数学分析读书心得（★）

第一篇：数学分析读书心得

数学分析读书心得

王俊艳 2011212106 摘要：通过这 几个月对数学分析这门课程的学习，对这门课程有一定认识的同时，在学习的过程中遇到了各式各样的难题与困惑，因此，特对在学习中的遇到困难与将来如何更好的努力，不断提高学习这门课的能力进行了总结，希望在以后的时间里可以有所进步。

关键词：数学分析 读书心得 极限 总结进步

尚在高中时，就不断听到有人告诉我说：好好学习吧，等到上大学时就轻松了。然而悲剧的是，当我们进入大学时，才发现在大学里我们仍需要好好学习，甚至说即使在课堂上好好听了，有时也不一定听得懂。

就拿数学分析来说，不同于高中的思维方式，它着重培养我们的逻辑思维能力，不单单是机械的使用公式，而是让我们理解并掌握这些公式成立的原因。这对于刚开始接触这门新课程的我们来讲，很难，对我来说，那些公式的证明是难上加难。

说起来，接触数分已经好几个月了，回过头来看，刚开始，第一章中上下确界很难懂，不过，当这一章实数集与函数学完后，觉得也不是那么难了。那么，就现在来说，我人仍然觉得很难的是极限，尤其是关于极限的证明。极限涉及两个章节，数列极限和函数极限，暂且不说在这两个章节中定义与性质非常多，难以记忆，即便勉强记忆，又很难熟练掌握，题的形式变化多样，不易观察出使用哪种方法来得出结果，再加上自从进入大学后，资料相对较少，没有高中的练习习题多，因此做题相对较少，没有从做题中总结出解这类题的一般规律，光学不练等于没学。普通的计算还好，一旦遇上证明题，思路很狭窄，不能很灵活的运用自己所学的知识点，思考过程比较混乱，还有就是在课堂上没有听懂的地方，在课下没有主动地去解决，在证明的过程中每一步骤为什么要这样写没有弄得的很明白。总之，我认为极限很难。

但是，作为一个数应并且师范专业的学生，学好自己主专业是最基本的要求，更何况，四年过后，我就会站上讲台，担负起培养下一代的重任，因此在这四年期间，培养成为老师的素养固然重要，同时，优异的学习成绩也必不可少，因此，及时再难学，我认为我们也不应该放弃，我们应该慢慢的解决每一个困惑，逐渐的进步。

首先，要保持对学习的热情。对自己有信心，不会因为那一版块难学，就不学了，俗话说：兴趣是最好的老师。毕竟，只有我们对数分感兴趣了，愿意学了，数分才又可能听懂，并且学好。再有就是好好做笔记，本来我们就缺乏相关资料辅助学习，老师上课所讲的东西就显的弥足珍贵了，把握好老师课堂上所讲的知识点，认真做好笔记，及时表明不理解的地方，等到有时间时，主动解决这些不懂的。另外就是，在课下做好预习和复习，好好地把书和笔记看一遍，这两步是必不可少的，无论是在大学还是高中。再有就是尽可能的抽出时间做点练习题，不仅可以巩固我们在课堂上所学的，还可以拓展我们的思维面，使我们的头脑更加的灵活。最后要说的是，我们要尽可能的多与我们老师沟通交流，遇到不明白的地方要及时的解决。进入大学，并不代表着我们可以彻底的放纵去玩，我们可以放松，但切记不要忘记完成我们的学习任务。时间千万不要浪费在没有价值的事情上，大学里各式各样的诱惑固然很多，但我们要学会抵制这些诱惑，静下心来，给自己一定时间去学习，去沉淀，这样的大学生活才是充实的。

大学是我们进入社会的最后一次历练了，要好好的把握，在尽可能的多参加各种活动的同时，还要好好的学习，争取在这四年期间，过的不留遗憾，为自己交上一个满意的答卷。

参考文献

数学分析上册：华东师范大学数学系编 第三版 高等教育出版社 出版年份2011年 1-130 数学分析是数学中最重要的一门基础课，是几乎所有后继课程的基础，在培养具有良好素养的数学及其应用方面起着特别重要的作用。从近代微积分思想的产生、发展到形成比较系统、成熟的“数学分析”课程大约用了 300 年的时间，经过几代杰出数学家的不懈努力，已经形成了严格的理论基础和逻辑体系。回顾数学分析的历史，有以下几个过程。从资料上得知，过去该课程一般分两步：初等微积分与高等微积分。初等微积分主要讲授初等微积分的运算与应用，高等微积分才开始涉及到严格的数学理论，如实数理论、极限、连续等。上世纪 50 年代以来学习苏联教材，从而出现了所谓的“大头分析”体系，即用较大的篇幅讲述极限理论，然后把微积分、级数等看成不同类型的极限。这说明了只要真正掌握了极限理论，整个数学分析学起来就快了，而且理论水平比较高。在我国，人们改造“大头分析”的试验不断，大体上都是把极限分成几步完成。我们的做法是：期望在“初高等微积分”和“大头分析”之间，走出一条循序渐进的道路，而整个体系在逻辑上又是完整的。这样我们既能掌握严格的分析理论，又能比较容易、快速的接受理论。

我们都知道，数学对于理学，工学研究是相当重要。在中国科技大学计算机应用硕士培养方案中，必修课：组合数学、算法设计与分析，高级计算机网络、高级数据库系统，人工智能高级教程 现代计算机控制理论与技术。山西大学通信与信息系统硕士培养方案中，专业基础课：（1）矩阵理论（2）随机过程（3）信息论与编码（4）现代数字信号处理（5）通信网络管理：其中有运筹学内容，属于数学。（6）模糊逻辑与神经网络是研究非线性的数学。大连理工大学微电子和固体电子硕士培养方案中，必修课：工程数学，专业基础课： 物理、半导体发光材料、半导体激光器件物理 西北大学经管学院金融硕士培养方案中，学位课： 中级微观经济学（数学）中级宏观经济学 中国市场经济研究 经济分析方法（数学）经济理论与实践前沿 金融理论与实践 必须使用数学的研究专业有：理工科几乎所有专业，分子生物学，统计专业，（理论、微观）经济学，逻辑学而这些数学的基础课就有一门叫做数学分析的课程！数学是所有学科的基础，可以说自然学科中的所有的重大发现和成就都离不开数学的贡献，而数学分析是数学中的基础！基础中的基础！

正因为如此，我深刻地认识到基础的重要性。经过本学期，我已学习了极限理论，单变量微积分等知识，其中极限续论是理论要求最高的，积分学是计算要求最高的部分。两者均是我学习中的困难。在本书中，以有界数集的确界定理作为出发点，不加证明地承认该定理，利用它证明了单调有界数列的极限存在定理，然后逐步展开证明了其他几个基本定理。定理虽易记诵，但对于理解的要求甚高，举例来说，在课后习题中有这样一题，证明单调有界函数存在左右极限。这题着实将我难住许久许久，尽管该题在数学分析中只是初级的难度，但初学者的我起初甚是无解。写到这里，我又发现我的一个问题，当然这个问题也是共性的。许多同学在学习数学分析的过程存在着这样的问题：上课能听懂，课后解题却不知所措。这一问题的产生由于一方面对基本概念、基本定理理解得不够深入，对定理的条件、结论理解得不够贴切，对各部分知识之间的联系区别不甚清楚。在极限续论中，由于内容相当抽象，在老师一次次的详细讲解下，上课基本能听懂，但这就可能是大学与高中最大的区别，特别是我的专业要求——理论要求，自己不反思，不更深刻去想，去悟，想学好很难，所以另一方面，做题太少，类型太少，并且对做过学过的题目缺少归纳总结，因而不清楚常见的题目都有哪些类型，也不明了各类型题目常常采用什么方法，用什么知识去解释这些理论问题，总之，是心中无数。著名数学家、教育家乔治·波利亚说过：“解题可以是人的最富有特征性的活动······假如你想要从解题中得到最大的收获，你就应该在所做的题目中去找出它的特征，那些特征在你以后求解其他问题时，能起到指导的作用。”特征，的确每位老师在讲课时都会将同类题一起讲解，这对我们的帮助是相当大的，在寒假，我重温了一下我的数学分析书和相关资料，从中，我发现在特征中显现出我曾经并未发现的，并未熟知的，甚至将我某些一学期都未曾搞清的问题驾驭自如，触类旁通！

