高等数学积分总结[推荐]

第一篇：高等数学积分总结[推荐]

问题引例：曲边梯形的面积、变速直线运动的路程n积分定义：bfxdxlimfxiia0i1b计算方法:fxdxFbFaa一元定积分几何意义:连续曲线与x轴所围曲边梯形面积的代数和物理意义：变力沿直线做功应用几何：平面图形的面积直角坐标、极坐标、体积已知平行截面、旋转体体积平面曲线的弧长直角坐标、极坐标、参数方程、旋转曲面的面积应用物理：水压力、质量与引力、边际成本

一元不定积分：解决定积分的计算问题，将积分问题与求导问题联系起来

问题引例：曲顶柱体的体积、平面薄片的质量n积分定义：fx,ydlimf,iii0i1D计算方法:关键问题是定限，在直角坐标下d=dxdy，在极坐标下d=rdrd二重积分几何意义:以D为底，fx,y为曲顶柱体的体积的代数和物理意义：应用几何：求平面图形的面积dD应用物理问题引例：四维空间中曲顶柱体的体积问题n积分定义：fx,y,zdvlimf,,viiii0i1计算方法:直角坐标 dv=dxdydz柱面坐标xrcos,yrsin,zz,dv=rdrddz三重积分球面坐标xrsincos,yrsinsin,zrcos,dv=r2sindrdd定限的方法参考二重积分 几何意义、物理意义应用几何应用物理

问题引例：曲线形构件的质量nn积分定义：fx,ydslimf,s,fx,y,zdslimf,,siiiiiii00i1i1LL计算方法:用路径函数L化简fx,y,化为一元定积分弧长元素ds=dx2dy22ds=1+y'xdx对弧长的曲线积分2ds=1+x'ydy第一型曲线积分22ds=t+'tdt22ds=r+r'd几何意义、物理意义应用几何应用物理n问题引例:曲面不均匀薄片的质量n积分定义：fx,y,zdSlimf,,Siiii0i1对面积的曲面积分计算方法:

1、投影，2、代入，3、转换22第一型曲面积分fx,y,zdSfx,y,zx,y1zxzydxdyDxy应用几何：计算曲面面积应用物理

Pi,ixiQi,iyi问题引例：变力沿曲线作功Wlim0i1nn

1、定义：如果一阶微分方程Px,ydxQx,ydy0的左端恰好是某一个二元积分定义：Px,ydxlimP,x,Qx,ydylimQi,iyiiiiLL00i1i1函数u的全微分，此时方程的通解为u=C,因此全微分方程的关键就是求u积分的定义可推广到空间的情况，并可简写成Px,ydxQx,ydy

2、求解方法：L对坐标的曲线积分计算方法：本质是将其化为一元定积分用参数方程、将y化为x'全微分方程uu第二型曲线积分①不定积分法：P,uPdxy,PdxyQxy两种曲线积分的关系：②凑微分法PdxQdyPcosQcosds③积分因子法：见笔记PdxQdyRdzPcosQcosRcosds 其中cos，cos，cos是曲线在一点的与有向曲线同向的切向量的方向余弦 问题引例：曲面的侧的定义指明了曲面是有方向的曲面的投影，流体力学中流量问题=vdSn积分定义：limPi,i,iSzyQi,i,iSxzRi,i,iSxyPcosQcosRcosdS0i1对坐标的曲面积分nlimPi,i,iSzyQi,i,iSxzRi,i,iSxyPdydzQdxdzRdxdy第二型曲面积分0i1第一式将定义以第一型曲面积分的形式给出；第二式是我们普遍用的第二型曲面积分两个式子反应的是一个东西，也就阐明了两类曲面积分的联系计算方法：投影、代入、转换应用：流量的计算

QP 格林定理：①曲线正向的定义；②dxdy,L为D的取正向的边界曲线LPdxQdyxyD QP应用格林公式应注意：1曲线L必须封闭；2、在D内每点具有一阶连续偏导；3L为正向曲线 xy

A格林公式曲线积分的路径无关性：概念，积分值只与初始点的坐标有关PdxQdy B 四个等价命题：在一个单连通区域内，函数Px,y、Qx,y在G内有一阶连续偏导 则下面四个命题等价：QP ①=；②PdxQdy0；③PdxQdy与路径无关；④存在函数ux,y,使duPdxQdyLL xy 高斯公式：是闭曲面围成的区域，函数P、Q、R在上具有一阶连续偏导，则PQRPdydzQdzdxRdxdy++dVxyzPQRPcosQcosRcosdS++dV高斯公式通量散度xyz其中是的外侧，cos、cos、cos是点出法向量的方向余弦PQR通量与散度：=AdS,divA++xyz

