体上表面的速度u反比与板间流体的厚度l，所以F可写成

AuFl，因而流体上表面的剪应力可以写成

ul。

u 式中l是线段ab绕a点的角速度或者说是单位时间内流体的角形变。若用微分形式表示更具有普遍性，这时上式可以改写成

dudl，dudFdAdl。

或

上式就是剪应力所引起的一维流体角形变关系式，比例系数称为流体的粘滞系数，上式叫做牛顿粘滞性定律。为常数的流体称为牛顿流体，它反映了切应力与角形变是线性关系，不是常数的流体称为非牛顿流体。

流体的粘滞系数是反映流体粘滞性的大小的物理量，在国际单位制中，粘滞系数的单位是牛顿秒/米2。所谓粘滞性是指当流体流动时，由于流体内各流动层之间的流速不同，引起各流动层之间有障碍相对运动的内“摩擦”，而这个内摩擦力就是上式中的切向力，物理学中把它称为粘滞阻力。因此上式实际上是流体内部各流动层之间的粘滞阻力。

实验表明，任何流体流动时其内部或多或少的存在粘滞阻力。例如河流中心的

水流动的较快，而靠近岸边的水却几乎不动就是水的粘滞性造成的。在实际处

理流体的流动问题时，若流动性是主要的粘滞性作用影响不大，则可认为流体

是完全没有粘滞性的，这种理想的模型叫做非粘滞性流体。

3）压力与压强

从前面的讨论知道静止流体表面上没有剪应力，所以容器壁作用在静止流体

表面上的力是与液体表面正交的，按牛顿第三定律流体作用在容器壁上的力也与

容器壁表面正交，这一点对静止液体内部也成立。在静止液体内过某一点作一假

想平面，平面一方流体作用该平面的力也总是垂直于该假想平面。流体表面与流

体内各点的压力一般是不一样的，在流体表面压力的方向只能是垂直于液体表面，而流体内部某点的压力沿各个方向都有，因为过流体内部一点我们可以取任意

方向的平面。在流体力学中为了描述流体内部的作用力，引入一个叫做压强的物

理量，规定压强是作用于流体内单位面积上垂直力的数值，它是一标量。为了计

算流体内某一点的压强，我们应该设想通过该点的假想平面s是无限小的，若该

面上的正压力为F，则定义该点的压强

Fplims0s。

在国际单位制中压强的单位是牛顿/米2，也称为帕用Pa表示。在实际应用中压强也有用等价的流体柱高表示的，如医用测量血压的仪器就是用水银柱高作为压强的单位。流体力学中压强是标量但力是矢量，面元的法向也是矢量。既然流体内部的力总是垂直于假想平面，因此可定义流体内某点力的方向与它所作用平面的内法线方向一致，这样作用流体内任一面元上的力F可写成 dF= pds。由于流体内部每一点都有压强所以说流体内每一点都存在压力，至于压力的方向由所考虑平面的法线决定，可以是任何的方向，当流体流动时压强与压力的关系不变。4）流体的密度和比重

在流体力学中常用密度来描述流体的动力学规律，其定义和固体定义一样为单位体积流体的质量，即流体内某点的密度为

lim

mdmv0vdv。

对均匀不可压缩的流体密度是常数，一般情况下流体内部各点的密度是不相同的。单位体积流体的重量称为流体的比重。设想在流体内部取一小体积v，v中包含流体的质量为m，因而v内流体的重量为mg，由定义该流体的比重

mglimgv0v。

11.2 流体静力学方程 1）静止流体内任一点的压强

静止流体内过一点可以沿许多不同的方向取面元，现在来研究这些不同取向的面元上压强有什么关系。在静止的流体内部取一个很小的四面体ABC包围该点，如图10.2.1所示。设面元ABC法线的方向余弦为、、，周围流体对该点作用力（压力）可以用压强P1、P2、P3和P表示，当流体静止时所受到的合外力为零，即

因为 P1SCOBPSABC0P2SOACPSABC0PSPS0ABC3OABSABCSCOBSABCSOACSSOABABC

由上式得到

P = P1= P2 = P3。

由于四面体是任意选取的，于是我们可以得出结论：静止流体内部任一点上沿各个方向的压强都相等，与过这点所取面元法线的方向无关。正因为如此，流体力学中压强只与流体内的点对应而不必强调压强是对哪一个面的。2）流体静力学方程

处理流体静力学问题时，常常取流体内部一个小流体元作为研究对象。作用在小流体元上的力大致可分为两类。一类是作用在小流体元外表面上的压力，我们称之为面力，如液体表面的正压力Pds。另一类是作用在整个小流体元上与流体元的体积成正比的力，如重力gdv、惯性力等，我们称为体力。下面从牛顿定律出发推导流体静力学满足的普遍方程。当流体处于静止状态时，流体内任一小流体元受到的面力与体力之和必定为零，即平衡条件为

F面F体0。

与压强类似，我们引入一个体力密度

fdF体dv，它

表示作用在单位体积流体上的 体力。例如在只有重力作用下，体力密度f的大小就是比重g，方向沿重力方向，而在惯性力的作用下，体力密度就是f = －a。为了建立流体静力学方程，我们在静止流体内部取如图10.2.2所示的立方体流体元，根据平衡条件有

整理后得

pxsyz(pxpx)syzfxv0pyszx(pypy)szxfyv0ps(pp)sfv0zzzxyzxypxsyzfxv0pyszxfyv0psfv0zzxy