尽管我们要把理论学好学扎实，但我自己也要培养实际操作能力，在本书与高等数学中都有积分计算，某些积分计算往往是难到要做好几小时的，在王老师的推荐下买了吉米多维奇数学分析习题集题解，很有用，这书就好比是字典，题典，有不会，我就向它寻求适当的解法，有时，闲暇之余还会与同寝室同学共同研究方法的优劣，我发现我的解法往往麻烦繁琐。蒋科伟，吕孙权的做法有时可作为我修改的借鉴，其实，作为一名数学专业的学生来说，应该具有团队配合的意识，加强对实际应用知识的学习，更多关注学科的变化，培养对问题的思考。在研究积分题的过程中，我巩固了所学的积分概念，有效地提高我的运算能力，特别是有些难题还迫使我学会综合分析的思维方法。写到这我想起高中老师曾讲过在不等式证明中的综合法，原来在高中我已接触了大学知识，忽然又发现高中老师讲过许多上海高考都不考的知识，都是对我大学学习的良好铺垫，受益匪浅。实践出真知，至理啊！在自学高等数学期间也有过困难，有时感到学的太多，杂了。遇到困难，幸好有数学分析这门课给与理论支持！在统计班同学考试资料的支持下，我还是多少学到点东西与解题技巧的。这很是让我感到欣慰啊。

现在是科技的时代，在掌握好基本运算后我们接触了数学软件——Mathematica。该软件是应用广泛的数学软件，它不仅可以进行各种数值运算，而且可以进行符号运算、函数作图等。此软件使我理解导数、微分概念，理解泰勒公式，函数的N次近似多项式及余项概念，了解N次近似多项式随N增大一般是逐步逼近原函数的结果。熟悉了Mathematica数学软件的求导数和求微分命令，以及求n阶泰勒公式命令和求函数的n次近似多项式命令。不仅如此，我还通过它理解了不定积分、变上限函数和定积分概念，了解定积分的简单近似计算方法。这些正如诺基亚的广告词：科技以人为本。有了这些，对于我们来说，计算不再是困难，在高等数学的计算部分的自学中也可操作自如，再加上我的英语基础较好，在寒假下载了MATHEMATICA6操作软件，初试时还是有难度的，但在王老师下发的操作资料中还是有很强的辅助作用的。现在数学给了我自信，让我寻找其中的乐趣！

在这第一学期，王老师对我的帮助太大了！原来的我虽然数学基础较好，但初学分析我是真的一筹莫展，这时，王老师对我学习中的的问题耐心又仔细地回答，让我在一次次郁闷中寻找到真知！正因为老师的不辞辛劳的帮助，让我取得现有的成绩，这还仅仅是一部分，老师对我思想与在带班级上也给出过帮助，让我各方面都在原有的基础上得到巨大的提高，使我更能看清自己的能力与潜力，老师谢谢你对我在一学期的帮助，我会继续努力的，尽管我离班级学习最好的同学差距甚远，但我不会放弃努力与奋斗的目标，我会达到更高的数学领地，取得更好的成绩.此次听陈教授的课，收益颇多。陈教授的这些讲座，不仅是在教我们如何处理《数学分析》中一些教学重点和教学难点，更是几堂非常出色的示范课。我们不妨来温习一下。

第一讲、微积分思想产生与发展的历史

法国著名的数学家H.庞加莱说过：“如果我们想要预见数学的将来，适当的途径是研究这门科学的历史和现状。” 那么，如果你要学好并用好《数学分析》，那么，掌故微积分思想产生与发展的历史是非常必要的。陈教授就是以这一专题开讲的。

在学校中，我不仅讲授《数学分析》，也讲授《数学史》，所以我非常赞同陈教授在教学中渗透数学史的想法，这应该也是提高学生数学素养的有效途径。

在这一讲中，陈教授脉络清晰，分析精当，这是我自叹不如的。讲《数学史》也有些年头，但仅满足于史料的堆砌，没有对一些精彩例子加以剖析。如陈教授对祖暅是如何用 “祖暅原理”求出球的体积的分析，这不仅对提高学生的学习兴趣是有益的（以疑激趣、以奇激趣），而且有利于提高学生的民族自豪感（陈教授也提到了这一点）。

在这一讲中，陈教授对weierstrass的“ε−N”、“ε−δ”语言的评述是“它实现了静态语言对动态极限过程的刻画”。这句话是非常精当的，如果意识不到这一点，你就很难理解这一点。在此我还想明确一点：《数学分析》的研究对象是函数，主要是研究其分析性质，即连续性、可微性及可积性，而使用的工具就是极限。如果仔细盘点一下，在《数学分析》中，无论是数、函数、数列、函数列，数项级数，函数项级数等相关问题，无不用到这一语言，你应该能理解陈教授的“对于数学类学生来说，没有“ε−N”、“ε−δ”语言，在《数学分析》中几乎是寸步难行的”这一观点。第二讲、实数系的基本定理

在这一讲中，陈教授从《实变函数》中对集合基数的讨论展开，对实数系的连续性作了有趣的讨论。首先是从绅士开party的礼帽问题，带我们走进了“无穷的世界”。我在开《数学赏析》时有一个专题就是“无穷的世界”，我给学生讲礼帽问题、也讲希尔伯特无穷旅馆问题，但遗憾的是，当我剖析“若无穷旅馆住满了人，再来两个时，可将住１号房间的移往３号房间，住２号房间的移往４号房间，从而空出两个房间”时，学生对我“能移”表示怀疑。这一点我往往只能遗憾的说“跳不出有限的圈子，用有限的眼光来看无限，只能是‘只在此山中，云深不知处’”。当然，我还是会进一步考虑如何来讲好这一讲。若陈教授或其他老师有好的建议，能指点一下，则不胜感激。

对于集合[0,1]与(0,1)的对等关系，包括Q与Ｒ的对等关系，或者说他们之间双射的构造。关键在于“求同存异”，找一个可数集来“填补”他们之间的差距，这相当于希尔伯特无穷旅馆问题中来了两个人和来了可数个人。

对于实数集中的有理数，“廖若晨星”是非常形象的描述。一声集合的哨响，我们发现，有理数在实数轴上几乎是没有位置的（mQ=0），用一系列的帽子来盖住这些点，而这些帽子的大小是ε，这是非常精彩的结果。

从可数集到不可数集，再加上无最大基数定理，让我们看到了“无穷的层次性”，由此我们不难理解“人外有人，天外有天，无穷之外有无穷”。我们不能不发出“哀吾生之须臾，羡长江之无穷”的感慨。

