行测概率问题详细总结[五篇材料]

第一篇：行测概率问题详细总结

概率论及应用数理统计基础

概率论作为一门数学分支，它所研究的内容一般包括随机事件的概率、统计独立性和更深层次上的规律性。概率是随机事件发生的可能性的数量指标。在独立随机事件中，如果某一事件在全部事件中出现的频率，在更大的范围内比较明显的稳定在某一固定常数附近。就可以认为这个事件发生的概率为这个常数。任何事件的概率值一定介于0和1之间。有一类随机事件，它具有两个特点：第一，只有有限个可能的结果；第二，各个结果发生的可能性相同。具有这两个特点的随机现象叫做“古典概型”。

在客观世界中，存在大量的随机现象，其产生的结果构成了随机事件。如果用变量来描述随机现象的各个结果，就叫做随机变量。随机变量分为有限和无限，一般又根据变量的取值情况分成离散型随机变量和非离散型随机变量。一切可能的取值能够按一定次序一一列举，这样的随机变量叫做离散型随机变量；如果可能的取值充满了一个区间，无法按次序一一列举，这种随机变量就叫做非离散型随机变量。

在离散型随机变量的概率分布中，比较简单而应用广泛的是二项式分布。如果随机变量是连续的，那么它有一个分布曲线，实践和理论都证明：有一种特殊而常用的分布，其分布曲线是有规律的，这就是正态分布。正态分布曲线取决于这个随机变量的一些表征数，其中最重要的是平均值和差异度。平均值也叫数学期望，差异度也叫标准方差。10.2.1 古典概率

所谓事件A的概率是指事件A发生可能性程度的数值度量，记为P(A)。规定P(A)≥0，P(Ω)=，而事件A所含的样本数，即有利于事件A发生的基本事件数为NA，则事件A的概率便定义为：1。满足下列两条件的试验模型称为古典概型：（1）所有基本事件是有限个；（2）各基本事件发生的可能性相同。在古典概型中，设其样本空间Ω所含的样本点总数，即试验的基本事件总数为N。10.5（取球问题）袋中有5个白球，3个黑球，分别按下列三种取法在袋中取球。（1）有放回地取球：从袋中取三次球，每次取一个，看后放回袋中，再取下一个球。（2）无放回地取球：从袋中取三次球，每次取一个，看后不再放回袋中，再取下一个球。（3）一次取球：从袋中任取3个球。

在以上取法中均求A={恰好取得2个白球}的概率。

解：（1）有放回取球N = 8×8×8 = 83 = 512（袋中八个球，不论什么颜色，取到每个球的概率相等）（先从三个球里取两个白球，第一次取白球有5种情况，第二次取白球还有五种情况<注意是有放回>，第三次取黑球只有三种情况）。

= = 336，故。 7  = 8 （2）无放回取球N（3）一次取球，故

古典概率具有下面的性质。

B，则P(B-A)=P(B 若A)-P(A)。即差的概率等于概率之差。B，则P(A)≤P(B)。即概率的单调性。 若A

P(A)≤1，对任意事件A，P()=1-P(A)。

对任意事件A，B，有P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)。

10.6 设A，B，C为三个事件，已知P(A)=P(B)=P(C)=0.25，P(AB)=0，P(AC)=0，P(BC)=0.125，求A，B，C至少有一个发生的概率。

AB，故0≤P(ABC)≤P(AB)解：由于ABC = 0，从而P(ABC)= 0。所求概率为

P(BC) P(AC) P(AB)C)= P(A)+ P(B)+ P(C)BP(A + P(ABC)

10.2.2 条件概率

在实际问题中，常常需要计算在某个事件B已发生的条件下，另一个事件A发生的概率。在概率论中，称此概率为事件B已发生的条件下事件A发生的条件概率，简称为A对B的条件概率，记为P(A P(A)。设

A、B为两个事件，且P(B)| B)。一般地，因为增加了“事件B已发生”的条件，所以P(A | B)> 0，则称 为事件B发生条件下事件A发生的条件概率，记为。再看一下乘法公式：设有事件A和B，若P(A)> 0或P(B)> 0，由概率得P(AB)= 1)P(A)P(B | A)，或P(AB)= P(B)P(A | B)。再看n个事件的情况，设有n个事件A1，A2，…An，若P(A1A2…An > 1)。事实上，由事件的包含关系0，则有P(A1A2…An)= P(A1)P(A2 | A1)P(A3 | A1A2)P(An | A1A2…An 有

P(A1)≥P(A1A2)≥P(A1A2A3)≥…..≥P(A1A2…An–1)＞0，故公式右边的每个条件概率都是有意义的，于是由条件概率定义可得。

10.7 甲、乙和丙3人参加面试抽签，每人的试题通过不放回抽签的方式确定。假设被抽的10个试题签中有4个难题签，按甲先、乙次及丙最后的次序抽签。求甲抽到难题签、甲和乙都抽到难题签、甲没抽到难题签而乙抽到难题签及甲、乙和丙都抽到难题签的概率。

解：设A，B和C分别表示甲、乙和丙各抽到难题签的事件，则有，。

在概率中，还经常利用已知的简单事件的概率，推算出未知的复杂事件的概率。为此，常需把一个复杂事件分解为若干个互不相容的简单事件的和，再由简单事件的概率求得最后结果，这就需要用到全概率公式。在很多实际问题中若事件A发生的概率的计算比较困难，则可利用全概率公式转为寻求划分B1，B2，…Bn及计算P(Bi)和P(A | Bi)的问题。

10.8 盒中有12只新乒乓球，每次比赛时取出3只，用后放回，求第3次比赛时取到的3只球都是新球的概率。

解：设A表示第3次比赛取到3只新球的事件，Bi(i = 0,1,2,3)表示第2次取到i只新球的事件，由，得。

10.9 某工厂生产的产品以100件为一批，假定每一批产品中的次品最多不超过4件，且具有如下的概率： 一批产品中的次品数 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 概率 0 1 2 3 4

现进行抽样检验，从每批中随机抽取出10件来检验，若发现其中有次品，则认为该批产品不合格，求一批产品通过检验的概率。

解：设A表示一批产品通过检验的事件，Bi(i = 0,1,2,3,4)表示一批产品中含有i件次品，则由，，，，，得。

10.2.3 贝叶斯公式 的一个划分，且，则的事件，B1，B2，…Bn为设A为样本空间。这一公式称为贝叶斯公式。若把A视为观察的“结果”，把B1，B2，…Bn理解为“原因”，则贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并做出了“由果溯因”的推断。

10.10 设某工厂甲、乙和丙3个车间生产同一种产品，产量依次占全厂的45%，35%和20%。且各车间的次品律依次为4%，2%和5%。现在从待出厂产品中检查出1个次品，问该产品是由哪个车间生产的可能性大？

解：设A表示产品为次品的事件，B1，B2，B3分别表示产品有甲、乙和丙车间生产的事件，则由，，，得

于是有 ；

；

。可知该产品是由甲车间生产的可能性最大。10.2.4 事件的独立性及贝奴里实验

设事件A，B满足，则称事件A，B是相互独立的。若事件A，B相互独立，且，则有，在实际问题中，常常不是根据定义来判断事件的独立性，而是由独立性的实际含义，即一个事件发生并不影响另一个事件发生的概率来判断两事件的相互独立性。

假设在相同条件下进行n次重复试验，并且每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生；同时在每次试验中，A发生的概率均一样，即 ；而各次试验是相互独立的，则称这种试验为贝努里概率模型，或称为n重贝努里试验。

在n重贝努里试验中，人们感兴趣的是事件A发生的次数。若 表示n重贝努里试验中A出现k(0≤k≤n)次的概率，，则n重贝努里试验A中出现k次的概率计算公式为。

10.11 一大楼有5个同类型的独立供水设备，调查表明，在任意时刻t，每个设备被使用的概率为0.1，问在同一时刻，（1）恰有两个设备被使用的概率是多少？（2）至少有三个设备被使用的概率是多少？（3）至多有三个设备被使用的概率是多少？（4）至少有一个设备被使用的概率是多少？

解：在同一时刻观察5个设备，它们工作与否是相互独立的，故可视为5重贝努里试验，p = 0.1，q = 1−0.1 = 0.9，于是可得（1）。（2）。（3）。（4）。

10.2.5 离散型随机变量及其分布

为了使各种不同性质的试验能以统一形式表示实验中的事件，并能将微积分等工具引进概率论，需引入随机变量的概念。设试验的样本空间为Ω，在Ω上定义一个单值实函数X = X(e)，e∈Ω，对试验的每个结果e，X = X(e)有确定的值与之对应。由于实验结果是随机的，所以X = X(e)的取值也是随机的，称此定义在样本空间 Ω上的单值实函数X = X(e)为一个随机变量。引进随机变量后，试验中的每个事件便可以通过此随机变量取某个值或在某范围内取值来表示。通俗地讲，随机变量就是依照试验结果而取值的变量。如果随机变量X的所有可能取值为有限个或可列个，则称随机变量X为离散型随机变量。下面看一下离散型随机变量的几个重要分布。1．两点分布

如果随机变量X为0时概率为q，为1时概率为p，并且q = 1-p，0 < p < B(1,P)。1，则称X服从参数为p的(0-1)两点分布，简称为两点分布，记为X 2．二项分布

如果随机变量X的分布律为，k = 0, 1, 2…n，其中0 < p < 1，q = 1 − p，则称X服从参数为(n，p)的二项分布，记为X～B(n，p)。

10.12 一批产品的废品率为0.03，进行20次独立重复抽样，求出现废品的频率为0.1的概率。

解：令X表示20次独立重复抽样中出现的废品数。X～B(20，0.03)（注意：不能用X表示频率，若X表示频率，则它就不服从二项分布），所求的概率为。

3．泊松分布

如果随机变量X的分布律为P{X = k} =，k = 0，1，2，…其中 >)(0，则称X服从参数为λ的泊松分布，记为X~)。P(或者X)且已知P{X = 1} = P{X = 2}，求P{X =(10.13 设X~ 4}。)，即X的分布律为P{X = k} =，k = 0，1，2，…于是有，由P{X = 1} = P{X = 2}可得方程(解：由于X~(2)于是 = 2，0（弃去）。所以X~2。解得 = ，即2 查表0.0902。10.2.6 连续型随机变量及其分布

所谓连续型随机变量是指此随机变量的可能取值至少应充满某个区间且其分布函数应当是连续的，设F(x)为随机变量X的分布函数，如果存在非负函数f(x)使得对任意实数X，有，则称X为连续型随机变量，f(x)为X的概率密度。对于概率密度，有一个重要的结果：。

10.14 一种电子管的使用寿命为X小时，其概率密度为 某仪器内装有三个这样电子管，试求使用150小时内只有一个电子管需要换的概率。

解：首先计算一个电子管使用寿命不超过150小时的概率，此概率为，令Y表示工作150小时内损坏的电子管数，则，服从二项分布。于是，此仪器工作150小时内仅需要更换一个电子管的概率。1．均匀分布

如果随机变量X的概率密度为，则称X在区间[a，b]上服从均匀分布，记为X~U[a，b]；其分布函数为。10.15 某公共汽车从上午7：00起每隔15分钟有一趟班车经过某车站，即7：00，7：15，7：30，…时刻有班车到达此车站，如果某乘客是在7：00至7：30间等可能地到达此车站候车，问他等候不超过5分钟便能乘上汽车的概率。