利用

pxpxpxsyzsyzxv,xxpypypyszxszxyv,yypzpzpzsxysxyzv,zz

可将前式简化成

px(xfx)v0pyfy)v0(ypzfz)v0(z 

显然体积v≠0，所以只能是

pypxpzfx0,fy0,fz0xyz。

在上面的式子中取极限任一点都 必须满足的方程

x0,y0,z0，就可得静止流体内pppfx0,fy0,fz0xyz。

借助梯度算符

ijkxyz，上式可以改写成更简洁的形式

fp。

这就是流体静力学的普遍方程，它表明若流体内任一点的总体力密度等于该点

处压强的梯度则流体一定处于静止状态。

3）重力场中流体内部压强分布

i)液体：我们先来讨论静止液体内部的压强分布。设液体的密度为放置在一 长方形的容器内，液面的柱面高为z0，液体表面的压强为P0如图10.2.3所示。

在重力场中液体受到的体力密度为－gk，由流体静力学普遍方程得

ppp0,0,gyz x。

由上述方程知液体内部压强与坐标x、y无关，只是深度的函数。积分第三式得

p = gz + c，当z=z0时P=P0.故c=P0+gz0，所以液体内部压强随深度变化的关系为

P = g(z0z)+ P0 = gh + P0 ，式中h为液面下的深度。上式表明静止液体内部的压强只与距离液面下的深度

有关与液体内部水平位置无关。

ii)气体：现在来讨论重力场中空气压强随高度变化的规律。为简单起见，假

定空气的温度是不随高度变化的而且空气可以看成理想气体。如果在地面处

空气的压强为P0、密度为0，则理想气体的状态方程可表示成

PP00。

以地面为坐标系原点所在处，z轴垂直地面向上，由流体静力学方程

dp= gdz,。

将理想气体状态方程代入上式消除得到

pdp0gdzp0，分离变量后

dpgzppdz00 p，p00gpLnzp0p0。完成上面的积分得

所以压强随高度的变化

pp0exp[gz/0]]，这表明空气压强随高度的变化满足波尔兹曼分布。

4）帕斯卡原理

如果将不可压缩液体放在一个密闭的容器内，容器上端与一个可移动的活

塞相连。当活塞对液体表面施加的压强为P0时，按照重力场中液体内部压强

公式，在液面下深度为h处的压强为

P = P0+g h。

如果把活塞对液体表面的压强增大至P0+P0，液面下h深处的压强也会变化，按照液体内部压强公式，此时液体下h深处的压强变为

PP0P0ghPP0。

这就是说当液体表面压强增加P0时液体内任一点(h是任意)的压强也增大了

P0，因此可以形象地说不可压缩液体可将作用在其表面的压强传递到液体

内的各个部份包括存放液体的器壁，这一结论称之为帕斯卡原理，是早期由

帕斯卡从实验中总结出来的，从现代观点看它是流体静力学方程的一个推论。

5）阿基米德定律

任何形状的物体置于密度为的液体中都会受到液体的浮力，浮力的大小等

于物体排开液体的重量。这是一个实验规律称为阿基米德定律。从现代观点

看，它也是流体静力学方程的推论。

如图10.2.4所示，物体完全浸没在密度为的液体中。由于物体在液体中处

于平衡状态，因此它受到的浮力与同体积的液体所受

到合外力相同，这样我们可以将此物体用同体积的液体置换，置换部份液体受到的重力是gdv。要使液体保持平衡，周围的液体必然对它有一个向上的面力（浮力）作用于它。由流体静力学方程

gkp，dpdFdFgdzdxdydzdv，得

或者dFgdv。积分后得 F合=F2 F1= gv.，于是得到浮力大小

F浮=F1F2= gv

这就是说浮力是铅直向上的其大小等于物体排开液体的重量。

例一；在密闭的容器内盛满密度为1的液钵，在液体中浸放一长为L、密度为

2的物体，如图10.2.5所示。设2 <1，则它必定浮于液体表面，当容器以加

速度a向前运动时物体相对液体向哪一方向运动？

解：为了弄清物体向哪个方向运动，先用同体积的液体置换物体。容器运动时，置换部分的液体必然与其它部份保持平衡。若将容器取为参照系，可利用流体静力学方程求出液体整体运动时内部压力分布。

由

f=p，dpf惯,dx 得 dpf重力dy

由于无沿y方向运动的可能性，故只讨论上式的第一个方程，其中

f惯= －1a 所以液体内部沿x轴压强分布为p=－1ax+c（c为常量），置换液体相对其它部份液体静止时两端的压强差为p= 1La，相应的压力差为F=1av(v为置换部份的体积)，在所选择的参照系看来，合外力F=F+F惯=1av1av=0，液体相对静止。对实际物体来说，受到的惯性力为F惯= 2av，而物体两端的压力差不变仍然为F，因此实际物体受到的合外力F=F+F惯=1av2av0，由此可知，实际物体必然会相对液体沿x轴方向运动。

例二；密度为的不可压缩液体置于一开口的圆柱形容器内，若此容器绕对称轴作高速旋转，求液体内压强分布和液体表面的形状。

解：以容器为参照系，此时流体内任一流体元都受到重力与惯性力的作用，相应的体力密度为gk和a。由流体静力学方程

pgkagk2xi2yj，得到

ppp22x,y,gyz x。

所以有

pppdpdxdydz2xdx2ydygdzxyz1221222d(xy)gdzdrgdz,22

积分后得

1p2r2gzc

2。

如附图10.2.6所示，当r=0时，z=h，p=p0(p0是液体表面的压强)，所以c = p0 +gh，最后求得液体内压强分布

2pp0rg(zh)2。

2又取液体表面上任一点为研究对象，由于流体相对坐标系处于静止状态，液体

表面上任一点的合力必然沿曲线的法线方向或者说曲线的斜率满足下式

dz2r2rtggg。

dr 积分后

2r2zc2g

，当r=0时z=h，故c=h。最后得到液体表面的曲线方程

2r2zh2g

，由此式知道液体表面为一旋转抛物线。

11.3流体运动学描述 1）流体运动分类

流体流动的分类有许多种，这里介绍经常遇到的几种。

理想流体；流体流动过程中不计流体的内摩擦力，不计流体的体积压缩，把流体看成是无粘滞性、不可压缩的理想模型，因此理想流体的流动过程是无能耗 的可逆过程。稳定流动；流体内任何一点的物理量不随时间变化的流动称为稳定流动，这意味着稳定流动过程中，流体内任一点的流速、密度、温度等物理量不随时间变化。

例如在稳定流动时，如果流体内某点的速度是沿x轴方向，其量值为3cm/s，则在流体以后的流动中该点的流速永远保持这个方向与量值。若用v、、T分别表

vT0tt示流体内部速度、密度以及温度的分布，则稳定流动时满足t。

v0t反之若流体内任一点的速度不满足就说流动不是稳定的，例如变速水泵喷出的水流就是如此。

均匀流动：流体流动过程中如果任意时刻流体内空间各点速度矢量完全相

v0同，不随空间位置的变化就称流动是均匀的。用公式表示可写成l，其中 l表示沿任意方向求导数。反之，若某一时刻流体内部各点的速度不全相同的流动称为非均匀流动。例如流体以恒定速率通过一均匀长管的流动是稳定的均匀流动，而流体以恒定速率通过一喇叭形长管的流动是稳定的非均匀流动，流体加速通过一喇叭形长管的流动是不稳定的非均匀流动。