陈教授对单调确界原理的证明非常清晰明了，几何直观的描述形象直观。第三讲 《数学分析》课程中最重要的两个常数

法国著名雕塑家罗丹曾经说过“生活中从不缺少美，而是缺少发现美的眼睛”。我想说：“数学中并不缺少美，缺少的是揭示数学美的老师”。陈教授是一个出色的老师，他不仅发现了数学的美，而且为我们展示了数学的美。

i著名的欧拉公式：e10，实现了有理数、无理数、超越数、实数、虚数完美统一，获得“最美的数学定理”称号。欧拉建立了在他那个时代，数学中最重要的几个常数（0,1,i,e,）之间的绝妙的有趣的联系，被认为是数学奇异美的典例。

在本讲中，陈教授以李大潜院士访问法国“引入”的一个有趣例子开讲，让我们体会了数学中的美，这个不等式还有许多有意思的地方，无论是不等式的形式，还是他的证明，都非常深刻地体现了数学的美。Pi是无理数的证明，吸引了与会学员的眼球，赞叹之余，有学员问这一证法的出处，我也还真想知道，请陈教授不吝指教。

本讲最后将函数sinx/x展成无穷乘积形式，并妙用此形式求出p级数中p为偶数值时的和，对我而言是耳目一新的。在我记忆中好像菲尔金哥尔茨的《微积分学教程》(第二卷)中也有求出的方法，而p为奇数的情形好像至今尚未解决。对p=2的情形，欧拉至少用两种方法得到结果，其中一种方法妙用了L’Hospital法则(《数学译林》09.3)。第四讲 级数与反常积分收敛的A.D判别法 恰逢这个学期讲《数学分析》(3)，在讲授含参变量反常积分时，先复习了反常积分，再复习了函数项级数，并将几个判别法列表比较，尤其是A.D判别法，能与陈教授不谋而合，真是倍感荣幸。

陈教授对Abel引理的直观刻画，也是深得学员好评。我对陈教授从Abel引理分析anbn收敛条件的分析而得到Dilichlet判别法和Abel判别法的相关条件深感佩服，尤其是分析得丝丝入扣。

第五讲 函数项级数与含参变量反常积分的一致收敛

一致收敛性无疑是《数学分析》中的一个重要概念。陈教授对“点点收敛”与“一致收敛”的剖析是非常到位的，学生在学习时如果是只能注意到在定义的陈述“x”的位置不相同，而不明其所以时，这样的教学肯定是失败的。陈教授例子选择精当，语言使用精辟，问题分析精准。请注意陈教授的这句话：“毛病出在点态收敛的情况下，在某些点附近，N无法控制”（类似的话在第九讲中说过）。

第六讲 Weierstrass函数：处处连续处处不可导的函数

陈教授分析了为何在Weierstrass之前的数学家不能构造出这样的函数。原来在此之前，数学家们所掌握的函数是不足以构造出这样的函数的。

Weierstrass在1872年构造出了如下处处连续处处不可导的函数： ansin(bnx)01 陈教授选用1930年Van Der Waerden给出的例子进行了剖析。所讲自是精当，本人很是受益。第七讲 条件极值问题与Lagrange乘数法

本讲陈教授从一个几何问题入手，得到一个条件极值问题。考虑了条件极值的必要条件，引入Lagrange乘数法，化条件极值问题为无极条件极值问题。这部分内容中，本人认为几何解释最有启发性。

对于具体使用Lagrange乘数法的例子中，如何解方程组，陈教授给了很好的建议。第二个例子，即求平面x+y+z=0与椭球面x2+y2+4z2=1相交而成的椭圆面积。这个例子我很喜欢，只可惜不能用来做期末考题（不要问我为什么！）。第八讲 重积分的变量代换

本讲陈教授从定积分的换元的计算公式分析入手，对二重积分的相应的代换公式作出类比猜想（在教学中注重渗透数学思想方法，如此妙哉！）再作分析，然后得出代换公式。

为证明代换公式，陈教授引入本原映射，化“矩形”为“梯形”，化变换T为两个本原变换的复合，实现了化复杂为简单，化困难为容易。第九讲 《数学分析》课程中的否定命题

《数学分析》教学中，说说“反话”很重要！（请不要误解！）

两个命题A与B如果既不能同时成立，也不能同时不成立，就称A与B互为否定命题。若A与B互为否定命题，则A与B一定满足：一个成立，另一个必然不成立；一个不成立，另一个必定成立。（废话！）

有界与无界、收敛于a与不收敛于a、收敛与不收敛、（注意前边两对的区别！）、可导与不可导、Cauchy收敛准则及其否定命题，等等。这些“反话”不说，大量的题做不了。我在讲《数学分析》(1)时会有一讲（几个概念的否定叙述）就是来讲否定命题的。陈教授在这部分的例子非常好，分析得也清楚！陈教授的九讲，给了我们太多的启示：

一、在我们的教学中，不仅要教其所以然，而且要教其所以然。陈教授的这九讲，应该是我们讲授《数学分析》的经典案例，当然，我们不一定是讲这一些内容！正确的思想从哪里来，是从天上掉下来的吗？不是！

二、在我们的教学，不仅要传授知识，而且要传授思想方法，也就是教学中要注 重思想方法的渗透。

三、在我们的教学中，不仅要传授知识，而且要培养学生的数学素养，让他们了解数学的过去、现在，以便开创数学的将来。

四、在我们的教学中，或许会遇的许多困难：教学时数少，教学对象差等等，但我们应从我们自身积极的寻找对策。陈教授就是这样的。

以上所述，仅凭个人听课记录，又仅凭个人理解。若是有误，请陈教授见谅并斧正。最后，向陈纪修教授致以崇高的敬意！如何学好数学分析 刘轼波

数学分析是数学系最重要的课程。许多后续课程都以它为基础，例如常微分方程、偏微分方程、复变函数、实变函数，以及泛函分析。这些都属于分析数学的范畴。此外，作为几何学一分支的拓扑学，主要研究拓扑空间在连续映射下不变的性质，而连续映射是数学分析中研究的连续函数的推广。而当今数学研究中最重要的部门——微分几何，乃是在微积分对几何学的应用过程中发展起来的，因此也离不开数学分析的理论和方法。所以，要顺利完成数学系本科阶段的学习，学好数学分析非常重要。说得更长远一点，任何有志于从事数学研究的青年学子，好好掌握数学分析的理论和方法是关键的第一步。要学好数学分析是没有捷径可走的。对其他课程，也是如此。如果真有这样的捷径，老师在上课时早就告诉大家了。这样的话，是否不必管太多，只管硬下功夫就可以了呢? 如果只是蛮干，是不会有好的结果的，而且会很累。我见过不少同学，书都读破了，书页上也写满了笔记或是在读书过程中的心得，看来还是很用功的。但是他跑来问我的问题却很简单，有些甚至在书上就有明白的解释。我把书翻给他看，他才恍然大悟。我想，这是由于他虽然花了很多时间，但却没有认真对以下要提到的几个方面进行思考。所以他对基本内容没有很深的印象。下面我想就数学分析的学习，谈谈我的看法。一谈到数学的学习，很多人想到的就是要多做习题。但是，我认为最重要的还是要先仔细研读教科书，搞清楚每个定义和定理。在这个基础上适当做些习题才会事半功倍。没有弄清基本的概念，对学过的定理也没有吃透，就急急忙忙去做习题，必然会碰到很多困难，甚至会丧失自信心。这是一种不可取的学习方法。