解：设乘客于7点过X分钟到达车站，则X～U[0，30]，即其概率密度为f(x)=，于是该乘客等候不超过5分钟便能乘上汽车的概率为

p{10≤X≤15或25≤X≤30} = p{10≤X≤15} + p{25≤X≤30} =。2．指数分布

如果随机变量X的概率密度为，其中 >)，其分布函数为。的指数分布，记为X~E(0，则称X服从参数为

=10.16 设随机变量X服从参数为 0.015的指数分布。（1）求p{x > 100}。

（2）若要使p{X > x} < 0.1，问x应当在哪个范围内？ 解：由于X～E(0.015)，即其概率密度为，于是，（1）p{X > 100} =

（2）要p{X > 0} < 0.1，即。

取对数，便得−0.015x < 1n0.1，于是便解得。3．正态分布

2(，如果随机变量X的概率密度为，其中 > 2)的正态分布，记为X～N(，0)为常数，则称X服从参数(2)。， = 1的正态分布N(0，1)为标准正态分布，其概率密度为 = 0，称 ；分布函数为（其值有表可查）。10.17 从某地乘车前往火车站，有两条路可走。（1）走市区路程短，但交通拥挤，所需时间X1～N（50，100）。（2）走郊区路程长，但意外阻塞少，所需时间X2～N（60，16）。若有70分钟可用，应走哪条路线？

解：走市区及时赶上火车的概率为，走郊区及时赶上火车的概率为P{0≤X2≤70}=(2.5)=(−12.5)= (2.5)− = 0.9938，故应走郊区路线。如果还有65分钟可用，情况又如何呢？同样，走市区及时赶上火车的概率为P{0≤X1≤65}

(1.25)= 0.8994，此时便应改走市区路线。 而走郊区及时赶上火车的概率便为P{0≤X2≤65}= 本讲自测

1．取数问题。从0,1,……,9共10个数字中随机不放回的接连取4个数字，并按其出现的先后次序排成一列，求下列事件的概率：（1）4个数排成一个偶数；（2）4个数排成一个4位数；（3）4个数排成一个4位偶数。

2．为了防止意外，在矿内安装两个报警系统a和b，每个报警系统单独使用时，系统a有效的概率为0.92，系统b的有效概率为0.93，而在系统a失灵情况下，系统b有效的概率为0.85。试求：（1）当发生意外时，两个报警系统至少有一个有效的概率；（2）在系统b失灵情况下，系统a有效的概率。

3．某种诊断癌症的实验有如下效果：患有癌症者做此实验反映为阳性的概率为0.95，不患有癌症者做此实验反映为阴的概率也为0.95，并假定就诊者中有0.005的人患有癌症。已知某人做此实验反应为阳性，问他是一个癌症患者的概率是多少？

4．设电话交换台每分钟接到的呼唤次数X服从参数λ=3的泊松分布。（1）求在一分钟内接到超7次呼唤的概率；（2）若一分钟内一次呼唤需要占用一条线路。求该交换台至少要设置多少条线路才能以不低于90％的概率使用户得到及时服务。

公务员考试行测判断推理讲解：概率问题

概率题是公务员考试行测数量关系模块中数学运算计数问题中的重要题型之一。但是，在2009年国家公务员考试《行政职业能力测验》中，概率题却“改头换面”，以与在运算计数问题模块完全不同的表现形式出现在了判断推理模块中。

面对这样的题型，很多考生无从下手，觉得没有思路。下面，国家公务员网将以2009年国家公务员考试第92题为例，揭开概率题在国家公务员考试行测判断推理模块中的神秘面纱，帮助各位考生捋顺概率类题目的做题思路，快解准确这类考题。

【原题】

有三个骰子，其中红色骰子上2、4、9点各两面；绿色骰子上3、5、7点各两面；蓝色骰子上1、6、8点各两面。两个人玩掷骰子的游戏，游戏规则是两人先各选一个骰子，然后同时掷，谁的点数大谁获胜。那么，以下说法正确的是？（2009年国家公务员考试行政职业能力测验真题-92题）

A.先选骰子的人获胜的概率比后选的骰子的人高 B.选红色骰子的人比选绿色骰子的人获胜概率高 C.获胜概率的高低于选哪种颜色的骰子没有关系 D.没有任何一种骰子的获胜概率能同时比其他两个高

【解析】

首先：捋顺题干信息。三个骰子：红色骰子（2、4、9）；绿色骰子（3、5、7）；蓝色骰子（1、6、8）。问那种颜色的骰子获胜的概率大。

其次：任选两种骰子进行比较。例如红色骰子（2、4、9）与绿色骰子（3、5、7）比较。

2《3；2《5；2《7 4》3；4《5；4《7 9》3；9》5；9》7 通过比较可以得出：红色骰子胜出的概率是4/9，绿色骰子胜出的概率是5/9。因此绿色骰子的获胜概率大于红色骰子。

同理将红色骰子（2、4、9）与蓝色骰子（1、6、8）比较，绿色骰子（3、5、7）与蓝色骰子（1、6、8）比较，可以得出：红色骰子的获胜概率大于蓝色骰子；蓝色骰子的获胜概率大于绿色骰子。

综上得出，绿色》红色；红色》蓝色；蓝色》绿色。先选的人肯定吃亏，因为总能找出概率比先选的大的骰子，A错误；红色骰子比绿色骰子获胜概率低，因此B错误；获胜概率的高低肯定与骰子的颜色有关系，因此C错误；没有任何一种骰子的获胜概率能同时比其他两个高，因此D对。

【总结】

首先，概率问题放在判断推理模块考查，与其在运算计数问题模块考查相比，运算难度相对较低；

其次，需要掌握基本的概率运算公式，比如，概率=满足条件的情况数÷总情况数。例如红色骰子与绿色骰子比较时，“总情况数”是9；针对于红色骰子的点来说，比绿色骰子的点大的情况为“满足条件的情况数”，即4次；因此红色骰子胜出的概率为4/9。针对绿色骰子的点来说，比红色骰子的点大的情况为“满足条件的情况数”，即5次；因此绿色骰子胜出的概率是5/9。因为5/9》4/9，由此可知绿色骰子的获胜概率大于红色骰子。

最后，在做这类题目时，一定首先捋顺题干信息，戒骄戒躁，相信胜利一定属于你！

公考行测：数量关系之简单概率问题

www.gwy114.net | 时间:2009-04-09 | 点击率:2675次 【大 中 小】【打印】

简单概率问题

1.随机事件基本概念

随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；

必然事件：在一定条件下必然要发生的事件；

不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件

2.古典概型

古典概型的概率公式(有时也叫等可能事件的概率公式)：P(A)=A所包含的基本事件的个数/总的基本事件个数。注意在利用等可能事件的概率公式解题时，首先要确定试验中各基本事件出现的机会是均等的。同时还要注意分析题中条件，以便于确定基本事件的个数。【例题1】

将一个硬币掷两次，恰好有一次正面朝上且有一次反面朝上的概率是多少?()。

A.1／2 B.1／3 C.1／4 D.2／3 【解析】

硬币投掷两次一共可能的情况有：（正，正）（正，反）（反，正）（反，正），那么有一次为正且有一次为反的概率为2÷4= ,选A。

【例题2】

在箱子中有十张卡片，分别写有1到10的十个整数；从箱子中任取一张卡片，记下它的读数X ,然后再放回箱子中；第二次再从箱子中抽取一张卡片，记下它的读数Y,试求X+Y是10 的倍数的概率。【解析】

先后两次抽取卡片，第次都有1~10这10 种结果，帮有序实数对(X,Y)共有10X10=100个。因为X+Y是10的倍数，它包含下列10个数对：(1,9)、(2,8)、(3,7)、(4，6)、(5,5)、(6,4)、(7,3)、(8，2)、(9,1)、(10,10)，故X+Y是10 的倍数的概率为P=10/100=1/10.【例题3】向假设的三个军火库投掷一个炸弹，炸中第一军火库的概率为0.025；其余两个各为0.1，只要炸中一个，别两个也要爆炸。求军火库发生爆炸的概率。【解析】

设以A、B、C分别表示炸中第一、第二、第三个军火库这三个事件，于是P(A)=0.025，P(B)=P(C)=0.1。又设D表示军火库爆炸这一事件，则有D=A+B+C。其中A、B、C是互斥事件，因为投掷了一个炸弹，不会同时炸中两个以上的军火库。所以P(D)=P(A)+P(B)+P(C)=0.025+0.1+0.1=0.225。

出自公务员百事通 [编辑：晴歆]

公务员考试行测数量关系冲刺：几何概率

2011-01-05 08:40 华图网校 点击: 公务员考试行测数量关系冲刺：几何概率

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例题：甲乙两人相约见面，并约定第一人到达后，等15分钟不见第二人来就可以离去。假设他们都在10点至10点半的任一时间来到见面地点，则两人能见面的概率有多大？（2010年4月25日联考第10题）

A.37.5％

B.50％

C.62.5％

D.75％

这是几何概型中一道典型的会面问题。几何概型是在古典概型的基础上进一步发展起来的，是等可能事件的概念从有限到无限延伸，它们之间的主要区别就是，几何概型中等可能事件是无限多个，而古典概型中等可能事件只有有限多个。在古典概型中，因为基本事件是有限个，由古典概型的计算公式，只要知道所求事件包含的基本事件个数再除以总的基本事件个数就可以了；而在几何概型中，由于基本事件是无限多个，解题就相对来说比较困难了，但是近几年来的省考中已经考了不少几何概型，因此华图教育特别提示考生引起足够重视。下面华图教育就先大家介绍一下几何概型。

一、几何概型的定义：

向平面上有限区域（集合）G内随机地投掷点M，若点M落在子区域的概率与的面积成正比，而与的形状、位置无关，即则称这种模型为几何概型。

几何概型中的G也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是体积之比或长度之比。

二、几何概型的特点是：

（1）无限性：在每次试验中，可能的出现的结果有无穷多个；

（2）等可能性：在每次试验中，每个结果出现的可能性相等。

三、例题详解

【例1】公交车每隔10分钟来一辆。假定乘客在接连两辆车之间的任何时刻随机地到

达车站，试求乘客候车时间不超过3分钟的概率。

解：从前一辆开出起计算时间，乘客到达车站的时刻t可以是[0，10）中的任何一点，即G={t︱0≤t<10}，由假定，乘客到达时刻t均匀地分布在G内，故问题归结为几何概型，设表示“乘客候车不超过3分钟”的事件，则={t︱0≤t≤3}

【例2】某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率。

解：设={等待的时间不多于10分钟}.事件恰好是打开收音机的时刻位于[50,60]时间段内。

【例3】（会面问题）甲、乙两人相约在 0 到 T 这段时间内，在预定地点会面。先到的人等候另一个人，经过时间 t（t

解：从0点开始计时，设两人到达的时刻分别为x，y，则

G={（x，y）︱0≤x≤T，0≤y≤T}

假定两人到达时刻是随机的，则问题归结为几何概型，设A表示“两人能会面”事件，则={（x，y）︱0≤x≤T，0≤y≤T，︱x-y︱≤t}（图中的阴影部分），则

注：开头的题目，只需将数据应用到这个公式里，答案选D。

概率题是公务员考试《行政职业能力测验》考试数量关系模块中数学运算计数问题模块重要题型之一，本文中华图公务员考试辅导专家李委明老师通过2009年浙江省公务员考试行政职业能力测验真题中的“牛奶糖概率”问题详细阐释了

条件概率题的解题公式及其运用。

【原题】小孙的口袋里有四颗糖，一颗巧克力味的，一颗果味的，两颗牛奶味的。小孙任意从口袋里取出两颗糖，他看了看后说，其中一颗是牛奶味的。问小孙取出的另一颗糖也是牛奶味的可能性（概率）是多少？（2009年浙江省公务员考试行政职业能力测验真题-52题）A.1/3 B.1/4 C.1/5 D.1/6 ［华图答案］C ［华图解析］小孙任意取出两颗糖有以下六种情况：“巧果、巧奶