层流与湍流；在流体流动过程中如果流体内的所有微粒均在各自的层面上作定向运动就叫做层流。由于各流动层之间的速度不一样，所以各流动层之间存在阻碍相对运动的内摩擦，这个内摩擦力就是粘滞力它满足牛顿粘滞性定律。层流在低粘滞性，高速度及大流量的情况下是不稳定的，它会使各流动层之间的微粒发生大量的交换从而完全破坏流动层，使流体内的微粒运动变得不规则，这种现象叫做湍流，湍流发生时流体内有很大的纵向力（垂直流动层的力），引起更多的能量损耗。

有旋流动：在流体的某一区域内，如果所有微粒都绕着某一转轴作旋转就称流体是作有旋流动。最直观的有旋流动是涡流，但不是仅仅只有涡流才是有旋流动，物理上判断流体是否作有旋流动是用所谓的环量来刻画的。设想在流体内

取一任意的闭合回路C，将流速v沿此回路的线积分定义为环量，用公式表示就是

cvdlvcosdlcc。

流体内部环量不为零的流动叫做有旋流动，环量处处为零的流动称为无旋流动。按照上面的定义，层流也是有旋流动，参见图10.3.0。2)流线与流管

研究流体的运动，可以观察流体内微粒经过空间各点时的流速。一般情况下，流体内各点的速度是随时间和空间位置变化的，因此流体内各点的速度分布是时间与空间的函数，即

v = v(x, y, z, t)。

物理学中常把某个物理量的时空分布叫做场，所以流体内各点流速分布就可以看成速度场。描述场的几何方法是引入所谓的场线，就像静电场中引入电力线，磁场中引入磁力线一样，在流速场中可以引入流线。流线是这样规定的，流线为流体内的一条连续的有向曲线，流线上每一点的切线方向代表流体内微粒经过该点时的速度方向，图10.3.1（a）给出了几种常见的流线。

一般情况下空间各点的流速随时间t变化，因此流线也是随时间变化的。由于流线分布与一定的瞬时相对应

（参见图10.3.1（c）），所以在一般情况下，流线并不代表流体中微粒运动的轨道，只有在稳定流动中，流线不随时间变化，此时流线才表示流体中微粒实际经过的行迹。另外，由于流线的切线表示流体内微粒运动的方向，所以流线永远不会相交，因为如果流线在空间某处相交就表示流体中的微粒

经过该点时同时具有两个不同的速度，这当然是不可能的。

如果在流体内部取一微小的封闭曲线，通过曲线上各点的流线所围成的细管 就称为流管，如图10.3.1（b）所示。由于流线不会相交，因此流管内、外的流体都不具有穿过流管的速度，也就是说流管内部的流体不能流到流管外面，流管外的流体也不能流入流管内。3)流量

流体力学中用流量来描述流体流动的快慢，工业上也称流量为排泄量。设想在流体内部截取一个面A，定义单位时间内通过截面A流体的体积为通过截面A的（体积）流量。如图10.3.2.所示，在流体内部取一小面元dA通过它的边界作一流管，在流管上截取长度为流速v的一段体积，由于单位时间内该体积内的流体会全部通过面元dA，所以通过面元dA的流量就是dQ = vcos dA。如果把面元定义为矢量，取其外法线方向为面元的正方向即dA=dAn, 那么通过面元dA的流量可以表示成dQ=v﹒dA，而通过整个截面A的流量就可以表示成更简洁的形式

QdQvcosdAvdAAAA。

11.4 流体力学基本方程 1）一般方程

在流体内沿流管截取一小流体元，设在t时刻小流体元占有体积为V，边界为S。按照它的体形在速度场中选取一假想体积，使得在t时刻假想体积与截取流体元 的体积完全一致如图10.4.1（a）所示。图中虚线表示实际的流体元，实线表示 假想的体积。流体会流动，其体积与假想体积之间会发生相对运动变成图 10.4.1.(b)所示的情况。流体元的一部分会穿出假想体积元的边界，而周围的流 体会流入假想的体积元，使假想体积内有流体流入也有流体流出。

设N是流体元所携带的某种物理量的总量，它可以是质量、动量，或者是能量。是单位体积流体中这种物理量的含量或者说是N的密度。我们来考查流体流动时，物理量N随时间的变化规律。注意到在t+t时刻流体元占据的体积是II+Ⅳ，而在t时刻占据的体积是I或Ⅱ+Ⅲ，因此在t到t+t时间内流体元所携带物理量N的变化量

NttNt[dVdV]tdt[dV]tIIIVI。

在上式右侧加上零因子

III 重新组合，然后除以dt得

[dV]tt[dV]ttIII

dNdVdVdtItdtIdVdVtIVIIItt。

上式的第一部分

dVdV/dtdVtItdtIt I，是单位时间内假想体积内流体所携带N量的变化率。第二部分的第一、二项分

别为

[dV]tdtIVdt流出边界vdA,[dV]tdtIIIdt流入边界vdA，表示单位时间内流入流出假象边界的物理量N，它们可以用密度对流量的 积分给出。选择假想体积边界面的外法线为正方向，如图10.4.2，上两式合起来就是

vdA假象边界。

将上面的结果代回方程得到

dN假想体积dv假想边界vdAdtt。

上式说明流体元的某个物理量N随时间的变化可以化为假想体积内流体的物理

量N随时间的变化，即等于假想体积内N对时间的变化率（偏导数）加上从该体

积边界流入N量的净增加值。这是流体动力学的一个普遍规律，由此可以推出流

体动力学的几个重要方程。

2）连续性方程

若考查流体流动过程中质量变化规律，取N=m，这时。由于流体流动dm0过程中质量不变dt，一般方程式化为

dV假想边界vdA0假想体积 t。

这就是流体力学的连续性方程（积分形式），它是以质量守恒出发得到的，其意义为在一个假想体积中，流体的质量随时间的变化等于单位时间从其边界流入该体积的净质量。利用体积分化为面积分的公式