首先，要彻底弄清楚接触到的每个定义。数学上的定义，都是从许多具体的事例中抽象出来的。这些定义虽然是具体事例的抽象，但却又是很自然的。我们在学习中要多思考，并且通过具体的例子来掌握各个定义的内涵。数学的定义中往往有各种各样的条件。对这些条件要仔细揣摩，体会它们的作用。有时还需要通过正反两方面的例子来辨析不同的概念。只有这样才能真正掌握，并能在推理中做到灵活运用。

其次，每学习一个定理时，就要从内涵上弄清这个定理的含义，即它到底说了什么事情。这往往可以结合几何直观来把握。然后就是研究定理中要求的条件。这可以通过研究定理的证明了解这些条件的作用，还可以通过反例来弄清当某个条件不成立时，结论为何不对。通过这样正反面的思考，就会对这个定理有比较好的理解。我见到很多数学系的学生，在解题时说“因为f是闭集F上的连续函数，所以f有界”。之所以犯这样的错误，就是因为没有很好地掌握“有界闭集上的连续函数必有界”这个定理。

再者，定理的证明也值得我们好好研究。通过研读定理的证明，可以加深我们对这个定理的理解。而且，在定理的证明过程中我们还可以学习到本学科的各种基本的论证方法。熟悉这些方法之后，我们就自然能够把它们应用到我们面临的问题中去。有些定理的证明是很漂亮的，充分展现了数学的美。我们在学习过程中还要好好体会这种美，这对提高我们的数学素养不无益处。当然，有些定理的证明比较繁难，为了不打击自信心，我们可以先跳过它，等过后有机会再回来研究它。事实上，有些定理本身很重要，但它的证明却未必非常重要。关于这一点，大家可以去看伍洪熙先生在北京大学出版社出版的《黎曼几何初步》前面的“致读者的话”第iv页关于弧长的二次变分公式的叙述。这整篇“致读者的话”对学数学的人都是很有启发性的。另外，学了一个定理后，一个很重要的方面就是如何把它应用到各种问题中去。这甚至比定理本身的证明更为重要。设想，如果你由一个定理推出一些有趣的结论，那你一定会觉得这个定理妙不可言。数学分析中的许多定理都有很直观的几何意义。许多证明题，如果从几何直观上看就很好理解。这样的几何直观往往会启发我们发现解题的思路。

我们还可以从全局的角度来看我们学过的定理，看它和数学分析中的其它定理有什么联系。比方说为什么需要这个定理? 想象一下，如果没有闭区间上连续函数的性质的各个定理，整个数学分析的理论会是什么样子。把各个定义、定理联系起来，在我们的头脑中形成一个有机的网络，我们在解决问题时才能更灵活地运用所掌握的知识。

在牢固地掌握了各个定义和定理后。一定要做一些习题，以加深理解。好的教科书每节后面的习题都是对本节所学知识的运用。做这些习题有助于更好地掌握该节的内容。做习题的过程也是对自己的一种训练，这是做习题的另一个目的。正如长期的体育锻炼会使身体逐渐强壮一样，坚持做习题，分析问题和解决问题的能力就会逐渐提高。

数学分析的习题，灵活性比较强。我们常常有面对一个问题却束手无策的经历。这是很正常的现象，千万不要失去信心。这是由于我们的阅历比较少的原因。现在出版了不少解题指南之类的参考书。这些书上有很多很典型的例题，有些是很有启发性的。大家可以根据自身情况选读一些。不过，每道好的习题都是非常珍贵的。如果遇到题目，没有经过深入的思考就急于去看答案，那么你虽然也知道这道题乃至这类题的解法，但却失去了一次独立思考的机会。这道题就被你浪费掉了。所以，对于习题大家一定要独立思考(也可以几个同学一起讨论)，实在做不出来再去看答案，并认真总结自己失败的原因。对于参考书中的例题，如果时间允许，也应先自己试做一下。如果没有试做参考书中的例题，就一定要选做它里面的一些习题。

最后，数学分析的内容非常丰富，它跟后续的许多课程有着密切的联系。我们在后续课程的学习中，有时还应该回来看看数学分析中的有关内容，厘清它们之间的联系。这对更好地掌握数学分析，以及后续课程的学习，都有好处。

第二篇：数学分析习作读书报告格式

云 南 大 学

数学分析习作课（1）读书报告

题 目：

学 院： 专 业： 姓名、学号： 任课教师： 时 间：

摘 要

关键词：

以下为正文部分：小标题四号宋体字，其余均为小四号宋体字。撰写时请删除！

参考文献

[1] 数学分析习题集解，吉米多维奇原著，费定晖等编著，山东大学出版社，2005.[2] 论如何加强数学人才在求职中的优势，杨汉春，张 庆，高等理科教育，No.4（2003）：22－26.

第三篇：数学分析学习心得和读书体会

从分析学发展史看大学数学学习中的严密化

数学作为一门古老的学科，已经被人类研究有数千年的历史。那么为什么这门艰深的学问能够以“科学皇冠上的明珠”这样一个身份对人们产生经久不衰的吸引力呢？我认为，数学最为迷人之处，就是其所特有的精准与和谐。简单的说，严密性造就了数学的美，也构成数学的基石。可以说，数学的发展史，就是它本身严密性不断加深加强的历史。这一点，我们这些大学新生就有着切身的体会。比方说现在提出这样几个问题：

1、3-5=？

2、自然数多还是整数多？整数多还是分数多？

3、若y=f（x），那么当 x→0，y/x=？

对于这几个问题，我们在不同的学习阶段都会给出不同的答案。对于第一个问题，小学生可能根本无法解答，对于一个中学生就没有丝毫的难度；对于第二题，小学生会说自然数比整数多，中学生则可能表现出迷惑；而对于最后一题，即使是高中生也不见得会给出合乎逻辑的答案，却又是大学数学的基础题。也就是说，在过去的学习过程当中，无论是从小学数学到中学数学，还是从中学数学到大学数学，无不伴随着数学学科从方法、技巧乃至于思想上严密性和逻辑性上的提升。一些即便在原来看来是无懈可击的结论与定理，稍有疏忽也许就成为了谬误。

进入大学数学的学习阶段之后，这一点更有了在根本上的飞跃，这就需要我们摆脱过去直观的思考方式，建立更加抽象而严密的思维体系。就这一点来说，我们到现在为止的学习教程于数学本身的发展史是相契合的。我们以数学分析的发展为例。

早在古希腊时期，对实数及其极限的分析和计算就已经成为了数学家的课题。古代数学家围绕原始的极限思想做出了大量的研究，并取得了许多成果，例如穷竭法（《几何原本》Euclid），割圆术（《九章算术》刘徽）等等。但直到

十六世纪中叶，微积分才正式进入了酝酿阶段。事实上微分和积分原本被称为无

穷小演算，其最初的目的就是“试图去计算曲线所包围的平面图形的面积以及曲

面所包围的立体的体积”（《Encounter with Mathematics》P160 Lars Garding）。但

是，这种几何直观的概念给理论本身的严密性带来了先天上的不足，无论是最初的Kepler和Cavalieri，还是后来的Pascal和Fermata，乃至最终创建微积分理论的两位巨人Newton和Leibniz，这些优秀的数学家都没能对此拿出真正意义上严格的解决方案。尽管围绕建立在不可靠基础之上的微积分理论人们还是做出了大量