1、巧奶

2、果奶

1、果奶

2、奶1奶2”。其中有五种情况满足“其中一颗是牛奶味”这个条件，而要另外一颗也是牛奶味，只有“奶1奶2”这一种情况，所以概率为1/5。

这是一道典型的条件概率题，下文中华图公务员考试研究中心李委明老师将通过上例来进一步阐述条件概率题的解题公式及其运用。

题型类型：条件概率。

条件概率的公式：

P(A︱B)≡“B成立时，A也成立”的概率

＝P(A∩B)/P(B)≡“A和B都成立”的概率÷“B成立”的概率

上述例题要问的是：

“其中一颗是牛奶味”时，“另一颗也是牛奶味”的概率

套用公式＝

“其中一颗是牛奶味，并且，另一颗也是牛奶味”的概率÷“其中一颗是牛奶味”的概率

前者等于1/6，后者等于5/6，所以答案就是1/5(这个应该很容易算了)李老师关于此题的三个说明：

1、上面这个只是为了消除分歧严格按公式来计算，实际考试的时候简单数数就能出来，“其中一颗是牛奶味”明显有5种情况，“两颗都是牛奶味只有1种情况”直接得到1/5

2、很多说是1/3，这是错的，题目只有这样问才是1/3，“口袋里有四颗糖，一颗巧克力味的，一颗果味的，两颗牛奶的。小孙任意从口袋里连续取出两颗糖，他看了看后说，第一颗是牛奶味的，问小孙取出的第二颗糖也是牛奶味的可能性（概率）是多少？”这个才是很多人说的1/3，解起来就很简单，第一颗是牛奶味的，第二颗还有三种选择，只有一种满足条件，所以是1/3。按照我上面给的公式也可以。“第一颗是牛奶味”时，“第二颗也是牛奶味”的概率＝“第一颗是牛奶味，并且，第二颗也是牛奶味”的概率÷“第一颗是牛奶味”的概率＝(1/6)÷(1/2)=1/3

3、还有一个重要的概念必须澄清，也是考生容易出问题的地方，在计算简单概率的时候，我们用到的基本公式：概率＝满足条件的情况数÷总情况数。在这里数“情况数”的时候，如果遇到有像这个题目里说的“两颗都是牛奶味”的情况数，我们数情况就应该特别注意了。虽然我们应该认为这两颗牛奶糖是相同的，而事实上我们要分情况来看：如果是计算排列组合的时候确实应该视为相同（就是说如果问你从这四颗糖里拿出两颗，有几种情况，答案就是4种：巧果、巧牛、果牛、牛牛）；但是如果是计算概率的时候数有多少种情况，就一定必须把两颗牛奶糖视为不同的（就是说在用概率公式“概率＝满足条件的情况数÷总情况数”里的“总情况数”就是6而不是4：巧果、巧牛

1、巧牛

2、果牛

1、果牛

2、牛1牛2”，这是古典概率的定义里就给出来的，有兴趣的可以翻翻高中课本，里面有要求用到“概率＝满足条件的情况数÷总情况数”的时候，要求这些“情况”都必须是等概率的，也就是说即使东西给的是相同，计算也应该编号视为不同情况。

第二篇：行测方阵问题详细总结

公务员考试行测辅导数学运算“方阵”问题

学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列。如果行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫做方阵(亦叫乘方问题)。

1.方阵总人数=最外层每边人数的平方(方阵问题的核心)

2.方阵最外层每边人数=(方阵最外层总人数÷4)+3.方阵外一层总人数比内一层总人数多2

4.去掉一行、一列的总人数=去掉的每边人数×2-1

例1 学校学生排成一个方阵，最外层的人数是60人，问这个方阵共有学生多少人?

A.256人 B.250人 C.225人 D.196人(2002年A类真题)

解析：方阵问题的核心是求最外层每边人数。

根据四周人数和每边人数的关系可以知：

每边人数=四周人数÷4+1，可以求出方阵最外层每边人数，那么整个方阵队列的总人数就可以求了。

方阵最外层每边人数：60÷4+1=16(人)

整个方阵共有学生人数：16×16=256(人)。

所以，正确答案为A。

例2 参加中学生运动会团体操比赛的运动员排成了一个正方形队列。如果要使这个正方形队列减少一行和一列，则要减少33人。问参加团体操表演的运动员有多少人?

分析 如下图表示的是一个五行五列的正方形队列。从图中可以看出正方形的每行、每列人数相等;最外层每边人数是5，去一行、一列则一共要去9人，因而我们可以得到如下公式：

去掉一行、一列的总人数=去掉的每边人数×2-1

解析：方阵问题的核心是求最外层每边人数。

原题中去掉一行、一列的人数是33，则去掉的一行(或一列)人数=(33+1)÷2=17

方阵的总人数为最外层每边人数的平方，所以总人数为17×17=289(人)

下面几道习题供大家练习：

1.小红把平时节省下来的全部五分硬币先围成个正三角形，正好用完，后来又改围成一个正方形，也正好用完。如果正方形的每条边比三角形的每条边少用5枚硬币，则小红所有五分硬币的总价值是：

A.1元 B.2元 C.3元 D.4元(2005年中央真题)

2.某仪仗队排成方阵，第一次排列若干人，结果多余100人;第二次比第一次每行、每列都增加3人，又少29人。仪仗队总人数为多少?答案：1.C 2.500人

(1)方阵总人(物)数＝最外层每边人(物)数的平方；

(2)方阵最外一层总人(物)数比内一层总人(物)数多8(行数和列数分别大于2)；(3)方阵最外层每边人(物)数＝(方阵最外层总人数÷4)＋1；(4)方阵最外层总人数＝[最外层每边人(物)数－1]×4；(5)去掉一行、一列的总人数＝去掉的每边人数×2－1 【例1】（国家2002A类-

9、国家2002B类-18）某学校学生排成一个方阵，最外层的人数是60人，问这个方阵共有学生多少人？（）A.256人 B.250人 C.225人 D.196人

［答案］A［解析］根据公式：方阵人数＝(最外层人数÷4＋1）^2＝（60÷4＋1）^2＝256（人）。【例2】（浙江2003-18）某校的学生刚好排成一个方阵，最外层的人数是96人，则这个学校共有学生（）。A.600人 B.615人 C.625人 D.640人

［答案］C［解一］根据公式：方阵人数＝(最外层人数÷4＋1)^2＝（96÷4＋1）^2＝625（人）。［解二］数字特性法：方阵的人数应该是一个完全平方数，所以结合选项，选择C。【例3】（广西2008-11）参加阅兵式的官兵排成一个方阵，最外层的人数是80人，问这个方阵共有官兵多少人？（）A． 441 B.400 C.361 D.386 ［答案］A［解析］根据公式：方阵人数＝(最外层人数÷4＋1)^2＝（80÷4＋1）^2＝441（人）。【例4】（国家2005一类-

44、国家2005二类-44）小红把平时节省下来的全部五分硬币先围成一个正三角形，正好用完，后来又改围成一个正方形，也正好用完。如果正方形的每条边比三角形的每条边少用5枚硬币，则小红所有五分硬币的总价值是多少？（）A.1元 B.2元 C.3元 D.4元

［答案］C［解一］设正方形每边x枚硬币，三角形每边y枚硬币，一共有N枚硬币，根据公式可得方程组： N=4x－4 N=3y-3N=60

y-x=5，因为每枚硬币5分，所以总价值3元。

［注释］ 这里围成的三角形和正方形都指的是空心的。

［解二］根据数字特性法：硬币能围成正三角形→硬币的个数是3的倍数→硬币的价值可以三等分→根据选项选择C。【例6】参加中学生运动会团体操表演的运动员排成一个正方形队列，若减少一行一列，则要减少49人，则参加团体操表演的运动员共（）人。A.576 B.625 C.676 D.2401 ［答案］B［解析］重叠点思维：假设每边有x人，则一行一列共有（2x-1）人（注意该行与列的交叉点上的人被重复计算了两遍），有方程：2x-1=49，解得x=25。共有25^2=625人。【例7】（广东2005下-11）要在一块边长为48米的正方形地里种树苗，已知每横行相距3米，每竖列相距6米，四角各种一棵树，问一共可种多少棵树苗?（）A.128棵 B.132棵 C.153棵 D.157棵

［答案］C［解析］根据公式：棵数=总长÷间隔+1。边长为48米，每横行相距3米，共有48÷3+1=17行；边长为48米，每横行相距6米，共有48÷6+1=9列；可得：17×9=153（棵），一共可种树苗153棵。

【例8】一些解放军战士组成一个长方阵，经一次队列变换后，增加了6行，减少了10列，恰组成一个方阵，一个人也不多，一个人也不少。则原长方形阵共有（）人。A.196 B.225 C.256 D.289 ［答案］B［解析］设该正方形阵每边x人，则原长方形阵为（x-6）行，（x+10）列。x^2=（x-6）（x+10）x=15，因此共有152=225人，选择B。【例9】奥运会前夕，在广场中心周围用2008盆花围成了一个两层的空心方阵。则外层有（）盆花。A.251 B.253 C.1000 D.1008［答案］D ［解一］设外层有m盆，内层有n盆，根据公式：m-n=8。则： m-n=8 m+n=2008m=1008 n=1000 ［解二］设该方阵外层每边x盆，根据“逆向法思维”：x^2-（x-4）^2=2008x=253，外层每边有253盆，根据公式：外层共有253×4-4=1008。【例10】（江苏2009-74）有一列士兵排成若干层的中空方阵，外层共有68人，中间一层共有44人，则该方阵士兵的总人数是（）。A.296人 B.308人 C.324人 D.348人

［答案］B［解一］最外层68人，中间一层44人，则最内层为44×2－68＝20人（成等差数列）。因此一共有：68-208＋1＝7（层），总人数为44×7＝308。

［解二］中间一层共44人，总人数是＝44×层数，是44的倍数，结合选项直接锁定B。

【例11】有一队学生，排成一个中空方阵，最外层的人数共48人，最内层人数为24人，则该方阵共有（）人。A.120 B.144 C.176 D.194［答案］B

［解一］设最外层每边x人，最内层每边y人，根据公式： 4x-4=48 4y-4=24x=13 y=7 因此外层每边13人，内部空心部分每边7-2＝5人，根据“逆向法思维”：共有132-52=144人。［解二］总人数＝（48+24）×层数÷2＝36×层数，是36的倍数，直接锁定B。

［解三］根据公式：相邻两圈相差8，因此很容易得到这几圈分别为48、40、32、24，直接加起来即可。

【例12】有若干人，排成一个空心的四层方阵。现在调整阵形，把最外边一层每边人数减少16人，层数由原来的四层变成八层，则共有（）人。A.160 B.1296 C.640 D.1936 ［答案］C［解析］设调整前最外层每边x人，调整后每边y人，根据“逆向法思维”： x-y=16 x^2-（x-8）^2=y^2-（y-16）^2x=44 y=28 因此：44^2-（44-8）^2=640（人）。容斥原理解题技巧

在行测考试中，容斥原理题令很多考生头痛不已，因为容斥原理题看起来复杂多变，让考生一时找不着头绪。但该题型还是有着非常明显的内在规律，只要考生能够掌握该题型的内在规律，看似复杂的问题就能迎刃而解，下面就该题型分两种情况进行剖析，相信能够给考生带来一定的帮助。

一、两集合类型

1、解题技巧

题目中所涉及的事物属于两集合时，容斥原理适用于条件与问题都可以直接带入公式的题目，公式如下：A∪B=A+B－A∩B

快速解题技巧：总数=两集合数之和+两集合之外数－两集合公共数

2、真题示例

【例1】现有50名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有40人，化学实验做正确的有31人，两种实验都错的有4人，则两种实验都做对的有()

A、27人B、25人C、19人D、10人【答案】B 【解析】直接代入公式为：50=31+40+4－A∩B得A∩B=25，所以答案为B。

【例2】某服装厂生产出来的一批衬衫大号和小号各占一半。其中25％是白色的，75％是蓝色的。如果这批衬衫共有100件，其中大号白色衬衫有10件，小号蓝色衬衫有多少件？（）