斯托克斯公式：设是以为边界的有向曲面，的正向与的侧符合右手规则,P,Q,R具有一阶连续偏导  RQQPPRPdxQdyRdzdydzdzdxdxdyL yzzxxy斯托克斯公式环流量与旋度

环流量与旋度：向量场A沿有向闭曲线的曲线积分Ads称为A沿的环流量 RQPRQP旋度：rotA= ikjyzzxxy

积分应用归纳几何应用：

1、求曲边梯形的面积：用一元定积分可做

2、求曲顶柱体的体积：用二重积分可做，用三重积分可做

3、曲面的面积:1dSdS 柱面面积=fx,yds——牟合方盖的表面积Lfy,zds,fx,zdsLL该柱面以L为准线，母线平行于z轴，介于z0与曲面zfx,y之间的部分

4、平面的面积：其实就是曲面面积的特殊情况，用一元定积分可做，用二重积分可做

物理应用：

1、质量平面直线杆一元定积分线状质量线密度长度平面曲线杆对弧长的曲线积分这也就解释了为什么对弧长的积分化为定积分空间曲线杆被积函数为三元函数的对弧长的曲线积分平面面片二重积分面状质量面密度面积空间面片对曲面的面积积分立体快质量体密度体积三重积分解释了为什么对曲面的面积积分化为二重积分=fP;MfPd

2、质心物理重心——质心——几何中心——形心概念解释:物理重心——是在重力场中，物体处于任何方位时所有各组成质点的重力的合力都通过的那一点。规则而密度均匀物体的重心就是它的几何中心。质心——质量中心简称质心，指物质系统上被认为质量集中于此的一个假想点。与重心不同的是，质心不一定要在有重力场的系统中。值得注意的是，除非重力场是均匀的，否则同一物质系统的质心与重心不通常在同一假想点上。形心——面的形心就是截面图形的几何中心，质心是针对实物体而言的,而形心是针对抽象几何体而言的，对于密度均匀的实物体，质心和形心重合。质心的计算：引入了静力矩的概念xx,ydyx,y薄片:xDx,yd,ydDx,yd平面DDxx,ydsyx,曲线杆:xLydsx,yds,yLx,ydsLL3、转动惯量：定义：IMr2Ixy2x,ydDIyx2x,ydDI0x2y2x,yd D



块：xxdv,yydvdvdv空间面片:xxd,yyddd曲杆:xxds,yydsdsds

第二篇：高等数学三重积分计算方法总结

高等数学三重积分计算方法总结

1、利用直角坐标计算三重积分：（1）投影法（先一后二）：

1）外层(二重积分)：区域Ω在xoy面上的投影区域Dxy 2）内层(定积分)：

从区域Ω的底面上的z值，到区域Ω的顶面上的z值。

（2）截面法（先二后一）：

1)外层(定积分): 区域Ω在z 轴上的投影区间。2)内层(二重积分):Ω垂直于z 轴的截面区域。

2、利用柱坐标计算三重积分 f(x,y,z)dvf(cos,sin,z)dddz3、利用球面坐标计算三重积分

f(x,y,z)dxdydzf(rsincos,rsinsin,rcos)rsindrdd2定限方法:(1)转面定θ(2)转线定φ(3)线段定r

4、利用对称性化简三重积分计算 设积分区域Ω关于xoy平面对称，(1)若被积函数 f(x,y,z)是关于z 的奇函数，则三重积分为零。(2)若被积函数 f(x,y,z)是关于z 的偶函数，则三重积分等于：在xoy平面上方的半个Ω，区域上的三重积分的两倍.使用对称性时应注意：

1）积分区域关于坐标面的对称性； ２）被积函数关于变量的奇偶性。

2例 计算



x(x



y



z)

dxdydz，其中Ω是由曲面z = x2 + y2和x2 + y2 + z2 =2所围成的空间闭区域.解： x(xyz)2 x(x2y2z2)2x2y2xyz2zx2 x(x2y2z2)2xyz

是关于x 的奇函数，且关于 yoz 面对称 故其积分为零。

2x2 y是关于y 的奇函数,且关于 zox 面对称

2x2ydv0,Ix(xyz)2dxdydz

202x2zdxdydz,222coszdddz0 d d 2coszdz222322dcos(2)d013224 245

第三篇：高等数学第九章重积分教案

第九章 重积分

第一节 二重积分的概念与性质

9.1.1 二重积分的概念

为引出二重积分的概念，我们先来讨论两个实际问题。

设有一平面薄片占有xOy>面上的闭区域D>，它在点（x>，y>）处的面密度为ρ（x>，y>），这里ρ（x>，y>）> 0>且在D>上连续。现在要计算该薄片的质量M>。