工作并取得了许多惊人的成就，微积分也迅速渗透到了力学，天文，航海等各种

学科乃至于生活生产的方方面面。然而，后来因为基础概念的不明确导致理论根

基上的动摇，从而引起所谓“第二次数学危机”的爆发，使得几何直观的理论基

础带来的麻烦完全超过了人们从它那里获得的便利。

现在我们知道，当对数学的学习进入了高等数学阶段时，有关于实数和实数

集完备概念的建立就成为摆在我们面前的头号问题。原则上，我们在高中阶段所

学习的一些导数知识即可视作微分的入门。但是当时的数学学习依然没有能够摆

脱所谓的“导数是函数曲线上确定一点切线的斜率”这类不严密的几何直观概念，这使得我们对完全理解其所叙述的数学模型中出现的各种概念和理论造成了困

难。介于此，在正式进入数学分析的领域之前，我们迫切需要对实数的基本理论

进行系统的学习和掌握，构建起新的思维体系。

幸运的是，这些问题都已经由前人所解决了。正如上文所提及的那样，尽管

成就卓著，建立在不牢固基础之上的分析学出现了越来越多的谬误，例如Fourier

经过推理竟然认为数列an(1)i1的极限为1/2（如果把这个数列写成i1n

{1,0,1,0„„}的话，我们很容易看出这是典型的非收敛数列）。这些荒谬的结论

使得当时的分析学渐渐为众多人所攻讦。人们最终还是发现微积分和分析学的不

严密性到达了了一个非解决不可的程度。之前就有一些数学家试图对此作出严谨

而符合逻辑的解释，诸如Taylor,Euler,Maclauin等人，却始终没有找到合适的途径。

事实上，在集合论出现之前，对这一问题做出真正意义上严密的解答是相当困难的。此后，Cauchy在他的著作中首次提出了用数列的无限趋近来定义极限，导数

差量商形式的表达等重要思想，为后人铺平了道路。利用他的思想，后来的Heine,Cantor等人用今天我们所熟悉的柯西收敛准则的想法证实了“无理数是实数

迫近的极限”（《Cours d’analyse algébrique》Cauchy）这一猜想，由此最终得到六条

实数完备性定理（事实上我们已经知道这六条定理是完全等价的），为建立实数

理论打下了基础。与此同时Weierstrass（此君即实数定理中的聚点定理和

Weierstrass function：f(x)ancos(bnx)的发现者）提出了现在广泛使用的ε-δ

n0

定义法，终于使分析学完全摆脱了几何直观的含糊概念。

由此看来，数学分析发展过程与我们的数学学习过程是极为相似的，从最初

用“从特殊跳到一般的不可靠的推理方法”（Abel）建立直观的理论概念，经过

不断深入的学习和研究，最终获得从一般到特殊的构筑的严密理论基础，这其中

伴随着我们的恰恰是对数学根基和本源不断深入的探寻和挖掘。从这个意义上来

说，我想我们的数学学习实际不是在向上而始终是在向下行进着的。换句话说，越是深入的学习，我们也就越接近数学的的本质。事实上，过去的经验已经证明，越是看似简单而显而易见的东西，越是需要深层次理解和剖析，因为它可能涉及

到的恰恰是根本上的思想变化，我们以这样一个问题为例：

证明：若一个数列存在极限，那么该数列的极限是唯一的。

如果让一位知识基础比较好的高中生来做，乍一看这个问题，他会觉得需要

这个结论是如此显而易见，以至于对它的证明也是多此一举的，然而细想之下，他才会发现就是这样一个看似简单的问题，他也没有足够的数学思维与工具对其

进行严密而精确的阐述。

事实上这是大学数学中的一个非常基本的定理，我们只需构造收敛数列{an}

两个不相同极限，然后利用简单的归谬法推出矛盾就可以给出完全严格的证明。

只要是保证没有极其离谱的上课走神或是翘课，凡是入校超过两个月的大学

生都能够轻松解决这类问题。很难说这样一名大学新生相比一名学习扎实的高考

生在知识水平上有着多大的差异。正如在数学分析的发展过程中，尽管它是由后

人完全奠定了基础，但是这样就可以说之前的数学家在思维水平或是智商上有着

什么缺陷吗？答案显然是否定的，我们只能说是这是数学发展带来思想体系上的深刻变革而导致的必然结局。同样的，从中学到大学的数学学习，我们所感受到的种种不同也正是因为思考方式的升级所带来的结果。当我们进入这一片全新的领域的时候，原本一些看似正确的观念也许就会显得不合时宜，这时候就需要我们自己去理解，去辨别，并在需要的时候将那些陈旧的观念加以改造或摒弃，这

样对我们分析学乃至于整体的大学数学学习才会是有利的。

仅仅是简单的了解了一下分析学的发展历史，我们就看到了它与我们学习教

程进程惊人的相似和吻合。在这里我可以大胆地说，数学的进步就是思想的进步，而我们学习数学实际上就是学习思想。对过去经验结论不加辨别的使用，不仅大

大降低了数学学科的严谨性，而且有时甚至会得到似是而非甚至于完全荒谬的结

果，分析学的发展历史就是最好的证明。

在这一番思考的最后，我想以分析学严密化的先驱Cauchy 的话作为结尾：

认为只有在几何证明里或者在感觉的证明里才有必然，错误往往来源于此。

参 考 书 目

Morris Kline：Mathematics Thought From Ancient To Modern Times，1972，Chap.40 and 41

混合班1004朱恒

3100103211

第四篇：数学分析习作读书报告格式

云 南 大 学

数学分析习作课读书报告

题 目： 一元函数与二元函数连续性的对比

学 院： 数学与统计学院

专 业： 数学与应用数学 姓名、学号： 任课教师： 时 间：

摘 要

讨论一元、二元函数连续性的对比，首先我们要讨论一元函数与二元函数的连续性的联系，从函数连续性的定义和一些性质中找出与一元函数与二元函数连续性的关系，再从函数连续性与极限、导数、微分的联系来分析一元函数与二元函数连续性的不同。如同极限一样，二元函数的连续性问题要比一元函数要求更高，处理起来也更复杂，但是，一切从基本概念出发，熟知连续性的定义和定理，参考一元函数连续性问题的解决方法，二元函数连续性问题就不难解决。

关键词：

函数在一点的连续性 函数的左、右连续 间断点 导数 极限 偏导数 积分

以下为正文部分：小标题四号宋体字，其余均为小四号宋体字。撰写时请删除！

一、函数的连续性 函数在一点的连续性

（一）函数在x。连续，满足三个条件：（1）函数ƒ(x)在x。点点某领域U(x。，δ)内有定义（2）limƒ(x)存在△x→x。

（3）limƒ(x)=ƒ(x。)△x→x。

用增量形式表示连续性：lim[ƒ(x。+△x)-ƒ(x。)]=lim△y=0 △x→0 △x→0

定义：设ƒ(x)在x。及其领域内有定义，如果对于任意的ε﹥0，都有δ=δ（x。，ε）﹥0，使当|x-x。|﹤δ时，有|ƒ(x)-ƒ(x。)|﹤ε成立，即limƒ(x)= ƒ(x。)，则称函数ƒ(x)在x=x。(或点x。)处连续。x→x。

ƒ(x)在点x。出处有定义，且ƒ(x)在分界点x。的极限limƒ(x)存在 x→x。limƒ(x)=(x。)x→x。

所有初等函数在它的定义域内都连续

一个连续而另一个不连续的函数，其和、差一定不连续，但其积不然

例1． 例 设函数ƒ(x)在（a,b）内每一点处的左、右极限都存在，又x,y∈（a,b）,有ƒ(xy2)≤[ƒ(x)+ ƒ(y)](1)21证明 ƒ在（a,b）内连续