A、15B、25C、35D、40【答案】C 【解析】这是一种新题型，该种题型直接从求解出发，将所求答案设为A∩B，本题设小号和蓝色分别为两个事件A和B，小号占50%，蓝色占75%，直接代入公式为：100=50+75+10－A∩B，得：A∩B=35。二、三集合类型

1、解题步骤

涉及到三个事件的集合，解题步骤分三步：①画文氏图；②弄清图形中每一部分所代表的含义，按照中路（三集合公共部分）突破的原则，填充各部分的数字；③代入公式（A∪B∪C=A+B+C－A∩B－A∩C－B∩C+A∩B∩C）进行求解。

2、解题技巧

三集合类型题的解题技巧主要包括一个计算公式和文氏图。

公式：总数=各集合数之和－两集合数之和＋三集合公共数＋三集合之外数

3、真题示例

【例3】【国考2010-47】某高校对一些学生进行问卷调查。在接受调查的学生中，准备参加注册会计师考试的有63人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，三种考试都准备参加的有24人，准备只选择两种考试都参加的有46人，不参加其中任何一种考试的都15人。问接受调查的学生共有多少人？（）A．120B．144C．177D．192【答案】A

【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字24，再推其他部分数字：

根据每个区域含义应用公式得到：

总数=各集合数之和－两两集合数之和＋三集合公共数＋三集合之外数

＝63+89+47－{(x+24)+(z+24)+(y+24)}+24+15

＝199－{（x+z+y）+24+24+24}+24+15

根据上述含义分析得到：x+z+y只属于两集合数之和，也就是该题所讲的只选择两种考试都参加的人数，所以x+z+y的值为46人；得本题答案为120.【例4】对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看电影的有多少人（）

A.22人 B.28人 C.30人 D.36人【答案】A【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字12，再推其他部分数字：根据各区域含义及应用公式得到：

总数=各集合数之和－两两集合数之和＋三集合公共数＋三集合之外数

100＝58+38+52－{18+16+（12+ x）}+12+0,因为该题中，没有三种都不喜欢的人，所以三集合之外数为0，解方程得到：x＝14。52＝x+12+4+Y＝14+12+4+Y，得到Y＝22人。（曾凡稳）

一、两集合类型

1、解题技巧

题目中所涉及的事物属于两集合时，容斥原理适用于条件与问题都可以直接带入公式的题目，公式如下： A∪B=A+B－A∩B 快速解题技巧：总数=两集合数之和+两集合之外数－两集合公共数

2、真题示例

【例1】现有50名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有40人，化学实验做正确的有31人，两种实验都做错的有4人，则两种实验都做对的有()

【答案】C【解析】直接代入公式为：50=31+40+4－A∩B得A∩B=25，所以答案为B。

【例2】某服装厂生产出来的一批衬衫大号和小号各占一半。其中25％是白色的，75％是蓝色的。如果这批衬衫共有100件，其中大号白色衬衫有10件，小号蓝色衬衫有多少件？（）A、15 B、25 C、35 D、40【答案】C 【解析】这是一种新题型，该种题型直接从求解出发，将所求答案设为A∩B，本题设小号和蓝色分别为两个事件A和B，小号占50%，蓝色占75%，直接代入公式为：100=50+75+10－A∩B，得：A∩B=35。

二、三集合类型

1、解题步骤

涉及到三个事件的集合，解题步骤分三步：①画文氏图；②弄清图形中每一部分所代表的含义，按照中路（三集合公共部分）突破的原则，填充各部分的数字；③代入公式（A∪B∪C=A+B+C－A∩B－A∩C－B∩C+A∩B∩C）进行求解。

2、解题技巧

三集合类型题的解题技巧主要包括一个计算公式和文氏图。

公式：总数=各集合数之和－两集合数之和＋三集合公共数＋三集合之外数

文氏图如下：

其中各区域含义分别为：1区域代表只属于A集合；2区域代表只属于A和B；3区域代表只属于B集合；4区域代表只属于B和C；5区域代表三集合公共部分；6区域代表只属于A和C；7区域代表只属于C集合；2+5区域代表A∩B； 4+5区域代表B∩C；5+6区域代表A∩C；1+2+5+6区域代表属于A集合；3+2+5+4区域代表属于B集合；4+5+6+7区域代表属于C集合。

3、真题示例

【例3】【国考2010-47】某高校对一些学生进行问卷调查。在接受调查的学生中，准备参加注册会计师考试的有63人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，三种考试都准备参加的有24人，准备

只选择两种考试都参加的有46人，不参加其中任何一种考试的都15人。问接受调查的学生共有多少人？（）A．120 B．144 C．177 D．192 【答案】A 【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字24，再推其他部分数字，得下图：

根据每个区域含义应用公式得到：

总数=各集合数之和－两两集合数之和＋三集合公共数＋三集合之外数

＝63+89+47－{(x+24)+(z+24)+(y+24)}+24+15 ＝199－{（x+z+y）+24+24+24}+24+15 根据上术含义分析得到：x+z+y只属于两集合数之和，也就是该题所讲的只选择两种考试都参加的人数，所以x+z+y的值为46人；得本题答案为120.【例4】对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看电影的有多少人（）A.22人 B.28人 C.30人 D.36人【答案】A 【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字12，再推其他部分数字，得下图：

根据各区域含义及应用公式得到：

总数=各集合数之和－两两集合数之和＋三集合公共数＋三集合之外数 100＝58+38+52－{18+16+（12+ x）}+12+0,因为该题中，没有三种都不喜欢的人，所以三集合之外数为0，解方程得到：x＝14。52＝x+12+4+Y＝14+12+4+Y，得到Y＝22人。容斥原理题目巧解

容斥原理是公务员考试中较难的一类题目，一般的解题思路有两种：

1、公式法，适用于“条件与问题”都可直接代入公式的题目；

2、文氏图示意法，即当条件与问题不能直接代入公式时，需要利用该方法解决。

一般而言，能够直接代入公式的题目较容易，而需要利用文氏图的题目相对灵活，容易给考生解题带来不便。如果大家能够对公式中的各个要素以及文氏图上的各个部分所代表的含义有深入了解，则可以快速抓住解题关键。

【例题】某班有35个学生，每个学生至少参加英语小组、语文小组、数学小组中的—个课外活动小组。现已知参加英语小组的有17人。参加语文小组的有30人，参加数学小组的有13人。如果有5个学生三个小组全参加了，问有多少个学生只参加了一个小组？

A.15 B.16 C.17 D.18

对于这个题目，一般思路为：将题目条件带入三集合文氏图，假设只参加两个小组的人数分别为x，y，z人，由加减关系可以得到只参加一个小组的人数的表示形式，根据总人数可以列出方程：

(13-5-x-y)+(17-5-x-y)+(30-5-x-y)+x+y+z+5=35，从而得到x+y+z=15，即为所求。

该方法是利用文氏图和列方程的方法进行解题，方法简单易懂，但是实际操作起来消耗时间较多，下文将给出本题的另外两种解法：

【解法1】文氏图与三集合标准型公式相结合。

三集合标准型的公式如下：AUBUC=A+B+C-(AB+AC+BC)+ABC。

将语文小组的人数视为A，数学小组人数视为B，英语小组人数视为C，分别代入公式可以得到AB+AC+BC=30。“AB+AC+BC”中包含三个ABC，因此要减去两个，即AB+AC+BC-2ABC=20，即为至少选两个小组的人数，因此，得到只参加一个小组的人数=总人数(AUBUC=35)减去至少选两个小组的人数(AB+AC+BC-2ABC=20)，等于15。

该方法将文氏图与三集合标准型公式结合使用，避免了求解不必要要素的过程，这需要各位考生对于基本公式和文氏图各部分的意义有深刻理解。对于这道题目而言，还有更加快速的解题方法，如下：

【解法2】通过读题，我们可以发现，英语小组、语文小组、数学小组在题目中都是同时出现，即这三个小组是并列关系，对于这三个小组的人数，即17、30、13三个数字只能用加法处理，等于60。这样原题五个数字(35、17、30、13、5)就变为三个(35、60、5)，而这三个数字之间只能做加减，而不能做乘除，因此，得到结果的尾数必为“0”或“5”。

在得到这个结论之后，我们观察一下选项，发现只有A选项尾数为5，因此，本题答案确定无疑，就是A。本题成功实现“秒杀”。

关于容斥原理的考试题目千变万化，但是无论怎样变化都离不开基本公式和文氏图，考生在平时练习的时候一定要熟练掌握这两种方法，从而提高做题速度与正确率，并争取针对个性化的题目产生巧妙的方法。山东公务员行测：数量关系之容斥问题解题原理及方法

一、知识点

1、集合与元素：把一类事物的全体放在一起就形成一个集合。每个集合总是由一些成员组成的，集合的这些成员，叫做这个集合的元素。如：集合A={0，1，2，3，„„，9}，其中0，1，2，„9为A的元素。

2、并集：由所有属于集合A或集合B的元素所组成的集合，叫做A，B的并集，记作A∪B，记号“∪”读作“并”。A∪B读作“A并B”，用图表示为图中阴影部分表示集合A，B的并集A∪B。

例：已知6的约数集合为A={1，2，3，6}，10的约数集合为B={1，2，5，10}，则A∪B={1，2，3，5，6，10}

3、交集：A、B两个集合公共的元素，也就是那些既属于A，又属于B的元素，它们组成的集合叫做A和B的交集，记作“A∩B”，读作“A交B”，如图阴影表示：

例：已知6的约数集合A={1，2，3，6}，10的约数集合B={1，2，5，10}，则A∩B={1，2}。

4、容斥原理(包含与排除原理)：

(用|A|表示集合A中元素的个数，如A={1，2，3}，则|A|=3)原理一：给定两个集合A和B，要计算A∪B中元素的个数，可以分成两步进行： 第一步：先求出∣A∣+∣B∣(或者说把A，B的一切元素都“包含”进来，加在一起);第二步：减去∣A∩B∣(即“排除”加了两次的元素)总结为公式：|A∪B|=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣

原理二：给定三个集合A，B，C。要计算A∪B∪C中元素的个数，可以分三步进行： 第一步：先求∣A∣+∣B∣+∣C∣;第二步：减去∣A∩B∣，∣B∩C∣，∣C∩A∣;第三步：再加上∣A∩B∩C∣。即有以下公式：

∣A∪B∪C∣=∣A∣+∣B∣+∣C∣-∣A∩B∣-∣B∩C∣-|C∩A|+|A∩B∩C∣

二、例题分析：

例1 求不超过20的正整数中是2的倍数或3的倍数的数共有多少个。

分析：设A={20以内2的倍数}，B={20以内3的倍数}，显然，要求计算2或3的倍数个数，即求∣A∪B∣。

解1：A={2，4，6，„20}，共有10个元素，即|A|=10 B={3，6，9，„18}，共有6个元素，即|B|=6

A∩B={既是2的倍数又是3的倍数}={6，12，18}，共有3个元素，即|A∩B|=所以∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣=10+6-3=13，即A∪B中共有13个元素。

解2：本题可直观地用图示法解答

如图，其中，圆A中放的是不超过20的正整数中2的倍数的全体;圆B中放的是不超过20的正整数中3的倍数的全体，其中阴影部分的数6，12，18是既是2的倍数又是3的倍数的数(即A∩B中的数)只要数一数集合A∪B中的数的个数即可。

例2 某班统计考试成绩，数学得90分上的有25人;语文得90分以上的有21人;两科中至少有一科在90分以上的有38人。问两科都在90分以上的有多少人?

解：设A={数学成绩90分以上的学生} B={语文成绩90分以上的学生}

那么，集合A∪B表示两科中至少有一科在90分以上的学生，由题意知，∣A∣=25，∣B∣=21，∣A∪B∣=38

现要求两科均在90分以上的学生人数，即求∣A∩B∣，由容斥原理得

∣A∩B∣=∣A∣+∣B∣-∣A∪B∣=25+21-38=8

点评：解决本题首先要根据题意，设出集合A，B，并且会表示A∪B，A∩B，再利用容斥原理求解。

例3 某班同学中有39人打篮球，37人跑步，25人既打篮球又跑步，问全班参加篮球、跑步这两项体育活动的总人数是多少?