V 连续性方程可化为

(v)dVvdAS，tdV(v)dV0V V，[t(v)]dV0 即

V。

由于dV  0，所以只能

3）能量方程

(v)0t

上式就是连续性方程的微分形式，它对流体内任一点都成立。

如果我们讨论流体的能量变化，可取N=E，此时e，式中e为单位质量流体 的能量。由一般方程式得

dE假想体积edV假想边界evdAdtt，上式就是流体内部能量满足的方程。它表示流体能量随时间的变化可由假想体积内流体能量随时间的变化与单位时间从边界流入假想体积内的净能量确定。4）动量方程

如果我们讨论的是流体动量如何随时间变化，可取N=P，此时v。将此关

系代入一般方程可得流体力学的动量方程

dp假想体积vdV假想边界v(vdA)t dt。

其意义为流体的动量随时间的变化率等于假想体积内流体的动量随时间的变化加上从假想体积边界流入该体积中的净动量。

5）方程的应用

i)作为连续性方程的应用，考虑在流管中稳定流动的流体。由于流动是稳定的，流线的位置不随时间变化，沿流管截取一假想体积如图10.4.3所示，该体

0积由流管的边界与上、下两个面1和2包围。对稳定流动t，这时连续性方程退化成

vdA0假想边界。

这表明单位时间内通过假想体积边界流入流出的净质量为零，由于管内外的流体均不能穿过管壁，所以流体只能通过下截面1流入，上截面2流出。这意味着从截面1流入的流体质量必定等于通过截面2流出假想体积的质量，即

S11v1dA12v2dA2S2。

如果用1及2分别表示截面1与截面2处的平均密度，用Q1、Q2表示通过截面1与截面2的流量，上式可以表示成更方便的形式

对于不可压缩的流体

Q112Q2，12，上式退化为 Q1=Q2。

结果表明，不可压缩的流体在流动时，沿流管的任意截面上流量均相同，它是质量守恒的必然结果。

ii)作为动量方程的应用，考虑在一弯管中稳定流动的流体，如图10.4.4所示。沿载流管截取一假想体积，该体积由载流管内边界与1、2两

0t个截面包围，同样地，对稳定流动有且任意一点流速v=常量，因

此

动

量

方

程

退

化

成dp假想边界v(vdA)dt。

由于在载流管的边界处流速v垂直于载流管的内表面，所以上式中对假象体积的外表面积分实际上退化为对1、2两个截面的面积分

dp1v1(v1dA)2v2(v2dA)dtS1S2 1v1v1dA2v2v2dAS1S

21v1Q12v2Q2

这里的

1、

2、v1、v2是1、2两个截面上的平均密度与平均速度。如果流体是不

可压缩的且流动过程中质量守恒，这时1=2=，Q1=Q2= Q，结果简化成

dpQ(v2v1)dt。

从图10.4.4看出，流体在载流管内动量的改变是由于管壁施加给流体作用力的缘故，其大小与方向由上式决定，因此由牛顿第三定律可以得到结论：流体对载流管的作用力也由上式决定，但作用力的方向相反。

11.5 理想流体的流动 1）沿一条流线的欧拉方程

先来介绍流体力学中一个十分重要的方程欧拉方程，它是流体动力学的基本程之一。当无粘滞性的流体稳定流动时，取流体内一根流线S，如图10.5.1所示。沿流线截取一横截面为dA，长为ds的一小流体元。该流体元受到来自沿流线前、后两个截面上的正压力（以流线的方向为参照

方

向）

pp(p2p1)dAdAdsdvss， 力的方向沿着流线的切向。这段流体元还受到重力的作用，其大小为mg = gdv ,方向竖直向下。设重力与流线之间的夹角为，则重力沿着流线切线方向的投影为（见图10.5.1）

zgcosdvgdvs。

对所取的流体元，按牛顿第二定律写出沿流线切向的动力学方程就是

pzdvgdvadvs s，式中a为流体元沿流线切向的加速度。将g用比重表示，并消除上式中dv得到



pzass。(1)

式中的切向加速度a可改写成

dvvsvvvavdtsttst，把上面的式子代回前面的式子(1)就可以得到

1pzvvgv0sst

s，v0 这就是沿一条流线的欧拉方程。对于稳定流动t，欧拉方程退化成

1pzvgv0sss。

由于此时只有一个变量（空间变量s），上式中的偏微分可用全微分代替，去掉微分公因子ds后得

dpgdzvdv0 。

2）柏努利方程

无粘滞性的流体稳定流动时，沿任何一条流线必定满足上式。对理想流体，由于不可压缩上式中的密度是常数。将上式沿流线积分，注意此时密度为常量就可以得到理想流体沿任何一条流线流动时必须满足的方程

p12gzv常数2 。

上式就是著名的柏努利方程，式中的积分常数也称柏努利数，它是随着不同流线 而变化的。式中每一项的量纲都是单位质量的能量[M2S-2]。若将上式除以g，每项就成为单位重量的能量，即

pv2z常数2g 。

对液体来说，用上式比较方便。若用g乘上式就得到

12pgzv常数2，该式用于气体显得方便一些，因为对气体来说高度z的变化往往是不很重要的，在精度要求不很高的情况可将其略去，这样方程显得简单。

现在来说明一下柏努利方程中各项的物理意义。第一项P/是单位质量流体流动时对外做的功或者流功，也就是单位质量流体对周围环境所做的功。为了弄清这一点可参见图10.5.2装置，一个由叶片构成的涡轮放置在水槽下端的出水口处，当水流动时液体会对涡轮施加一个力矩使涡轮旋转。作用在叶片上的力可近似地认为是压强乘以叶片的表面积dA，若再乘以压力作用中心到涡轮转轴的距离r，就是作用在涡轮转轴上的力

矩。假定叶片在dt时间内转过d角度，则力矩对涡轮做功

dwNdPdArdPdAds。式中ds是压力中心位移的大小，将上式除以d t时间内流出液体的总质量dAds，就是单位质量的液体对涡轮所作的功

pdAdsp。

dAds

第二项gz是单位质量流体的势能。因为质量为m的流体在重力场中提高z高 度时重力所做的功是mgz，这时流体的势能增加了mgz，所以单位质量流体的势能就是gz。

v2/2项是单位质量流体的动能。因为质量为m的流体以速度v运动时它具有动能是mv2/2，故单位质量流体的动能为v2/2。从上面的分析可以知道，柏努利方程实际上是理想流体沿着流线运动时的能量方程。