分析 若想证明ƒ(x)在（a,b）内连续，由题设即证  x。∈（a,b），limƒ(x)= limƒ(x)= ƒ(x。)(2)x→x-。x→x+。

即可，在式（1）中先令某一变量为x。（这是想当然的，因为定要考察ƒ在x。处的情况，不妨设x=x。），则得

ƒ(x。y2)≤[ƒ(x。)+ ƒ(y)](3)

21如果y在x0的左侧，即y

y﹤即y与x。y2x。y2x。y2﹤x。

x。y2均在x。的左侧。如此，y →x-。时，→x-。亦成立。在式（3）中自然要想到令y →x-。，则得

limƒ()≤[ƒ(x。)+ limƒ(y)](4)y →x-。y →x-。令

A= limƒ(y)y →x-。

则

limƒ（x。y2）=A y →x-。则式（4）表明

A≤ƒ(x。)（5）

同样，若在式（3）中令y →x+。，则当记B=limƒ(y)时，便有不等式 y →x-。

B≤12ƒ(x。)+

21在式（1）中如果想办法令

2xyBB≤ƒ(x。)（6）

=x。，这样x。便成为x与y中间的点了，在式（1）中令xx。、yy。，便会得到另一个不等式，为此，不妨令x=x。-h,y=y。+h,h>0.则式（1）成为

ƒ(x。)≤[ƒ(x。-h)+ ƒ(x。+h)]（7）

21令h0.则式（7）成为

ƒ(x。)≤联立式（5）、(6)、(8)便得

A=B= ƒ(x。)问题获证。

（二）、函数在一点的左（右）连续

1、函数ƒ(x)在点x。左连续, 满足三个条件:

12ƒ(A+B)(8)

（1）函数ƒ(x)在x。点点某领域Uˉ(x。，δ)=（x。-δ,x。）内有定义（2）limƒ(x)存在△x→x-。（3）limƒ(x)=ƒ(x。)△x→x-。

用增量形式表示左连续性：lim[ƒ(x。+△x)-ƒ(x。)]=lim△y=0 △x→0-△x→0-

2、函数ƒ(x)在点x。右连续, 满足三个条件:（1）函数ƒ(x)在x。点点某领域U+(x。+δ，x。)有定义（2）limƒ(x)存在△x→x+。（3）limƒ(x)=ƒ(x。)△x→x+。

用增量形式表示连续性：lim[ƒ(x。+△x)-ƒ(x。)]=lim△y=0 △x→0+ △x→0+ 分段函数是刻画左右连续的最好例证 例2 设

sin2x,xf(x)23x2xk,limx0，x0,问k为何值时，ƒ(x)在其定义域内事连续的？ 解：当x。0时，xx。ƒ(x)= ƒ(x。)，所以，在x0处，ƒ(x)是连续的。当x0时，由于ƒ(0)=k；且

limlim ƒ(x)= x0x0limx0f(x)limx0(3xsin2xx22;

2xk)k，所以，令k=2, 则ƒ(x)在x0处连续。

（三）、间断点及其分类

1、函数ƒ(x)在x。间断，必出现如下三种情形之一；

（1）ƒ(x)在x。点无定义（2）limƒ(x)不存在 x→x。

（3）ƒ(x)在x。点有定义，且limƒ(x)存在，但limƒ(x)≠ƒ(x。)x→x。x→x。

2、间断点分两类

（1）第一类间断点;函数在该点处的左、右极限都存在 ①可去间断点，limƒ(x)存在，但ƒ(x)在x。点间断 x→x。

②跳跃间断点，ƒ(x)在x。点的左右侧极限存在，但limƒ(x)≠limƒ(x)x→x+。x→x-。

(2)第二类间断点；函数ƒ在点x。的左右极限至少有一个不存在 ①振动间断点，如y=sin(x=0)②无穷间断点，如ƒ(x)=

xsinx1x

（x/sinx）(x=n)下面我们看一下关于这些的例题

0,f(x)3x1,2x3,x0,0x2, x2,例3 设函数求ƒ(x)的间断点和连续区间。

解：该分段函数在区间（-∞，0），（0，2）,(2,+∞)内分别都是多项式函数，因此，如果该函数有间断点，其间断点只可能是分段点x=0,x=2.由于ƒ(0)=1, ƒ(2)=7, 且limƒ(x)=lim 0=0, limƒ(x)=lim(3x+1)=1, x→0-x→0-x→0+ x→0+ limƒ(x)=lim(3x+1)=7, limƒ(x)=lim(x3)=7 x→2-x→2-x→2+ x→2+ 所以，x= 0是ƒ(x)的跳跃间断点，x=2是ƒ(x)的连续点，其连续区间是（-∞，0）和(0,+∞)例4 求函数ƒ(x)=sinxsin

1x2的简断点，并说明这些间断点是哪类间断点。若是可

去间断点，则补充定义，使函数连续。

解：因为ƒ(x)在x=0处没有定义，所以x=0是ƒ(x)的间断点。因为lim sinxsin x→0 所以x=0是ƒ(x)的可去间断点，补充定义ƒ(0)=0，即令 ƒ1sinxsin,(x)=x0,x0,x0,1x=0

则ƒ(x)在x=0处连续。

数学分析名师导学（上册）《大学数学名师导学丛书》编写组 编 本册编写 杨万利 中国水利水电出版社 2005 P102～105

定理5.ƒ(x)在x。处连续的充分必要条件为ƒ(x)即为左连续，又为右连续 定义6.（函数在闭区间上连续）函数ƒ(x)在[a,b]上连续是指：对任意x。(a,b), ƒ(x)在x。处连续，且ƒ(x)在 a处右连续，在b处左连续。

性质8.若ƒ(x)，g(x)在x。处连续且ƒ(x。)>g(x。)，则在x。的领域U，使ƒ(x)﹥g(x)，xU 性质9.连续函数的和、差、积、商（分母不为0）仍然连续

sinx例5 证明ƒ(x)=｛x,x0x0 在x=0处连续。

cosx,证 首先，ƒ(0)=cos0=1.当x>0时，ƒ(x)= sinxx1(x0)

5

又当x﹤0时，x2x20(x0)︳ƒ(x)-1︳=︳cosx-1︳=2sin故知limƒ(x)=1 x→x-。

222从而，ƒ(x)既为左连续又为右连续，即ƒ(x)在0处连续。

数学分析 龚怀云主编 刘跃武 陈红斌 向淑晃 西安交通大学出版社 2000 P52～53 二、二元函数的连续性

二元函数连续的定义：若f(M)在M。有定义，limƒ(M)存在，且二者相等，即

M→M。

limf(M)=f(M。)

M→M。

时，则称f(M)在点M。连续。

二元函数f(M)在点M。连续的“ε-δ”定义可叙述为： 任意的ε>0，存在δ>0时，r(M,M。)<δ时,有 |f(M)-f(M。)|<ε.(一)、若二元函数ƒ(x，y)定义在点集点集D上，点P（a,b)∈D,并且并且P(a,b)是是D的聚点，若

limxaybf(x,y)f(a,b)

则称二元函数f(x,y)在点P(a,b)连续。

二元函数f(x,y)在点P(a,b)连续的“ε-δ”定义可叙述为：limxaybf(x,y)f(a,b)

当且仅当任意的ε>0，存在δ>0时，使得任意的（x,y)∈D:|x-a|<δ, |y-b|<δ,恒有

|f(x,y)-f(a,b)|<ε.f(a,y)在y=b处连续，f(x,b)在x=a处连续。

（二）、若点集点集D的任意点都是D的聚点，并且 二元函数f(x,y)在任意一点一点P(x,y)∈D都连续，则称f(x.y)在D连续.(2)若二元函数f(x,y)在点P(a,b)不连续，则称点P(a,b)是二元函数的不连续点或间断点。