>由于面密度ρ（x>，y>）是变量，薄片的质量不能直接用密度公式（M =>ρS>）来计算。但ρ（x>，y>）是连续的，利用积分的思想，把薄片分成许多小块后，只要小块所占的小闭区域D s i>的直径很小，这些小块就可以近似地看作均匀薄片。在D s i>（这小闭区域的面积也记作D s i

>）上任取一点（x i>，h i>），则ρ（x i>，h i>）D s i>（i = 1>，2>，„，n）可看作第i>个小块的质量的近似值。通过求和，再令n个小区域的直径中的最大值（记作λ）趋于零，取和的极限，便自然地得出薄片的质量M>，即 >。

>再设有一立体，它的底是xOy>面上的闭区域D>，它的侧面是以D>的边界曲线为准线而母线平行于z>轴的柱面，它的顶是曲面z = f>（x>，y>），这里f>（x>，y>）≥ 0>且在D>上连续。这种立体叫做曲顶柱体。现在要计算上述曲顶柱体的体积V>。

>由于曲顶柱体的高f>（x>，y>）是变量，它的体积不能直接用体积公式来计算。但仍可采用上面的思想方法，用一组曲线网把D>分成n个小闭区域D s 1，D s 2>，„，D s n>，在每个D s i>上任取一点（x i>，h i>），则f>（x i>，h i>）D s i>（i = 1>，2>，„，n）可看作以f>（x i>，h i>）为高而底为D s i>的平顶柱体的体积>。通过求和，取极限，便得出 >。

上面两个问题所要求的，都归结为同一形式的和的极限。在其他学科中，由许多物理量和几何量也可归结为这一形式的和的极限。因此我们要一般地研究这种和的极限，并抽象出下述二重积分的定义。> 定义 >设f>（x>，y>）是有界闭区域D>上的有界函数。将闭区域D>任意分成n>个小闭区域

>D s 1，D s 2>，„，D s n>，>其中D s 也表示它的面积。在每个D s（x h，i>表示第i>个小闭区域，i>上任取一点i>，i>）作乘积 f>（x i>，h i>）D s i>（i = 1, 2, >„, n,>），并作和。如果当各小闭区域的直径中的最大值l 趋于零时，这和的极限总存在，则称此极限为函数f>（x>，y>）在闭区域D>上的二重积分，记作，即

>。（*>）

>其中f>（x>，y>）叫做被积函数，f>（x>，y>）ds >叫做被积表达式，ds >叫做面积元素，x>与y>叫做积分变量，D>叫做积分区域，叫做积分和。

>在二重积分的定义中对闭区域D>的划分是任意的，如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D>，那末除了包含边界点的一些小闭区域外，其余的小闭区域都是矩形闭区域。设矩形闭区域D s i>的边长为D xj>和D yk>，则D s = D xj>·D yk>。因此在直角坐标系中，有时也把面积元素ds >记作dxdy>，而把二重积分记作 >

>其中dxdy>叫做直角坐标系中的面积元素。

>这里我们要指出，当f>（x>，y>）在闭区域D>上连续时，（*>）式右端的和的极限必定存在，也就是说，函数f>（x>，y>）在D>上的二重积分必定存在。> 9.1.2 二重积分的性质

二重积分与定积分有类似的性质：

>性质1 >被积函数的常数因子可以提到二重积分号的外面，即 > >（k>为常数）。

>性质2 >函数的和（或差）的二重积分等于各个函数的二重积分的和（或差）。例如 >。

>性质3 >如果闭区域D>被有限条曲线分为有限个部分闭区域，则在D>上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和。例如D>分为两个闭区域D1>与 D2>，则 >。

此性质表示二重积分对于积分区域具有可加性。

>性质4 >如果在D>上，f>（x>，y>）= 1>，s 为D>的面积，则 >。

>此性质的几何意义很明显，因为高为1>的平顶柱体的体积在数值上就等于柱体的底面积。>性质5 >如果在D>上，f>（x>，y>）≤ j >（x>，y>），则有不等式 >。