关于柏努利方程的应用应注意下面几点，a)当所有的流线都源于同一流体库，且能量处处相同，这时柏努利方程中的常数不会因流线不同而有所不同。这时对所有的流线来说柏努力数都相同，此时柏努力方程不限于对一条流线的应用。b）在通风系统中的气流，若压强变化相对无气流时变化不大，这时气体可以看成不可压缩的，柏努利方程仍可适用，不过气流的密度应取平均密度。c)对渐变条件下的非稳定流动，也可用柏努利方程求解，这时引起的误差不会很大。d)对于实际流体的稳定流动，可先忽略流体的粘滞性，用柏努利方程得到一个理想的结果，然后再用实验作一些修正，也就是说要加入能量损耗项。

例题，水正沿着如附图所示的管内流动，管上端的直径为2米，管内流速为3米/秒。管下端的直径为1米，管内流速为10米/秒。假定流体可视为理想流体，沿着流线压强不变，求管的上端相对地面的落差。

解：沿管的中心取一条流线，按柏努利方程在流线的两端1、2处

2v1p1v2pz122z22g2g，由已知P1=P2所以

(z1z2)122(v2v1)2g。

设管上端与地面的落差为y，显然 y=z1z20.5，由此得到

y

122(v2v1)0.52g。

将v1=3米/秒，v2=10米/秒代入上式，解得y=3.64米。

11.6 实际流体的流动 1）斜面上稳定的层流

在实际流体的流动过程中必须考虑流体的粘滞性。各流动层之间的内摩擦力使实际流体的流动变成不可逆过程，也造成流动过程中能量的损耗。现在考虑平行斜面的稳定层流，如图10.6.1所示。设上平面的流速为v，它的流动平行于斜面，下平面与斜面接触流速为零，整个流动层的厚度为a，各流动层之间存在速度梯度。为了分析方便，在流体内沿流动层隔离出一个高度为dy、长度为dl、单位宽度的薄片状流体元，如图中央的长方块所示。在稳定流动条件下此薄片以恒定速度u沿斜面向下流动。在流动过程中，该薄片状流体元一共受到三个力的作用。a)平行于斜面方向的压力，其大小为（以流速方向为正方向）

dpdppdy(pdydydl)dydldldl。

b)粘滞力，薄片流体元上、下两面的剪应力，由牛顿粘滞力定律知其大小为

dl(dl

dddydl)dydldydy。

c)薄片状流体元受到的重力，其大小为rgdldy方向竖直向下，设重力与斜面法线

的夹角为q，则重力在沿斜面方向分量就是

dhgsindldyg()dldydl。

式中dl是流体元沿斜面的长度，dh是流体元两端距地面的高度差。由于讨论的是稳定流动，此薄片状流体元沿斜面方向运动的加速度为零，其动力学方程就是

dpddhdydldydlg()dldy0dydl dl，将上式除以dydl，整理后得

dd(ph)dydl。

另一方面，利用牛顿粘滞性定律



dudy，dd2ud2(ph)dydl 可得 dy。

式中(p+gh)与y无关只是沿斜面l的函数，这是因为流体元沿着y方向无运动。将上式对y积分一次后

dudy(ph)Adl dy，再积分一次就得到速度分布

12dAuy(ph)yB2dl。

B0,v1dA(ph)aa2dl

将其代回到解式最后得到流体内部速度分布 式中A与B都是积分常数，利用边界条件y=0时 u=0 及 y=a时u=v。可得

v1duy(ph)(ayy2)a2dl。

如果层流的宽度不是一个单位而是任意宽度上式仍然成立，这是因为流动层的速度与宽度无关可从方程中消除。从平面层流的速度分布函数可以看出，流体沿斜面稳定流动时其内部的速度分布是抛物线形的，这意味着流速最大的流动层并不在上表面而是在流体内部的某一层。将上式对y积分可以求出流体沿斜面流动的平均速度

1av1duudy(ph)a2a0212dl，所以沿斜面稳定流动过程中每米宽度的流量

va1dQua(ph)a3212dl。

2）圆管内稳定层流。

当流体在圆管内稳定流动时，由于流体的流动具有圆柱形对称性，故取一轴对称圆柱壳形的流体元作为研究对象，如图10.6.2所示。圆柱薄壳的半径为r，壳的厚度为dr, 柱高为dl。作用在流体元前后两个面上的压力差为（以流速方向为正方向）

dpdp2rdrp(2rdrp2rdrdl)2rdrdldldl。

流体元内外两边界上受到的粘滞力为

d2rdl[2rdl(2rdl)dr]drd2(r)dldr。dr

而流体元受到的重力大小为2πrdrdlg，它在沿圆柱管轴线方向的分量为

dh2rdrdlsin2rdrdldl。

对稳定流动来说流体元的加速度为零，按牛顿第二定律流体元的动力学方程是

2rdr。

dpdhddl2drdl2(r)dldr0dldldr

用2πrdrdl除上式并整理得

d1d(ph)(r)0rdr dl。

同样(p+gh)不是r的函数，故可直接将上式对r积分，得到

r2d(ph)(r)A0 2dl。

dudr，式中A是积分常数，而粘滞阻力（因为随r增加速度u减小，所以这里有一负号）将其代入上式整理后

durdA(ph)2dlr，dr 把上式对r再积分一次就得到圆管内稳定层流的速度分布

r2dAu(ph)lnrB4dl。

特别地，若流体在内半径为b，外半径为a的圆柱形套筒之间流动，则必定满足下列边界条件

r=a时u=0及r=b时u=0 由此可定出式中的积分常数A与B满足

a2b2da1A()(ph)(ln）4dlb，221dabB(ph)[a2lna]a4dllnb。

所以圆柱套筒内流体速度分布

1da2b2a22u(ph)(arln)4udlln(ab)r。

相应地圆柱套筒内流体的流量是

222d(ab)Qb2rudr(ph)[a4b4]8dlln(ab)a。

[例题] 附图表示沿斜面下滑的层流，假如流体的粘滞系数m=0.08N s/m2，流体的密度r=850kg/m3，利用图中所给的数据求流体内的速度分布、平均流速、每米宽度的流量，以及作用上平面的平均剪应力。