解：设A={打篮球的同学};B={跑步的同学}则 A∩B={既打篮球又跑步的同学}A∪B={参加打篮球或跑步的同学}

应用容斥原理∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣=39+37-25=51(人)

例4 求在不超过100的自然数中，不是5的倍数，也不是7的倍数有多少个?

分析：这个问题与前几个例题看似不相同，不能直接运用容斥原理，要计算的是“既不是5的倍数，也不是7的倍数的数的个数。”但是，只要同学们仔细分析题意，这只需先算出“100以内的5的倍数或7的倍数的数的个数。”再从100中减去就行了。

解：设A={100以内的5的倍数} B={100以内的7的倍数} A∩B={100以内的35的倍数} A∪B={100以内的5的倍数或7的倍数} 则有∣A∣=20，∣B∣=14，∣A∩B∣=2 由容斥原理一有：∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣=20+14-2=32因此，不是5的倍数，也不是7的倍数的数的个数是：100-32=68(个)

点评：从以上的解答可体会出一种重要的解题思想：有些问题表面上看好象很不一样，但经过细心的推敲就会发现它们之间有着紧密的联系，应当善于将一个问题转化为另一个问题。

例5 某年级的课外学科小组分为数学、语文、外语三个小组，参加数学小组的有23人，参加语文小组的有27人，参加外语小组的有18人;同时参加数学、语文两个小组的有4人，同时参加数学、外语小组的有7人，同时参加语文、外语小组的有5人;三个小组都参加的有2人。问：这个年级参加课外学科小组共有多少人?

解1：设A={数学小组的同学}，B={语文小组的同学}，C={外语小组的同学}，A∩B={数学、语文小组的同学}，A∩C={参加数学、外语小组的同学}，B∩C={参加语文、外语小组的同学}，A∩B∩C={三个小组都参加的同学}

由题意知：∣A∣=23，∣B∣=27，∣C∣=18

∣A∩B∣=4，∣A∩C∣=7，∣B∩C∣=5，∣A∩B∩C∣=2

根据容斥原理二得：

∣A∪B∪C∣=∣A∣+∣B∣+∣C∣-∣A∩B∣-∣A∩C|-∣B∩C|+|A∩B∩C∣

=23+27+18-(4+5+7)+2 =54(人)山东公务员行测：数量关系之容斥问题解题原理及方法

解2： 利用图示法逐个填写各区域所表示的集合的元素的个数，然后求出最后结果。

设A、B、C分别表示参加数学、语文、外语小组的同学的集合，其图分割成七个互不相交的区域，区域Ⅶ(即A∩B∩C)表示三个小组都参加的同学的集合，由题意，应填2。区域Ⅳ表示仅参加数学与语文小组的同学的集合，其人数为4-2=2(人)。区域Ⅵ表示仅参加数学与外语小组的同学的集合，其人数为7-2=5(人)。区域Ⅴ表示仅参加语文、外语小组的同学的集合，其人数为5-2=3(人)。区域Ⅰ表示只参加数学小组的同学的集合，其人数为23-2-2-5=14(人)。同理可把区域Ⅱ、Ⅲ所表示的集合的人数逐个算出，分别填入相应的区域内，则参加课外小组的人数为;

14+20+8+2+5+3+2=54(人)

点评：解法2简单直观，不易出错。由于各个区域所表示的集合的元素个数都计算出来了，因此提供了较多的信息，易于回答各种方式的提问。

例6 学校教导处对100名同学进行调查，结果有58人喜欢看球赛，有38人喜欢看戏剧，有52人喜欢看电影。另外还知道，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧(但不喜欢看电影)的有6人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧(但不喜欢看球赛)的有4人，三种都喜欢的有12人。问有多少同学只喜欢看电影?有多少同学既喜欢看球赛又喜欢看电影(但不喜欢看戏剧)?(假定每人至少喜欢一项)

解法1：画三个圆圈使它们两两相交，彼此分成7部分(如图)这三个圆圈分别表示三种不同爱好的同学的集合，由于三种都喜欢的有12人，把12填在三个圆圈的公共部分内(图中阴影部分)，其它6部分填上题目中所给出的不同爱好的同学的人数(注意，有的部分的人数要经过简单的计算)其中设既喜欢看电影又喜欢看球赛的人数为χ，这样，全班同学人数就是这7部分人数的和，即

16+4+6+(40-χ)+(36-χ)+12=100解得 χ=14只喜欢看电影的人数为36-14=22

解法2：设A={喜欢看球赛的人}，B={喜欢看戏剧的人}，C={喜欢看电影的人}，依题目的条件有|A∪B∪C|=100，|A∩B|=6+12=18(这里加12是因为三种都喜欢的人当然喜欢其中的两种)，|B∩C|=4+12=16，|A∩B∩C|=12，再设|A∩C|=12+χ由容斥原理二：|A∪B∪C |=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C|

得：100=58+38+52-(18+16+х+12)+12解得：х=14∴36-14=22所以既喜欢看电影又喜欢看球赛的人数为14，只喜欢看电影的人数为22。

点评：解法1没有用容斥原理公式，而是先分别计算出(未知部分设为х)各个部分(本题是7部分)的数目，然后把它们加起来等于总数，这种计算方法也叫“分块计数法”，它是利用图示的方法来解决有关问题，希望同学们能逐步掌握此类方法，它比直接用容斥原理公式更直观，更具体。

例

7、某车间有工人100人，其中有5个人只能干电工工作，有77人能干车工工作，86人能干焊工工作，既能干车工工作又能干焊工工作的有多少人?

解：工人总数100，只能干电工工作的人数是5人，除去只能干电工工作的人，这个车间还有95人。利用容斥原理，先多加既能干车工工作又能干焊工工作的这一部分，其总数为163，然后找出这一公共部分，即163-95=68

例

8、某次语文竞赛共有五道题(满分不是100分)，丁一只做对了(1)、(2)、(3)三题得了16分;于山只做对了(2)、(3)、(4)三题，得了25分;王水只做对了(3)、(4)、(5)三题，得了28分，张灿只做对了(1)、(2)、(5)三题，得了21分，李明五个题都对了他得了多少分?

解：由题意得：前五名同学合在一起，将五个试题每个题目做对了三遍，他们的总分恰好是试题总分的三倍。五人得分总和是16+25+30+28+21=120。因此，五道题满分总和是120÷3=40。所以李明得40分。

例9，某大学有外语教师120名，其中教英语的有50名，教日语的有45名，教法语的有40名，有15名既教英语又教日语，有10名既教英语又教法语，有8名既教日语又教法语，有4名教英语、日语和法语三门课，则不教三门课的外语教师有多少名?

解：本题只有求出至少教英、日、法三门课中一种的教师人数，才能求出不教这三门课的外语教师的人数。至少教英、日、法三门课中一种教师人数可根据容斥原理求出。根据容斥原理,至少教英、日、法三门课中一种的教师人数为50+45+40-15-10-8+4=106(人)不教这三门课的外语教师的人数为120-106=14(人)

第三篇：2015银行校园招聘行测概率问题-内蒙古银行招聘

文章来自赤峰人事考试信息网：http://chifeng.offcn.com

2015银行校园招聘行测概率问题-内蒙古银行招聘

概率指某事件发生的可能性，取值在0到1之间。常考的概率问题有3种，一是古典型概率;二是多次独立重复试验;三是几何概率。在这里中公教育专家重点为大家讲解第一种，也就是古典型概率。

在古典型概率中目标数和总可能数是可以数出来的，具体的数目通常可以用排列组合运算得出。那么事件A发生的概率P就等于目标数m除以总可能数n，例2：甲某打电话时忘记了对方电话号码最后一位数字，但记得这个数字不是0。甲某尝试用其他数字代替最后一位数字，恰好第二次尝试成功的概率是()。

A.1/9 B.1/8 C.1/7 D.2/9 答案：A 中公解析：运用分步的思想去理解并进行计算。恰好第二次尝试成功则说明第一次猜错，第二次猜对，分了两个步骤，则其概率为8/9×1/8=1/9。

例3：某单位端午节3天假期安排甲、乙、丙、丁4人值班。端午节当天上、下午各安排一个人值班，另外两天每天安排一个人，每人只值班一次。则乙被安排在端午节当天值班的概率是: A.1/24 B.1/12 C.1/3 D.1/2 答案：D 文章来自赤峰人事考试信息网：http://chifeng.offcn.com

例4：某单位分为A、B两个部门，A部门有3名男性，3名女性，B部分由4名男性，5名女性，该单位欲安排三人出差，要求每个部门至少派出一人，则至少一名女性被安排出差的概率为()。

A.107/117 B.87/98 C.29/36 D.217/251 答案：A

中公教育专家认为，概率问题虽然题目千变万化，但是解决问题的思想是相同的，希望广大考生能在理解的基础之上多做练习题，以达到融会贯通的目的。

第四篇：行测集合问题

行测集合问题

集合问题也称容斥原理，是国家公务员考试中出题频率最高的题型之一。本类试题基本解题思路如下：

1、利用集合原理公式法：适用于条件与问题都可直接代入公式的题目。（1）两个集合：（2）三个集合：

2、文氏图示意法：用图形来表示集合关系，变抽象文字为形象图示。

2003年国考A卷第7题

某服装厂生产出来的一批衬衫中大号和小号各占一半。其中25%是白色，75%是蓝色的。如果这批衬衫总共有100件，其中大号白色衬衫有10件，问小号蓝色衬衫有多少件？（）

（直接计算）

2004年国考A卷第46题

某大学某班学生总数为32人，在第一次考试中有26人及格，在第二次考试中有24人及格，若两次考试中，都没有及格的有4人，那么两次考试都及格的人数是（）

（作图法）

2005年国考第一卷第45题

对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。其中其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看电影的有（）

（公式法）

2005年国考第二卷第45题

外语学校有英语、法语、日语教师共27人，其中智能教英语的有8人，只能教日语的有6人，能教英、日语的有5人，能教法、日语的有3人，能教英、法语的有4人，三种都能教的有2人，则只能教法语的有（）

（作图、公式）

2006年国考一卷第42题

现有50名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有40人，化学实验做正确的有31人，两种实验都做错的有4人，则两种实验都做对的有（）

（作图、公式）

2006年国考二卷第43题

某工作组有12名外国人，其中6人会说英语，5人会说法语，5人会说西班牙语，有3人既会说英语又会说法语，有2人既会说法语又会说西班牙语，有2人既会说西班牙语又会说英语；有1人这三种语言都会说。则只会说一种语言的人比一种语言都不会说的人多（）

（作图、公式）2007年国考第50题

小明和小强参加同一次考试，如果小明答对的题目占所有题目的3、4，小强答对了27道题，他们两个人都答对的题目占题目总数的2、3，那么两个人都没有答对的题目共有（）道题。

（小明做对的+小强做对的—他两都做对的+他两都做错的=总题数）2009年国考第116题

X,Y,Z分别是面积为64、180、160的三个不同形状的纸片，它们部分重叠放在一起盖在桌面上，总共盖住的面积为290，且X与Y、Y与Z、Z与X重叠部分面积分别为24、70、36，问阴影部分的面积是多少？（）

（公式法）

第五篇：行测总结

行测总结

一、选词填空

1、利用词语色彩义解答逻辑填空

（1）词语的感情色彩

词语可分为：褒义词、贬义词、中性词。大家在做题时，需要根据现有句子所提供的语境，判断作者的感情态度和褒贬意味，从而选出与作者感情色彩最相符合的词语。

例题：他

在色彩与线条的世界中，一个星期没有离开过设计室，终于出色地完成了任务。（D）

A.沉溺 B.沉沦 C.沉陷 D.沉浸

（2）词语的语体色彩

根据语体色彩，词语可分为口头语和书面语两大类。口头语的主要特点是：自然、通俗，常用于日常交谈，或比较口语化的文学作品。书面语的特点是：文雅、庄重，多用于比较正式的场合、理论性强的文章等。从试题选材来看，公务员考试多考查考生对书面语的掌握情况。