例6 设函数f(x,y)在域D内对变量x是连续的，并对变量y满足李卜希兹条件，即任意的(x,y'),(x,y“)D，有f(x,y')f(x,y”)Ly'y“,其中其中L是常数。证明：f(x,y)在D上连续。证明：任意的(x。，y。)D，由于f(x,y)对x连续，则f(x,y)在x。连续，任意的ε>0，存在1(x。，y。)>0，使得当|x-a|<δ1时，有|f(x,y)-f(x。,y。)|<ε/2.取2/(2L)0,则当yy。时，由条件有

f(x,y)f(x,y。)Lyy。L/(2L)/2。故取min1,2，则当xx。, yy。，且U((x。,y。),)D时，有，f(x,y)f(x。,y。)f(x,y)f(x,y。)f(x,y。)f(x。,y。）/2/2即知f(x,y)在点(x。，y。由(x。，y。)连续，)的任意性知，f(x,y)在D上连续。三、二元连续函数的四则运算定理和复合运算定理与一元函数的情形基本相似。

（一）若二元函数f(x,y)与g(x,y)在点P(a,b)处都是连续的，则二元函数f(x,y)g(x,y),f(x,y)g(x,y),f(x,y)g(x,y)(g(x,y)0)在点点P(a,b)也都连续。

（二）若二元函数u(x,y),v(x,y)在点点P(a,b)连续，并且二元函数f(u,v)在点(,)((a,b),(a,b))连续，则复合函数f((x,y),(x,y))在点连续P(a,b)连续.二元连续函数经过有限次的四则运算和复合运算所得到的函数仍是连续的二元函数。若一元函数zf(x)在区间(a,b)连续，将它看作是二元函数函数zf(x)在区域D(x,y)x(a,b),yR也是连zf(x,y)f(x)时，续的。

数学分析（下册）主编 朱培勇 黄家琳 副主编 张利平唐再良 陈顺清 曾意 王良成 四川大学出版社 2002、8 P53∽P54

四、可导与连续的关系

可导必连续，连续不一定可导。

函数ƒ(x)在x= x。处连续，仅仅是函数ƒ(x)在x= x。处可导弹必要条件，而不是充分条件。

ƒ(x。+△x)-ƒ(x。)lim△y= lim[ƒ(x。+△x)-ƒ(x。)]= lim——————————· △x △x→0 △x→0 △x→0 △x = ƒ′(x。)·0=0

所以ƒ(x)在x。处可导。

单侧倒数

由于倒数的定义是借助于极限来给出的，则由单侧极限的概念出发

lim、x)f(x。)f(x。f（x。)，右导数，x0x lim、x)f(x。)f(x。f（x。）,左导数。x0x、、、f(x。)存在f（x。）f（x。）

分段函数是解释、处理单侧倒数的较好模型。

函数ƒ(x)在点x。可导，则ƒ(x)在x。点连续，一般有、f（x。）存在f、(x。)存在ƒ(x)在点x。点右连续

ƒ(x)在x。点左连续

称ƒ(x)在[a,b]上可导，是指x。∈（a,b），ƒ(x)在x。可导，且x。=a或b时，ƒ(x)在x。的右、左导数存在。

例6 讨论分段函数ƒ

x,x0;(x)=︱x︱=在分界点x= 0

x,x0.处的连续性与可导性。

解：先讨论ƒ(x)在x= 0处的连续性，由于

左极限：limƒ(x)=lim(-x)=0=右极限：limƒ(x)=lim(+x)，x→0-x→0-x→0+ x→0+

所以，极限值limƒ(x)==0=函数值ƒ(0)，因此分段函数ƒ(x)=︱x︱在 x→0

分段点x= 0处是连续的。

再讨论ƒ(x)在x= 0处的可导性，在x。=0处左极限值

limlim、f(0x)f(0)(0x)01 f（x。)x0x0xx在x。=0处右极限值

limlim、f(0x)f(0)(0x)01 f（x。)x0x0xx分段函数ƒ(x)=︱x︱在分段点x= 0处是不可导的

所以，可导一定连续，连续不一定可导。

数学分析名师导学（上册）《大学数学名师导学丛书》编写组 编 本册编写 杨万利 中国水利水电出版社 2005 P129～130 P132

五、可微、偏导数与连续之间的关系

偏导数的定义： 设函数f(x,y)定义在D上，若(x。，y。)D，且f(x,y)在x。的某领域内有定义，则称极限(x。，y。)关于x

limx0f(x。x,y。)f(x。,y。)x(x。,y。)或x为函数f(x,y)在点 的偏导数，记作ffx.xx。类似地，定义极限

limy0f(x。,y。y)f(x。,y。)y

为函数f(x,y)在点(x。，y。)关于y的偏导数.若函数f(x,y)在D上每一点(x，y)都存在关于x(或y)的偏导函数，记作

fx(x,y),fy(x,y);fxy,f;简记为fx,z.x9

设u但fxf(x,y),fx(x,y)存在f(x,y)在（x,y)点关于x连续

点关于(x，y)连续。(x,y),fy(x,y)都存在，不能推出f(x,y)在(x，y)22例7 xy2xyf(x,y)0,,2xy0

xy220x0limf(0x,0)f(0,0)x000解：fx(0,0)limy0xylimx0x2x.fy(0,0)'xf(0,y0)f(0,0)'y20.f(0,0)f(0,0)0 y2y12limf(x,y)limxyy0y02

limf(x,y)x0y0不存在

所以f(x,y)在o(0,0)不连续.函数f(x,y)在点P。（x。,y。)连续，则z=f(x,y)在点P。（x。,y。)的偏导数不一定存在。反之，函数f(x,y)在点P。（x。,y。)的偏导数存在也不能确定函数f(x,y)在点P。（x。,y。)连续。

对于二元函数来说，偏导数存在不一定连续，而连续函数也不一定有偏导数，这与一元函数的情形（可导必连续）有些不同。

函数在一点可微，则在该点也一定存在偏导数。可微必连续，连续不一定可微。10

定理 若fx(x,y)及fy(x,y)在点(x,y及其某一领域内存在，且在这一点他们连续，则函数在zf(x,y)該点可微。

若函数f(x,y)在点P。（x。,y。)可微，则f(x,y)在点（x。,y。)的偏导数必存在，因为f(x,y)在点（x。,y。)偏导数存在是f(x,y)在点P。（x。,y。)可微的必要条件，且df(x。,y。)fx(x。,y。)dxfy(x。,y。)dy.但反过来不一定成立。

若函数f(x,y)在点P。（x。,y。)的某领域内偏导数存在，且导数在点P。（x。,y。)连续，则哈、函数在点P。（x。,y。)可微。但偏导数在点P。（x。,y。)连续不是函数可微的必要条件。