特殊地，由于

>-| f>（x>，y>）| >≤ f>（x>，y>）≤ | f>（x>，y>）|>，> 又有不等式。

>性质6 >设M>，m>分别是f>（x>，y>）在闭区域D>上的最大值和最小值，s 是D>的面积，则有 >。

上述不等式是对二重积分估值的不等式。

>性质7>（二重积分的中值定理）>设函数f>（x>，y>）在闭区域D>上连续，s 是D>的面积，则在D>上至少存在一点（x，h）使得下式成立： >。

第二节 二重积分的计算法（直角坐标，极坐标）

按照二重积分的定义来计算二重积分，对少数特别简单的被积函数和积分区域来说是可行的，但对一般的函数和积分区域来说，这不是一种切实可行的方法。这里介绍一种方法，把二重积分化为两次单积分（即两次定积分）来计算。9.2.1 利用直角坐标计算二重积分

下面用几何的观点来讨论二重积分的计算问题。

在讨论中我们假定f（x，y）≥ 0。并设积分区域D可以用不等式 j 1（x）≤ y ≤ j 2（x），a≤x≤b

来表示，其中函数j 1（x）、j 2（x）在区间 [a，b] 上连续。

我们应用“平行截面面积为已知的立体的体积”的方法，来计算这个曲顶柱体的体积。为计算截面面积，在区间 [a，b] 上任意取定一点x0，作平行于yOz面的平面x=x0。这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间 [j 1（x0），j 2（x0）] 为底、曲线z = f（x0，y）为曲边的曲边梯形，所以这截面的面积为。

一般的，过区间 [a，b] 上任一点x且平行于yOz面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为，于是，得曲顶柱体的体积为。

这个体积也就是所求二重积分的值，从而有等式

。（1）

上式右端的积分叫做先对y、后对x的二次积分。就是说，先把x看作常数，把f（x，y）只看作y的函数，并对y计算从j 1（x）到j 2（x）的定积分；然后把算得的结果（是x的函数）再对x计算在区间 [a，b] 上的定积分。这个先对y、后对x的二次积分也常记作。

因此，等式（1）也写成，（1’）

在上述讨论中，我们假定f（x，y）≥ 0，但实际上公式（1）的成立并不受此条件限制。类似地，如果积分区域D可以用不等式 ψ1（y）≤ x ≤ ψ2（y），c≤y≤d

来表示，其中函数ψ1（y）、ψ2（y）在区间 [c，d] 上连续，那末就有。

上式右端的积分叫做先对x、后对y的二次积分，这个积分也常记作。

因此，等式（2）也写成，（2’）

这就是把二重积分化为先对x、后对y的二次积分的公式。

我们称图9-2-1所示的积分区域为X-型区域，图9-2-3所示的积分区域为Y-型区域。对不同的区域，可以应用不同的公式。如果积分区域D既不是X-型的，也不是Y-型的，我们可以把D分成几个部分，使每个部分是X-型区域或是Y-型区域。如果积分区域D既是X-型的，又是Y-型的，则由公式（1’）及（2’）就得。

上式表明，这两个不同次序的二次积分相等，因为它们都等于同一个二重积分。

二重积分化为二次积分时，确定积分限是一个关键。而积分限是根据积分区域D的类型来确定的。

例1 计算，其中D是由直线y =

1、x = 2及y = x所围成的闭区域。

解法1 首先画出积分区域D。D是X-型的，D上的点的横坐标的变动范围是区间[1，2]。在区间[1，2]上任意取定一个x值，则D上以这个x值为横坐标的点在一段直线上，这段直线平行于y轴，该线段上点的纵坐标从y = 1变到y = x。利用公式（1）得。

解法2 把积分区域D看成是Y-型的。同学们可作为练习，验证解出的答案是否与解法1的相一致。

对于较复杂的积分区域，在化二重积分为二次积分时，为了计算简便，需要选择恰当的二次积分的次序。这时，既要考虑积分区域D的形状，又要考虑被积函数f（x，y）的特性。例2 求量各底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体的体积。解 设这两个圆柱面的方程分别为 x + y = R及x + z = R

利用立体关于坐标平面的对称性，只要算出它在第一卦限部分的体积V1，然后再乘以9就行了。

所求立体在第一卦限部分可以看成是一个曲顶柱体，它的底为 2222

22，如图9-2-5（b）所示。它的顶是柱面。于是。

利用公式（1）得

从而所求立体体积为。

9.2.2 利用极坐标计算二重积分

有些二重积分，积分区域D的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便，且被积函数用极坐标变量r，θ比较简单。这时，我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分按二重积分的定义有

。，下面将推导出这个和的极限在极坐标系中的形式。

假定从极点O出发且穿过闭区域D内部的射线与D的边界曲线相交不多于两点。我们用以极点为中心的一族同心圆：r=常数，以及从极点出发的一族射线：θ=常数，把D分成n个小闭区域。除了包含边界点的一些小闭区域外，小闭区域的面积D s i可计算如下：