从表达内容来看，书面语又可分为公文语体、政论语体、科技语体和文艺语体。不同的语体色彩表现出不同的语体风格。如：公文类语体用词比较规范、庄重，政论类语体的词语感情色彩比较强烈、逻辑性强，科技类语体的词语比较严密、规范，文艺类语体的词语则相对比较文雅、抒情。

例题：中国国家质检总局将继续加强对企业的监督管理，要求企业进一步完善其质量安全自控体系，确保出口日本产品质量安全;同时将继续加强与日方

，其尽快解除对其余三十七家企业产品的检查命令，保证输日食品贸易的进展顺利。

填入划横线部分最恰当的一项是(C)。

A.协商 要求B.商量 催促 C.磋商 敦促 D.洽谈 恳请

（3）词语的形象色彩

有些词语除了具有一般意义，还能给人以一种特别的形象感，它往往以生动、具体的形象让人们产生视觉、听觉、嗅觉、味觉上的感受，以引起人们对现实生活中某种形象的联想，这就是词语的形象色彩。例如，北京颐和园里有一座石拱桥叫“玉带桥”，许多人又把它叫作“罗锅桥”，两个词语同指一座桥，但却给人以不同的形象联想。有些逻辑填空题，从词语的理性义、感情色彩、搭配习惯等方面都不太好判断答案，这时对词语的形象色彩进行辨析有可能成为我们攻克难关的法宝。

例题：云团

地移动着，被吞没了多时的满月一下子跳出来，像一个刚出炼炉的银盘，辉煌灿烂，银光耀眼，把整个大地照得

的，荷叶上的青蛙，草丛里的蚂蚱和树枝上的小鸟，都被这突然

的光明惊醒，欢呼、跳跃，高声鸣唱起来。

填入划横线部分最恰当的一项是(B)。

A.慢慢 明晃晃 降临 B.缓缓 亮堂堂 降临

C.慢慢 亮堂堂 来临 D.缓缓 明晃晃 来临(二)词语的理性义

1.看词义所指的范围

示例：“度过”与“渡过”

度过：指过去的意思，多用于表示与时间有关的对象，如“光阴”“童年”等;

渡过：渡，水字旁。指经过与水有关的江、河、湖、海等，也指经过困难、危机等。

【误用】社会各界好心人士捐款共计20余万元，帮助这家人暂时度过了难关。

【辨错】句中说的是“难关”，应该与“渡过”搭配。

2.看词义的侧重点

示例：“精准”VS“精确”

精准：侧重于很符合、没差错;

精确：侧重于精细、确切，如：精确到小数点后多少位数。

【误用】8号选手的远投非常精确。

【辨错】句子说的是投篮投得准，所以“精确”应改为“精准”。

3.看词义的轻重程度

示例：“批判”VS“批评”

批判：指对错误的或敌对的思想、言论或行为作系统地分析，加以否定，词义较重;

批评：指对书籍、文章加以批点评注，或专指对缺点和错误提出意见，词义较轻。

【误用】过去开会，有些人总是拖拖拉拉爱迟到，经过批判教育，这种不良的现象已经不再出现了。

【辨错】“批判”针对的是错误或敌对的思想、言论等，而“开会迟到”没有那么严重，不能用“批判”，应改为“批评”。

二、巧解启后类语句衔接题

启后类的题，考生做题时要注意：

1、要保持上下文话题的一致性;

2、可参照文段的行文脉络，文段的逻辑关系有时也要注意到。

3、要与最后一句有衔接，这是参考性最强的一个事项。我们在写文章时，如果要引出另一个内容，往往会有个过渡句，在启后类的题中，给定文段的最后一句一般会有过渡的作用。

【例1】(2005-国考-25)“人造”美女是最近非常抢眼的一个词。爱美之心人皆有之，丑小鸭变成白天鹅的梦想，通过整形手术就可以在短时间内成为现实，对每一位爱美女性来说，都是一种诱惑。目前，整形美容已成为诸多爱美女性增加个人靓丽指数的时尚选择。与此同时，也有许多女性为此付出了惨痛的代价……

作为文章的引言，该文章最有可能谈的是()

A.整形美容的方法、原理和效果

B.整形美容受到众多女性的青睐

C.整形美容给女性生活带来的变化

D.失败的整形美容所带来的痛苦

【解析】本题正确答案为D。这是一道典型的启后类的语句衔接题。文段前面内容讲的的整形美容带给女性好的方面，文段最后一句用“与此同时”过渡到“许多女性为此付出了惨痛的代价”，即整形美容的负面影响，因此，正确答案为D。本题有看考生误选C，注意对“变化”的理解，变化有好的变化也有坏的变化，而最后一句非常明显是指的坏的变化，因此，C项不正确。

【例2】(2010-国考-29)几千年前，在非洲湿热的原始森林里，土著居民围着火堆，跟随各种复杂节奏自由而热烈地边舞边唱。这种歌声，也许在某些“文明人”眼里算不上音乐。然而，这样的声音却是最原始的，是在恶劣环境里顽强的本能所发出的生命之音。如果说布鲁斯音乐是很多音乐的根源，那么，上面所说的便是这个根源的根源。

这段文字是一篇文章的引言，文章接下来最应该讲述的是：

A.自然环境与音乐风格的关系

B.布鲁斯音乐与土著音乐的源流关系

C.土著音乐产生的历史背景

D.人类本能在原声音乐中的表现

【解析】本题正确答案为B。本题是一道典型的启后类语句衔接题。文中前面三句都是围绕“土著音乐”阐述，最后一句提出了“上面所说的(土著音乐)便是这个根源(布鲁斯音乐)的根源”的观点，也就是说，文章接下来要谈的应该是二者的源流关系，正确答案为B。

这类题，关键是对最后一句的理解。考生的最佳做法是：首先看最后一句，然后筛选出前面已经叙述过的内容是什么，没有叙述的内容是什么，前面没有叙述到的内容肯定是作者接下来想叙述的内容。这样，就可以快而准的锁定正确答案了。祝考生在考试中能运用自如。

三、片段阅读题

片段阅读重点考查的是迅速准确地理解文字材料内涵、把握文字材料主旨的能力。要快速准确地解答片段阅读题首先要能抓住文字材料的重点、关键信息。

何谓“关键”?“关键”是比喻紧要的部分或对事情起决定作用的因素，对片段阅读题目来说，它就是对迅速而准确地理解文段材料内涵最有帮助或最有效用的信息，这些信息能够帮助我们快速定位文段的论述对象和重点、划分出文段的结构，继而帮助我们排除错误选项，锁定正确答案。

根据特性不同，“关键”信息主要有以下三大类：关键词、关键句和关键暗示信息。专家在本系列文章中就对这三剑客的使用方法做介绍并结合实例帮助考生更好地理解。本篇文章先讲解关键词。

题干材料中的关键词主要有以下几种：高频词、表示某一特定含义的概念、提示文段重点或结构的词。

(一)高频词：确定文段论述主题、重点

文段中多次出现的词语称为高频词语。反复通常表强调，故高频词一般都是文段的中心词，与文段的主要内容或主旨密切相关。因此解题时要注意高频词，尤其是解答主旨类题目和主题类题目时可直接锁定包含了高频词的选项为正确答案。

例题1：信息时代里的企业就像一个完整的人，组织如骨骼，资金如血液，信息如神经。信息流是生命线，信息系统是神经系统，顾客需求是刺激源。在统一的数字神经系统下，从决策者到管理者再到执行者，从人到机器，如果信息可以一路顺畅，整个企业就能用一个大脑思考。这颗数字大脑不仅要对多样化、个性化的顾客需求做出及时准确的反应，还要在对这类信息资源的筛选和分析中不断寻找新的机遇，拓展进步的空间，打造时刻贴近顾客需求的无缝隙的服务品牌。

这段文字意在强调()。

A.打造知名品牌是企业长远发展的基础

B.应高度重视企业各个环节的有效整合 C.如何对顾客需求做出及时准确的反应

D.信息系统对企业具有至关重要的意义

解析：此题答案为D。归纳内容可知，文段把信息时代的企业比作一个完整的人，由“信息如神经，信息流就是生命线，信息系统是神经系统”，“如果信息可以一路畅通，整个企业就能……”可知，文段是在强调信息对企业意义重大。

【快解】通读材料后我们发现名词“信息”在文中出现了六次，属于高频词语，A、B、C、D四个选项中只有D项与“信息”有关，这样即可快速确定答案为D。

(二)表示某一特定含义的概念：确定文段落脚点

文段中出现的含有特定意义的概念，通常是文段的要点。尤其当该概念出现在段尾时，往往是文段的落脚点，与文段的主旨多有密切关系。遇到此类文段时，考生只要抓住这个概念，运用排除法，即可快速准确地锁定答案。

例题2：从本质上说，人类文明的进程就是不断脱离动物界的过程，这一过程主要包括人类体质的进化和心性的进化两个方面。从猿到人的体质进化，人类用了上百万年的时间才完成，而人类心性的进化则还要缓慢。当人类跨越石器时代、青铜时代进入铁器时代之后，动物性依然顽强地在人类身上闪现着。如何管理好人类的情感，使带有动物性的人变成理性的人，是儒家最为关注的重要课题。如果把儒家的答卷归结为一个字，那就是“礼”。

对这段文字的主旨概括最准确的是()。

A.描述人类文明发展进化的大致过程

B.对比人类体质与心性两方面的进化

C.阐述儒家强调礼仪作用的社会原因

D.说明儒家思想的产生根源与现实意义

解析：此题答案为C。本题属于主旨题，概括内容可知，作者从人类文明的进程说到人类情感的管理，最后引出儒家思想中的“礼”这一课题。由此可见，作者主要想谈的是儒家思想中的“礼”。

【快解】若注意到该文段在末尾提出了一个重要概念——“礼”，且加了引号，则可快速判断主旨应与此相关，而包含这层含义的只有C项。

(三)提示文段重点或结构的词：指示重点、区分层次

与高频词和表示某一特定含义的概念直接点出文段的中心词或落脚点不同，文段中有些词只能间接对快速定位文段的重点或划分出文段的结构起指示作用，这些词一般为关联词、副词或其他某些起提示或指示作用的词。

1.关联词

关联词是复句中用来连接分句与分句，表明分句与分句之间结构关系和语义关系的词语。不同的关联词所表达的关系也不一样，主要有转折关系、因果关系、递进关系、条件关系、假设关系、并列关系。

例题3：对一项科学工作的评价不能简单地归结为一个数字的大小，任何数字都不能取代同行评议及对该工作科学意义的具体分析和历史检验。然而，不好的评价指标有可能误导评审人员，导致错误的结果;而好的评价指标可以提供更准确的信息，使相应的评审更加客观和公正。

这段文字意在强调，对科学工作的评价()。

A.应该是主观评价和客观评价的统一 B.关键在于建立科学的评价指标体系

C.不应以数字结论作为主要参考依据 D.需要综合考虑多种因素才能实现公正

解析：此题答案为B。文段首先指出对科学工作的评价不能简单地归结为数字的大小，然后从正反两方面论证了评价指标对评价结果的影响。由此可知，文段强调的是建立科学的评价指标体系的重要性，即B项。

【快解】本题易错选C项，但若能抓住“然而”则能快速得出正确答案，其后的内容从正反两方面论证了评价指标对评价结果的影响。

2.副词：其实、倒、尤其(特别)

副词是用在动词或形容词前起辅助性作用的虚词。虽然大多数副词没有具体的含义，但在表情达意上有时能起到实词不能替代的作用。分析作者的观点或文段的重点，要注意文段中的相关副词。