PAh14008509.83解，A点处； 26400Pa

B点处；（h=0）

PB + gh = 800Pa

因此

d80026400(ph)6035N3m 32 dl 又因为a=0.006m，上表面流速v= 1m/s.由层流的速度分布公式

16035uy(0.006yy2)0.00620.08。

du0 最大速度由dy求出，是在y=0.0052m处，该处的速度为u=1.02m/s。每max米宽度的流量

Qo平均流速

0.006udy[196y212577y3]00.006

30.00434m/s

u

Q0.004340.72(ms)a0.006。

为求得上平面的剪应力，先求速度梯度

du dy 所以上平面处的剪应力

139275462y61sy0.006y0.006



负号表示剪应力是阻碍流体上表面流动的。

3）稳定层流的能量损耗

由于流体内部存在粘滞性，在流动过程中受到粘滞阻力的作用流体的能量会减少。为了计算一维稳定层流过程中能量的损耗，在流体内沿流动层取长为dx,高为dy单位宽度的薄片状流体元作为研究对象，如图10.6.3所示。假定流体元沿着x方向流动其速度为u，距地面高度为h。如前所述，该流体元受到沿x轴前后两个面的压力，重力，以及上下两面的粘滞

du0.08(61)4.9N/m2dy

阻力，我们可用功能原理分析流体元稳定流动过程中的能量损耗。按照前面的讨论作用在流体元上前后两个面上压力差是

dpdxdydx，该压力差对流体元输入的功率为

dpudxdydx，因此压力差对单位体积的流体做的功率为

dw1dpudx。

dt

流体元的势能变化（重力做功负值）也容易求得，若流体元相对于零势能面的 高度变化为dh，那么重力对流体元做功-gdv.dh。而重力对单位体积流体做功的功率

dw2dhdhdxdhudtdxdtdx。

dt 粘滞力对流体元做功情况稍稍复杂一点，因为流体元上下两个面的相对流速不一样，因此上下两面的相对位移不同必须分开讨论。可以证明，粘滞力对单位体积的流体元做功的功率为

dw3dududydy，dt 上式证明留给读者自行完成。

由于流动是稳定的流速不变因而动能不变，按照功能原理，上述三种力做功

之和就是流体的能量损耗。结合上面三式就可得到

duddhdp损耗功率uuu单位体积dydydxdx。

利用稳定层流的动力学方程化简上式最后三项就是

dudu2耗散功率()单位体积dydy。

容易看出，层流过程中流体内部能量损失与各流动层之间的速度梯度有很大关系。上式就是稳定层流过程中沿着任意流动层所取流体元的功率密度损失计算式，只要对各流动层积分就可以得到总的损失功率。例如在平面稳定层流条件下，假定流线的长度为L，层流平面的高度为a(见图10.6.1)，则单位宽度层流所损耗的功率是

adu21dL()dyL[(ph)(2ya)]2dydy002dLa3Ld[(ph)]212dL a

4）泊肃叶方程

将半径为a 的圆管水平放置使流体在管内作稳定层流，这时管内流体的速度分布由下式确定

r2dAu(ph)lnrB4dl。

对水平放置的管h=0, A也必定为零，因为在管中央处（r=0）流速要有限。此时的边界条件为r=a（管的半径）时u=0, 由边界条件容易定出上面表达式中的

a2dpB4dl，故水平管内的流体的速度分布

a2r2dpu4dl。

结果表明管内流体的速度分布是一旋转抛物线，如图10.6.6所示。管中心处（r=0）层流的速度最大，其大小为

umax

a2dp4dl。

由于速度分布是旋转抛物线型的，因此圆管内流体的平均速度为最大值的一半

a2dpu8dl，管内的流量

a4dpQua8dl。

若用管的长度L与直径D表示上式，就可写成容易用实验测量的形式

pD4Q128L，pD2u32L。

上面的第一个式子就是著名的泊肃叶粘滞性方程，由海根和泊肃叶分别独立地用实验进行了验证。泊肃叶公式与柏努利方程最明显的差别在于前者考虑了流体的粘滞性，认为流体在水平管内连续流动时，必须在该流体两端存在压力差，而按照柏努利方程，流体在水平管内稳定流动时(Dh=0)没有压力差流体照样能连续流动，相比较之下泊肃叶公式更接近实际流体。

5）雷诺数

当流体作稳定层流时，流体内大多数分子的定向运动基本上是在某个薄层状的平面内，流动层与相邻流动层之间只有少量的分子交换。各流动层之间的纵向力是导致层流不稳定的根本因素，它会引起相邻流动层之间的分子进行动量交换。当纵向力大到一定的程度时，各流动层之间的分子发生激烈交换，完全破坏层流发展成一种无规则的流体运动¾¾湍流。如何判定流体内部出现的是层流还是湍流呢？雷诺在18世纪提出了在什么情况下，两种不同然而类似的流体有相似的动力学方程，通过研究两种几何形状完全相同的不同流体的流动，雷诺指出要使描述这些流体流动的动力学方程完全相同，其条件是这两种流体的一个无量纲的参数(ulr)/m必须相同。这里 u是流体的特征速度、l是流动的特征长度、是流体的密度、是粘滞系数、这个数被称为雷诺数R ulR。

雷诺数给出了各种流体之间出现相似动力学规律的判据，它是相似性原理在流体力学中的体现。当一种流体的流动在某种条件会发生湍流，如果另一种流体在相同的条件下与这种流体的雷诺数相同，则另一种流体流动时也会发生湍流。

为了确定无量纲数的大小，雷诺设计了一个所图10.6.7所示的实验。将一长为L的玻璃管水平放置其一端与一个大水桶相连，另一端接上一开关。玻璃管的入口处呈喇叭状，它与一个装满染料的喷嘴相连，可以看到玻璃管内任何一点流体的流动情况。雷诺取染料的平均速率为特征速度，玻璃管的直径为特征长度，于是

R

VD。

当开关开的很小时流体的流动很慢，可以看到染料的流动呈直线状，这表明流体的流动是稳定的层流。随着开关的逐渐开大，染料的流动出现上下摆动，这时染料的流动已变为非稳定的了。将开关进一步开大，染料速度V及D增大到一定的程度时，染料扩散到整个玻璃管中，湍流出现了。这就是从层流变成湍流的图像，雷诺测得在出现湍流之前雷诺数R=2000。后来的研究工作进行了更仔细的测定，他们将水先放上几天让它完全静止，同时造一个相对水完全静止的环境再进行测量，得到的结果是R=4000。这个数叫做管流雷诺数的上临界数，对实际情况来说上临界值没有什么实际意义，因为管内流体在雷诺数>2000时就出现湍流了。