其中表示相邻两圆弧的半径的平均值。在这小闭区域内取圆周点的直角坐标设为x i，h i，则由直角坐标与极坐标之间的关系有

。于是

上的一点，该，即。

由于在直角坐标系中也常记作，所以上式又可写成

。（4）

这就是二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的变换公式，其中rdrdθ就是极坐标系中的面积元素。公式（4）表明，要把二重积分中的变量从直角坐标变换为极坐标，只要把被积函数中的x、y分别换成rcosθ、rsinθ，并把直角坐标系中的面积元素dxdy换成极坐标系中的面积元素rdrdθ。

极坐标系中的二重积分，同样可以化为二次积分来计算。，二重积分化为二次积分的公式为

。（5）

上式也写成

。（5'）

特别地，如果积分区域D是所示的曲边扇形，那末相当于图9-2-7（a）中φ1（θ）≡0，φ2（θ）=φ（θ）。这时闭区域D可以用不等式 0≤r≤φ（θ），α≤θ≤β 来表示，而公式（5'）成为。

如果积分区域D如图）所示，极点在D的内部，那末相当于图9-2-9中α= 0、β= 2π。这时闭区域D可以用不等式 0≤r≤φ（θ），0≤θ≤2π 来表示，而公式（5'）成为。

由二重积分的性质4，闭区域D的面积s 可以表示为。

在极坐标系中，面积元素ds = rdrdθ，上式成为。

如果闭区域D如图9-2-7（a）所示，这由公式（5'）有。

特别地，如果闭区域D如图9-2-9所示，则φ1（θ）≡0，φ2（θ）=φ（θ）。于是。

例3 计算，其中D是由中心在原点、半径为a的圆周所围成的闭区域。

解 在极坐标系中，闭区域D可表示为 0≤r≤a，0≤θ≤2π。由公式（4）及（5）有

例4 求球体x+y+z≤4a圆柱面x+y=2ax（a>0）所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积。解 由对称性，22

222

2，其中D为半圆周式

及x轴所围成的闭区域。在极坐标系中，闭区域D可用不等0≤r≤2acos（θ），0≤θ≤π/2 来表示。于是。

第三节 二重积分的应用实例

在二重积分的应用中，由许多求总量的问题可以用定积分的元素法来处理。如果所要计算的某个量对于闭区域D具有可加性（就是说，当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量U相应地分成许多部分量，且U等于部分量之和），并且在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域dσ时，相应的部分量可近似地表示为f（x，y）dσ的形式，其中（x，y）在dσ内。这个f（x，y）dσ称为所求量U的元素而记作dU，以它为被积表达式，在闭区域D上积分：，这就是所求量的积分表达式。9.3.1 曲面的面积 设曲面S由方程 z = f（x，y）

给出，D为曲面S在xOy面上的投影区域，函数f（x，y）在D上具有连续偏导数fx（x，y）和fy（x，y）。我们要计算曲面S的面积A。

在闭区域D上任取一直径很小的闭区域dσ（这小闭区域的面积也记作dσ）。在dσ上取一点P（x，y），对应地曲面S上有一点M（x，y，f（x，y）），点M在xOy面上的投影即点P。点M处曲面S的切平面设为T。以小闭区域dσ的边界为准线作母线平行于z轴的柱面，这柱面在曲面S上截下一小片曲面，在切平面T上截下一小片平面。由于dσ的直径很小，切平面T上的那一小片平面的面积dA可以近似代替相应的那一小片面积的面积。设点M处曲面S上的法线（指向朝上）于z轴所成的角为γ，则

。因为，所以。

这就是曲面S的面积元素，以它为被积表达式在闭区域D上积分，得。

上式也可写为这就是计算曲面面积的公式。

设曲面的方程为x=g（x，y）或y=h（z，x），可分别把曲面投影到xOy面上（投影区域记作Dyz）或zOx面上（投影区域记作Dzx），类似地可得，或例1 求半径为a的球的表面积。

解：取上半球面的方程为x+y≤a。222，则它在xOy面上的投影区域D可表示为由，得。因为这函数在闭区域D上无界，我们不能直接应用曲面面积公式。所以先取区域D1：x+y≤b（0