二元函数f(x,y)在点（x。,y。)的可微、连续、极限与偏导数存在之间有如下关系：

偏导数存在极限存在连续 偏导数连续

可微

函数在一点可微，则在该点也一定存在偏导数。二元函数的不连续点函数仍可能可微。偏导数连续是可微的充分条件，而不是充要条件。f(x,y)0,(x22y)sinx12y2,x2y20,例8

x2y20,讨论f(x,y)在点（0,0)：（1）偏导数是否存在；（2）偏导数是否连续；（3）是否可微。解：（1）由定义知

f(0,0)limx0limy0f(x,0)f(0,0)xlimx02limy011

xsin(1x)x20,22x

0,fy(0,0)f(0,y)f(0,0)yysin(1y)y

所以f(x,y)在点（0,0）偏导数存在。

（2）因为当xy0时，f(x,y)偏导数存在，故

12xsin2fxyx0,12ysin2fxyy0,1,x2y22221x2cos22y20,yx2

xy20,21x2cos2yx21,x2y22y20，xy20,limfxlimfy而x0y0与x0y0不存在，故偏导数在点（0，0）不连续。

221,（3）z(x)(y)sin22(x)(y)zflim0(0,0)xfx2(0,0)yy2lim0sin10，2(x)(y)所以f(x,y)在点（0,0）可微，且全微分dz=0.数学分析（下册）主编 朱培勇 黄家琳 副主编 张利平唐再良 陈顺清 曾意 王良成 四川大学出版社 2002、8 P57∽P59，P63∽P65 数学分析 内容、方法与技巧(下)孙清华 孙昊 华中科技大学出版社 2003、11 P259∽264

六、可积与连续的之间内的关系

定理1.1如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上一定存在可导函数F(x),使对任一xI,都有F'(x)f(x).即连续函数一定存在原函数。

定积分存在的第二充要条件可以证明若有界函数f(x)在[a,b] 内具有无穷多个不连续点，但这些不连续点存在一个极限点，那么f(x)在[a,b]上可积。（1）[a,b]上的连续函数在[a,b]上必可积。

证明：在闭区间上连续的函数必定是一致连续的，所以对任意的ε>0，存在δ>0，对于[a,b]上任意两点x',x”,只要x'x“,就有f(x')f(x”)一分法ax。xxx12n1ba。只要对[a,b]的任,在每一个部分区

xnmaxb满足xii间x,x(i1,2,3,,n)上ii1niba。所以ssxi1iiba(ba)这就证明了连续函数一定可积。

（2）只有有限个第一类不连续点点函数是可积的，即分段连续函数是可积的。

定理

1、（积分第一中值定理）若f(x)在[a,b]上连续，g(x)在[a,b]上不变号，且在[a,b]上可积，则在[a,b]中存在一点，使 baf(x)g(x)dxf()g(x)dx。

ab定理

2、设f(x)在[a,b]上可积，作函数F(x)xa则F(x)是[a,b]上的f(t)dt(axb)，连续函数。

证明：设x是[a,b]上任一点，由于f(x)在[a,b]上可积，所以f(x)有界，设f(x)M(M为常数），于是 F(xx)F(x)xxxxxxxaf(t)dtaf(t)dtxf(t)dtxf(t)dtMx，从而当x0时，F(xx)F(x)0，这就证明了F(x)的连续性。

例9 设f(x)在[a,b]连续，f(x)f(x)0,f(x)不恒为零，求证：f(x)dx0。

ab[a,b], 证明：f(x)0,f(x)不恒为零，x。f(x)在x。点连续，s.tf(x)0,12对。f(x。),0。

当x[x。,x。]时，有f(x)f(x。)。f(x)于是12f(x。)，12bf(x。)f(x)dxax。af(x)dxx。x。f(x)dxbx。f(x)dx0x。xf(x)dxx。12x。f(x。)dxf(x。)当x。a时，闭区间[a,a].当x。b时，闭区间[b,b].结论成立

注；去掉连续性，结论未必成立。定理1 若f(x)在[a,b]上连续，则函数G(x)G'(x)f(x)。

xaf(t)dt必在[a,b]上可导，且基本公式 设f(x)在[a,b]上连续，F(x)是f(x)的任意一个原函数，即F'(x)f(x)，那么f(x)dxF(b)F(a)。

ab定理2 设f(x)在[a,b]上连续，作代换x(t),其中(t)在闭区间[α,β]上有连续导数'(t),当t时，a(t)b,且()a,()b，则f(x)dxabf[(t)]'(t)dt。

定理12.1.1 若函数

f(x,y)在有界闭区域D连续，则f(x,y)在D可积（即f(x,y)在D内二重积分存在）。

定理12.1.9 若函数f(x,y)在有界闭区域D连续，则至少存在一点

（，）D，使得Df(x,y)df(,)D,其中，D是区域D的面积。

定理12.2.1若f(x,y)在D=[a,b]x[c,d]连续，则

Df(x,y)dxdybadxf(x,y)dy。

cd若f(x,y)在D=[a,b]x[c,d]连续，则

Df(x,y)dxdydcdyf(x,y)dx。

ab

这个定理证明；二重积分可化成两个定积分来进行计算。

定理12.2.2 若f(x,y)在D(x,y)y(x)yy(x),axb12y(x),y(x)在[a,b]连续，则

12连

Df(x,y)dxdybadxy(x)2y(x)1f(x,y)dy。形如D的区域称为x形区域。

若f(x,y)在D(x,y)x(x)xx(x),cyd连12 x(x),x(x)在[c,d]连续，则f(x,y)dxdy12Ddcdyx(x)2f(x,y)dxx(x)1。形如D的区域称为x形区域。

数学分析（下册）主编 朱培勇 黄家琳 副主编 张利平唐再良 陈顺清 曾意 王良成 四川大学出版社 2002、8 P105∽P108 数学分析（上册）第三版 复旦大学数学系 欧阳光中 朱学炎 金福临 陈传璋编 高等教育出版社 2007、4 P296 P303∽P304 P306∽P307 P312∽P313

总结

综上所述，一元函数的连续性与二元函数的连续性虽有相同，但也有不同，二者相比可知，一元函数连续与极限、导数和微分都有一定的联系，二元函数与之也有些联系，从定义出发，若无极限就没有函数的连续，也无导数、微分，从定理、性质来看，没有函数的连续也就没有导数微分的存在，与一元函数不同的是二元函数与偏导数之间的关系，函数连续偏导数不一定存在，偏导数存在不一定连续，相同的也有连续可积，可积不一定连续。关于极限的性质和运算法则以及连续函数的运算法则，二元函数与一元函数的情形是完全相似的，并且其证明也大体相同，只要把一元函数中的0xx。改为M。点的圆领域或正方形领域即可。又由连续函数的运算法则和基本初等函数的连续性也可找到多元函数的不连续点。二重积分和定积分一样，在一定区域连续，则在这个区域就可积。但也有不同，定积分中积分区域是数轴上的区间，被积函数是一元函数，而二重积分中的积分区域是平面区域，被积函数是二元函数。

参考文献

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第五篇：数学分析

360《数学分析》考试大纲

一． 考试要求：掌握函数，极限，微分，积分与级数等内容。

二． 考试内容：

第一篇 函数

一元与多元函数的概念，性质，若干特殊函数，连续性。第二篇 极限

数列极限，一元与多元函数极限的概念及其性质，实数的连续性（确界原理，单调有界原理，区间套定理，聚点定理，有限覆盖定理等）。

第三篇 微分

一元与多元函数导数（偏导数）与微分的概念，性质，公式，法则及应用；函数的单调性与凸性，极值与拐点，渐进线，函数作图；隐函数。

第三篇 积分

不定积分的概念，性质，公式，法则；定积分的概念，性质，公式，法则及应用；反常积分与含参积分；重积分与曲线曲面积分。第四篇 级数

数项级数，函数项级数，幂级数与傅立叶级数的概念，性质，公式，法则及应用。

参考书目：华东师范大学数学系，数学分析（上，下，第三版），高等教育出版社，2001年。