雷诺在实验中还发现，载流管内一旦出现湍流欲使它重新回到层流，则只有当R小于2000时流体才能完全恢复到层流，这个数就叫管流雷诺数的下临界数。这个数非常重要，它对不规则装置有重要意义，实验测得在各种不规则管内流动从层流过渡到湍流前的雷诺数在2000-4000这一范围内。层流的能耗正比与流体的平均速度，而湍流的能耗正比平均速度的1.7到2.0次方。

雷诺数的重要意义是它提供了一个用一种流体的实验结果来预言另一种流体在同样条件下可能会发生结果的科学方法。另外，由于湍流出现是依赖系统的参数，它同时也是一种无规则运动，所以近来有人认为湍流也是一种混沌现象，不过湍流问题在流体力学中还没有得到圆满的解决。

11.7 流体对固体的作用力 1)粘滞阻力、斯托克斯公式

当物体在流体中以速度v运动时，通常把物体本身为参照系，这时流体以速度 v相对物体流动，如果流体的速度不大可将其视为稳定流动。物体表面的流动层叫做附面层，它粘附在物体的外表面相对物体静止，该层外侧的流动层相对物体的流速不为零，这样物体周围流动层之间存在速度差使得这些流动层之间有湿摩擦，这个摩擦力就是前面讲的粘滞力。当物体在流体中运动时，附面层上的粘滞力会阻碍物体相对流体的运动，这个阻力就叫做粘滞阻力。一般而言，物体在流体中运动时所受到的粘滞力大小与物体的形状有关而且理论推导非常复杂，这里我们直接给出英国数学家、物理学家斯托克斯在1851年研究球形物体在流体中运动时所受到的粘滞阻力的计算公式

F6rv，式r中为球体的半径，v为球体的运动速度，是流体的粘滞系数。应当注意，计算球形物体在流体中受到的阻力时仅在雷诺数很小时（小于1）的情况下上式才是主要的，也就是说斯托克斯公式适用于小物体在粘滞性大的流体

内缓慢运动的情况，例如水滴在空气中下落过程中受到空气的阻力、血细胞在血浆中下沉过程中受到血浆的阻力等等都可用斯托克斯公式计算。2）压差阻力

随着了雷诺数的增加，斯托克斯公式已不能正确地描述物体受到的阻力，为什么？我们以圆柱形物体相对流体运动为例加以说明，如图10.7.1所示，当雷诺数小于1时，圆柱体正前方A点及后侧B点流速为零，这些点为驻点，物体周围的流线始终贴着圆柱体的表面不与之分离，这时圆柱体前后两端的压强相同，受到的阻力仅仅只有粘滞阻力。当雷诺数增加到1030，圆柱体前端还是驻点，此处的流速仍为零。由于靠近圆柱体表面的流体受附面层的影响较大流动缓慢，而远离附面层的流体受附面层的影响较小流动快，这样靠近附面层的流体还没有到达圆柱体的后侧，外层的流体已抢先到达并且回旋过来补充由于内层流体未到达所留下的空间，从而形成一对对称的涡流，如图10.7.2所示，这时圆柱体后侧不再是驻点。雷诺数大约在40左右，涡流开始

摆脱圆柱体漂向下流，圆柱体后又不断的有新的涡流产生，于是在圆柱体后面出现交替逝去的涡流，形成所谓的“卡门涡街”（参见图10.7.3），这时流体的流动已经从稳定流动变为非定流动，水流过桥墩后留下的尾迹就是一个直观的“卡门涡街”

例子．当雷诺数达数百时会出现湍流，此时的流动已经是三维的了。

例丑．

涡流的出现使得圆柱体前端的压强大于后侧的压强，两端的压强差构成了对物体运动的阻力，这个阻力被称为压差阻力。从上面的分析可以看出，压差阻力也是由流体的粘滞性引起的，但与斯托克斯公式所描述的那一类粘滞阻力有不同的机制。这两种阻力是同时存在的，当物体运动速度小时（准确说是雷诺数很小时）斯托克斯公式所描述的那一类粘滞阻力占主导地位，一旦流体中出现涡流，斯托克斯公式所描述的粘滞阻力退居到次要地位。理论分析表明，压差阻力的大小与单位质量流体的动能有关，用公式表示就是

1FCdv2S，这里Cd是阻力系数，它的大小与雷诺数有关，1/2v2是单位流体的动能，S是垂直与流速方向上物体的横截面积。

从能量转化的角度看，涡流的动能是靠消耗物体的动能得到的，即物体克服压差阻力所作的功转化成涡流的动能。因此为减少压差阻力，通常是将物体的形状做成流线型的（其尾端尖细），目的是将物体尾部的涡流范围与宽度减小到一定的程度，从而减小压差阻力。

3）流体的升力

物体在流体中运动时除了受到与速度方向相反的阻力以外，有时还会受到垂直与速度方向的横向力，不管这个横向力是向上还是向下都把它称为升力。升力是怎样产生的？为了弄清这个问题，先来考察无旋转球在空气中的运动。以球为参照系，空气流动相对球有对称性，球上、下两边1、2点处的流速相同（参见

图10.7.4），由伯努利方程知道球上、下两边的压强相等，整个球没有受到向上或向下的力。如果让球顺时针旋转起来，它会带动周围空气与它一起旋转（由于空气有粘滞性），此时球的周围会出现顺时针的空气环流（参见图10.7.5）。当球在前进过程中作顺时针转动时，它周围的流线分布就是图10.7.4与图10.7.5中的两种流线的叠加，结果如图10.7.6所示，此时球上方的流线密集（流速大），球下方的流线稀疏（流速小），球的上、下两边出现压强差，使得整个球受到向上的升力，这就是通常所说的上旋球。同样的分析可知，当球在前进的过程中逆时针旋转时，它将会受到周围流体向下的作用力，从而改变球在空中运动的方向，通常把它称为下旋球。在乒乓球、网球比赛中常常能看到高速旋转球在空中改变方向，走出不同的弧线的情况。