222，利用极坐标，得

于是。

这就是半个球面的面积，因此整个球面的面积为

A = 4πa2。

9.3.2平面薄片的重心

设有一平面薄片，占有xOy面上的闭区域D，在点（x，y）处的面密度ρ（x，y），假定ρ（x，y）在D上连续。现在要找该薄片的重心的坐标。

在闭区域D上任取一直径很小的闭区域dσ（这小闭区域的面积也记作dσ），（x，y）是这小闭区域上的一个点。由于dσ的直径很小，且ρ（x，y）在D上连续，所以薄片中相应于dσ的部分的质量近似等于ρ（x，y）dσ，这部分质量可近似看作集中在点（x，y）上，于是可写出静矩元素dMy及dMx：

dMy = xρ（x，y）dσ，dMx =yρ（x，y）dσ。以这些元素为被积表达式，在闭区域D上积分，便得。

又由第一节知道，薄片的质量为。

所以，薄片的重心的坐标为。

如果薄片是均匀的，即面密度为常量，则上式中可把ρ提到积分记号外面并从分子、分母中约去，这样便得均匀薄片重心的坐标为

（1）

其中为闭区域D的面积。这时薄片的重心完全由闭区域D的形状所决定。我们把均匀平面薄片的重心叫做这平面薄片所占的平面图形的形心。因此，平面图形D的形心，就可用公式（1）计算。

例2 求位于两圆r = 2sinθ和r = 4sinθ之间的均匀薄片的重心

解 因为闭区域D对称于y轴，所以重心再按公式

必位于y轴上，于是。

计算。由于闭区域D位于半径为1与半径为2的两圆之间，所以它的面积等于这两个圆的面积之差，即A = 3π。再利用极坐标计算积分：。

因此，所求重心是C（0，7/3）。

三、平面薄片的转动惯量

设有一薄片，占有xOy面上的闭区域D，在点（x，y）处的面密度ρ（x，y），假定ρ（x，y）在D上连续。现在要求该薄片对于x轴的转动惯量Ix以及对于y轴的转动惯量Iy。应用元素法，在闭区域D上任取一直径很小的闭区域dσ（这小闭区域的面积也记作dσ），（x，y）是这小闭区域上的一个点。由于dσ的直径很小，且ρ（x，y）在D上连续，所以薄片中相应于dσ的部分的质量近似等于ρ（x，y）dσ，这部分质量可近似看作集中在点（x，y）上，于是可写出薄片对于x轴以及对于y轴的转动惯量元素： dIx = yρ（x，y）dσ,dIy = xρ（x，y）dσ。以这些元素为被积表达式，在闭区域D上积分，便得

22。

例3 求半径为a的均匀半圆薄片（面密度为常量ρ）对于其直径边的转动惯量。解：取坐标系如图所示，则薄片所占闭区域D可表示为 x+y≤a，y≥0；

而所求转动惯量即半圆薄片对于x轴的转动惯量Ix。222

其中 为半圆薄片的质量。

第四节 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分

与二重积分的计算类似，三重积分有时也要利用柱面坐标或球面坐标来进行计算。9.4.1 利用柱面坐标计算三重积分

设M（x，y，z）为空间内一点，并设点M在xOy面上的投影P的极坐标为r，θ，则这样的三个数r，θ，z就叫做点M的柱面坐标，这里规定r、θ、z的变化范围为： 0 ≤ r < +∞, 0 ≤θ≤ 2π,-∞ < z < +∞。三组坐标面分别为

r = 常数，即以z轴为轴的圆柱面； θ=常数，即过z轴的半平面； z = 常数，即与xOy面平行的平面。显然，点M的直角坐标与柱面坐标的关系为

（1）

现在要把三重积分中的变量变换为柱面坐标。为此，用三组坐标面r = 常数，θ=常数，z = 常数把Ω分成许多小闭区域，除了含Ω的边界的一些不规则小闭区域外，这种小闭区域都是柱体。考虑由r，θ，z各取得微小增量dr，dθ，dz所成的柱体的体积。柱体的高为dz、底面积在不计高阶无穷小时为r dr dθ（即极坐标系中的面积元素），于是得

dv = r dr dθdz，这就是柱面坐标中的体积元素。再注意到关系式（1），就有

（2）

其中F（r，θ，z）= f（r cosθ，r sinθ，z）。（2）式就是把三重积分的变量从直角坐标变换为柱面坐标的公式。至于变量变换为柱面坐标后的三重积分的计算，则可化为三次积分来进行。化为三次积分时，积分限是根据r，θ，z在积分区域Ω中的变化范围来确定的，下面通过例子来说明。例1 利用柱面坐标计算三重积分围成的闭区域。，其中Ω是由曲面z = x+y与平面z = 4所