例题4：文明和文化是不同的。文明使所有的地方所有的民族越来越相似，按照德国人埃利亚斯《文明的进程》的说法，文明是一个群体社会中大家按照同一规则生活，就好像按照一个节拍跳舞，不至于踩到脚一样;而文化使一个民族与别的民族不同，它是与生俱来的，不是规则而是习惯。其实城市化也可以这样看：城市迅速发展，摩天大楼变成城市象征，这其实是现代文明在世界各个角落强势发展的结果。但是，我们又希望文明不要压倒文化，“同一”不要消灭“差异”。

这段文字意在()。

A.质疑现代文明忽略民族个性的趋势

B.探究城市化进程与文明发展的关系

C.强调城市化进程中保存文化的必要性

D.比较文明与文化对人类发展的不同影响

解析：此题答案为C。文段先对比了文明和文化对人类发展的不同影响，然后指出城市化是文明的结果，末句的“又希望文明不要压倒文化”说的是在城市化过程中，不要忽视文化的作用，即不要为了追求城市的现代化而牺牲城市的个性。“城市化”为文段的论述对象，选项中应包含这一关键词，据此排除A、D。B项未谈到保存文化，排除。本题选C。

【快解】“其实”指示了文段意在说明的内容。

3.其他起提示或指示作用的词

例题5：作物生产系统，是一个作物—环境—社会相互交织的复杂系统，作物生产的高产、优质和高效通常又是矛盾的和难于协调统一的整体，而且，高产、优质和高效三者的主次关系也会随着社会经济的发展而变化，可见农学学科的研究对象不仅涉及自然因素，而且涉及了社会因素。

这段文字意图说明()。

A.农学学科的研究对象既涉及自然因素又涉及了社会因素

B.作物生产系统是一个作物—环境—社会相互交织的复杂系统

C.农学是服务于作物生产的一门综合学科

D.必须以系统学的观点来认识农学和作物生产

解析：此题答案为A。文段为典型的分总结构，“可见”一词引导的句子归纳总结了文段内容，为文段中心句，A项表述为文段中心句的同义转述，故选A

（四）增强削弱类题

增强削弱论点的直接选该选项，没有此情况的，在选项中选择最能增强削弱论点的论据

四、定义判断

（一）关键词法

例1.(2008年国家66)立体农业是指农作物复合群体在时空上的充分利用。根据不同作物的不同特性，如高秆与矮秆、富光与耐荫、早熟与晚熟、深根与浅根、豆科与禾本科，利用它们在生长过程中的时空差，合理地实行科学的间种、套种、混种、轮种等配套种植，形成多种作物、多层次、多时序的立体交叉种植结构。根据上述定义，下列属于立体农业的是()

A.甲在自己的玉米地里种植大豆

B.乙在自己承包的鱼塘不但养鱼，还种植了很多莲藕

C.丙在南方某地区承包了十亩稻田，特意引种了高产的水稻新品种

D.丁前年承包了-座山，他在山上种植了大量苹果树，并在山上养殖了大量蜜蜂

1.A[解析]关键词“农作物复合群体”，A选项玉米和大豆符合农作物复合群体，B选项鱼不是农作物，同样D中蜜蜂也不是农作物，C选项都是稻田，没体现复合群体，因此选择A选项。

四、逻辑推理

（一）矛盾命题

真假推理型题目我们的解题思路是：首先找矛盾，关键看其余。矛盾找到了，我们只能知道互为矛盾的两个命题永远是一真一假，但是谁真谁假我们是不知道的，这时看剩下的，其余命题的真假我们是知道的，这时从剩下命题入手就可以进行推理了。

例

1、某个„„是--某个„„不是

比如说李四及格了--李四不及格，正好是“某个„„是--某个„„不是”的形式，那么这就是一对矛盾命题。笔者将结合下面的例题进行详细的讲解。

例1（2009年河北92）国王要为自己的女儿挑选一个最聪明勇敢的女婿，他向所有的求婚者宣称他已经把公主和两只狮子分别关进了三间房子，然后在三间房子门上分别写了一句话，让求婚者们去打开自己认为可以打开的门。第一间房上写着：“这间房子里有狮子。”第二间房门上写着：“公主在第一间房子里。”第三间房门上写着：“这间房子里有狮子。”其实这三句话中，只有一句话是真的。

据此可以推断

A.公主在第一间房子里B.公主在第二间房子里

C.公主在第三间房子里D.三间房子里关的都是狮子

1.C［解析］第一间房上写着：“这间房子里有狮子。”就是说：公主不在第一间房间，与第二间房门上写着：“公主在第一间房子里。”是矛盾的。题干已知只有一句话是真的，那这个真的肯定存在于矛盾命题之间，按照我们的思路：首先找矛盾，关键看其余，由此推出第三间房门写的肯定是假话，这间房子里有狮子是假的，真的就是：这间房子里没狮子，也就是说这间房子里有公主，因此选择C选项。

（二）所有„„都是„„--有些„„不是„„

比如说所有同学都是团员--有些同学不是团员，恰好是“所有„„都是„„--有些„„不是„„”的形式，因此这就是一对矛盾命题。

例2（2006年江苏A56）张三到某店买巧克力，店主领他看四个箱子，每个箱子上都写了句话。第一个箱子：“所有箱子中都有荔枝。”第二个箱子：“本箱中有苹果。”第三个箱子：“本箱中没有巧克力。”第四个箱子：“有些箱子中没有荔枝。”店主对张三说：“四句话中只有一句真话，您看巧克力在哪个箱子里？”请替张三选择一个正确答案。

A.巧克力在第一个箱子里 B.巧克力在第二个箱子里

C.巧克力在第三个箱子里 D.巧克力在第四个箱子里

2.C［解析］第一个箱子的话和第四个箱子的话是矛盾的，题目已知四句话中只有一句是真话，那么这个真的肯定存在于矛盾命题之间，因此剩下的两个命题肯定是假的，第三个箱子：“本箱中没有巧克力”这句话是假的，真的就是本箱中有巧克力，所以选择C选项。

（二）等价命题

1、充分条件假言命题（如果···那么····）肯定前件就要肯定后件，否定后件就要否定前件。

例

1、有人对“不到长城非好汉”这句名言的理解是：“如果不到长城，就不是好汉。”假定这种理解为真，则下列哪项判断必然为真()

A.只要到了长城，他就一定是好汉

B.如果是好汉，那么他一定到过长城

C.只有好汉，才到过长城

D.不是好汉，不到长城

解析：

1、判断题型：含有关联词

2、翻译 长城→好汉

3、推理

4、翻译四个选项，与等价命题一样的即为答案

A.长城→好汉 B.好汉→长城 C.长城→好汉 D.长城→好汉

5、答案：B

【例题二】

如果某人是杀人犯，那么案发时他在现场。因此，我们可以推知()。

A.张三案发时在现场，所以张三是杀人犯

B.李四不是杀人犯，所以李四案发时不在现场

C.王五案发时不在现场，所以王五不是杀人犯

D.赵六不在案发现场，所以赵六是杀人犯

解析：

1、判断题型：含有关联词

2、翻译 杀人犯→在现场

3、推理 在现场→杀人犯

4、翻译四个选项，与等价命题一样的即为答案

5、答案：C 【例题三】

有关专家指出，月饼高糖、高热量，不仅不利于身体健康，甚至演变成了“健康

杀手”。月饼要想成为一种健康食品，关键是要从工艺和配料方面进行改良，如果不能从工艺和配料方面进行改良，口味再好，也不能符合现代人对营养方面的需求：由此不能推出的是：()

A.只要从工艺和配料方面改良了月饼，即使口味不好，也能符合现代人对营养方面的需求

B.只有从工艺和配料方面改良了月饼，才能符合现代人对营养方面的需求

C.如果月饼符合了现代人对营养方面的要求，说明一定从工艺和配料方面进行了改良

D.没有从工艺和配料方面改良月饼，却能符合现代人对营养方面要求的情况是不可能存在的

解析：

1、判断题型：含有关联词

2、翻译 改良→需求

3、推理 需求→改良

4、翻译四个选项，与等价命题不一样的即为答案

A.改良→需求 B.需求→改良 C.需求→改良 D.(-改良→需求)不符合题干

5、答案：A

2、必要条件假言命题（只有···才···）肯定后件就要肯定前件，否定前件就要否定后件

（三）假设法 1.选项假设法

[例]小明在星期

一、星期

二、星期三说谎话，丽丽在星期

四、星期

五、星期六说谎话;此外的日子里，他们都讲真话。青青忘了今天是星期几，他问小明，小明说：“昨天是我说谎话的日子。”他又问丽丽，丽丽也说：“昨天是我说谎话的日子。”由此可以推断今天是：

A.星期一 B.星期四

C.星期六 D.星期天

解析：此题答案为B。观察题目可以发现，题干描述的是小明和丽丽两人说谎的时间情况，答案就是简单的日期，无法直接推理，采用选项假设代入法应该最快。

将A项代入，假设今天是星期一，那么小明说假话，而昨天是周日，小明昨天说真话，符合题意，但丽丽今天说真话，昨天也说真话，不符合题意，排除。将B项代入，假设今天是星期四，小明今天说真话，昨天说假话，丽丽今天说假话，昨天说真话，符合题意。2.题干假设法

[例]在某城市，有一家银行被盗，警方通过侦查，拘捕了1号、2号、3号、4号、5号、6号六个重大嫌疑人，经过审问，查明了以下事实：1号、5号、6号三人中只有两个作案，1号、2号两人最少有一个作案，2号和3号两人要么都作案，要么都没有作案，1号和4号两人中只有一人作案，3号和4号两人中也只有一人作案，据此，可以推出全部案犯人数是()。

A.3 B.4 C.5 D.6

解析：此题答案为B。题目中所有描述都是正确的，但是没有一句肯定的结论，选项又特别简单，只能用题干假设法。

假设这六个嫌疑人中的哪一个呢?这就要用到“信息最大优先原则”，在题目中提到1号嫌疑人次数最多，就可以假设1号嫌疑人是案犯，刚4号嫌疑人不是案犯，3和2号嫌疑人是案犯，1和2号嫌疑人都是案犯与题目描述不矛盾，说明1、2和3号嫌疑人是案犯。5号和6号嫌疑人中有一个是案犯但不能确定是谁，却不影响选择答案，一共是4个案犯。

五、类比推理

（一）两词型

两词型是指题干和四个备选答案中均涉及两个词项的题目，考生需要通过分析题干中两个词项之间的关系，在备选答案中找出与题干词项关系最为相似的一组。

基本形式为：A∶B(其中A、B一般为有着某种关系的两个词项)

还有一种特殊形式，只在2008年国家公务员考试和少数地方公务员考试出现过，其形式为：A 对于 B 相当于()对于()

1.当题干两个词项之间无关系时，可通过纵向对比，看是否存在关系;

2.当题干两个词项有关系但关系不明显时，可通过引入新的词语，使用遣词造句法在两者间建立联系，从而更直观地表示出题干的词项间关系。

例题：

树根：根雕

A.陶土：瓷器 B.纸张：剪纸

C.水泥：砚台 D.竹子：竹排

解析：本题答案选B。根雕是树根经雕刻而得到的艺术品，剪纸是纸张经剪裁而得到的艺术品。A项在陶土烧制成瓷器的过程中，发生了化学反应，而根雕和剪纸的制作过程中没有发生化学反应。

（二）、三词型

三词型是指题干和四个备选答案中均涉及三个词项，考生需要通过分析题干中三个词项之间的关系，在备选答案中找出与题干词项关系最为相似的一组。

其基本形式为：A∶B∶C(其中A、B、C为一般有着某种关系的三个词项)