从上面的分析看出，对流体中运动的物体来说如果出现绕物体的环流，那么就会对物体产生升力。当然使物体周围产生环流的方法有许多，飞机的机翼就是其中的一种，它是靠机翼的特殊形状来产生环流的。图10.7.7表示机翼的横截面，图中的称为冲角，是可以调节的。空气相对机翼流动时，由于机翼的上下两边不对称，气流经过机翼上方时气流的路程长，受到粘滞力的影响大一些因而流动较慢。而气流从机翼的下方流过时所经过的路程短，受到粘滞力影响较小故其流速大。当机翼上、下两方的气流在机翼尾部会合时，在机翼尾部形成如图10.7.8所示的涡流。在飞机运动开始前，机翼与周围气体的角动量皆为零。由于角动量守恒，当机翼尾部出现涡流后，周围流体另一部分必定沿反方向流动，形成绕机翼的环流。如图10.7.9所示，机翼上方的环流与气流的方向一致，叠加后使机翼上方的流速增大，机翼下方的环流与气流速度相反，两者叠加后使机翼下方的流速减小，这样在机翼的上、下两边出现压力差，形成对机翼的升力。俄

国科学家茹可夫斯基在1906年提出物体受到的升力与流速场绕物体的环流量成正比，用公式表示就是

F升vv环dlc

式中为流体的速度，v为物体相对流体的速度。由此可见，飞机的升力与气体 的密度、飞机的速度成正比，正就是为什么飞机起飞前要在地面加速到一定的 速度的缘故。当飞机在高空飞行时气体的密度下降，必须提高飞机的速度、或 者改变机翼的冲角（改变环流量）以保证飞机获得足够的升力。

习题

1.流体力学研究中为什么要引入连续介质假设。（4分）

2．如图所示，p表示绝对压强，pa表示大气压强，试在图中括号内填写所表示的压强。（4分）

3．如果流体的密度表示为分别写出它的当地导数和迁移导数的表达式（6(x,y,z,t)，分）

4．简述粘性流体绕流物体时产生阻力的原因。如何减少阻力？（6分）

5．如图，在两块相距20mm的平板间充满动力粘度为0.065（N·s）/m2的油，如果以1m/s速度拉动距上平板5mm，面积为0.5m2的薄板（不计厚度），求需要的拉力（12分）。

6.如图所示，有一直径d12cm的圆柱体，其质量m5kg，在力F100N的作用下，当淹深h0.5m时，处于静止状态，求测压管中水柱的高度H。（12分）

7．有一水平喷嘴，如图所示，D1=200mm和D2=100mm，喷嘴进口水的绝对压强为345kPa，出口为大气，pa=103.4kPa，出口水速为22m/s。求固定喷嘴法兰螺栓上所受的力为多少？假定为不可压缩定常流动，忽略摩擦损失。（12分）

8．不可压缩流体无旋流动的速度分布为uAxBy，vCxDy，w0，若此流场满足连续性方程，试导出A、B、C、D所需满足的条件。（不计重力影响）（10分）9.水流过一段转弯变径管,如图所示,已知小管径d1200mm，截面压力p170kPa，大管径d2400mm，压力p240kPa，流速v2=1m/s。两截面中心高度差z1m，求管中流量及水流方向。（12分）

10．空气从炉膛入口进入，在炉膛内与燃料燃烧后变成烟气，烟气通过烟道经烟囱排放道大气中，如果烟气密度为0.6kg/m3，烟道内压力损失为8v2/2，烟囱内压力损失为26v2/2，求烟囱出口处的烟气速度v和烟道与烟囱底部接头处的烟气静压p。其中，炉膛入口标高为0m，烟道与烟囱接头处标高为5m，烟囱出口标高为40m，空气密度为1.2kg/m3。（12分）

炉膛

1.可将流体的各物理量看作是空间坐标(x,y,z)和时间t的连续函数，从而可以引用连续函数的解析方法等数学工具来研究流体的平衡和运动规律。

2. 迁移导数:(V) tijk

其中:xyz3.当地导数:4.（1）阻力有两部分，一部分是由于粘性产生切向应力形成的摩擦阻力；另一部分是由于边界层分离产生压强差形成的压差阻力。

（2）把物体作成流线型，使分离点后移，甚至不发生分离，可减少绕流阻力。5．[解] duu(3分)dy0.065113（N/m2）(3分)0.00514.33（N/m2）(3分)平板下侧摩擦切应力：10.0650.015平板上侧摩擦切应力：1拉力：F(12)A(134.33)0.58.665（N）

(3分)6．[解] 圆柱体底面上各点所受的表压力为：

pgFmg10059.80613184.3（Pa）(4分)22d/43.140.12/4

(4分)由测压管可得：

pgg(Hh)

pg13184.3h0.50.84（m）（4分）

则：Hg10009.8067．[解] 螺栓上所受的力等于水对喷嘴的作用力,与喷嘴对水的作用力大小相等方向相反.设喷嘴对水的作用力为R

取喷嘴入口、出口和喷嘴壁面为控制面，列控制体内水的动量方程：

qV(v2v1)p1A1p2A2R（6分）

又由连续性方程：

（a）

qVv1A1v2A（b）

（4分）

解（a）、（b）可得：（N）（2R-7171.76分）

则，螺栓上所受得力为7171.76 N 8．[解] 根据连续性方程

uvwAD0xyz（4分）

根据无旋流动条件：

z（4分）vuCB0xy

（2C、D所满足得条件为：AD；CB A、B、分）9．[解]

11qVv2A2v2d2213.140.420.125644(m3/s)

（2分）

（2分）

取截面1为基准面，v14qV40.12564d123.140.22（m/s）

p1v127000042截面1机械能：E17.95（m）

g2g10009.80629.806（3分）

2p2v24000012截面2机械能：E2z15.13（m）

g2g10009.80629.806（3分）

 E1E2  水流

方

向

为

由

截

面

到

截

面。

（2分）

10．[解]（1）列炉膛入口截面1和烟囱出口截面2的伯努利方程：

2v12v2p1gz1p2gz2pw22

(2分)

其中：v1 0；v2v

；p1pap2paag(z2z1)

(2分)

2整理得：(v22a)gzv228226v2

v22=6.725

（N/m2(2分)烟囱出口烟气速度：

v26.725/0.64.735（m/s(2分)（2）列烟道出口和烟囱出口得能量方程，得

p(1.20.6)9.806(405)v2v2v222262(2分)解得：p31.1（Pa）））