22解 把闭区域Ω投影到xOy面上，得半径为2的圆形闭区域D：0≤r≤2，0≤θ≤2π。在D22内任取一点（r，θ），过此点作平行于z轴的直线，此直线通过曲面z = x+y穿入Ω内，然后通过平面z = 4穿出Ω外。因此闭区域Ω可用不等式 r2≤z≤4，0≤r≤2，0≤θ≤2π 来表示。于是

9.4.2 利用球面坐标计算三重积分

设M（x，y，z）为空间内一点，则点M也可用这样三个有次序的数r，φ，θ来确定，其中r为原点O与点M间的距离，φ为有向线段看自x轴按逆时针方向转到有向线段

与z轴正向所夹的角，θ为从正z轴来的角，这里P为点M在xOy面上的投影。这样的三个数r，φ，θ叫做点M的球面坐标，这里r，φ，θ的变化范围为 0 ≤ r < +∞, 0 ≤φ≤ π, 0 ≤θ≤ 2π.r = 常数，即以原点为心的球面；

φ= 常数，即以原点为顶点、z轴为轴的圆锥面； θ = 常数，即过z轴的半平面。点M的直角坐标与球面坐标的关系为

（3）

为了把三重积分中的变量从直角坐标变换为球面坐标，用三组坐标面r = 常数，φ=常数，θ= 常数把积分区域Ω分成许多小闭区域。考虑由r，φ，θ各取得微小增量dr，dφ，dθ所成的六面体的体积。不计高阶无穷小，可把这个六面体看作长方体，其经线方向的长为rdφ，纬线方向的宽为r sinφdθ，向径方向的高为dr，于是得 dv = r sinφdrdφdθ，这就是球面坐标系中的体积元素。再注意到关系式（3），就有 2,（4）

其中F（r，φ，θ）= f（r sinφcosθ，r sinφsinθ，r cosφ）。（4）式就是把三重积分的变量从直角坐标变换为球面坐标的公式。

要计算变量变换为球面坐标后的三重积分，可把它化为对r对φ及对θ的三次积分。若积分区域Ω的边界曲面是一个包围原点在内的闭曲面，其球面坐标方程为r = r（φ，θ），则。

当积分区域Ω为球面r = a所围成时，则。

特别地，当F（r，φ，θ）= 1时，由上式即得球的体积，这是我们所熟知的。

例2 求半径为a的球面与半顶角为α的内接锥面所围成的立体的体积。解 设球面通过原点O，球心在z轴上，又内接锥面的顶点在原点O，其轴与z轴重合，则球面方程为r = 2acosφ，锥面方程为φ=α。因为立体所占有的空间闭区域Ω可用不等式 0≤r≤2acosφ, 0≤φ≤α, 0≤θ≤2π 来表示，所以

在三重积分的应用中也可采用元素法。

设物体占有空间闭区域Ω，在点（x，y，z）处的密度为ρ（x，y，z），假定这函数在Ω上连续，求该物体的重心的坐标和转动惯量。与第三节中关于平面薄片的这类问题一样，应用元素法可写出

等，其中为物体的质量。

例3 求均匀半球体的重心。

解 取半球体的对称轴为z轴，原点取在球心上，又设球半径为a，则半球体所占空间闭区域Ω可用不等式 x+y+z≤a，z≥0 来表示。2222显然，重心在z轴上，故。，其中为半球体的体积。

因此，重心为。

第四篇：高等数学总结

FROM BODY TO SOUL

高等数学

第一讲 函数、极限和连续

一、函数 1.函数的概念

几种常见函数 绝对值函数： 符号函数： 取整函数： 分段函数：

最大值最小值函数：

2.函数的特性

有界性： 单调性： 奇偶性： 周期性：

3.反函数与复合函数

反函数：

复合函数：

第五篇：高等数学难点总结

高等数学难点总结 上册：

函数（高等数学的主要研究对象）

极限：数列的极限（特殊）——函数的极限（一般）极限的本质是通过已知某一个量（自变量）的变化趋势，去研究和探索另外一个量（因变量）的变化趋势

由极限可以推得的一些性质：局部有界性、局部保号性……应当注意到，由极限所得到的性质通常都是只在局部范围内成立

在提出极限概念的时候并未涉及到函数在该点的具体情况，所以函数在某点的极限与函数在该点的取值并无必然联系

连续：函数在某点的极限 等于 函数在该点的取值 连续的本质：自变量无限接近，因变量无限接近

导数的概念

本质是函数增量与自变量增量的比值在自变量增量趋近于零时的极限，更简单的说法是变化率

微分的概念：函数增量的线性主要部分，这个说法有两层意思，一、微分是一个线性近似，二、这个线性近似带来的误差是足够小的，实际上任何函数的增量我们都可以线性关系去近似它，但是当误差不够小时，近似的程度就不够好，这时就不能说该函数可微分了