三词型解题要点与两词型类似，但由于词项数量较多，因此词项间的关系更加复杂，考生在解题时需要综合考虑三个词之间的关系。

例题：

刀：屠夫：肉

A.相机：记者：摄影 B.剪刀：裁缝：布料

C.粉笔：老师：黑板 D.法律：法官：犯人

解析：本题答案选B。屠夫用刀切肉，裁缝用剪刀剪布料。

【考点点拨】此题乍一看，A、B、C、D四个选项似乎都符合。但肉是名词，而摄影是动词，排除A项;刀是具体事物，而法律是抽象事物，排除D项。由词项在句子中的位置可知，C项黑板不符合。且刀切肉造成的效果与剪刀切布料造成的效果相似。

（三）、对当型

对当型，即指题干涉及的词项分别分成两组，每组均缺少一个词项，而四个备选答案中均涉及两个词项;考生需要将选项的词项与题干匹配之后，综合分析两组词之间的关系，在备选答案中找出能使两组词关系最为相似的选项。

国家公务员考试中涉及的对当型都为四词对当型，即题干涉及四个词项的对当型题目。

其基本形式为：A 对于()相当于()对于 B

当题干词项数目增加至六个时，即为六词对当型题目，在某些地方考试中出现过，其形式为：(): A : B 相当于 C : D :()

这种题型与两词型和三词型的不同之处在于：题干不存在完整的一组词，即词项间关系具有一定的不确定性，增大了解题的难度。因此，大家在做题时需要增加代入的过程，即需要先将选项代入题干后，再分析两组词项之间的关系，能使两组词项关系最相似的选项即为答案。

例题：

()对于 表达 相当于 信件 对于()

A.比喻 沟通 B.文字 载体

C.感情 抒情 D.交流 包裹

解析：本题答案选A。解析：比喻是表达的一种手段，信件是沟通的一种手段。B、C两项都不能形成类似的关系。D项交流的过程中需要使用表达，但信件与包裹没有这种关系。

最后，总结下类比推理题的解题步骤，可以避免因疏忽大意而导致误选错误选项，对解题正确率的提高有极大的帮助。

1.看题干，定关系。即观察题干所给词项之间的关系，当题干词项间关系不明显时，可以使用遣词造句法。对于对当型题目，我们需要通过将选项代入才能找出词语之间的关系。

2.看选项，先排除。即根据所找到的词项间关系来分析选项，排除与题干关系明显不符合的选项。对于对当型题目，则将选项代入后排除两组词关系明显不同的选项。

3.再对比，定答案。当我们完成第二步以后，可能有两个选项都看似正确，无法排除，此时，需要再次对比题干与选项，进行二次辨析。即分析题干与选项关系之间的共同点和不同点，找出其中的细微差别，从而选出与题干具有最多共同属性、关系最为相似的选项为正确答案。在此过程中的常用技巧有遣词造句法、纵向对比法。

六、图形推理十大规律

一.图形的转动(包括图形的翻转和旋转)

例题1

答案：C

例题2

答案：C。第一个图形上半部分向下翻转一次得到第二个图形，第一个图形的上半部分连续向下翻转两次得到第三个图形。本题考察角度是图形的翻转。

例题3

答案：A本题考察角度是图形的翻(旋转)转。每一行三个图形的变化规律是：第一个图形逆时针旋转90度得到第二个图形，第二个图形上下翻转得到第三个图形。

例题4

答案：D本题考察角度是图形的翻转。规律是含有字母B的图形，在下次出现的时候上下翻转。含有其他字母的图形在下次出现的时候不做任何变动。

例题5

时针转动45度，逆时针转动135度，顺时针转动45度。

二.图形的对称(轴对称和中心对称)

答案：D本题考察的角度是图形的转动。阴影部分依次作逆时针转动135度，顺

三.图形的封闭(封闭图形以及图形的封闭部分之间的数量关系)

四.图形的叠加

五.图形的笔画数以及边角数量的关系

六.图形的形状以及种类

答案： B。解析 ：本题目考察的是图形的种类。每一行都有3种不同的图形。

七.(或者求异去同)

找所有图形的共同点。

八.权重问题

九.图形的拆拼组合。

十.图形的重心位置。

图形推理注意事项。

答案：A。所有图形的共同特点是都有三角形。该题目考察的角度是求同。即寻

1.有时候曲线看作边，有时候不看作边。一般在国考中，边通常是指的直线边，而曲线不当作边。例如：

答案：D该题目考察角度的是图形边数关系。第一行三个图形边数与第二行三个图形边数对应相加等于第三行对应三个图形的边数。本题曲线不算边。考题中，解答有的题目我们需要把曲线也看成边。这与命题专家的喜好有关。根据具体题目，灵活处理。

在有的省考中，曲线和直线一样被 看作一条边。例如：

2006年江苏省考真题：

面的小图案数量相等。

答案：C。本题考察角度是图形边数关系。第一组图形，图形的边数和图形里

第二组图形，图形的边数比图形里面的小图案数量多1.本题中，圆圈被看作一条边。

2006年江苏省考真题：

条边边长相等。

答案：B。本题考察角度是边的关系。几个图形中，依次有1，2，3，4，5，6

本题中，圆圈当作一条边。这个题目本来有难度的，但是答案选项的设置不是很好，很多考生直接选B。因为后面几个图形不就是三角形，四边形，五边形，六边形。虽然这个思路是错误的，但同样得到了答案。本题没有起到考察的作用。

2.一些图形可以当作立体图形，也可以当作平面图形。

例如：

这个图形可以看作是立方体，也可以看作是平面图形六边形。当作平面图形看待的时候，该图形的封闭部分有3部分。该图形共有9条边。

答案：A 2，3，4，5。

下面4个图形的边数分别是12，6，8，7。

分析一：上面5个图形的边数分别是2，5，1，4，3。整理一下顺序，就是1，分析二：本题的关键在于对图形A的判断。如果认为A是立体图形，那么问题就变得相当简单。上面的5个图形，全部是平面图形。下面4个选项中，只有A不是平面图形。根据题目要求，要选择规律不同的图形。因此答案为A。显然，本题也是一个很有难度的题目，但如果把A当作立体图形的话，本题没有任何难度了。

3.对九宫图，可以从以下几个角度考察。

(1)行看：

答案：A分析：每一行三个图形封闭部分数目是8.(2)列看：

答案：D。每列的三个图形，第一个图形的边数等于后面两个图形的边数之和。

(3)交替看：

答案：A从第一行开始，用笔尖沿着螺旋线从外往里动，笔尖的运动方向依次是顺时针，逆时针，顺时针，逆时针„„如此交替出现

答案：D分析：图形依次是由曲线，直线，曲线，直线。(4)整体看： 例题1

答案：C分析：所有图形都是轴对称图形，并且对称轴不止一条。例题2

。。。构成。

答案：D 分析：所有图形都含有竖线。另：数字推理规律

(1)笔画(2)面的个数(3)求同(4)求异(5)结构(6)组成元素的个数

【例1】

答案：C。本题目考察汉字的笔画。前面一组图形笔画数分别是：2、4、6；后面一组图形笔画数：

2、4、?；因此选择一个图形具有6笔画即可

【例2】

答案：B

解析：本题目考察封闭区域即面的个数。题干中封闭区域的个数分别为：1、2、3、4、?；因此选择一个图形具有5个封闭区域即可

七、数学运算

（一）两次相遇公式：单岸型S=(3S1+S2)/2 两岸型 S=3S1-S2

例1：两艘渡轮在同一时刻垂直驶离 H 河的甲、乙两岸相向而行，一艘从甲岸驶向乙 岸，另一艘从乙岸开往甲岸，它们在距离较近的甲岸 720 米处相遇。到达预定地点后，每艘船都要停留10分钟，以便让乘客上船下船，然后返航。这两艘船在距离乙岸 400 米处又重新相遇。问：该河的宽度是多少?()

A.1120 米 B.1280 米 C.1520 米 D.1760 米

解析：典型两次相遇问题，这题属于两岸型(距离较近的甲岸 720 米处相遇、距离乙岸

400 米处又重新相遇)代入公式3×720-400=1760选D;如果第一次相遇距离甲岸x米，第二次相遇距离甲岸Y米，这就属于单岸型了，也就是说属于哪类型取决于参照的是 一边岸还是两边岸。

（二）十字交叉法：A/B=(r-b)/(a-r)

例2：某班男生比女生人数多80%，一次考试后，全班平均成绩为75分，而女生的平均分比男生的平均分高20%，则此班女生的平均分是()

解析：男生平均分X，女生1.2X

1.2X 75-X 1

X 1.2X-75 1.8

得X=70 女生为84

（三）往返运动问题公式：V均=2（v1×v2)/(v1+v2)

例3：一辆汽车从A地到B地的速度为每小时30千米，返回时速度为每小时20千米，则它的平均速度为多少千米/小时?()

A.24 B.24.5 C.25 D.25.5

解：代入公式得2×30×20/(30+20)=24,选A。

（四）过河问题：M个人过河，船能载N个人。需A个人划船，共需过河(M-A)/(N-A)次

例4：有37名红军战士渡河，现在只有一条小船，每次只能载5人，需要几次才能渡完?()

A.7 B.8

C.9 D.10

解：(37-1)/(5-1)=9

（五）牛吃草问题：草场原有草量=(牛数-每天长草量)×天数

例5：有一水池，池底有泉水不断涌出，要想把水池的水抽干，10台抽水机需抽8小时，8台抽水机需抽12小时，如果用6台抽水机，那么需抽多少小时?()

A.16 B.20

C.24 D.28

解：(10-X)×8=(8-X)×12 求得X=4(10-4)×8=(6-4)×Y 求得答案Y=24 公式熟练以后可以不设方程直接求出来。

（六）N人传接球M次公式：次数=(N-1)的M次方/N，最接近的整数为末次传他人次数，第二接近的整数为末次传给自己的次数。

例6： 四人进行篮球传接球练习，要求每人接球后再传给别人。开始由甲发球，并作为第一次传球，若第五次传球后，球又回到甲手中，则共有传球方式()。

A.60种

B.65种

C.70种

D.75种

公式解题：(4-1)5/4=60.75 最接近的是61为最后传到别人次数，第二接近的是60为最后传给自己的次数。

（七）页码问题

要想要想顺利解答页码问题，首先要弄明白“页码”与“组成它的数码个数”之间的关系。我们知道：一位数共有9个(从1～9)，组成所有的一位数需要9个数码;两位数共有90个(从10～99)，组成所有的两位数需要2×90=180(个)数码;三位数共有900个(从100～999)，组成所有的三位数需要3×900=2700(个)数码。

例1：编一本书的书页，用了270个数字(重复的也算，如页码115用了2个1和1个5共3个数字)，问这本书一共多少页?()

A.117 B.126 C.127 D.189

答案及解析：B。本题是已知数码数，求页码数。一共用了270个数字，其中一位数用了9个数字，两位数用了180个数字，那么三位数用的数字就是270-9-180=81个数字。81÷3=27，因此三位数的页码共27页，从100起算，到126页就是27页，因此这本书一共126页。故选B。

例2：一本书共204页，需多少个数码编页码?()

A.501 B.502 C.503 D.504

答案及解析：D。本题是已知数码数，求页码数。1～9页每页上的页码是一位数，共需数码1×9=9(个);10～99页每页上的页码是两位数，共需数码2×90=180(个);100～204页每页上的页码是三位数，共需数码(204-100+1)×3=105×3=315(个)。综上所述，这本书共需数码9+180+315=504(个)。故选D。

例3：一本书的页码从1开始，经过计算总共出现了202个数字1，问这本书一共有多少页?()A.510

B.511

C.617

D.713 答案及解析：A。关于三位数字中“1”的出现次数，公式如下：出现次数=(总数÷5)取整百+100+(其他多余情况)，将四个选项带入公式中只有A项510符合。【注：(510÷5)取整百的结果是100;从501到510这10个数中，1出现了2次，故其他多余情况为2】。