不定积分：导数的逆运算 什么样的函数有不定积分

定积分：由具体例子引出，本质是先分割、再综合，其中分割的作用是把不规则的整体划作规则的许多个小的部分，然后再综合，最后求极限，当极限存在时，近似成为精确 什么样的函数有定积分

求不定积分（定积分）的若干典型方法：换元、分部，分部积分中考虑放到积分号后面的部分，不同类型的函数有不同的优先级别，按反对幂三指的顺序来记忆

定积分的几何应用和物理应用

高等数学里最重要的数学思想方法：微元法

微分和导数的应用：判断函数的单调性和凹凸性

微分中值定理，可从几何意义去加深理解

泰勒定理：本质是用多项式来逼近连续函数。要学好这部分内容，需要考虑两个问题：

一、这些多项式的系数如何求？

二、即使求出了这些多项式的系数，如何去评估这个多项式逼近连续函数的精确程度，即还需要求出误差（余项），当余项随着项数的增多趋向于零时，这种近似的精确度就是足够好的。下册

（一）：

多元函数的微积分：将上册的一元函数微积分的概念拓展到多元函数

最典型的是二元函数

极限：二元函数与一元函数要注意的区别，二元函数中两点无限接近的方式有无限多种（一元函数只能沿直线接近），所以二元函数存在的要求更高，即自变量无论以任何方式接近于一定点，函数值都要有确定的变化趋势

连续：二元函数和一元函数一样，同样是考虑在某点的极限和在某点的函数值是否相等

导数：上册中已经说过，导数反映的是函数在某点处的变化率（变化情况），在二元函数中，一点处函数的变化情况与从该点出发所选择的方向有关，有可能沿不同方向会有不同的变化率，这样引出方向导数的概念

沿坐标轴方向的导数若存在，称之为偏导数

通过研究发现，方向导数与偏导数存在一定关系，可用偏导数和所选定的方向来表示，即二元函数的两个偏导数已经足够表示清楚该函数在一点沿任意方向的变化情况

高阶偏导数若连续，则求导次序可交换

微分：微分是函数增量的线性主要部分，这一本质对一元函数或多元函数来说都一样。只不过若是二元函数，所选取的线性近似部分应该是两个方向自变量增量的线性组合，然后再考虑误差是否是自变量增量的高阶无穷小，若是，则微分存在

仅仅有偏导数存在，不能推出用线性关系近似表示函数增量后带来的误差足够小，即偏导数存在不一定有微分存在

若偏导数存在，且连续，则微分一定存在

极限、连续、偏导数和可微的关系在多元函数情形里比一元函数更为复杂

极值：若函数在一点取极值，且在该点导数（偏导数）存在，则此导数（偏导数）必为零

所以，函数在某点的极值情况，即函数在该点附近的函数增量的符号，由二阶微分的符号判断。对一元函数来说，二阶微分的符号就是二阶导数的符号，对二元函数来说，二阶微分的符号可由相应的二次型的正定或负定性判断。

级数敛散性的判别思路：首先看通项是否趋于零，若不趋于零则发散。若通项趋于零，看是否正项级数。若是正项级数，首先看能否利用比较判别法，注意等比级数和调和级数是常用来作比较的级数，若通项是连乘形式，考虑用比值判别法，若通项是乘方形式，考虑用根值判别法。若不是正项级数，取绝对值，考虑其是否绝对收敛，绝对收敛则必收敛。若绝对值不收敛，考察一般项，看是否交错级数，用莱布尼兹准则判断。若不是交错级数，只能通过最根本的方法判断，即看其前n项和是否有极限，具体问题具体分析。

比较判别法是充分必要条件，比值和根值法只是充分条件，不是必要条件。

函数项级数情况复杂，一般只研究幂级数。阿贝尔定理揭示了幂级数的重要性质：收敛区域存在一个收敛半径。所以对幂级数，关键在于求出收敛半径，而这可利用根值判别法解决。

逐项求导和逐项积分不改变幂级数除端点外的区域的敛散性，端点情况复杂，需具体分析。

一个函数能展开成幂级数的条件是：存在任意阶导数。展开后的幂级数能收敛于原来函数的条件是：余项（误差）要随着项数的增加趋于零。这与泰勒展开中的结论一致。

微分方程：不同种类的方程有不同的常见解法，但理解上并无难处。